双星模型

微专题4双星系统和卫星变轨问题类型一对双星系统的理解1．双星模型如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”．2．双星模型的特点(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．(3)两星的运动周期、角速度都相同．(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L.【例1】(多选)图甲是一对相互环绕旋转的质量不等的双黑洞系统，其示意图如图乙所示．双黑洞A、B在相互之间的万有引力的作用下，绕其连线上的O点做匀速圆周运动，若双黑洞的质量之比m A∶m B＝n∶1，则()A．黑洞A、B做圆周运动的角速度之比为1∶1B．黑洞A、B做圆周运动的向心力大小之比为n2∶1C．黑洞A、B做圆周运动的半径之比为1∶nD．黑洞A、B做圆周运动的线速度之比为1∶n2[解析]由于二者绕连线上同一点做匀速圆周运动，二者角速度相等，又由彼此间的万有引力提供向心力，二者做圆周运动的向心力之比为1∶1，故有m A r A ω2＝m B r B ω2，解得r A r B ＝m B m A ＝1n ，故A 、C 正确，B 错误；由线速度与角速度的关系可知，当角速度相同时，二者做圆周运动的线速度与半径成正比，故二者线速度之比为1∶n ，故D 错误．[答案] AC【例2】 如图所示，质量分别为m 和M 的两个星球A和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L .已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A和B 分别在O 的两侧，引力常量为G .(1)求A 星球做圆周运动的半径R 和B 星球做圆周运动的半径r ；(2)求两星球做圆周运动的周期；(3)如果把星球A 质量的12搬运到B 星球上，并保持A 和B 两者中心之间距离仍为L .则组成新的稳定双星后星球A 半径和周期如何变化？[解析] (1)令A 星的轨道半径为R ，B 星的轨道半径为r ，则由题意有L ＝r ＋R两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有G mM L 2＝mR 4π2T 2G mM L 2＝Mr 4π2T 2，可得R r ＝M m ，又因为L ＝R ＋r所以可以解得R ＝M M ＋m L ，r ＝m M ＋mL ； (2)根据(1)可以得到G mM L 2＝m 4π2T 2R ，R ＝M M ＋mL 两式联立解得T ＝4π2L 3（M ＋m ）G ＝2π L 3G （M ＋m ）； (3)根据R ＝M M ＋m L ，知M 变大，R 变大 根据T ＝ 4π2L 3（M ＋m ）G ＝2π L 3G （m ＋M ），知周期不变． [答案] (1)M M ＋m L m M ＋mL(2)2πL3G（M＋m）(3)半径变大周期不变[针对训练1]宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统中A、B两星绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图所示．若A星轨道半径较大，则() A．星球A的质量大于B的质量B．星球A的线速度大于B的线速度C．星球A的角速度大于B的角速度D．星球A的周期大于B的周期解析：选B.根据万有引力提供向心力有m Aω2r A＝m Bω2r B，因为r A＞r B，所以m A＜m B，即A的质量一定小于B的质量，故A错误；双星角速度相等，则周期相等，根据v＝ωr可知，v A＞v B，故B正确，C、D错误．[针对训练2](多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的大小远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．两颗星球组成的双星A、B，A、B 的质量分别为m1、m2，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知()A．A与B做圆周运动的角速度之比为2∶3B．A与B做圆周运动的线速度之比为2∶3C．A做圆周运动的半径为2 5LD．B做圆周运动的半径为2 5L解析：选BC.双星靠相互间的万有引力提供向心力，相等的时间内转过相同的角度，则角速度相等，故A错误；向心力大小相等，有：m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2，因为质量之比为m1∶m2＝3∶2，则轨道半径之比r1∶r2＝2∶3，所以A做圆周运动的半径为25L，B做圆周运动的半径为35L，故C正确，D错误；根据v＝ωr，角速度相等，双星的线速度比等于半径比为2∶3，故B正确．类型二卫星变轨问题卫星在运动中的“变轨”有两种情况：离心运动和向心运动．当万有引力恰好提供卫星所需的向心力，即G Mm r 2＝m v 2r 时，卫星做匀速圆周运动；当某时刻速度发生突变，所需的向心力也会发生突变，而突变瞬间万有引力不变．(1)制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即G Mm r 2>m v 2r ，卫星做近心运动，轨道半径将变小．所以要使卫星的轨道半径变小，需开动反冲发动机使卫星做减速运动．(2)加速变轨：卫星的速率变大时，使得万有引力小于所需向心力，即G Mm r 2<m v 2r，卫星做离心运动，轨道半径将变大．所以要使卫星的轨道半径变大，需开动反冲发动机使卫星做加速运动．【例3】 北京时间2022年5月10日01时56分，搭载天舟四号货运飞船的长征七号遥五运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10 min 后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道.2时23分，飞船的太阳能帆板顺利展开工作，发射取得圆满成功．后续，天舟四号货运飞船与在轨运行的空间站组合体进行交会对接．若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是( )A ．对接前天舟四号的运行速率大于空间站组合体的运行速率B ．对接前天舟四号的向心加速度小于空间站组合体的向心加速度C ．天舟四号通过加速可实现与空间站组合体在原轨道上对接D ．天舟四号先减速后加速可实现与空间站组合体在原轨道上对接[解析] 对接前两者在同一轨道上运动，由万有引力提供向心力可知G Mm r 2＝m v 2r ＝ma ，解得v ＝G M r ，a ＝G M r 2 ，同一轨道，运行速率、向心加速度相等，A 、B 错误；飞船与空间站组合体在同一轨道上，此时飞船受到的万有引力等于向心力，若让飞船加速，则所需要的向心力变大，万有引力不变，所以飞船做离心运动，不能实现对接，C 错误；天舟四号先减速做近心运动，进入较低的轨道，后加速做离心运动，轨道半径变大，可以实现对接，D 正确．[答案] D【例4】 (多选)2022年3月23日，“天宫课堂”进行了第二次授课活动．授课过程中信号顺畅不卡顿，主要是利用天链系列地球同步轨道卫星进行数据中继来实现的．