创新设计江苏专用理科高考数学二轮专题复习——专题七 附加题(课件+提升训练)(共31张PPT)(13

专题七 附加题（选做部分）第2讲 矩阵与变换练习 理1.(2014·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－121x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数.若Aα＝Bα，求x ＋y 的值.解 由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－121 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，Bα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y . 因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72. 2.(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，0)，B (－2，0)，C (－2，1).设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值.解 由题设得，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0 k 0 －2 －2，可知A 1(0，0)、B 1(0，－2)、C 1(k ，－2).计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知：|k |＝2×1＝2. 所以k 的值为2或－2. 3.(2011·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 243，设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 243 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.4.(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，求矩阵A 的特征值. 解 因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3 －2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.5.(2013·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B . 解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 6.(2016·苏州调研)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换成(9，15)，求矩阵M .解 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915， 故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15.联立以上两方程组，解得a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4－3 6.。

专题七 附加题（选做部分）第1讲 几何证明选讲练习 理1.(2016·南京、盐城模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，点C ，E 为垂足，连接AD ，BD ，若AC ＝4，DE ＝3，求BD 的长.解 因为CD 与⊙O 相切于点D ，所以∠CDA ＝∠DBA ，又AB 为⊙O 的直径，所以∠ADB ＝90°.又DE ⊥AB ，所以△EDA ∽△DBA ，所以∠EDA ＝∠DBA ，所以∠EDA ＝∠CDA .又∠ACD ＝∠AED ＝90°，AD ＝AD ，所以△ACD ≌△AED .所以AE ＝AC ＝4，所以AD ＝AE 3＋DE 2＝5. 又DE BD ＝AE AD ，所以BD ＝DE AE ·AD ＝154. 2.(2010·江苏卷)AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .证明 连接OD ，则OD ⊥DC ，又OA ＝OD ，DA ＝DC ，所以∠DAO ＝∠ODA＝∠DCO ，∠DOC ＝∠DAO ＋∠ODA ＝2∠DCO ，所以∠DCO ＝30°，∠DOC＝60°，所以OC ＝2OD ，即OB ＝BC ＝OD ＝OA ，所以AB ＝2BC .3.(2011·江苏卷)如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1＞r 2)，圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上).求证：AB ∶AC 为定值.证明 如图，连接AO 1并延长，分别交两圆于点E 和点D .连接BD ，CE .因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径.从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值. 4.(2013·江苏卷)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .证明 连接OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .所以BC OD ＝AC AD.又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .5.(2012·江苏卷)如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连接AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .证明 连接OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点，所以OD ∥AC ，于是∠ODB＝∠C .因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B 于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C .6.(2016·全国Ⅰ卷)如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆. (1)证明：直线AB 与⊙O 相切；(2)点C ，D 在⊙O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，证明：AB ∥CD .证明 (1)设E 是AB 的中点，连接OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°，在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ，即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切.(2)连接OD ，因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心.设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB .同理可证OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .。

