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数字进位制一、十进制（Decimal System）十进制是我们日常生活中最常用的进位制。
它由0-9这10个数字组成。
每一位的权值都是10的幂次方，从右往左依次为10^0、10^1、10^2...以此类推。
在十进制中，数字的数值大小由高位到低位依次递增，方便人们理解和计算。
二、二进制（Binary System）二进制是计算机系统中最基础的进位制。
它只由0和1这两个数字组成。
每一位的权值都是2的幂次方，从右往左依次为2^0、2^1、2^2...以此类推。
二进制中的数值大小由高位到低位递增，与十进制不同的是，每一位只能是0或1，所以运算更加简单高效。
三、八进制（Octal System）八进制是一种较为少见的进位制，它由0-7这8个数字组成。
每一位的权值都是8的幂次方，从右往左依次为8^0、8^1、8^2...以此类推。
八进制在计算机领域中用得较少，但在Unix系统中经常使用，例如文件权限的表示就是用八进制。
四、十六进制（Hexadecimal System）十六进制是计算机系统中常见的进位制之一。
它由0-9和A-F这16个数字组成，其中A-F分别表示10-15。
每一位的权值都是16的幂次方，从右往左依次为16^0、16^1、16^2...以此类推。
十六进制在计算机领域中广泛应用，例如表示颜色、内存地址等。
五、三进制（Ternary System）三进制是一种基于3的进位制。
它由0-2这3个数字组成。
每一位的权值都是3的幂次方，从右往左依次为3^0、3^1、3^2...以此类推。
三进制在现实生活中较少使用，但在某些领域如电子工程中有一定应用，例如存储器中的三值逻辑。
六、五进制（Quinary System）五进制是一种基于5的进位制。
它由0-4这5个数字组成。
每一位的权值都是5的幂次方，从右往左依次为5^0、5^1、5^2...以此类推。
五进制在现实生活中较少使用，但在某些领域如音乐理论中有一定应用，例如五线谱的音符表示就是用五进制。
数的进位制预备知识：进位制的基本概念及p 进制化为10进制。
1.．．我们已知道10进制的记数原理。
如一个10进制数1999=910991101023+⨯+⨯+⨯。
一般地，a b c d e =ed c b a +⨯+⨯+⨯+⨯10101010234（其中a,b,c,d,e 均是0—9的数码，且a 0≠）也就是说每个数都可以按．．．．．．．10．．的方幂形式展开．．．．．．．10进制数有以下特点：（1）“10”是这种进位制的基数，逢．．．．10．．进一．．。
（2）表示一个数需要用0，1，2…9 这10个不同的数码。
（3）数码处在不同的位置（数位）表示的意义不同，如在1999中左边第一个9代表900，而左边第二个9代表90。
说每个数都可以按10的方幂形式展开。
2.按照10进制数的特点，我们可以推广到p 进制数。
设p 是不为1的正整数，我们可以选p 为基数，确定p 进制数。
要求（1） 逢p 进一（2） 在p 进制中有0，1，2…(p-1)共p 个数码。
（3） 每个数都能按p 的方幂展开。
如p=5时就是5进制数，在5进制中5为基数，逢5进一，只使用0，1，2，3，4共5个数码。
每个数都能按5的方幂展开，5进制a 记为（a ）5 ，例（12345）5=453215523+⨯+⨯+⨯ 一． 把一个p 进制数转化为10进制数。
一般的一个p 进制数N=（a a a a n 321）p 转化为10进制数，只要 把N 按p 的降幂形式展开即可，然后安通常的十进制数相加就得到所求的十进制数。
即（a a a a n 321）p =a p a p a n n n +⨯+⨯--2211 例1将)7215(12化为10进制。
例2在哪个进制中，10进制数52记为34？例3如果在某个进位制中4466=⨯，那么在这个进位制中76是10进制中的哪个数？。
进位制概念及应用一、数的进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。
在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。
比如二进制，八进制，十六进制等。
2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。
因此，二进制中只用两个数字0和1。
二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。
二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。
注意：对于任意非零自然数n ,我们有n 0=1。
3.k 进制：一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，L ，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，L ．如二进位制的计数单位是02，12，22，L ，八进位制的计数单位是08，18，28，L ．4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式1110110n n n n k n n a a a a a k a ka k a ---=⨯+⨯++⨯+L L （） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++L ；二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++L ；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数．5.k 进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。
