小学奥数教师版-7-1-1 加法原理之分类枚举(一)

1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲知识要点教学目标7-1-1.加法原理之分类枚举（一）2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲模块一、分类枚举——数出来的种类【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【答案】38【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．【答案】15【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654++=种．【答案】54【例2】和为15的两个非零自然数共有对。

内蒙古阿拉善盟小学数学小学奥数系列7-1加法原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共25题；共113分)1. （5分）名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一共要比赛多少场？2. （5分）某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜至少要试多少次？3. （5分）一只蚂蚁从长方体一个顶点A出发，沿着棱爬到B点，如果每次只能经过3条棱，共有多少种不同走法？4. （5分）一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分．结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分．那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？5. （5分）连一连。

（1）请你连一连，算一算，共有几种不同的搭配？（2）哪一种搭配最贵？一共多少元钱？6. （5分）小丽的手链缺4颗珠子，是哪4颗呢?7. （5分）8. （5分）饭店里晚上供应A，B，C，D四种炒菜，E，F，G三种主食，如果一种炒菜和一种主食配成一份套餐，共有多少种不同的搭配方法?9. （1分）清华中学乒乓球队有男运动员5名，有若干名女运动员，若从男女运动员中各选一名，参加混合双打比赛，一共有30种组队方案，则该队有女乒乓球运动员________名．10. （5分）后面一个应该是什么?请你画出来。

11. （5分）小丽有3张数字卡片2，4，9．小雨有3张数字卡片3，5，7．每次抽出一张，谁大谁胜出．（1）小丽胜的可能性是多少?小雨胜的可能性是多少?（2）这个游戏规则公平吗?小雨一定会胜吗?12. （5分）有6个小朋友，要互相通一次电话，他们一共要通多少个电话?13. （5分）“上升数”是指一个数中右边数字比左边大的自然数（如，，等），上升数不包括一位数。

辽宁省沈阳市小学数学小学奥数系列7-1加法原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、 (共25题；共113分)1. （5分）用2、5、6、8和小数点能组成多少个不同的两位小数？并分别写出来。

（每个数字只能用一次，至少写出14个）2. （5分）按规律填数。

3. （5分）文艺汇演共有6个节目，分3种类型：1个小品，2个舞蹈，3个演唱．现在要编排一个节目单；（1）如果要求第一个节目是小品，那么共有多少种节目单的编排顺序？（2）如果要求第一个节目和最后一个节目都是演唱，那么共有多少种节目单的编排顺序？4. （5分）把19拆分成不大于9的三个不同数（0除外）之和。

一共有多少种不同的拆分方式?5. （5分）一个盒子里装有五个标号为1、2、3、4、5的小球，每次取出一个，记下它的号码后再放回盒子，共取放三次，那么三次中最大标号恰好是5的取法有多少种？6. （5分） (2019三上·高密期中) 明明为自己搭配早餐。

饮料有2种：牛奶、果汁；点心有3种：蛋糕、油条、面包。

饮料和点心各选一种。

一共有多少种不同的搭配方法？7. （5分）停车站划出一排个停车位置，今有辆不同的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?8. （5分）找规律，数字游戏。

9. （1分）要从5名女生和3名男生中各选出一名选手参加乒乓球男女混合双打，共有________种不同的选法．10. （5分）(2018·青岛) 推理题：某足球邀请赛有16个城市参加，每市派出甲乙两个队，根据比赛规则，每两个队之间至多赛一场，并且同一城市的两个队之间不进行比赛，比赛若干场后进行统计，发现除市甲队外，其他各队已经比赛过的场数各不相同，问市乙队已赛多少场？11. （5分）接下来画什么?请你圈一圈。

12. （5分）某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？13. （5分）14. （1分）某校初三年级共有8个班进行辨论赛，规定单循环比赛（两个班之间赛一场）问初三年级的比赛是进行________场.15. （5分）树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝．一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”．这在生物学上称为“鲁德维格定律”．那么十年后这棵树上有多少条树枝？16. （5分）如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？17. （5分）如图，从点到点的最近路线有多少条？18. （5分） 5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？19. （5分）小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由房间到达房间有多少种方法？20. （1分）国际象棋中“马”的走法如图所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的方格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图中标有△的位置），要走到第八行第五列（图中标有＠的位置），最短路线有________条．21. （5分）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续（即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻），这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法．22. （5分）用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？23. （5分）如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的处沿最短的路线走到东北角出，由于修路，十字路口不能通过，那么共有________种不同走法．24. （5分）一个自然数，如果它顺着看和倒过来看都是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数．问：从一位到六位的回文数一共有多少个?其中的第1996个数是多少?25. （5分）在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走是，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？参考答案一、 (共25题；共113分)1-1、2、答案：略3-1、答案：略4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、。

