2020版高考复习第一章集合和简易逻辑

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1.1 集合的概念及运算

1、集合的含义

一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

一般用大写字母A，B，C等代表集合，用小写字母a，b，c等代表集合的元素。

集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A。

2、集合中元素的三个特性

（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性：集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合。

3、集合的表示

（1）自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.例：{我校的篮球队员}，{不是直角三角形的三角形}

（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.例：{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（3）符号描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.例：{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}

（4）图示法：用数轴或韦恩图来表示集合。

4、集合的分类

（1）有限集：含有有限个元素的集合。 （2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合，计作∅。

5、常用数集及其记法

非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N

正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+ 整数集：全体整数的集合.记作Z

有理数集：全体有理数的集合.记作Q 实数集：全体实数的集合.记作R

6、集合间的基本关系 第一章 集合和简易逻辑

第 2 页（共 14 页） 表示

关系

文字语言 记法

集合间的基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 A⊆B或B⊇A

真子集 集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A AB或BA

相等 集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素 A⊆B且B⊆A⇔A＝B

空集∅ 空集是任何集合的子集 ∅⊆A

空集是任何非空集合的真子集 ∅B且B≠∅

注意：BA有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

（3）如果 AB, BC ,那么 AC（传递性）。

（4）有n个元素的集合，含有n2个子集，n2-1个真子集，n2-1个非空子集，n2-2个非空真子集。

7、（1）集合的基本运算

符号表示 图形表示 符号语言

集合的并集 A∪B

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

集合的交集 A∩B

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

集合的补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

（2）集合基本运算的常见性质

(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A.

(3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.

(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅.

突破点一 集合的概念与集合间的基本关系

例1 1、已知集合P＝{－2，－1,0,1}，集合Q＝{y|y＝|x|，x∈P}，则Q＝____{2,1,0}____.

2、已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为( A )

A．－1 B．0 C．1 D．2

第 3 页（共 14 页） 3、设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2 019＋y2 020＝____－1____.

4、已知非空集合A满足：①A⊆{1,2,3,4}；②若x∈A，则5－x∈A.则满足上述要求的集合A的个数为__3__．

5、已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为( B )

A．2 B．－2 C．0 D．2

6、给出下列四个结论：①{0}是空集；

②若a∈N，则－a∉N； ③集合A＝{x|x2－2x＋1＝0}中有两个元素；④集合B＝x∈Q 6x∈N是有限集． 其中正确结论的个数是( A )

A．0 B．1 C．2 D．3

例2 1、设A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝___－2或0_____.

2、设集合P＝{x|x<1}，Q＝{x|x2<1}，则( B )

A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁RQ D．Q⊆∁RP

3、已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的值是____0或±1____．

4、已知全集U＝{x|－1

A．{a|a<9} B．{a|a≤9} C．{a|a≥9} D．{a|1

5、设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是( B )

A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2) D．(－∞，－2]

6、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为_(－∞，3]_．

与集合中的元素有关问题的求解策略

（1）确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．

（4）判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．

（5）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

突破点二 集合的基本运算

例3 1、已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝______{1,8}______.

2、已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝___{3}____.

3、已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁RB)＝____{x|－1≤x<3}________.

4、已知全集U＝R，集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x

5、设集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|y＝x2－1}，则图中阴影部分所表示的集合为( B )

A．{1} B．{0} C．{－1,0} D．{－1,0,1}

第 4 页（共 14 页） 6、已知集合A＝{x|x2－3x－10<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则A∩(∁RB)＝( C )

A．(2,5) B．[2,5) C．(－2,2] D．(－2,2)

7、已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．

(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值； (2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．

解：(1)∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，A∩B＝{2}，∴2∈B,2是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0的根，

∴a2＋4a＋3＝0，a＝－1或a＝－3.经检验a的取值符合题意，故a＝－1或a＝－3.

(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.当B＝∅时，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)<0，解得a<－3；

当B≠∅时，由B＝{1}或B＝{1,2}，可解得a∈∅；由B＝{2}，可解得a＝－3.

综上可知，a的取值范围是(－∞，－3].

8、若集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0，x∈R}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0,0≤x≤2}，当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．

解：∵集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0，x∈R}＝{(x，y)|y＝x2＋mx＋2，x∈R}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0,0≤x≤2}＝{(x，y)|y＝x＋1,0≤x≤2}，

∴A∩B≠∅等价于方程组 y＝x2＋mx＋2，y＝x＋1在x∈[0,2]上有解，即x2＋mx＋2＝x＋1在[0,2]上有解，

即x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]上有解，显然x＝0不是该方程的解，

从而问题等价于－(m－1)＝x＋1x在(0,2]上有解．

又∵当x∈(0,2]时，1x＋x≥2( 当且仅当1x＝x，即x＝1时取“＝” )，∴－(m－1)≥2，∴m≤－1，

即m的取值范围为(－∞，－1]．

[方法技巧]

1．集合基本运算的求解策略

求解思路 一般是先化简集合，再由交、并、补的定义求解

求解原则 一般是先算括号里面的，然后再按运算顺序求解

求解思想 注重数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等

2.解决集合新定义问题的策略

耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．

突破点三 新定义问题

例4 1、设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1,2}，Q＝{－1,0,1}，则集合P*Q中元素的个数是( B )

A．2 B．3 C．4 D．5

2、已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为( D )

第 5 页（共 14 页） A．15 B．16 C．20 D．21

3、对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝_______[－3,0)∪(3，＋∞)_________.

4、设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝( D )

A．{0,1} B．{1,2} C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}

1、(2012全国I文) 已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1