下载文档原格式
用SAS的mixed过程拟合林分的线性差分生长模型0. 前言在林分生长与收获预估的模型中，差分生长模型得到了广泛的应用。
线性差分模型基本上为Schumacher 模型的变型，广泛应用于林分蓄积、胸高断面积的建模，以及单位面积株数和优势木树高生长模型。
差分生长模型拟合方法有“直接最小二乘估计法”和“分类变量回归法” [1] 。
一般认为后者可以获得近似无偏的估计，而前者则导致检验统计量如RMSE勺失真[2]。
传统上差分生长模型的拟合主要是直接拟合差分生长模型，然后根据拟合统计量如RMSE R2等确定最优拟合模型。
与传统方法不同，本文直接拟合生长模型，在获得参数估计值后，再用代数差分法导出相应的代数差分生长模型。
这样做的优越之处在于非常便于对期望模型和方差结构模型进行筛选。
更为重要的是，可以通过模型拟合识别最适合的随林分变化参数。
本文详细讨论了如何用“分类变量回归法”和SAS的mixed 过程拟合代数差分生长模型，可简述如下：i ). 直接以生长收获模型为对象，同时确定一个随林分变化的参数和最优拟合方差结构模型；ii ). 保持方差结构模型不变，根据拟合统计量逐步化简期望模型；iii ). 在确定最优拟合的期望模型后，运用代数差分法导出相对应的代数差分生长模型。
所有拟合与筛选均用SAS 的mixed过程完成，并给出了详细的SAS代码和代码解释。
1. 方法与材料1.1 数据数据来源于148 个集约经营的火炬松实验人工林逐年观测的固定样地数据(样地约0.152公顷)。
SAS的数据集basal的内容如表( 1 )。
表 1 模型拟合的基本数据结构Table 1 data structure for mode fittingage=#分年龄；fert=经营措施，分别取值为H=施加除草剂以控制竞争植物、尸=施肥以增加土壤肥力、日尸=除草剂和施肥并用、C=M照；code=样地代码，每个样地有一个唯一代码；logba= 样地胸高断面积的自然对数值；logdh=样地优势木树高的自然对数值；iage= 林分年龄的倒数；logtpa= 样地株数的自然对数值。
第三十一课一元线性回归分析回归分析是一种统计分析方法，它利用两个或两个以上变量之间的关系，由一个或几个变量来预测另一个变量。
在SAS/STA T中有多个进行回归的过程,如REG、GLM等，REG过程常用于进行一般线性回归模型分析。
一、回归模型1. 基本概念回归模型是一种正规工具，它表示统计关系中两个基本的内容：①用系统的形式表示因变量Y随一个或几个自变量X变化的趋势；②表现观察值围绕统计关系曲线的散布情况。
这两个特点是由下列假设决定的：●在与抽样过程相联系的观察值总体中，对应于每一个X值，存在Y的一个概率分布；这些概率分布的均值以一些系统的方式随X变化。
●图31.1是用透视的方法来显示回归曲线。
Y对给定X具有概率分布这一概念总是与统计关系中的经验分布形式上相对应；同样，描述概率分布的均值与X之间关系的回归曲线，与统计关系中Y系统地随X变化的一般趋势相对应。
图31.1线性回归模型的图示在回归模型中，X称为“自变量”，Y称为“因变量”；这只是传统的称法，并不表明在给定的情况下Y因果地依赖于X，无论统计关系多么密切，回归模型不一定是因果关系，在某些应用中，比如我们由温度表水银柱高度（自变量）来估计温度（因变量）时，自变量实际上依赖于因变量。
此外，回归模型的自变量可以多于一个。
2. 回归模型的构造（1）自变量的选择构造回归模型时必须考虑到易处理性，所以在有关的任何问题中，回归模型只能（或只应该）包括有限个自变量或预测变量。
（2） 回归方程的函数形式选择回归方程函数形式与选择自变量紧密相关。
有时有关理论可能指出适当的函数形式。
然而，通常我们预先并不能知道回归方程的函数形式，要在收集和分析数据后，才能确定函数形式。
我们经常使用线性和二次回归函数来作为未知性质回归方程的最初近似值。