新疆喀什地区数学小学奥数系列7-1加法原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共25题；共113分)1. （5分）图中的小格子都是正方形，则图中一共有多少个正方形？2. （5分） 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？3. （5分）名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一共要比赛多少场？4. （5分）有6个小朋友，要互相通一次电话，他们一共要通多少个电话?5. （5分）亚洲乒乓球锦标赛第一阶段共有32支球队参加，共分8个组，其中每组球队的前2名进入第二阶段比赛，如果这32支球队采取单循环赛制，第一阶段共赛多少场？6. （5分）四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜，那么最多有几局平局？7. （5分） (2018三下·云南期末) 用2、3、5、7组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是单数的两位数?8. （5分）用两个3、两个4、三个5可以组成多少个不同的七位数？9. （1分）从甲、乙、丙、丁、戊五人中选四人参加4×100m接力赛(每人跑一棒)，按规定甲跑第一棒，丁跑第四棒，有________种安排方法．10. （5分）根据规律画出被挡住部分的珠子。

（1）（2）11. （5分） 8名学生和7名老师进行拔河比赛，首先选一名老师担任裁判，接着再把其余14人分成两队，每队都必须包含4名学生和3名老师，那么共有多少种不同的分队方法？12. （5分）四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得分，负者得分，和棋双方各得分，比赛结束后统计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？13. （5分）从甲地到丁地，售票员需要准备几种车票？（写出所有可能）14. （1分）要从四名男生和三名女生中各选派一人参加混合双打比赛，一共有________种不同的组队方案。

吉林省长春市数学小学奥数系列7-1加法原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共25题；共113分)1. （5分）用2、3、5、7组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是单数的两位数?2. （5分）填空。

（1）（2）3. （5分）一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？（1）把盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位．（2）串起其中盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位．4. （5分） 3个骰子掷出的点数和中，哪个数最有可能？5. （5分）用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？6. （5分）书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果只要求童话书和漫画书不要分开有多少种排法？7. （5分）甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，如果：（1）甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？（2）甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？8. （5分） (2020四下·涟水月考) 用2、3、０、０这四个数字组成两个四位数，要使它们的和是5050，这两个四位数各是多少？9. （1分） (2020二上·嘉陵期末) 4个小朋友比赛打羽毛球，每2个人要打一场比赛，4个人一共要打________场比赛。

10. （5分）她只能从这三本书中挑选两本书，共有多少种挑选方法？每种挑选方法要花多少钱？11. （5分）袋子里有红、黄、白皮球各2个，任意摸出2个球，可能出现什么结果？列举出来。

12. （5分）“上升数”是指一个数中右边数字比左边大的自然数（如，，等），上升数不包括一位数。

求所有上升数的个数。

广东省深圳市小学数学小学奥数系列7-1加法原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、 (共25题；共113分)1. （5分）找规律，数字游戏。

2. （5分）图中的小格子都是正方形，则图中一共有多少个正方形？3. （5分） 5个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？4. （5分）食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到10种不同重量（单位：千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59．问：这五只羊各重多少千克？5. （5分）找规律，数字游戏。

6. （5分） 2003年7月25日，世界青年女篮锦标赛在克罗地亚开战，参加这届世青赛的队伍共有12支。

（1）第一阶段分两组进行单循环比赛，每个小组有________支球队，两个小组一共进行________场比赛。

（2）中青队、阿根廷队、澳大利亚队、俄罗斯队、拉托维亚队、突尼斯队在这次比赛中被分在一组，则这一小组需要赛几场?请画出示意图。

（3）第二阶段由小组前四名晋级八强，进行交叉淘汰赛。

把8支球队依次编为A、B、C、D、E、F、C、H，补全八强比赛的示意图；（4）一共要比赛________轮，就可以决出冠军和亚军来。

（5）第二阶段一共要赛________场，可以决出冠军亚军来。

（6）如果这12支球队一支采用单循环制，则一共要赛________场。

如果每天安排3场比赛，全部比赛大约需要________天。

7. （5分）停车站划出一排个停车位置，今有辆不同的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案?8. （5分）“学习改变命运”这六个字要用6种不同颜色来写，现只有6种不同颜色的笔，问共有多少种不同的写法？9. （1分）如图，在京哈铁路线，中途经过秦皇岛、沈阳、长春三站，不考虑其它因素，那么铁路部门应制定________种车票价格。

1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲知识要点教学目标7-1-1.加法原理之分类枚举（一）模块一、分类枚举——数出来的种类【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【答案】38【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．【答案】15【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654++=种．【答案】54【例2】和为15的两个非零自然数共有对。

7-1-1.加法原理之分类枚举（一）教学目标1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．知识要点一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有种不同做法，第二类方法中有种不同做1m 2m 法，…，第k 类方法中有种不同做法，则完成这件事共有种不同方法，这就是加k m 12k N m m m =+++……法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲模块一、分类枚举——数出来的种类【例 1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【答案】38【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．【答案】15【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种++=选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：种．18201654【答案】54【例 2】和为15的两个非零自然数共有对。

广西北海市小学数学小学奥数系列7-1加法原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学，经过一段时间的学习，你们一定学到不少知识，今天就让我们大显身手吧！一、 (共25题；共113分)1. （5分）甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，如果：（1）甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？（2）甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？2. （5分）三年级二班的六名同学进行乒乓球单单循环赛，一共要进行多少场比赛？3. （5分）看!小猫、小熊和小兔要进行赛车比赛了，它们比赛完谁会是第一?谁是第二?会有多少种结果呢?4. （5分）甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？5. （5分）围棋的棋盘是由纵、横各19条线交叉组成的．下棋时，棋子都要放在纵线与横线的交叉点上．你能算出棋盘上一共有多少个交叉点吗？6. （5分）小强是数学兴趣小组的组长，小组还有16名组员，放学的时候，数学老师让小强建立一个“电话联络网”，明天交给老师。

