材料力学-弯矩剪力图PPT课件
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剪力图和弯矩图(最全面)-剪刀图弯矩图特征 PPT
P q
Pa 2
qa2 2
A
BM
x x
+ P
=
=+
A
B M1
Pa 2
+
+
q
qa 2
A
B M2
2 +
x
三、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
[例8] 作下列图示梁的内力图。
P
PL
Q
x
0L 0.5P L 0.5P L
q AB
RA qa Q qa/2
+ – qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M
qa2/2
+
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2
解：求支反力 RAq2a; RDq2a
左端点A：
Q qa; M 0 2
x
B点左： Qqa;M1qa2
2
2
B点右： Q qa;M1qa2
2
2
C点左： Qqa;M1qa2
M
– N图
P1a
M图 P1a+ P2 l
二、曲杆：轴线为曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。
[例11] 已知：如图所示，P及R 。试绘制Q、M、N 图。
解：建立极坐标，O为极点，OB
R
P
极轴，q表示截面m–m的位置。
A
q
B
O
x
q q qq M ( ) P P ( R x R c ) o P ( 1 c s R ) ( o 0 s )
q q q Q () P 1 P si( n 0)
材料力学4-弯矩图剪力图 PPT课件
梁上最大弯矩可能发生在Fs(x) = 0 的截面上或梁段边界 的截面上。最大剪力发生在全梁或梁段的界面。
在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的 值。弯矩图的相应处形成尖角。
在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力 偶的值，但剪力图无变化。
矩就等于梁在各项荷载单独作用下同一 横截面上弯矩的代数和。
叠加原理：由几个外力共同作用时所引起的某一参数 （内力、应力、位移），就等于每个外力单独作用时 所引起的该参数值的代数和。
• 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用
剪力图上某点处的切线斜率 等于该点处荷载集度的大小
弯矩图上某点处的切线斜率 等于该点处剪力的大小。
q(x)、Fs (x)图、M（x）图三者间的关系
梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 Fs (x)图为一向右下方倾斜的 直线 M(x)图为一向下凸的二次抛 物线
• 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图
一、剪力和弯矩方程： 剪力和弯矩沿梁长度方向的表达式，表示的是剪力和
弯矩沿轴线长度方向的分布情况
二、剪力图和弯矩图 以X轴表示横截面位置，以纵坐标表示相应截面
上的剪力Fs 、弯矩M，称为剪力图、弯矩图。 剪力图为正值画在x 轴上侧，负值画在x 轴下侧 弯矩图为正值画在x 轴下侧，负值画在x 轴上侧
作剪力图和弯矩图的几条规律
梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪 力值（图）有突变，其突变值等于集中力的 数值。在此处弯矩图则形成一个尖角。
梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上 的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于 集中力偶矩的数值。但在此处剪力图没有 变化。
作剪力图和弯矩图的几条规律
梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界 截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁 段的边界截面，或Fs = 0的截面处。
【正式版】轴力剪力弯矩图PPT
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
qa
Q图
qa
N图 2qa
qa2 / 2 M图 qa 2
qa 2 C2L7TU18
例：作图示刚架的弯矩图。
q
例：作图示刚架的弯矩图。
a 例：作图示刚架的弯矩图。
感谢观看
例：作图示刚架的弯矩图。
a
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
例：作图示刚架的轴力图、剪力图、弯矩图。
例：作图示刚架的弯矩图。
qa
2a
4
qa
qa
qa 2 2
qa 4
qa 2 qa 2
2
2
qa 2 2
M图
CL7TU19
例：作图示刚架的弯矩图。
Pa
P
a
Pa
a
P
M图
P P
CL7TU20
例：作图示刚架的弯矩图。 qa 2
qa 2 2
a
2
qa
qa
2
qa
qa 2
M图
CL7TU21
