圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线大题11，向量内积为定值，点乘双根法更便捷
这里的计算使用点乘双根法更便捷哦：
【方法点睛】本题的关键点就在于
【方法点睛】证明向量内积为定值的方法与前面的题目中证明方法大同小异：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
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+ = y 圆锥曲线齐次式与点乘双根法一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值x 2 y 2例 1：Q 1 , Q 2 为椭圆 2b 2 + b2 线OD ，求 D 的轨迹方程.= 1上两个动点，且OQ 1 ⊥ OQ 2 ，过原点O 作直线Q 1Q 2 的垂解法一（常规方法）：设Q 1 (x 1 , y 1 ),Q 2 (x 2 , y 2 ) ， D (x 0 , y 0 ) ,设直线Q 1Q 2 方程为 y = kx + m ，⎧ y = kx + m⎪联立⎨ x 2 ⎪⎩ 2b 2 y 2b2 1 化简可得:(2b 2k 2 + b 2 )x 2 + 4kmb 2 x + 2b 2 (m 2 - b 2 ) = 0 ，所以x 1x 2 = 2b 2 (m 2 + b 2 ) 2b 2k 2 + b 2, y 1 y 2 = b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2b 2k 2 + b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 所以2b 2 (m 2 + b 2 ) b 2 (m 2 - 2b 2k 2 ) 2(m 2 - b 2 )m 2 - 2b 2k 2x 1x 2 + y 1 y 2 = 2b 2k 2 + b 2 + 2b 2k 2 + b 2 = 2k 2+1 + 2k 2 +1 =0∴3m 2 = 2b 2 (1+ k 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y对比于1 2 0y 0 y 0⎨ 20 00 0y y ⎧- x 0 = k y = kx + m ，则⎪ y 0x 代入* 中，化简可得： x 2 + y 2= 2b 2. 3 ⎪ 0 + y = m ⎪ y 0 ⎩ 0解法二（齐次式）：⎧ mx + ny= 1 ⎧ mx + ny = 1 ⎪ ⎪ 设直线Q 1Q 2 方程为 mx + ny = 1，联立⎨ x 2 + y 2 =⇒ ⎨ x 2 + y 2- =⎪⎩ 2b2b21⎪⎩ 2b2 b21 0x 2 y22x 2 y 2 2 2 2 22b 2 + (m x + ny ) b 2= 0 化简可得: 2b 2 + m x b 2- n y- 2mnxy = 0 整理成关于 x , y x , y 的齐次式： (2 - 2b 2n 2 ) y 2 + (1- 2m 2b 2 ) x 2 - 4mnb 2xy = 0 ，进而两边同时除以 x 2，则2 2 2 2 2 21- 2m 2b 2(2 - 2b n )k - 4mnb k +1- 2m b= 0 ⇒ k 1k 2 =2 - 2b 2n 21- 2m 2b 2因为OQ 1 ⊥ OQ 2 OQ 1 ⊥ OQ 2 所以 k 1k 2 = -1，2 - 2b 2n2= -1∴3 = 2b 2 (m 2 + n 2 ) *又因为直线 Q Q 方程等价于为 y - y = - x0 (x - xx x 2) ， 即 y = - 0 x + 0 + y 对比于1 2⎧x 0= my 0 y 0⎪ x 2 + y 22mx + ny = 1，则⎨ 0 0y 代入* 中，化简可得： x 2+ y 2= b 2 .3 0 = n ⎪ x 2 + y 2 ⎩ 0 0例 2：已知椭圆 x 2 + 24= 1，设直线l 不经过点P (0,1) 的直线交于 A , B 两点，若直线 PA , PB 的斜率之和为-1，证明：直线l 恒过定点.⎩ ⎩解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标 新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(0,1) ⇒ (0, 0)⎧ x ' = x ⎧ A → A ' 所以⎨ y ' = y -1 ⇒ ⎨B → B '原来 k + k = -1⇒y 1 -1 + y 2 -1 = -1 则转换到新坐标就成为： y 1 ' + y 2 '= -1PAPBx x x ' x ' 1 21 2即k 1 '+ k 2 ' = -1设直线l 方程为： mx '+ ny ' = 1原方程： x 2 + 4 y 2 = 4 则转换到新坐标就成为： x '2 + 4( y '+1)2= 4展开得： x '2 + 4 y '2+ 8 y ' = 0⎨⎪x' ⎩ ⎩ 构造齐次式： x '2 + 4 y '2+ 8 y '(mx '+ ny ') = 0整理为： (4 + 8n ) y '2 + 8mx ' y '+ x '2= 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n )k '2+ 8mk '+1 = 0所以 k '+ k ' = -8m= -1 所以 2m - 2n = 1 ⇒ m = n + 1124 + 8n 21 x '而 mx '+ ny ' = 1 ∴(n + )x '+ ny ' = 1 ⇒ n (x '+ y ') + -1 = 0 对于任意 n 都成立.2 2⎧x '+ y ' = 0则： ⎪⇒ -1 = 0 ⎩ 2⎧ x ' = 2 ⎨ y ' = -2，故对应原坐标为⎧ x = 2 ⎨ y = -1所以恒过定点(2, -1) .x 2例 3：已知椭圆y 2+ = 1，过其上一定点 P (2,1) 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭 8 2圆于 A , B 两点，证明：直线 AB 斜率为定值.解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：旧坐标新坐标(x , y ) ⇒ (x ', y ')即(2,1) ⇒ (0, 0)所以⎧x ' =x - 2⇒⎧A →A '⎨y '=y -1⎨B →B '⎩⎩原来k +k = 0 ⇒ y1-1+y2-1= 0 则转换到新坐标就成为：y1'+y2'= 0PA PB x - 2 x -1 x ' x '1 2 1 2即k1 '+k2' = 0设直线 AB 方程为： mx '+ny ' = 1原方程： x2 + 4 y2 = 8 则转换到新坐标就成为： (x '+ 2)2 + 4( y '+1)2 = 8 展开得： x '2 + 4 y '2 + 4x '+ 8 y ' = 0构造齐次式： x '2 + 4 y '2 + 4x '(mx '+ny ') + 8 y '(mx '+ny ') = 0整理为： y '2 (4 + 8n) +x ' y '(4n + 8m) + (1 + 4m)x '2 = 0两边同时除以 x '2 ，则(4 + 8n)k '2 + (4n + 8m)k '+1+ 4m = 0所以 k '+k ' =-4n + 8m= 0 所以 n =-2m1 2 4 +8n1而mx '+ny ' = 1 ∴mx '+ (-2m) y ' = 1 ⇒mx - 2my -1 = 0 .所以k =21平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值.21 2 1 1 2 2 1 2 1 21 二，点乘双根法例 4：设椭圆中心在原点O ，长轴在 x 轴上，上顶点为 A ，左右顶点分别为 F 1 , F 2 ，线段OF 1 ,OF 2 中点分别为 B 1 , B 2 ，且△AB 1B 2 是面积为 4 的直角三角形.（1） 求其椭圆的方程（2） 过 B 1 作直线l 交椭圆于 P , Q 两点，使 PB 2 ⊥ QB 2 ，求直线l 的方程.x 2y 2解：（1） + = 20 4（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为： y = k (x + 2) ， P (x 1, y 1 ), Q (x 2 , y 2 )因为 PB ⊥ QB，则，22PB 2 QB 2 =0所以(x - 2, y )(x - 2, y ) = 0 ⇒ (x - 2)(x - 2) + k 2(x + 2)(x + 2) = 0 *⎧ y = k (x + 2) ⎪2 2 2现联立⎨ x 2+ y 2 = ⇒ x ⎩ 20 4+ 5k (x + 2) - 20 = 0则方程 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = 0 可以等价转化(1+ 5k 2)( x - x )( x - x ) = 012即 x 2 + 5k 2 (x + 2)2 - 20 = (1+ 5k 2)(x - x )(x - x )令 x = 2 ， 4 + 80k 2- 20 = (1+ 5k 2)( x 1 - 2)( x 2 - 2) ⇒ ( x 1 - 2)( x 2 - 2) =80k 2 -16 1+ 5k 2令 x = -2 ， 4 + 0 - 20 = (1+ 5k 2)( x + 2)( x + 2) ⇒ ( x + 2)( x + 2) = -161 2 1 21+ 5k 21结合(x1 - 2)(x2- 2) +k (x1 + 2)(x2 + 2) = 0 *化简可得：80k 2 -161+ 5k 2+-16= 01+ 5k 280k 2 -16k 2 -16 = 0 ⇒ 64k 2 =16 ⇒k 2 =1∴k =±1 4 2所以直线l 方程为： y =± 1(x + 2) . 22。

