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让类比思想成为学生学习数学的拐杖一、类比思想应用的广泛性1.教材中涉及类比思想的主要内容（1）有理数的运算法则、绝对值、相反数——实数的运算法则、绝对值、相反数、（2）小学的运算律——有理数的运算律——实数的运算律——虚数的运算律（3）分数的概念、性质、运算法则——分式的概念、性质、运算法则（4）同类项、同类二次根式的概念；整式的运算与二次根式的运算（5）一元一次方程、一元一次不等式、分式方程的概念、解法、实际应用（6）一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数（7）图形的全等、图形的相似（8）轴对称、轴对称图形；中心对称、中心对称图形（9）平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质、识别（10）三角形的中位线、梯形中位线（11）从平面图形到空间图形（12）从两个参量到多个参量2.类比思想在中考中的体现例（2010淮安）（1）观察发现如图1，若点a，b在直线同侧，在直线上找一点p，使ap+bp 的值最小。
做法如下：作点b关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点p再如图2，在等边三角形abc中，ab=2，点e是ab的中点，ad 是高，在ad上找一点p，使bp+pe的值最小。
做法如下：作点b关于ad的对称点，恰好与点c重合，连接ce 交ad于一点，则这点就是所求的点p，故bp+pe的最小值为。
（2）实践运用如题图3，已知⊙o的直径cd为4，ad的度数为60°，点b是弧中点，在直径cd上找一点p，使bp+ap的值最小，并求bp+ap的最小值。
3）拓展延伸如题图4，在四边形abcd的对角线ac上找一点p，使∠apb=∠apd．保留作图痕迹，不必写出作法。
二、“授人以鱼，不如授人以渔”1.课堂上，渗透类比法学习比如，在学习解一元一次不等式时，首先让学生自学例题，引导学生观察、思考、回忆该知识与已学的哪些知识相类似，学生很容易把它与解一元一次方程相联系。
其次让学生回忆解一元一次方程的步骤，引导学生观察、分析两者的解题步骤有哪些相同点、哪些不同点，学生讨论交流。
类比思想是最基本最重要的数学思想方法内容概述类比思想就是由已知两个（类）事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理思想（由特殊到特殊）。
类比思想是串联新旧知识的纽带，同时也是培养学生探究能力和创新能力的有力工具．类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆，类比是数学发现的重要源泉，数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出的。
在高中数学中，类比是最基本、最重要的数学思想方法之一，它不仅能由已知解决未知，由简单问题解决复杂问题，更能体现数学思想方法之奇妙．恰当的运用类比思想，可以帮助学生举一反三、触类旁通，提高解题能力，也可以引导学生去探索获取新知识，提高学生的创新思维能力．类比思想存在于解决数学问题的过程中，是帮助我们寻找解题思路的一种重要的思想方法．当我们遇到一个“新”的数学问题时，如果有现成的解法，自不必说．否则解决问题的关键就是寻找合适的解题策略，看能否想办法将之转化到曾经做过的、熟悉的、类似的问题上去思考。
通过联系已有知识给我们的启发，将已有知识迁移到新问题中来，把解决已有问题的方法移植过来，为所要解决的问题指引了方向．例题示范例1：等差数列{n a }中，若100a =，则有12n a a a +++1219n a a a -=+++(19,)n n N +<∈成立，类比上述性质，在等比数列{n b }中，若9b =1，则_______.解：在等差数列中，100a =，那么以10a 为中心，前后间隔相等的项和为0，即9118120,0a a a a +=+=，…所以有121219(19,)n n a a a a a a n n N -++++=+++<∈成立．类比过来：同样在等比数列{n b }中，若9b =1，则以9b 为中心，前后间隔相等的项的积为1，即8107111,1b b b b ==，所以有下列结论成立：121217(17,)n n b b b b b b n n N -+=<∈评析：在等差数列和等比数列的性质类比中，常见的运算类比有：和类比为积，差类比为商，算术平均类比几何平均等等。
初中数学中的类比思想初中数学中的类比，处处可见。
何为“类比”，波利亚曾说过：“类比是一个伟大的引路人”。
