2022-2023学年黑龙江省双鸭山市第三十一中学高一数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高一上册期末学业质量检测数学模拟卷（含解析）一、单选题1．设U =R ，{}0A x x =>，{}1B x x =≤-，则()U A B = ð（）A ．{}10x x -≤<B ．{}0x x >C ．{}10x x -<≤D ．{}1x x >-【答案】B【分析】先求出C U B 然后再求()U A B ∩ð.【详解】{}(){}11U B x x B x x =≤-∴=>- ð又{}(){}{}{}0010U A x x A B x x x x x x =>∴⋂=>⋂>-=> ð故选：B2．命题“R x ∀∈ðQ ，3x ∉Q ”的否定是（）A ．R x ∃∉ðQ ，3x ∈QB ．R x ∀∈ðQ ，3x ∈QC ．R x ∃∈ðQ ，3x ∈QD ．R x ∀∉ðQ ，3x ∈Q【答案】C【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“R x ∀∈ðQ ，3x ∉Q ”的否定是“R x ∃∈ðQ ，3x ∈Q ”.故选：C.3．已知角α的终边与单位圆的交点P ⎛ ⎝⎭，则sin cos αα+=（）A ．10-B ．10C ．10D ．10【答案】A【分析】利用角的终边与单位圆相交来定义任意角的三角函数值.【详解】因为角α的终边与单位圆的交点1010P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，令1010x y =-=，所以0sin c ,101os y x αα====-，所以sin cos αα+==故选：A.4．哈尔滨地铁某环线12月份地铁票销售总量()f t 与时间()030t t <≤的关系大致满足()22020100f t t t =++，则地铁3号线东南环线前t 天平均售出（如前10天的平均售出为()1212f ）的张数最少为（）.A ．2019B ．2040C ．2021D ．2022【答案】B 【分析】求出()f t t，再根据基本不等式可求出结果.【详解】地铁3号线东南环线前t 天平均售出的张数为()1002020f t t t t=++(030)t <≤,由基本不等式可得100202020202020202040t t ++≥+=+=，当且仅当10t =时，等号成立.所以地铁3号线东南环线前t 天平均售出的张数最少为2040张.故选：B5．已知函数()31,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则19f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．2-B ．12CD ．4【答案】D【分析】根据x 的范围代入到对应的函数求值即可.【详解】由题意可得，311log 299f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()2112422-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f .故选：D.6．设x ∈R ，则“1x <”是“220x x --<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不必要也不充分条件【答案】A【分析】解出不等式，结合充分条件不必要条件的概念可得到结果．【详解】若1x <，则11x -<<，若220x x --<，则12x -<<，∵{}|11x x -<<{}|12x x -<<，则“1x <”是“220x x --<”的充分不必要条件.故选：A.7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数43x y x =-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性可排除D,根据函数经过的特殊点可排除A,B,进而可求解C.【详解】由于()43x f x x ，=-定义域为R ,且()()()43=x f x x f x --=--，故43x y x =-为偶函数，故图象关于y 轴对称，故排除D,当0x =时，1y =，故排除A,当2x =时，9160y =-<，故排除B,故选：C8．计算)sin 40tan10︒-︒=（）A ．1B ．2C D ．3-【答案】A【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.【详解】解：因为)sin10sin 40tan10sin 40cos10︒⎫︒︒=︒⎪︒⎭sin10sin 40cos10⎫︒-︒=︒⎪⎪︒⎝⎭2cos(1030)2sin 40cos 40sin 80sin(9010)cos10sin 401cos10cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒-︒︒=︒⋅=====︒︒︒︒︒.故选：A.二、多选题9．下列说法中正确的有（）A ．奇函数的图象一定经过原点B ．若偶函数的图象不经过原点，则它与x 轴交点的个数一定是偶数C ．偶函数的图象关于y 轴对称D ．图象过原点的奇函数必是单调函数【答案】BC【分析】通过反例可知AD 错误；根据偶函数的对称性可知BC 正确.【详解】对于A ，1y x=为奇函数，但不经过原点，A 错误；对于B ，若偶函数图象不经过原点，则其与x 轴的交点必关于y 轴对称，则交点个数必为偶数个，B 正确；对于C ，由偶函数定义知其图象关于y 轴对称，C 正确；对于D ，sin y x =图象过原点且为奇函数，但其在R 上不单调，D 错误.故选：BC.10．将函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 的图象关于点(),0π对称B ．函数()g x 在区间[]0,4π上有4个零点C ．函数23g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．函数()g x 在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值是12-【答案】BC【分析】由已知变换得()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用整体法结合三角函数性质逐个比较判断即可.【详解】()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π得()sin 2sin 2666f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()1sin 2sin 266g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.对A ，由ππ6x k -=()k ∈Z ，即ππ6x k =+，则函数()g x 的图象关于点,06k ππ⎛+⎫ ⎪⎝⎭()k ∈Z 对称，A错；对B ，[]0,4x π∈，则ππ23,666πx 轾-Î-犏犏臌，则函数()g x 在区间[]0,4π上的零点π7π13π19π,,,6666，共四个，B 对；对C ，22πsin sin cos 3362g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，为偶函数，C 对；对D ，30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ4,663πx 轾-Î-犏犏臌，则当π463πx -=时，函数()g x 在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最小值，为D 错.故选：BC11．已知实数a ，b ，c 满足10a b c >>>>，则下列结论正确的是（）A ．b c a a >B ．log log b c a a>C ．1133b c --<D ．log ab c b>【答案】ACD【分析】A 选项，根据x y a =()1a >单调递增，得到b c a a >；B 选项，根据ln y x =单调性得到0ln ln b c >>，ln 0a >，ln ln ln ln a ab c<，结合换底公式得到B 错误；C 选项，根据13y x -=的单调性得到1133b c --<；D 选项，根据log b y x =和x y b =的单调性，结合中间值比较大小.【详解】A 选项，因为x y a =()1a >单调递增，又b c >，所以b c a a >，A 正确；B 选项，因为ln y x =在()0,∞+单调递增，因为10a b c >>>>，所以0ln ln b c >>，ln 0a >，故110ln ln b c <<，ln ln ln ln a a b c<，即log log b c a a <，B 错误；C 选项，13y x -=在()0,∞+上单调递减，而0b c >>，所以1133b c --<，C 正确；D 选项，因为log b y x =在()0,∞+单调递减，而0b c >>，故log log 1b b c b >=，因为x y b =单调递减，而0a >，故001a b b <<=，所以log ab c b >，D 正确.故选：ACD12．已知函数()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，则下列结论正确的是（）A ．函数()y f x x =-有两个零点B ．若函数()y f x t =-有四个零点，则[]1,2t ∈C ．若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根1234,,,x x x x ，则12342x x x x +++=D ．若关于x 的方程()()230f x f x α-+=有8个不等实根，则92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】CD【分析】A 选项，画出()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象，在同一坐标系内作出y x =的图象，可看出两函数图象有3个交点，A 错误；B 选项，数形结合得到()1,2t ∈，B 错误；C 选项，可看出四个实根有两个根关于=1x -对称，另外两个根关于2x =对称，从而得到12342x x x x +++=，C 正确；D 选项，令()f x t =，则230t t α-+=要有2个不相等的实数根12,t t ，()12,1,2t t ∈，得到两根之和，两根之积，化简得到221222239324t t t tt α⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，结合()21,2t ∈，求出92,4α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，结合940α∆=->，求出92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.【详解】A 选项，当2x ≥时，()2e xf x -=单调递增，当02x <<时，()2e xf x -=单调递减，画出()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩的图象，可以看出2e x y -=关于2x =对称，当2x =时，2e x y -=取得最小值为1，在同一坐标系内作出y x =的图象，可看出两函数图象有3个交点，所以函数()y f x x =-有3个零点，A 错误；数形结合可得：函数()y f x t =-有四个零点，则()1,2t ∈，B 错误；由上图可知：若关于x 的方程()f x t =有四个不等实根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<其中12,x x 关于=1x -对称，34,x x 关于2x =对称，则12342,4x x x x +=-+=，所以12342x x x x +++=，C 正确；D 选项，令()f x t =，则230t t α-+=要有2个不相等的实数根12,t t ，()12,1,2t t ∈，且123t t +=，12t t α=，221222239324t t t t t α⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭，因为()21,2t ∈，所以223992,244t α⎛⎫⎛⎤=--+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，由940α∆=->，解得：94α<，综上：92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()230f x f x α-+=有8个不等实根，则92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，D 正确.三、填空题13．已知3sin 2cos 7sin 3cos 6θθθθ-=+，则tan θ=______.【答案】3【分析】利用弦化切即可求出tan θ的值.【详解】由3sin 2cos 7sin 3cos 6θθθθ-=+，所以3sin 2cos 7cos sin 3cos 6cos θθθθθθ-=+即3tan 27tan 36θθ-=+，解得tan 3θ=.故答案为：3.14．函数()ln 21y x =-的定义域为______.【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据被开方数大于等0，分母不为0及对数函数的定义域列出不等式组，求解即可.【详解】由10210x x ->⎧⎨->⎩得112x x <⎧⎪⎨>⎪⎩，解得112x <<，所以函数()ln 21y x =-的定义域为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：1,12⎛⎫⎪⎝⎭.15．已知函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是______．【答案】04a ≤<【分析】依题意可得210ax ax ++>恒成立，再分0a =和0a ≠两种情况讨论，当0a ≠时0a >⎧⎨∆<⎩，即可得到不等式，解得即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为函数()f x =R ，即210ax ax ++>恒成立，当0a =时10>恒成立；当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<；综上可得04a ≤<故答案为：04a ≤<16．已知函数()f x 满足()()0f x f x +-=，对任意的()12,0,x x ∈+∞，都有()()1221210x f x x f x x x -<-恒成立，且()20f =，则关于的不等式()0f x <的解集为______.【答案】()()2,02,-+∞ 【分析】由题知以函数()f x y x=为偶函数，且在()0,∞+上单调递减，在(),0∞-上单调递增，再根据()20f =讨论求解即可.【详解】解：因为函数()f x 满足()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-所以函数()f x 为奇函数，不妨设21x x >，因为对任意的()12,0,x x ∈+∞，都有()()1221210x f x x f x x x -<-恒成立，所以，()()12210x f x x f x -<，即()()2121f x f x x x <，所以，函数()f x y x=在()0,∞+上单调递减，因为函数()f x 为奇函数，所以函数()f x y x=为偶函数，且在(),0∞-上单调递增，因为()20f =，所以，当(),2x ∞∈--时，()0f x y x=<，()0f x >；当()2,0x ∈-时，()0f x y x =>，()0f x <；当()0,2x ∈时，()0f x y x =>，()0f x >；当()2,x ∈+∞时，()0f x y x=<，()0f x <；所以，关于的不等式()0f x <的解集为()()2,02,-+∞ 故答案为：()()2,02,-+∞ 四、解答题17．（1）()())2401133230.252217-⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯-+-⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()2lg 2lg5lg 20+⋅.