如图所示，天链卫星的发射过程可以简化如下：卫星先在近地圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的远地点B 时，再次点火进入圆形同步轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动．设地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g 0，卫星质量保持不变，则下列说法正确的是( )A ．卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅲ运动的周期均与地球自转周期相同B ．卫星在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运动经过B 点的加速度大小相同C ．卫星在轨道Ⅲ上的运行速率小于g 0RD ．卫星在轨道Ⅰ向轨道Ⅱ变轨时，火箭需在A 点点火向前喷气[解析] 同步轨道Ⅲ属于同步卫星轨道，与地球自转周期保持相同，轨道Ⅰ属于近地卫星轨道，与地球自转周期不相同，A 错误；根据万有引力充当合外力可知G Mm r 2 ＝ma ，所以卫星在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ运动经过B 点的加速度相同，B正确；在地面上，则有G Mm R 2 ＝mg 0，对于轨道卫星，则有G Mm r 2 ＝m v 2r ，可解得v ＝g 0R 2r ，C 正确；卫星在轨道Ⅰ向轨道Ⅱ变轨时做离心运动，需要加速，故火箭需在A 点点火向后喷气，D 错误．[答案] BC[针对训练3] 一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，速度大小减小为原来的12 ，则变轨前后卫星的( ) A ．周期之比为1∶8B ．角速度大小之比为2∶1C ．向心加速度大小之比为4∶1D ．轨道半径之比为1∶2解析：选A.根据万有引力充当卫星绕地球运动的向心力：G Mm r 2 ＝m v 2r ，卫星的线速度v ＝ GM r ，由题知，速度大小减小为原来的12 ，则轨道半径增大到原来的4倍，即变轨前后轨道半径之比为1∶4；卫星的角速度ω＝v r ＝GMr 3 ，可得变轨前后角速度大小之比为8∶1；卫星的向心加速度a ＝v 2r ＝GM r 2 ，可得变轨前后向心加速度大小之比为16∶1；卫星的周期T ＝2πω ，可得变轨前后周期之比为1∶8，故B 、C 、D 错误，A 正确．[针对训练4] 如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同B ．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度解析：选B.从轨道1变轨到轨道2，需要加速做离心运动，A 错误；根据公式G Mm R 2 ＝ma 可得a ＝G M R 2 ，故只要到地心距离相同，加速度大小就相同，由于卫星在椭圆轨道1运动，到地心距离、引力的方向均在变化，所以运行过程的加速度在变，B 正确，C 错误；卫星在轨道2做匀速圆周运动，过程中的速度方向时刻在变，所以不同位置处速度不同，D 错误．[A 级——合格考达标练]1．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )A ．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同B ．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度解析：选B.从轨道1变轨到2，需要加速逃逸，A 错误；根据公式G Mm R 2＝ma 可得a ＝G M R 2，故只要到地心距离相同，加速度则相同，由于卫星在轨道1做椭圆运动，到地心距离、引力的方向均在变化，所以运行过程的加速度在变，B 正确，C 错误；卫星在轨道2做匀速圆周运动，过程中的速度方向时刻在变，所以不同位置处速度不同，D 错误．2．如图所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是( )A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度B ．a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大C ．c 加速可以追上同一轨道上的b ，b 减速可以等候同一轨道上的cD ．b 、c 向心加速度相等，且大于a 的向心加速度解析：选 B.人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m 、轨道半径为r 、地球质量为M ，有G Mm r 2＝m v 2r ＝ma ，解得卫星线速度v ＝GMr ，由图可知，r a ＜r b ＝r c ，则b 、c 的线速度大小相等，且小于a 的线速度，故A 错误；由v ＝GMr 知，a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大，故B 正确；c 加速要做离心运动，不可以追上同一轨道上的b ；b 减速要做近心运动，不可以等候同一轨道上的c ，故C 错误；由向心加速度a ＝GM r 2知，b 、c 的向心加速度大小相等，且小于a 的向心加速度，故D 错误．3．(多选)图为两颗人造卫星绕地球运动的轨道示意图，Ⅰ为圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，AB 为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，C 、D 为两轨道交点．已知轨道Ⅱ上的卫星运动到C 点时速度方向与AB 平行，则下列说法正确的是( )A ．两颗卫星的运动周期相同B ．卫星在Ⅰ轨道的速率为v 0，卫星在Ⅱ轨道B 点的速率为v B ，则v 0<v BC ．两个轨道上的卫星运动到C 点时的加速度相同D ．两个轨道上的卫星运动到C 点时的向心加速度大小相等解析：选AC.由轨道Ⅱ上的卫星运动到C 点时速度方向与AB 平行可知CD 为椭圆短轴的两个端点，由于圆的圆心与椭圆的左焦点重合，则由几何关系可知圆的半径与椭圆的半长轴相等，故由开普勒第三定律可知两卫星运行周期相等，A 正确；设有一个与椭圆相切于B 点、以地球为圆心的圆轨道Ⅲ，卫星在轨道Ⅱ上从B 点进入该圆轨道Ⅲ则需要加速，而由v ＝ GMr 可知卫星在轨道Ⅲ的速度必小于在轨道Ⅰ上的速度，故v 0>v B ，B 错误；卫星在C 点时的加速度(不是向心加速度)由牛顿第二定律有G Mm r 2＝ma ，即加速度a ＝G M r 2与卫星质量无关、与轨道形状无关，C 正确；卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，加速度即为向心加速度；卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动，在C点，其加速度沿垂直于速度方向上的分量才是向心加速度，故卫星在轨道Ⅱ上C点的向心加速度小于卫星在轨道Ⅰ上C 点的向心加速度，D错误．4．如图所示，在赤道发射场发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则()A．