在中学数学中,由2个数学系统中所含元素的属性在某些方面相同或相似,推出它们的其他属性也可能相同或相似的思维形式被称为类比推理,运用类比推理的模式解决数学问题的方法称为类比法。
类比既是一种逻辑方法,也是一种科学研究的方法,是最重要的数学思想方法之一。
那么，在初中数学教学中，哪些知识点运用了类比的思想呢？下面谈谈我在初中数学教学中的一些体会。
在讲解“一元一次不等式”时，学生由于刚刚接触不等式，对不等式本来就不是很熟悉，对不等式的解法也就感到陌生。
如果照着书上的例1直接进行讲解，学生可能会感到有点模糊，不那么得心应手，不知道为什么要这样来解题，就会照着按部就班的做题，以至于没有掌握解题的方法，思维会有点混乱。
当然，在经过大量的类似练习后，单纯地通过记忆性质本身，大部分学生都能掌握一元一次不等式的解法。
但是我们知道，学生在学习过程中，不但要获取知识，更重要的是要掌握一种学习方法，才会使学生终身受益。
为了让学生一开始就能从根本上弄清楚一元一次不等式的解法，能明白每一步的算理，真正地掌握一种学习的方法，在讲授这节内容时，我类比了解一元一次方程的方法，这样的讲解学生接受起来就容易多了。
例如：解一元一次方程：2x+6=3-x解：移项得：2 x+ x=3-6合并同类项得：3 x=-3系数化为1得：x =-1解一元一次不等式：2x+6﹤3-x解：移项得：2 x+ x﹤3-6合并同类项得：3 x﹤-3两边都除以3得：x ﹤-1学生只要注意最后一步：系数化为1时，不等式的两边如果都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变即可。
通过这种类比，学生掌握起来就容易得多了。
在讲解“分解因式”这节内容时，教科书提出两个问题：问题1： 993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴一起交流。
解：因为993-99=99×992-99×1=99×（992-1）=99×9800=98×99×100这里，我们把一个数式化成了几个数的乘积的形式，所以993-99能被99整除。
时需小议数学中的类比思想王安平关键字：类比的思想数形之间、数数之间的类比所谓类比，是指两种事物之间存在着相互类似的性质或特点。
这个词来源于希腊文“ analogia”原意为比例，后来引申为某种类似的事物。
类比的思想方法在科学发展中占有着十分重要的地位。
例如，著名科学家牛顿的万有引力定律就是把天体运动与自由落体运动做类比而发现的；著名的生物学家达尔文把植物的自花受精与人类的近亲结婚相类比，从而发现了自己子女体弱多病的原因。
类比的思想涉及了对知识的迁移。
所谓迁移就是一种学习对另一种学习的影响。
在教学中我们应当注意对学生迁移意识的培养，也就是说要注重运用类比的思想。
在我们平时的数学教学中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习；另外，在教学中也可以利用类比的思想进行教学。
的确，类比法是学习数学的一种常用方法。
数学的类比主要体现在以下几个方面:㈠几何图形之间的类比（1）几何形体数量关系的类比在以往的高考题目中，也出现了类似题目。
例如：在某年上海的高考模拟题中的一道题：已知：在平面几何有勾股定理：“假设ABC的两边AB、AC互相垂直，则有关系：AB2 AC2 BC2。
”当我们拓展到空间，类比平面几何的勾股定理并研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系时，我们可得到相应结论：假设三棱锥A BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直，则S2ABC S2ACD S2ADB S2BCD（2）几何性质之间的类比例如，几何体中的椭圆与双曲线就有很多的相似之处:在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比，例如:------------------------- 布磊Sn/ — ....... .. ...... ..... ......同样是在某年上海的高考模拟题中的一道题:已知：在三角形中存在余弦定理：a 1 2b 2c 3 4 2bccosA ,那么，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中存在关系（假设 表示平面BCC 泪与平面ACC 1A 1所成的二面角）：SA B B 1 A5 6BCC 1B 1 S A C C 1 A 2S BCC I B I SA CC I Acos㈡数与形之间的类比众所周知，初等数学可分为代数与几何。
数学教学中类比思想的应用摘要：类比(格亚斯)，意思是用推理的方法或与同类事物相比较。
类比是根据两种事物在某些特征上的相似，做出它们在其他特征上也可能相似的结论。