1.(2022·南通调研)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，AB ＝1，AD ＝AS ＝2，P 是棱SD 上一点，且SP ＝12PD . (1)求直线AB 与CP 所成角的余弦值； (2)求二面角A －PC －D 的余弦值.解 (1)如图，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AS 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，2，0)，D (0，2，0)，S (0，0，2). 设P (x 0，y 0，z 0)，由SP →＝13SD →得(x 0，y 0，z 0－2)＝13(0，2，－2)，所以x 0＝0，y 0＝23，z 0＝43，点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，43. CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－43，43，AB →＝(1，0，0).设直线AB 与CP 所成的角为α，由图可知，α为锐角， 则cos α＝AB →·CP →|AB →||CP →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×0＋43×01＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432×1＝34141.(2)设平面APC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由于AC→＝(1，2，0)，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，43， 所以⎩⎨⎧m ·AC →＝x 1＋2y 1＝0，m ·AP →＝23y 1＋43z 1＝0. 令y 1＝－2，则x 1＝4，z 1＝1，m ＝(4，－2，1). 设平面DPC 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由于DC→＝(1，0，0)，CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－43，43， 所以⎩⎨⎧n ·DC →＝x 2＝0，n ·CP →＝－x 2－43y 2＋43z 2＝0， 令y 2＝1，则z 2＝1，n ＝(0，1，1). 设二面角A －PC －D 的大小为θ，由于cos 〈m ，n 〉＝0×4＋1×（－2）＋1×12×21＝－4242，由于θ为钝角，所以cos θ＝cos 〈m ，n 〉＝－4242.2.(2021·山东卷)如图，在三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点.(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，CF ＝DE, ∠BAC ＝45° ，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.(1)证明 法一 连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝O ，连接OH ，在三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点， 可得DF ∥GC ，DF ＝GC ， 所以四边形DFCG 为平行四边形. 则O 为CD 的中点，又H 为BC 的中点， 所以OH ∥BD ，又OH ⊂平面FGH ，BD ⊄平面FGH ， 所以BD ∥平面FGH .法二 在三棱台DEF －ABC 中， 由BC ＝2EF ，H 为BC 的中点， 可得BH ∥EF ，BH ＝EF ， 所以四边形BHFE 为平行四边形，可得BE ∥HF .在△ABC 中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以GH ∥AB . 又GH ∩HF ＝H ，所以平面FGH ∥平面ABED . 由于BD ⊂平面ABED ， 所以BD ∥平面FGH .(2)解 设AB ＝2，则CF ＝1.在三棱台DEF －ABC 中，G 为AC 的中点，由DF ＝12AC ＝GC ，可得四边形DGCF 为平行四边形，因此DG ∥FC ，又FC ⊥平面ABC ， 所以DG ⊥平面ABC .在△ABC 中，由AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，G 是AC 中点. 所以AB ＝BC ，GB ⊥GC ， 因此GB ，GC ，GD 两两垂直. 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G －xyz .所以G (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，1). 可得H ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，F (0，2，1)，故GH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，GF →＝(0，2，1). 设n ＝(x ，y ，z )是平面FGH 的一个法向量， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·GH →＝0，n ·GF →＝0，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0.可得平面FGH 的一个法向量n ＝(1，－1，2). 由于GB→是平面ACFD 的一个法向量，GB →＝(2，0，0).所以cos 〈GB →，n 〉＝GB →·n |GB →|·|n|＝222＝12.所以平面FGH 与平面ACFD 所成角(锐角)的大小为60°.3.(2022·四川卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .E 为边AD 的中点，异面直线P A 与CD 所成的角为90°.(1)在平面P AB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由； (2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值.解 (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面P AB )，点M 即为所求的一个点.理由如下： 由已知，BC ∥ED ，且BC ＝ED .所以四边形BCDE 是平行四边形.从而CM ∥EB .又EB ⊂平面PBE ，CM ⊄平面PBE . 所以CM ∥平面PBE .(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)法一 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角.所以∠PDA ＝45°. 由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，C (2，1，0)，E (1，0，0). 所以PE→＝(1，0，－2)，EC →＝(1，1，0)，AP →＝(0，0，2). 设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0.得⎩⎨⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0.设x ＝2，解得n ＝(2，－2，1). 设直线P A 与平面PCE 所成角为α，则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋（－2）2＋12＝13. 所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13. 法二 由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD .从而CD ⊥PD . 所以∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角. 所以∠PDA ＝45°.设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH .易知P A ⊥平面ABCD ，从而P A ⊥CE .且P A ∩AH ＝A ，于是CE ⊥平面P AH .又CE ⊂平面PCE 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22.在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322.所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.4.(2022·浙江卷)如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3. (1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B －AD －F 的平面角的余弦值.(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示.由于平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC .又由于EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ， 且CK ∩AC ＝C ， 所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 法一 如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形.取BC 的中点O ，连接KO ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC .以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x ，z 的正方向， 建立空间直角坐标系O －xyz .由题意得B (1，0，0)，C (－1，0，0)，K (0，0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32.因此，AC→＝(0，3，0)，AK →＝(1，3，3)，AB →＝(2，3，0).设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3).于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34.所以，二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34. 法二 过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ .由于BF ⊥平面ACK ，所以BF ⊥AK ，则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK . 所以∠BQF 是二面角B －AD －F 的平面角.在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得AK ＝13，FQ ＝31313. 在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3， 得cos ∠BQF ＝34.所以，二面角B －AD －F 的平面角的余弦值为34.5.(2022·苏北四市模拟)如图，△ABC 和△BCD 所在平面相互垂直，且AB ＝BC ＝BD ＝2，∠ABC ＝∠DBC ＝120°，E ，F 分别为AC ，DC 的中点. (1)求证：EF ⊥BC ；(2)求二面角E －BF －C 的正弦值.法一 (1)证明 由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 作垂直BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.易得B (0，0，0)，A (0，－1，3)，D (3，－1，0)，C (0，2，0).因而E (0，12，32)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－32，BC →＝(0，2，0)，因此EF→·BC →＝0.从而EF →⊥BC →，所以EF ⊥BC .(2)解 平面BFC 的一个法向量为n 1＝(0，0，1). 设平面BEF 的法向量n 2＝(x ，y ，z )， 又BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32.由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BF→＝0，n 2·BE →＝0，得其中一个n 2＝(1，－3，1).设二面角E －BF －C 大小为θ，且由题意知θ为锐角，则 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝15，∴cos θ＝55，因此sin θ＝25＝255，即所求二面角的正弦值为255.法二 (1)证明 过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连接OF . 由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC . 所以∠EOC ＝∠FOC ＝π2， 即FO ⊥BC .又EO ⊥BC ，EO ∩FO ＝O ，EO ，FO ⊂平面EFO ，因此BC ⊥平面EFO ， 又EF ⊂平面EFO ， 所以EF ⊥BC .(2)解 过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连接EG . 由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平面BDC ， BF ⊂平面BDC ，∴BF ⊥EO ， 又OG ⊥BF ，又EO ∩OG ＝O ，所以BF ⊥平面EOG ，又EG ⊂平面EOG ， 所以EG ⊥BF .因此∠EGO 为二面角E －BF －C 的平面角.在△EOC 中，EO ＝12EC ＝12BC ·cos 30°＝32， 由△BGO ∽△BFC 知，OG ＝BO BC ·FC ＝34，因此tan ∠EGO ＝EO OG ＝2，从而sin ∠EGO ＝255，即二面角E ­BF ­C 的正弦值为255. 6.(2022·北京海淀区二模)如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点.在五棱锥P －ABCDE 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H . (1)求证：AB ∥FG ；(2)若P A ⊥底面ABCDE ，且P A ＝AE .求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长. (1)证明 在正方形AMDE 中，由于B 是AM 的中点， 所以AB ∥DE .又由于AB ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， 所以AB ∥平面PDE . 由于AB ⊂平面ABF ，且平面ABF ∩平面PDE ＝FG ， 所以AB ∥FG .(2)解 由于P A ⊥底面ABCDE ， 所以P A ⊥AB ，P A ⊥AE .如图建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (2，1，0)，P (0，0，2)，F (0，1，1)，BC →＝(1，1，0).设平面ABF 的法向量为 n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AF →＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＋z ＝0. 令z ＝1，则y ＝－1. 所以n ＝(0，－1，1). 设直线BC 与平面ABF 所成角为α，则cos 〈n ，BC →〉＝n ·BC →|n ||BC →|＝－12.∴sin α＝12，因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6.设点H 的坐标为(u ，v ，w ). 由于点H 在棱PC 上， 所以可设PH→＝λPC →(0＜λ＜1)，即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)， 所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ. 由于n 是平面ABF 的法向量， 所以n ·AH→＝0，即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0. 解得λ＝23，所以点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，23.所以PH ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝2.。

