圆锥曲线齐次式与点乘双根法

圆锥曲线大题11，向量内积为定值，点乘双根法更便捷
这里的计算使用点乘双根法更便捷哦：
【方法点睛】本题的关键点就在于
【方法点睛】证明向量内积为定值的方法与前面的题目中证明方法大同小异：
（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向.
（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢
（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算
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1一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y b b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于2y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=. 解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n -=-- 22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0220002200x mx y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=. 例2：已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.3解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(0,1)(0,0)⇒所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒+=-则转换到新坐标就成为：1212''1''y y x x +=- 12''1k k +=-即设直线l 方程为：''1mx ny +=原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=4展开得：22'4'8'0x y y ++=构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以2'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=所以128''148m k k n +=-=-+所以12212m n m n -=⇒=+而''1mx ny +=1'()''1('')1022x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0'2''2102x y x x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：5旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(2,1)(0,0)⇒所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩ 原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒+=--则转换到新坐标就成为：1212''0''y y x x += 12''0k k +=即设直线AB 方程为：''1mx ny +=原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=两边同时除以2'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=所以1248''048n mk k n++=-=+所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1'2'10mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12.6二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--=7即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：22280161601515k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.。

一、圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值且OQ 11OQ 2，过原点O 作直线Q 1Q 2的垂D (X, V0)，设直线 Q 1Q 2 方程为 V= kx +m ，V = kx + m X 2 V 2 化简可得: ——+ — = 1 〔2b 2 b 2(2b 2k 2 + b 2)x 2 + 4kmb 2x + 2b 2(m 2 一b 2) = 0，所以2b 2(m 2 + b 2)b 2(m 2 -2b 2k 2)解法二（齐次式）:w r k r第十讲 锥曲线齐次式与点乘双根法V = kx +m ，x]—0-二kV代入*中， 化简可得: x 2 -0- + V = mV 0x x 2V = --0-x + T- + V 对比于V VX 2 V 2 一例1：4%为椭圆乐+b=1上两个动点,线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设Q ",V j Q 2a 2,V 2）x 2 y 2 x 2 y 2----------- 1 ---------(mx + ny )2 = 0 化简可得 --- 1 ------------ m 2x 2 一 n 2y 2 一 2mnxy = 02 b 2 b 22 b 2 b 2整理成关于 X , J X , J 的齐次式：(2 - 2b 2n 2)y 2 + (1 - 2m 2b 2)x 2 - 4mnb 2xy = 0，进而两边同时除以x 2，则1 -2 m 2 b 2(2 一 2b 2n 2)k 2 一 4mnb 2k +1 一 2m 2b 2 = 0 n k k = ---------1 2 2 - 2 b 2 n 2因为OQ 1 OQ OQ 1 OQ 所以kk =—1:.3 = 2b 2(m 2 + n 2)・・・*设直线Q 1Q 2方程为mx + ny=1，又因为直线Q1Q2方程等价于为y-y 0 =-x0- (x - x )y0x x 2y = -i x + t- + y对比于mx + ny = 1，则<x--------- 0—x 2 + y 0 (y2i代入*中，化简可得：x 2 + y 2 = -b2. x 2 , ____ __ .一例2：已知椭圆了+y2 =1，设直线,不经过点P(0，D的直线交于A，B两点若直线PA, PB的斜率之和为-1，证明：直线/恒过定点.解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x' py '，如图所示:即 k 「+ k 2' ―-1设直线l 方程为：mx '+ ny ' = 1原方程：X 2+ 4y 2 = 4则转换到新坐标就成为：x '2 + 4(y '+1)2 = 4 展开得：x '2 + 4y '2 + 8y' = 0构造齐次式：x '2 + 4y '2 + 8y '(mx '+ ny ') = 0 整理为：(4 + 8n )y '2 + 8mx'y '+ x '2 = 0 两边同时除以 x '2，则(4 + 8n )k '2 + 8mk '+1 = 08 m 1所以 k + k = ---- = —1 所以 2 m — 2 n — 1 n m — n + —1 2 4 + 8 n 2 , ,< ,1 ............................................. x’ “八而 mx + ny = 1「. (n + -)x + ny = 1 n n (x + y ) + --1 = 0 对于任意 n 都成立.x 2 y 2 ~ _ _例3：已知椭圆7 + 4- = 1，过其上一定点尸(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭所以原来 k pA +k pB =T ny -1, y -1 —t —+——x1—-1则转换到新坐标就成为：十,二一1 12x'+ y' — 0x ' n --1 — 0 [2x' = 2 t c ，故对应原坐标为 y =-2x = 2 1所以恒过定点(2,-1). y = -1即(0,1) n (0,0)8 2圆于A ,B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系x' py '，如图所示:旧坐标 新坐标即(2,1) n (0,0)所以原来『女。