数学分析：点乘双根法知识与方法1．预备知识（二次函数的两根式）：一般地，设=++≠f x ax bx c a 02)()(，若一元二次方程++=ax bx c 02有两根x 1和x 2，则必有=−−f x a x x x x 12)()()(， 即++=−−ax bx c a x x x x 122)()(.2．点乘双根法：若我们将直线与圆锥曲线方程联立，得到关于x 的一元二次方程++=ax bx c 02≠a 0)(，并且假设该方程的两根为x 1和x 2，现在我们要计算−−x t x t 12)()(这个量，此时当然可以将其展开，利用韦达定理来进行计算，但更简单的操作方法是利用二次函数的两根式，得出++=−−ax bx c a x x x x 122)()(，并在两端同时令=x t ，即可得到++=−−at bt c a t x t x 122)()(，从而−−=++ax t x t at bt c122)()(，这样就求出了我们想要的量，这种技巧叫做“点乘双根法”，其一般的步骤是“化两根式→赋值→求得结采”.【例题】已知抛物线=>E y px p :202)(的焦点为F ，A y 1,0)(>y 00)(为抛物线E 上一点，=AF 45 （1）求p 和y 0的值；（2）过F 作两条互相垂直的直线与抛物线E 交于另外两点B 和C ，证明：直线BC 过定点. 【解析】（1）由题意，=+=AF p 2415，解得：=p 21，所以抛物线C 的方程为=y x 2，将A y 1,0)(代入=y x 2得：=y 102，又>y 00，所以=y 10. （2）解法1：显然直线BC 不与坐标轴垂直，可设其方程为=+x my t ≠m 0)(，设B y y ,112)(，C y y ,222)(，易得直线AB 和AC 斜率均存在，因为⊥AB AC ，所以−−⋅=−−−y y y y 11111122212，从而++=−y y 11112)()(①，联立⎩=⎨⎧=+y xx my t2消去x 整理得：−−=y my t 02②，因为y 1和y 2是方程②的两根，所以−−=−−y my t y y y y 122)()(，令=−y 1得：+−=−−−−m t y y 11112)()(，所以++=+−y y m t 11112)()(代入式①得：+−=−m t 11，所以=+t m 2，故直线BC 的方程为=++x my m 2，即=++x m y 12)(，所以直线BC 过定点−2,1)(.解法2：显然直线BC 不与坐标轴垂直，可设其方程为=+x my t ≠m 0)(，设B x y ,11)(，C x y ,22)(，联立，消去x 整理得：①，则和是方程①的两根，所以，令=y 1得：−−=−−m t y y 11112)()(，所以−−=−−y y m t 11112)()(联立消去y 整理得：−++=x t m x t 20222)(②，则x 1和x 2是方程②的两根，所以−++=−−x t m x t x x x x 212222)()()(令=x 1得：−−+=−−t m t x x 12111222)()(，所以−−=−−+x x t m t 11121222)()(，由（1）知点A 的坐标为1,1)(，所以=−−AB x y 1,111)(，=−−AC x y 1,122)(， 由题意，⊥AB AC ，所以⋅=−−+−−=AB AC x x y y 111101212)()()()(， 从而−−++−−=t m t m t 121022)()(整理得：+−−−=t m t m 120)()(，所以=−t m 1或=+t m 2， 若=−t m 1，则直线BC 的方程为=+−x my m 1 即=−+x m y 11)(，显然直线BC 过点A ，不合题意， 所以=+t m 2，从而直线BC 的方程为=++x my m 2， 即=++x m y 12)(，故直线BC 过定点−2,1)(.【反思】当涉及到−−x t x t 12)()(或−−y t y t 12)()(这种结构计算时，就可以考虑使用点乘双根法，这是一种能够降低计算复杂度的优越算法.强化训练1.（★★★★）椭圆+=>>a ba b x y 102222)(的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、B ，离心率为，=AB .