广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)文科数学试题(解析版)

高考数学精品复习资料2019.5试卷类型：A20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）20xx ．4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是图1俯视图侧视图正视图 A．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14 B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为ABC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若 2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253 表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 . （二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且 12A E EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则 △AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12fθ=，求sin 2θ的值.17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FE DC BA表2 18．（本小题满分14分） 如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点.（1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.20xx 年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分 ∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12fθ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………9分 212cos 4πθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分 解法2：∵()12f θ=，∴142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cossin sin442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分 ∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分 两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）(1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，M O H F E D C B A则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名.…………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ， 则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分 ∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ，∴FH ∥平面BDE . ……………4分 （2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==， 由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥.OH FEDCBA∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==. 在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====, ∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =, ∴FH ⊥平面ABCD . ∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BCFH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 （3）解：连接EC ， 在Rt △BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分 ∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-，……………11分 两边对x 取导数得，012123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分当0x >时,12xx +≥=当且仅当12x x=, 即2x=时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-. ……………3分① 当0∆≤,即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对()0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ② 当0∆>,即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a > ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211l n 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分 ∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224ABx y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分 令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分 同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =∴()12122k k k k -=∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分 ∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

2019年5月2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学2019.4本试卷共6页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则 A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A． B. C． D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A. B. C. D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解+析式为A． B.C. D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n) 8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A. B. C. D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A． B． C． D．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B．C．D．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a 的取值范围为A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x 2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知。

