高考总复习——第一章 集合与简易逻辑

第一节 集 合

[备考方向要明了]

考 什 么 怎 么 考

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1.集合的含义与表示

(1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．

(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．

2.集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．

3.集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的

含义，会求两个简单集合的并集与交集．

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

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(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

1.对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力．如(理)2012年全国T1，江西T1等．(文)2012年天津T9等．

2.对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面：

(1)判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断．如(文)2012年全国T1，福建T1，湖北T1等．(理)2011北京T1.

(2)以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题．

3.集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或Venn图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力．如(理)2012北京T1、陕西T1、山东T1等．(文)2012陕西T1、上海T2等.

[归纳·知识整合]

1．元素与集合

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．

(2)集合与元素的关系：若a属于A，记作a∈A；若b不属于A，记作b∉A.

(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集及其符号表示

、

数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

符号 N N*或N＋ Z {

Q R

[探究] 1.集合A＝{x|x2＝0}，B＝{x|y＝x2}，C＝{y|y＝x2}，D＝{(x，y)|y＝x2}相同吗它们的元素分别是什么

提示：这4个集合互不相同，A是以方程x2＝0的解为元素的集合，即A＝{0}；B是函数y＝x2的定义域，即B＝R；C是函数y＝x2的值域，即C＝{y|y≥0}；D是抛物线y＝x2上的点组成的集合．

2．0与集合{0}是什么关系∅与集合{∅}呢

提示：0∈{0}，∅∈{∅}或∅⊆{∅}．

2．集合间的基本关系

表示

关系 [

文字语言 符号语言

相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A⊆B且B⊆A⇔A＝B

子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B或B⊇A

真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个[ 元素不是A中的元素

AB或BA

空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ∅⊆A∅B(B≠∅)

[探究] 3.对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，B有什么关系

提示：A＝B.假设A≠B，则A∩BA∪B，与A∩B＝A∪B矛盾，故A＝B.

3．集合的基本运算

集合的并集 >

集合的交集 集合的补集

符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA

图形表示

}

意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

[探究] 4.同一个集合在不同全集中的补集相同吗

提示：一般情况下不相同，如A＝{0,1}在全集B＝{0,1,2}中的补集为∁BA＝{2}，在全集D＝{0,1,3}中的补集为∁DA＝{3}．

[自测·牛刀小试]

1．(2012·山东高考)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为( )

A．{1,2,4} B．{2,3,4}

？

C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}

解析：选C 由题意知∁UA＝{0,4}，又B＝{2,4}，所以(∁UA)∪B＝{0,2,4}．

2．(教材改编题)已知集合A＝{x|2x－3<3x}，B＝{x|x≥2}，则( )

A．A⊆B B．B⊆A

C．A⊆∁RB D．B⊇∁RA

解析：选B ∵A＝{x|2x－3<3x}＝{x|x>－3}，

B＝{x|x≥2}，

∴B⊆A.

3．已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为( )

A．1或－1 B．1或3

~

C．－1或3 D．1，－1或3

解析：选B ∵5∈{1，m＋2，m2＋4}，

∴m＋2＝5或m2＋4＝5， 即m＝3或m＝±1.

当m＝3时，M＝{1,5,13}；当m＝1时，M＝{1,3,5}；

当m＝－1时M＝{1,1,5}不满足互异性．

∴m的值为3或1.

4．(教材改编题)已知集合A＝{1,2}，若A∪B＝{1,2}，则集合B有________个．

解析：∵A＝{1,2}，A∪B＝{1,2}，

∴B⊆A，∴B＝∅，{1}，{2}，{1,2}．

】

答案：4

5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋1}，B＝{x|x2－5x＋4≥0}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是________．

解析：∵B＝{x|x2－5x＋4≥0}＝{x|x≥4，或x≤1}，

且A∩B＝∅，

∴ a－1>1，a＋1<4，∴ a>2，a<3.即2

答案：(2,3)

集合的基本概念

—

[例1] (1)(理)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )

A．3 B．6

C．8 D．10

(文)(2013·济南模拟)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )

A．5 B．4

C．3 D．2

(2)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若9∈(A∩B)，则实数a的值为________．

[自主解答] (1)(理) 法一：由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>y，当y＝1时，x可取2,3,4,5，有4个；y＝2时，x可取3,4,5，有3个；y＝3时，x可取4,5，有2个；y＝4时，x可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．

法二：因为A中元素均为正整数，所以从A中任取两个元素作为x，y，满足x>y的(x，y)即为集合B中的元素，故共有C25＝10个．

￥

(文) 集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}．

故所求集合中元素的个数为3.

(2)∵9∈(A∩B)，∴9∈A且9∈B，

∴2a－1＝9或a2＝9.

∴a＝5或a＝±3.当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4，9}，符合题意；当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B不满足集合中元素的互异性，故a≠3；当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，符合题意．

∴a＝5或a＝－3.

[答案] (1)(理)D (文)C (2)5或－3

本例(2)中，将“9∈(A∩B)”改为“A∩B＝{9}”，其他条件不变，则实数a为何值

解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B，

—

∴2a－1＝9或a2＝9，

即a＝5或a＝±3.

当a＝5时，A＝{－4,9,25}，B＝{0，－4,9}，

∴A∩B＝{－4,9}，不满足题意，

∴a≠5.

当a＝3时，A＝{－4,5,9}，B＝{－2，－2,9}，不满足集合中元素的互异性，∴a≠3.

当a＝－3时，A＝{－4，－7,9}，B＝{－8,4,9}，

∴A∩B＝{9}，符合题意，

综上a＝－3.

|

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解决集合问题的一般思路

(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．

(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．

1．(1)已知非空集合A＝{x∈R|x2＝a－1}，则实数a的取值范围是________．

(2)已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．

解析：(1)∵集合A＝{x∈R|x2＝a－1}为非空集合，

∴a－1≥0，即a≥1. (2)∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，

}

∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，

即1－2＋a≤0，∴a≤1.

答案：(1)[1，＋∞) (2)(－∞，1]

集合间的基本关系

[例2]

已知集合A＝{x|0

[自主解答] A中不等式的解集应分三种情况讨论：

①若a＝0，则A＝R；

#

②若a<0，则A＝x|4a≤x<－1a；

③若a>0，则A＝x|－1a

当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．

当a<0时，若A⊆B，如图，

则 4a>－12，－1a≤2，即 a>0或a<－8，a>0或a≤－12.

又∵a<0，∴a<－8.

当a>0时，若A⊆B，如图，

则 －1a≥－12，4a≤2，即 a≥2或a<0，a≥2或a<0.

]

又∵a>0，∴a≥2.

综上知，当A⊆B时，a<－8或a≥2.

[答案] (－∞，－8)∪[2，＋∞)