高考冲刺 集合与逻辑(基础)(1)
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第1页 共12页 高考冲刺 集合与逻辑
编稿：孙永钊 审稿：张林娟
【高考展望】
集合与常用逻辑用语是高考的必考内容，多为选择题或填空题，难度不大.集合命题以集合的基本运算，尤其是交集与补集的运算为主；常用逻辑用语多与函数、三角、数列、不等式等知识综合进行命题，难度不大，命题比较分散，命题的四种形式、充要条件的判断、含有逻辑联结词的命题的判断以及含量词的命题等考点均有涉及.
【知识升华】
一、集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。
1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、SCA、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。
① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ。
③若集合A中有()nnN个元素，则集合A的所有不同的子集个数为n2，所有真子集的个数是n2－1, 所有非空真子集的个数是22n
④区分集合中元素的形式：
如}12|{2xxyxA；
}12|{2xxyyB；
}12|),{(2xxyyxC；
}12|{2xxxxD；
},,12|),{(2ZyZxxxyyxE；
}12|)',{(2xxyyxF；
},12|{2xyzxxyzG。
⑤空集是指不含任何元素的集合。}0{、和}{的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集，
第2页 共12页 是任何非空集合的真子集。条件为BA，在讨论的时候不要遗忘了A的情况。
⑥符号“,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“,Ø”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。
二、常用逻辑用语
1．命题
命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。
常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。
2．复合命题的真值
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p 非p
真 假
假 真
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p q P或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表；2°由真值表得：“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真；3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。
第3页 共12页 3．四种命题
如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；
如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题。
两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假。
4．充要条件
一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件。
一般地，如果既有pq，又有qp，就记作：pq.“”叫做等价符号。pq表示pq且qp。
这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。
5．全称命题与特称命题
这里，短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。
短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。
【典型例题】
类型一、集合概念
例1.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P B．Q C． D．不知道
【思路点拨】类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．
【答案】B
【解析】事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．
例2. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q= B．P Q C．P=Q D．P Q
【思路点拨】有的同学一接触此题马上得到结论P=Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同，
第4页 共12页 而没有注意到构成两个集合的元素是不同的，P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．
【答案】A
【解析】正确解法应为： P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此P∩Q=．∴应选A．
举一反三：
【变式】若}032|{}1|{22xxxBxxA，，则BA= （ ）
A．{3} B．{1} C． D．{－1}
【答案】D．
【解析】{|1,1}{|1,3},1.AxxxBxxxAB，
类型二、集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例3.已知集合A={a,a＋b, a＋2b}，B={a,ac, ac2}．若A=B，则c的值是______．
【思路点拨】要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
【解析】分两种情况进行讨论．
（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，
a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．
∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，
∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－12．
【总结升华】解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正．
举一反三：
【变式】已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－ax＋a－1=0}，且A∪B=A，则a的值为______．
【思路点拨】由A∪B=ABA而推出B有四种可能，进而求出a的值．
【解析】∵ A∪B=A， ,BA
∵ A={1，2}，∴ B=或B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B=，则令△<0得a∈；
若B={1}，则令△=0得a=2，此时1是方程的根；
第5页 共12页 若B={2}，则令△=0得a=2，此时2不是方程的根，∴a∈；
若B={1，2}则令△>0得a∈R且a≠2，把x=1代入方程得a∈R，把x=2代入方程得a=3．
综上a的值为2或3．
【总结升华】本题不能直接写出B={1，a－1}，因为a－1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．
类型三、集合的关系与运算
例4.设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．
【思路点拨】
【解析】任设a∈A，则a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，
∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ a∈B,故AB． ①
又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故BA ②
由①、②知A=B．
【总结升华】这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．
举一反三：
【变式】记关于x的不等式01xax的解集为P，不等式11x≤的解集为Q．
（I）若3a，求P；
（II）若QP，求正数a的取值范围．
【思路点拨】先解不等式求得集合P和Q．
【解析】（I）由301xx，得13Pxx．
（II）1102Qxxxx≤≤≤．
由0a，得1Pxxa，又QP，所以0a，
即a的取值范围是(2)，．
例5.设集合{1,2}A,则满足{1,2,3}AB的集合B的个数是（ ）
A . 1 B .3 C .4 D . 8
【解析】{1,2}A，{1,2,3}AB，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有224个.故选C.
【总结升华】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想.
例6.设全集U={x|0