例：图示曲杆，其轴线为圆形，写出其轴 力、剪力和弯矩方程式，并作弯矩图。
剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
截面位置对剪力和弯矩的影响
总结词
截面位置对剪力和弯矩具有显著影响。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发生变化。
详细描述
在结构分析中，截面位置是影响剪力和弯矩的重要因素之一。不同的截面位置会导致剪力和弯矩的大小和方向发 生变化，从而影响结构的整体受力性能。例如，在梁中选取不同的截面位置进行支撑或固定，会对梁的剪力和弯 矩产生显著影响。
05 剪力、弯矩与材料力学性 能的关系
材料弹性对剪力和弯矩的影响
弹性材料在剪力和弯矩作用下会发生弹性变形，变形量与外力成正比，当外力去 除后，材料能够恢复原状。
弹性材料的剪切模量和弯曲刚度决定了剪力和弯矩的大小，剪切模量越大，材料 抵抗剪切变形的能力越强；弯曲刚度越大，材料抵抗弯曲变形的能力越强。
根据绕顺时针方向观察确定，使上侧 纤维受拉时为正。
02 剪力方程与弯矩方程
剪力图与弯矩图的绘制
1
剪力图和弯矩图是表示梁上剪力和弯矩随截面位 置变化的图形。
2
这些图的绘制基于剪力方程和弯矩方程的计算结 果，通过将计算得到的剪力和弯矩值标在图中相 应的位置上，并连接成线。
3
剪力图和弯矩图的绘制有助于直观地了解梁在不 同截面位置的受力状态和应力分布情况。
弯矩
在梁或结构中，由于弯曲而产生 的力矩，表示弯曲变形的大小。
剪力与弯矩在力学中的作用
剪力
主要影响结构的剪切变形，对梁的剪切承载能力有重要影响 。
弯矩
主要影响结构的弯曲变形，对梁的弯曲承载能力有重要影响 。
剪力与弯矩的符号规定
剪力正方向
根据右手定则确定，从杆件的受压一 侧指向受拉一侧。
弯矩正方向
02
材料强度越高，抵抗剪力和弯矩等外力的能力越强， 所能承受的剪力和弯矩越大。
03剪力图和弯矩图-课件
俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（Ж уравскийД И ）于1855 年得到横力弯曲时的切应力公式。30年后，他的同胞别斯帕罗 夫（ВеспаловД ）开始使用弯矩图，被认为是历史上第一个使 用弯矩图的人。
内容提要
剪力和弯矩 • 剪力图和弯矩图
§9— 1 剪力和弯矩 • 剪力图和弯矩图
在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。 一、梁的剪力（ FS ）和弯矩 （ M ） 的定义与计算
S
ql 2
F
S
ql 2
绘出剪力图。
FA
q
FB
A
B
x
l
ql 2
+
_
ql 2
FA
q
FB
A
B
x
l
M(x)qlxqx2 22
弯矩图为一条二次抛物线。
M (0) 0 M ( l 2 ) ql 2
8 M (l) 0
xq lxq x 2 M (x ) F A x q x 2 22
q
x l
q
FS
M x
根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2
括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2
剪力图为一斜直线
FS (0) 0 FS (l) ql
平截面假设是材料力学计算理论的重要基础之一。雅科 布·伯努利于1695年提出了梁弯曲的平截面假设，由此可以证 明梁（中性层）的曲率和弯矩成正比。此外他还得到了梁的挠 曲线微分方程。但由于没有采用曲率的简化式，且当时尚无弹 性模量的定量结果，致使该理论并没有得到广泛的应用。
剪力图和弯矩图(史上最全面)
同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
24
[例6] 改内力图之错。 qa2
A
a
a
2a
Q qa/4
qa/4
+
–
–
3qa/4
5qa2/4 3qa2/2 49qa2/32
16
[例2] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
MO YO YO
MO
Q(x)
M(x)
–PL
L
P
解：①求支反力
Q(x) M(x)
x
YO P ; MO PL
②写出内力方程
P
x
x
Q( x ) YO P
M( x ) YOx MO P( x L )
③根据方程画内力图
17
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应 用
3. 支座简化
6
3. 支座简化
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支
座，止推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支
座，木桩下端的支座等。
XA
MA
7
YA
4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
M — 集中力偶
外 无外力段 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m C
水平直线
斜直线
自左向右突变
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