二、进制间的转换：一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．如右图所示:1. 将下面的数转化为十进制的数：()21111 ()21010010 ()54301 ()1608B巩固：请将十进制数90转化成二进制、七进制和十六进制。
进位制
我们平常熟悉的十进制：
（2012）10＝2×103＋0×102＋1×101＋2
其他进制转化为十进制：
（a…bcde）n＝a×n k-1＋……＋b×n3＋c×n2＋d×n＋e
十进制转化为其他进制：
例1.A，B是两个自然数，如果A进位制数47和B进位制数74相等，那么A＋B的最小可能值是多少？
[答疑编号0518330101]
【解答】由已知：4A＋7＝7B＋4，即4A＝7B－3，可见B除以4余1。
又B进制中有7出现，说明B＞7，因此B的最小值是9，相应的计算出A＝15。
所以A＋B最小值是9＋15＝24。
例2.一个十进制的两位数A，它的十位数字为5，另一个R进制数为B，它的各位数字与A分别相等，而且B在十进制中恰好是A的3倍，那么数A 和B在十进制中各是多少？
[答疑编号0518330102]
【解答】设A 在十进制中表示是（），
由已知：5×R＋m＝3×（50＋m），即5×R＝150＋2×m，
1
可见m是5的倍数，因此m＝0或5。
相应的计算出R＝30或32。
所以A和B分别是50、150，或者55，165。
例3.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？
[答疑编号0518330103]
【解答】设自然数在六进制中表示是（），则在九进制中表示是（）。
则36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a，35a＝3b＋80c，通过对等式的观察，可以发现b是5的倍数。
又由于b是在六进制中的数，所以，b是0或5。
（1）若b＝0, 则上式变为35a＝80c，即7a＝16c，a需要是16的倍数，a又小于6。
所以，a＝0。
但是a在首位，a又不能等于0。
所以，这样的数字不存在。
（2）若b=5, 则上式变为7a＝3＋16c，a＝5，c＝2。
所以，这个六进制数是（552）6化为十进制是5×62＋5×6＋2＝212。
例4.如果某个自然数可以写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和，我们就称这样的数为“双子数”，比如9＝＋，36＝＋，它们都是双子数。
现有一个双子数是1040。
（1）把1040写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和。
这样的写
2
法唯一吗？
（2）比1040小的双子数共有多少个?
[答疑编号0518330104]
【解答】
（1）1040＝1024＋16＝＋，写法是唯一的。
（2）若某个双子数可以表示成的样子（k＞m），
而且小于1040，则k＜10或者k＝10，m＜4。
当k＜10：则m也小于10，也就是k、m在0到9之间取值，
且不相同，利用排列组合，有=45种。
当k＝10：m＜4：m＝0、1、2或3，4种情况。
因此共有45＋4＝49个。
例5.一副双色牌中，红、黑两种颜色各有10张，分别写着1、2、4、8、16、……、512.小梁从中任意抽取一些牌，计算抽出的牌面上所有数的和.
（1）若算出的和为183，那么小梁最多可能抽取了多少张牌？
（2）小梁有多少种抽取牌的方法，使得算出的和为23？
[答疑编号0518330105]
【解答】
（1）183＝27＋25＋24＋22＋21＋20，其中 26、22、21、20是恰有一个颜
3
色选择，
25、24、23是两种颜色都可以选择的。
所以，最多可能抽取10张。
（2）23＝0＋23＝1＋22＝2＋21＝……＝23＋0。
所以，总共有24种。
例6.有些正整数可以表示成496的不同约数之和，例如36符合条件，因为36可以表示成1＋4＋31；而62本身就是496的约数，那么认为62
也符合条件.
（1）请把104写成496的不同约数之和；
（2）不能写成496的不同约数之和的最小正整数是多少？
[答疑编号0518330106]
【解答】（1） 496＝31×16，所以，104＝62＋31＋8＋2＋1
（2）496＝31×16，因此496的约数有1，2，4，8，16，1×31，2×31，4×31，8×31，16×31。
其所有约数的和为：
1＋2＋4＋8＋16＋1×31＋2×31＋4×31＋8×31＋16×31＝31＋
31×31＝992。
对于小于992的任何一个正整数，都可以表示成n＝31×k＋r，其中
0≤k，r≤31，
将k和r分别用二进制表示，可知31×k可以表示成1×31，2×31，4×31，8×31，16×31中若干个数之和，r可以表示成1，2，4，8，16中若干个数之和。
4
因此n＝31×k＋r一定可以表示成496的若干个互不相同的约数之和。
又993比496的所有约数之和还要大，因此它不能写成496的不同约数之和，
故所求最小正整数就是993。
例7.用a、b、c、d、e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果（ade）5、（adc）5、（aab）5是由小到大排列的连续正整数，那么（cde）
5所表示的整数写成十进制的表示是多少？
[答疑编号0518330107]
【解答】通过分析，得到c＝4，d＝1，e＝3。
（413）5＝4×52＋1×5
＋3＝108。
例8.三个两位数恰构成公差为6的等差数列，而在五进制的表示中，
这三个数的数字和是依次减少的.那么符合这样要求的等差数列有多少
个？
[答疑编号0518330108]
【解答】将6化成五进制数，就是11.因为这3个数的数字和是依次减
少的，这就是说要找到1个五进制数，它加上1个11后有进位，再加1个
11后还有进位.
，说明每一个两位数化成五进制数后最多只有3位.那么进
5
位只可能在个位和十位.
由此我们可以找到两种符合要求的数：a24、a43.在这两种数中，a都有3种选择0、1、2.所以一共有6个符合要求的等差数列.
6。