一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值例1：12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得: 22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以 222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b+-==++ 因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++ 22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b b b+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩ 22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---= 整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n---+-=⇒=- 因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=-- 22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则0220002200x m x y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.例2：已知椭圆2214x y +=，设直线l 不经过点(0,1)P 的直线交于,A B 两点，若直线,PA PB的斜率之和为1-，证明：直线l 恒过定点.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(0,1)(0,0)⇒所以'''1'x x A A y y B B =→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来12121111PA PB y y k k x x --+=-⇒+=-则转换到新坐标就成为：1212''1''y y x x +=- 12''1k k +=-即设直线l 方程为：''1mx ny +=原方程：2244x y +=则转换到新坐标就成为：22'4('1)4x y ++=展开得：22'4'8'0x y y ++=构造齐次式：22'4'8'('')0x y y mx ny +++=整理为：22(48)'8'''0n y mx y x +++=两边同时除以2'x ，则2(48)'8'10n k mk +++=所以128''148m k k n +=-=-+所以12212m n m n -=⇒=+而''1mx ny +=1'()''1('')1022x n x ny n x y ∴++=⇒++-=对于任意n 都成立. 则：''0'2''2102x y x x y +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩，故对应原坐标为21x y =⎧⎨=-⎩所以恒过定点(2,1)-. 例3：已知椭圆22182x y +=，过其上一定点(2,1)P 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于,A B 两点，证明：直线AB 斜率为定值.解：以点P 为坐标原点，建立新的直角坐标系''x py ，如图所示：旧坐标 新坐标(,)(',')x y x y ⇒即(2,1)(0,0)⇒所以'2''1'x x A A y y B B =-→⎧⎧⇒⎨⎨=-→⎩⎩原来1212110021PA PB y y k k x x --+=⇒+=--则转换到新坐标就成为：1212''0''y y x x += 12''0k k +=即设直线AB 方程为：''1mx ny +=原方程：2248x y +=则转换到新坐标就成为：22('2)4('1)8x y +++=展开得：22'4'4'8'0x y x y +++=构造齐次式：22'4'4'('')8'('')0x y x mx ny y mx ny +++++=整理为：22'(48)''(48)(14)'0y n x y n m m x +++++=两边同时除以2'x ，则2(48)'(48)'140n k n m k m +++++=所以1248''048n mk k n++=-=+所以2n m =-而''1mx ny +='(2)'1210mx m y mx my ∴+-=⇒--=.所以1=2k 平移变换，斜率不变，所以直线AB 斜率为定值12.二，点乘双根法例4：设椭圆中心在原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右顶点分别为12,F F ，线段12,OF OF 中点分别为12,B B ，且12AB B △是面积为4的直角三角形.（1）求其椭圆的方程（2）过1B 作直线l 交椭圆于,P Q 两点，使22PB QB ⊥，求直线l 的方程.解：（1）221204x y +=（2）易知：直线l 不与轴垂直，则设直线l 方程为：(2)y k x =+，1122(,),(,)P x y Q x y 因为22PB QB ⊥，则22=0PB QB ，所以211221212(2,)(2,)0(2)(2)(2)(2)0x y x y x x k x x --=⇒--+++=*现联立22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则方程2225(2)200x k x ++-=可以等价转化212(15)()()0k x x x x +--= 即2222125(2)20(15)()()x k x k x x x x ++-=+--令2x =，22212122801648020(15)(2)(2)(2)(2)15k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令2x =-，212122164020(15)(2)(2)(2)(2)15k x x x x k -+-=+++⇒++=+结合21212(2)(2)(2)(2)0x x k x x --+++=*化简可得：22280161601515k k k --+=++2222118016160641642k k k k k --=⇒=⇒=∴=±所以直线l 方程为：1(2)2y x =±+.。