【答案】（1）62-；（2）1.【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接求解即可；（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.【详解】（1）原式()())241130.52216462222⎫=--⨯-+-=-+=-⎪⎭；（2）原式()()()()()2222lg 2lg 52lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 5lg 2lg 51=+⋅+=+⋅+=+=.18．已知函数()21cos 2cos f x x x x =-++.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 图象的对称轴方程；(3)求函数()f x 的单调递减区间.【答案】(1)π(2)()ππ62k x k =+∈Z (3)π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【分析】（1）化简()f x 的解析式，然后求得()f x 的最小正周期.（2）利用整体代入法求得函数()f x 图象的对称轴方程.（3）利用整体代入法求得函数()f x 的单调递减区间.【详解】（1）()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）令()ππ2π62x k k +=+∈Z 得()ππ62k x k =+∈Z ，即函数()y f x =图象的对称轴方程为()ππ62k x k =+∈Z .（3）令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，k ∈Z ，解得π2πππ63k x k +≤≤+，k ∈Z ，所以函数的单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .19．几年国家出台的惠民政策越来越多，政府出资的“旧房改造”工程使得许多老旧校区旧貌换新颜，从根本上提高了百姓的生活质量.如图，在改造某小区时，要在一处公共区域搭建一间背面靠墙（墙长7米）的房屋，图形所示为房屋俯视图，房屋地面面积为224m 房屋正面的造价为600元2/m ，侧面的造价为200元2/m ，顶部总造价为4800元，如果墙面高为3m ，不计房屋背面和地面的费用，设总造价为z 元.(1)请将总造价z 表示为正面边长x 的函数，怎样设计房屋边长能使总造价最低？最低总造价是多少？(2)如果所需总费用不超过22800元，求房屋正面边长x 的取值范围是多少？【答案】(1)()161800480007z x x x ⎛⎫=++<≤ ⎪⎝⎭，当正面墙长为4m 时造价最低，最低总造价为19200元.(2)[2,7]【分析】（1）写出函数后运用基本不等式可得结果.（2）解分式型不等式可得结果.【详解】（1）设房屋正面墙长为x m ，侧面边长为y m ，总造价为z 元，则24xy =，∴120024360023200480018004800z x y x x⨯=⨯+⨯⨯+=++()161800480007x x x ⎛⎫=++<≤ ⎪⎝⎭∴16180048001800480019200z x x ⎛⎫=++≥⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当16x x=即“4x =”时上式取等号.答：当正面墙长为4m 时造价最低，最低总造价为19200元.（2）∵161800480022800z x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭∴1610x x+≤，又∵07x <≤∴不等式变为：210160x x -+≤，07x <≤，∴27x ≤≤答：房屋正面边长x 的取值范围是[2,7].20．已知函数()22376f x x mx m =+-（其中m ∈R ）.(1)解关于x 的不等式()0f x ≤；(2)若不等式()2360f x m ++>在()1,4x ∈内恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)6,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）分0m =，0m >，0m <三种情况讨论，从而可得出答案；（2）()2360f x m ++>在()1,4x ∈内恒成立，即2337x m x +>-，利用函数的单调性求得2337x x +-的最大值即可得解.【详解】（1）不等式()0f x ≤，即223760x mx m +-≤，当0m =时，230x ≤，不等式的解集为{}0x x =，当0m ≠时，223760x mx m +-≤，可得()()3230-+≤x m x m ，当0m >，则233m m >-，所以不等式的解集为23,3m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，若0m <，则233m m <-，所以不等式的解集为2,33m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，综上所述，当0m =时，不等式的解集为{}0x x =，当0m >时，不等式的解集为23,3m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当0m <时，不等式的解集为2,33m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）不等式()2360f x m ++>在()1,4x ∈内恒成立，即23730x mx ++>，有2337x m x+>-在()1,4x ∈内恒成立，即求2337+=-x y x 在()1,4x ∈的最大值，令()1f x x x=+，()1,4x ∈，设1214x x <<<，则()()()121212*********x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=+-+=- ⎪⎝⎭，因为1214x x <<<，所以120x x -<，121x x >，所以()12121210--<x x x x x x ，即()()12f x f x <，所以()1f x x x =+在()1,4x ∈上单调递增，()1724<<f x ，所以2333177+⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭x y x x x 在()1,4x ∈的最大值为67-，故67m ≥-，所以实数m 的取值范围是6,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.21．()()2cos cos sin f x x x x x=+-(1)若()1f x =，求2πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)若当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)34(2)(],2-∞【分析】（1）先化简()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把待求式2πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化为2π1sin 2π6sin 32x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭，代入求值；（2）利用单调性求出()max f x ，即可求解.【详解】（1）()22cos cos sin f x x x x x=+-2cos2x x+122cos 222x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若()1f x =，即π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2ππ2π1cos 21cos 262π3sin 322x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+== ⎪⎝⎭π11sin 21362224x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===.（2）由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即()max m f x ≤，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因为2sin y t =在ππ,62t ⎡⎤∈⎢⎣⎦上单调递增，在π7π,26t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故当ππ262x +=，即π6x =时()f x 取得最大值，且最大值π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴2m ≤.即实数m 的取值范围为(],2-∞.22．已知函数()()2224f x ax a x =+--，其中R a ∈.(1)设1a =.若对任意实数[]0,1x ∈，()243f x x n n >--+恒成立，求实数n 的取值范围；(2)是否存在实数0x ，使得00ax <且()00522f x x a +=-+，若存在，求0x 的取值范围；若不存在说明理由.【答案】(1)()(),14,-∞-⋃+∞(2)存在0112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，理由见解析【分析】（1）问题转化为()22min 243x x n n +->-+，[]0,1x ∈，根据函数224y x x =+-的单调性求出最小值为-4，故得到不等式，求出实数n 的取值范围；（2）考虑00x =，00x >，00x <三种情况，前两种情况不合要求，00x <时，转化为()()2002110ax a x a +--+=有负实数解，()20002121a x x x +-=+，分200210x x +-=与200210x x +-≠，求出0x 的取值范围.【详解】（1）依题[]0,1x ∀∈，222443x x x n n -->--+恒成立，∴()22min 243x x n n +->-+，[]0,1x ∈，∵()222415y x x x =+-=+-在[]0,1上单调递增，∴0x =时，()2min 244x x +-=-，∴243n n ->-+，即()()410n n -+>，∴1n <-或4n >故实数n 的取值范围是()(),14,-∞-⋃+∞；（2）①当00x =时，00ax =与00ax <矛盾，∴00x =舍去，②当00x >时，由00ax <，得a<0，此时020x a ->，∴0022x a x a -=-，∴()()()2000002006132231021x f x x a ax a x a a x x ++=-⇔+-+-=⇔=++，∵00x >，∴020061021x x x +>++，又a<0，∴00x >时()0032f x x a +=-无解，∴00x >时，不存在实数0x ，使得00ax <且()0032f x x a +=-成立；③当00x <时，由00ax <，得0a >，此时020x a -<，∴0022x a a x -=-，∴若()0032f x x a +=-有解()()2002110ax a x a ⇔+--+=有负实数解，设()()()2000211g x ax a x a =+--+，∵0a >且()()010g a =-+<，∴()()2002110ax a x a +--+=必有负实数解，对于()()2002110ax a x a +--+=可化为()20002121a x x x +-=+，当200210x x +-=，即1x =-±时，()20002121a x x x +-=+不成立；当200210x x +-≠时，()20002121a x x x +-=+可化为02002121x a x x +=+-，∵0a >，∴020021021x x x +>+-，即()()200021210x x x ++->，∴()((00021110x x x ⎡⎤⎡⎤+----+>⎣⎦⎣⎦，且00x <，∴0112x -<<-，综上所述，存在实数0112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得00ax <且()0032f x x a +=-.。

一、选择题（包括12小题，每小题5分，共60分） 1.若1{|,}6M x x m m Z ==+∈，1{|,}23n N x x n Z ==-∈，则集合,M N 的关系为（ ）A.M N ⊆B.M N ≠⊂C.N M ⊆D.N M ≠⊂2.函数22(2)5y x a x =+-+在(4,)+∞上递增，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.6a ≥-C.6a ≤-D.2a ≥- 3.设31(,sin ),(cos ,)23b a αα==且b a ，则锐角α等于（ ）A. 030 B. 060 C. 045 D. 0254.函数1()f x x x=-的图象关于（ ）A.原点对称B.x 轴对称C.y 轴对称D.直线y x =对称 5.将cos(2)6y x π=+的图象向左平移6π个单位所得函数图象的一条对称轴是 （ ） A ．2x π=- B ．6x π=C ．4x π=D ．3x π=6.函数y =的定义域是（ ）A. 3(,)4+∞B. (,1]-∞C. 3(,1]4D.[1,)+∞ 7.函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ）A.(0,1)B. (1,2)C.(2,)eD. (3,4)8.23sin 702cos 10o o--=（ ）A ．12B ．2C ．2D ．29.已知函数()cos()f x A x ωφ=+的图象如右上图所示，2()23f π=-，则(0)f = （ ） A.23- B. 12- C. 23 D. 1210.已知函数1()()lg 20xf x x =-，若实数0x 是函数()y f x =的零点，且100x x <<，则1()f x （ ）A. 大于0B.等于0C. 小于0D. 不大于0 11.已知O 、N 、P 在ABC 所在的平面内，且||||||OA OB OC ==，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅， 0NA NB NC ++=，则点O 、P 、N 依次是ABC的（ ）A.重心，外心，垂心B.外心，垂心，重心C. 外心，重心，垂心D.内心，重心，外心12.定义两种运算：a b ⊕a b ⊗=，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-为（ ）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数 第Ⅱ卷（10题：共90分）二、填空题（包括4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量(1,2)OA =-，(3,)m OB =，若OA OB ⊥，则m = . 14.幂函数121(22)ky k k x -=--在(0,)+∞上是减函数，则k = .15.若322παπ<<= . 16.已知函数(tan )sin 2,(,)22f x x x ππ=∈-，则1()2f = . 三、解答题（包括6小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知集合2{|121},{|310}P x a x a Q x x x =+≤<+=-≤ （1）若3a =，求()R P Q ；（2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围。