第2讲计数原理.数学归纳法.随机变量及其分布列1.(2012-江苏卷)设：为随机变量，从棱长为1的止方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，f=o；当两条棱平行时，d的值为两条棱Z间的距离；当两条棱异面时，F=i.⑴求概率p(e=o)；(2)求F的分布列，并求其数学期望£忆)・解(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8&对相交棱，因此尸(&0)=筆=詈=普.(2)若两条棱平行，贝怕们的距离为1或迈，其中距离为迈的共有6对，故尸忆于是P(l= 1)= 1 -P(^=0)-P^=y/2)= 1 —晋一*=晋，所以随机变量d的分布列是因此E©=1 x 晋+辺x 77=^7^.2.(2015-山东卷)若"是一个三位正整数，且〃的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称〃为“三位递增数”(如137, 359, 567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次•得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字Z积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得一1分；若能被10整除，得1分.(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(2)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望Eg解(1)个位数是5的“三位递增数”有125, 135, 145, 235, 245, 345；(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为&=84,随机变量X的取值为：0, -1, 1,「3 2 「孑1因此P(X=0)=g=§, P(X= — 1)=总=盲，啓=1)=]_占_|=越所以X的分布列为2则E(A3 = 0X-+(-l)X—+ 1 X—=—3.(2013-江苏卷)设数列｛a n｝z 1, —2, — 2, 3, 3, 3, —4, —4, —4,——1 人口口、1, Jk—1) k k (£+1) 4,…，(―1/ 'k,…，(―1/ 'k个k,…，即勻时，a n = (—\/~]k9记S〃=QI+Q2----- ・对于比N；定义集合Pi=｛n\S n是给的整数倍，用N：且(1)求集合Fii中元索的个数；(2)求集合Eooo屮元索的个数.解(1)由数列｛d“｝的定乂得。