齐次式法与圆锥曲线斜率有关的一类问题本文介绍了利用“齐次式”法解决圆锥曲线斜率有关的顶点定值问题。

针对定点问题，文章提出了引入变量参数表示直线方程、数量积、比例关系等的方法，以寻找不受参数影响的量。

对于直线过定点问题，可以通过设出直线方程，利用韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程解决。

在圆锥曲线中，有很多常见的定点模型，熟练掌握这些结论可以事半功倍。

举例来说，文章给出了一个07山东省的例题。

该题要求证明直线l过定点，并求出该定点的坐标。

通过设定直线方程，利用已知条件和韦达定理，可以求出直线方程中的k和m的关系式，代入方程解得定点坐标。

文章还提供了一些解题技巧，例如如何选择直线，如何转化题目条件等。

总的来说，本文介绍了一种解决定点问题的方法，并以圆锥曲线为例，详细说明了几种常见的定点模型。

文章语言简洁明了，逻辑清晰，对于解决类似问题有很大的帮助。

练7：已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y=4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图。

I）证明：OM·OP为定值；II）若△POM的面积为5，求向量OM与OP的夹角；III）证明直线PQ恒过一个定点。

解：（I）设点M（m，4m），则动直线l的斜率为k=4/m。

由于A、M、P三点共线，故有k·(-1)+4=m，即m=4/(k+1)。

又因为直线MB与抛物线C有两个交点，设另一点为Q（q，4q），则有q=-1/4.因此，OM·OP=|(m，4m)·(q，4q)|=|16(mq)^2|=|16/(k+1)^2|，为定值。

II）设∠PO M=α，则OM·OP·cosα=5.又因为△POM的面积为5，所以OM·OP·sinα=5.由此可得tanα=1，又因为α∈(0，π)，所以α=45°。

因此，向量OM与OP的夹角为45°。

齐次化解决圆锥曲线题目一、什么是齐次坐标？1.1 齐次坐标的概念在解决圆锥曲线题目时，我们经常会用到齐次坐标。

齐次坐标是指在二维欧几里德空间中，用三个数表示的点的坐标。

齐次坐标是一种扩充了的坐标表示方法，可以描述无穷远点和线上的点。

一个点的齐次坐标表示为[x, y, z]，其中x、y、z为实数，同时不全为零。

如果两个齐次坐标[x₁, y₁, z₁]和[x₂, y₂, z₂]表示同一个点，那么它们之间成比例，即存在实数k，使得x₂=kx₁，y₂=ky₁，z₂=kz₁。

这就是齐次坐标的齐次性。

1.2 齐次坐标的优点齐次坐标有很多优点，可以简化计算过程，降低计算难度和复杂度。

•齐次坐标可以用来表示无穷远点，无需再通过其他方式单独表示。

•齐次坐标可以用来表示直线和曲线等特殊的几何对象，而不只是点。

•齐次坐标的运算可以通过矩阵乘法实现，简化了计算过程。

二、齐次坐标与圆锥曲线方程的关系2.1 一般式方程圆锥曲线可以用一般式方程表示，例如二次曲线的一般式方程为Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0。

当A、B、C不全为零时，这个方程表示一个二次曲线。

将二次曲线的一般式方程转化为齐次坐标的形式，可以得到齐次方程。

例如，对于二次曲线的一般式方程Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，将其转化为齐次坐标的形式，我们可以得到一个齐次方程Ax² + Bxy + Cy² + Dxw + Eyw + Fw² = 0。

2.2 齐次坐标与直线的关系在齐次坐标中，直线可以表示为三个点的线性组合。

考虑一条直线L，由两个点P₁[x₁, y₁, z₁]和P₂[x₂, y₂, z₂]确定，那么直线L上的任意一点P[x, y, z]都满足以下齐次坐标关系：|x y z| |x₁ y₁ z₁| |x₂ y₂ z₂| = 0。

圆锥曲线中的齐次化方法
圆锥曲线的齐次化方法是一种将圆锥曲线转换为一个齐次方程的方法。

它通过将圆锥曲线的参数表示式转换为一个齐次方程，可以使得求解曲线上的点成为可能。

首先，要将圆锥曲线的参数表示式转换为一个齐次方程，需要将参数表示式中的变量转换为齐次坐标。

具体来说，将圆锥曲线的参数表示式中的变量u和v转换为齐次坐标x、y、z，即：
x = u cos v
y = u sin v
z = f(u, v)
其中f(u, v)表示圆锥曲线的参数表示式。