双鸭山市第一中学2022-2023学年度上学期高三数学试题一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}2320,ln 0A x x x B y y x =-+≥=+=，则A B = （）A ．[2,)+∞B ．(,1]-∞C ．(,0)-∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞2．已知命题p ：0x R ∃∈，01x =-或02x =，则（）A ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-或2x ≠B ．p ⌝：x R ∀∈，1x ≠-且2x ≠C ．p ⌝：x R ∀∈，1x =-且2x =D ．p ⌝：0x R ∃∉，01x =-或02x =3．在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A,B,C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（）A ．2a c b+>B ．2a c b+<C ．2a c b +≤D ．2a c b+≥4．已知2433421,,3532ca b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b>>D ．c b a>>5．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．若tan 3α=，则2sin 2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．3-B ．6-C ．35-D ．310-7．若()f x 在R 上满足(2)()()f x f x f x +=-=-，当[0,1]x ∈时，()f x x a =+，则4043(2)2f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭A ．0B ．12C ．1D ．328．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则A,B,C为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．函数()()2sinf x x ωϕ=+（0>ω且0πϕ<<）在一个周期内的图象如图所示，将函数()y f x =图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则π3g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．3B ．1C ．－1D ．3-10．已知()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，且α，(0,)βπ∈，则2αβ-=（）A ．34π-B ．4πC ．34πD ．4π-11．已知函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c 均不相等，且()f a =()f b =()f c ，则abc的取值范围是（）A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)12．对于问题“求证方程345x x x +=只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程345xxx+=化为34155x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()34155x xf x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 在R 上单调递减，且()20f =，所以原方程只有一个解2x =”.类比上述解题思路，则不等式632(23)(23)x x x x -+>+-的解集是（）A ．()(),13,-∞-⋃+∞B ．()1,3-C ．()3,1-D ．()(),31,-∞-⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

-2022年度（上学期）高一期末考试（数学）一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分,每小题四个选项中,仅有一项正确)1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B = （）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22．cos 24cos 36sin 24cos 54⋅-⋅= （）A ．12-B ．0C ．12D 323．设0.212131log 2,,32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．b a c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．a b c<<4．已知函数()221()1mm f x m m x+-=--是幂函数，且在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值是（）．A ．1-或2B ．2C ．1-D ．15．已知角α的终边在第三象限，则点(tan ,cos )P αα在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知5sin cos 2αα-=-1tan tan αα+的值为（）A ．－4B ．4C ．－8D ．87．函数()log 31a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中00m n >>，，则mn 的最大值为A ．12B ．14C ．18D ．1168．已知函数()2()lg 1f x x ax =-+-在[2，3]上单调避减，则实数a 的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．[6,)+∞C ．10,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分，部分选对得2分，多选错选得0分)9．下列函数中，以2π为最小正周期的函数有（）A ．cos 2y x=B ．sin2x y =C ．sin 2y x=D ．tan2x y =10．下列说法正确的是（）A ．已知方程8x e x =-的解在()(),1k k k Z +∈内，则1k =B ．函数()223f x x x =--的零点是()1,0-，()3,0C ．函数3x y =，3log y x =的图像关于y x =对称D ．用二分法求函数()338x f x x =+-在()1,2x ∈内零点的近似解的过程中得到()10f <，()1.50f >，()1.250f <，则函数零点落在区间()1.25,1.5上11．已知()cos()3f x x π=+，关于()f x 的下列结论中正确的是()A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()f x 在()2ππ单调递减C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 的图象关于直线83x π=对称12．定义域和值域均为[],a a -（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =图象如图所示，给出下列四个命题，其中0a b >>，0a c >>（b,c 的大小关系不确定），则下列结论正确的是（）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．圆的半径是6cm ，则圆心角为30°的扇形面积是_________2cm ．14．函数3tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是___________.15．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 都有f (x +4)=-f (x )，若函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (-5)＝2，则f (2021)=_____．16．已知函数3+1,0()lo g ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()0f x a =—有四个根1x 、2x 、3x 、4x 且1234x x x x <<<，则1234+++x x x x 的取值范围是___________.四、解答题（17题10分，18-22题每题12分）17．（10分）（1）已知：3sin 5α=-，若α是第四象限角，求cos α，tan α的值；（2）已知tan 3α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+的值.18.（12分）已知集合{}|33A x a x a =-≤≤+，{}2|40B x x x =-≥.（1）当2a =时，求A B ，A B ；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈C ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.19．（12分）化简求值：（1）已知,αβ都为锐角，45sin ,cos()513ααβ=+=，求cos β的值.（2）232sin()cos()122tan()12sin ()4ππθθπθπθ-+-++-+.20．（12分）已知函数()()2sin ,06f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.（1）求ω的值和()f x 的单调递增区间；（2）令函数()12g x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()g x 在区间02π⎡⎤⎢⎣⎦，上的值域.21．（12分）已知()()()22log 1f x g x x +=-，其中()f x 为奇函数，()g x 为偶函数.（1）求()f x 与()g x 的解析式；（2）判断函数()f x 在其定义域上的单调性（不需证明）；（3）若不等式()()12230f t f t -+-≥恒成立，求实数t 的取值范围.22．（12分）已知函数())2log f x ax =，()()223g x mx m x m =--+.（1）若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若0a >，函数()y f x =为奇函数，且对任意()10,x ∈+∞，存在[]20,1x ∈，使得()()21f x g x <，求实数m 的取值范围.。

哈尔滨市2023级高一上学期学业质量检测数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟.）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0A =-，{}21B x x ==，则A B = （）A.∅ B.{}1- C.{}1 D.{}1,0,1-2.命题“x ∃∈R ，20x +<”的否定是（）A.x ∃∈R ，20x +> B.x ∀∈R ，20x +>C.x ∃∈R ，20x +≥ D.x ∀∈R ，20x +≥3.“a b >”是“22a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.不等式()()370x x --≤的解集为（）A.{}37x x << B.{}37x x x <>或C.{}37x x ≤≤ D.{}37x x x ≤≥或5.1ln 3ln3+=（）A.1- B.0 C.1D.ln 96.已知幂函数()f x 的图象过点(，则()8f =（）A.2B.C.D.47.已知实数1x >，则121x x ---的（）A.最小值为1B.最大值为1C.最小值为1-D.最大值为1-8.若函数()2f x x ax b =++，则下列不等式恒成立的是（）A.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭B.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭C.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知4sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则（）A.()4sin 5πα-= B.()3tan 4πα+=-C.3sin 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D.33cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭10.已知函数()()24,0log 23,0x x f x x x -+≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩，则下列说法正确的是（）A.()()26f f -= B.()6f x <的解集为{}26x x -<<C.()f x 在()2,6-上单调递增 D.当[]2,14x ∈-时，()f x 的值域是[]6,711.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），直线6x π=和点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的图象的一组相邻的对称轴和对称中心，则下列说法正确的是（）A.()f x 的周期是πB.函数()f x 在区间,38ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调函数C.将()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，得到函数()g x，则62g π⎛⎫= ⎪⎝⎭D.将函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是6π12.设函数()2e ,0313,022x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，函数()()()222g x f x bf x b =-+-，则下列说法正确的是（）A.当1b =时，函数()g x 有3个零点B.当4140b =时，函数()g x 有5个零点C.若函数()g x 有2个零点，则2b <-或625b <<D.若函数()g x 有6个零点，则112b <<三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.sin15cos15︒︒=______.14.函数()()1lg 32f x x x =+++的定义域为______.15.指数函数()f x 过点()1,2-，()3.10.9a f =，()0.9log 1.7b f =，()0.31.7c f =，则a ，b ，c 的大小关系为______.（用“＜”号连接）16.函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++（0ω>，2πϕ<）的最小正周期为4，且()()f x f x -=-，则()()()122023f f f ++⋅⋅⋅+=______.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知()()3sin cos cos sin 5αβααβα---=，β是第三象限角.（1）求5sin 3πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求tan 24πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.18.（本题满分12分）已知函数()24f x x ax =-+.（1）若关于x 的不等式()0f x ≥解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）解关于x 的不等式()0f x ≤.19.（本题满分12分）如图，在扇形OPQ 中，半径1OP =，圆心角4POQ π∠=.C 是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形，记POC α∠=.（1）将矩形ABCD 的面积S 表示成关于α的函数()fα的形式；（2）求()f α的最大值，及此时的角α.20.（本题满分12分）已知函数()22x x f x a -=+⋅.（1）若()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）若()1724f =，求()f x 在[]1,2-上的值域.21.（本题满分12分）定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 不恒为0.