图31.2(a)表示复杂回归函数可以由线性回归函数近似的情况，图31.2(b)表示复杂回归函数可以由两个线性回归函数分段近似的情况。
用SAS/INSIGHT进行线性回归分析上面我们已经看到，用菜单“Analyze | Fit (Y X)”就可以拟合一条回归直线，这是对回归方程的估计结果。
这样的线性回归可以推广到一个因变量、多个自变量的情况。
线性模型写成矩阵形式为下面列出了线性模型中常用的一些量和结论：∙为因变量向量∙为矩阵，一般第一列元素全是1，代表截距项∙为未知参数向量∙为随机误差向量，元素独立且方差为相等的（未知）。
∙正常情况下，系数的估计为∙拟合值（或称预报值）为∙其中是空间内向的列张成的线性空间投影的投影算子矩阵，叫做“帽子”矩阵。
∙拟合残差为∙残差平方和为∙误差项方差的估计为（要求设计阵满秩）均方误差（MSE）∙ 在线性模型的假设下，若设计阵 满秩， 和 分别是 和 的无偏估计，系数估计的方差阵 。
∙ 判断回归结果优劣的一个重要指标为复相关系数平方（决定系数）（其中），它代表在因变量的变差中用模型能够解释的部分的比例，所以 越大说明模型越好。
例如，我们在“Fit (Y X)”的选择变量窗口选Y 变量（因变量）为体重（WEIGHT ），选X 变量（自变量）为身高（HEIGHT ）和年龄（AGE ），则可以得到体重对身高、年龄的线性回归结果。
下面对基本结果进行说明。
回归基本模型：WEIGHT = HEIGHT AGEResponse Distribution: NormalLink Function: Identity回归模型方程：Model EquationWEIGHT = - 141.2238 + 3.5970 HEIGHT + 1.2784 AGE 拟合概况：Summary of FitMean of Response 100.0263 R-Square 0.7729 Root MSE 11.5111 Adj R-Sq 0.7445 其中Mean of Response 为因变量（Response ）的均值，Root MSE 叫做根均方误差，是均方误差的平方根，R-Square 即复相关系数平方，Adj R-Sq 为修正的复相关系数平方，其公式为 ，其中 当有截距项时取1，否则取0，这个公式考虑到了自变量个数 的多少对拟合的影响，原来的随着自变量个数的增加总会增大，而修正的则因为 对它有一个单调减的影响所以 增大时修正的不一定增大，便于不同自变量个数的模型的比较。
使用SAS进行变量筛选、模型诊断、多元线性回归分析在其他地方看到的帖子，自己动手做了实验并结合自己的理解做了修订第一节多元线性回归分析的概述回归分析中所涉及的变量常分为自变量与因变量。
当因变量是非时间的连续性变量(自变量可包括连续性的和离散性的)时，欲研究变量之间的依存关系,多元线性回归分析是一个有力的研究工具。
多元回归分析的任务就是用数理统计方法估计出各回归参数的值及其标准误差；对各回归参数和整个回归方程作假设检验；对各回归变量(即自变量)的作用大小作出评价；并利用已求得的回归方程对因变量进行预测、对自变量进行控制等等。
值得注意的是∶一般认为标准化回归系数的绝对值越大，所对应的自变量对因变量的影响也就越大。
但是，当自变量彼此相关时，回归系数受模型中其他自变量的影响，若遇到这种情况，解释标准化回归系数时必须采取谨慎的态度。
当然，更为妥善的办法是通过回归诊断(TheDiagnosis ofRegression)，了解哪些自变量之间有严重的多重共线性(Multicoll-inearity)，从而，舍去其中作用较小的变量，使保留下来的所有自变量之间尽可能互相独立。
此时，利用标准化回归系数作出解释，就更为合适了。
关于自变量为定性变量的数量化方法设某定性变量有ｋ个水平(如ABO血型系统有４个水平),若分别用１、２、…、ｋ代表ｋ个水平的取值，是不够合理的。