该卫星在P点的速度大于11.2 km/sB．卫星在轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/sC．卫星在Q点需要适当加速，才能够由轨道Ⅰ进入轨道ⅡD．卫星在轨道Ⅱ上经过Q点时的加速度大于在轨道Ⅰ上经过Q点时的加速度解析：选C.11.2 km/s是卫星脱离地球束缚的最小发射速度，由于同步卫星仍然绕地球运动，则在P点的速度小于11.2 km/s，故A错误；7.9 km/s是卫星在地球表面飞行的环绕速度，根据万有引力提供向心力，由GMmr2＝mv2r可知v＝GMr，卫星在轨道Ⅱ上，半径变大，则运行速度小于7.9 km/s，故B错误；卫星需要加速，让卫星做离心运动，才能由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，故C正确；根据GMm r2＝ma可知a＝GMr2，则卫星在轨道Ⅱ上经过Q点时的加速度等于在轨道Ⅰ上经过Q点时的加速度，故D错误．5．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起．如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比r A∶r B ＝1∶2，则两颗天体的()A ．质量之比m A ∶mB ＝2∶1B ．角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶2C ．线速度大小之比v A ∶v B ＝2∶1D ．向心力大小之比F A ∶F B ＝2∶1解析：选 A.双星绕连线上的一点做匀速圆周运动，其角速度相同，周期相同，两者之间的万有引力提供向心力，有F ＝m A ω2r A ＝m B ω2r B ，所以m A ∶m B ＝2∶1，B 、D 错误，A 正确；由v ＝ωr 可知，线速度大小之比v A ∶v B ＝1∶2，C 错误．6．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，称之为双星系统．设某双星系统中的A 、B 两星球绕其连线上的某固定点O 做匀速圆周运动，如图所示．现测得两星球球心之间的距离为L ，运动周期为T ，已知引力常量为G ，若R A >R B ，则( )A ．两星球的总质量等于4π2L 3GT 3B ．星球A 的向心力大于星球B 的向心力C ．星球A 的线速度一定小于星球B 的线速度D ．双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小解析：选D.由题可知，双星的角速度相等，根据v ＝ωr ，且R A >R B ，则v A >v B ，C 错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律知它们的向心力大小相等，B 错误；根据万有引力提供向心力，对A 有G M A M B L 2＝M A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R A ，对B 有G M A M B L 2＝M B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R B ，其中L ＝R A ＋R B ，解得T ＝4π2L 3G ()M A ＋M B ，M A ＋M B ＝4π2L 3GT 2，故当双星的质量一定，双星之间的距离减小时，其转动周期减小，D 正确，A 错误．[B 级——等级考增分练]7．如图所示，半径为r 的圆形轨道Ⅰ为空间站运行轨道，半长轴为a 的椭圆轨道Ⅱ为载人飞船的运行轨道，飞船在两个轨道相切点A 与空间站交会对接，已知飞船与空间站均绕地球运动，引力常量为G ，地球质量为M ，下列说法中正确的是( )A.空间站的运行速度大于第一宇宙速度 B ．在A 点对接时飞船应沿运行速度方向喷气 C ．飞船与空间站运行周期之比为r 3a 3D ．飞船在轨道Ⅱ经过A 点，喷气变轨前一刻的速度小于GM r解析：选 D.第一宇宙速度是物体绕地球做圆周运动的最大速度，所以空间站的运行速度不可能大于第一宇宙速度，故A 错误；载人飞船与空间站对接需向高轨道做离心运动，则需要向后点火加速，即飞船应沿运行速度相反方向喷气，故B 错误；设飞船的运行周期为T 1，空间站的运动周期为T 2，根据开普勒第三定律得a 3T 21 ＝r 3T 22 ，则T 1T 2＝a 3r 3，故C 错误；以r 为半径做圆周运动的物体，根据万有引力提供向心力得G mMr 2 ＝m v 2r ，得以r 为半径做圆周运动的物体的速度为v ＝GMr ，飞船在轨道Ⅱ经过A 点后做近心运动，喷气变轨前一刻的速度小于GMr ，故D 正确．8．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A 、B 两位置(如图所示).若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R .不计卫星间的相互作用力，则以下判断正确的是( )A.这两颗卫星的加速度大小相等，均为Rgr B ．卫星1向后喷气就一定能追上卫星2C.卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间为πr3R r gD ．卫星1中物体的速度为gr解析：选C.由GMm r 2 ＝ma 、GMm R 2 ＝mg ，得 a ＝gR 2r 2 ，A 错误；卫星1向后喷气时速度增大，所需的向心力增大，万有引力不足以提供其所需的向心力而做离心运动，与卫星2不处于同一轨道上了，B 错误；卫星1由位置A 运动到位置B 的过程，由t ＝θ360° T ＝16 T 、GMm r 2 ＝mr (2πT )2、GMm R 2 ＝mg 可得，t ＝πr 3R r g ，C 正确；由GMmr 2 ＝m v 2r 、GMm R 2 ＝mg 可得，卫星1中物体的速度v ＝ gR 2r ，D 错误．9．(多选)双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的)，则( )A ．b 星的周期为l －Δrl ＋ΔrT B ．a 星的线速度大小为π（l ＋Δr ）TC ．a 、b 两颗星的轨道半径之比为l l ＋ΔrD ．a 、b 两颗星的质量之比为l －Δrl ＋Δr解析：选BD.由于双星系统是在相互间万有引力作用下绕连线上同一点做圆周运动，故二者连线始终过圆心，则二者在任意相同时间内转过的圆心角相等，故二者的转动周期相同，A 错误；由r a ＋r b ＝l 及r a －r b ＝Δr 得r a ＝l ＋Δr2 ，r b ＝l －Δr 2 ，故a 星的线速度大小为v a ＝2πr aT ＝π（l ＋Δr ）T ，B 正确；a 、b 两颗星的轨道半径之比为r a r b ＝l ＋Δr l －Δr ，C 错误；由F 引＝m a r a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2 ＝m b r b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2 有m a m b＝r b r a ＝l －Δrl ＋Δr，D 正确．。