（1）求()1f 和()1f -的值；（2）若()f x 在()0,+∞上单调递减，求不等式()()()122f x f f x ++>-的解集.22.（本题满分12分）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x +-=，且对任意的1x ，[)20,x ∈+∞（其中12x x ≠）均有()()121212f x f x x x x x ->+-.（1）判断并证明函数()()2g x f x x =-的奇偶性；（2）若()()22532322160f mx f mx m x mx +--+-->对所有[]1,1m ∈-恒成立，求实数x 的取值范围；（3）若（1）中的函数()g x 的图象是经过()0,0和()1,1的一条直线，函数()h x m =-D ，若存在区间[],a b D ⊆，使得当()h x 的定义域为[],a b 时，()h x 的值域也为[],a b ，求实数m 的取值范围.参考答案1.B2.D3.D4.C5.B6.B7.D8.A9.A 10.AB 11.ABD 12.ABC 13.1414.{}32x x x >-≠-且15.c a b <<16.017.解：（1）由题意()()3sin sin 5αβαβ--=-=，………………1分3sin 5β∴=-，………………2分4cos 5β∴=-，………………3分555sin sin cos cos sin 333πππβββ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭………………4分43310-=；………………5分（2）由（1）得3tan 4β=，………………6分22tan tan21tan βββ∴=-………………7分247=，………………8分tan2tan 4tan 241tan2tan 4πβπβπβ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭-………………9分3117=-.………………10分18.解：（1）由题意0∆≤，即2160a -≤，………………2分44a ∴-≤≤；………………4分（2）（ⅰ） 当0∆<时，即44a -<<时，∴原不等式的解集为∅；………………6分（ⅱ）当0∆=时，即4a =-或4a =时，当4a =时，()220x -≤，∴原不等式的解集为{}2，………………8分当4a =-时，()220x +≤，∴原不等式的解集为{}2-；………………10分（ⅲ）0∆>时，即4a <-或4a >时，240x ax -+=，解得2a x +=或2a x =，∴原不等式的解集为162a x ⎧+⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭.………………12分19.解：（1）在OBC △中，sin 1BC α=，sin BC α=，………………1分cos 1OB α=，cos OB α=，………………2分sin OA DA BC α===，………………3分cos sin AB αα=-，………………4分()()cos sin sin S f αααα==-（04πα<<）；………………5分（2）()11cos 2sin 222S f ααα-==-………………7分1sin 2242πα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，………………9分因为04πα<<，32444πππα∴<+<，………………10分当242ππα+=，即8πα=时，………………11分()f α取得最大值12.………………12分20.解：（1）由题意()()f x f x -=-，………………1分2222x x x x a a --∴+⋅=--⋅，………………2分()2222x x x x a --∴+=--，1a ∴=-；………………4分（2）()22172224f a -=+⋅=，1a ∴=，………………5分()22x x f x -=+，………………6分令2xt =，142t ≤≤，令()1h t t t =+，142t ≤≤，………………7分设12112t t ≤<≤，()()()1212121210t t h t h t t t t t -∴-=->，()()12h t h t ∴>，()h t ∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，………………9分()()112h h t h ⎛⎫∴≤≤ ⎪⎝⎭，即()522h t ≤≤，………………10分同理可证()h t 在(]1,4上单调递增，()()()14h h t h ∴<≤，即()1724h t <≤，………………11分综上，()f x 在[]1,2-上的值域172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………12分21.解：（1）令1x y ==，()()121f f ∴=，()10f ∴=，………………2分令1x y ==-，()()121f f ∴=-，()10f ∴-=；………………4分（2）令1y =-，()10f -= ，()()f x f x ∴-=，即()f x 是偶函数，………………6分由()()()f xy f x f y =+，()()()122f x f f x ++>-，即()()212f x f x +>-⎡⎤⎣⎦，………………8分又()f x 是偶函数，所以上式可转化为()()222f x f x +>-，又()f x 在()0,+∞上单调递减，所以上式可转化为2221020x x x x ⎧+<-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，………………10分故不等式的解集为{}401x x x -<<≠-且.………………12分22.解：（1）()g x 是奇函数，………………1分证明如下：()g x 的定义域为R ，()()()()()()()22220g x g x f x x f x x f x f x x ⎡⎤⎡⎤+-=-+---=+--=⎣⎦⎣⎦ ，()()g x g x ∴-=-，即()g x 是奇函数；………………2分（2）对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，12x x ≠，()()()()221122121212f x x f x x g x g x x x x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=--()()()()221212*********f x f x x x x x x x x x x x --=->+-+=--，即()g x 在[)0,+∞上单调递增，………………3分又()g x 是奇函数，故函数()g x 在R 上单调递增，又()()22532322160f mx f mx m x mx +--+-->，即()()()()22553232f mx mx f mx mx +-+>---，即()()532g mx g mx +>-对所有[]1,1m ∈-恒成立，………………4分而函数()g x 在R 上单调递增，有532mx mx +>-，………………5分即320mx +>，令()32m mx ϕ=+，即()0m ϕ>对所有[]1,1m ∈-恒成立，()()13201320x x ϕϕ-=-+>⎧⎪⎨=+>⎪⎩，故2233x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；………………7分（3）由已知函数()g x 的图象是经过()0,0和()1,1的一条直线，可得()g x x =，………………8分()h x m =-的定义域是[)1,-+∞，()h x 在[)1,-+∞上单调递减，由已知当()h x 的定义域为[],a b 时，()h x 的值域也为[],a b ，故()h a m b =-=①，()h b m a ==②，………………9分()()11a b a b =-=+-+=⋅，1+③，………………10分将③代入②，1m a =+，令0λ=≥，得221124m λλλ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，又a b <<，1+，所以10,2λ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，………………11分。

2022－2023学年度第一学期期末测试卷高一数学考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．函数()4ln 1f x x x=-+的零点所在区间为（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2．下列命题是真命题的有（）A ．有甲､乙､丙三种个体按4:3:1的比例分层抽样调查，如果抽取的乙个体数为9，则样本容量为32B ．数据1,2,3,3,4,5的平均数､众数､中位数相同C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，则这两组数据中较稳定的是甲D ．一组数7,6,5,4,3,3,3,2,2,1的70%分位数为43．从装有6个红球和4个白球的口袋中任取4个球，那么互斥但不对立的事件是（）A ．至少有一个红球与都是红球B ．至少有一个红球与都是白球C ．至少有一个红球与至少有一个白球D ．恰有2个红球与恰有3个红球4．函数()1f x x =-的定义域是（）A ．[1,1)(1,6]- B ．[1,6]-C ．(,1][6,)-∞-⋃+∞D ．[2,3]5．某市举行以“学习党的二十大精神，培根铸魂育新人”为主题的中小学教师演讲比赛.若将报名的50位教师编号为00，01，…，49，利用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是从下面随机数表第1行第5列开始横向依次选取两个数字，重复的剔除，则选出来的第8个个体的编号为（）4567321212310201045215200112512932049234493582003623486969387481A ．12B ．20C ．29D ．236．已知函数2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．19B ．13C ．2-D ．37．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),0∞-上是严格减函数，()20f -=，则()0x f x ⋅≥的解集为（）A ．()(),22,∞∞--⋃+B ．[]22-,C ．[)(]2,00,2-UD ．()(){},22,0-∞-+∞ 8．若两个正实数x ，y 满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是（）A ．{14}mm -<<∣B ．{0mm <∣或3}m >C ．{41}mm -<<∣D ．{1mm <-∣或4}m >二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知函数()()212log 23f x x x =-++，则下列说法正确的是（）A ．在()1,1-上为减函数B ．在()1,3上为增函数C ．函数定义域为()1,3-D ．函数的增区间为()1,+∞10．下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A ．1y x x=-B ．3y x=-C ．e ex xy -=-D ．2x y x=11．对任意两个实数a ，b ，定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，若()24f x x =-，()2g x x =，下列关于函数()()(){}min ,F x f x g x =的说法正确的是（）A ．函数()F x 是偶函数B ．方程()0F x =有三个解C ．函数()F x 有3个单调区间D ．函数()F x 有最大值为4，无最小值12．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A ．2个球都是红球的概率为16B ．2个球不都是红球的概率为13C ．至少有1个红球的概率为23D ．2个球中恰有1个红球的概率为12三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．写出集合{1,2}的所有子集_____．14．已知函数1y kx =+的零点在区间()1,1-内，常数k 的取值范围为______.15．已知一组样本数据1、2、m 、8的极差为8，若0m >，则其方差为______．16．在机动车驾驶证科目二考试中，甲、乙两人通过的概率分别为0.8，0.6，两人考试相互独立，则两人都通过的概率为__________.两人至少有一人通过的概率为__________.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．某人去开会，他乘火车、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.3,0.4．(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘飞机去的概率．18．计算：(1)2311lg25lg2lglog 9log 22100+--⨯；(2)12023214323(1.5)498--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，得到频率分布直方图如图所示，从左到右各小组的小长方形的高的比为1:1:3:5:4:2，最右边的一组的频数是8.(1)求样本的容量N 及直方图中a 的值；(2)估计参加这次数学竞赛成绩的众数､中位数､平均数.20．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()21f x x x =--.(1)作出函数()f x 的图象(不用列表)，并指出它的单调递增区间；(2)求当0x <时，()f x 的解析式；(3)讨论关于x 的方程()()f x k k = ∈R 的解的个数.（直接写出结论）21．解下列关于x 的不等式，并将结果写成集合或区间的形式．(1)2311x x -≥+．(2)()2220x c x c -++<．22．已知函数()22x xf x -=-为奇函数(1)判断并用定义证明函数的单调性；(2)求不等式()()2240f x x f x ++->的解集；(3)若()()22222x xg x mf x -=+-在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值.参考答案：1．C【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.【详解】由题设，()f x 是定义域在(0,)+∞上连续不断的递增函数,又(2)ln221ln210f =-+=-<，()413ln31ln3033f =-+=->，由零点存在定理可知,零点所在区间为(2,3).故选:C .2．B【分析】根据分层抽样的定义计算可判断A ；根据平均数､众数､中位数的定义判断B ；根据方差公式计算乙组数据方差判断C ；根据百分位数的定义判断D.【详解】对A ： 甲､乙､丙三种个体按4:3:1的比例分层抽样，故乙占了3,8∴样本容量为39248÷=，故A 不正确；对B ：数据1,2,3,3,4,5的平均数为12334536+++++=，众数为3，中位数为3332+=，故B 正确；对C ：乙组数的平均数为56910575++++=，方差为()2222211(57)(67)(97)(107)(57)41494 4.455⎡⎤-+-+-+-+-=++++=⎣⎦.4.45,<∴ 乙组数据更稳定，故C 错误；对D ：将这组数据从小到大排列：1，2，2，3，3,3,4,5,6,7；又1070%7⨯=，则这组数据的70%分位数是第七个数与第八个数的平均数，为4.5，故D 错误.故选：B.3．D【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解【详解】从装有6个红球和5个白球的口袋中任取4个球，在A 中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；在B 中，至少一个红球与都是白球是对立事件，故B 错误；在C 中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；在D 中，恰有2个红球与恰有3个红球是互斥而不对立的事件，故D 正确．故选：D ．4．