考点20 数系的扩充与复数的引入

数系的扩充和复数的引入【要点梳理】要点一：复数的有关概念1.复数概念：形如()+a bi a b ∈R ，的数叫复数， 其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 叫虚数单位（21=i -）. 表示：复数通常用字母z 表示.记作：()=+z a bi a b ∈R ，.要点诠释：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.（2）复数=+z a bi 中，实部a 和虚部b 都是实数，这一点不容忽视，它列方程求复数的重要依据..（3）i 是－1的一个平方根，即方程12=x -的一个根. 方程12=x -有两个根，另一个根是i -；并且i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2.复数集概念：复数的全体组成的集合叫作复数集．表示：通常用大写字母C 表示．要点诠释：⊆⊆⊆⊆N Z Q R C ,其中N 表示自然数集,Z 表示整数集Q 表示有理数集,R 表示实数集.3.复数相等概念：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.表示：如果,,,a b c d R ∈，那么a c a bi c di b d=⎧+=+⇔⎨=⎩ 特别地，00a bi a b +=⇔==.要点诠释：（1）根据复数a +b i 与c+di 相等的定义，可知在a =c ，b =d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a +b i≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.（3）复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．要点二：复数的分类表示：用集合表示如下图：要点三：复数的几何意义1. 复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数z a bi =+（,a b R ∈）可用点(,)Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.要点诠释：实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集与复平面内点的对应关系按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b 这是复数的一种几何意义.3.复数集与复平面中的向量的对应关系在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.设复平面内的点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈），向量OZ 由点(,)Z a b 唯一确定；反过来，点(,)Z a b 也可以由向量OZ 唯一确定.复数集C 和复平面内的向量OZ 所成的集合是一一对应的，即复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 这是复数的另一种几何意义.4.复数的模 设OZ a bi =+u u u r （,a b R ∈），则向量OZ 的长度叫做复数z a bi =+的模，记作||a bi +.即22||||0z OZ a b ==+u u u r .要点诠释：①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x 轴对称，并且他们的模相等.【典型例题】类型一：复数的概念例1．请说出下面各复数的实部和虚部，有没有纯虚数？（1）23i +； （2）132i -； （3）1-3i ； （4）3-52i ； （5）π； （6）0.【思路点拨】将复数化为()+a bi a b ∈R ，的标准形式，实数为a ，虚部为b .当实部0a =，而虚部0b ≠时，该复数为纯虚数.【解析】（1）复数23i +的实部是2，虚部是3，不是纯虚数；（2）132i -=132i -+，其实部是－3，虚部是21，不是纯虚数； （3）1-3i 的实部是0，虚部是－31，是纯虚数；（4）2=-22i ，其实部是2-，虚部是-2，不是纯虚数； （5）π是实数，可写成+0i π⋅，其实部为π，虚部为0，不是纯虚数；（6）0是实数，可写出0+0i ⋅，其实部为0，虚部为0，不是纯虚数.【总结升华】准确理解复数的概念，明确实部、虚部的所指是关键.举一反三：【变式1】符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．(1)实部为－2的虚数；(2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数；(4)实部为－2的纯虚数．【答案】(1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.【变式2】以2i 22i +的实部为虚部的新复数是________．【答案】2i -222i +的实部为-2，所以新复数为2－2i .【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题1】例2．当实数m 取何值时，复数22(34)(56)i,(m )z m m m m =--+--∈R ，表示：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【思路点拨】根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的概念，判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的m 值.【解析】（1）当z 为实数时，要求虚部为0，即2560m m --=，6m =，解得或1m =-.（2）当z 表示虚数，要求虚部非0，即2560m m --≠，解得6m ≠且1m ≠-. （3）当z 表示纯虚数，要求实部为0，且虚部非0，即22340560m m m m ⎧--=⎪⎨--≠⎪⎩，解得4m =. 【总结升华】 复数包括实数和虚数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，合理利用复数是实数、虚数以及纯虚数的条件是解决本类题目的关键．举一反三：【变式1】 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为_________.【答案】1-. 由复数z 为纯虚数，得21010x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得1x =-．【变式2】已知复数22276(56)i (R)1a a z a a a a -+=+-+∈-，试求实数a 分别取什么值时，z 为： （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数．【答案】（1）当z 为实数时，则225601a a a ⎧--=⎪⎨≠⎪⎩ ∴161a a a =-=⎧⎨≠±⎩或，故a =6， ∴当a =6时，z 为实数．（2）当z 为虚数时，则有225601a a a ⎧--≠⎪⎨≠⎪⎩，∴161a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且， ∴a ≠±1且a ≠6，∴当a ∈（－∞，－1）∪（―1，1）∪（1，6）∪（6，+∞）时，z 为虚数．（3）当z 为纯虚数时，则有2225607601a a a a a ⎧--≠⎪⎨-+=⎪-⎩，∴166a a a ≠-≠⎧⎨=⎩且， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．