（1）求椭圆的方程；（2）过F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，若⋅+⋅=AC DB AD CB 8，求k 的值. 【解析】（1）由题意，==AB a 2=a又椭圆的离心率eb ， 故椭圆的方程为+=x y 32122. （2）由（1）可得A )(，B)，−F 1,0)(，所以直线l 的方程为=+y k x 1)(，设C x y ,11)(，D x y ,22)(，则=+AC x y 3,11)(，=−−DB x y 3,22)(，=+AD x y 3,22)(，=−−CB x y 3,11)(，从而⋅+⋅=+−−++−−AC DB AD CB x x y y x x y y 333312122112)()()()(=−+−+−=−−=−−++x x x x y y x x y y x x k x x 3362262211112212112121212122)()(，由题意，⋅+⋅=AC DB AD CB 8，所以−−++=x x k x x 62211812122)()(，故+++=−x x kx x 11112122)()(①，联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=+x y y k x 321122)(消去y 整理得：+++−=k x k x k 3263602222)(②，因为x 1和x 2是方程②的两根，所以+++−=+−−k x k x k k x x x x 32636321222222)()()()(③，在③中取=−x 1可得：+++=−k x x 32114212)()(，又由方程②的韦达定理，+=−k x x k 32362122，代入①得：⎝⎭++ ⎪+⋅−=−⎛⎫−k k k k 323213642222，解得：=k2.（★★★★）已知椭圆+=C x y 42:122和点P 1,1)(，过点P 且斜率为2的直线与椭圆C 交于A 、B 两点.（1）求⋅PA PB 的值；（2）直线l 过点P 与椭圆C 交于不与A 、B 重合的M 、N 两点，若⋅=⋅PA PB PM PN ，求直线l 的方程.【解析】（1）由题意，直线AB 的方程为−=−y x 121)(，即=−y x 21，设A x y ,11)(，B x y ,22)(联立⎩⎪+=⎨⎪⎧=−x y y x 4212122消去y 整理得：−−=x x 98202①，则x 1和x 2是方程①的两根，所以−−=−−x x x x x x 9829122)()(，令=x 1可得−−=−x x 911112)()(，故−−=−x x 911112)()(从而⋅=−−=−−=PA PB x x x x 91151151212)()(.（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为=x 1，代入椭圆C的方程可求得=y所以⎝⎭⎪ ⎪⋅=−=≠⋅⎛⎫PM PN PA PB 2111，不合题意， 当直线l 斜率存在时，设其方程为−=−y k x 11)(，即=+−y kx k 1，设M x y ,33)(，N x y ,44)(， 联立⎩⎪=+−+=⎨⎪⎧x y y kx k142122消去y 整理得：++−+−−=k x k k x k 12412140222)()()(②，则x 3和x 4是方程②的两根，所以++−+−−=+−−k x k k x k k x x x x 124121412342222)()()()()()(令=x 1可得++−+−−=+−−k k k k k x x 1241214121134222)()()()()()(， 所以+−−=−k x x 12111234)()(从而+⋅=−−=+⋅−−=+k PM PN x x k x x k 121111112343422)()()(，因为⋅=⋅PA PB PM PN所以+=+k k 1291522，解得：=±k 2，因为M 、N 不与A 、B 重合， 所以≠k 2，故=−k 2，从而直线l 的方程为=−+y x 23.。