A【分析】根据二次根式的性质和分母不为零的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.【详解】根据二次根式的性质和分母不为零的性质可得：25601610x x x x ⎧-++≥⇒-≤≤⎨-≠⎩且1x ≠，所以()f x 的定义域是[1,1)(1,6]- ，故选：A 5．B【分析】根据随机数表的读数规则，按顺序依次选取，剔除重复的和编号之外的，选出8个编号，即可得到结果.【详解】根据随机数表的读数规则，依次从随机数表中读出的有效编号为：32，12，31，02，01，04，15，20，得到选出来的第8个个体的编号为20.故选：B ．6．A【分析】先计算124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将2x =-代入解析式中计算即可.【详解】解：因为2log ,0()3,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，所以211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以211(2)349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7．B【分析】根据及函数性质可确定()f x 在()0,∞+上是严格减函数，且()()200f f ==；利用单调性可判断出()0f x >和()0f x <的解集，分别讨论0x >、0x <和0x =的情况，综合三种情况即可得到结果.【详解】()f x 为定义在R 上的奇函数，在(),0∞-上是严格减函数，()20f -=，()f x \在()0,∞+上是严格减函数，()()220f f =--=，()00f =；∴当()(),20,2x ∈-∞- 时，()0f x >；当()()2,02,x ∈-+∞ 时，()0f x <；由()0x f x ⋅≥知：当0x >时，()0f x ≥，(]0,2x ∴∈；当0x <时，()0f x ≤，[)2,0x ∴∈-；当0x =时，不等式恒成立；综上所述：不等式()0x f x ⋅≥的解集为[]22-,.故选：B.8．D【分析】由均值不等式求出4yx +的最小值，转化为求234m m ->即可得解.【详解】因为正实数x ，y 满足141x y+=，所以4y x +144244y x y x x y y x ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24≥+，当且仅当8,2y x ==时，4yx +取得最小值4，由234yx m m +<-有解，可得234m m ->，解得4m >或1m <-.故选：D 9．ABC【分析】令真数大于零，解不等式即可得到定义域，令223t x x =-++，得到12log y t =，结合复合函数的单调性即可分析出剩余选项.【详解】令2230x x -++>解得()1,3x ∈-，即函数的定义域为(1,3)-，故C 选项正确，结合定义域可知D 选项错误，令223t x x =-++，则12log y t =，根据对数函数的单调性，y 关于t 单调递减，而函数223t x x =-++在()1,1-上关于x 是增函数，在()1,3上关于x 是减函数；由复合函数单调性可知，原函数在()1,1-上是减函数，在()1,3上是增函数，故AB 正确.故选：ABC 10．AC【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断即可.【详解】对选项A ：()1f x x x=-在()0,1上单调递增，()()1f x x f x x -=-+=-，函数为奇函数，正确；对选项B ：3y x =-在()0,1上单调递减，排除；对选项C ：()e e x x f x -=-，()()e e x xx f x f --==--，函数为奇函数，在()0,1上单调递增，正确；对选项D ：()2x f x x =，则()()()2x f x f xx--==-，函数为偶函数，排除.故选：AC 11．AB【分析】由题意写出()F x 解析式，后画出()F x 图像，据此可得答案.【详解】当224x x -≤，即x ≤x 时，()F x =24x -；当224x x ->，即x <<时，()F x 2x =.则()22244x x F x x x x x ⎧-≤⎪⎪=<⎨⎪-⎪⎩，，，画出图像如下.对于A 选项，因()()F x F x =-，且x ∈R ，则函数()F x 是偶函数，A 正确.对于B 选项，由图可得()0F x =有三个解，B 正确.对于C 选项，由图可得()F x 有4个单调区间，故C 错误.对于D 选项，由图可得()F x 有最大值为2，无最小值，故D错误.故选：AB12．ACD【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D.【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件1A ，从“乙袋中摸出一个红球”为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，对于A 选项，2个球都是红球为12A A ，其概率为111326⨯=，故A 选项正确，对于B 选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为15166-=，故B 选项错误，对于C 选项，2个球至少有一个红球的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 选项正确，对于D 选项，2个球中恰有1个红球的概率为1211232132⨯+⨯=，故D 选项正确．故选：ACD ．13．∅，{}1，{}2，{}1,2【分析】根据子集的概念进行求解即可【详解】集合{}1,2的所有子集有∅，{}1，{}2，{}1,2.故答案为：∅，{}1，{}2，{}1,214．()(),11,-∞-⋃+∞【分析】利用函数零点存在性定理即可解决问题.【详解】∵函数1y kx =+恰有一个零点在区间()1,1-内，∴()()110-+<k k ，∴()(),11,k ∈-∞-+∞ ，故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.15．252##12.5【分析】根据极差的定义可求得m 的值，再根据方差的定义可求得这组数据的方差.【详解】因为该组数据的极差为8，所以18m -=，解得9m =．因为这组数据的平均数为128954x +++==，所以，这组数据的方差为()()()()22222152********2s -+-+-+-==.故答案为：252.16．0.480.92【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可．（2）先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可【详解】（1）因为两人考试相互独立，则两人都通过考试是相互独立事件，所以同时发生的概率为0. 80.60.48P =⨯=.（2）两人都未通过的概率为()()10.810.60.08P =-⨯-=，故两人至少有一人通过的概率为10.080.92-=故答案为：0.48；0.9217．(1)0.7(2)0.6【分析】（1）根据概率的概念和基本性质可知，乘火车或乘飞机为并时间，将两种概率相加即可；（2）根据概率的概念和基本性质可知，乘飞机与不乘飞机为对立事件，根据其概率之和等于1，即可求出答案；【详解】（1）解：设“乘火车”“乘汽车”“乘飞机”分别表示事件A ，B ，C ，则()()()0.30.40.7P A C P A P C ⋃=+=+=，所以，他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.（2）解：设“不乘飞机”为事件D ，则()()110.40.6P D P C =-=-=．18．(1)1；(2)12.【分析】（1）利用对数运算法则即换底公式计算即可（2）将式中的代分数和小数形式化成真分数之后再进行分数指数幂的运算.【详解】（1）2311lg25lg2lg log 9log 22100+--⨯22231lg5lg2lg102log 3log 22-=+--⨯lg5lg222=++-lg(52)=⨯1=（2）()12023214323 1.5498--⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12232233331222--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3441299=--+12=19．(1)64N =，140a =(2)众数为75､中位数为76､平均数为75【分析】（1）利用频率分布直方图中的相关公式即可求解；（2）利用频率分布直方图中的众数、中位数及平均数的特点即可求解.【详解】（1）∵从左到右各小组的小长方形的高的比为1:1:3:5:4:2∴从左到右各小组的小长方形的面积的比为1:1:3:5:4:2∴从左到右各小组的小长方形的面积的分别为116，116，316，516，416，216∵8216N =，∴64N =，411161040a =⨯=（2）设中位数为0x ，平均数为x .∵070111353102161616165x -⎛⎫=---÷= ⎪⎝⎭，∴076x =∵11354245556575859575161616161616x =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=，∴估计参加这次数学竞赛成绩的众数为75､中位数为76､平均数为75.20．(1)图象见解析，单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞(2)()221f x x x =--+(3)答案见解析【分析】（1）根据奇函数的性质()00f =，再求出0x <时函数的解析式，即可得到函数在R 上的解析式，从而画出函数图象，结合图象得到函数的单调递增区间；（2）由（1）可得函数在0x <时的解析式；（3）方程()()f x k k = ∈R 的解的个数，即函数()y f x =与y k =的交点个数，结合图象即可判断.【详解】（1）解：因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，又当0x >时，2()21f x x x =--，当0x <时则0x ->，()()()222121f x x x x x -=----=+-，因为()f x 是R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()221f x x x =--+，综上可得()2221,00,021,0x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+<⎩，所以函数图形如下所示：由函数图象可得函数的单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；（2）解：由（1）可得当0x <时()221f x x x =--+；（3）解：当0x >时，()22()2112f x x x x =--=--，所以()12f =-，当0x <时()()222112f x x x x =--+=-++，所以()12f -=，因为关于x 的方程()()f x k k = ∈R 的解的个数，即函数()y f x =与y k =的交点个数，由图可得当2k >或2k <-时有且仅有一个交点，即方程只有1个解；当2k =±或01k <≤或10k -≤<时有两个交点，即方程有2个解；当0k =或12k <<或21k -<<-时有三个交点，即方程有3个解；综上可得：当2k >或2k <-时方程只有1个解，当2k =±或01k <≤或10k -≤<时方程有2个解，当0k =或12k <<或21k -<<-时方程有3个解.21．(1)()[),14,∞∞--⋃+(2)答案见解析【分析】（1）将分式不等式转化为整式不等式，然后求解即可；（2）将不等式变形为()()20x c x --<，然后分c 与2的大小讨论求解即可.【详解】（1）()()41023234110011110x x x x x x x x x ⎧-+≥---≥⇒-≥⇒≥⇒⎨++++≠⎩，解得1x <-或4x ≥，即2311x x -≥+的解集为()[),14,∞∞--⋃+；（2）由()2220x c x c -++<得()()20x c x --<，当2>c 时，2x c <<；当2c =时，无解；当2c <时，2c x <<；综上所述：当2>c 时，解集为()2,c ；当2c =时，解集为∅；当2c <时，解集为(),2c ；22．(1)单调递增；证明见解析(2)()(),41,-∞-+∞U ；(3)2.【分析】（1）用作差法证明即可；（2）根据函数是单调递增的奇函数，运用函数的性质去掉“f ”可解；（3）运用换元法，令()f x u =转化为一个二次函数在一段区间上的最值问题可得m 的值.【详解】（1）任取()()()11221212121211222222,22x x x x x x x x x x f x f x --⎛⎫---=--- ⎪⎝<∴=⎭-()121212212x x x x +⎛⎫=-+ ⎝⎭2x y = 单调递增，121212,22,220,x x x x x x <∴<∴-<又()()()()121212110,20,,x x f x f x f x f x +-<∴<+>∴所以()f x 单调递增；（2）()f x 为奇函数所以()()()()()22240,244f x x f x f x x f x f x ++->∴+>--=-，又()y f x =单调递增，所以224x x x +>-，解得<4x -或1x >，所以不等式的解集为()(),41,-∞-+∞U ；（3）()()()()2222222222,x x x x g x mf x mf x --=+-=--+令()22,x x f x t -=-=()f x 单调递增，[)31,,,2x t ⎡⎫∈+∞∴∈+∞⎪⎢⎣⎭此时222,y t mt =-+对称轴为,t m =当32m ≤时，2min 3325222,2212y m m ⎛⎫=-⨯+=-∴= ⎪⎝⎭（舍）当32m >时，2min 222,2, 2.y m m m m m =-⨯+=-∴=±∴=【点睛】思路点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.。