24
[例6] 改内力图之错。 qa2
A
a
a
2a
Q qa/4
qa/4
+
–
–
3qa/4
5qa2/4 3qa2/2 49qa2/32
16
[例2] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
MO YO YO
MO
Q(x)
M(x)
–PL
L
P
解：①求支反力
Q(x) M(x)
x
YO P ; MO PL
②写出内力方程
P
x
x
Q( x ) YO P
M( x ) YOx MO P( x L )
③根据方程画内力图
17
§4–4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应 用
3. 支座简化
6
3. 支座简化
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支
座，止推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支
座，木桩下端的支座等。
XA
MA
7
YA
4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
M — 集中力偶
外 无外力段 力
q=0
均布载荷段
q>0
q<0
集中力
P C
集中力偶
m C
水平直线
斜直线
自左向右突变
剪力图和弯矩图(史上最全面)
2 Q 0; M 3 qa2
2
22
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。AB=BC=CD=a
q
A
B
RA qa
Q
qa/2
+
– qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M qa2/2 +
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2
解：求支反力 左端点A：
RA
qa 2
;
RD
qa 2
Q qa ; M 0 2
解：
q — 均布力
10
一、弯曲内力：
§4–2
[举例]已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。
解：①求外力
梁的剪力和弯矩
a A
l
X 0, XA 0
mA 0 ,
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
M
qa2/4
+
q
B
RA
qa 4
; RB
7qa 4
x
7qa/4
x
25
[例9] 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。
Q(kN)
2 +
–
3
1m
2m
5kN
1
+
x
1m 1kN
M(kN·m)
1.25 1
q=2kN/m
+
x
_
1
26
§4–5 按叠加原理作弯矩图
2
22
[例5] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。AB=BC=CD=a
q
A
B
RA qa
Q
qa/2
+
– qa/2
qa2 CD
RD
– qa/2
M qa2/2 +
–
3qa2/8 qa2/2
qa2/2
解：求支反力 左端点A：
RA
qa 2
;
RD
qa 2
Q qa ; M 0 2
解：
q — 均布力
10
一、弯曲内力：
§4–2
[举例]已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。
解：①求外力
梁的剪力和弯矩
a A
l
X 0, XA 0
mA 0 ,
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
M
qa2/4
+
q
B
RA
qa 4
; RB
7qa 4
x
7qa/4
x
25
[例9] 已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。
Q(kN)
2 +
–
3
1m
2m
5kN
1
+
x
1m 1kN
M(kN·m)
1.25 1
q=2kN/m
+
x
_
1
26
§4–5 按叠加原理作弯矩图
工程力学之剪力图与弯矩图(PPT46页)
Fy＝0， FP－FQC＝0
M C＝0，
M
＋
C
M
－
A
FP
l＝0
FQC＝ FP
M
＝
C
FP
l
结果均为正值表明所假设 的C截面上的剪力和弯矩的 正方向是正确的。
MA＝0 MO=2FPl
F
P
DB
3、应用截面法确定D截面 上的内力分量
F左P 部A本分l例梁C中，所如选果l 择以的C、研究D剪截对力面象假和以都设弯右是截矩部C开均、分横为梁D截正截作面方面为上向以平的。
根据2-2截面右侧的外力计算Q2 、 M2 Q2 =+(q·1.5)－RB =12·1.5－29 =－11kN
M2 =－(q·1.5)·1.5/2+RB·1.5 =－(12·1.5)·1.5/2+29·1.5 = 30 kN·m
Q3 M3
Q2 RA
RA qa 2a qa
a
qa 4 3qa
2
2
A
通的过外上力述相计平算衡可，以因看而出可，以截直Q面接4上通的过q内一a 力侧 与杆RB该段截上面的3一外q4侧力a 杆直上接
RA
求得截面Q上3 的内力.