然后，将上述参数表示式代入齐次坐标，可以得到如下齐次方程：
x^2 + y^2 + z^2 - u^2 = 0
最后，可以将该齐次方程代入求解器，以求解曲线上的点。

第11讲 点乘双根法知识与方法在计算两个向量的数量积（即点乘）时，会遇到 (x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)的结构, 常规 方法是将它展开, 再结合韦达定理化简整理,也可以利用“点乘双根法”进行整体处理, 达到简化运算, 快速解题的目的.1.方法介绍所谓的“点乘双根法”, 是指构建双根式，整体处理含 或 (x 1−x 0)(x 2−x 0)(y 1−y 0) 等类似结构的计算问题.(y 2−y 0)2.理论基础二次函数 的双根式. 若一元二次方程 f (x )=ax 2+bx +c ax 2+bx +c =0(a ≠0)有两根 , 则, 取 , 可得 x 1,x 2f (x )=a (x−x 1)(x−x 2)x =x 0f (x 0)=a (x 1−x 0)(x 2−x 0).3.适用类型, 或 等形式.x 1x 2, y 1y 2,(x 1−m )(x 2−m ),(y 1−m )(y 2−m )PA ⋅PB 4.解题步骤化双根式 赋值 整体代入.→→典型例题下面以一个例题来说明点乘双根法的解题步骤.【例1】 已知点 是拋物线 上一定点, 以M (x 0,y 0)y 2=2px (p >0)M 为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 , 则动直线 过定点 △MAB AB .(x 0+2p,−y 0)【证明】设 , 由 , 得 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)MA ⋅MB =0(x 1−x 0)(x 2−x 0)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)=0（∗)显然直线 不与 轴平行，设其方程为 .AB x x =my +t 步骤 1: 化双根式联立 , 得 , 方程两根为 , 则 {y 2=2px x =my +ty 2−2pmy−2pt =0y 1,y 2(y 1−y )(y 2−y )=y 2−2pmy (1)−2pt 联立 , 得, 则 {y 2=2px x =my +t x 2−(2t +2m 2p )x +t 2=0(x 1−x )(x 2−x )=x 2−(2t +2m 2p )x +t 2(2)步骤 2: 赋值在(1)中, 令 , 则 (4)y =y 0(y 1−y 0)(y 2−y 0)=y 20−2pmy 0−2pt 在(2)中, 令 , 则 (5)x =x 0(x 1−x 0)(x 2−x 0)=x 20−(2t +2m 2p )x 0+t 2步骤 3: 整体代入即 ,t 2−(2p +2x 0)t +x 20−m 2y 20+y 20−2pmy 0=0即 ,[t−(x 0−my 0)]⋅[t−(x 0+my 0+2p )]=0所以 或 ,t =x 0−my 0t =x 0+my 0+2p 情形一：当 , 即 时, 说明点 在直线 上, 不合题意;t =x 0−my 0x 0=my 0+t M AB 情形二：当 , 即 时, 直线 过定点 t =2p +x 0+my 0x 0+2p =m (−y 0)+t x =my +t .(x 0+2p,−y 0)综上所述：直线 恒过定点 .AB (x 0+2p,−y 0)通过本例可以看到，利用点乘双根法处理这类问题时，看起来式子仍然不少, 实际上运算量已经減少了很多.【例2】 设椭圆中心在原点 , 长轴在 轴上，上顶点为 , 左右顶点分别为 O x A F 1,F 2,线段 中点分别为 , 且 是面积为 4 的直角三角形.OF 1,OF 2B 1,B 2△AB 1B 2(1) 求椭圆的方程;(2) 过 作直线 交椭圆于 两点, 使 , 求直线 的方程.B 1l P ,Q PB 2⊥QB 2l【解析】（1）设所求椭圆的标准方程为 , 右焦点为 .x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)F 2(c ,0)因为 是直角三角形, 又 , 故 为直角, 因此 ,△AB 1B 2|AB 1|=|AB 2|∠B 1AB 2|OA |=|OB 2|得 .b =c2 结合 c2=a 2−b 2 得 4b 2=a 2−b 2, 故 a 2=5b 2,c 2=4b 2 , 所以离心率 e =在 中, , 故 2Rt ABB ∆12OA B B ⊥22,1221||||22MBB B cS B B OA OB OA b b =⋅=⋅=⋅=由题设条件 , 得 , 从而 .2,4AB B S ∆=24b =22520a b ==因比, 所求椭圆的标准方程为 ;221204x y +=(2) 显然直线 不与 轴垂直，设 的方程为 ,l x l ()()1122(2),,,,y k x P x y Q x y =+因为 , 则 ,22PB QB ⊥220PB QB ⋅=所以 ()()()()()()2112212122,2,022220(*)x y x y x x k x x -⋅-=⇒--+++=联立 22222(2)5(2)2001204y k x x k x x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩因为 是方程的两根, 所以 ,12,x x ()()()2222125(2)2015x k x k x x xx ++-=+--令 , 得 ,2x =()()()()()2221212280164802015222215k k k x x x x k -+-=+--⇒--=+令 , 得 ,2x =-()()()()()21212216402015222215k x xx x k -+-=+++⇒++=+代入 (*), 得,22280161601515k k k --+=++化简可得: , 所以 ,22221801616064164k k k k --=⇒=⇒=12k =±故直线 方程为: .l 1(2)2y x =±+【例3】 设 分别为椭圆 的左、右顶点, 过左焦点 且斜率为 ,A B 22132x y +=F 的直线与椭圆交于 两点. 