要求：联络网的第一个电话由老师打给小强，打一个电话平均1分钟，让16名组员在8分钟内(含8分钟)必须都接到通知。

请你帮助小强设计两种不同的“电话联络网”，并设计算出你所设计的方案中，最后一名组员接到电话所经过的最短时间。

7. （5分） 3名男生，4名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：（1）甲不在中间也不在两端；（2）男、女生分别排在一起；（3）男女相间．8. （5分）文具店里有四种圆珠笔，售价分别是1元、2元、3元和4元。

笑笑花了10元钱买了4支笔，那么他买笔的组合有几种不同的方式?请用算式列出。

9. （1分）如果12支球队一直采用单循环制，若每天安排3场比赛，大约要________天。

10. （5分）小松鼠回家有多少条路?11. （5分）用3、2、0可以组成多少个2的倍数，多少个5的倍数，多少个2和5的倍数。

1.使學生掌握加法原理的基本內容；2.掌握加法原理的運用以及與乘法原理的區別；3.培養學生分類討論問題的能力，瞭解分類的主要方法和遵循的主要原則． 加法原理的數學思想主旨在於分類討論問題，教授本講的目的也是為了培養學生分類討論問題的習慣，鍛煉思維的周全細緻．一、加法原理概念引入 生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法．那麼，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用加法原理來解決．例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長途汽車從北京到天津．那麼他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個問題發現，王老師去天津要麼乘火車，要麼乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法．上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法．在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法．在具體做的時候，只要採用一類中的一種方法就可以完成．並且兩大類方法是互無影響的，那麼完成這件事的全部做法數就是用第一類的方法數加上第二類的方法數．二、加法原理的定義一般地，如果完成一件事有k 類方法，第一類方法中有1m 種不同做法，第二類方法中有2m 種不同做法，…，第k 類方法中有k m 種不同做法，則完成這件事共有12 k N m m m =+++……種不同方法，這就是加法原理．知識要點教學目標 7-1-1.加法原理之分類枚舉（一）加法原理運用的範圍：完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，這樣的問題可以使用加法原理解決．我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立”．分類時，首先要根據問題的特點確定一個適合於它的分類標準，然後在這個標準下進行分類；其次，分類時要注意滿足兩條基本原則：①完成這件事的任何一種方法必須屬於某一類；②分別屬於不同兩類的兩種方法是不同的方法．只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計數原理計算正確．運用加法原理解題時，關鍵是確定分類的標準，然後再針對各類逐一計數．通俗地說，就是“整體等於局部之和”．三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N類；2、每類找種數（每類的一種情況必須是能完成該件事）；3、類類相加枚舉法：枚舉法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對象一一列舉出來進行計數．分類討論的時候經常會需要把每一類的情況全部列舉出來，這時的方法就是枚舉法．枚舉的時候要注意順序，這樣才能做到不重不漏．例題精講模組一、分類枚舉——數出來的種類【例 1】小寶去給小貝買生日禮物，商店裏賣的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書20本，不同的紀念品10種，那麼，小寶買一種禮物可以有多少種不同的選法？【考點】加法原理之分類枚舉【難度】2星【題型】解答【關鍵字】分類討論思想【解析】小寶買一種禮物有三類方法：第一類，買玩具，有8種方法；第二類，買課外書，有20種方法；第三種，買紀念品，有10種方法．根據加法原理，小寶買一種禮物有8+20+10=38種方法．【答案】38【巩固】有不同的語文書6本，數學書4本，英語書3本，科學書2本，從中任取一本，共有多少種取法？【考點】加法原理之分類枚舉【難度】2星【題型】解答【關鍵字】分類討論思想【解析】根據加法原理，共有6+4+3+2=15種取法．【答案】15【巩固】陽光小學四年級有3個班，各班分別有男生18人、20人、16人．從中任意選一人當升旗手，有多少種選法？【考點】加法原理之分類枚舉【難度】2星【題型】解答【關鍵字】分類討論思想【解析】解決這個問題有3類辦法：從一班、二班、三班男生中任選1人，從一班18名男生中任選1人有18種選法：同理，從二班20名男生中任選1人有20種選法；從三班16名男生中任意選1人有16種選法；根據加法原理，從四年級3個班中任選一名男生當升旗手的方法有：18201654++=種．【答案】54【例 2】和為15的兩個非零自然數共有對。

加法原理之分类枚举（一）1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲知识要点 教学目标模块一、分类枚举——数出来的种类【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【答案】38【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．【答案】15【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654++=种．【答案】54【例2】和为15的两个非零自然数共有对。

小学奥数系列7-1加法原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________同学们，经过一段时间的学习，你一定长进不少，让我们好好检验一下自己吧！一、 (共25题；共113分)1. （5分） 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？2. （5分）下面哪一行的规律和其他几行不同，请你画“√"。