因为这隐含着承认各等级之间的间隔是相等的，其实质是假定该因素的各水平对因变量的影响作用几乎是相同的。
比较妥当的做法是引入ｋ－１个哑变量(Dummy Variables),每个哑变量取值为０或１。
现以ABO血型系统为例，说明产生哑变量的具体方法。
当某人为A型血时，令X1=1、X2=X3=0；当某人为B 型血时，令X2=1、X1=X3=0；当某人为AB型血时，令X3=1、X1=X2=0；当某人为O型血时，令X1=X2=X3=0。
这样，当其他自变量取特定值时，X1的回归系数b1度量了E(Y／A型血)－E(Y／O型血)的效应；X2的回归系数b2度量了E(Y／B型血)－E(Y／O型血)的效应；X3的回归系数b3度量了E(Y／AB型血)－E(Y／O型血)的效应。
SAS for linear models（按照书中章节排列）第一章: 线性回归分析对于线性模型的SAS 程序的编制，主要牵涉到线性模型的一些理论问题：下面给出线性模型的理论框架，然后说明SAS 中不同程序针对线性模型中的问题进行的操作。
注：对于二次型的一些结论：对于正态随机向量独立性，就可通过计算相应的协方差阵来判断。
1. 线性模型的一般理论1(1)(1)11n n p p n ⨯⨯++⨯⨯=+y x βe ，2(0,)n N σe I H d β=则有：121ˆ()(,())N σ--'''=βx x x y βx x注1：将正态性去掉，则参数ˆβ的期望和方差的估计具有相同的形式。
注2:约束最小二乘估计：若参数间有约束H d β=，则此时的最小二乘估计为：111ˆˆˆ()(())()H H H H H d βββ---''''=--x x x x对于任一线性变换有：121ˆ()(,())N σ--''''=L βL x x x y L βL x x L （重要）从而有：1221ˆˆ()()()(())rk χσ-'''---1L βL βL(x x)L L βL βL221(1)n p χσ'--x y (I -P )y（()1rk p =+x ，且二者相互独立，从而可构造假设检验统计量，以及置信区间。
1.1置信区间： 置信随球：由(),()ˆˆ()/()(())1/()rk n rk rk P F n rk αα-'''≤=-'--1-1L x x L β-L β)(L(x x)L )(L β-L βL y (I -P )y x则有置信椭球为：2(),()ˆˆˆ()()()rk n rk F rk L ασ-'''≤⋅⋅-1-1L x L β-L β)(L(x x)L )(L β-L β，其中： 2ˆ/()n rk σ'-=x y (I -P )y x 特别地，当()1rk =L 时，即参数的一个线性组合，21,()ˆˆˆ()()n rk l l l l l l F ασ-'''''''≤⋅-1-1x β-β)((x x))(β-β，即：221,()ˆˆ(()n rk l l l l F ασ-''''≤⋅⋅-1x β-β)((x x))，置信区间为：()()22ˆˆˆˆ(()()n rk n rk l t l t αασσ--''⋅+⋅x x β-β同时置信区间：1）Scheff è区间(针对所有的线性组合而言，这里牵涉到一个定理，可作补充材料)1/2(),()ˆˆ(()())rk L n rk x l rk F ασ-'±⋅⋅βL 2)Bonferroni 区间（m 个线性组合同时成立）()()22ˆˆˆˆ(()()n rk n rk m m l t l t αασσ--''⋅+⋅x x β-β此即：ˆˆ()()ˆˆˆˆ((),())n rk n rk l l l t l t αασσ--''''⋅+⋅x x βββ-β 这两者间的差别在于这两个量的大小，2()()n rk t α-x 和(),()()()rk L n rk x rk F α-⋅L ，哪一个大，哪一个的置信区间就会大。