若 , 求 的值.k ,C D 8AC DB AD CB ⋅+⋅=k 【答案】 k =【解析】设点 , 由 得直线 的方程为 ()()1122,,,C x y D x y (1,0)F -CD (1)y k x =+,由方程组 , 消去 , 整理得 .22(1)12y k x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()2222236360k x k x k +++-=由韦达定理可得 .22121222636,2323k k x x x x k k -+=-=++因为,(A B 所以AC DB AD CB⋅+⋅()()11222211,,x y x y xy x y =+⋅-+⋅--1212622x x y y =--()()2121262211x x k x x =--++8=由 , 得 .8AC DB AD CB ⋅+⋅=()()21212111x x k x x +++=-因为 是方程 的两根, 所以12,x x ()2222236360k x k x k +++-=()()()()()()()2222221212236362323k xk x k k x x x x k x x xx +++-=+--=+--令 , 则 , 所以 0x =()22123623k kx x -=+21223623k x x k -=+令 , 则 1x =-()()()()222212236362311k k k k x x+-+-=+++所以 ()()12241123x x k ++=-+因为 ,()()21212111x x k x x +++=-所以 , 解得222223641,22323k k k k k--=-=++k =【例4】设 为曲线 上两点, 与 的横坐标之和为 4 .,A B 2:4x C y =A B (1) 求直线 的斜率;AB(2) 设 为曲线 上一点, 在 处的切线与直线 平行, 且 , M C C M AB AM BM ⊥求直线 的方程.AB 【答案】 (1) 1； (2) 7y x =+【解析】(1) 设 , 则 ()()1122,,,A x y B x y 2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=于是直线 的斜率 .AB 12121214y y x x k x x -+===-(2) 由 , 得 .24x y =2x y '=设 , 由題设知, 解得 , 于是 ()33,M x y 312x =32x =(2,1)M 因为 , 所以 , 即 .AM BM ⊥0MA MB ⋅=()()()()121222110x x y y --+--=设直线 的方程为 , 因为点 在直线 上,AB y x m =+,A B AB 所以 ,1122,y x m y x m =+=+所以 .()()()()121222110x x x m x m --++-+-=由 得 . 由 , 得 .24y x m x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩2440x x m --=16(1)0m ∆=+>1m >-()()21244x x m x x x x --=--在 式中, 令 , 得 (1)2x =()()212242422m x x -⨯-=--在(1)式中, 令 , 得 1x m =-()()212(1)4(1)411m m m x m x m --⨯--=+-+-∴()()()()12122211x x x m x m --++-+-,222424(1)4(1)40m m m m =-⨯-+--⨯--=解得 , 或 (舍）, 所以直线 的方程为 .7m =1m =-AB 7y x =+强化训练1. 椭圆 , 若直线 与椭圆 交于 两点 22:143x x C +=:l y kx m =+C ,A B (,A B 不是左右顶点）, 且以直线 为直径的圆恒过椭圆 的右顶点. 求证：直线AB C 恒过定点, 并求出该点的坐标.l【答案】 2,07⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设椭圆的右顶点为 ,()()1122(2,0),,,,C A x y B x y 则 ()()1212220,(*)CA CB x x y y ⋅=--+=联立 , 整理得: ,22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()222348430k x mkx m +++-=因为 是方程 的两个根, 所以12,x x ()()222348430k x mkx m +++-=()()()()()2222123484334(1)k xmkx m k x x x x +++-=+--取 , 得 ,2x =()()()()()2221243416433422k mk m k x x +++-=+--所以 (2).