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合A={x∈N|0<x<6} , B={2, 4, 6, 8} ,则A∩B=A.{0,1,3,5}B.{0,2,4,6}C. {1,3,5}D.{2,4,6}2．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是A ．B. C ．D.3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=A. 96B. 72C. 48D. 364．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是A. 21B. 22C. 23D. 245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为A.B.C.D.6．函数y=的部分图像如图所示，则函数的解析式为A.12sin()66y xπ=+ B12sin()36y xπ=- C12cos()33y xπ=+ D12cos()63y xπ=-7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列等式中一定成立的是A. S n+S2n=S3nB. S22n=S n S3nC. S22n=S n+S2n- S3nD. S2n + S22n=S n (S2n+S3n) 8．已知双曲线拘渐近线方程为5x±3y=0，则此双曲线的离心率为A.B.C.D.9．一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为A ．B ．C ．D ．10.设a≥b≥c，且1是一元二次方程ax2+ bx+c=0的一个实根，则的取值范围为A．[-2，0] B ．C ．D ．11．在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=I，BC=，则该三棱锥的外接球的表面积为A ．B ．C ．D ．12.己知函数与的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=14. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为．15.若函数f(x)=x2 -x+l+ alnx在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是．16.己知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=O E，PQ的中点为M(x0，y0)，且-1≤y0 -x0≤7，则的取值范围是____．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. （本小题满分12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知(1)求的值；(2)若c=2，求△ABC的面积．18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且PA=PD，AD=PB．(1)求证：AD⊥PB；(2)求点A到平面PBC的距离．19. （本小题满分12分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图：(i)求;(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量．附：参考数据：参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为20. （本小题满分12分）从抛物线y2=36x上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M 是线段PQ 上的一点，且满足(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设直线x=my+1(m∈R)与轨迹c交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线AT，BT分别与直线x=-1交于D，E两点，以DE为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数f(x)=(x+2)lnx+ax2 - 4x+ 7a．(1)若a=，求函数f(x)的所有零点；(2)若a ≥，证明函数f(x)不存在极值．22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin3,cos2tytx（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8．(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B 两点，且求直线l的倾斜角．23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）己知函数f(x) =|2x-l|-a．(1)当a=l时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a的取值范围.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学试题答案及评分参考一、选择题二、填空题13 14．53 15．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 三、解答题17．解：（1）因为tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A +=+， 所以sin sin sin sinB 2cos cos cos cos cos cos A B A A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．………………………1分 化简得()2sin cos cos sin sin sin A B A B A B +=+．…………………2分 即()2sin sin sin A B A B +=+．……………………………………3分因在ABC ∆中，A B C ++=π，则()()sin sin sin A BC C π+=-=．……………4分 从而sin sin 2sin A B C +=．……………………………5分由正弦定理，得2a b c +=．所以=2a bc+．……………………………6分 （2）由（1）知2a bc +=，且2c =，所以4a b +=．……………7分因为=3C π，所以()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==．……………9分 即122cos 32ab abπ-=．所以4ab =．……………………………………………10分所以11sin 4sin 223ABC S ab C ∆π==⨯⨯=．所以△ABC 12分18．（1）证明：取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ，因为底面ABCD为菱形，60BAD ∠=，所以AD AB BD ==．…………………………………1分 因为O 为AD 的中点，所以BO AD ⊥． ……………2分 在△PAD 中，PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥． ………………………………………3分 因为BO PO O =，所以AD ⊥平面POB ．………4分因为PB ⊂平面P O ，所以A D⊥．………………………………………5分（2）解法1：在Rt △ PAD 中，2AD =，所以1PO =．因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，所以BO =．………6分在△PBO 中，1PO =，BO =，2PB BC ==，因为222PO BO PB +=，所以PO BO ⊥．…………………………7分 【6-7分段另证：在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 在△BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =， 所以△ BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．】由（1）有PO AD ⊥，且AD BO O =，AD ⊂平面ABCD ，BO⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．………………………………………………………8分 在△PBC 中，由（1）证得AD PB ⊥，且//BC AD ，所以BC PB⊥． 因为2PB BC ==，所以2PBC S ∆=．……………………………………9分 在△ABC 中，2AB BC ==，120ABC ∠=，所以1sin 2ABC S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=10分 设点A 到平面PBC 的距离为h ，因为A PBC P ABC V V --=，即1133PBC ABC S h S PO ∆=．……………………11分所以122ABC PBC S PO h S ∆===．所以点A 到平面PBC 的距离为2．……………………………12分 解法2：因为//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ．所以点A 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离．……………6分 过点O 作OH PB ⊥于点H ．…………………………7分由（1）证得AD ⊥平面POB ，且//AD BC ，所以BC ⊥平面POB ．因为OH ⊂平面POB ，所以BC ⊥OH ． 因为PB BC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以OH ⊥平面PBC ．……………………8分 在Rt △ PAD 中，2AD =，所以1PO =．因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，所以BO =．…………9分在△PBO 中，1PO =，BO =，2PB BC ==，因为222PO BO PB +=，所以PO BO ⊥．…………………………10分【9-10分段另证：在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． D CBAPO H O P A B CD在△ BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =， 所以△ BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．】在△PBO 中，根据等面积关系得PB OH PO OB ⨯=⨯．………………11分所以122PO OB OH PB ⨯===． 所以点A 到平面PBC的距离为2．…………………………12分19．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）262739414953565860614710x +++++++++==．……………2分（ⅱ）rni ix y nx y-=∑=…3分==…………………………………4分=． (5)分6.56≈，54.18≈，所以0.98r ≈．……………………………………………6分由样本相关系数0.98r ≈，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．………7分（2）因为回归方程为ˆˆ 1.56y bx =+，即ˆ 1.56a =． 所以ˆ27 1.56ˆ0.5447y a bx--==≈． 【或利用()()()121ˆn iii nii x x y y bx x ==--=-∑∑()1221ni ii nii x y nx yxn x==-=-∑∑837.80.541548=≈】……………10分 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.54 1.56yx =+． 将50x =代入线性回归方程得ˆ0.5450 1.5628.56y=⨯+=．…………11分 所以根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量为28.56%．