双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

双星模型知识点总结双星模型（Dual Star Model）是一种用于研究宇宙中双星系统的模型，这是一种包括一颗恒星和另一颗天体（通常是另一个恒星）的天体系统。

在宇宙中，双星系统是非常普遍的一种天体系统。

在这种系统中，两颗天体围绕着彼此运转，并由于引力相互作用而产生一系列复杂的现象。

因此，研究双星系统可以帮助我们更深入地了解宇宙的一些基本物理规律，例如引力相互作用、恒星演化、宇宙起源等。

双星系统的构成双星系统通常由两种类型的天体组成，分别为主要成员（Primary）和次要成员（Secondary）。

主要成员通常是一颗恒星，而次要成员则可以是其他类型的天体，例如行星、白矮星或中子星。

在一些情况下，双星系统的两颗天体都是恒星，这样的系统被称为双星。

双星的形成双星系统的形成有多种机制。

一种常见的形成机制是原始星团或星云中的恒星形成，这些恒星在形成过程中可能由于相互间的引力相互作用而形成双星系统。

另一种形成机制是两颗恒星在宇宙中产生的碰撞或者合并。

除此之外，还有一种形成机制是一颗恒星向另一颗恒星捕获而形成。

双星系统分类根据双星系统的性质和构成，我们可以根据多种分类方法对双星系统进行分类。

其中一个常见的分类方法是根据双星系统的物理间距来分类。

按照这种分类方法，双星系统可以被分为紧密双星系统和松散双星系统。

紧密双星系统是指两颗天体之间距离很近，它们之间的引力相互作用非常显著，造成一系列复杂的演化过程和现象。

而松散双星系统的两颗天体之间间距较大，它们之间引力相互作用较小。

另一个常见的分类方法是根据双星系统的构成类别来分类。

按照这种分类方法，我们可以将双星系统分为天体-恒星双星系统、恒星-恒星双星系统、行星-行星双星系统等等。

双星的运动规律双星系统的运动规律是由两颗天体间的引力相互作用决定的。

在双星系统中，两颗天体围绕着彼此运转。

根据牛顿引力定律，两颗天体之间的引力与它们之间的质量和距离成反比。

因此，双星系统中的天体将沿着椭圆轨道相互运转。

双星三星四星问题双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

卫星变轨问题双星模型类型一卫星的变轨和对接问题知识回望1．变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示．(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3.(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.例1(2019·北京市通州区期中)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1上绕地球E运行，在A点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动，下列说法正确的是()A ．在轨道1上，卫星在A 点的速度等于在B 点的速度 B ．卫星在轨道2上的周期大于在轨道1上的周期C ．在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的速度大小相同D ．在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的加速度大小不同 【答案】B【解析】在轨道1上，卫星由A 点运动到B 点，万有引力做正功，动能变大，速度变大，故选项A 错误；由开普勒第三定律知卫星在轨道2上的周期较大，故选项B 正确；卫星由轨道1变到轨道2，需要在A 点加速，即在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的速度大小不相同，故选项C 错误；由G Mm r 2＝ma 得a ＝G Mr 2，可知在轨道1和轨道2上，卫星在A 点的加速度大小相等，故选项D 错误． 故选B 。

第3课时专题强化：卫星变轨问题双星模型目标要求 1.会处理人造卫星的变轨和对接问题。

2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题。

3.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。

考点一卫星的变轨和对接问题1．卫星发射模型(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G Mmr12＝mv2r1，如图所示。

(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G Mmr12<mv A2r1，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在椭圆轨道B点(远地点)，G Mmr22>mv B2r2，将做近心运动，再次点火加速，使GMmr22＝mv B′2r2，进入圆轨道Ⅲ。

思考若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？________________________________________________________________________2．变轨过程分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在椭圆轨道Ⅱ上过A点和B 点时速率分别为v A、v B，四个速度关系为v A>v1>v3>v B。

(2)向心加速度在A 点，轨道Ⅰ上和轨道Ⅱ上的向心加速度关系a ⅠA ________a ⅡA ，在B 点，轨道Ⅱ上和轨道Ⅲ上的向心加速度关系a ⅡB ________a ⅢB ，A 、B 两点向心加速度关系a A ________a B 。

(均选填“>”“＝”或“<”)(3)周期卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期T 1、T 2、T 3的关系为T 1<T 2<T 3。

(4)机械能在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能______。

若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E 1、E 2、E 3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为____________。