1一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y b b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于2y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=. 解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n -=-- 22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0220002200x mx y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=. 例2：已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.3解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(0,1)(0,0)⇒所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒+=-则转换到新坐标就成为：1212''1''y y x x +=- 12''1k k +=-即设直线l 方程为：''1mx ny +=原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=4展开得：22'4'8'0x y y ++=构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以2'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=所以128''148m k k n +=-=-+所以12212m n m n -=⇒=+而''1mx ny +=1'()''1('')1022x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0'2''2102x y x x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：5旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(2,1)(0,0)⇒所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩ 原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒+=--则转换到新坐标就成为：1212''0''y y x x += 12''0k k +=即设直线AB 方程为：''1mx ny +=原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=两边同时除以2'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=所以1248''048n mk k n++=-=+所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1'2'10mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12.6二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--=7即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：22280161601515k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.。

一、圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值且OQ 11OQ 2，过原点O 作直线Q 1Q 2的垂D (X, V0)，设直线 Q 1Q 2 方程为 V= kx +m ，V = kx + m X 2 V 2 化简可得: ——+ — = 1 〔2b 2 b 2(2b 2k 2 + b 2)x 2 + 4kmb 2x + 2b 2(m 2 一b 2) = 0，所以2b 2(m 2 + b 2)b 2(m 2 -2b 2k 2)解法二（齐次式）:w r k r第十讲 锥曲线齐次式与点乘双根法V = kx +m ，x]—0-二kV代入*中， 化简可得: x 2 -0- + V = mV 0x x 2V = --0-x + T- + V 对比于V VX 2 V 2 一例1：4%为椭圆乐+b=1上两个动点,线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设Q ",V j Q 2a 2,V 2）x 2 y 2 x 2 y 2----------- 1 ---------(mx + ny )2 = 0 化简可得 --- 1 ------------ m 2x 2 一 n 2y 2 一 2mnxy = 02 b 2 b 22 b 2 b 2整理成关于 X , J X , J 的齐次式：(2 - 2b 2n 2)y 2 + (1 - 2m 2b 2)x 2 - 4mnb 2xy = 0，进而两边同时除以x 2，则1 -2 m 2 b 2(2 一 2b 2n 2)k 2 一 4mnb 2k +1 一 2m 2b 2 = 0 n k k = ---------1 2 2 - 2 b 2 n 2因为OQ 1 OQ OQ 1 OQ 所以kk =—1:.3 = 2b 2(m 2 + n 2)・・・*设直线Q 1Q 2方程为mx + ny=1，又因为直线Q1Q2方程等价于为y-y 0 =-x0- (x - x )y0x x 2y = -i x + t- + y对比于mx + ny = 1，则<x--------- 0—x 2 + y 0 (y2i代入*中，化简可得：x 2 + y 2 = -b2. x 2 , ____ __ .一例2：已知椭圆了+y2 =1，设直线,不经过点P(0，D的直线交于A，B两点若直线PA, PB的斜率之和为-1，证明：直线/恒过定点.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x' py '，如图所示:即 k 「+ k 2' ―-1设直线l 方程为：mx '+ ny ' = 1原方程：X 2+ 4y 2 = 4则转换到新坐标就成为：x '2 + 4(y '+1)2 = 4 展开得：x '2 + 4y '2 + 8y' = 0构造齐次式：x '2 + 4y '2 + 8y '(mx '+ ny ') = 0 整理为：(4 + 8n )y '2 + 8mx'y '+ x '2 = 0 两边同时除以 x '2，则(4 + 8n )k '2 + 8mk '+1 = 08 m 1所以 k + k = ---- = —1 所以 2 m — 2 n — 1 n m — n + —1 2 4 + 8 n 2 , ,< ,1 ............................................. x’ “八而 mx + ny = 1「. (n + -)x + ny = 1 n n (x + y ) + --1 = 0 对于任意 n 都成立.x 2 y 2 ~ _ _例3：已知椭圆7 + 4- = 1，过其上一定点尸(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭所以原来 k pA +k pB =T ny -1, y -1 —t —+——x1—-1则转换到新坐标就成为：十,二一1 12x'+ y' — 0x ' n --1 — 0 [2x' = 2 t c ，故对应原坐标为 y =-2x = 2 1所以恒过定点(2,-1). y = -1即(0,1) n (0,0)8 2圆于A ,B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系x' py '，如图所示:旧坐标 新坐标即(2,1) n (0,0)所以原来『女。