…………12分【结论没写28.56%扣1分】20．解：（1）设(),M x y ，()00,P x y ，则点Q 的坐标为()0,0x ．因为2PM MQ =，所以()()000,2,x x y y x x y --=--，…………………………………………1分即00,3.x x y y =⎧⎨=⎩ …………………………………………2分因为点P 在抛物线236y x =上，所以20036y x =，即()2336y x =．…………………………………3分所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．…………………4分（2）解法1：设直线1x my =+与曲线C 的交点坐标为A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=． 由韦达定理得+1y 2y =4m ，1y 2y =4-．……………5分设点200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10220101444AT y y k y y y y -==+-．………………………6分 所以直线AT 的方程为2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭．令1x =-，得点D 的坐标为010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．…………………7分同理可得点E 的坐标为020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．…………………………8分如果以DE 为直径的圆过x 轴某一定点(),0N n ，则满足0ND NE ∙=．…………9分 因为0101441,1,y y y y ND NE n n y y y y ⎛⎫⎛⎫--∙=--∙-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2212041y n y -=+．所以()2200200416161++044y my n y my --+=+-．……………………………10分 即()2140n +-=，解得1n =或3n =-．………………………11分故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点()1,0和()3,0-．………………………12分 解法2：直线1x =与曲线C 的交点坐标为()1,2A '，()1,2B '-，若取()0,0T '，则A T ''，B T ''与直线1x =-的交点坐标为()1,2D '--，()1,2E '-，所以以D E ''为直径的圆的方程为()2214x y ++=．该圆与x 轴的交点坐标为()1,0和()3,0-．所以符合题意的定点只能是()11,0N 或()23,0N -．…………………6分设直线1x my =+与曲线C 的交点坐标为A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=． 由韦达定理得+1y 2y =4m ，1y 2y =4-．………………………7分 设点200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10220101444AT y y k y y y y -==+-．…………………8分 所以直线AT 的方程为2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭．令1x =-，得点D 的坐标为010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．………………9分同理可得点E 的坐标为020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．……………………………10分若点()11,0N 满足要求，则满足110N D N E ∙=． 因为0102110102442,2,y y y y N D N E y y y y ⎛⎫⎛⎫--∙=-∙- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()212001220012124164+y y y y y y y y y y y y -++=+++20020041616=4+044y my y my --+=+-…11分 所以点()11,0N 满足题意． 同理可证点()23,0N -也满足题意．故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点()1,0和()3,0-．……………………12分 21．（1）解：当21=a 时，217()(2)ln 422f x x x x x =++-+， 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，…………………………1分且()2ln 3f x x x x '=++-．…………………………………2分设()2ln 3g x x x x =++-，则()()222221122()1x x x x g x x x x x+-+-'=-+==()0x >． 当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，……………3分 所以当0x >时，()()10g x g ≥=（当且仅当1=x 时取等号）．……………4分即当0x >时，()0f x '≥（当且仅当1=x 时取等号）．所以函数()f x 在),0(+∞单调递增，至多有一个零点. …………………5分 因为(1)0f =，1=x 是函数)(x f 唯一的零点.所以若21=a ，则函数()f x 的所有零点只有1=x ．…………………6分 （2）证法1：因为2()(2)ln 47f x x x ax x a =++-+，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且2()ln 24x f x x ax x+'=++-．……………7分 当12a ≥时，()2ln 3f x x x x'≥++-，………………………………9分由（1）知032ln ≥-++x xx ．……………………………………10分即当0x >时()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上单调递增．……………………………11分 所以)(x f 不存在极值．……………………………………12分 证法2：因为2()(2)ln 47f x x x ax x a =++-+， 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且2()ln 24x f x x ax x+'=++-．……………7分 设2()ln 24x m x x ax x +=++-， 则2221222()2ax x m x a x x x +-'=-+=()0x >．设)0( 22)(2>-+=x x ax x h ，则()m x '与)(x h 同号．当21≥a 时，由2()220h x ax x =+-=，解得10x =<，20x =>．………………8分 可知当20x x <<时，()0h x <，即()0m x '<，当2 x x >时，()0h x >，即()0m x '>，所以()f x '在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增．……………9分由（1）知032ln ≥-++x x x ．………………………………………10分 则2222222()ln 3(21)(21)0f x x x a x a x x '=++-+-≥-≥． 所以2()()0f x f x ''≥≥，即()f x 在定义域上单调递增．………………11分 所以)(x f 不存在极值．…………………………………12分22．（1）解法1：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x （t 为参数），当=2απ时，直线l 的直角坐标方程为2x =．…………………………1分 当2απ≠时，直线l的直角坐标方程为()tan 2y x α=-．……………3分因为222,cos x y x ρρθ=+=，……………………………………………4分因为8cos 22+=θρρ，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ．…………………………5分解法2：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x （t 为参数），则有sin 2sin sin cos ,cos sin cos ,x t y t αααααααα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ ……………………………2分 所以直线l的直角坐标方程为()sin cos 2sin 0x y αααα--= ．…………3分 因为222,cos x y x ρρθ=+=，…………………………………………………4分 因为8cos 22+=θρρ，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ．……………………………5分（2）解法1：曲线C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得05)c o s 2s i n 32(2=-++t t αα．……………6分因为020)cos 2sin 32(2>++=∆αα，可设该方程的两个根为1t ，2t ，则()122cos t t αα+=-+ ，125t t =-．……………7分 所以12AB t t =-===8分整理得)2cos 3αα+=，故2sin 6απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭9分因为0α≤<π，所以63αππ+=或263αππ+=，解得6απ=或2απ=综上所述，直线l 的倾斜角为6π或2π．…………………10分解法2：直线l 与圆C 交于A ，B两点，且AB =故圆心)0,1(C 到直线l 的距离1)22(92=-=d ．……………………………6分 ①当2απ=时，直线l 的直角坐标方程为2=x ，符合题意．…………………7分 ②当0,,22αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，直线l 的方程为0tan 23tan =-+-ααy x ． 所以1tan 1|tan 230tan |2=+-+-=αααd ，……………………………8分tan α=解得6απ=．………………………………………………9分 综上所述，直线l 的倾斜角为6π或2π．…………………………10分23．（1）解：当1a =时，由()f x x >，得2111x x -->+．……………………1分当12x ≥时，2111x x -->+， 解得3x >． 当12x <时，1211x x -->+，解得13x <-．………………4分综上可知，不等式()1f x x >+的解集为 133x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．……………………5分（2）解法1：由1()(1)2f x f x <+，得1212122ax a x --<+-．则22121a x x >--+．………………………………………………6分 令()22121g x x x =--+，则问题等价于min (())a g x >因为123,,211()61,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩………………………………9分min 1()22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．……………………………10分解法2：因为2121(21)(21)x x x x --+≤--+，……………………6分 即221212x x -≤--+≤，则21212x x --+≥-．…………………7分 所以()2121212212g x x x x x =--++-≥-+-≥-，…………………8分当且仅当12x =时等号成立．…………………………9分 所以min ()2g x =-．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．…………………………10分。