M4
5qa2 4
★ 可以直接通过截面一侧杆段上的横向力的代数和直 接求得截面上的剪力，通过一侧杆段上横向力对截面 的力矩以及力偶之代数和求得截面上的弯矩
梁横截面推上导应弯力曲非应均力匀和分变布形，公式强；度失效最先从 应力最大点处建发立生弯。曲其强强度度和计刚算度不设计仅方要法考。虑内力最 大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的“危险 点”
绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关， 剪应力的影响是次要的。
【全套】剪力图和弯矩图课件
一、弯曲的概念 1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴 线变成了曲线，这种变形称为弯曲。 2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁。
3
3. 工程实例
4
4. 对称弯曲：
横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
P
q
P
1
2
M 纵向对 称面
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
3. 支座简化
6
3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。如：桥梁 下的固定支座，止推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。如：游泳池 XA
MA
的跳水板支座，木桩下端的支座等。 7
YA
4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
Q2 q(x2 a L)
y
mB(Fi) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q(x2
a)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Q2
图（c）
15
§4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
弯矩图
M M (x) 的图线表示
16
3
3. 工程实例
4
4. 对称弯曲：
横截面对称的杆件发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。
P
q
P
1
2
M 纵向对 称面
非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。
3. 支座简化
6
3. 支座简化 ①固定铰支座
2个约束，1个自由度。如：桥梁 下的固定支座，止推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。
如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。
③固定端
3个约束，0个自由度。如：游泳池 XA
MA
的跳水板支座，木桩下端的支座等。 7
YA
4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
Q2 q(x2 a L)
y
mB(Fi) 0 ,
qL
qLx2
M2
1 2
q(x2
a)2
0
M2
1 2
q(x2
a)2
qLx2
2q 1
1a
2b
x
图（a）
B M2
x2
Q2
图（c）
15
§4–3 剪力方程和弯矩方程 ·剪力图和弯矩图
1. 内力方程：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
弯矩图
M M (x) 的图线表示
16
剪力图和弯矩图(史上最全面)
1.25 1
q=2kN/m
+
x
_
1
26
§4–5 按叠加原理作弯矩图
一、叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独
作用于结构而引起的内力的代数和。
Q ( P 1 P 2 P n ) Q 1 ( P 1 ) Q 2 ( P 2 ) Q n ( P n )
9
[例1]贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm，
钢的密度为： 7.8g/cm³，液体的密度为：1g/cm³,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。
解：
q — 均布力
10
§4–2 梁的剪力和弯矩
一、弯曲内力：
a
[举例]已知：如图，P，a，l。 A
求：距A端x处截面上内力。 l
Q Q(x) M M (x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图：
剪力图
Q Q(x) 的图线表示
弯矩图
M M (x) 的图线表示
16
[例2] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。
MO
YO YO
MO
L
P
解：①求支反力
Q(x) M(x)
x
YOP; M OPL ②写出内力方程
Q(x) M(x)
利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
38
三、 叠加原理： 多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单
独作用于结构而引起的内力的代数和。
Q ( P 1 P 2 P n ) Q 1 ( P 1 ) Q 2 ( P 2 ) Q n ( P n )
M ( P 1 P 2 P n ) M 1 ( P 1 ) M 2 ( P 2 ) M n ( P n )
剪力图和弯矩图(史上最全面)
极轴，q表示截面m–m的位置。
R
P
A
q
B
O
x
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
Q(q ) P1 Psinq (0 q )
N(q ) P2 Pcosq (0 q )
