工程图学与CAD基础教程第6章 几何体的构型及其投影

6.2 基本几何体概述
几何体的三面投影
三面投影之间的投影规律为： 正面投影与水平投影——长对正； 正面投影与侧面投影——高平齐；
水平投影与侧面投影——宽相等。
常见的基本几何体 平面基本体 曲面基本体
6.3 平面几何体的投影及其截切
绘制平面几何体的三面投影，就是把围成它的平 面、棱线和顶点绘制出来，可见的投影用粗实线，不 可见的投影用虚线。
【例6-4】已知正三棱锥表面上点M的正面投影m′， 点N的水平投影n，分别求其另外两个投影。 分析：因为m′可见，所 以点M位于棱面SAB上， 而棱面SAB为一般位置 平面，因而必须利用辅 助直线求解。
解法1：过平面上的两 点作辅助直线，即连 接s′、m′并延长交 a′b′于1′，并求出s1。 m在s1上，由m′可求 得m，再根据投影规 律求得m″。
解法2：过平面上的一点作面 上一已知直线的平行线，即 过m′作2′3′∥a′b′， 2 3∥a b(2″3″∥a″b″)，同理 可求得m和m″。 点N位于棱面SAC上，利 用积聚性，求n″，再由n和n″ 可求得n′。 判断可见性：棱面SAB的水 平投影和侧面投影均可见， 故点m和m″也可见。棱面 SAC的正面投影不可见，故 点（n′）也不可见。
4. 棱柱的截切
例：求正六棱柱被侧垂面P截切后的投影。
分析：截平面P与正六棱 柱的各个棱线均相交， 交线为六边形，其六个 顶点A、B、C、D、E、 F为截平面P与正六棱柱 的六条棱线的交点。
作图：1.用作图线画出正六棱柱截切前完整的正面投影。 2.标出截交线的侧面投影和水平投影。 3. 求出各点的正面投影。 4.连线并判断可见性。 5.整理轮廓线。
例：已知正六棱柱表面上点M、点N和点K的正面投 影m′、n′ 和k′，点P的水平投影p，分别求出其另外 两个投影,并判断可见性。
3. 截切的基本概念
用平面与几何体相交， 截去体的一部分——截切。 用以截切立体的平面——截平面。
截平面与立体表面的交线 ——截交线。
截交线的性质：
1. 截交线是截平面与几何体表面 （求截交线 的共有线。截交线上的点是截 的方法） 平面与几何体表面的共有点。 2.是封闭的平面图形。 3.截交线的形状取决于被截几何体的形状及 截平面与几何体的相对位置。 截交线的投影的形状取决于截平面与投影 面的相对位置。
第6章 几何体的构型及其投影
6.1 几何体的构型方法 6.1.1 边界表示法
边界表示法是一种以物体 的边界表面为基础，定义和描 述几何形体的方法。 它用点、边、面、环以及 它们之间相互的邻接关系定义 三维实体，形体表面、边界线、 交线等都显式给出。
6.1.2 构造实体几何法 其基本思想是：先 定义一些常用体素，然 后用集合运算并、交、 差把体素修改成复杂形 状的形体。 常用的造型体素有长 方体、圆柱体、球体、 圆锥、圆环、楔、棱锥 体等。实体的构造是体 素间进行交、并、差集 合运算的过程。
例：求正六棱柱被正垂面P和侧平面Q截切后的投 影。 分析：截平面P只与五条 棱线相交，所得交点投 影可以用棱线法求出。 截平面P、Q均与两 棱面相交，因此点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影须用 棱面法求出。
作图过程： 1. 用作图线画出正六棱 柱截切前完整的侧面投 影。 2. 在正面投影中标出截交 线上各点的投影。 3. 求出各点的水平投影。 再求出各点的侧面投影。 4. 截交线的三面投影均 可见，用粗实线将各点 的同面投影依次连接起 来。 5. 画出P和Q的交线的三 面投影。 6. 整理轮廓。
4. 棱柱的截切
关键是正确地画出截交线的投影。
（1）求截交线的两种方法： ★ 求各棱线与截平面的交点→棱线法。
★ 求各棱面与截平面的交线→棱面法。
（2）求截交线的步骤： ★ 空间及投影分析 ☆ 截平面与体的相对位置 ☆ 截平面与投影面的相对位置 ★ 画出截交线的投影： 分别求出截平面与棱面的交线，或截平 面间的交线，连接成多边形，并判别可见性。 确定截交线 的投影特性 确定截交 线的形状
6.3.2 棱锥的投影及其截切 1. 正三棱锥的三面投影 分析： 底面ABC——水平面 棱面SAC ——侧垂面 棱面SAB、SBC ——一般位置面
作图： 1.画出底面ABC的三面投影。
2.画出棱线SA、SB、SC的三面投影。
2. 棱锥的表面取点 正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位 置平面。属于特殊位置平面的点的投影，可利用该 平面投影的积聚性作图；属于一般位置平面的点的 投影采用辅助线法作图，即先在平面内取辅助直线， 再在辅助直线上取点。 棱锥表面上取辅助线的方法有两种： （1）过平面上的两点作直线，则此直线在平面 上，而直线上的点必在平面上。 （2）过平面上的一点作面上一已知直线的平行 线，则此平行线在平面上，其上的点必在平面上。
立体的差集
立体的并集
立体的交集
6.1.3 扫描法 1．平移扫描法 平移扫描的运动轨迹通常是一条直线。 如果扫描用的是一个平面图形，则该平面图 形就是待构造实体的一个剖面，再指定平移的方 向和距离就能生成三维实体，故平移扫描只能构 造具有相同剖面形状的实体。
2．旋转扫描法 当一个平面图形绕着与其共面的轴旋转一 角度时，即扫描出一个实体。旋转扫描只能构 造具有轴对称的实体。
6.3.1 棱柱的投影及其截切
1. 正六棱柱的三面投影 分析： 顶面、底面——水平面 前、后棱面——正平面 其余棱面——铅垂面
作图：1.画出正面投影和侧面投影的对称线，水平投影的对称中心线。 2.画出正六棱柱的水平投影——正六边形。 3. 按照投影规律和高度画出其正面投影和侧面投影 。
2. 棱柱的表面取点 平面几，求出它的其余两个投影。 正六棱柱的各表面都是特殊位置平面，其表面 取点可利用平面积聚性原理作图求解。
3. 棱锥的截切 例：求作带切口的正三棱锥 的投影。 分析： 水平面P与棱线SA、SB分别 相交于点Ⅵ、Ⅴ，与棱面 SAC、SAB、SBC相交；正 垂面Q与棱线SA、SB分别相 交于点Ⅰ、Ⅱ，与棱面SAC、 SAB、SBC相交；两截平面 的交线Ⅲ Ⅳ为正垂线。