图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A．y =．21y x =-+ C ．cos y x = D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A．3 B．6 C ．13 D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FED C BA表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列. （1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141+ 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）M OH F E D CB A (1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==.在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====,∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分OHFE D C B A ∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =. ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x -≤+对()0,x ∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时, 12xx +≥=当且仅当12x x=,即2x =时,取等号.……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-.……………3分① 当0∆≤, 即a -≤≤, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分 ②当0∆>, 即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >. ……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分 ∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分） （1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,2422k x k ±==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=.由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分（3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -， 则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST = ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

2019届广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）本试卷共5贞，23小题，满分150分*考试用时120分钟。

注意事项：】•答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答趣卡上・用2B 钳笔锂答题卡的相应位管填涂考生号，井将试卷类型（B ）填涂在答題 卡的相应位置上口2. 作答选择题时，逸出毎小题答案呱 用2B 钳筆在答题比上对应题忖选项的答 案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后.再选涂其他答案"禅案不能各在 试卷上亠3+非选打題必须用至色字迹的钢笔或签丫笔作答，答案必须写任答题卡各题口指定区域内的和应位置上：如需改动*先划掉惊来的答案*然於再写上新答案： 不准使用钳笔和涂改液。

不按以上翌求作答无效。

4.暂宅宓须煤证答迦卡的整洁°考试结束后’将试卷和答题左井交回。

一、选择题，本題共12小BL 每小题5分.共60分.衽毎小胚给出的四牛选项中，只有一 项是符合題目要求的.L.已知集合J = {XG N|0C X C6}T E = {2.4, 6，純’则A （}B =A. {0-13-5}B. {0^2-4.6}C. {1-3.5}D. {2.46}2.己知复数z-加（3 + i ）-（2*i ）在SI 平面内对应的点衽第三彖限，则实数朋的取值范碉是3. 菜公司生产彳，B. （?三种不同型号的轿车.产量之比依次为2:3:4,为松验该公间的产品质量T 用分层抽样的方法抽取-个容気为斤的样本*若样本中/种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则"=A+ 96B. 72C. 48D. 36A, (f 】)(2)(2 \C.—J1 3丿U 丿IAR.4. 执行如图所示的程序框图，则输出『的値是*5. 从荣班5苦常生（其中男左3人”女生2人）中任选3人參加学校组织的社会实跋活动，则斫选3人申至少科1名女生的槪率为^y = 2sin （^ + ^） （w>0.1^1 < n ）的部分图像如图所示*则函数曲解析氏为设等比数列也」的前刃项和为则下列等式中一迄成立的是S^=S n S.p已知双曲线亠一—>0上>0）的渐近线方程为5A ±3J -0,则此般曲线的离心率为a' b~6. A. y = 2sin -,t + -166 JU 6丿B. y 二 2sin y = 2 cos D. y - 2 cos 7- G S 2K = S ff + S 2n6吧+鑒=乞（鼻+几）G 23 222 21I). 24\ it —X + —33>fl 7U—X -------冷39.--个圆锥的体积为2*当这个圆锥的侧面积最小时，其母践与底面所成角的止切值为610,R 1 M 一元二次方程ax 2+bx^c^Q 的一令实根*则£的取值范国为a的外接球的农丽玖为12*已知函数/(巧= e r - er + tJ ^g(x) = liix 十丄的图像上存在关于x 轴对称的点t 则实 数口的取值范围为A.卜味+«)B. [-1.+OD )u (-00,-1] D ・(-OC,-c)二 填空题：本題共4小題.每小85^ 共甜分.13.已如向垦4二(1,一1). "(2,1),向量"2卄旅 则忖匸 ___________________14. &莱茵徳纸草书帛是世界上最古老的数学著作乙一、书中有亠道这样的题把100个 面包分给5亍人，使每人所得份星成等差数列、J1较大的工份之和的丄是较小的两份之和.7则嚴小一份的量为 ______ ・15.若函数/(x) = ^-x + l + alnx 在(0,*8)上单调递增，则实数。

