同济大学高数B期末考试题

1 / 16 同济大学2009-2010学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空题(4'416')

1. 设函数()fx具有二阶导数, 且1'0,'dxydyy, 则223"'dxydyy.

2. 设函数()fu为可导函数, 且'(0)0f, 由参数方程3(sin2)(1)txftyfe所确定的函数的

导数032tdydx.

3. 极限111lim()ln212nnnnnL.

4. 微分方程22"5'6sinxyyyxex的特解形式为(不需确定系数)

2()cos2sin2xxAxBeCxDxE.

二． 选择题(4'416')

5. 设函数sin()bxxfxae在(,)内连续, 且lim()0xfx, 则常数,ab满足: [D].

()0,0Aab; ()0,0Bab; ()0,0Cab; ()0,0Dab

6. 曲线1ln(1)xyex, [D]

()A没有水平渐近线但有铅直渐近线; ()B没有铅直渐近线但有水平渐近线;

()C没有水平和铅直渐近线; ()D有水平和铅直渐近线

7. 将0x时的无穷小量2000sin,tan,(1)xxxttdttdtedt排列起来, 使

得后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列顺序是: [C]

(),,A; (),,B; (),,C; (),,D

8. 设函数()fx在点0x的某个邻域内有定义, 且20()(0)0,lim2xfxfx, 则在该点处

()fx: [C]

()A不可导; ()B可导且'(0)0f; ()C取得极大值; ()D取得极小值. 2 / 16 三. 解答题(7'428')

9. 求极限30sinsin(sin)limxxxx, [30sin1lim6tttt]

10. 计算定积分240tansecxxxdx [224400111(tan)(sec1)28242xdxxdx]

11. 计算反常积分221arctan(1)xdxxx

[2212210111113()arctanarctan()[arctan]ln2124232xdxxdxxxx]

12. 试求微分方程221(1)dyyxydxx的通解

[221111()'()1(ln)2xxxxcyxyy]

四. (8')求曲线lnyx上的点, 使此曲线在该点的曲率半径为最小.

[312222221(1)(1)(21)21(0)'(,ln2)22xxxRxRKxx]

五. (8')设不定积分21nnxIdxx,

(1)计算01,II; (2)利用变换sinxt, 建立(2,3,4,)nInL的递推公式

[(1)201arcsin,1IxcIx; [(2)122111nnnnIIxxcnn]

六. (8')设函数(),()fxgx在[,]ab上连续, 且在[,]ab上()0gx, 证明至少存在一点

[,]ab, 使()()()()babafxgxdxfgxdx. [minmax()()()babafxgxdxffgxdx]

七. (8')过坐标原点作曲线21(0)yxx的切线, 记该切线与此曲线及y轴所围成的平

面图形为D, 试求:

(1)平面图形D的面积; (2)平面图形D绕直线1x旋转一周所成的旋转体的体积,

[12,,32yxSV]

八. (8')已知22123,,xxxxxxxyxeeyxeeyxeee是某个二阶常系数线性非齐

次微分方程的三个解, 试写出该微分方程的通解并建立此微分方程.

[212,"'2(12)xxxxycecexeyyyxe] 3 / 16 同济大学2010-2011学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空题(4'416')

1. 已知极限lim()xefx存在, 且函数()fx满足: ln1()lim()()exexexxfxfxxee, 则

2lim()1xeefxe.

2. 设函数2()ln(23)fxxx, 则()11(2)(1)(1)!(1)5nnnfn.

3. 不定积分1tan1(tanlntan)sin22xdxxxCx.

4. 定积分sin2sincos03334xxxdx.

二. 选择题(4'416')

5. 曲线32331(1)31txtttyt的斜渐近线方程为 [A]

:1Ayx; :1Byx; :1Cyx; :1Dyx.

6. 曲线22162yxx上点(2,0)P处曲率K [B]

:0A; :16B; 1:16C; :4D.

7. 设()fx为(,)内连续的偶函数, '()()Fxfx, 则原函数()Fx [C]

:A均为奇函数; :B均为偶函数;

:C中只一个奇函数; :D既非奇函数也非偶函数.

8. 设1s为曲线sinyx上相应于02x的一段弧长, 2s为椭圆2222xy的周长,

则 [D]

12:Ass; 12:Bss; 12:Css; 12:Dss.

三. 解答题(4'728')

9. 求极限302cos()13limxxxx. [2cosln333001(cos1)1limlim36xxxxexxxx] 4 / 16 10. 设()fx是(,)内的连续的奇函数, 且0()lim2xfxx, 证明()fx在0x处可导,

并求'(0)f. [00()(0)()(0)(0)0,limlim2'(0)00xxfxffxfffxx]

11. 求定积分21[]max{1,}xxedx, 其中[]x表示不超过x的最大整数.

[01210102xIedxdxdxe]

12. 判定反常积分2ln1exdxx的收敛性, 如果收敛, 求出其值.

[21ln111(ln1)()[]eexIxdxxxe]

四. (8')设()fx是(,)内的连续函数, 且(0)0f, 试求极限000()lim()xxxtfxtdtxfxtdt.

[0000000()()()()1limlimlim[()()]2()()()xxxxxxxxxfuduufudufuduxfxfxfxfuduxfxfudu]

五. (8')设可积函数()fx在(,)内满足关系式: ()()sinfxfxx, 且当

[0,)x时()fxx, 试求3()fxdx.

[2322(sin)(2)2Ixxdxxdx]

六. (8')设n为正整数, 函数2lim,0()100nxnxxfxexx, 求曲线()yfx与直线

2xy所围平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积.

[122202001()[()()]()1283,01xxxfxVdxxxxx]

七. (8')求微分方程223(1)20dyxyxydx的通解. [22231111()'()()xxxCyyyy]

八. (8')令sinxt, 化简微分方程22arcsin2(1)xdydyxxyedxdx, 并求其通解.

[22222311sin,coscoscosdydydydydytdxdttdxdttdtt2arcsinarcsinarcsin122arcsin2txxxdyxyeyCeCeedt] 5 / 16 同济大学2011-2012学年第一学期高等数学B(上)期终试卷

一. 填空选择题(3'824')

1. 极限31lim()2xxxex.

2. 若极限000(2)()lim3hfxhfxh, 则03'()2fx.

3. 积分2232216(4)3xxxdx.

4. 积分2cos2cos1sin2xxxedxeC.

5. 微分方程4"4'0yyy的通解为1212()xycxce.

6. 记41sinIxdx, 22sinIxdx, 23Ixdx, 21sinIxxdx. 则这4项积

分的大小关系为 [ B ]