【变式3】设复数22lg(22)(32)i z m m m m =--+++，m ∈R ，当m 为何值时，z 是：（1）实数； （2）z 是纯虚数．【答案】（1）要使z 是实数，则需22320220m m m m ⎧++=⎪⎨-->⎪⎩⇒m =―1或m =―2，所以当m =－1或m =－2时，z 是实数． （2）要使z 是纯虚数，则需222213320m m m m m ⎧--=⎪⇒=⎨++≠⎪⎩，所以m =3时，z 是纯虚数． 类型二：两个复数相等例3. 已知(21)(3)x i y y i -+=--，其中,x y R ∈，求x 与y .【思路点拨】利用复数相等的条件，列方程组，求解x y ，.【解析】根据复数相等的定义，得方程组⎩⎨⎧--==-)3(1,12y y x ，所以52x =，4y = 【总结升华】两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．举一反三：【变式1】已知，x y ∈R 且22712+=+x y xyi i -，求以x 为实部、以y 虚部的复数． 【答案】由题意知22712x y xy ⎧-=⎨=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩ 或 43x y =-⎧⎨=-⎩． 所以x+yi 的值为4+3i 或－4－3i ．【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题2】【变式2】,x y ∈R ，复数(32)5x y xi ++与复数(2)18y i -+相等，求x y ，.【答案】(2)1818(2)y i y i -+=--，所以321852x y x y+=⎧⎨=-⎩，解得212x y =-⎧⎨=⎩. 【变式3】已知集合M=｛（a +3）+（b 2-1）i,8｝,集合N=｛3i ，（a 2-1）+(b +2)i ｝同时满足：N≠⊂M ，M N ≠I Φ，求整数a ,b .【答案】 2(3)(1)3a b i i ++-=依题意得 ①或28(1)(2)a b i =-++ ②或223(1)1(2)a b i a b i ++-=-++ ③由①得a =-3,b =±2,经检验，a =-3,b =-2不合题意，舍去.∴a =-3，b =2由②得a =±3, b =-2.又a =-3,b =-2不合题意，∴a =3,b =-2; 由③得222231401230a a a ab b b b ⎧⎧+=---=⎪⎪⎨⎨-=+--=⎪⎪⎩⎩即,此方程组无整数解. 综合①②③得a =-3，b =2或a =3,b =-2.类型三、复数的几何意义例4. 在复平面内，若复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线=y x 上，分别求实数m 的取值范围．【思路点拨】复数()+a bi a b ∈R ，在复平面内对应的点为()a b ，： =0a ⇔()a b ，在虚轴上；0,0a b <⎧⇔⎨>⎩()a b ，在第二象限；=a b ⇔()a b ，在=y x 上. 【解析】复数22(2)(32)＝－－＋－＋z m m m m i 在复平面内的对应点为()22(2)(32)－－－＋m m m m ，.(1)由题意得22－－=0m m ，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得2220,320.－－－＋m m m m ⎧<⎪⎨>⎪⎩，解得12,2 1.m m m -<<⎧⎨><⎩或 ∴－1<m <1. (3)由已知得22232－－=－＋m m m m ，解得m ＝2.【总结升华】按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．举一反三：【高清课堂：数系的扩充和复数的概念 401749 例题3】【变式1】已知复数22(23)(43)z m m m m i =--+-+（m ∈R ）在复平面上对应的点为Z ，求实数m 取什么值时，点Z （1）在实轴上；（2）在虚轴上；（3）在第一象限.【答案】（1）点Z 在实轴上，即复数z 为实数，由2-43031m m m m +=⇒==或∴当31m m ==或时，点Z 在实轴上.（2）点Z 在虚轴上，即复数z 为纯虚数或0，故2230m m --=-13m m ⇒==或∴当-13m m ==或时，点Z 在虚轴上.3）点Z 在第一象限，即复数z 的实部虚部均大于0由22230430m m m m ⎧-->⎪⎨-+>⎪⎩ ，解得m ＜―1或m ＞3 ∴当m ＜―1或m ＞3时，点Z 在第一象限.【变式2】在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】∵22ππ<<，∴sin20>，cos20<，故相应的点在第四象限，选D.【变式3】 已知复数(2k 2－3k －2)+(k 2－k)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数k 的取值范围.【答案】∵复数对应的点在第二象限，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<--,0,023222k k k k 即⎪⎩⎪⎨⎧><<<-.10,221k k k 或解得：10122k k -<<<<或 例5. 在复平面内，O 是原点，向量OA u u u r 对应的复数是2+i ．（1）如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB uuu r 对应的复数；（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数．【解析】（1）设所求向量OB uuu r 对应的复数z 1=x 1+y 1i （x 1，y 1∈R ），则点B 的坐标为（x 1，y 1）．由题意可知点A 的坐标为（2，1），根据对称性可知x 1=2，y 1=－1，故z 1=2－i ．（2）设所求点C 对应的复数为z 2=x 2+y 2i （x 2，y 2∈R ），则点C 的坐标为（x 2，y 2）．由对称性可知x 2=－2，y 2=－1，故z 2=－2－i ．【总结升华】 由复数的几何意义知，复数与复平面上的点建立起一一对应的关系，因而在解决复数的相关问题时，我们可以利用复平面上的点的一些数学关系来解决．举一反三：【变式】在复平面内，复数z 1=1+i 、z 2=2+3i 对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，OP OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r ．若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是________．【答案】(12,13)OP λλ=++u u u r 由题意：120130λλ+>⎧⎨+<⎩，解得：1123λ-<<- 例6. 已知12z i =+，求z .【解析】z ==【总结升华】依据复数的模的定义，即可求得.举一反三：【变式1】若复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，则z = . 【答案】由210110a a a ⎧-=⇒=⎨+≠⎩, 所以z =2. 【变式2】已知z －|z|=－1+i ，求复数z ．【答案】方法一：设z=x+yi （x ，y ∈R ），由题意，得i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+．根据复数相等的定义，得11x y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，∴z=i ．方法二：由已知可得z=(|z|－1)+i ，等式两边取模，得||z =两边平方，得|z|2=|z|2－2|z|+1+1⇒|z|=1．把|z|=1代入原方程，可得z=i ．。