广东省广州市2019届高三普通高中毕业班综合测试（二）数学试题（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,则=（）A. {0,1,3,5}B. {0,2,4,6}C. {1,3,5}D. {2,4}『答案』D『解析』因为,所以,故选D.2.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.『答案』B『解析』，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得，所以的取值范围是，故选B.3.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36『答案』B『解析』由题意得选B.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 24『答案』B『解析』运行第一次，，，；运行第二次，，，；运行第三次，，；运行第四次，，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B．5.从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（）A. B. C. D.『答案』A『解析』采用间接法，至少有1名女生的对立事件是没有女生，所以，故选A.6.函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.『答案』B『解析』由图可知：，所以，，所以，，由图可知，图象过点，所以，所以，所以，因为，令，可得，所以函数解析式为：，故选B.7.设等比数列的前n项和为，则下列等式中一定成立的是（）A. B.C. D.『答案』D『解析』对于选项A，当时，不成立；对于选项B，当时，不成立；对于选项C，当时，不成立；对于选项D，当公比时，成立；当公比时，，，..，所以，故选D.8.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A. B. C. D.『答案』B『解析』双曲线的渐近线方程为：，由其渐近线方程为，可得，即，所以，可得，故选B.9.一个圆锥的体积为，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（）A. B. C. D.『答案』D『解析』设圆锥的底面半径为，高为，所以圆锥的母线长为，所以圆锥的体积为，所以，因为圆锥的侧面积，设，所以，所以当时，，，此时单调递增，当时，，，此时单调递减，所以当，取得最小值，即圆锥的侧面积取得最小值，所以，所以圆锥的母线与底面所成角的正切值为，故选D.10.设，且1是一元二次方程的一个实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.『答案』C『解析』又因为1是一元二次方程的一个实根，所以有，且，所以，所以，所以排除A、B两项，当时，，所以，此时，当时，，此时，当时，，所以，此时，所以，故选C.11.在三棱锥中..，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.『答案』B『解析』因为，由余弦定理可求得，再由正弦定理可求得的外接圆的半径，因为，所以P在底面上的射影为的外心D，且，设其外接球的半径为，则有，解得，所以其表面积为，故选B.12.已知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.『答案』C『解析』若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，即在上有解，令，则，所以当时，，当时，，所以函数上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，向量，则=__________『答案』.『解析』因为，所以，所以.故填.14.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.『答案』『解析』设此等差数列{a n}，公差为d，则（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，故答案为：．15.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____.『答案』『解析』，由题意得，在上恒成立，即在上恒成立，因为的最大值为，所以的取值范围是，故答案是：.16.己知点P在直线上，点Q在直线，的中点为，且，则的取值范围是____．『答案』.『解析』设，则，两式相加可得,由于的中点为,所以.设，则代入上式可得.因为，所以，解之得.故填.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17.中角，，的对边分别为，，，己如.（1）求的值：（2）若，，求的面积.解：（1）因为，所以．化简得．即．因在中，，则．从而．由正弦定理，得．所以．（2）由（1）知，且，所以．因为，所以．即．所以．所以．所以△的面积为．18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，且，.（1）求证：：（2）求点到平面的距离.（1）证明：取的中点，连结，，，因为底面为菱形，，所以．因为为的中点，所以．在△中，，为的中点，所以．因为，所以平面．因为平面，所以．（2）解：解法1：在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．在△中，，，，因为，所以．『6-7分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．』由（1）有，且，平面，平面，所以平面．在△中，由（1）证得，且，所以．因为，所以．在△中，，，所以．设点到平面的距离为，因为，即．所以．所以点到平面的距离为．解法2：因为，平面，平面，所以平面．所以点到平面的距离等于点到平面的距离．过点作于点．由（1）证得平面，且，所以平面．因为平面，所以．因为，平面，平面，所以平面．在△中，，所以．因为底面是边长为2的菱形，，所以．在△中，，，，因为，所以．『9-10分段另证：在△中，，为的中点，所以．在△和△中，因为，，，所以△△．所以．所以．』在△中，根据等面积关系得．所以．所以点到平面的距离为．19.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1)根据上表中的样本数据及其散点图： (i )求;(ii )计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度． (2)若y 关于x 的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。

广东省2019届天河区普通高中毕业班综合测试（二）文科数学（解析版）一、选择题。

1.若复数是纯虚数，其中m是实数，则（）A. iB.C. 2iD.【答案】A【解析】因为复数是纯虚数，所以，则m=0，所以，则.2.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过韦恩图，可知所求集合为，求解出集合，利用集合运算知识求解即可。

【详解】由，即图中阴影部分表示的集合为：又本题正确选项：【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题。

3.设等差数列的前n项和为，若，，则( )A. 63B. 45C. 39D. 27【答案】C【解析】【分析】设等差数列的首项为，公差为d，由题意列方程组求出、d，再计算的值．【详解】设等差数列的首项为，公差为d，由，，得，解得，；．故选：C．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式应用问题，是基础题．4.为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度单位长度：，其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（）A. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是茎叶图，由已知的茎叶图，我们易分析出甲、乙两种树苗抽取的样本高度，进而求出两组数据的平均数及方差，然后根据平均数的大小判断哪种树苗的平均高度高，根据方差判断哪种树苗长的整齐．【详解】由茎叶图中的数据，我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：故：乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐．故选：D．【点睛】茎叶图是新课标下的新增知识，且难度不大，常作为文科考查内容，数据的离散程度与茎叶图形状的关系具体如下：茎叶图中各组数据的越往中间集中，表示数据离散度越小，其标准差越小；茎叶图中各组数据的越往两边离散，表示数据离散度越大，其标准差越大．5.已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则( )A. 2B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】求出直线AM的方程，根据垂径定理列方程得出p的值．【详解】把代入可得，不妨设M在第一象限，则，又，直线AM的方程为，即，原点O到直线AP的距离，以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，，解得．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