3. （5分）找规律，数字游戏。

4. （5分）“上升数”是指一个数中右边数字比左边大的自然数（如，，等），上升数不包括一位数。

求所有上升数的个数。

5. （5分）接下来画什么?请你圈一圈。

6. （5分） (2019三上·高密期中) 明明为自己搭配早餐。

饮料有2种：牛奶、果汁；点心有3种：蛋糕、油条、面包。

饮料和点心各选一种。

一共有多少种不同的搭配方法？7. （5分） 3名男生，4名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：（1）甲不在中间也不在两端；（2）男、女生分别排在一起；（3）男女相间．8. （5分）在一次足球比赛中，共有10支足球队参赛．（1）如果10球队进行循环赛，需要比赛多少场？（2）如果10支球队进行淘汰赛，到最后决出冠军共需要比赛多少场？9. （1分）有8名运动员进行200米赛跑，应怎样设置起跑线？（每条跑道宽1.2米，弯道部分为半圆）（1）若最内圈的弯道半径为31.7米，这个弯道的全长为________米．（2）若最内圈的弯道半径为31.7米，这个弯道的全长为________米．（3）靠内第3圈的弯道半径为________米，这个弯道的全长为________米．（4）靠内第3圈的弯道半径为________米，这个弯道的全长为________米．（5）相邻跑道的弯道长度差为________．（6）相邻跑道的弯道长度差为________．（7）最外圈起跑线的设置应比最内圈提前________米．（8）最外圈起跑线的设置应比最内圈提前________米．10. （5分）根据规律画出被挡住部分的珠子。

1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲知识要点教学目标7-1-1.加法原理之分类枚举（一）模块一、分类枚举——数出来的种类【例 1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【例 2】和为15的两个非零自然数共有对。

吉林省四平市数学小学奥数系列7-1加法原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共25题；共113分)1. （5分）造三位数、找三位数2. （5分）下图中，在平行线、上有6个点，以这些点为顶点，底边在上，可以画出多少个三角形？3. （5分）袋子里有红、黄、白皮球各2个，任意摸出2个球，可能出现什么结果？列举出来。

4. （5分）两个班进行乒乓球比赛，每班有3名选手参赛，并且每个选手都要和对方的每个选手比赛一场，一共要赛几场？5. （5分）按规律填数。

6. （5分）有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张．相同颜色的卡片上写相同的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数．老师把这l2张卡片发给6名同学，每人得到两张颜色不同的卡片．然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和．六名同学交上来的答案分别为：92，125，133，147，158，191．老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答案错了．问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？7. （5分）图中的小格子都是正方形，则图中一共有多少个正方形？8. （5分）一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠个车站（包括北京和上海），这条铁路线共需要多少种不同的车票．9. （1分） (2020二上·内黄期末) 亮亮有3件上衣，2条裤子，他有________种穿法。

10. （5分）一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？（1）把盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位．（2）串起其中盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位．11. （5分） 8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？12. （5分）食堂买来5只羊，每次取出两只合称一次重量，得到10种不同重量（单位：千克）：47，50，51，52，53，54，55，57，58，59．问：这五只羊各重多少千克？13. （5分）用2、5、6、8和小数点能组成多少个不同的两位小数？并分别写出来。

新疆喀什地区数学小学奥数系列7-1加法原理（一）姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、 (共25题；共113分)1. （5分）图中的小格子都是正方形，则图中一共有多少个正方形？2. （5分） 4名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？3. （5分）名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一共要比赛多少场？4. （5分）有6个小朋友，要互相通一次电话，他们一共要通多少个电话?5. （5分）亚洲乒乓球锦标赛第一阶段共有32支球队参加，共分8个组，其中每组球队的前2名进入第二阶段比赛，如果这32支球队采取单循环赛制，第一阶段共赛多少场？6. （5分）四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得分，平一局得分，负一局得分．如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜，那么最多有几局平局？7. （5分） (2018三下·云南期末) 用2、3、5、7组成没有重复数字的两位数，能组成多少个个位是单数的两位数?8. （5分）用两个3、两个4、三个5可以组成多少个不同的七位数？9. （1分）从甲、乙、丙、丁、戊五人中选四人参加4×100m接力赛(每人跑一棒)，按规定甲跑第一棒，丁跑第四棒，有________种安排方法．10. （5分）根据规律画出被挡住部分的珠子。

（1）（2）11. （5分） 8名学生和7名老师进行拔河比赛，首先选一名老师担任裁判，接着再把其余14人分成两队，每队都必须包含4名学生和3名老师，那么共有多少种不同的分队方法？12. （5分）四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得分，负者得分，和棋双方各得分，比赛结束后统计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？13. （5分）从甲地到丁地，售票员需要准备几种车票？（写出所有可能）14. （1分）要从四名男生和三名女生中各选派一人参加混合双打比赛，一共有________种不同的组队方案。

