高考数学第一轮复习 集合与简易逻辑

高考数学第一轮复习 集合与简易逻辑

一、知识结构

二、考点目标定位

1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解属于、包含、相等关系的意义.

2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.

3.理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义.

4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.

三、复习方略指南

本章内容在高考中以考查空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考查内容.逻辑联结词与充要条件这部分，以充要条件为重点考查内容.

本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：

1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联系，另一方面是对集合知识的应用.

2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.

3.要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解.

4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的.

5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯通.

一、集合的概念与运算

知识梳理

1.集合的有关概念 2.元素与集合、集合与集合之间的关系

（1）元素与集合：“∈”或“”.

（2）集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.

3.集合的运算

（1）交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.

（2）并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.

（3）补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即AS），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集（或余集），记为S A，即S A={x|x∈S且xA}.

点击双基

1.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于

A.{x|x＜－2} B.{x|x＞3} C.{x|－1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3}

解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，

0-1-2231x

∴M∩N={x|－1＜x＜2}.

答案：C

2.已知集合A={x∈R|x＜5－2}，B={1，2，3，4}，则（RA）∩B等于

A.{1，2，3，4} B.{2，3，4}

C.{3，4} D.{4}

解析：RA={x∈R|x≥5－2}，而5－2∈（3，4），∴（RA）∩B={4}.

答案：D

3.设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是

A.P∩Q=P B.P∩QQ

C.P∪Q=Q D.P∩QP

解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩QP.

答案：D

4.设U是全集，非空集合P、Q满足PQU，若求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______________.

解析：构造满足条件的集合，实例论证.

U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，则（UQ）=｛3｝，（UP）={2，3}，易见（UQ）∩P=.

答案：（UQ）∩P

5.已知集合A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜xA｝，则A、B、C之间的关系是___________________.

解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛，｛1｝，｛0｝，A｝，易见其关系.这里A、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是从属关系.

答案：BA，A∈C，B∈C

典例剖析

【例1】函数f（x）=,,MxxPxx其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}.给出下列四个判断，其中正确判断有

①若P∩M=，则f（P）∩f（M）= ②若P∩M≠，则f（P）∩f（M）≠ ③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R ④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

剖析：由题意知函数f（P）、f（M）的图象如下图所示.

fM()fP()x yO

设P=［x2，+∞），M=（－∞，x1］，∵|x2|＜|x1|，f（P）=［f（x2），+∞），f（M）=［f（x1），+∞），则P∩M=.

fM()fP()x yfx()1fx()2x1x2O

而f（P）∩f（M）=［f（x1），+∞）≠，故①错误.同理可知②正确.设P=［x1，+∞），M=（－∞，x2］，∵|x2|＜|x1|，则P∪M=R.

f（P）=［f（x1），+∞），f（M）=［f（x2），+∞），

f（P）∪f（M）=［f（x1），+∞）≠R，故③错误.同理可知④正确.

答案：B

【例2】 已知A={x|x3＋3x2＋2x＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值.

解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，

设B=［x1，x2］，由A∩B=（0，2］知x2＝2，且－1≤x1≤0，

①由A∪B=（－2，+∞）知－2≤x1≤－1.

②由①②知x1＝－1，x2＝2，

∴a＝－（x1＋x2）＝－1，b＝x1x2＝－2.

评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.

【例3】记函数f（x）=132xx的定义域为A，g（x）=lg［（x－a－1）（2a－x）］（a＜1＝的定义域为B.

（1）求A； （2）若BA，求实数a的取值范围.

提示：（1）由2－13xx≥0，得11xx≥0，

∴x＜－1或x≥1，即A=（－∞，－1）∪［1，+∞］

（2）由（x－a－1）（2a－x）＞0，得（x－a－1）（x－2a）＜0.

∵a＜1，∴a+1＞2a.∴B=（2a，a+1）.

∵BA，∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥21或a≤－2.

而a＜1，∴21≤a＜1或a≤－2.

故当BA时，实数a的取值范围是（－∞，－2）∪［21，1］.

【例4】设集合P={m|－1＜m≤0}，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则下列关系中成立的是

A.PQ B.QP C.P=Q D.P∩Q=Q

剖析：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，

对m分类：①m=0时，－4＜0恒成立；

②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0.

综合①②知m≤0，∴Q={m∈R|m≤0}.

答案：A

评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.

【例5】 已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠，求实数m的取值范围.

剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.

解：由),20(01,022xyxymxx得

x2+（m－1）x+1=0. ①

∵A∩B≠，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.

首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.

当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求；

当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.

综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1）.

评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.

【例6】设m∈R，A={（x，y）|y=－3x+m}，B={（x，y）|x=cosθ，y=sinθ，0＜θ＜2π＝，且A∩B={（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）}（θ1≠θ2），求m的取值范围.

提示：根据题意，直线y=－3x+m与圆x2+y2=1（x≠1）交于两点， 22)3(1||m＜1且0≠－3×1+m.

∴－2＜m＜2且m≠3.

答案：－2＜m＜2且m≠3.

【例7】 设M、N是两个非空集合，定义M与N的差集为M－N={x|x∈M且xN}，则M－（M－N）等于

A.N B.M∩N C.M∪N D.M

解析：M－N={x|x∈M且xN}是指图（1）中的阴影部分.

M NM N(1) (2)

同样M－（M－N）是指图（2）中的阴影部分.

答案：B

【例8】 设集合P={1，a，b}，Q={1，a2，b2}，已知P=Q，求1+a2+b2的值.

解：∵P=Q，

∴22,bbaa ①

或.,22abba ②

解①得a=0或a=1，b=0或b=1.（舍去）

由②得a=b2=a4，∴a=1或a3=1.

a=1不合题意，

∴a3=1（a≠1）.

∴a=ω，b=ω2，其中ω=－21+23i.

故1+a2+b2=1+ω2+ω4=1+ω+ω2=0.

练习测试

1.集合A={（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x－y=2}，则A∩B是

A.（1，－1） B.11yx

C.{（1，－1）} D.{1，－1}

2.设集合A={5，log2（a+3）}，集合B={a，b}.若A∩B={2}，则A∪B=______________.

3.设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＞a}，若AB，则a的取值范围是___________________.

4.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0，a∈R}只有一个元素，则a的值为__________________.

5.设A、B、I均为非空集合，且满足ABI，则下列各式中错误．．的是