图1俯视图侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2018．4本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 等于A ．2-iB ．2iC ．2-D ．2 2．已知集合{}}{20,1,2,3,0A B x x x ==-=，则集合AB 的子集个数为A ．2B ．4C ．6D ．8 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x > C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤ 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是A．y =B ．21y x =-+C ．cos y x =D ．1y x =+5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是 A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．12πB ．6πC ．4πD ．2π7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠， 若113132,24k S a a =+=，则正整数k 的值为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．128．在△ABC 中，60ABC ︒∠=，1AB =，3BC =， 则sin BAC ∠的值为A．14B．14 C．14 D．149．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为 AC ．13D ． 1610．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．不等式()()120x x +-<的解集为 .12. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值 为 .13．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1) 求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()12f θ=，求sin 2θ的值. 17．（本小题满分12分）某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取n 名学生的数 学成绩, 制成表2所示的频率分布表. (1) 求a ，b ，n 的值;(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2 名与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率.H FED C BA表2 18．（本小题满分14分）如图2，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =H 是BC 的中点. （1）求证：FH ∥平面BDE ； （2）求证：AB ⊥平面BCF ； （3）求五面体ABCDEF 的体积.图2 19．（本小题满分14分） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 2(,n pn q p q =++∈R )，且235,,a a a 成等比数列.（1）求,p q 的值；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x x ax =++，a ∈R .（1）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； （2）当1a =时，函数()()1f xg x x x =-+在区间[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，求t 的最大 值.( 参考数值: 自然对数的底数e ≈2.71828) 21．（本小题满分14分）已知点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上，直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与抛物线E相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线2:1l y =-于点,S T . （1）求a 的值；（2）若ST =，求直线1l 的方程；（3）试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若 不是，说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．11．()1,2- 12．9 13．4 141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：∵()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴ 函数()f x 的最小正周期为2π. ……………2分∵x ∈R ，[]cos 1,14x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ……………3分4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭. ……………4分∴ 函数()f x 的值域为⎡⎣. ……………5分 （2）解法1：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分∴cos 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………7分 ∴ sin 2cos 22πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭……………9分212cos 4πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ……………11分2124⎛=-⨯ ⎝⎭34=. ……………12分解法2：∵()12f θ=，142πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………6分1cos cos sin sin 442ππθθ⎫-=⎪⎭. ……………7分∴1cos sin 2θθ-=. ……………8分两边平方得221cos 2cos sin sin 4θθθθ-+=. ……………10分∴ 3sin 24θ=. ……………12分17．（本小题满分12分）M OH FE D CB (1) 解：依题意，得5200.05,0.35,a b n n n===， 解得，100n =，35a =，0.2b =. ……………3分(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，则第三、四、五组分别抽取306360⨯=名，206260⨯=名，106160⨯=名. …………6分 第三组的3名学生记为123,,a a a ，第四组的2名学生记为12,b b ，第五组的1名学生记为1c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同取法，具体如下：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}11,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}21,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}31,a c ，{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………8分其中第三组的3名学生123,,a a a 没有一名学生被抽取的情况共有3种，具体如下：{}12,b b ，{}11,b c ，{}21,b c . ……………10分故第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率为310.815-=. ……………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，连接,OH EO ， ∵H 是BC 的中点，∴OH ∥AB ，112OH AB ==. ……………1分 ∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB . ……………2分 ∵1EF =，∴OH ∥EF ，OH EF =.∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，EO =FH . ……………3分∵EO ⊂平面BDE ，FH ⊄平面BDE ， ∴FH ∥平面BDE . ……………4分（2）证法1：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，由（1）知，EF ∥MB ，且EF =MB ， ∴四边形EMBF 是平行四边形.∴EM ∥FB ，EM FB =. ……………5分在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB =∴EM =……………6分 在△AME中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==.∴AM EM ⊥. ……………7分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………9分 证法2：在Rt △BFC 中，H 为BC 的中点，∴112FH BC ==.在△AEO中，112AE AO AC EO FH =====,∴222AO EO AE +=.∴AO EO ⊥. ……………5分 ∵FH ∥EO ,∴AO FH ⊥. ……………6分OHFE D C B A ∵,FH BC BC ⊥⊂平面ABCD , AO ⊂平面ABCD , AO BC C =,∴FH ⊥平面ABCD .∵AB ⊂平面ABCD ,∴FH ⊥AB . ……………7分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………8分∵BC ⊂平面BCF , FH ⊂平面BCF , BC FH H =,∴AB ⊥平面BCF . ……………9分（3）解：连接EC ，在Rt△BFC 中，112FH BC ==， ∴1EO FH ==.由（2）知AB ⊥平面BCF ，且EF ∥AB ，∴EF ⊥平面BCF . ……………10分 ∵FH ⊥平面ABCD , EO ∥FH，∴EO ⊥平面ABCD . ……………11分 ∴四棱锥E ABCD -的体积为113ABCD V EO S =⋅⋅正方形2141233=⨯⨯=. ………12分 ∴三棱锥E BCF -的体积为213BCF V EF S =⋅⋅∆21111323=⨯⨯⨯=. ………13分∴五面体ABCDEF 的体积为1253V V V =+=. ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当1n =时，111a S p q ==++， ……………1分 当2n ≥时，1n n n a S S -=- ……………2分 ()()221121n pn q n p n q n p ⎡⎤=++--+-+=-+⎣⎦. ………3分∵{}n a 是等差数列，∴1211p q p ++=⨯-+，得0q =. ……………4分 又2353,5,9a p a p a p =+=+=+， ……………5分 ∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()()2539p p p +=++， ……………6分解得1p =-. ……………7分 解法2：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭. ……………1分 ∵2n S n pn q =++，∴12d =，12da p -=，0q =. ……………4分∴2d =，11p a =-，0q =.∵235,,a a a 成等比数列，∴2325a a a =， ……………5分 即()()()2111428a a a +=++.解得10a =. ……………6分 ∴1p =-. ……………7分 （2）解法1：由（1）得22n a n =-. ……………8分 ∵22log log n n a n b +=， ∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①……………10分()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅14414nn n -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：由（1）得22n a n =-. ……………8分∵22log log n n a n b +=，∴221224n an n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.……………10分由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. …………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n n n n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()12f x x a x'=++. ……………2分 ∵ 函数()f x 在()0,+∞上单调递增， ∴ ()0f x '≥, 即120x a x++≥对()0,x ∈+∞都成立. ……………3分 ∴ 12a x x-≤+对()0,x∈+∞都成立. ……………4分 当0x >时, 12xx +≥=当且仅当12x x =,即x =时,取等号. ……………5分∴a -≤即a ≥-.∴a 的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分解法2：函数()f x 的定义域为()0,+∞, ……………1分∵()2ln f x x x ax =++， ∴()21212x ax f x x a x x++'=++=.……………2分方程2210x ax ++=的判别式28a ∆=-.……………3分① 当0∆≤, 即a -≤时, 2210x ax ++≥,此时, ()0f x '≥对(0,x ∈+∞都成立,故函数()f x 在定义域()0,+∞上是增函数. ……………4分②当0∆>, 即a <-或a >时, 要使函数()f x 在定义域()0,+∞上为增函数, 只需2210x ax ++≥对()0,x ∈+∞都成立.设()221h x x ax =++, 则()010,0,4h a ⎧=>⎪⎨-<⎪⎩得0a >.故a >……………5分综合①②得a的取值范围为)⎡-+∞⎣. ……………6分（2）解：当1a =时, ()()2ln ln 111f x x x x xg x x x x x x ++=-=-=+++. ()()211ln 1x x g x x +-'=+. ……………7分 ∵ 函数()g x 在[),t +∞(t ∈N *)上存在极值，∴ 方程()0g x '=在[),t +∞(t ∈N *)上有解,即方程11ln 0x x +-=在[),t +∞(t ∈N *)上有解. ……………8分 令()11ln x x x ϕ=+-()0x >, 由于0x >, 则()2110x x xϕ'=--<,∴函数()x ϕ在()0,+∞上单调递减. ……………9分∵()413ln 3ln33ϕ=-=4e 2741 2.5ln 0327>>, ……………10分 ()514ln 4ln 44ϕ=-=5e 256513ln 04256<<, ……………11分∴函数()x ϕ的零点()03,4x ∈. ……………12分∵方程()0x ϕ=在[),t +∞(t ∈ N *)上有解, t ∈N *∴3t ≤. ……………13分∵t ∈N *，∴t 的最大值为3. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵点()2,1A 在抛物线2:E x ay =上， ∴4a =. ……………1分第（2）、（3）问提供以下两种解法：解法1：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意，2211224,4x y x y ==，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………2分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………3分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………4分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………6分∵ST =，∴12x x -=. 由()221212124x x x x x x -=+-，得22201616k k =+，解得2k =, 或2k =-, …………… 7分∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. ……………9分 （3）设线段ST 的中点坐标为()0,1x -， 则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………10分而2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==， ……………11分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. 展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………12分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：（2）由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. ……………2分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-.∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+.∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………3分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………4分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………5分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--， 化简得122kk k =. ……………6分 ()12121222222k k ST k k k k -⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………7分∵ST =， ∴()12122k k k k -=.∴()()2212125k k k k -=.由()()()2221212121212454k k k k k k k k k k +=-+=+， 得()225124k k k +=+， 解得2k =±. ……………8分 ∴直线1l 的方程为21y x =+，或21y x =-+. …………… 9分 （3）设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………10分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………11分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………12分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………13分∴ 以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分。

