二次函数的图像与字母系数的关系

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二次函数图象与系数的关系

知识点

一、

二次函数错误!未找到引用源。的图象与性质

二次函数错误!未找到引用源。图象可由抛物线错误!未找到引用源。 平移 个单位，再 平移 个单位而得到. 平移规律如下：

(1)平移时与上、下、左、右平移的先后顺 ，既可以先左右移再上下移，也可以先上下移再左右移；

(2)抛物线的移动主要看 的移动，即在平移时只要抓住 的位置变化就可以了；

(3)平移规律：“上加下减，左加右减”.

(4)抛物线错误!未找到引用源。经过反向平移也可以得到错误!未找到引用源。；

(5)抛物线错误!未找到引用源。的对称轴是直线 ，顶点坐标是 .

二次函数错误!未找到引用源。的性质列表如下：

函数

错误!未找到引用源。的符号 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

最值 2 / 9

函数的增减性

二、 错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的互相转化

1.通过 、 可以将错误!未找到引用源。化为错误!未找到引用源。.

2.利用 可以将错误!未找到引用源。转化为错误!未找到引用源。.简记为“一提，二配，三计算”.即错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 .

因此，二次函数错误!未找到引用源。的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线

，顶点坐标是 .

三、 二次函数错误!未找到引用源。的图象及性质

函数

错误!未找到引用源。的符号 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

图象

开口方向

对称轴

顶点坐标

增减性

最值

二次函数图象与字母系数的关系判定方法(含例题讲解)

二次函数是初中数学的重点内容之一，它的图像是由字母系数a、b、c的符号确定的，反之在给定抛物线的条件下如何确定字母系数的范围呢?现将二次函数的图像与字母系数的关系归纳如下：

二次函数图象与字母系数的关系判定方法(含例题讲解)

（1）抛物线开口向上；

抛物线开口向下．

（2）抛物线开口大小，越大开口越小

（3）、同号对称轴在轴左侧；

、异号对称轴在轴右侧；

=0对称轴为轴．

（4）抛物线与轴的交点在轴上方；

抛物线与轴的交点在轴下方；

抛物线必过原点．

（5）抛物线与轴有两个交点；

抛物线与轴有唯一交点 ；

抛物线与轴没有交点．

（6）的符号由点( 1，)的位置来确定；

的符号由点( -1，)的位置来确定；

的符号由点(2，)的位置来确定。

例1：

如图1是抛物线的图像，则① 0；② 0；③ 0； ④ 0；⑤ 0；⑥ 0；⑦ 0。 解析：由图知：抛物线开口向下，；对称轴在轴左侧，、同号，故；抛物线与轴的交点在轴上方，；点( 1，)、点( -1，)分别在第四象限和第二象限，得<0, >0；抛物线与轴有两个交点，得；由对称轴得=0．

例2

如图2，已知二次函数的图像与轴相交于(，0 )，(， 0)两点，且，与轴相交于(O，-2)，下列结论：①；②；③； ④；⑤。． 其中正确结论的个数为( )

A．1个 个 个 D．4个 解析：由图知：.当时，，所以，故③错误；因为抛物线与轴有两个交点，所以即，所以④正确；当时，由图像得，即，所以，故①错误；因为，又，所以，故②错；当时，， 即，所以故⑤错误．

所以答案选 A．

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小专题 一次函数图象与字母系数的关系

【例】（郑州八中期中）如图，在同一平面直角坐标系中，表示一次函数ymxn与正比例函数ymnx（m，n是常数，且0mn）的图象是（ ）

【思路点拨】本题应分如下几种情况进行讨论：①00mn，；②00mn，；③00mn，；④00mn，.由①知，直线ymxn过第一、二、四象限；此时0mn，直线ymnx过第二、四象限.对照所给图象，可逐一排除，得到正确结果.

方法指导

针对训练

1.函数(0)ykxkk的图象是（ ）

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2.（甘肃中考）在平面直角坐标系中，已知一次函数(2)ykxb的图象大致如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 2,0 B. 2,0C. 2,0 D. 2,0kbkbkbkb

3.已知点kb（，）为第四象限内的点，则一次函数ykxb的图象大致是（ ）

4.（广州中考）若一次函数yaxb的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）

2A. 0 B. 0C. 0 D. 0abababab

5.（平顶山叶县期中）两个一次函数yaxbybxa与（a，b为常数，且0ab），它们在同一个坐标系中的图象可能是（ ）

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6.一次函数yaxb的图象如图所示，则化简|||1|abb得___________.

7.已知直线(0)ykxbk与x轴的交点在x轴的正半轴，则下列结论：①0k，0b；②00kb，；③00kb，；④00kb，.其中正确的是_________.

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热点05 二次函数的图象及简单应用

中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：

一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）

二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）

三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）

四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）

二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。

考向一：二次函数图象与性质

【题型1 二次函数的图象与性质】

满分技巧

1. 对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象：

形状：抛物线； 对称轴：直线abx2；顶点坐标：)442(2abacab，；

2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。

1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）

A．对称轴为直线x＝﹣2 B．顶点坐标为（2，3）

C．函数的最大值是﹣3 D．函数的最小值是﹣3

3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）