第26讲 双星、多星模型1．（重庆高考）冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统．质量比约为7：1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知，冥王星绕O 点运动的（ ）A ．轨道半径约为卡戎的17B ．角速度大小约为卡戎的17 C ．线速度大小约为卡戎的7倍D ．向心力大小约为卡戎的7倍一.知识回顾1．双星模型 (1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。

(2)特点①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L2＝m 1ω21r 1， Gm 1m 2L2＝m 2ω22r 2。

②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2。

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L 。

④两颗星到轨道圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2r 1。

⑤双星的运动周期T ＝2πL 3Gm 1＋m 2。

⑥双星的总质量m 1＋m 2＝4π2L 3T 2G。

2．三星模型(1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。

每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。

(2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。

(3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。

①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m 的环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。

②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。

3.四星模型：(1)如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。

Gm 2L 2×2×cos 45°＋Gm 22L 2＝ma ，其中r ＝22 L 。

四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

专题25双星和多星问题【知识梳理】 一、双星模型1．定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。

如图：2．特点(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即Gm 1m 2L 2＝ ，Gm 1m 2L 2＝ 。

(2)两颗星的周期、角速度 ，即T 1＝ ，ω1＝ 。

(3)两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝ 。

(4)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝ 。

(5)双星的运动周期T ＝ 。

(6)双星的总质量m 1＋m 2＝ 。

二、多星模型1．定义：所研究星体的万有引力的 提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。

2．常见的多星模型另外两星球对其万有引另外两星球对其万有引另外三星球对其万有引【专题练习】 一、单项选择题1．在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。

如图所示，黑洞A 、B 可视为质点，它们围绕连线上的O 点做匀速圆周运动，且AO 大于BO ，不考虑其他天体的影响。

下列说法正确的是（ ）A ．黑洞A 的向心力大于B 的向心力 B ．黑洞A 的线速度大于B 的线速度C ．黑洞A 的质量大于B 的质量D ．两黑洞之间的距离越大，A 的周期越小2．“慧眼”望远镜是中国第一颗空间X 射线天文卫星，既可以实现宽波段、大视场X 射线巡天又能够研究黑洞、中子星等高能天体。

在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，发现某双黑洞间的距离为S ，只在彼此之间的万有引力作用下绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，其运动周期为T ，引力常量为G ，则双黑洞总质量为（ ） A ．3224S GT πB ．2234T GS πC ．2324S GT πD ．23243S GT π3．“双星”是宇宙中普遍存在的一种天体系统，这种系统之所以稳定的原因之一是系统的总动量守恒且总动量为0，如图所示，A 、B 两颗恒星构成双星系统，绕共同的圆心O 互相环绕做匀速圆周运动，距离不变，角速度相等，已知A 的动量大小为p ，A 、B 的总质量为M ，A 、B 轨道半径之比为k ，则B 的动能为（ ）A ．()221kp k M+B ．()212k p kM+C ．()212k p kM-D ．()221kp k M-4．中国科学家利用“慧眼”太空望远镜观测到了银河系的MaxiJ1820+070是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，距离地球约10000光年。