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学 2019．4本试卷共6页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合}60|{<<∈=x x A N ，}8,6,4,2{=B ，则=B A I （ ）A ．}5,3,1,0{B ．}6,4,2,0{C ．}5,3,1{D ．}6,4,2{2．已知复数)2()3(i i m z +-+=在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．)32,(-∞C ．)1,32(D ．),1()32,(+∞-∞Y3．某公司生产C B A ,,三种不同型号的轿车，产量之比依次为4:3:2，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则=n （ ）A ．96B ．72C ．48D ．36 4．执行如图所示的程序框图，则输出z 的值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．245．从某班5名学生（其中男生3人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，则所选3人中至少有1名女生的概率为（ ）A ．109 B ．107 C ．103 D ．1016．函数)||,0)(sin(2πϕωϕω<>+=x y 的部分图像如图所示，则函数的解析式为（ ）A ．)661sin(2π+=x yB ．)631sin(2π-=x yC ．)331cos(2π+=x yD ．)361cos(2π-=x y7．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列等式中一定成立的是（ ）A ．n n n S S S 32=+B ．n n n S S S 322=C ．n n n n S S S S 2222-+=D ．)(32222n n n n n S S S S S +=+8．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线方程为035=±y x ，则此双曲线的离心率为（ ）A ．362 B ．334 C ．534 D ．34 9．一个圆锥的体积为6π，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（ ） A ．33B ．22C ．36D ．210．设c b a ≥≥，且1是一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根，则ac的取值范围为（ ） A ．]0,2[-B ．]0,21[-C ．]21,2[--D ．]21,1[--11．在三棱锥ABC P -中，3,1,2======BC AC AB PC PB PA ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．π8B ．π316C ．34π D ．π2733212．己知函数a ex e x f x+-=)(与xx x g 1ln )(+=的图像上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．),[+∞-eB ．),1[+∞-C ．]1,(--∞D ．],(e --∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13．已知向量)1,2(),1,1(=-=b a ，向量b a c +=2，则=||c．14．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的71是较小的两份之和，则最小一份的量为 ． 15．若函数x a x x x f ln 1)(2++-=在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是．16．己知点P 在直线012=-+y x 上，点Q 在直线032=++y x ，PQ 的中点为),(00y x M ，且7100≤-≤-x y ，则x y 的取值范围是 ．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．ABC ∆中角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知ABB A B A cos tan cos tan )tan (tan 2+=+ （1）求cba +的值； （2）若3,2π==C c ，求ABC ∆的面积．18．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，︒=∠60BAD ，︒=∠90APD ，且PD PA =，PB AD =．（1）求证：PB AD ⊥；（2）求点A 到平面PBC 的距离．19．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i ）求x ；（ii ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．（2）若y 关于x 的线性回归方程为x b y ˆ56.1ˆ+=，求b ˆ的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量． 附：参考数据：27=y ，8.13527101=∑=i i i y x ，236381012=∑=i ix ，6.77591012=∑=i i y ，56.643≈，18.542935≈．参考公式：相关系数))()()(()()())((212212112121y n y x n x yx n yx y yx x y yx x r ni i n i i ni ii ni ini ini ii---=----=∑∑∑∑∑∑======回归方程x b a yˆˆˆ+=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()∑∑==---=ni ini iix x y yx x b 121ˆ，x by a ˆ-=20．从抛物线x y 362=上任意一点P 向x 轴作垂线段，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足2=． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设直线)(1R ∈+=m my x 与轨迹C 交于B A ,两点，T 为C 上异于B A ,的任意一点，直线BT AT ,分别与直线1-=x 交于E D ,两点，以DE 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数a x ax x x x f 74ln )1()(2+-++=．（1）若21=a ，求函数)(x f 的所有零点； （2）若21≥a ，证明函数)(x f 不存在极值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题目积分． 22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分） 在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=αt y αt x sin 3cos 2（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为8cos 22+=θρρ． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且24||=AB ，求直线l 的倾斜角． 23．【选修4-5：不等式选讲】（10分） 己知函数a x x f --=|12|)(．（1）当1=a 时，解不等式1)(+>x x f ； （2）若存在实数x ，使得)1(21)(+<x f x f 成立，求实数a 的取值范围．。