线性回归20094788 陈磊 计算2SouthWest JiaoT ong U niversity-------------------------------------------------------------------线性回归分为一元线性回归和多元线性回归。
一元线性回归的模型为Y=β0+β1X+ε,这里X是自变量，Y是因变量，ε是随机误差项。
通常假设随机误差的均值为0，方差为σ2（σ2>0），σ2与X的值无关。
若进一步假设随机误差服从正态分布，就叫做正态线性模型。
一般情况，设有k个自变量和一个因变量，因变量的值可以分解为两部分：一部分是由于自变量的影响，即表示为自变量的函数，其中函数形式已知，但含有一些未知参数；另一部分是由于其他未被考虑的因素和随机性的影响，即随机误差。
当函数形式为未知参数的线性函数时，称为线性回归分析模型。
如果存在多个因变量，则回归模型为：Y=β0+β1X1+β2X2+⋯+βi X i+ε。
由于直线模型中含有随机误差项，所以回归模型反映的直线是不确定的。
回归分析的主要目的是要从这些不确定的直线中找出一条最能拟合原始数据信息的直线，并将其作为回归模型来描述因变量和自变量之间的关系，这条直线被称为回归方程。
通常在回归分析中，对ε有以下最为常用的经典假设。
1、ε的期望值为0.2、ε对于所有的X而言具有同方差性。
3、ε是服从正态分布且相互独立的随机变量。
对线性回归的讲解，本文以例题为依托展开。
在下面的例题中既有一元回归分析，又有二元回归分析。
例题（《数据据分析方法》_习题2.4_page79）某公司管理人员为了解某化妆品在一个城市的月销量Y（单位：箱）与该城市中适合使用该化妆品的人数X1（单位：千人）以及他们人均月收入X2（单位：元）之间的关系，在某个月中对15个城市作了调查，得到上述各量的观测值如表2.12所示。
假设Y与X1，X2之间满足线性回归关系y i=β0+β1x i1+β2x i2+εi,i=1,2,…,15其中εi独立同分布于N(0,σ2).（1）求线性回归系数β0，β1，β2的最小二乘估计和误差方差σ2的估计，写出回归方程并对回归系数作解释；（2）求出方差分析表，解释对线性回归关系显著性检验结果。
1■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ «»■■■■■■■.■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Z 貫44 豎呦88£1?600Z线性回归分为一元线性回归和多元线性回归。
一元线性回归的模型为Y=/?O+0】X+£,这里X是自变量，Y是因变量，£是随机误差项。
通常假设随机谋差的均值为0,方差为（，＞0）,，与X的值无关。
若进一步假设随机谋差服从正态分布，就叫做正态线性模型。
一般情况，设有k个自变量和一个因变量，因变量的值可以分解为两部分：一部分是山于自变量的影响，即表示为自变量的函数，其中函数形式已知，但含有一些未知参数：另一部分是由于其他未被考虑的因素和随机性的影响，即随机误差。
当函数形式为未知参数的线性函数时，称为线性回归分析模型。
如果存在多个因变量,则回归模型为：Y = 00+ 81X1 +02X2 +…+ "iXi + £。
「h于直线模型中含有随机课差项，所以回归模型反映的-直线是不确立的。
回归分析的主要冃的是要从这些不确定的克线中找出一条最能拟合原始数据信息的直线，并将其作为回归模型來描述因变量和自变量之间的关系，这条直线被称为回归方程。
通常在曰归分析中，刘£有以下最为常用的经典假设。
1、£的期望值为0.2、£对于所有的X而言具有同方差性。
3、£是服从正态分布且相互独立的随机变量。
对线性回归的讲解，本文以例题为依托展开。
在下面的例题中既有一元回归分析，乂有二元回归分析。