物理建模系列(八) 天体运行中的“两种常见模型”1．双星模型 (1)模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．(2)模型条件①两颗星彼此相距较近．②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． ③两颗星绕同一圆心做圆周运动． (3)模型特点①“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．②“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等． ③“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r 1＋r 2＝L ，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．2．三星模型 系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)图示向心力的来源另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力例 (2018·河北定州中学摸底)双星系统中两个星球A 、B 的质量都是m ，相距L ，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值T 0，且TT 0＝k (k <1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C的影响，并认为C 位于A 、B 的连线正中间，相对A 、B 静止，则A 、B 组成的双星系统周期理论值T 0及C 的质量分别为( )A ．2π L 22Gm ，1＋k 24k m B ．2π L 32Gm ，1－k 24k m C ．2π2Gm L 3，1＋k 24km D ．2πL 32Gm ，1－k 24k2m 【解析】 由题意知，A 、B 的运动周期相同，设轨道半径分别为r 1、r 2，对A 有，Gm 2L2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02r 1，对B 有，Gm 2L2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02r 2，且r 1＋r 2＝L ，解得T 0＝2π L 32Gm；有C 存在时，设C 的质量为M ，A 、B 与C 之间的距离r ′1＝r ′2＝L 2，则Gm 2L 2＋GMm r ′21＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，Gm 2L 2＋GMm r ′22＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，解得T ＝2π L 32G (m ＋4M )，TT 0＝mm ＋4M＝k 得M ＝1－k 24k 2m .【答案】 D解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”①它们的角速度相等．②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．(2)“两不等”①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．②由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2知由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等.[高考真题]1．(2016·课标卷Ⅲ，14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律【解析】 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律，A 、C 、D 错误，B 正确．【答案】 B2．(2014·课标卷Ⅱ，18)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0；在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ；引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2g 0－gg 0 B ．3πGT 2g 0g 0－gC.3πGT2 D ．3πGT 2g 0g【解析】 由万有引力定律可知：在两极处G Mm R 2＝mg 0，在赤道上：G Mm R 2＝mg ＋m (2πT )2R ，地球的质量：M ＝43πR 3ρ，联立三式可得：ρ＝3πGT 2g 0g 0－g，选项B 正确．【答案】 B3．(2015·课标卷Ⅱ，16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s ，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s ，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )A ．西偏北方向，1.9×103 m/sB ．东偏南方向，1.9×103 m/sC ．西偏北方向，2.7×103 m/sD ．东偏南方向，2.7×103 m/s【解析】 附加速度Δv 与卫星飞经赤道上空时速度v 2及同步卫星的环绕速度v 1的矢量关系如图所示．由余弦定理可知，Δv ＝v 21＋v 22－2v 1v 2cos 30°≈1.9×103 m/s ，方向东偏南方向，故B 正确，A 、C 、D 错误．【答案】 B[名校模拟]4．(2018·山东临沂高三上学期期中)据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星(这4颗卫星均绕地球做匀速圆周运动)，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测．设海陆雷达卫星的轨道半径是海洋动力环境卫星的n 倍，下列说法正确的是( )A ．在相同时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等B ．海陆雷达卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比等于海洋动力环境卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比C ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星角速度之比为n 32∶1D ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星周期之比为1∶n 32【解析】 由于轨道半径不同，相同时间内扫过的面积不相等，A 错；由开普勒第三定律r 3T2＝k 可知，B 项正确；由ω＝GM r 3∝r －32得，ω1∶ω2＝n －32∶1，由T ＝2πr 3GM得，T 1∶T 2＝1∶n －32，C 、D 均错．【答案】 B5．(2018·山东济南一中上学期期中)在未来的“星际穿越”中，某航天员降落在一颗不知名的行星表面上．该航天员从高h ＝L 处以初速度v 0水平抛出一个小球，小球落到星球表面时，与抛出点的距离是5L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )A ．该星球的质量M ＝v 20R22GLB ．该星球的质量M ＝2v 20R25GLC ．该星球的第一宇宙速度v ＝v 0 R 2LD ．该星球的第一宇宙速度v ＝v 0R L【解析】 在该星球表面处：mg ＝GMm R 2，g ＝GM R 2，x ＝v 0t ，y ＝12gt 2＝L ，t ＝2Lg，由5L ＝x 2＋y 2，得g ＝v 202L ，M ＝v 20R 22GL，该星球的第一宇宙速度v ＝gR ＝v 0R2L，故A 、C 正确．【答案】 AC 6.(2018·山东潍坊高三上学期期中)2017年8月16日凌晨，中国量子卫星“墨子”在酒泉卫星发射中心成功发射，目前“墨子”已进入离地面高度为h 的极地预定轨道(轨道可视为圆轨道)，如图所示．若“墨子”从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方，所用时间为t ，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，忽略地球自转，由以上条件可知( )A ．地球的质量为gRGB ．卫星运行的角速度为π2tC ．卫星运行的线速度为πR2tD ．卫星运行的线速度为π(R ＋h )2t【解析】 在地球表面Mg ＝GMm R 2，M ＝gR 2G ，A 错；第一次运行至南纬60°历时t ＝T4，而T ＝2πω，所以ω＝π2t ，B 对；v ＝ω(R ＋h )＝π(R ＋h )2t，C 错，D 对．【答案】 BD课时作业(十三) [基础小题练]1．(2018·华中师大第一附中高三上学期期中)已知甲、乙两行星的半径之比为2∶1，环绕甲、乙两行星表面运行的两卫星周期之比为4∶1，则下列结论中正确的是( )A ．甲、乙两行星表面卫星的动能之比为1∶4B ．甲、乙两行星表面卫星的角速度之比为1∶4C ．甲、乙两行星的质量之比为1∶2D ．甲、乙两行星的第一宇宙速度之比为2∶1 【解析】 由GMm r 2＝mrω2＝m v 2r 得ω＝GMr 3，v ＝ GM r ，E k ＝12m v 2， T ＝2πω＝2πr 3GM，代入数据得M 甲∶M 乙＝1∶2，ω甲∶ω乙＝1∶4，v 甲∶v 乙＝1∶2，卫星质量关系不知，不能比较动能大小．【答案】 BC2．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为T ，引力常量为G ，则该行星的平均密度为( )A.4πGb 2T 2a 2 B ．4πa GT 2bC.3πb GT 2aD ．4πbGT 2a【解析】 对于近地卫星，设其质量为m ，地球的质量为M ，半径为R ，则根据万有引力提供向心力有，G Mm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，得地球的质量M ＝4π2R 3GT 2，地球的密度为ρ＝M 43πR 3＝3πGT2；已知行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍，结合密度公式ρ＝mV ，得该行星的平均密度是地球的b a 倍，所以该行星的平均密度为3πbGT 2a，故C 正确．【答案】 C3．双星运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得两星体的轨道半径之和为l 1，轨道半径之差为l 2，a 星体轨道半径大于b 星体轨道半径，a 星体的质量为m 1，引力常量为G ，则b 星体的周期为( )A.2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1B ．2π2l 21(l 1＋l 2)Gm 1C.2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1(l 1＋l 2)D ．