1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．知识要点教学目标加法原理在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲78+87+模块一、分类讨论中加法原理的应用【例 1】 （难度等级 ※）小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？ 【解析】 小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【巩固】 （难度等级 ※）有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？ 【解析】 根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．【巩固】 （难度等级 ※）阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？ 【解析】 解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654++=种．【例 2】 （难度等级※※）从1～10中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？ 【解析】 根据第一个数的大小，将和大于10的取法分为9类：因此，根据加法原理，共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种取法使和大于10．【巩固】（难度等级※※）从1～8中每次取两个不同的数相加，和大于10的共有多少种取法？【解析】两个数和为11的一共有3种取法；两个数和为12的一共有2种取法；两个数和为13的一共有2种取法；两个数和为14的一共有1种取法；两个数和为15的一共有1种取法；一共有3+2+2+1+1=9种取法．【例 3】（难度等级※※）甲、乙、丙三个工厂共订300份报纸，每个工厂至少订了99份，至多101份，问：一共有多少种不同的订法？【解析】甲厂可以订99、100、101份报纸三种方法．如果甲厂订99份，乙厂有订100份和101份两种方法，丙厂随之而定．如果甲厂订100份，乙厂有订99份、100份和101份三种方法，丙厂随之而定．如果甲厂订101份，乙厂有订99份和100份两种方法，丙厂随之而定．根据加法原理，一共有2327++=种订报方法．【巩固】（难度等级※※）大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？【解析】大林和小林共有9本的话，有10种可能；共有8本的话，有9种可能，……，共有0本的话，有1种可能，所以根据加法原理，一共有10+9+……+3+2+1=55种可能．【例 4】（难度等级※※）四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张．问：一共有多少种不同的方法？【解析】设四个学生分别是A，B，C，D，他们做的贺年片分别是a，b，c，d．先考虑A拿B做的贺年片b的情况（如下表），一共有3种方法．同样，A拿C或D做的贺年片也有3种方法．一共有3＋3＋3=9（种）不同的方法．【例 5】(第六届走美试题)一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等，二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．【解析】第一场不管怎么样田忌都必输，田忌只可能在接下来的三场里赢得比赛，若三场全胜，则只有一种出场方法；若胜两场，则又分为三种情况：二，三两场胜，此时只能是田忌的一等马赢得齐王的二等马，田忌的二等马赢齐王的三等马，只有这一种情况；二，四两场胜，此时有三种情况；三，四两场胜，此时有七种情况；所以一共有113712+++=种方法．【例 6】（难度等级※※）把一元钱换成角币，有多少种换法？人民币角币的面值有五角、二角、一角三种．【解析】把一元钱换成角币，有三类分法：①第一类：有五角币2张，只有1种换法：②第二类：有五角币1张，则此时二角币可以有0，1，2张，相应的，一角币有5，3，1张，有3种换法；③第三类：有五角币0张，则此时二角币可以有0，1，2，3，4，5张，相应的，一角币有10，8，6，4，2，0张，有6种换法．所以，根据加法原理，总共的换法有13610++=种．【巩固】（难度等级※※）一把硬币全是2分和5分的，这把硬币一共有1元，问这里可能有多少种不同的情况？【解析】按5分硬币的个数对硬币情况进行分类：如果5分硬币有奇数个，那么无论2分硬币有多少个都不能凑成100分．如表当5分硬币的个数为0～20的偶数时，都有对应个数的2分硬币．所以一共有11种不同的情况．【例 7】（难度等级※※※）用100元钱购买2元、4元或8元饭票若干张，没有剩钱，共有多少不同的买法?【解析】如果买0张8元饭票，还剩100元，可以购买4元饭票的张数为0～25张，其余的钱全部购买2元饭票，共有26种买法；如果买l张8元饭票，还剩92元，可购4元饭票0～23张，其余的钱全部购买2元饭票，共有24种不同方法；如果买2张8元饭票，还剩84元，可购4元饭票0～21张，其余的钱全部购买2元饭票，共有22种不同方法；……如果买12张8元饭票，还剩4元饭票，可购4元饭票0～1张，其余的钱全部购买2元饭票，共有2种方法．总结规律，发现各类情况的方法数组成了一个公差为2，项数是13的等差数列．利用分类计数原理及等差数列求和公式求出所有方法：26+24+22+…+2=(26+2)×13÷2=182(种)．共有182种不同的买法．【巩固】（难度等级※※）一个文具店橡皮每块5角、圆珠笔每支1元、钢笔每支2元5角．小明要在该店花5元5角购买两种文具，他有多少种不同的选择．【解析】一共三种文具，要买两种文具．那么就可以分三类了．第一类：橡皮和圆珠笔5元5角=55角=11块橡皮（要买两种，所以这个不考虑）=9块橡皮+1只圆珠笔=7块橡皮+2只圆珠笔=5块橡皮+3只圆珠笔=3块橡皮+4只圆珠笔=1块橡皮+5只圆珠笔第一类共5种第二类：橡皮和钢笔55角=11块橡皮（不做考虑）=6块橡皮+1只钢笔=1块橡皮+2只钢笔第二类共2种第三类：圆珠笔和钢笔55角=11块橡皮（不做考虑）=1只钢笔+3只圆珠笔第三类共1种【例 8】（难度等级※※※）袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出球的情况共有________种可能．（2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动）【解析】按最少的红球来分类：3红时，黄+白=3，黄可取0，1，2，3共4种．