例题（《数据据分析方法》习题2. 4_page79）某公司管理人员为了解某化妆品在一个城市的月销量Y （单位：箱）与该城市中适合使用该化妆品的人数& （单位：千人）以及他们人均月收入屁（单位：元）之间的关系，在某个月中对15个城市作了调査，得到上述乞量的观测值如表2. 12所示。
第三十二课 多元线性回归分析一、 多元回归模型表示法通常，回归模型包括k 个变量，即一个因变量和k 个自变量（包括常数项）。
由于具有N 个方程来概括回归模型：N t X X X Y t kt k t t t ,,2,1,22110 =+++++=εββββ(32.1)模型的相应矩阵方程表示为：εβ+=X Y(32.2)式中;⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=N k kN N k k N X XX X X X X Y Y Y Y εεεεββββ2110121211121,,111, (32.3)其中,Y 为因变量观察的N 列向量，X 为自变量观察的N × (k +1) 矩阵，β为末知参数的(k +1) )列向量，ε 为误差观察的N 列向量。
在矩阵X 表达式中，每一个元素X ij 都有两个下标，第一个下标表示相应的列（变量），第二个下标表示相应的行（观察）。
矩阵X 的每一列表示相应的给定变量的N 次观察的向量，与截矩有关的所有观察值都等于1。
经典的线性回归模型的假设可以阐述如下： ● 模型形式由(32.1)给定；● 矩阵X 的元素都是确定的，X 的秩为(k+1)，且k 小于观察数N ；● ε 为正态分布，E (ε )=0 和()I E 2σεε=' ，式中I 为N×N 单位矩阵。
根据X 的秩为(k+1) 的假定，可以保证不会出现共线性。
如果出现完全共线性，矩阵X 的一列将为其余列的线性组合，而X 的秩将小于(k+1) )，关于误差的假设是最有用的假设，因为用它可以保证最小二乘法估计过程的统计性质。
除了正态性外，我们还假定每一个误差项的平均值为0，方差为常数， 以及协方差为 0 。
假若我们按Y 的分布来表示第三个假设，则可写成下式：),(~2I X N Y σβ(32.4)二、 最小二乘法估计我们的目的是求出一个参数向量使得残差平方和最小，即：εεεˆˆˆ12'==∑=Nt t ESS (32.5)式中：Y Y ˆˆ-=ε (32.6) βˆˆX Y =(32.7)其中，εˆ表示回归残差的N 列向量，而Y ˆ表示Y 拟合值的N 列向量，βˆ表示为估计参数的(k +1) 列向量，将式(32.6)和式(32.7)代入式(32.5)，则得：()()βββββˆˆˆ2 ˆˆX X Y X Y Y X Y X Y ESS ''+''-'=-'-= (32.8)为了确定最小二乘法估计量，我们求ESS 对βˆ进行微分，并使之等于0，即： 0ˆ22ˆ='+'-=∂∂ββX X Y X ESS (32.9)所以：())(ˆ1Y X X X ''=-β(32.10)被称为“交叉乘积矩阵”，即X X '矩阵能够保证逆变换，这是因为我们假设X 的秩为(k +1),该假设直接导致了X X '的非奇异性。
回归分析-简单线性回归、多元线性回归比较：方差分析是处理试验数据的一类统计方法。
这类统计方法的特点是所考察的指标（因变量）Y 是测量得到的数值变量（连续变量），而影响指标的因子（自变量）水平是试验者安排的几个不同值（称这种因子为分类变量或离散变量）。
试验的目的是找出影响指标的主要因子及水平。
在实际问题中，还经常遇到这样一些数据，它们不是有意安排的试验得到的数据，而是对生产过程测量记录下来的数据。
对它们进行分析，目的是想找出对我们所关心的指标（因变量）Y 有影响为因素（也称自变量或回归变量）m x x x ,......,,21，并建立用m x x x ,......,,21预报Y 的经验公式。
对于现实世界，不仅要知其然，而且要知其所以然。