类比是这样的一种推理，它把不同的两个(两类)对象进行比较，根据两个(两类)对象在一系列属性上的相似，而且已知其中一个对象还具有其他的属性，由此推出另一个对象也具有相似的其他属性的结论。
类比思想是一种重要的思想，在数学的教学中有着至关重要的作用。
关键字：数学、类比思想数学教学过程中，加强类比思想在数学学科教学中的应用，有利于数学课堂的教学，有利于学生对新知识的探究与学习，更有利于数学教学的发展。
课程设计时巧用数学类比思想，优化课堂设计教师认真备课是有效有开展教学活动的前提，而课程设计是备课过程的主要环节，也是提升课堂质量的保障。
数学知识之间存在着紧密的联系，新知识往往是若干旧知识点的重新组合或是旧知识的引伸和扩展。
著名的数学家波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人”。
数学中的类比基础，就是数学对象间的相似性。
数学中有些概念是难以让学生理解和接受的，倘若在课程设计时，将类比思想融入新课中，在讲授新知识时联系旧知识，将新旧类比分析，将能让学生更加理解知识，同时也能突破难点，降低教学难度。
因此，教师在进行课程设计时，教师应充分将数学类比思想融入课程中，从而加强对学生数学类比思想的渗透，优化课堂课设，让学生可在原来的基础上进行自我提高，让新知识掌握得更牢固找，进一步优化课堂教学。
探究新知时巧用数学类比思想，激发学生兴趣在数学中，有些新概念比较抽象，学生不太容易理解，用类比法引入新概念，可使学生更好地理解新概念的内涵与外延。
数学中的许多概念有类似的地方，在新概念的提出过程中，运用类比的方法，能使学生易于理解和掌握。
教师在讲授新课引出新知识，将新知识与旧知识联系起来，并将新旧进行类比分析，将能让学生更加理解知识，同时也能突破难点，降低教学难度。
例如，教师在讲授小学数学教学中的“乘法”这一课时，教师在引出“乘法”这一新概念时，可以先让学生复习一下“几个数的加法”这一概念。
课例研究新教师教学“类比思想”与“转化思想”是物理学习的很重要的思想，它几乎渗透在物理教学每一个过程之中。
“类比”是由已有知识向新知识过渡的一种很有效的方法，所谓“转化”，它是指将一些隐性的或不易直接测量的物理量、物理概念或物理规律，转化为显性的或可以间接测量的一种间接的思想方法，从而实现化繁为简、化难为易的目的。
类比思想与转化思想主要体现在以下几个方面：1.化抽象为具象物理概念体现的是一种思维形式，人们借助这种思维形式来认识各种客观事物和现象的本质特征，因而物理概念具有一定的抽象性，学生往往由于缺乏相应的感性认识，容易形成学习时的障碍。
因此，重视运用“转化思想”将物理概念所反映的一些现象、一些效应直观地显现出来，引导学生去认识、去感知、去领悟她们的本质特征，达到化抽象为直观的教学效果。
案例：温度与温度计温度是物体的冷热程度，它是一个可以感知但是看不见摸不着的物理量，那么我们怎么把温度直观地显现出来？普通液体温度计就是利用液体热胀冷缩的性质，把温度的变化转化成可以看得见的液体的体积的变化、更直观的是液柱在温度计的毛细管中的长度变化而显现出来。
简言之，就是把温度的变化转化为长度的变化。
电阻是导体对电流的阻碍作用，也是看不见摸不着的，是一个抽象的概念。
要理解这一概念，可以先做一个类比：路面对车的阻碍作用，可以从车流量的大小来判断，路不好走，对车辆的阻碍作用就大，车走的慢，车流量就小，所以车流量小可以说明路面对车的阻碍作用大。
与此类似，导体对电流的阻碍作用，可以从它产生的效应入手，将一个灯泡接入电路，通过灯泡的亮度来判断电流的大小，进一步判断电阻的大小。
实际上，很多仪表都是利用转化的思想把看不到的物理量转换为可视的直观的物理量制成的：电流表把电流的大小转化为指针的摆幅；电压表是把电压的大小转化为指针的摆幅直观可见，可以从表盘上直接读取我们所需要的物理量。
弹簧测力计把力的大小转化为弹簧伸长的长度；杆秤把质量转化为在秤杆上可以看得见的长度；水银压强计把压强转化为水银柱的高度，等等。
运用类比思想促进深度理解作者：李丽来源：《湖北教育·教育教学》2022年第05期“小数加减法”是人教版数学四年级下册第六单元《小数的加法和减法》的例1。
本课时是在学生学习了用竖式计算整数加减法、一位小数加减法的基础上进行教学的。
运用类比思想，借助新旧知识间的内在联系来教学，能培养学生的归纳、概括、迁移能力，发展学生的数学应用意识。
一、概念理解类比，突出小数加减法的意义把已有经验类比迁移到新问题中来，能为问题的解决指引方向。
笔者在教学中借助学生已掌握的知识和经验，让学生对与之相近的学习对象进行类比，引导学生将整数加减法的意义有效迁移到理解小数加减法的意义中来，从而发现新规律。
上课伊始，笔者用多媒体课件呈现教材第71页的单元主题图（两名学生在图书大厦买书的场景）。