考点20 数系的扩充与复数的引入（2014年）一、选择题1. (2014·湖北高考文科·T2)i 为虚数单位,错误！未找到引用源。

( ) A.1 B.-1 C.i D.-i【解题提示】利用复数的运算法则进行计算. 【解析】选B. 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2. （2014·湖北高考理科·Ｔ1）i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 3.（2014·湖南高考理科·Ｔ1）满足i ziz =+(i 为虚数单位)的复数z =( ) A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -+ D ．1122i --【解题提示】先解关于z 的方程，再用复数的除法法则进行运算。

【解析】选B. 因为i z iz =+，所以()()()i i i i i i i i z zi i z 2121211111,-=+-=+-+-=--==+。

4.（2014·辽宁高考理科·Ｔ2）设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =()23()23()32()32A i B i C i D i +-+-【解题提示】 利用解方程的办法得到复数z ，然后化简整理【解析】选A.由(2)(2)5z i i --=得55(2)22222 3.2(2)(2)i z i i i i i i i i +=+=+=++=+--+ 5.(2014·广东高考文科·T2)已知复数z 满足(3-4i )z=25,则z= ( )A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i【解题提示】本题既可以利用z z =|z|2求解,也可以利用复数的除法运算解答. 【解析】选D.方法一:因为|3-4i|=5,|3-4i|2=25,所以z=34i -=3+4i.方法二:因为(3-4i)z=25,所以z=2534i-=3+4i. 6.(2014·广东高考理科)已知复数z 满足(3+4i)z=25,则z= ( ) A.-3+4i B.-3-4i C.3+4i D.3-4i【解题提示】本题既可以利用z z =|z|2求解,也可以利用复数的除法运算解答. 【解析】选D.方法一:因为|3+4i|=5,|3+4i|2=25, 所以z=34i +=3-4i. 方法二:因为(3+4i)z=25, 所以z=2534i+=3-4i. 7.（2014·福建高考文科·Ｔ2）复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+【解题指南】利用复数的运算法则计算【解析】B ．由复数的乘法运算得()2323223i i i i i +=+=-+，故选B ．8.（2014·福建高考理科·Ｔ1）1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +【解题指南】用复数的运算法则进行计算. 【解析】C.∵23Z i =+∴23Z i =-.9.（2014·辽宁高考文科·Ｔ2）与（2014·辽宁高考理科·Ｔ2）相同 （2014·辽宁高考文科·Ｔ2）设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =()23()23()32()32A i B i C iD i +-+-【解题提示】 利用解方程的办法得到复数z ，然后化简整理 【解析】选A.由(2)(2)5z i i --=得55(2)22222 3.2(2)(2)i z i i i i i i i i +=+=+=++=+--+10.(2014·陕西高考文科·T3)已知复数z=2-i,则z ·的值为 ( )A.5B.C.3D.【解题指南】求出复数z 的共轭复数,代入表达式求解即可. 【解析】选A.由已知得=2+i,则z ·=(2-i)(2+i)=22-i 2=5,故A 正确.11.（2014·山东高考理科·Ｔ1）已知i R b a ,,∈是虚数单位，若i a -与bi +2互为共轭复数，则()=+2bi a （ ）.A 、5-4iB 、5+4iC 、3-4iD 、3+4i【解题指南】 本题考查了共轭复数的概念，以及复数的运算；两个复数互为共轭复数，则实部相等，虚部互为相反数，然后根据复数的运算法则进行运算. 【解析】选D.因为 i a -与bi +2互为共轭复数，所以1,2==b a ， 所以()()i i i i bi a 43442222+=++=+=+.12.（2014·山东高考文科·Ｔ1）已知,,a b R i ∈是虚数单位. 若a i +＝2bi -，则2()a bi +=( ) A 、 34i -B 、 34i +C 、43i -D 、43i +【解题指南】 本题考查了复数的概念，以及复数的运算；两个复数相等，则实部相等，虚部相等，然后根据复数的运算法则进行运算.【解析】选D.因为 i a -=bi -2，所以1,2==b a ， 所以()()i i i i bi a 43442222+=++=+=+.13.(2014·江西高考文科·T1)若复数z 满足z(1+i)=2i(i 为虚数单位),则|z|= ( )A.1B.2【解题指南】运用复数除法的运算法则及模的公式进行计算.【解析】选C.22(1)1,1(1)(1)i i i z i z i i i -===+=++-. 14.(2014·江西高考理科·T1)是z 的共轭复数.若z+=2,(z-)i=2(i 为虚数单位),则z= ( ) A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i【解题指南】设出复数的代数形式,利用运算法则进行计算. 【解析】选D.设z=a+bi(a,b ∈R), 则=a-bi,z+=2a=2, 故a=1,( z-)i=-2b=2, 故b=-1,所以z=1-i.15. （2014·天津高考文科·Ｔ1，同2014·天津高考理科·Ｔ1）i 是虚数单位，复数=++ii437（ ）A. i -1B. i +-1C.i 25312517+ D. i 725717+- 【解析】选A.7(7)(34)25251.342525i i i ii i ++--===-+16.（2014·安徽高考文科·Ｔ1）设i 是虚数单位，复数321ii i+=+（ ） A i - B. i C. 1- D. 1 【解题提示】 利用复数的运算性质进行计算。

课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。

复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。

类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。

用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。

（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。

复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。

二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。

所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。

数系的扩充与复数的引入知识点总结(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除数系的扩充与复数的引入知识点总结一．数系的扩充和复数的概念１．复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩，特别地: .(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.（２）复数的几何意义坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即. ３．复数的运算（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则12()()z z a c b d i ±=±+±12()()z z ac bd ad bc i •=-++12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d-++=≠+ （２）几个重要的结论2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z •==若z 为虚数,则22||z z ≠（３）运算律m n m n z z z +•=()m n mn z z =1212()(,)n n n z z z z m n R •=•∈（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：21i =-3i i =-41i =2340n n n n i i i i ++++++=注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小 （２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用二．同步检测１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ ２．复数5-2i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i ３．当2<<13m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限４．复数31+22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝ ５．已知复数ｚ与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ６．已知(1+2=4+3i z i ），求ｚ及zz７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12111=+z z z ，求ｚ８．已知２i －３是关于x 的方程２2x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值。