2红时，黄+白=4，黄可取0，1，2，3，4共5种．1红时，黄+白=5，黄可取0，1，2，3，4共5种．0红时，黄+白=6，黄可取0，1，2，3共4种．共有：4+5+5+4=18（种）．【例 9】（难度等级※※）1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可以得到多少个不同的乘积?【解析】按插入乘号的个数进行分类：⑴若插入一个乘号，4个数字之间有3个空当，选3个空当中的任一空当放乘号，所以有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：⨯．⨯，1 2 34⨯，1 2 3 41 2 3 4⑵若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘号有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：⨯⨯．⨯⨯，1 234⨯⨯，1 2 3412 3 4⑶若插入三个乘号，则只有1个插法，可以得到l个不同的乘积，枚举如下：⨯⨯⨯．1234所以，根据加法原理共有3317++=种不同的乘积．【例 10】（难度等级※※※）1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26的数共有多少个?【解析】小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为26，只需其余三位数字和是25．因为十位、个位数字和最多为9＋9=18，因此，百位数字至少是7．于是百位为7时，只有1799，一个；百位为8时，只有1889，1898，二个；百位为9时，只有1979，1997，1988，三个；总计共1＋2＋3=6个．【巩固】（难度等级※※※）1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于24的数共有多少个?【解析】小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23．因为十位、个位数字和最多为9918+=，因此，百位数字至少是5．于是百位为5时，只有1599一个；百位为6时，只有1689，1698两个；百位为7时，只有1779，1788，1797三个；百位为8时，只有1869，1878，1887，1896四个；百位为9时，只有1959，1968，1977，1986，1995五个；根据加法原理，总计共1234515++++=个．【巩固】（难度等级※※※）2007的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个?【解析】大于2000小于3000的四位数千位数字是2，要它数字和为9，只需其余三位数字和是7．因此，百位数字至多是7．于是根据百位数进行分类：第一类，百位为7时，只有2700一个；第二类，百位为6时，只有2610，2601两个；第三类，百位为5时，只有2520，2511，2502三个；第四类，百位为4时，只有2430，2421，2412，2403四个；第五类，百位为3时，只有2340，2331，2322，2313，2304五个；第六类，百位为2时，只有2250，2241，2232，2223，2214、2205六个；第七类，百位为1时，只有2160，2151，2142，2133，2124、2115、2106七个；第八类，百位为0时，只有2070，2061，2052，2043，2034、2025、2016、2007八个；根据加法原理，总计共1234567836+++++++=个．【巩固】（难度等级※※※※）在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？【解析】以个位数的值为分类标准，可以分成以下几类情况来考虑：第1类——个位数字是0，满足条件的数共有10个．其中：⑴十位数字为0，有4000、3100、2200、1300，共4个；⑵十位数字为1，有3010、2110、1210，共3个；⑶十位数字为2，有2020、1120，共2个；⑷十位数字为3，有1030，共1个．第2类——个位数字是1，满足条件的数共有6个．其中：⑴十位数字为0，有3001、2101、1201，共3个；⑵十位数字为1，有2011、1111，共2个；⑶十位数字为2，有1021，满足条件的数共有1个．第3类——个位数字是2，满足条件的数共有3个．其中：⑴十位数字为0，有2002、1102，共2个；⑵十位数字为1，有1012，共1个．第4类——个位数字是3，满足条件的数共有1个．其中：十位数字是0，有l003，共1个．根据上面分析，由加法原理可求出满足条件的数共有1063120+++=个．【例 11】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有个.【解析】按自然数的最高位数分类：⑴最高位为1的有10112358，112358，12358，1347，1459，156，167，178，189共9个⑵最高位为2的有202246，21347，2246，2358，246，257，268，279共8个⑶最高位为3的有303369，31459，3257，3369，347，358，369共7个⑼最高位为9的有9099共1个所以这类数共有98762145++++++=个【例 12】如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比他右边数位上的数字小，那么我们称它为迎春数．那么，小于2008的迎春数一共有多少个？【解析】(法1)两位数中迎春数的个数．⑴十位数字为1的：12，13，……，19．8个⑵十位数字为2的：23，24，……29．7个⑶十位数字为3的：34，35，……39．6个⑷十位数字为4的：45，46，……49．5个⑸十位数字为5的：56，57，……59．4个⑹十位数字为6的：67，68，69．3个⑺十位数字为7的：78，79．2个⑻十位数字为8的：89．1个两位数共87136+++=个三位数中迎春数的个数⑴百位数字是1的：123～129，134～139……189．共28个．⑵百位数字是2的：234～239，……289．共21个．⑶百位数字是3的：345～349，……389．共15个．⑷百位数字是4的：456～458，……489．共10个．⑸百位数字是5的：567～569，……589．共6个．⑹百位数字是6的：678，679，689．共3个．⑺百位数字是7的：789．1个1000～1999中迎春数的个数⑴前两位是12的：1234～1239，……，1289．共21个．⑵前两位是13的：1345～1349，……，1389．