学生观察后，笔者设疑：“从图中你获得了哪些信息？”一名学生回答：“两名同学到图书大厦买书，女生想买2本图书，男生要买1本词典。
”接着，笔者借助多媒体由主题图情境引出例1的情境，分别呈现《数学家的故事》的单价是6.45元、《童話选》的单价是4.29元，并设疑：“根据情境图中给出的信息，你能提出什么数学问题？”一名学生提出：“买两本图书一共要花多少钱？”另一名学生提出：“《数学家的故事》比《童话选》贵多少钱？”笔者接着设疑：“根据他们提出的问题，该怎样列式？”其中一名学生答道：“第一个数学问题列式为‘6.45+4.29’，第二个数学问题列式为‘6.45-4.29’。
”笔者追问：“第一个问题用加法计算、第二个问题用减法计算的理由是什么？”这名学生回答：“第一个问题要把两个数合并成一个数，根据整数加法的意义用加法计算;第二个问题要求《数学家的故事》比《童话选》贵多少钱？就是求《数学家的故事》比《童话选》多多少钱，根据整数减法的意义，要用减法计算。
”笔者肯定学生的回答后总结：小数加减法与整数加减法的意义相同。
二、计算方法类比，强调小数点对齐的重要性类比思想是联系新旧知识的纽带，也是培养学生探究能力和创造能力的有效工具，更是学习数学的一种常用方法。
关于类比思想的作文
星辰和沙粒，你说它们有啥关系？其实啊，它们真的挺像的。
你想想看，那些遥远的星辰，就像是咱们心里的梦想，看着挺远，
但每次一抬头，都能让你觉得心里暖暖的。
而那沙粒呢，就是咱们
为了梦想付出的每一分努力，看似微不足道，但积累起来，就是通
往梦想的路。
音乐跟建筑，这俩八竿子打不着的东西，其实也有共通之处。
音乐，就像是流动的时间，听着听着，就让你忘了烦恼，找到了自己。
建筑呢，它就是凝固的历史，站在那里，就像是在跟你讲故事。
音乐和建筑，一个讲时间，一个讲空间，但它们都在追求那种和谐
和完美。
说到书籍和旅行，这两个可是我最爱的了。
书籍啊，就像是一
扇扇通往不同世界的门，你翻开一页，就能看见全新的风景。
类比是一种什么方法类比是一种语言和思维的方法，通过将不同事物之间的相似之处和共同特征进行对比和比较，从而帮助我们理解新的或抽象的概念。
类比是一种通过类似的事物来解释和理解目标事物的方法，它通过比较和对比两个或多个事物的相似之处，从而揭示出它们之间的共同特征和规律。
类比可以帮助我们理解和解决各种问题，扩展我们的思维能力，发现隐藏的联系和相似性。
类比是一种非常常见的思维模式，广泛应用于各个领域。
在科学领域，类比是一种常见的推理方法，科学家常常通过将新问题与已有的问题进行类比，从而找到解决复杂问题的线索。
比如，原子的结构和太阳系的结构之间的相似之处，帮助科学家建立了原子结构的模型。
在教育领域，类比也是一种重要的教学方法。
教师可以通过将抽象的概念与学生熟悉的事物进行类比，帮助学生更好地理解和记忆知识。
类比方法的基本思想是：通过寻找两个或多个事物之间的共同点和相似之处，以发现事物之间的关系和规律。
类比从根本上讲是一种比较的思维方式，通过将两个不同的事物放在一起，寻找它们之间的相似性和联系，从而帮助我们理解和解决问题。
类比不仅可以帮助我们理解事物的本质和特点，还可以帮助我们预测和推测未知事物的性质和行为。
类比具有以下几个特点：1. 拓展思维：类比可以帮助我们扩展思维，通过将不同的概念和领域进行链接，从而产生新的观点和见解。
类比能够激发我们的创造力和想象力，帮助我们从不同的角度思考问题。
2. 理解抽象概念：类比是一种将抽象概念转化为具体事物的方法。
通过将抽象的概念与熟悉的事物进行类比，我们可以更好地理解和记忆这些概念。
比如，通过将电流与水流进行类比，可以更好地理解电路中的电流的概念。
3. 发现隐藏联系：类比可以揭示事物之间的隐藏联系和相似性。
通过将两个有相似特征的事物进行类比，我们可以发现它们之间的共同规律和原理。
比如，通过将地球上的天文现象与宇宙中的天文现象进行类比，我们可以发现它们之间的共同规律。
4. 解决问题：类比是一种解决问题的有效方法。
类比思维经典句子
1. 生活就像一盒巧克力，你永远不知道下一个是什么味道。
2. 打开一扇窗户，不仅让新鲜空气流入，也让阳光洒进来。
3. 种下一颗种子，就会收获一片森林。
4. 计划是行动的蓝图，行动是计划的目标。
5. 河流的水才没有永远不逆流的法则，人类的思想更是如此。
6. 勇气是基于恐惧而行动的能力。
7. 知识就如同宇宙内的星星，你永远无法看到尽头。
8. 人生就像是一场马拉松，重要的是坚持到终点而不是领先起跑。
9. 勤奋就像是一把钥匙，能够打开成功的大门。
10. 信任就像是一根细线，一旦断掉就很难重新修复。
11. 希望是燃着的火焰，它不仅带给人们温暖，也照亮了前行的道路。
12. 毅力是达成目标的必要条件，而不是限制条件。
13. 时间就像一条河流，它流逝的同时也带走了很多东西。
14. 健康就像是一座金矿，只有当你失去它时，才知道它的价值。