2019届广州市普通高中毕业班综合测试(二)(文数)及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2019届广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2019届广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）参考答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题二、填空题13．53 15．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16．2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 三、解答题17．解：（1）因为tan tan 2(tan tan )cos cos A BA B B A+=+， 所以sin sin sin sinB 2cos cos cos cos cos cos A B A A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．…………………………………1分 化简得()2sin cos cos sin sin sin A B A B A B +=+．……………………………………2分即()2sin sin sin A B A B +=+．……………………………………………………………3分 因在ABC ∆中，A B C ++=π，则()()sin sin sin A B C C π+=-=．………………4分 从而sin sin 2sin A B C +=．…………………………………………………………………5分 由正弦定理，得2a b c +=．所以=2a bc+．…………………………………………………………………………………6分 （2）由（1）知2a bc +=，且2c =，所以4a b +=．…………………………………………7分因为=3C π，所以()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab+--+-==．…………………………9分 即122cos32ab abπ-=． 所以4ab =．…………………………………………………………………………………10分所以11sin 4sin 223ABC S ab C ∆π==⨯⨯= 所以△ABC…………………………………………………………………12分18．（1）证明：取AD 的中点O ，连结OP ，OB ，BD ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=， 所以AD AB BD ==．…………………………………1分 因为O 为AD 的中点，所以BO AD ⊥． ……………2分在△PAD 中，PA PD =，O 为AD 的中点， 所以PO AD ⊥． ………………………………………3分 因为BOPO O =，所以AD ⊥平面POB ．………4分因为PB ⊂平面POB ，所以AD PB ⊥．……………5分 （2）解法1：在Rt △ PAD 中，2AD =，所以1PO =．D CBAPO因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，所以BO =……………………6分在△PBO 中，1PO =，BO =2PB BC ==，因为222PO BO PB +=，所以PO BO ⊥．……………………………………………………7分 【6-7分段另证：在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 在△ BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =，所以△BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．】由（1）有PO AD ⊥，且AD BO O =，AD ⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．……………………………………………………………………8分 在△PBC 中，由（1）证得AD PB ⊥，且//BC AD ，所以BC PB ⊥． 因为2PB BC ==，所以2PBC S ∆=．……………………………………………………9分 在△ABC 中，2AB BC ==，120ABC ∠=，所以1sin 2ABC S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=．……………………………………………10分设点A 到平面PBC 的距离为h ，因为A PBC P ABC V V --=，即1133PBC ABC S h S PO ∆=．…………………………………………11分所以122ABC PBC S PO h S ∆===． 所以点A 到平面PBC的距离为2．………………………………………………………12分 解法2：因为//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ， 所以//AD 平面PBC ．所以点A 到平面PBC 的距离等于点O 到平面PBC 的距离．………………………………6分过点O 作OH PB ⊥于点H ．…………………………7分 由（1）证得AD ⊥平面POB ，且//AD BC ， 所以BC ⊥平面POB ．因为OH ⊂平面POB ，所以BC ⊥OH ． 因为PBBC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以OH ⊥平面PBC ．…………………………………8分 在Rt △ PAD 中，2AD =，所以1PO =．因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，所以BO =……………………………9分在△PBO 中，1PO =，BO =2PB BC ==，因为222PO BO PB +=，所以PO BO ⊥．………………………………………………10分 【9-10分段另证：在△APD 中，90APD ∠=，O 为AD 的中点，所以12PO AD AO ==． 在△ BOP 和△ BOA 中，因为PO AO =，PB AD AB ==，BO BO =，所以△BOP ≅△ BOA ．所以90BOP BOA ∠=∠=．所以OP OB ⊥．】在△PBO 中，根据等面积关系得PB OH PO OB ⨯=⨯．………………………………11分所以PO OB OH PB ⨯===． 所以点A 到平面PBC……………………………………………………12分19．解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）262739414953565860614710x +++++++++==．……………………2分H O PABCD（ⅱ）rni ix y nx y-=∑=…………3分==…………………………………4分=…………………………………………………………………………5分6.56≈54.18≈，所以0.98r ≈．……………………………………………………………………………………6分 由样本相关系数0.98r ≈，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．………………7分（2）因为回归方程为ˆˆ 1.56ybx =+，即ˆ 1.56a =． 所以ˆ27 1.56ˆ0.5447y a bx--==≈． 【或利用()()()121ˆn iii nii x x y y bx x ==--=-∑∑()1221ni ii nii x y nx yxn x==-=-∑∑837.80.541548=≈】………………10分 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.54 1.56yx =+． 将50x =代入线性回归方程得ˆ0.5450 1.5628.56y=⨯+=．……………………………11分 所以根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量为28.56%．………………………12分【结论没写28.56%扣1分】20．解：（1）设(),M x y ，()00,P x y ，则点Q 的坐标为()0,0x ．因为2PM MQ =，所以()()000,2,x x y y x x y --=--，…………………………………………………………1分即00,3.x x y y =⎧⎨=⎩ …………………………………………………………………………………2分 因为点P 在抛物线236y x =上，所以2036y x =，即()2336y x =．…………………………………………………………3分 所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．……………………………………………4分（2）解法1：设直线1x my =+与曲线C 的交点坐标为A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=． 由韦达定理得+1y 2y =4m ，1y 2y =4-．………………………………………………5分设点200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10220101444AT y y k y y y y -==+-．…………………………………………6分 所以直线AT 的方程为2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭．令1x =-，得点D 的坐标为010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．………………………………………………7分同理可得点E 的坐标为020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．……………………………………………………8分如果以DE 为直径的圆过x 轴某一定点(),0N n ，则满足0ND NE •=．……………9分 因为010********,1,y y y y ND NE n n y y y y ⎛⎫⎛⎫--•=--•-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2212001220012124161++y y y y y y n y y y y y y -++=+++． 所以()2200200416161++044y my n y my --+=+-．…………………………………………………10分 即()2140n +-=，解得1n =或3n =-．………………………………………………11分 故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点()1,0和()3,0-．…………………………………12分解法2：直线1x =与曲线C 的交点坐标为()1,2A '，()1,2B '-，若取()0,0T '，则A T ''，B T ''与直线1x =-的交点坐标为()1,2D '--，()1,2E '-， 所以以D E ''为直径的圆的方程为()2214x y ++=． 该圆与x 轴的交点坐标为()1,0和()3,0-．所以符合题意的定点只能是()11,0N 或()23,0N -．………………………………………6分设直线1x my =+与曲线C 的交点坐标为A 211,4y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=． 由韦达定理得+1y 2y =4m ，1y 2y =4-．………………………………………………7分设点200,4y T y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则10220101444AT y y k y y y y -==+-．…………………………………………8分 所以直线AT 的方程为2000144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭．令1x =-，得点D 的坐标为010141,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．…………………………………………………9分同理可得点E 的坐标为020241,y y y y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭．……………………………………………………10分若点()11,0N 满足要求，则满足110N D N E •=．因为0102110102442,2,y y y y N D N E y y y y ⎛⎫⎛⎫--•=-•- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()212001220012124164+y y y y y y y y y y y y -++=+++20020041616=4+044y my y my --+=+-．……11分所以点()11,0N 满足题意． 同理可证点()23,0N -也满足题意．故以DE 为直径的圆过x 轴上的定点()1,0和()3,0-．……………………………………12分21．（1）解：当21=a 时，217()(2)ln 422f x x x x x =++-+， 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，………………………………………………………………1分且()2ln 3f x x x x '=++-．…………………………………………………………………2分设()2ln 3g x x x x=++-， 则()()222221122()1x x x x g x x x x x+-+-'=-+==()0x >． 当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，………………………………3分 所以当0x >时，()()10g x g ≥=（当且仅当1=x 时取等号）．…………………………4分即当0x >时，()0f x '≥（当且仅当1=x 时取等号）．所以函数()f x 在),0(+∞单调递增，至多有一个零点. ………………………………………5分 因为(1)0f =，1=x 是函数)(x f 唯一的零点. 所以若21=a ，则函数()f x 的所有零点只有1=x ．………………………………………6分 （2）证法1：因为2()(2)ln 47f x x x ax x a =++-+，函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且2()ln 24x f x x ax x+'=++-．…………………………7分 当12a ≥时，()2ln 3f x x x x'≥++-，………………………………………………………9分 由（1）知032ln ≥-++x xx ．……………………………………………………………10分 即当0x >时()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上单调递增．…………………………………………………………11分 所以)(x f 不存在极值．……………………………………………………………………12分 证法2：因为2()(2)ln 47f x x x ax x a =++-+， 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，且2()ln 24x f x x ax x+'=++-．……………………7分 设2()ln 24x m x x ax x+=++-， 则2221222()2ax x m x a x x x +-'=-+=()0x >．设)0( 22)(2>-+=x x ax x h ，则()m x '与)(x h 同号． 当21≥a 时，由2()220h x ax x =+-=，解得10x =<，20x =>．…………………………………8分可知当20x x <<时，()0h x <，即()0m x '<，当2 x x >时，()0h x >，即()0m x '>，所以()f x '在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增．………………………………9分 由（1）知032ln ≥-++x xx ．………………………………………………………………10分 则2222222()ln 3(21)(21)0f x x x a x a x x '=++-+-≥-≥． 所以2()()0f x f x ''≥≥，即()f x 在定义域上单调递增．………………………………11分 所以)(x f 不存在极值．……………………………………………………………………12分22．（1）解法1：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x （t 为参数），当=2απ时，直线l 的直角坐标方程为2x =．……………………………………………1分当2απ≠时，直线l的直角坐标方程为()tan 2y x α=-．…………………………3分 因为222,cos x y x ρρθ=+=，……………………………………………………………4分 因为8cos 22+=θρρ，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ．………………………………………5分解法2：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 3,cos 2t y t x （t 为参数），则有sin 2sin sin cos ,cos sin cos ,x t y t αααααααα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩………………………………………………2分 所以直线l的直角坐标方程为()sin cos 2sin 0x y αααα--= ．…………3分 因为222,cos x y x ρρθ=+=，……………………………………………………………4分 因为8cos 22+=θρρ，所以2228x y x +=+．所以C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ．……………………………………………5分 （2）解法1：曲线C 的直角坐标方程为08222=--+x y x ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程整理，得05)cos 2sin 32(2=-++t t αα．……6分因为020)cos 2sin 32(2>++=∆αα，可设该方程的两个根为1t ，2t ，则()122cos t t αα+=-+ ，125t t =-．…………………………………………7分 所以12AB t t =-=== (8)分 整理得)2cos 3αα+=，故2sin 6απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭………………………………………………………………………9分因为0α≤<π，所以63αππ+=或263αππ+=，解得6απ=或2απ= 综上所述，直线l 的倾斜角为6π或2π．………………………………………………10分解法2：直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且AB =，故圆心)0,1(C 到直线l 的距离1)22(92=-=d ．………………………………6分 ①当2απ=时，直线l 的直角坐标方程为2=x ，符合题意．………………………7分 ②当0,,22αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，直线l 的方程为0tan 23tan =-+-ααy x ．所以1tan 1|tan 230tan |2=+-+-=αααd ，………………………………………………8分tan α=解得6απ=．………………………………………………………………………………9分 综上所述，直线l 的倾斜角为6π或2π．…………………………………………………10分23．（1）解：当1a =时，由()f x x >，得2111x x -->+．……………………………1分当12x ≥时，2111x x -->+， 解得3x >． 当12x <时，1211x x -->+，解得13x <-．…………………………………………4分综上可知，不等式()1f x x >+的解集为 133x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．………………………5分（2）解法1：由1()(1)2f x f x <+，得1212122ax a x --<+-． 则22121a x x >--+．……………………………………………………………………6分 令()22121g x x x =--+， 则问题等价于min (())a g x >因为123,,211()61,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩…………………………………………………………9分min 1()22g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．…………………………………………………………10分 解法2：因为2121(21)(21)x x x x --+≤--+，………………………………………6分 即221212x x -≤--+≤，则21212x x --+≥-．……………………………………7分 所以()2121212212g x x x x x =--++-≥-+-≥-，…………………………………8分 当且仅当12x =时等号成立．……………………………………………………………………9分 所以min ()2g x =-．所以实数a 的取值范围为(2,)-+∞．………………………………………………………………10分。