35
R
P
A
q
B
A
O
x
2PR
O
+ Q图
M图
B N图
–
+
O
P
O
P
M(q) Px P(R Rcosq) PR(1 cosq) (0 q )
起的内力的代数和。
Q(P1P2 Pn) Q1(P1) Q2(P2) Qn(Pn)
M(P1P2 Pn) M1(P1) M2(P2) Mn(Pn)
四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作
用下，Q图对称，M图反对称。
39
五、剪力、弯矩与外力间的关系
解：
q — 均布力
10
一、弯曲内力：
§4–2
[举例]已知：如图，P，a，l。 求：距A端x处截面上内力。
解：①求外力
梁的剪力和弯矩
a A
l
X 0, XA 0
mA 0 ,
RB
Pa l
Y
0,
YA
P(l a) l
XA A YA
P B
P B
RB
11
②求内力——截面法
Y
0,
Q YA
P(l a) l
步骤： ①分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； ②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。
o材料力学第5章-剪力图与弯矩图_807006720
所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以 及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
q(x) FP2
M1
FP4 M2
FP1
FP3
FP5
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数
或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的梁
分别用一个方程描述，因而 FRB 无需分段建立剪力方程和弯
矩方程。
3．建立Oxy坐标系：以梁的左端 A为坐标原点，建立Oxy坐标系
第5章 剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
y
q
解：4．确定剪力方
A
O
x
l
FRA
B x 程和弯矩方程
FRB 对于坐标为x的截面，将其
q
M(x)
q
左侧的均布载荷和约束力向
y
O
A
l
FRA
q
FQ
x
＝-
ql 2
+qx
x
C
B
l
FRB
M x＝- ql x+ qx2
22
将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到
dFQ x＝q
dx
dM
dx
x ＝-
ql 2
qx＝FQ
d2M dx2
＝q
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
第5章 剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图 大体相似，但略有差异。主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应用力系简化的方法确定控制面上的剪力和弯矩数值。 建立FQ - x 和M – x 坐标系，并将控制面上的剪力和弯 矩值标在相应的坐标系中。
q(x) FP2
M1
FP4 M2
FP1
FP3
FP5
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数
或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的梁
分别用一个方程描述，因而 FRB 无需分段建立剪力方程和弯
矩方程。
3．建立Oxy坐标系：以梁的左端 A为坐标原点，建立Oxy坐标系
第5章 剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
y
q
解：4．确定剪力方
A
O
x
l
FRA
B x 程和弯矩方程
FRB 对于坐标为x的截面，将其
q
M(x)
q
左侧的均布载荷和约束力向
y
O
A
l
FRA
q
FQ
x
＝-
ql 2
+qx
x
C
B
l
FRB
M x＝- ql x+ qx2
22
将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到
dFQ x＝q
dx
dM
dx
x ＝-
ql 2
qx＝FQ
d2M dx2
＝q
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
第5章 剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图 大体相似，但略有差异。主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应用力系简化的方法确定控制面上的剪力和弯矩数值。 建立FQ - x 和M – x 坐标系，并将控制面上的剪力和弯 矩值标在相应的坐标系中。
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精选
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
例 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
aF
b
A
B
x
C
FA
l
FB
解：1、求支反力
FA
Fb l
FB
Fa l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
精选
aF
b
A
x
C
FA
l
B
FA
Fb l
FB
FB
Fa l
AC段 A
M(x)
FSxFl b0xa
FA
x
FS(x)
MxFxb0xa
l
F Sx F BF l a axlM(x)
MxFB(lx)
Falx
l
FS(x)
axl精选
CB段 B FB
3、作剪力图和弯矩图
aF
b
A
x
C
FA
l
Fb
FS
l
Fb l
M
精选
FS1x
Fb l
B
FS2x
Fa l
FB
M1x
Fbx l
M2(x)Fl alx
x
Fab x