顾客对商品和服务的反映对于商家是至关重要的，但是仅仅有满意顾客的比例是不够的，商家希望了解什么是影响顾客观点的因素，以及这些因素是如何起作用的。
类似地，医疗卫生部门不能仅仅知道某流行病的发病率，而且想知道什么变量影响发病率，如何影响发病率的。
发现变量之间的统计关系，并且用此规律来帮助我们进行决策才是统计实践的最终目的。
一般来说，统计可以根据目前所拥有的信息（数据）来建立人们所关心的变量和其他有关变量的关系。
这种关系一般称为模型（model ）。
假如用Y 表示感兴趣的变量，用X 表示其他可能与Y 有关的变量（x 也可能是若干变量组成的向量）。
则所需要的是建立一个函数关系Y=f(X)。
这里Y 称为因变量或响应变量（dependent variable, response variable ），而X 称为自变量，也称为解释变量或协变量（independent variable ，explanatory variable, covariate)。
建立这种关系的过程就叫做回归（regression ）。
一旦建立了回归模型，除了对各种变量的关系有了进一步的定量理解之外，还可以利用该模型(函数或关系式)通过自变量对因变量做预测（prediction ）。
23.多元线性回归一、多元线性回归1.模型为Y=??+??X i+・+ ??X N+£其中X i,…，X N是白变量，Y是因变量,??, ??…,??是待求的未知参数，8是随机误差项（残差），若记Y =Y2,x =qi X”…&冗A/ = J X#…M AU多元线性回归模型可写为矩阵形式:Y=X 6 + &通常要求：矩阵X的秩为k+1 （保证不出现共线性），且k<N; 8为正态分布，E（£ =0和E（£）」??I错误！未定义书签。
，其中I为N x N单位矩阵。
用最小二乘法原理，令残差平方和0 = （/―舫）（「祯最小，得到为6的最佳线性无偏估计量（高斯-马尔可夫定理）2. ??的估计和T检验选取？？的估计 '量：8 8矿—----------------N-k —1则/ fN-kf5 二仇一假如t值的绝对值相当大，就可以在适当选定的置信水平上否定原假设，参数的1-0®信区间可由下式得出：其中t a/为与"％显著水平有关的t分布临界值。
3. R2和F检验ESS ,&RxxR---- - 1 ---- — --------TSS ~ y若因变量不具有0平均值，则必须对R2做如下改进:随着模型中增添新的变量，R2的值必定会增大，为了去掉这种增大的干扰，还需要对R2进行修正(校正拟合优度对白由度的依赖关系)：2 ESS/(N-k-1) N-1 2)R =1 ---------------- = I --------- (I - R )TSS/(N -1) N - k-1做假设检验:H0：??=…=??=0； H1：??…,??至少有一个丰 0;使用F统计量做检验，_ R2/k _ R2 N-k-1w(]_R,(N_si)_ 1_史k若F值较大，则否定原假设。
二、PROC REG过程步基本语法：PROC REG data =数据集；MODEL因变量=自变量列表</可选项〉；< restrict白变量的等式约束;>说明：MODEL语句用来指定因变量和白变量；restrict 语句示例：restrict a1+a2=1;常用的输出可选项：STB——输出标准化偏回归系数矩阵CORRB ——输出参数估计矩阵COLLINOINT ——对白变量进行共线性分析P——输出个体观测值、预测值及残差(R/CLM/CLI包含P)R——输出每个个体观测值、残差及标准误差CLM——输出因变量均值95%的置信界限的上下限CLI ——对各预测值输出95%的置信界限的上下限MSE——要求输出随机扰动项方差？？的估计节2_ VIF——输出变量间相关性的方差膨胀系数，VIF越大，说明由于共线性存在，使方差变大；2COLLIN——输出条件数，它表示最大的特征值与每个白变量特征值之比的平方根。