-@>% )一复数的相关概念1.虚数单位i是虚数单位,满足i2=-1,实数可以与i进行四则运算,进行四则运算时原有的加法㊁乘法运算律仍然成立.2.复数形如a+b i(a,bɪR)的数叫作复数,其中a是复数的实部,b是复数的虚部.全体复数组成的集合叫作复数集,用字母C表示.复数a+b i(a,bɪR),当b=0时,就是实数;当bʂ0时,叫作虚数;当a=0,bʂ0时,叫作纯虚数.把复数表示成a+b i(a,bɪR)的形式,叫作复数的代数形式.3.数系的发展自然数集N㊁整数集Z㊁有理数集Q㊁实数集R以及复数集C之间有如下关系:N⫋Z⫋Q⫋R⫋C.11两个复数z1=a+b i(a,bɪR),z2=c+d i(c,dɪR),当且仅当a=c且b=d时,z1=z2.特别地,当且仅当a=b=0时,a+b i=0.5.复数的模复数z=a+b i(a,bɪR)的模记作z或|a+b i|,有|z|=|a+b i|=a2+b2.6.共轭复数当两个复数的实部相等㊁虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数.在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称.特别地,实数a的共轭复数仍是它本身.7.复数的几何意义从复数相等的定义我们知道,任何一个复数z= a+b i(a,bɪR)都可以用一个有序实数对(a,b)唯一确定,这样我们可以用建立了直角坐标系的平面来表示复数.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面. x轴叫作实轴,y轴叫作虚轴.这样,实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.复数z=a+b i(a,bɪR)与复平面内的点Z(a,b)及向量O Pң=(a,b)是一一对应的.复数的模表示复数对应的点到原点的距离.1811 二复数的运算对于复数z 1=a +b i (a ,b ɪR ),z 2=c +d i (c ,d ɪR ).(1)复数的加减运算:z 1ʃz 2=(a ʃc )+(b ʃd )i .(2)复数的乘除运算:z 1㊃z 2=(a +b i )(c +d i )=(a c -b d )+(b c +a d )i;z 1z 2=a +b i c +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )=a c +b d c 2+d 2+b c -a d c 2+d 2i (c 2+d 2ʂ0).。

3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．虚数单位i在实数集R中添加新数i，规定：(1)i2＝□01－1，其中i叫做02四则运算，且原有的加、乘运算虚数单位；(2)i可与实数进行□律仍然成立．2．复数的相关概念集合C＝{a＋b i|a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R) 03复数，其中i叫做□04虚数单位．全体复数的集合C叫做的数叫做□05复数集．□复数通用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式06复数的代数形式．其中的a与b分别叫做复数z的□07实部与叫做□虚部．3．复数的分类对于复数z＝a＋b i，当且仅当□08b＝0时，它是实数；当且仅当09a＝b＝0时，它是实数0；当且仅当□10b≠0时，叫做虚数；当□11□a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．4．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定：a＋b i与c＋d i的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d ∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋b i为虚数．( )(2)若z＝m＋n i(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )(3)b i是纯虚数．( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)若a＋b i＝0，则实数a＝________，实数b＝________.(2)(1＋3)i的实部与虚部分别是________．(3)若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝________.答案(1)0 0 (2)0,1＋ 3 (3)±1探究1复数的有关概念例1 给出下列四个命题：①两个复数不能比较大小；②若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；④纯虚数集相对复数集的补集是虚数集．其中真命题的个数是________．[解析]①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；②由于x，y都是复数，故x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件；③若a＝0，则a i不是纯虚数；④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集．[答案]0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立．如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等．但i与实数的运算及运算律仍成立．【跟踪训练1】下列命题中：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A．① B．② C．③ D．④答案D解析对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在①中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，故②错误；在③中，若x＝－1，x2＋3x＋2≠0不成立，故③错误；④正确．探究2 复数的分类例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解](1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当m 2－2m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．[条件探究] 是否存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数？[解] 由z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6m i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －6m≠0，解得m ∈∅.即不存在实数m ，使z ＝(m 2－2m )＋m 2＋m －6mi 是纯虚数．拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为哪些；(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； (3)解相应的方程(组)或不等式(组)；(4)求出参数的值或取值范围．【跟踪训练2】 已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？ (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数？解 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋2m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋2m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.探究3 复数相等例3 已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．[解] ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.∴实数m 的值为1或2. 拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等．复数问题实数化多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组．【跟踪训练3】 已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，∴a ＝－1.故实数a 的值为－1.1.在复数a ＋b i 中，a ，b 必须是实数，否则不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b ”，不是“b i”，更不是“i”.3.当且仅当b ≠0且a ＝0时，复数a ＋b i 才是纯虚数，解题时不能只注意a ＝0而忽视了b ≠0的限制.4.复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现.1．“a ＝0”是“复数a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数”的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数⇔a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋b i(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．2．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是( )A．3－3i B．3＋iC．－2＋2i D.2＋2i答案A解析3i－2的虚部为3,3i2＋2i的实部为－3，所以所求复数为3－3i.3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．答案±2，5解析由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±2，b＝5.4．设复数z＝1m＋5＋(m2＋2m－15)i为实数，则实数m的值是________．答案3解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.5．如果log 12 (m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，求自然数m ，n 的值．解 ∵log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i≥－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 12 m ＋n ≥－1，－m 2－3m ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n ≤2，m ＝0或m ＝3.∵m ，n ∈N ，∴m ＝0，n ＝1或n ＝2.。

点20 数系的扩充与复数的引入一、选择题1.（2015·安徽高考文科·T1）设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ）A.3+3iB.-1+3iC.3+iD.-1+i【解题指南】利用复数的运算法则进行计算。

【解析】选C 。

因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，所以选C 。

2.（2015·安徽高考理科·T1）设i 是虚数单位，则复数21i i -在复平面内所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解题指南】利用复数的运算法则进行计算。