共15个．⑶前两位是14的：1456～1459，……，1489．共10个．⑷前两位是15的：1567～1569，……，1589．共6个．⑸前两位是16的：1678，1679，1689．3个．⑹前两位是17的：1789．1个共56个．所以小于2008的迎春数共368456176++=个．(法2)小于2008的迎春数只可能是两位数，三位数和1000多的数．两位数的取法有98236⨯÷=个．三位数的取法有()⨯⨯÷⨯⨯=个．87632156⨯⨯÷⨯⨯=个．1000多的迎春数的取法有()98732184所以共368456176++=个．【例 13】有些五位数的各位数字均取自1，2，3，4，5，并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1．问这样的五位数共有多少个？【解析】⑴首位取1时，千位只能是2，百位可以是1和3．百位是1，十位只能是2，个位可以是1和3．2种．百位是3，十位可以是2和4；十位是2，个位可以是1和3，十位是4，个位可以是3和5．4种．所以，首位取1时，共有246+=种．⑵首位取2时，千位可以是1和3．千位是1，百位只能是2，十位可以是1和3．有3种．千位是3，百位可以是2和4．百位是2，十位可是是1和3，有3种．百位是4，十位可以是3和5，有3种．千位是3时有336+=种．所以首位取2时，共有369+=种．⑶首位取3时，千位可以取2和4．千位是2，百位可以取1和3．百位是1，十位只能是2，个位可以是1和3；2种．百位是3时，十位可以是2和4．十位是2个位可以是1和3；十位是4，个位可以是3和5；4种．千位是4，百位可以取3和5．百位是5，十位只能是4，个位可以是3和5；2种．百位是3，十位可能是2和4．十位是2个位可以是1和3；十位是4个位可以是3和5；4种．所以，首位取3时，共有242412+++=种．⑷首位取4时，千位可以取3和5．千位是5，百位只能是4，十位可以是3和5．十位是3个位可以是2和4；十位是5个位只能是4．有3种．千位是3，百位可以是2和4．百位是2，十位可以是1和3．十位是1个位只能是2；十位是3个位可以是2和4．有3种．百位是4，十位可以是3和5．十位是5个位只能是4；十位是3，个位可以是2和4．有3种．千位是3共有336+=种．所以，首位取4时，共有369+=种．⑸首位取5时，千位只能是4，百位可以是3和5．百位是5，十位只能是4，有2种；百位是3，十位可以是2和4，有4种．所以，首位取5时共有246+=种． 总共有：69129642++++=个也可以根据首位数字分别是1、2、3、4、5，画5个树状图，然后相加总共有：69129642++++=个模块二、树形图法、标数法及简单的递推一、树形图法“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．【例 14】 （难度等级 ※※※）A 、B 、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A 手中，那么不同的传球方式共多少种？(2005年《小数报》数学邀请赛) 【解析】 如图，A 第一次传给B ，到第五次传回A 有5种不同方式． 同理，A 第一次传给C ，也有5种不同方式．所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5510+=种．C B CC B AAB A B CCBA【巩固】 （难度等级 ※※※）一只青蛙在A ，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4次仍回到A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？ 【解析】 6种，如图，第1步跳到B ，4步回到A 有3种方法；同样第1步到C 的也有3种方法．根据加法原理，共有336+=种方法．AA A BCAB C BA【例 15】 （难度等级 ※※※）甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止．问：一共有多少种可能的情况？【解析】 如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图中打√的为胜者，一共有7种可能的情况．同理，乙胜第一局也有 7种可能的情况．一共有 7＋7=14（种）可能的情况．二、标数法适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数．标数法是加法原理与递推思想的结合．【例 16】 （难度等级 ※※）如图所示，沿线段从A 到B 有多少条最短路线？GFE D C BA111064332111AB【解析】 图中B 在A 的右上方，因此从A 出发，只能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如果到达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这个点左边的点来的，要么是从这个点下边的点来的．那么，如果最后到达了B ，只有两种可能：或者经过C 来到B 点，或者经D 来到B 点，因此，到达B 的走法数目就应该是到达C 点的走法数和到达D 点的走法数之和，而对于到达C 的走法，又等于到达E 和到达F 的走法之和，到达D 的走法也等于到达F 和到达G 的走法之和，这样我们就归纳出：到达任何一点的走法都等于到它左侧点走法数与到它下侧点走法数之和，根据加法原理，我们可以从A 点开始，向右向上逐步求出到达各点的走法数．如图所示，使用标号方法得到从A 到B 共有10种不同的走法．【巩固】（难度等级※※）如图，从A点到B点的最近路线有多少条？BA10204111111B6243310A【解析】使用标号法得出到B点的最近路线有20条．【例 17】（难度等级※※）如图，某城市的街道由5条东西向马路和7条南北向马路组成，现在要从西南角的A处沿最短的路线走到东北角B出，由于修路，十字路口C不能通过，那么共有＿＿＿＿种不同走法．A【解析】本题是最短路线问题．要找出共有多少种不同走法，关键是保证不重也不漏，一般采用标数法．如上图所示，共有120种．另解：本题也可采用排除法．由于不能经过C，可以先计算出从A到B的最短路线有多少条，再去掉其中那些经过C的路线数，即得到所求的结果．对于从A到B的每一条最短路线，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上；而对于每一条最短路线，如果确定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上的，从而该路线也就确定了．