用齐次式解圆锥曲线定值问题的注意事项齐次式解圆锥曲线定值问题是高等数学中的一个重要内容，它是解析几何的一个重要分支。

在解决定值问题时，我们需要注意一些事项，这些事项对于正确解题非常重要。

本文将从圆锥曲线的概念、齐次式解题的基本原理和注意事项等方面进行介绍。

一、圆锥曲线的概念圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

圆锥曲线是通过平面和圆锥体的相交而成的曲线，它具有很多重要的数学性质和应用。

在圆锥曲线中，椭圆、双曲线和抛物线都可以用二次方程的形式表示，而圆则有特殊的表示形式。

在解定值问题时，我们主要关注的是椭圆、双曲线和抛物线。

二、齐次式解题的基本原理在解析几何中，齐次式是解决几何问题的一种基本方法。

齐次式解题的基本原理是将空间中的几何问题转化为代数问题，通过代数的方法来求解几何问题。

齐次式解题的一个核心思想是将几何问题转化为代数问题，然后用代数的方法来解决问题。

对于圆锥曲线定值问题，我们通常采用齐次式解题的方法。

通过齐次式的方法，我们可以将定值问题转化为一个齐次方程组的解法问题，然后通过求解齐次方程组来得到几何问题的解答。

三、注意事项在使用齐次式解题的过程中，我们需要注意以下几个方面。

1.确定问题的类型和条件在解决定值问题时，我们首先要确定问题的类型和条件。

例如，在解决椭圆、双曲线和抛物线的定值问题时，我们要确定问题的类型，然后根据问题的条件来确定解题的方法和步骤。

不同类型的圆锥曲线问题有不同的解题方法和步骤，我们需要根据具体问题的条件来确定解题的思路。

2.转化为标准形式在使用齐次式解题的过程中，我们通常要将问题转化为标准形式。

例如，在解决椭圆的定值问题时，我们通常要将椭圆的方程转化为标准形式，然后再利用齐次式解题的方法来求解问题。

转化为标准形式可以使问题更清晰地呈现在我们面前，有利于我们进行后续的解题过程。

3.利用齐次式解题的方法在解决定值问题时，我们要善于利用齐次式解题的方法。

一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b+-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=-- 22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0220002200x m x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.例2：已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(0,1)(0,0)⇒所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒+=-则转换到新坐标就成为：1212''1''y y x x +=- 12''1k k +=-即设直线l 方程为：''1mx ny +=原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=展开得：22'4'8'0x y y ++=构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以2'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=所以128''148m k k n +=-=-+所以12212m n m n -=⇒=+而''1mx ny +=1'()''1('')1022x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0'2''2102x y x x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(2,1)(0,0)⇒所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒+=--则转换到新坐标就成为：1212''0''y y x x += 12''0k k +=即设直线AB 方程为：''1mx ny +=原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=两边同时除以2'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=所以1248''048n mk k n++=-=+所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12.二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：22280161601515k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.。

圆锥曲线齐次化
圆锥曲线是数学中的一个重要分支，它在几何、代数、三角学、物理学等多个领域都有广泛的应用。

而圆锥曲线齐次化是圆锥曲线理论中的一种重要方法，它可以将圆锥曲线方程转化为标准形式，从而方便我们对其进行研究和应用。

圆锥曲线齐次化的基本思想是通过一系列的坐标变换，将圆锥曲线方程转化为标准形式。

具体来说，我们可以将圆锥曲线方程中的变量视为矩阵，然后通过一系列的矩阵变换，将原方程化为标准形式。

这个过程可以通过一系列的代数运算来实现。

圆锥曲线齐次化的具体步骤如下：
1、将圆锥曲线方程中的变量视为矩阵。

2、通过一系列的矩阵变换，将原方程化为标准形式。

这个过程可以通过一系列的代数运算来实现。

3、对标准形式的方程进行分析和研究，得出圆锥曲线的性质和特征。

圆锥曲线齐次化在实际应用中有许多应用。

例如，在物理学中，圆锥曲线齐次化可以用于研究行星的运动轨迹；在计算机图形学中，圆锥曲线齐次化可以用于绘制各种复杂的曲线和曲面。

总之，圆锥曲线齐次化是圆锥曲线理论中的一种重要方法，它可以将
圆锥曲线方程转化为标准形式，从而方便我们对其进行研究和应用。

它的应用范围广泛，值得我们深入研究和掌握。

齐次化法解圆锥曲线
齐次化法是一种解圆锥曲线的常见方法。

它通过引入一个额外的齐次
坐标来将圆锥曲线的方程转化为一个更简单的形式。

对于一个一般的圆锥曲线方程，我们可以使用如下步骤来进行齐次化：
1. 首先，我们引入一个新的齐次坐标变量z，使得原来的二维坐标点(x, y)现在变成了三维坐标点(x, y, z)。

2. 接下来，我们将圆锥曲线方程中的所有项都乘以相同的倍数，使得
方程中的次数最高的项的系数为1。

这样可以简化方程，使得我们的变量z的次数与x和y的次数相同。

3. 然后，我们将方程中的各个项按照次数从高到低的顺序排列，方便
我们进行后续的计算。

同时，我们将方程中的每一项表示为x、y和z
的幂次乘积。

4. 此时，我们可以将齐次坐标中的z变量替换为1，得到一个新的方程。

这个新方程就是原圆锥曲线方程的齐次化形式。

通过进行齐次化，我们可以将原来的二维圆锥曲线方程转化为一个更
容易处理和求解的三维方程。

这样，我们可以使用代数、几何或者其
他数学方法来研究和解决圆锥曲线的问题。