【解析】选B 。

22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+,其对应坐标为（-1,1），此点在第二向限。

3.(2015·广东高考理科·T2)若复数z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则= ( )A.3-2iB.3+2iC.2+3iD.2-3i【解题指南】可先求出z,再利用共轭复数的概念实部相同,虚部互为相反数求出结果.【解析】选D.因为z=i(3-2i)=2+3i,所以z =2-3i.4. (2015·广东高考文科·T2)已知i 是虚数单位,则复数(1+i)2= ( )A.-2B.2C.-2iD.2i 【解析】选D ()i i i i i 212121122=-+=++=+ 5. (2015·北京高考理科·T1)复数i(2-i)= ( )A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i 【解析】选A.i(2-i)=2i-i 2=1+2i.6.(2015·四川高考理科·T2)设i 是虚数单位,则复数i 3-i2= ( ) A.-i B.-3i C.i D.3i【解题指南】利用i 2=-1,对原式化简,便可求解.【解析】选C.i 3-i 2=-i-22ii =-i+2i=i.7.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T1)设复数z 满足1+z 1z -=i,则|z|= ( )A.1B.C.D.2【解题指南】将1+z1z -=i 化为z=a+bi(a,b ∈R)的形式,利用|z|=求解.【解析】选A.因为1+z1z -=i,所以i i i i i i i z =-+-+-=++-=)1)(1()1)(1(11,故|z|=1.8.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T3)已知复数z 满足(z-1)i=1+i,则z= ( )A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i【解析】选C.因为(z-1)i=1+i,所以z=12ii +==2-i.9.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T2)若a 为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a= ( )A.-1B.0C.1D.2【解题指南】将(2+ai)(a-2i)=-4i 转化为m+ni 的形式,利用复数相等求解.【解析】选B.由题意得4a+(a 2-4)i=-4i,所以4a=0,a 2-4=-4,解得a=0.10.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T2)若a 为实数,且=3+i,则a= ( )A.-4B.-3C.3D.4【解题指南】利用复数相等进行求解.【解析】选D.由题意可得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i ⇒a=4.11.(2015·山东高考理科·T2) 若复数z 满足i 1i z=-，其中i 为虚数单位，则z =（）A. 1i -B. 1i +C. 1i --D. 1i +【解题指南】先求出共轭复数z ，进而求出复数z .【解析】选A.由i 1i z=-，得i(1i)=1+i z =-,1i z =-.12.(2015·山东高考文科·T2)与(2015·山东高考理科·T2相同)若复数z 满足i 1i z=-,其中i 为虚数单位,则z= ( )A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i【解题指南】先求出共轭复数z ,进而求出复数z. 【解析】选A.由i 1iz =-,得z =i(1-i)=1+i,z=1-i. 13.(2015·湖北高考理科·T1)i 为虚数单位,i 607的共轭复数为 ( )A.iB.-iC.1D.-1【解析】选A.因为i 607=(i 2)303·i=-i,-i 的共轭复数为i,所以应选A.14. (2015·湖北高考文科·T1)i 为虚数单位,i 607= ( )A.iB.-iC.1D.-1【解析】选B.因为i 607=(i 2)303·i=-i.15.(2015·福建高考理科·T1) 若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B等于 ( )A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．φ【解题提示】利用复数的周期性及集合之间的运算求解.【解析】选C.A={i,-1,-i,1},B={1,-1},所以A ∩B={1,-1}.16.(2015·福建高考文科·T1) 若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ）A ．3,2-B ．3,2C ．3,3-D ．1,4-【解题指南】根据复数相等的含义求解.【解析】选A.由题可知3-2i=a+bi,因为a,b 均为实数,所以a=3,b=-2. 二、填空题17. (2015·北京高考文科·T9)复数i(1+i)的实部为 .【解析】i(1+i)=-1+i,所以实部为-1.答案:-118.(2015·天津高考理科·T9)i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a 的值为 .【解析】复数(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,该复数为纯虚数,所以a+2=0,且1-2a ≠0,所以a=-2. 答案:-219.(2015·天津高考文科·T9)i 是虚数单位,计算的结果为 .【解析】()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++ 答案:-i20. (2015·江苏高考·T3)设复数z 满足z 2=3+4i(i 是虚数单位),则z 的模为 .【解题指南】首先利用复数相等的概念求出复数z 的代数形式,然后利用复数的模的公式计算即可.【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),所以z 2=(a+bi)2=(a 2-b 2)+2abi,因为z 2=3+4i,根据复数相等的定义知223,24,a b ab ⎧-=⎨=⎩解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以z 答案:21.（2015·四川高考文科·T11）设i 是虚数单位，则复数1i i -=______【解题指南】利用21,i =-对其化简，便可求解。

温馨提示：考点20 数系的扩充与复数的引入一、选择题1.(2017·全国乙卷理科·T3)设有下面四个命题p1:若复数z满足错误！未找到引用源。

∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=错误！未找到引用源。

;p4:若复数z∈R,则错误！未找到引用源。

∈R.其中的真命题为()A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【命题意图】主要考查复数的运算及性质,突出考查考生的分析和判断能力.【解析】选 B.p1:设z=a+bi(a,b∈R),则错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

∈R,得到b=0,所以z∈R.故p1正确;p2:若z2=-1,满足z2∈R,而z=i,不满足z∈R,故p2不正确;p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;p4:实数的共轭复数是它本身,也是实数,故p4正确.故选B.2.(2017·全国乙卷文科·T3)下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)【命题意图】本题主要考查复数的概念及复数的基本运算.【解析】选C.由(1+i)2=2i为纯虚数知选C.3.(2017·北京高考文科·T2)同(2017·北京高考理科·T2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()A.(-∞,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)【命题意图】本题主要考查复数的乘法运算.意在培养学生的计算能力与数形结合能力.【解析】选B.(1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=a+1+(1-a)i,因为该复数对应的点在第二象限,所以错误！未找到引用源。

1010aa+<⎧⎨->⎩a<-1.【答题技巧】利用复数的几何意义求字母范围的技巧,先运算出复数的代数形式,再利用复数所在的象限,判断实部与虚部的范围.4.(2017·全国丙卷·理科·T2)设复数z满足(1+i)z=2i,则∣z∣= ()A.错误！未找到引用源。