双鸭山市第一中学2023—2024学年度高三（上）学期数学第二次月考试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合{1,3,5,7}A =，2{|40}B x x x =-+≥，则A B = A. [1,3] B. {1,3} C. [5,7] D. {5,7}2. 若复数,1a ii-+为纯虚数则实数a 的值为( )A. iB. 0C. 1D. －13. 已知角α的终边过点()3,m，若cos 2α=，则实数m 的值为（ ）A. 3- B. 4C. 3-或3D. 4-或44已知0.321log 0.3,,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c<< B. b<c<aC. c b a<< D. a c b<<5. 已知圆锥SO的母线长为，侧面展开图的圆心角为 ）A. B. 24C. 36πD. 486. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为()30m,-在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得楼顶A 教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）.(sin15︒=.A. 30mB. 60mC.D. 7. 已知数列{}n a 满足(1)21(1)n n n n a a n +-+=-，n S 是其前n 项和，若20171007S b =--，且10a b >，则112a b+的最小值为（ ）A. 3-B. 3C.D. 3+8. 已知函数()()31,3ln 2e e e f x mx g x x x ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭，若()f x 与()g x 的图像上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线e y =对称，则实数m 的取值范围是（ ）A 29,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭B. 239,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 29,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 3,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知()()2sin ,sin ,2cos m x x n x x =-= ，函数()1f x m n =⋅+，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 初相是π6B. π4x =是函数()f x 图象的一条对称轴C. 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的对称中心D. 函数()f x 的图象向左平移π6个单位后关于y 轴对称10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点,P Q 分别在线段1,C D AC 上，则（）.的A. 异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4B. 点A 到平面1BC DC. 若,P Q 分别为线段1,C D AC 的中点，则PQ 平面11ABC DD. 线段PQ11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如下图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是（ ）A.12311111n n a a a a n ++++=+ B. 1225是三角形数，不是正方形数C.12311113320n b b b b ++++< D. *N ,m m ∀∈≥2，总存在*,N p q ∈，使得m p q b a a =+成立12. （多选）双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为k的直线交右支于P ，Q 两点，以F 1Q 为直径的圆过点P，则（ ）A. 若△PF 1Q 的内切圆与PF 1相切于M ，则F 1M ＝aB. 若双曲线C 方程为2246x y -=1，则△PF 1Q 的面积为24C.的双曲线满足条件D. 若3PF 2＝QF 2，则双曲线C三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 从某校高中3个年级按分层抽样抽取了100人作为调研样本，其中有80人来自高一和高二，若知高一和高二总人数共计900人，则高三学生的总人数为______.14. 已知()f x 为奇函数，当0x >时，2()2ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程是___________.15. 已知ππ,126θ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且πsin 12θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22πcos cos 3θθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭____________．16. 已知a 为常数，函数()()+20=+1ln (>0)x x f x x x x ≤⎧⎪⎨⎪⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为______．四、解答题（本题共670分，17题10分，其他每题12分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 某学校1000名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，…第五组[]17,18，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．的（1）请估计学校1000名学生中，成绩在第二组和第三组的人数；（2）请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）．18. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b bc -=-.（1）求角A 的大小；（2）若a =，求ABC 周长L 的最大值.19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC⊥平面ABCD ，30ACD ∠=︒，E 为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.（1）证明：PC ∥平面BEF ；（2）若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A EF B --的余弦值.20. 数列{}n a 满足123122342n n n a a a na -++++⋅⋅⋅+=- , N n *∈.（1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 通项公式n a ；（3）设21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，11n n c b +=，求数列{}n c 的前n 项和.21. 设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12e =，椭圆C 上一点P 到左右两个焦点1F 、2F 的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.22. 已知函数1()ex x f x -=．（1）求函数()f x 的极值，的（2）对任意实数0x >，()()ln 1f x x a x ≤-+恒成立，求正实数a 的取值范围．双鸭山市第一中学2023—2024学年度高三（上）学期数学第二次月考试题本试卷满分150分，考试时间120分钟一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合{1,3,5,7}A =，2{|40}B x x x =-+≥，则A B = A. [1,3] B. {1,3} C. [5,7] D. {5,7}【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合B ，结合交集定义进行求解即可．【详解】22{|40}{|40}{|04}B x x x x x x x x =-+≥=-≤=≤≤，则{13}A B = ，，故选B ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B 的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍.2. 若复数,1a ii-+为纯虚数则实数a 的值为( )A. i B. 0C. 1D. －1【答案】C 【解析】【分析】由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.【详解】不妨设()1a iki k R i-=∈+，则：()21a i ki i ki ki k ki -=+=+=-+，由复数相等的充分必要条件可得：1a k k =-⎧⎨-=⎩，即11a k =⎧⎨=-⎩，即实数a 的值为1.故选：C.3. 已知角α的终边过点()3,m ，若cos2α=，则实数m 的值为（ ）A. 3-B. 4C. 3-或3D. 4-或4【答案】D 【解析】【分析】先根据二倍角公式求出cos α，再利用三角函数的定义可求答案.【详解】因为cos2α=，所以23cos 2cos 125αα=-=，5=，解得4m =±．故选：D ．4.已知0.321log 0.3,,2a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. b<c<aC. c b a<< D. a c b<<【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性，借助“媒介”数比较作答.【详解】函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，00.31<<，则22log 0.3log 10a =<=，函数1()2xy =在R 上单调递减，0.31<，0.311(22b =>，而 2.51052c <=<=，所以a c b <<.故选：D5. 已知圆锥SO的母线长为）A. B. 24 C. 36πD. 48【答案】C 【解析】【分析】由圆锥侧面展开图的圆心角可构造方程求得圆锥底面半径r =Rt AOB 中，利用勾股定理可构造关于圆锥外接球半径R 的方程，解方程求得R ，根据球的表面积公式即可求得结果.【详解】设圆锥SO 底面半径为r=r =如图，SA 是圆锥的一条母线，由圆锥的性质知其外接球的球心B 在SO 上，连接OA ，AB ，的设圆锥的外接球的半径为R ，则AB SB R ==，则4OS ====，()222AB OAOS SB =+-，即(()2224R R =+-，解得：3R =，∴圆锥的外接球的表面积为24336ππ⨯=.故选：C.6. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINTSOPHIACATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位.其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为()30m,-在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D A 教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）.(sin15︒=A 30mB. 60mC. D. 【答案】D 【解析】【分析】在ACM △中，利用正弦定理，得sin15sin 30AM CM ︒=︒，再结合锐角三角函数的定义，求得AM ，CD ，得解．【详解】由题意知，45CAM ∠=︒，1801560105AMC ∠=︒-︒-︒=︒，.所以1801054530ACM ∠=︒-︒-︒=︒，在Rt ABM 中，sin sin15AB ABAM AMB ==∠︒，在ACM △中，由正弦定理得，sin 30sin 45AM CM=︒︒，所以sin 45sin 45sin 30sin15sin 30AM AB CM ︒︒==︒︒⋅︒，在Rt DCM 中，sin 45sin 60sin 60sin15sin 30ABCD CM ⋅︒⋅︒=⋅︒===︒⋅︒所以小明估算索菲亚教堂的高度为米．故选：D ．7. 已知数列{}n a 满足(1)21(1)n n n n a a n +-+=-，n S 是其前n 项和，若20171007Sb =--，且10a b >，则112a b+的最小值为（ ）A. 3- B. 3C. D. 3+【答案】D 【解析】【分析】在已知式中令3,5,7,,2017n = ，然后由20171232017S a a a a =++++ 表示出和，结合已知得11a b +=，再用“1”的代换可得最小值．【详解】因34589201601772263,5,7,9,,2017a a a a a a a a a a +=+=-+=+=-+=- ，∴2017123452016201711008S a a a a a a a a =+++++++=- ，由题意110081007a b -=--，∴11a b +=，又10a b >，∴10,0a b >>，∴1111121212)3(3a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪≥+⎝⎭，当且仅当112a b b a =，即11a =-，2b =时，等号成立．故选：D ．【点睛】本题考查数列的递推式，考查数列和的概念，基本不等式求最值，解题关键是“1”的代换凑配出定值．8. 已知函数()()31,3ln 2e e e f x mx g x x x ⎛⎫==+≤≤⎪⎝⎭，若()f x 与()g x 的图像上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线e y =对称，则实数m 的取值范围是（ ）A. 29,e ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭B. 239,e e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 29,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 3,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由题设令(,),(,3ln 2e)M x mx N x x +，根据存在性将问题转化为2e 3ln 2e mx x -=+在31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，参变分离后可求实数m 的取值范围.【详解】因为()f x 与()g x 的图像上分别存在点,M N ，使得,M N 关于直线e y =对称，令(,),(,3ln 2e)M x mx N x x +则3ln 2ee2mx x ++=即2e 3ln 2e mx x -=+31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即3ln mx x -=在31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解即3ln x m x -=在31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，设()3ln x h x x =，31,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()231ln x h x x-'=，当1e e x <<时，()0h x '>，故()h x 在1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,为增函数，当3e e x <<时，()0h x '<，故()h x 在()3e,e 为减函数，在而()()33319e ,3e,e e e e h h h ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，故()h x 在31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为33e,e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故33e,em ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即3,3e e m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故选：D.二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知()()2sin ,sin ,2cos m x x n x x =-= ，函数()1f x m n =⋅+，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的初相是π6B. π4x =是函数()f x 图象的一条对称轴C. 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的对称中心D. 函数()f x 的图象向左平移π6个单位后关于y 轴对称【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的数量积的坐标表示及二倍角公式，利用辅助角公式及三角函数的性质，结合图象的平移变换即可求解.【详解】因为()()2sin ,sin ,2cos m x x n x x =-=，所以()2π2sin cos 12cos 221sin 26x x f x x n x x x m ⎛⎫-++⎪=⋅=+==++ ⎝⎭ ，易知函数()f x 的初相是π,6故A 正确；由πππ2π2sin 22sin 24463f ⎛⎫ ⎪⎛⎫=⨯+==≠± ⎪⎝⎝⎭⎭，得π4x =不是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 错误；由()5ππ2sin 22sin π0126f x ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，得5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，故C 正确；对于D 选项：πππ2sin 22sin 22cos2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，函数关于y 轴对称，故D 正确．