2π2l 21(l 1＋l 2)Gm 1(l 1－l 2)【解析】 设a 星体运动的轨道半径为r 1，b 星体运动的轨道半径为r 2，则r 1＋r 2＝l 1，r 1－r 2＝l 2，解得r 1＝l 1＋l 22，r 2＝l 1－l 22，双星系统根据Gm 1m 2l 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，Gm 1m 2l 21＝m 2⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，得m 1m 2＝r 2r 1，即双星系统中星体质量与轨道半径成反比，得b 星体的质量m 2＝r 1m 1r 2＝(l 1＋l 2)m 1l 1－l 2，a 、b 两星体运动周期相同，对a 星体有Gm 1m 2l 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，解得T ＝2π2l 21(l 1－l 2)Gm 1，A 选项正确．【答案】 A4．(2018·江苏泰州高三上学期期中)2016年10月19日3时31分，神舟十一号载人飞船与天宫二号空间实验室成功实现自动交会对接，此时天宫二号绕地飞行一圈时间为92.5 min ，而地球同步卫星绕地球一圈时间为24 h ，根据此两组数据我们能求出的是( )A ．天宫二号与地球同步卫星受到的地球引力之比B ．天宫二号与地球同步卫星的离地高度之比C ．天宫二号与地球同步卫星的线速度之比D ．天宫二号与地球同步卫星的加速度之比【解析】 由F ＝GMm r 2及GMm r 2＝mrω2＝m v 2r ＝ma 可知，ω＝GMr 3，T ＝2π r 3GM，a ＝GMr2，v ＝GMr，已知周期关系可确定半径关系，进而确定线速度关系，加速度关系，但由于不知天宫二号和同步卫星的质量关系，故所受地球引力关系不确定，地球半径未知，所以离地高度关系不确定，C 、D 正确．【答案】 CD5．(2018·安徽师大附中高三上学期期中)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比( )行星 半径/m 质量/kg 公转轨道半径/m地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011 火星3.4×1066.4×10232.3×1011A.火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的0.45倍 B ．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍 C ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍 D ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍 【解析】 根据第一宇宙速度公式v ＝ GMR (M 指中心天体太阳的质量)，v 火v 地＝R 地R 火＝6.4×1063.4×106＝1.4 ，故A 错误，B 正确．根据向心加速度公式a ＝GMr 2(M 指中心天体太阳的质量)，a 火a 地＝r 2地r 2火＝(1.5×10112.3×1011)2＝0.43，故C 正确，D 错误．【答案】 BC6.(2018·山东泰安高三上学期期中)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步椭圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点．轨道3到地面的高度为h ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g .以下说法正确的是( )A ．卫星在轨道3上的机械能大于在轨道1上的机械能B ．卫星在轨道3上的周期小于在轨道2上的周期C ．卫星在轨道2上经过Q 点时的速度小于它在轨道3上经过P 时的速度D ．卫星在轨道3上的线速度为v ＝Rg R ＋h【解析】 卫星经历两次点火加速才转移至同步轨道3，在轨道3上的机械能肯定大于轨道1上的机械能，A 对；由T ＝2πr 3GM可知，B 错；由于v ＝GMr，所以v 1>v 3，又轨道2上Q 点离心运动，由v Q >v 1可知v Q >v 3，所以v Q >v P ，C 错；将r ＝R ＋h ，GM ＝gR 2，代入v ＝GMr得v ＝R gR ＋h，D 对． 【答案】 AD[创新导向练]7．巧思妙想——以“苹果”为话题考查天体运行规律已知地球的半径为6.4×106 m ，地球自转的角速度为7.27×10－5rad/s ，地球表面的重力加速度为9.8 m/s 2，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9×103 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，月地中心间距离为3.84×108 m ．假设地球上有一颗苹果树长到月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，请根据此时苹果线速度的计算，判断苹果将不会( )A ．落回地面B ．成为地球的“苹果月亮”C ．成为地球的同步“苹果卫星”D ．飞向茫茫宇宙【解析】 地球自转的角速度为7.27×10－5rad/s ，月球到地球中心的距离为3.84×108 m ，地球上有一棵苹果树长到了接近月球那么高，根据v ＝rω得：苹果的线速度为v ＝2.8×104 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，由于苹果的线速度大于第三宇宙速度，所以苹果脱离苹果树后，将脱离太阳系的束缚，飞向茫茫宇宙，故A 、B 、C 正确．【答案】 ABC8．科学探索——以“一箭20星”为背景考查卫星运行参数月球和地球的质量之比为a ∶1，半径之比为b ∶1，将一单摆由地球带到月球，将摆球从与地球表面相同高度处由静止释放(释放点高度低于悬点高度)，释放时摆线与竖直方向的夹角相同，当摆球运动到最低点时，在月球上和地球上摆线对摆球的拉力之比为( )A.b 2a B ．a b 2C.a 2bD ．b a2【解析】 设重力加速度大小为g ，摆球释放的高度为h ，摆球运动到最低点有mgh ＝12m v 2，摆球在最低点有F －mg ＝m v 2l ，得F ＝mg ＋2mghl，F 与g 成正比．在星球表面上有GMm R 2＝mg ，得g ＝GM R 2，故摆球在月球和地球上受到的拉力之比为ab 2，B 选项正确． 【答案】 B9．军事科技——以导弹拦截为背景考查万有引力定律知识2016年1月27日，我国在境内再次成功地进行了陆基中段反导拦截技术试验，中段是指弹道导弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段．如图所示，一枚蓝军弹道导弹从地面上A 点发射升空，目标是攻击红军基地B 点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从C 点发射拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点D 将其击毁．下列说法中正确的是( )A ．图中E 到D 过程，弹道导弹机械能不断增大B ．图中E 到D 过程，弹道导弹的加速度不断减小C ．弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆D ．弹道导弹飞行至D 点时速度大于7.9 km/s【解析】 图中E 到D 过程， 导弹在大气层外空间依靠惯性飞行，没有空气阻力，机械能不变，远离地球，轨道变大，速度减小，万有引力减小，所以加速度减小，在万有引力作用下，运动轨迹是以地心为焦点的椭圆，A 错误，B 、C 正确；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，而D 点在大气层外部，所以轨道要大于近地卫星轨道，运行速度要小于第一宇宙速度，D 错误；故选B 、C.【答案】 BC10．探测火星——以火星探测为背景考查星体运行规律随着人类航天事业的进步，太空探测越来越向深空发展，火星正在成为全球航天界的“宠儿”．我国计划于2020年发射火星探测器，一步实现绕、落、巡工程目标．假设某宇航员登上了火星，在其表面以初速度v 竖直上抛一小球(小球仅受火星的引力作用)，小球上升的最大高度为h ，火星的直径为d ，引力常量为G ，则( )A ．火星的第一宇宙速度为v d hB ．火星的密度为3v 24πGhdC ．火星的质量为v 2d 22GhD ．火星的“近火卫星”运行周期为2πvd h【解析】 在火星表面竖直上抛的小球做匀减速直线运动，设火星表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v 0，火星的自转周期为T ，则2gh ＝v 2，得g ＝v 22h，在火星表面的物体的重力等于万有引力，也是在火星表面附近做圆周运动的向心力，mg ＝G Mm r 2＝m (2πT )2r ，又r＝d 2，M ＝43πr 3·ρ，得：v 0＝v d 4h ，M ＝v 2d 28Gh ，ρ＝3v 24πGhd，T ＝2πv dh2，故选B. 【答案】 B[综合提升练]11.(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器．火箭从地面起飞时，以加速度g 02竖直向上做匀加速直线运动(g 0为地面附近的重力加速度)，已知地球半径为R 0.(1)到某一高度时，测试仪器对平台的压力是起飞前的1718，求此时火箭离地面的高度h ；(2)探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T 0，试问：该行星的平均密度为多少？(假定行星为球体，且已知万有引力恒量为G )【解析】 (1)火箭起飞前有：N 1＝mg 0 火箭起飞后有：N 2－mg ＝mg 02 且有N 1N 2＝1718GMmR 2＝mg 0 GMm(R ＋h )2＝mg联立以上各式解得h ＝R2.(2)设行星半径为r ，质量为M ，密度为ρ，则 GM 1m r 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 02由ρ＝M 1V ，V ＝43πr 3得ρ＝3πGT 20. 【答案】 (1)R 2 (2)3πGT 2012．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出一小球，测出水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G .求：(1)月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月；(2)如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？(3)当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少？【解析】 (1)设月球表面的重力加速度为g ，由平抛运动规律有h ＝12gt 2① L ＝v 0·t ②得g ＝2h v 20L 2③ 着陆器在月球表面所受的万有引力等于重力，GM 月m R 2＝mg ④得M 月＝2h v 20R 2GL 2⑤ (2)卫星绕月球表面运行，有GM 月m ′R 2＝m ′v 2R ⑥联立⑤⑥得v ＝v 0L2hR ⑦ (3)由牛顿第二定律有G M 月m (R ＋H )2＝m (R ＋H )4π2T 2⑧联立⑤⑧得T ＝2π2L 2(R ＋H )3hR 2v 20. 【答案】 (1)2h v 20L 2 2h v 20R 2GL 2 (2)v 0L 2hR (3)2π2L 2(R ＋H )3hR 2v 20。