考点20 数系的扩充与复数的引入一、选择题1.（2020·安徽高考理科·Ｔ1）设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 （B ）-2 （C ）12- （D ）12【思路点拨】先根据复数的除法运算化简，再利用纯虚数概念，令实部为0，求a 【精讲精析】选A. 1(1)(2)2122(2)(2)55ai ai i a a i i i i +++-+==+--+,由12aii+-是纯虚数，则0521,052≠+=-a a ，所以a =2.2.（2020·福建卷理科·Ｔ1）i 是虚数单位，若集合S =}{1,0,1-，则（ ）(A).i S ∈ (B).2i S ∈ (C). 3i S ∈ (D).2S i∈ 【思路点拨】依据复数的运算法则对逐个选项进行判断. 【精讲精析】选B. 21i =-Q ，而集合{1,0,1},S =- 2.i S ∴∈ 3.（2020·福建卷文科·Ｔ2）i 是虚数单位,1+i 3等于( ) (A).i (B).-i (C).1+i (D).1-i 【思路点拨】用复数的运算法则进行计算. 【精讲精析】选D. 323,11.i i i i i i =⋅=-∴+=-Q 4.（2020·新课标全国高考文科·Ｔ2）复数512ii=-( ) A.2i - B.12i - C.2i -+ D.12i -+【思路点拨】利用复数的除法法则直接求解，也可用间接法验证选项求解. 【精讲精析】选C 解法一：55(12)1052.12(12)(1+2)5i i i ii i i i +-+===-+-- 解法二：验证法 验证每个选项与1-2i 的积，正好等于5i 的便是答案. 5.（2020·新课标全国高考理科·Ｔ1）复数212ii+-的共轭复数是 A ．35i - B.35i C.i - D.i【思路点拨】用复数运算的除法法则，分子分母同乘以1+2i 求得.【精讲精析】选C.2+(2)(12)1212)(12)i i i i i i i ++==--+（.212ii+∴-的共轭复数是i -.6.（2020·辽宁高考文科·Ｔ2）i 为虚数单位，=+++7531111i i i i （A ）0 （B ）2i （C ）-2i （D ）4i 【思路点拨】本题考察复数的运算． 【精讲精析】选A ，01111753=+-+-=+++i i i i ii i i . 7.（2020·广东高考文科·Ｔ1）设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则z=（ ） （A ）.-i （B ）.i （C ）.-1 （D ）.1【思路点拨】由i z =1得iz 1=，再由复数的除法运算法则可求得z .【精讲精析】选A. 由i z =1得i iz -==1故选A.【精讲精析】选B.由21=+z i ）（得.1)1)(1()1(212i i i i iz -=-+-=+=故选B.9.（2011·山东高考理科·Ｔ2）复数Z=22ii-+(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【思路点拨】先将复数Z 化为标准形式，再判断所在象限 【精讲精析】选D.()()()()i i i i i i i i Z 5453543222222-=-=-+--=+-=，所以Z 在第四象限 10.（2020·辽宁高考理科·Ｔ１）a 为正实数，i 为虚数单位，2a ii+=，则a = （A ）2 （B ）3 (C)2 (D)1 【思路点拨】先化简，再利用复数的模列式可求解． 【精讲精析】选B ，因为2a ii+=，故可化为21=-ai ，又由于a 为正实数，所以1+a 2=4，得a =3，故选B ．11.（2020·北京高考理科·T2）复数212i i -+=（ ） （A ）i （B ）i - （C ）4355i -- （D ）4355i -+【思路点拨】本题考查复数的除法运算.8.（2020·广东高考理科·Ｔ1）设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z= A ．1+i B ．1-i C ．2+2i D ．2-2i【思路点拨】由(1+i)z=2得iz +=12，再由复数的除法运算法则可求得z .【精讲精析】选A.2(2)(12)22412(12)(12)5i i i i ii i i i ---+-+===++-. 12.（2020·湖南高考理科·T1）若a,b R ∈,i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i ，则 A.a=1,b=1 B ．a=-1,b=1 C ．a=-1,b= -1 D ．a=1,b=-1【思路点拨】本题考查复数的虚数单位概念、复数的乘法运算和复数相等.【精讲精析】选D.Θ(a+i)i=b+i ，∴-1+ai=b+i ，再根据复数相等的充要条件得到a=1,b=-1. 13.（2020·湖南高考文科T2）若a 、b R ∈,i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i ，则 （A ）.a=1,b=1 （B ）．a=-1,b=1 （C ）．a=1,b=-1 （D ）．a=-1,b=-1 【思路点拨】本题考查复数的虚数单位、复数的乘法运算和复数相等.【精讲精析】选C.Θ(a+i)i=b+i ，∴-1+ai=b+i ，再根据复数相等的条件得到a=1,b=-1.14.（2020·江西高考理科·Ｔ1） 若12iz i+=，则复数z -=A. 2i --B. 2i -+C. 2i -D. 2i + 【思路点拨】先根据复数的除法运算求出z,再求复数z . 【精讲精析】选D.12iz i(12i)2i,z 2i.i+==-+=-∴=+Q 15.（2020·江西高考文科·Ｔ1）)2,,.2.2.-=+∈+=-++x i i y i x y R x yi A i B i C 若(、则复数 １-2i D.1+2i【思路点拨】先根据复数的乘法运算化简，再根据复数相等的定义求出x,y,最后求x+yi 的值. 【精讲精析】选B.(x i)i y 2i,1xi y 2i,x 2,y 1,x yi 2i.-=+∴+=+==∴+=+Q 根据复数相等的条件，得16.（2020·陕西高考理科·T7）设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|||2N x x i=-<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N I 为 （ ）（A ）（0，1） （B ）(0，1] （C ）[0，1) （D ）[0，1]【思路点拨】确定出集合的元素是关键.本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点. 【精讲精析】选C 22|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈，所以[0,1]M =； 因为1|2|x i -<所以||2x i +<即|()|2x i --<又因为2|()|1x i x --=+x ∈R ，所以11x -<<，即(1,1)N =-；所以[0,1)M N =I ，故选C.17.（2020·陕西高考文科·T8）设集合22{||cos sin |,M y y x x x ==-∈R }，{|||1xN x i=<，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N I 为（ ）(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]【思路点拨】确定出集合的元素是关键.本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点. 【精讲精析】选 C 22|cos sin ||cos 2|[0,1]y x x x =-=∈，所以[0,1]M =；因为||1xi<，即||1xi -<，所以||1x <，又因为x ∈R ，所以11x -<<，即(1,1)N =-；所以[0,1)M N =I ，故选C. 18.（2020·天津高考理科·T1）i 是虚数单位，复数131ii--= A ．2i +B ．2i -C ．12i -+D ．12i -- 【思路点拨】分子分母同乘以1i +，化简计算. 【精讲精析】选B ，13(13)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --+-===---+. 19.（2020·浙江高考理科·Ｔ2）把复数z 的共轭复数记作z ,i 为虚数单位.若z=1+i,则(1)+⋅=z z （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D)3 【思路点拨】本题考查复数的简单运算，注意2z z z ⋅=. 【精讲解析】选A.(1)+⋅=z z 2123z z i i +=-+=-.二、填空题21.（2020·江苏高考·Ｔ3）设复数z 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 【思路点拨】本题考查的是复数的运算，解题的关键是设出复数z 的代数形式z a bi =+，然后运算求得复数，找出实部.【精讲精析】答案:1.设z a bi =+，则(1)(1)(1)32i z i a bi b a i i +=++=-++=-+，所以1,3a b ==，复数z 的实部是1.20. （2020·浙江高考文科·Ｔ2）若复数1z i =+，i 为虚数单位，则(1)+⋅=z z （A ）13i + （B ）33i + （C ）3i - （D ）3 【思路点拨】本题考查复数的基本运算.。