l
aF
b
A
x
C
l
Fb
FS
Fs(x)qx, (0xl)
矩随截面位置变化的函数式
显示剪力和弯矩随截面位移的 变化规律的图形则分别称为剪力
M(x)1qx2, (0xl)
Fs
2
x
图和弯矩图。
(-)
ql
注意： 不能用一个函数表
0.5ql 2
达的要分段，分段点为：集中力
作用点、集中力偶作用点、分布
力的起点、终点。
精选
x
M
FAY
MA
L
M FN
M FN
FAy
FS
FS
FBy
截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。
M(+)
M(+)
M(–)
左顺右逆为正；反之为负
精选
M(–)
内力方向规定
FQ FN
FN
FQ
精选
§5-2 剪力和弯矩及其方程 例题5-1
FAy 2. 用截面法研究内力
FSE
FAy
求图示简支梁E 截面的内力
解：1. 确定支反力
Fy 0 FAyFBy2F
MA0
FBy FBy 3aF a2Fa
F FBy 3
FAy
5F 3
Fy 0
5F 2FFSE 3
FSE
F 3
ME
ME 0 2Fa2ME53F32a
精M选 E
3Fa 2
§5-2 剪力和弯矩及其方程
FSE O
FAy
ME
O
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
ME
分析右段得到：
FBy
l
* 在 集中力F 作用 处，剪力图有突变， 突变值为集中力的 大小；弯矩图有转 折
Fb
x
l
Fab x
M
l
abl/2时， MmaxF4精l为 选 极大值。
例 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
a
Me
b
A
B
和弯矩图。
q
A
B
l
FA
x
解：1、求支反力
FA
FB
ql 2
FB
2、列剪力方程和弯矩方程
FSxFAqxq2lqx
M xFAxq x2 xq2lxq22x 精选
3、作剪力图和弯矩图
q A
l
FS
B
FS
x
qlq 2
x
Mxqlxqx2
22
FS,max
ql 2
ql 2 ql2 8
M
l/2
Mmax
ql2 8
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
FS剪力，平行于横
截面的内力合力
M 弯矩，垂直于
横截面的内力系的
精选
FBy 合力偶矩
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
M FN
FAy
FS
FS
FBy
截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针 转向时，剪力为正；反之为负。
Fs(+)
Fs(–) Fs(+) 左上右下为正；反之为负
精选
Fs(–)
§5-2 剪力和弯矩及其方程
扭 杆：承受扭矩 墙
桥板 梁：承受横向力
楼板
为什么梁特别重要？ 地球引力场方向 + 人类需要空间
精选
§5-1 平面弯曲的概念及工程实例
一、弯曲实例 工厂厂房的天车大梁：
精选
火车的轮轴：
F
F
F
F
精选
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
精选
屋顶大梁上的孔为什么开在中间？上、下两 边各开一个半圆孔可精选以吗？
工程中的弯曲构件
梁为什么做成变截面的？ 梁为什么可以开孔？ 孔开在哪里最合理?
精选
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
P
q
M
RA
NB
精选
常见弯曲构件截面
精选
目录
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
A
x
F(x)
FL
M(x)
[例] 列出梁内力方程并画出内力图。
F B
解：①求支反力
FAY F; M AFL
②写出内力方程
Fs(x)FAYF (0xl)
F
M(x)FAYxMA
F(xL) (0xl)
x
③根据方程画内力图
x
精选
注意：弯矩图中正的弯矩值
绘在x轴的下方(即弯矩值绘
在弯曲时梁的受拉侧)。
例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
截面上的弯矩等于截面任
ME
一侧外力对截面形心力矩的代
FAy
2F
数和。
ME
ME
5F 3a 32
2F
a 2
左顺右逆为正；反之为负
精选
3 Fa 2
法则 计算任意截面的剪力和弯矩
任 意 截 面 的 剪 力 一 侧 横 向 力 代 数 值
横向力：载荷和约束反力 分布力和集中力
第五章 梁的内力 §5-1 平面弯曲的概念及工程实例 §5-2 静定梁的分类（三种基本形式） §5-3 剪力方程与弯矩方程 §5-4 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 §5-5 按叠加原理作弯矩图
精选
构件 Component, Structural member 杆 bar 梁 beam
拉压杆：承受轴向拉、压力
精选
目录
静定梁的分类（三种基本形式）
1、悬臂梁：
q(x)— 分布力
2、简支梁：
L M — 集中力偶
3、外伸梁：
L q — 均布力
F — 集中力
L 精选
L
（L称为梁的跨长）
精选
§5-2 剪力和弯矩及其方程
M FN
FAy
FS
M FN
FS
3
Fx 0 FN 0
Fy 0 FSFAyF1
FMc0 M F Ax yF 1(xa)
方向：左上右下为正， 反之为负
任 意 截 面 的 弯 矩
一 侧 外 力 对 截 载荷和约束反力
方向：左顺右逆为正，
分布力、集中力和集中力偶
反之为负
精选
三、剪力方程、弯矩方程：
q
剪力方程
FSFS(x) A
B
x
弯矩方程 MM (x)
L
反映梁的横截面上的剪力和弯
Fy 0 FSEFBy0
F
FBy
FSEFBy3
Mo 0
3a ME FBy 2 Fa
3Fa
精选
ME 2
§5-2 剪力和弯矩及其方程
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
FSE
FSE
5F 3
2F F 3
左上右下为正；精选反之为负
§5-2 剪力和弯矩及其方程