这就说明从A到B的最短路线的条数等于从10次向右或向上里面选择6次向右的种数，为610C．一般地，对于m n⨯的方格网，相对的两个顶点之间的最短路线有mm nC+种．本题中，从A到B的最短路线共有610C种；从A到C的最短路线共有26C种，从C到B的最短路线共有24C种，根据乘法原理，从A到B且必须经过C的最短路线有2264C C⨯种，所以，从A到B且不经过C的最短路线有622106421090120C C C-⨯=-=种．【例 18】（难度等级※※※）如图所示，从A点到B点，如果要求经过C点或D点的最近路线有多少条？【解析】1、方格图里两点的最短路径，从位置低的点向位置高的点出发的话，每到一点（如C、D点）只能向前或者向上．2、题问的是经过C点，或者D点；那么A到B点就可以分成两条路径了A--C---B；A---D---B，那么也就可以分成两类．但是需要考虑一个问题——A到B点的最短路径会同时经过C和D点吗？最短路径只能往上往前，经过观察发现C、D不会同时出现在最短路径上了．3、A---C---B，那么C就是必经之点了，就需要用到乘法原理了．A---C，最短路径用标数法标出，同样C---B点用标数法标注，然后相乘A---D---B，同样道理．最后结果是735+420=1155条．【例 19】如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有条. 【解析】到各点的走法数如图2所示.A111812666633211DB CA图1图2所以最短路径有18条.【例 20】小王在一年中去少年宫学习56次，如图所示，小王家在P点，他去少年宫都是走最近的路，且每次去时所走的路线正好互不相同，那么少年宫在________点处．C【解析】本题属最短路线问题．运用标数法分别计算出从小王家P点到A、B、C、D、E点的不同路线有多少条，其中，路线条数与小王学习次数56相等的点即为少年宫．因为，从小王家P点到A点共有不同线路84条；到B点共有不同线路56条；到C点共有不同线路71条；到D点共有不同线路15条；到E点共有不同线路36条．所以，少年宫在B点处．【例 21】（难度等级※※※）在下图的街道示意图中，有几处街区有积水不能通行，那么从A到B的最短路线有多少种？AB1111111111455511136162151422 1111 1311B A【解析】因为B在A的右下方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和．有积水的街道不可能有路线经过，可以认为积水点的走法数是0．接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数．如右上图，从A到B的最短路线有22条．【例 22】（难度等级※※※）在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少条？CB A633311122221111CB A【解析】因为B在A的右上方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它下侧点的走法数之和．而C是一个特殊的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过C，可以认为到达C点的走法数是0．接下来，可以从左下角开始，按照加法原理，依次向上向右填上到各点的走法数．如图，从A到B的最短路线有6条．【巩固】（难度等级※※※）在下图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线有多少种？CBA【解析】因为B在A在右下方，由标号法可知，从A到B的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到它上侧点的走法数之和.而C是一个特殊的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过C，可以认为到达C点的走法数是0.接下来，可以从左上角开始，按照加法原理，依次向下向右填上到各点的走法数.如图，从A到B的最短路线有6条．【例 23】（难度等级※※※）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好玩的【解析】方法一：标数法．第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择前面那个字的下方或右方的字，所以本题也可以使用标号法来解：(如右上图，在格子里标数)共70种不同的读法．方法二：组合法．仔细观察我们可以发现，按“我们学习好玩的数学”走的路线就是向右走四步，向下走四步的路线，而向下和向右一个排列顺序则代表了一种路线．所以总共有4870C 种不同的读法．【例 24】（难度等级※※※）如图，沿着“北京欢迎你”的顺序走（要求只能沿着水平或竖直方向走），一共有多少种不同的走法？北北京北北京欢京北欢迎欢你1131127212112113515 11113451014610151512013570321【解析】 沿着“北京欢迎你”的顺序沿水平或竖直方向走，北以后的每一个字都只能选择上面的或左右两边的字，按加法原理，用标号法可得右上图．所以一共有11种走法．【巩固】 （难度等级 ※※※）如下表，请读出“我们学习好玩的数学”这9个字，要求你选择的9个字里能连续(即相邻的字在表中也是左右相邻或上下相邻)，这里共有多少种完整的“我们学习好玩的数学”的读法．【解析】 第一个字只能选位于左上角的“我”，以后每一个字都只能选择前面那个字的下方或右方的字，所以本题也可以使用标号法来解：(在格子里标数)共70种不同的读法．【例 25】 （难度等级 ※※※）在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走是，正好拼出“APPLE ”的路线共有多少条？A|A—P—A| | |A—P—P—P—A| | | | |A—P—P—L—P—P—A| | | | | | |A—P—P—L—E—L—P—P—A 1|1—3 —1| | |1—2—7 —2—1| | | | |1—2—4—15—4—2—1| | | | | | |1—2—4—8—31—8—4—2—1【解析】 要想拼出英语“APPLE ”的单词，必须按照“A →P →P →L →E ”的次序拼写．在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径．如下图所示，运用标号法原理标号得出共有31种不同的路径．【巩固】如图1，用水平线或竖直线连结相邻汉字，沿着这些线读下去，正好可以读成“祖国明天更美好”，351511113451014610151512013570321。