15. 成功是一座高山，需要攀登，但敢于挑战的人才能登顶。
16. 幸福就像是一束阳光，它不是等待我们去发现，而是我们生活的一部分。
17. 善良就像是一朵盛开的鲜花，它散发着美好的香气。
18. 改变不会从天而降，它需要努力和行动。
19. 知识就像是一颗种子，只有浇灌才能生根发芽。
“中学数学解题思想方法” 微视频8.类比思想内容概述类比思想就是由已知两个（类）事物具有某些相似性质，从而推断它们在其他性质上也可能相似的推理思想（由特殊到特殊）。
类比思想是串联新旧知识的纽带，同时也是培养学生探究能力和创新能力的有力工具．类比往往是猜想的前提，猜想又往往是发现的前兆，类比是数学发现的重要源泉，数学中许多定理、公式和法则都是用类比推理提出的。
在高中数学中，类比是最基本、最重要的数学思想方法之一，它不仅能由已知解决未知，由简单问题解决复杂问题，更能体现数学思想方法之奇妙．恰当的运用类比思想，可以帮助学生举一反三、触类旁通，提高解题能力，也可以引导学生去探索获取新知识，提高学生的创新思维能力．类比思想存在于解决数学问题的过程中，是帮助我们寻找解题思路的一种重要的思想方法．当我们遇到一个“新”的数学问题时，如果有现成的解法，自不必说．否则解决问题的关键就是寻找合适的解题策略，看能否想办法将之转化到曾经做过的、熟悉的、类似的问题上去思考。
通过联系已有知识给我们的启发，将已有知识迁移到新问题中来，把解决已有问题的方法移植过来，为所要解决的问题指引了方向．例题示范例1：等差数列{n a }中，若100a =，则有12n a a a +++1219n a a a -=+++(19,)n n N +<∈成立，类比上述性质，在等比数列{n b }中，若9b =1，则_______.解：在等差数列中，100a =，那么以10a 为中心，前后间隔相等的项和为0，即9118120,0a a a a +=+=，…所以有121219(19,)n n a a a a a a n n N -++++=+++<∈成立．类比过来：同样在等比数列{n b }中，若9b =1，则以9b 为中心，前后间隔相等的项的积为1，即8107111,1b b b b ==，所以有下列结论成立：121217(17,)n n b b b b b b n n N -+=<∈评析：在等差数列和等比数列的性质类比中，常见的运算类比有：和类比为积，差类比为商，算术平均类比几何平均等等。
当然此题中已知等式的左右式子各项特征，特别是下标变化规律是类比的关注点。
例2：在平行四边形ABCD 中，有22222()AC BD AB AD +=+,类比在空间平行六面体1111ABCD A B C D -中，类似的结论是_______。
AB a =，解：如图，平行四边形ABCD 中，设向量AD b = ,则AC a b =+，DB a b =-, 有()22222AC a b a a b b =+=++…①同理，()22222DBa b a a b b =-=-+…②①+②得，()()22222222AC DB a bAB AD+=+=+，即 22222()AC BD AB AD +=+．类似地，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，可设AB a =， AD b = 1AA c =则1AC a b c =++,1BD a b c =-++,1CA a b c =--+,1DB a b c =-+C 1同上面方法可计算出下列结论成立:1111222222214()AC BD CA DB AA AB AD +++=++ 评析：在解决空间几何问题时，有很多可以类比平面几何问题求解，美国数学家、数学教育家波利亚曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题”平面与空间类比的例子还有很多，如：1、在Rt △ABC 中，∠C=900，CD ⊥AB 于点D ，则222111CD CA CB =+成立，类比此性质，在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，PD ⊥平面ABC 于点D ，则可得到的结论是：22221111PD PA PB PC=++． 2、已知△ABC 中，内切圆半径为r ，三边长为a,b,c ，则△ABC 的面积为1()2S r a b c =++，若一个四面体内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234,,,S S S S ，则这个四面体的体积是：12341()3V R S S S S =+++． 3、如图，在平面几何中△ABC 的内角平分线AD 分BC 所成的线段比BD ：DC=AB ：AC ，把这个结论类比空间有： 在三棱锥中中，平面DCE 平分二面角A-CD-B ，且与棱相交于点E ，则有ACD BCDSAE BE S=．