故选：ACD ．10. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点,P Q 分别在线段1,C D AC 上，则（ ）A. 异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4B. 点A 到平面1BC DC. 若,P Q 分别为线段1,C D AC 的中点，则PQ 平面11ABC DD. 线段PQ【答案】BCD 【解析】【分析】利用异面直线所成角方法求解即可判断选项A ，利用等体积法求解点到面距离即可判断B ，利用线面平行的判定定理判断选项C ，建立空间直角坐标系利用向量共线的性质建立关系式，然后利用两点间的距离公式表示出来分析即可判断选项D.【详解】因为11AD BC ∥，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1D C 和1AD 所成的角1AD C ∠，因为11AD AC CD ==，所以1AD C 为等边三角形，即1π3AD C ∠=，的故A 错误.连接1AC 如图所示：点A 到平面1BC D 的距离为h ，因为11A BC D C ABD V V --=，所以111133BC D ABD S h S C C ⋅=⋅ .因为1111sin 60222,222BC D ABD S S C C =⨯==⨯⨯== ，所以h =所以点A 到平面1BC D 故B 正确，当,P Q 分别为线段1,C D AC 的中点时，则PQ 为1BC D 的中位线，所以1PQ BC ∥，又PQ ⊄平面11ABC D ，1BC ⊂平面11ABC D ，所以PQ 平面11ABC D ，故C 正确.以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则()()10,0,0,0,2,2D C ，设(),,P x y z，(10DP DC λλ=≤≤，所以()(),,0,2,2x y z λ=，所以()0,2,2P λλ，设(),,Q a b c，(0AQ AC μμ=≤≤，又()()2,0,0,0,2,0A C 所以()()2,,2,2,0a b c λ-=-，所以()22,2,0Q μμ-，所以PQ ==当103222033μλλμμ⎧⎧=-=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩时，PQ 有最小值，即min PQ =，故D 选项正确，故选：BCD.11. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如下图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是（ ）A.12311111n n a a a a n ++++=+ B. 1225是三角形数，不是正方形数C.12311113320n b b b b ++++< D. *N ,m m ∀∈≥2，总存在*,N p q ∈，使得m p q b a a =+成立【答案】CD 【解析】【分析】用累加法求出n a 、n b ，再用裂项相消法可判断A ；分别令1225n a =和1225n b =，看有无正整数解即可判断B ；将n b 放缩后用裂项相消求和即可判断C ；取m p q ==即可判断D.【详解】三角形数构成数列{}n a ：1，3，6，10，…，则有()213212,3,,2n n a a a a a a n n --=-=-=≥ ，利用累加法，得1(1)(2)2n n n a a -+-=，得到(1)2n n n a +=，1n =时也成立，所以(1)2n n n a +=；正方形数构成数列{}n b ：1，4，9，16，…，则有()213213,5,,212n n b b b b b b n n --=-=-=-≥ ，利用累加法，得1(22)(1)2n n n b b +--=，得到2n b n =，1n =时也成立，所以2n b n =，对于A ，12112()(1)1n a n n n n ==-++，所以1231111122111n n a a a a n n ⎛⎫++++=-= ⎪++⎝⎭，故A 错误；对于B ，令212252n n n a +==，解得49n =，令21225n b n ==，解得35n =，所以1225既是三角形数，又是正方形数，故B 错误；对于C ，22114112412121n b n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，则221231*********n b b b b n ⎛⎫++++=++++ ⎪⎝⎭ 51111112457792121n n ⎛⎫<+-+-++- ⎪-+⎝⎭，整理得，12311115113323324521202120n b b b b n n ⎛⎫++++<+-=-< ⎪++⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，取m p q ==，且*N m ∈，则令2(1)(1)22m m m m m +-=+，则有1m m m b a a -=+，故*N ,m m ∀∈≥2，总存在*,N p q ∈，使得m p q b a a =+成立，故D 正确.故选：CD.12. （多选）双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过右焦点F 2且斜率为k的直线交右支于P ，Q 两点，以F 1Q 为直径的圆过点P ，则（ ）A. 若△PF 1Q 的内切圆与PF 1相切于M ，则F 1M ＝aB. 若双曲线C 的方程为2246x y -=1，则△PF 1Q 的面积为24C.的双曲线满足条件D. 若3PF 2＝QF 2，则双曲线C【答案】BD 【解析】【分析】利用三角形内切圆以及双曲线的定义、转化求解判断A ，利用双曲线的标准方程，转化为求三角形的面积可判断B ，通过双曲线的离心率，判断直线与双曲线的位置关系可判断C ，利用已知条件转化求解双曲线的离心率判断D ，进而可得正确选项.【详解】由题意，以F 1Q 为直径的圆过点P ，故1PF PQ ⊥，且P Q ，在右支上，对于选项A ：记内切圆与PQ 相切于N ，与F 1P 相切于M ，与F 1Q 相切于K ，由内切圆的性质可得||||,||||PM PN QK QN ==，故11||||||F P F Q PQ +-11111||||||||||||||||2||4F M F K PM QK PN QN F M F K F M a =+++--=+==，1||2F M a =，故选项A 不正确；对于选项B ：双曲线C 的方程为22146x y -=，则2a b c ===，2||PF x =，则1||4PF x =+，在12Rt PFF △中，故222(4)40x x ++==，解得2x =，故2||2PF =，1||6PF =，设2||QF y =，则1||4QF y =+，在1Rt PFQ △中，有2226(2)(4)y y ++=+，解得6y =，故△PF 1Q 的面积为111||||6(62)2422S PF PQ ==⨯⨯+=，故选项B 正确； 对于选项C：若c e a==，则2ba =，故渐近线方程为2y x =±，设12||,||,PF y PF x ==在12Rt PFF △中22222112||||(2)PF PF F F c +==||，可得22280x ax a +-=解得2x a =，故24y x a a =+=，可得12|2|PQ PF k PF =±=±||，此时直线PQ 与渐近线平行，不可能与双曲线右支交于两点，故C 不正确；对于选项D ：若223||||PF QF =，设22||,||3PF x QF x ==，则1||2PF x a =+，1||32QF x a =+，在1Rt PFQ △中，有222(2)(4)(32)x a x x a ++=+，解得x a =，在12Rt PFF △中，2222(2)10(2)a a a a c ++==，可得22252c e a ==，故e ，故选项D 正确.故选：BD ．三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 从某校高中3个年级按分层抽样抽取了100人作为调研样本，其中有80人来自高一和高二，若知高一和高二总人数共计900人，则高三学生的总人数为______.【答案】225【解析】【分析】先根据题意建立方程，再求解即可.【详解】解：设高三学生的总人数为x 人，有题意：8010080900x-=，解得：225x =，所以高三学生的总人数为225人.故答案为：225.【点睛】本题考查分层抽样，是基础题.14. 已知()f x 为奇函数，当0x >时，2()2ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程是___________.【答案】430x y -+=【解析】【分析】由已知求得0x <时函数的解析式，求出函数的导函数，得到函数在=1x -处的导数值，再求出()1f -，利用直线方程的斜截式得答案.【详解】解：设0x <，则0x ->，又()f x 为奇函数，∴()()()22()2ln 2ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+=---⎣⎦，则2()2f x x x'=--，∴()1224f '-=+=，又()11f -=-，∴曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程是()141y x +=+，即切线方程是430x y -+=.故答案为：430x y -+=.15. 已知ππ,126θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且πsin 12θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则22πcos cos 3θθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭____________．【答案】75##1.4【解析】【分析】由三角恒等变换公式化简后求解【详解】222π1cos 2π1cos 21113cos cos 1cos 2cos 22322222θθθθθθθ⎛⎫+- ⎪⎛⎫+⎛⎫⎝⎭+-=+=++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111cos221sin 22226πθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，因为ππ,126θ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以πππ0,,cos 12412θθ⎛⎫⎛⎫+∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π4sin 2265θ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以22π7coscos 35θθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．故答案为：7516. 已知a 为常数，函数())0=ln (>0)x f x x x ≤⎨⎪⎩，若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，则实数a 的取值所构成的集合为______．【答案】()31e,1.e --⋃⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解等价于直线2y ax =+与()=y f x 的图像有四个不同的交点，画出()=y f x 与2y ax =+的图像，利用数形结合可得结果.【详解】关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，等价于直线2y ax =+与()=y f x 有四个不同的交点，直线2y ax =+过定点()0,2，斜率为a ，当直线与21x y x +=+相切时，由()2111x x x '+⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，令=0x 可得斜率1a =-；当直线()ln 01y x x =-<<相切时，1y x '=-，由ln 2111,x x e x x e x --=-⇒=-=-，可得斜率a e =-；同理，当直线()ln 1y x x =>相切时，斜率31a e=，画出()=y f x 与2y ax =+的图像，如图，由图知，1e a -<<-或31a e=时，2y ax =+与()=y f x 有四个交点，此时关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解，故答案为：()31e,1e --⋃⎧⎫⎨⎬⎩⎭.四、解答题（本题共6个小题，共70分，17题10分，其他每题12分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 某学校1000名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，…第五组[]17,18，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）请估计学校1000名学生中，成绩在第二组和第三组的人数；（2）请根据频率分布直方图，求样本数据的平均数和中位数（所有结果均保留两位小数）．【答案】（1）540；（2）平均数15.70；中位数15.74.【解析】【分析】（1）根据频率直方图求出第二组和第三组频率，进而求第二组和第三组的人数；（2）由频率直方图求平均数、中位数即可.【小问1详解】成绩在第二组和第三组的频率0.160.380.54+=，所以学校1000名学生中成绩在第二组和第三组的人数：10000.54540⨯=．【小问2详解】样本数据的平均数：13.50.0614.50.1615.50.3816.50.3217.50.0815.70x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，中位数：第一二组的频率为10.0610.160.225⨯+⨯=<0.．第一二三组的频率为10.0610.1610.380.65⨯+⨯+⨯=>0.，所以中位数一定落在第三组，设中位数为x ，则()10.0610.16150.385x ⨯+⨯+-⨯=0.，解得29915.7419x =≈.18. 在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b bc -=-.（1）求角A 的大小；（2）若a =，求ABC 的周长L 的最大值.【答案】（1）3A π=的（2）最大值为【解析】【分析】（1）由余弦定理求出cos A 即可得到A ；（2）方法一：先由正弦定理得4sin b B =，4sin c C =，再用角表示出周长的函数，最后求最值即可；方法二：运用基本不等式即可.【小问1详解】由222a cb bc -=-，得222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===.又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.【小问2详解】法一：由（1）知3A π=，又a =，所以由正弦定理得4sin sin sin b c a B C A ====所以4sin b B =，4sin c C =，所以()234sin sinC 4sin sin 4sin 32L B B B B B π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1cos 26B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为0,20,2B C ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩即0,220,32B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩所以62B ππ<<，所以2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.