第4讲 数系的扩充与复数的引入一、知识梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b ． (2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0），非纯虚数（a ≠0，b ≠0）.(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝ a 2＋b 2(r ≥0，a ，b ∈R )．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ―→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应平面向量OZ →. 3．复数的运算(1)复数的加、减 、乘、除运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad c ＋d i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．常用结论(1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. (3)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N *. (4)|z |2＝|z －|2＝z ·z －. 二、教材衍化1．计算1－i1＋i ＋2i ＝______．答案：i2．复数z ＝(x ＋1)＋(x －2)i(x ∈R )在复平面内所对应的点在第四象限，则x 的取值范围为______．答案：(－1，2)3．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．解析：因为z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，所以x ＝－1.答案：－1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ∈C ，则a 2≥0.( )(2)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( ) (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( ) (4)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、易错纠偏常见误区| (1)复数相等概念把握不牢固致误； (2)对复数的几何意义理解有误； (3)复数的分类把握不准导致出错．1．若a 为实数，且2＋a i1＋i＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4解析：选D ．由2＋a i1＋i ＝3＋i ，得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即a i ＝4i ，因为a 为实数，所以a ＝4.故选D ．2．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ．若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：选C ．因为A (6，5)，B (－2，3)，所以线段AB 的中点C (2，4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.故选C ．3．i 为虚数单位，若复数(1＋m i)(i ＋2)是纯虚数，则实数m 等于______．解析：因为(1＋m i)(i ＋2)＝2－m ＋(1＋2m )i 是纯虚数，所以2－m ＝0，且1＋2m ≠0，解得m ＝2.答案：2考点一 复数的有关概念(基础型) 复习指导| 理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．核心素养：数学抽象1．(2019·高考全国卷Ⅰ )设z ＝3－i1＋2i ，则|z |＝( )A ．2B ． 3C ． 2D ．1解析：选C ．法一：z ＝3－i1＋2i ＝（3－i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝1－7i5，故|z |＝|1－7i 5|＝505＝ 2.故选C ． 法二：|z |＝|3－i1＋2i |＝|3－i||1＋2i|＝105＝ 2.故选C ．2．(2020·郑州市第一次质量预测)若复数1＋2a i2－i (a ∈R )的实部和虚部相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．16D ．－16解析：选C ．因为1＋2a i 2－i ＝（1＋2a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2－2a 5＋1＋4a 5i ，所以由题意，得2－2a5＝1＋4a 5，解得a ＝16，故选C ．3．(2020·安徽省考试试题)z －是z ＝1＋2i 1－i 的共轭复数，则z －的虚部为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32解析：选C ．z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，则z －＝－12－32i ，所以z－的虚部为－32，故选C ．4．(2020·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i ，则a＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A ．由3－4i 3＝2－b i a ＋i 得，3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A ．解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．考点二复数的几何意义(基础型)复习指导|了解复数的代数表示法及其几何意义．核心素养：直观想象1．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则() A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1解析：选C．通解：因为z在复平面内对应的点为(x，y)，所以z＝x＋y i(x，y∈R)．因为|z－i|＝1，所以|x＋(y－1)i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.故选C．优解一：因为|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0，1)的距离为1，所以x2＋(y－1)2＝1.故选C．优解二：在复平面内，点(1，1)所对应的复数z＝1＋i满足|z－i|＝1，但点(1，1)不在选项A，D的圆上，所以排除A，D；在复平面内，点(0，2)所对应的复数z＝2i满足|z－i|＝1，但点(0，2)不在选项B的圆上，所以排除B．故选C．2．已知i为虚数单位，则复数1－i1＋2i的共轭复数在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B．1－i1＋2i＝（1－i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝－1－3i5，其共轭复数为－15＋35i，在复平面内对应的点位于第二象限，故选B．3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i(i为虚数单位)，则z1z2＝()A．－5 B．5C．－4＋i D．－4－i解析：选A．因为复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.4．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面内对应的点分别为A，B，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1，2)， OB →＝(1，－1)， 根据OC →＝λOA →＋μOB →得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以λ＋μ＝1.答案：1复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．考点三 复数代数形式的运算(基础型) 复习指导| 能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．核心素养：数学运算1．(2019·高考全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝2i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－iD ．1＋i解析：选D ．z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2＋2i 2＝1＋i.2．(2020·新疆乌鲁木齐一模)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2＋2z －1＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．2iD ．－2i解析：选B ．因为z ＝1＋i ，所以z 2＋2z －1＝（1＋i ）2＋21＋i －1＝2＋2i i ＝（2＋2i ）（－i ）－i 2＝2－2i.故选B ．3．若复数z 满足2z ＋z ·z －＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．－1－i B ．－1－2i C ．－1＋2iD ．1－2i解析：选B ．设z ＝a ＋b i ⇒2(a ＋b i)＋(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＋2a ＋2b i ＝3－4i ⇒a ＝－1，b ＝－2⇒z ＝－1－2i.4．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i为纯虚数，则a ＋i 2 0201＋i ＝( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i解析：选D ．z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数， 则有a 2－1＝0，a ＋1≠0， 得a ＝1，则有1＋i 2 0201＋i ＝1＋11＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i.复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．[基础题组练]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i ，则在复平面内z －对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C ．由题意，得z －＝－3－2i ，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C ．2．若复数z ＝a1＋i ＋1为纯虚数，则实数a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A ．