例3： ．已知正数a b c ，，满足：ba的取值范围是 4l n 53l n b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则． 534a b a c c c-≤≤-解：由534c a b c a-≤≤-得， ∴12a c ≥，742ba cc ≤-≤，由ln ln c b a c c ≥+，得ln b a c c ≥， 设b x c =，a y c =，在处理ln y x ≤时可以类比：y x ≤是表示直线y x =的下方区域，所以ln y x ≤表示曲线ln y x =下方区域，这就是线性与非线性的类比．则x y ，满足ln 72120,0y x x y x y ≤⎧⎪⎪≤⎪⎨⎪≥⎪⎪>>⎩，可先求y x 的取值范围． 作出（x y ，）所在平面区域（如图）： 利用yx的几何意义：可行域内的任一点和点(0,0)所在直线的斜率，由图像可知yx分别在点71(,)22和切点分别取得最小值和最大值．设过点(0,0)的直线与ln y x =相切于点00(,)p x y ， ∴000ln 1x x x =，解得0x e =，01y =， ∴117y x e≤≤，7b x e a y ≤=≤，即ba 的取值范围是[] 7e ，． A BCD-评析：此题求解中充分利用条件和结论的形式特征，将不等条件与线性规划中约束条件类比，将所求分式与斜率类比，将求线性规划问题的方法与非线性的方法进行类比。
解决问题的策略就是把不熟悉的问题类比到熟悉的问题中，降低思维难度。
例4：（2017年浙江21）如图，已知抛物线2x y =，点11(,)24A -，39(,)24B ，抛物线上的点(,)P x y 13()22x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP 斜率的取值范围 （2）求PA PQ ∙的最大值 。
解：（1）设直线AP 的斜率为K. 2114122x k x x -==-+，因为1322x -<<，所以直线AP 斜率的取值范围为()1,1-。
（2）常规解法：设直线AP 的方程：11()24y k x =++，则由211()24y k x x y⎧=++⎪⎨⎪=⎩消y 得：11()[()]022x x k +-+=，则11,22A P x x k =-=+.由于1322p x -<<，则(1,1)k ∈-。
由题意得AQ BQ ⊥，所以直线BQ ：49231++-=k x k y ，联立方程112413924y kx k y x k k ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得22432(1)Q k k x k -++=+, 因为1|PA |)1)2x k +=+，2|P |)Q Q x x -= ,所 以 2||||(1)(1)PA PQ k k =--+。
令()f k 3(1)(1)k k =--+，因为 2()(1)(42)f k k k '=-+-，所以()f k 在区间1(1,)2-上单调递增，1[,1)2上单调递减，因此当12k =时，||||PA PQ 取得最大值2716。
当然我们也可以利用不等式的性质直接求解：4311(33)(1)(1)(1)27(1)(1)(33)(1)(1)(1)33416k k k k PA PQ k k k k k k -++++++⎛⎫=--+=-+++≤⨯=⎪⎝⎭，当12k =时等号成立。
有没有其他的解决途径呢？重新审视已知条件，直线AP 的垂线BQ 及所求的PA PQ∙量有没有什么内在的联系？垂足Q 与已知点,A B 之间有没有特殊的关系呢？如果我们能发现PQ 就是PB 在直线AP 上的射影的话，那么PA PQ ∙就可直接转化为PA PQ PA PB ∙=-∙，于是问题转化为向量的坐标运算。
解法2：两线段积类比向量数量积的几何意义 设2(,)P t t ，则221139(,),(,)2424AP t t PB t t =+-=-- BQ AP ⊥221319cos ()()()()2244AP PQ AP PB BPQ AP PB t t t t ∴=∠==+-+-- （ * ）对于（*）式 我们可以直接展开得4233216AP PQ t t t ⋅=-+++ ，下面可求导计算（过程同上）。
解法3：类比于已解决的问题已知直线AB 与抛物线24y x =交于点A,B,点M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB =,则下列一定成立的是（ B ）0.A C M AB ⊥ 0.BC M l ⊥,其中l 是抛物线过 0C 的切线分析：设AB 的中点为M ，由于221()()()()4CA CB CM MA CM MB CM MA CM MA CM AB =++=+-=-若线段AB 为定值，则当以M 为圆心的圆与抛物线相切时（切点为0C ） 满足{}00min C A C B CA CB =，此时圆与抛物线在0C 处有共同的切线l 。