()()22122161642234k mk m x x k++--=+取 , 并两边同时乘以 , 可得 m x k =-2k 2221212231234m m m k y y k x x k k k -⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭(3).将（2和(3)整体代入 (*), 得,2222221616431203434k mk m m k k k ++-+=++即 , 即 或 ,2241670k mk m ++=(72)(2)0,2m k m k m k ++=∴=-27m k =-当 时, 直线 过点 , 不合题意;2m k =-:(2),l y kx m k x l =+=-(2,0)C 当 时, 直线 , 显然 恒过定点 .27m k =-2:7l y kx m k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭l 2,07⎛⎫⎪⎝⎭2. 已知椭圆 的右焦点为 , 过 且与2222:1(0)x y E a b a b+=>>(1,0)F F x 轴垂直的弦长为 3 .(1) 求椭圆标准方程;(2) 直线 过点 与满圆交于 两点, 问 轴上是否存在点 , 使 l F ,A B x P PA PB ⋅为定值?若存在, 求出 的坐标; 若不存在, 说明理由.P【答案】 (1) ; (2) 见解析22143x y +=【解析】 (1)易得椭圆标准方程为 ;22143x y +=(2) 当直线 的斜率存在时, 设为 , 则直线 的方程为 ,l k l (1)y k x =-设 , 则()()1122(,0),,,,P m A x y B x y ()()()22221234(1)1234x k x k x x x x +--=+--(1).()()1122,,,PA x m y PB x m y =-=-()()()()()()21212121211(2)PA PB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--在(1)中令 , 得 , (3)x m =()()22212234(1)1234m k m x m x m k+----=+在(1)中令 , 得 , (4)1x =()()12291134x x k ---=+把(3)4代入(2)并整理得()()22224(1)931243m k m PA PB k --+-⋅=+ 所以, 得 , 此时 .()224(1)931243m m---=118m =13564PA PB ⋅=- 当直线 的斜率不存在时, , 仍有 .l 33111,,1,,,0228A B P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13564PA PB ⋅=- 综上所述, 的坐标为 .P 11,08P ⎛⎫⎪⎝⎭3. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点, 直线 与椭圆 有且只有一个公共点 .:3l y x =-+E T (1) 求椭圆 的方程及点 的坐标;E T (2) 设 是坐标原点, 直线 平行于 , 与椭圆 交于不同的两点 , O l OT E ,A B 且与直线 交于点 . 证明: 存在常数 , 使得 , 并求 l P λ2||||||PT PA PB λ=⋅λ的值.【答案】 (1) (2) ,(2,1);45λ=【解析】 (1) , 点 坐标为 , 过程路.22163x y +=T (2,1)(2) 由已知可设直线 的方程为 ,l 1(0)2y x m m =+≠由方程组 可得 1,23y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩223213m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩所以 点坐标为 , 设点 的坐标分别为, P 222282,1,||339m m PT m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,A B ,()()1122,,,A x y B x y 由方程组 , 可得 (1)2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩()22344120x mx m ++-=而 是 的两根, 所以12,x x ()22344120x mx m ++-= (2)()()()2212344123x mx m x x x x ++-=--方程(2)的判别式为 , 由 , 解得 .()21692m ∆=-0∆>m <<由(2)得 212124412,33m m x x x x -+=-=所以1122||233m m PA x x ==-=-同理, 所以22||3m PB x =-1252222433m m PA PB x x ⎛⎫⎛⎫=----⎪⎪⎝⎭⎝⎭②中令，得223mx =-得()2212222232424123223333m m m m m m x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得 21222822339m m x x m ⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故存在，使得2109PA PB m =54λ=2||||||.{PT PA PB λ=⋅。