因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a2＋1＝0且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A ．3．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2，则复数z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i解析：选B ．法一：因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，则复数z的虚部为－1.故选B ．法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1＋i)(a ＋b i)＝a －b ＋(a ＋b )i ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝0，解得a＝1，b ＝－1，所以复数z 的虚部为－1.故选B ．4．若复数z 满足z 1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则共轭复数z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1－iD ．－1＋i解析：选B ．由题意，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，所以z －＝1－i ，故选B ． 5．已知⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－4D ．4解析：选A ．因为⎝⎛⎭⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ， 所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A ．6．已知i 为虚数单位，则（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A ．法一：（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝10－5i2－i＝5，故选A ．法二：（2＋i ）（3－4i ）2－i ＝（2＋i ）2（3－4i ）（2＋i ）（2－i ）＝（3＋4i ）（3－4i ）5＝5，故选A ．7．若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C ． 2D ． 3解析：选C ．因为z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以|z |＝ 2.故选C ．8．已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B ．7或－7 C ．－ 3D ． 3解析：选A ．法一：由题意可知z －＝a －3i ，所以z ·z －＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.法二：z ·z －＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1. 9．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i解析：选C ．因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C ． 10．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45解析：选D ．因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以z 的虚部为45. 11．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．1＋iB ．35＋45iC ．1＋45iD ．1＋43i解析：选B ．因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝（2＋i ）25＝35＋45i ，故选B ．12．(多选)设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z 2＋|z |＝0且|z |≠0，则( ) A ．|z |＝1 B ．z ＝1－i C ．z ＝±iD ．z －z ＝1解析：选ACD ．由z 2＋|z |＝0且|z |≠0，得|z |＝－z 2，|z |＝|z 2|，故|z |＝1，即x 2＋y 2＝1.所以x 2－y 2＋2xy i ＋x 2＋y 2＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＋x 2＋y 2＝0，2xy ＝0，当x ＝0时，y 2＝1，则y ＝±1，所以z ＝±i ；当y ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，x 2＋x 2＝0，无解．13．设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________． 解析：复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i. 答案：2－i14．已知复数z ＝4＋2i（1＋i ）2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________．解析：z ＝4＋2i （1＋i ）2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.答案：－515．当复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i(m ∈R )的模最小时，4iz ＝________．解析：|z |＝（m ＋3）2＋（m －1）2＝2m 2＋4m ＋10＝2（m ＋1）2＋8，所以当m ＝－1时，|z |min ＝22，所以4i z ＝4i 2－2i ＝4i （2＋2i ）8＝－1＋i. 答案：－1＋i16．已知复数z 1＝1－i ，z 2＝4＋6i(i 为虚数单位)，则z 2z 1＝________；若复数z ＝1＋b i(b ∈R )满足z ＋z 1为实数，则|z |＝________．解析：因为z 1＝1－i ，z 2＝4＋6i ，所以z 2z 1＝4＋6i 1－i ＝（4＋6i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋10i 2＝－1＋5i.因为z ＝1＋b i(b ∈R )，所以z ＋z 1＝2＋(b －1)i ，又因为z ＋z 1为实数，所以b －1＝0，得b ＝1.所以z ＝1＋i ，则|z |＝ 2.答案：－1＋5i 2[综合题组练]1．(创新型)若实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i(其中i 2＝－1)，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，则A ∩∁R B 为( )A ．∅B ．{0}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |－2<x <0或0<x <1}解析：选D ．由于只有实数之间才能比较大小，故a 2＋a ＋b i<2＋c i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a <2，b ＝c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <1，b ＝c ＝0，因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故A ∩∁R B ＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．2．(多选)在复平面内，下列命题是真命题的是( )A ．若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R B ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈RC ．若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2D ．若复数z ∈R ，则z －∈R解析：选AD ．A ．设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b i （a ＋b i ）（a －b i ）＝a a 2＋b 2－b a 2＋b 2i ，若1z ∈R ，则b ＝0，所以z ＝a ∈R ，故A 为真命题； B ．若复数z ＝i ，则z 2＝－1∈R ，但z ∉R ，故B 为假命题；C ．若复数z 1＝i ，z 2＝2i 满足z 1z 2＝－2∈R ，但z 1≠z －2，故C 为假命题；D ．若复数z ＝a ＋b i ∈R ，则b ＝0，z －＝z ∈R ，故D 为真命题．3．(应用型)(2020·成都第二次诊断性检测)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x的最大值是________．解析：因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3. 因为y x是复数x ＋y i 对应点的斜率， 所以⎝⎛⎭⎫y x max ＝tan ∠AOB ＝3， 所以y x的最大值为 3. 答案： 34．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________． 解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i＝（－1＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i 2＝i ，对应的点的坐标为(0，1)． 答案：(0，1)5．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z －1＋z 2是实数，求实数a 的值． 解：z －1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13（a ＋5）（a －1）＋(a 2＋2a －15)i. 因为z －1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.因为a ＋5≠0，所以a ≠－5，故a ＝3.6．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数； ②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由． 解：这样的虚数存在，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5（a －b i ）a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. 因为z ＋5z 是实数，所以b －5b a 2＋b 2＝0. 又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数，所以a ＋3＋b ＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.。