如果在考场上我们能够回忆起这样一个解题经历，或者能深层地发现本问题中蕴含的几何位置关系，那么下面的解法应该是水到渠成的。
设AB 的中点为D ，则15(,)24D , 由于222()2AP PQ PA PB PD DA PD =-=--=- ，如图当圆D 与抛物线相切于点P 时PD 值最小，此时DP 与过P 的抛物线的切线垂直。
设2(,)P t t 则2542112t t t -⨯=-- 化简得34310t t --= 即2(1)(21)0t t -+=，1322t -<< 1t ∴= 。
故(1,1)P 时最大值为。
评析：上面的多维度解析让我们感受了数学问题的解决是多方面的，类比思想体现在数算，形态，及解题策略方面的互通。
配套练习：1、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.2、把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________. 3、已知圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为4、对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心； (2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013). 答案： 1、T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列.2解析: 222152722(1)(1)2416AP PQ PD ⎡⎤=-=--+-=⎢⎥⎣⎦3、(22π+ 解析：类比题（2010北京理科（14））如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动 .设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是()y f x =，则()f x 的最小正周期为 ；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 .说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动 .沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续 .类似地，正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动 .分析：此题若想直接求出P 点运动的轨迹方程是有点困难的，但我们可以根据题意画出点P 的轨迹，然后根据图形的特征求出周期和所围成的面积 . 通过动手操作点P 的轨迹是如图2中周期为4的图像，()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域是由两个半径为1的14圆及两个边长为1的正方形和.其面积2211121211442S πππ=⨯⨯+⨯-⨯⨯=+在解决原题时我们可以类比操作：如果我们将六边形从A 点处剪开依次重复地平铺在直线上（如图）问题可直接类比转化为上面的高考试题 . 在直线上正方形的顶点A 转动的轨迹是以半径1，弧所对的圆心角为090，交替进行的 . 而在正六边形内转动时，半径变化一致，但弧所对的圆心角为030 .于是A 的轨迹是以半径为1，1，0 为重复呈现的一段弧（圆心角为030），正方形纸片在圆形盖内转了三圈后（即正方形顶点第12次与圆周相碰）回到初始点P, 故点A走过的路径的长度为(110)36π++⨯⨯=. 4、解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12. f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为图(12，1). (2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2. 故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2， f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2，…f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。