所以当sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3B π=时，L取得最大值其最大值为.法二：由222a c b bc -=-，a =得()()()222222123324b c b c b c bc b c bc b c ++⎛⎫=+-=+-≥+-⨯=⎪⎝⎭，当且仅当b c =时取等号，此时b c a ===.所以()248b c +≤，即b c +≤.所以L a b c =++≤（b c a ===时取等号），L的最大值为19. 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，平面PBC ⊥平面ABCD ，30ACD ∠=︒，E 为AD 的中点，点F 在PA 上，3AP AF =.（1）证明：PC ∥平面BEF ；（2）若PDC PDB ∠∠=，且PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A EF B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2.【解析】【分析】（1）设,AC BE 的交点为O ，连接FO ，先证明AOE COB ∽得12AO OC =，然后由线面平行判定定理可证；（2）取BC 的中点为H ，以H 为坐标原点，,,HD HB HP为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】设,AC BE 的交点为O ，连接FO ，易知，//AE BC ，且12AE BC =，所以,OAE OCB OEA OBC ∠=∠∠=∠，所以AOE COB ∽，得12AO OC =，在APC △中，12AO AF OC FP ==，所以//FO PC ，又FO ⊂平面BEF ，PC ⊄平面BEF ，则//PC 平面BEF .【小问2详解】因为30,ACD ∠= 底面ABCD 是菱形，所以60BCD ∠=︒，所以DCB △为等边三角形，DC DB =，又因为PDC PDB ∠∠=，所以PDB PDC ≅ ，PB PC =，取BC 的中点为H ，连接,PH DH ，则PH BC ⊥，平面PBC⊥平面ABCD ，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，PH ⊂平面PBC ，则PH ⊥平面ABCD ，以H 为坐标原点，,,HD HB HP为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为PD 与平面ABCD 所成的角为45PDH ∠=︒，所以=PH DH ，设菱形的边长为2，所以PH DH ==(()))),0,1,0,2,0,,P B ADE，因为3AP AF =，所以43F，())1,0,1,0,3EF AE BE ⎛==-=⎝，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，001003y n AE x y z n EF -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎪⎪⎩⎩，取()1,0,1n = ，设平面BEF 的法向量为222(,,)m x y z =，2222001003n AE n EF x y z =⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=++=⎪⎪⎩⎩，取()1m =-，所以cos ,m n m n m n ⋅==所以平面AEF 与平面BEF.20. 数列{}n a 满足123122342n n n a a a na -++++⋅⋅⋅+=- , N n *∈.（1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 通项公式n a ；（3）设21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，11n n c b +=，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（1）314a =（2）112n n a -= （3）21nn -+【解析】【分析】（1）求3a 的值通过特殊赋值法求解，取1,2,3n n n ===依次代入即可；（2）由已知条件可知{}n na 的前n 项和为1242n n n S -+=-，借助于1n n n na S S -=-可求解其通项公式；（3）首先整理数列{}n c 的通项公式为112(1n c n n =--+，结合特点采用裂项相消法求和【小问1详解】令1n =，得11a =，令2n =，有1222a a +=，得212a =，令3n =，有12352344a a a ++=-，得314a =【小问2详解】当2n ≥时，12312123(1)42n n n a a a n a --++++⋅⋅⋅+-=-，①12311223(1)42n n n n a a a n a na --++++⋅⋅⋅+-+=-， ②②―①，得21112222n n n n n n nna ---++=-=，所以112n n a -=，又当1n =时，11a =也适合112n n a -=，所以，112n n a -=（N n *∈）【小问3详解】21222log log log n nb a a a =++⋅⋅⋅+12(1)n =---⋅⋅⋅--(1)2n n -=-故112112((1)1n n c b n n n n +==-=--++，121111122(1)()()22311n n c c c n n n ⎡⎤++⋅⋅⋅+=--+-+⋅⋅⋅+-=-⎢⎥++⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+21. 设椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为12e =，椭圆C 上一点P 到左右两个焦点1F 、2F 的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过2F 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，且两点与左右顶点不重合，若111F M F A F B =+，求四边形1AMBF 面积的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6.【解析】【分析】（1）本小题根据题意先求a ，b ，c ，再求椭圆的标准方程；（2）本小题先设过2F 的直线的方程，再根据题意表示出四边形的面积，最后求最值即可.【详解】解：（1）∵ 椭圆C 上一点P 到左右两个焦点1F 、2F 的距离之和是4，∴ 24a =即2a =，∵ 12c e a ==，∴ 1c =，又∵ 222a b c =+，∴ 23b =.∴ 椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）设点A 、B 的坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为直线过点2F ，所以可设直线AB 方程为1x my =+，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得：223(1)412my y ++=，化简整理得22(34)690m y my ++-=，其中222=3636(34)144(1)0m m m ∆++=+>，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -⋅=+，因为111F M F A F B =+，所以四边形1AMBF 是平行四边形，设平面四边形1AMBF 的面积为S ，则11212122242ABFS S F F y y ∆==⨯⨯⨯-==设t =，则221m t =-（1t ≥），所以2124241313t S t t t=⨯=⨯++，因为1t ≥，所以134t t+≥，(]0,6S ∈，所以四边形1AMBF 面积的最大值为6.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，相交弦等问题，是偏难题.22. 已知函数1()e x x f x -=．（1）求函数()f x 的极值，（2）对任意实数0x >，()()ln 1f x x a x ≤-+恒成立，求正实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值为1，无极小值（2）1a =【解析】【分析】（1）求得11(e)x xf x --'=，利用导数求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解；（2）令1()()ln 1e x x g x x a x -=---，求得11()ln 1e x x ag x x x---'-=+，转化为max ()0g x ≤，设()()h x g x '=，求得121e e 2121()x x x a x h x x x x--'--=--<-，得出函数的单调性与最值，结合零点的存在定理得到存在唯一01,1x a e⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，进而求得a 的值.【小问1详解】解：由题意，函数1()e x x f x -=，可得11(e)x xf x --'=，令()0f x '=，可得1x =，所以函数()f x 的极大值为(1)1f =，无极小值．【小问2详解】解：令1()()()ln 1()ln 1e x x g x f x x a x x a x -=--+=---，可得11()ln 1e x x ag x x x---'-=+，因为对任意实数0x >，()()ln 1f x x a x ≤-+恒成立，即max ()0g x ≤，设11()()ln e 1x x a h x g x x x -'-==--+，0a >，可得121e e 2121()x x x a x h x x x x--'--=--<-，若2(]0,x ∈时，()0h x '<；若2x >，令()12ln(1)t x x x =---，可得23()1011x t x x x -=-=>--'当(2,3)x ∈时，()0t x '<，()t x 单调递减；当(3,)x ∈+∞，()0t x '>，()t x 单调递增，所以min ()(3)22ln 22(1ln 2)0t x t ==-=->，所以21ln(1)x x ->-，两边取指数得到12(1)e x x ->-，因为当2x >时，()221212222212121211()0(1)e (1)(e 1)x x x x x x x a x x h x x x x x x x x x x -----+----=--<-<-==<---'，所以()g x '在(0,)+∞递减，又由11ee e e 1111ln 1e e e0;(1)ln(1)1011a a a a g g a a a ---⎛⎫=--+>+=-+-+''< ⎪+⎝⎭，由零点存在定理知，存在唯一01,1x a e⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，x()00,x 1()0,x +∞()g x '+--()g x 递增极大值递减所以()00g x ≤，因为(1)0g =，则01,(1)0x g '==，所以1a =．【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．。

黑龙江省双鸭山市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·厦门模拟) 已知，，则（）A .B .C .D .2. （2分）直线3x﹣y+1=0的倾斜角是（）A . 30°B . 60°C . 45°D . 150°3. （2分）已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（）A . f（0）＜f（）B . f（﹣2）＞f（2）C . f（﹣1）＜f（3）D . f（﹣4）=f（4）4. （2分）(2020·湖南模拟) 已知三棱柱内接于一个半径为的球，四边形与均为正方形，分别是，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰三角形OAB，∠OBA=90°，则点B的坐标为（）A . （1，3）或（3，﹣1）B . （﹣1，3）或（3，1）C . （1，3）或（3，1）D . （1，3）6. （2分）设，则（）A . c<b<aB . c<a<bC . a<b<cD . b<c<a7. （2分）若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A . [1,+∞)B . [-1,-)C . (,1]D . (-∞,-1]8. （2分）若一个正四棱锥的左视图是一个边长为2的正三角形（如图），则该正四棱锥的体积是（）A . 1B .C .D . 29. （2分）若函数的零点在区间（1，+∞）上，则实数a的取值范围是（）A . （﹣∞，0）B . （﹣∞，﹣1）C . （﹣1，+∞）D . （0，+∞）10. （2分）从直线x﹣y+3=0上的点向圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0引切线，则切线长的最小值为（）A .B .C .D . ﹣111. （2分） (2018高二下·邱县期末) 边长为的两个等边所在的平面互相垂直，则四面体的外接球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分）(2012·辽宁理) 设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3 ．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在上的零点个数为（）A . 5B . 6C . 7D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·江苏) 函数的定义域为________.14. （1分） (2017高二下·赣州期末) 已知函数f（x）= ，则f（f（4））=________．15. （1分） (2016高二上·宜昌期中) 过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为________．16. （1分）点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2017高一上·上饶期末) 已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线CM所在直线方程为2x ﹣3y+2=0，AC边上的高BH所在直线方程为2x+3y﹣9=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．18. （10分） (2019高二上·洮北期中) 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°的角.求证:（1）CM∥平面PAD．（2）平面PAB⊥平面PAD．19. （10分） (2016高一上·翔安期中) 已知函数f（x）=ln（2+x），g（x）=ln（2﹣x）（1）判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）的奇偶性；（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值范围．20. （10分）(2017·泉州模拟) 如图1所示，在等腰梯形ABCD中，．把△ABE沿BE折起，使得，得到四棱锥A﹣BCDE．如图2所示．（1）求证：面ACE⊥面ABD；（2）求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．21. （10分）(2018·江西模拟) 已知圆．（1）直线的方程为，直线交圆于、两点，求弦长的值；（2）从圆外一点引圆的切线，求此切线方程．22. （15分） (2017高一下·苏州期末) 已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x（a∈R）（1）当a=4时，解不等式f（x）≥8；（2）当a∈[0，4]时，求f（x）在区间[3，4]上的最小值；（3）若存在a∈[0，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。