核心素养提升微课堂科学思维系列——双星模型1．模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星球称为双星．2．模型特点①两颗星球角速度相同，间距不变，绕两者连线上某点旋转，轨迹为同心圆．②两颗星球各自需要的向心力由彼此间的万有引力提供，即 Gm 1m 2L 2＝m 1ω21r 1，Gm 1m 2L2＝m 2ω22r 2. ③两颗星球的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2，且T 1＝T 2＝2πL 3G (m 1＋m 2). ④两颗星球的轨道半径与两者间的距离关系为r 1＋r 2＝L ，要注意r 1、r 2和L 的区别．⑤由m 1a 1＝m 2a 2可以推出a 1a 2＝m 2m 1. 【典例】方法技巧解决双星问题的关键对于双星问题，关键抓住“四个相等”，即向心力、角速度、周期大小相等，轨道半径之和等于两星间距，然后运用万有引力提供向心力列式求解．变式训练1(多选)两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是()A．它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比B．它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比C．它们做圆周运动的半径与其质量成正比D．它们做圆周运动的半径与其质量成反比解析：两天体绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，故A错误；因为两天体做圆周运动的向心力由两天体间的万有引力提供，向心力大小相等，由G m1m2＝m1r1ω2，GL2m1m2＝m2r2ω2可知，m1r1ω2＝m2r2ω2，所以它们的轨道半径与它L2们的质量成反比，C错误，D正确；而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的，B正确．答案：BD变式训练2(多选)经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，如图所示．两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L ，质量之比为m 1:m 2＝3:2.则可知( )A ．m 1、m 2做圆周运动的线速度之比为3:2B ．m 1、m 2做圆周运动的角速度之比为2:3C ．m 1做圆周运动的半径为25LD ．m 1、m 2做圆周运动的向心力大小相等解析：双星系统周期相同(角速度相同)，所受万有引力作为向心力相同，所以B 项错误，D 项正确；由F ＝mω2r ，m 1r 1ω2＝m 2r 2ω2，得m 1v 1＝m 2v 2，v 1v 2＝m 2m 1＝23，A 项错误；r 1r 2＝m 2m 1又r 1＋r 2＝L ，所以r 1＝m 2m 1＋m 2L ＝25L ，C 项正确． 答案：CD变式训练3 银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动．由天文观测得其周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知万有引力常量为G .由此可求出S 2的质量为( )A.4π2r 2(r －r 1)GT 2B.4π2r 31GT 2C.4π2r 3GT 2D.4π2r 2r 1GT 2解析：设S 1、S 2两星体的质量分别为m 1、m 2，根据万有引力定律和牛顿定律得：对S 1有G m 1m 2r 2＝m 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 1， 解之可得m 2＝4π2r 2r 1GT 2.所以正确选项是D.答案：D变式训练4 月球与地球质量之比约为180，月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O 做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O 点运动线速度大小之比约为( )。