2018年高考数学(理)一轮复习课件第七章立体几何第45讲

为H,连接CH,DH.因为AB⊥平面PCD,所以AB⊥CH,AB⊥DH,
所以∠CHD是二面角α-AB-β的平面角.又PC=PD=1,CD=
,所以CD2=PC2+PD2=2,即∠CPD=90°.在平面四边 形 2PCHD中,∠PCH=∠PDH=∠CPD=90°,所以∠CHD=90°.
故平面α⊥平面β.
3.如图,已知平面α ,β ,且α ∩β =AB,PC⊥α ,PD⊥β ,
C,D是垂足.那么直线AB与平面PCD的位置关系为_____,
若PC=PD=1,CD= ,则平面α 与平面β 的位置关系为
________.
2
【解析】因为PC⊥α,AB
α,所以PC⊥AB.同理PD⊥
AB.又PC∩PD=P,故AB⊥平面PCD.设AB与平面PCD的交点
在直线垂直于平面β
D.如果平面α ⊥平面γ ,平面β ⊥平面γ ,α ∩β =l,那
么 l⊥ γ
【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l
还可能平行于平面β ,也可能在平面β 内.
2.如图,在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=∠ABC=90°,
则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为
有了两个直角,这与三角形的内角和为180度相矛盾.
【教材母题巧变式】
题号 源自
1 P56·T7
2 P38·例1
3 P42·T6
1.下列命题中不正确的是
(
)
A.如果平面α ⊥平面β ,且直线l∥平面α ,则直线l⊥平
面β
B.如果平面α ⊥平面β ,那么平面α 内一定存在直线平
行于平面β
C.如果平面α 不垂直于平面β ,那么平面α 内一定不存
线垂直的直线,则这两条直线都垂于第三个平面,那么

解析：选 B.如图，由题意得，
1 EF∥BD，且 EF＝5BD. 1 HG∥BD，且 HG＝2BD. ∴EF∥HG，且 EF≠HG，又 HG⊂面 BCD， ∴EF∥平面 BCD 且四边形 EFGH 是梯形．
2.(2016· 高考全国丙卷)如图，四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M 为线段 AD 上一点，AM＝2MD，N 为 PC 的中点．
图②
考点一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定
1．直线与平面平行的判定方法 不在平面内的一条直线 判定 定理 与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平 面平行(简记为线线平行 ⇒线面平行) l⊄ α a⊂α l ∥a ⇒l∥α
2.证明线面平行的常用方法 (1)线面平行的判定定理：a∥b，b⊂α，a⊄α⇒a∥α； (2)面面平行的性质：α∥β，a⊂α⇒a∥β； (3)向量法：在直线不在平面内的前提下，①证明直线的方向 向量与平面的法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直 线的方向向量平行；③证明直线的方向向量可以用平面内的两个 不共线向量表示．
1．在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，AD 上的点， 且 AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又 H，G 分别为 BC，CD 的中点， 则( ) A．BD∥平面 EFG，且四边形 EFGH 是平行四边形 B．EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形 C．HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是平行四边形 D．EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是梯形
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 B.当 m∥β 时，过 m 的平面 α 与 β 可能平行也可能 相交，因而 m∥β α∥β；当 α∥β 时，α 内任一直线与 β 平行， 因为 m⊂α， 所以 m∥β.综上知， “m∥β”是“α∥β”的必要而不 充分条件．

[知识重温] 一、必记 2●个知识点 1．空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平 表示空间向量的有向线段所在的直线互相① __________ 行向量) 平行或重合 共面向量 平行于②同一平面 ________的向量 对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在 λ 共线向量定理 a＝λb ∈R，使③________ 若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面向量定理 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝④ x a＋yb ________
[小题热身] 1．在下列命题中： ①若向量 a，b 共线，则向量 a，b 所在的直线平行； ②若向量 a，b 所在的直线为异面直线，则向量 a，b 一定不 共面； ③若三个向量 a，b，c 两两共面，则向量 a，b，c 共面； ④已知空间的三个向量 a，b，c，则对于空间的任意一个向 量 p 总存在实数 x，y，z 使得 p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3
二、必明 3●个易误点 1． 共线向量定理中 a∥b⇔存在 λ∈R， 使 a＝λb 易忽视 b≠0. 2．共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的． 3．一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量， 不要误为是共面向量．
2.数量积及坐标运算 (1)两个向量的数量积： (ⅰ)a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ； (ⅱ)a⊥b＝⑥________( a· b＝0 a，b 为非零向量)； (ⅲ)|a|2＝a2，|a|＝ x2＋y2＋z2.
(2)向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量和 a＋b＝⑦________________________ 向量差 a－b＝⑧________________________ (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a· b＝⑨________________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 a________0) 1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 垂直 a⊥b⇔⑪__________________ a1b1＋a2b2＋a3b3 夹角公式 cos〈a，b〉＝⑫________________________ 2 2 2 2 2 a2 1＋a2＋a3 b1＋b2＋b3

【规范解答】(1)a+6b-8c=(2,0,5)+6(3,1,-2) -8(-1,4,0) =(2,0,5)+(18,6,-12)-(-8,32,0) =(28,-26,-7). 答案:(28,-26,-7)
(2)①因为P是C1D1的中点,
所以
AP＝AA1＋A1D1＋D1P＝a＋AD＋
1 2
D1C1
AA1
AB
BN
1 2
AA1
AB
1 2
AD
1 2
a
b
1 2
c.
故x 1 , y 1, z 1 .
2
2
【规律方法】 1.用基向量表示指定向量的方法 (1)应结合已知和所求向量观察图形. (2)将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边 形中. (3)利用三角形法则或平行四边形法则,把所求向量用 已知基向量表示出来.
答案: 2
3
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:
A1O－
1 2
AB－
1 2
AD.
(2)用 AB, AD, AA1表示OC1.
(3)设E是棱DD1上的点,且
DE＝
2 3
DD1，
若 EO＝xAB＋yAD＋zAA1， 试求x,y,z的值.
【解析】(1)因为 AB＋AD＝AC，
3.向量的数量积满足交换律、分配律,即a·b=b·a, a·(b+c)=a·b+a·c成立,但不满足结合律,即 (a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-1P97习题3.1A组T2改编)如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为点M,设 AB =a, AD=b, AA1=c,则下列向量中与 C1M 相等的向量是 ( )