专题七附加题(必做部分)第1讲立体几何中的向量方法1. (2015-全国I卷)如图，四边形ABCD为菱形,ZMC=120。

，E, F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD, DF丄平面ABCD, BE = 2DF,AE±EC.(1)证明：平面4EC丄平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.(1)证明如图，连接设BDQ/C=G,连接EG, FG, EF.在菱形ABCD中，不妨设GB=l.由Z/BC=120。

，可得AG=GC=y/3.由3E丄平面ABCD, AB=BC,可知AE=EC.乂AE1EC,所以EG=£,且EG丄/C.在Rt /\EBG中，可得BE=迄,故QF=*.在R( /\FDG中，可得FG=¥.在直角梯形BDFE中，由BD=2, BE=£, DF=誓,可得EF=学,从而EG2+FG2=EF29所以EG丄FG.又/CQFG=G,可得EG丄平面/FC.因为EGu平面AEC,所以平面AEC丄平面//FC.⑵解如图，以G为坐标原点，分别以葩，売的方向为x轴，尹轴正方向,|场|为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz,由⑴可得力（0,—羽，0）, £（1,C （0,帀,0）,所以殛=（1,书,迈），CF =所以肓线/IE 与直线CF 所成角的余弦值为平.2. （2015-安徽卷）如图所示，在多面体A\BQ\・DCBA,四边形AADB, ADD X A X ,ABCD 均为正方形，E 为BQ 】的中点，过几 D, E 的平面交CD 于F.（1）证明：EF 〃B\C ；（2）求二面角E-AyD-B x 的余弦值.⑴证明 由正方形的性质可知A X B X //AB//DC,且A iB [=AB=DC,所以四边 形A\B\CD 为平行四边形，从而B 、C 〃A\D,又/Qu 面AQE, 5CQ 面AQE, 于是 5C 〃面 A 、DE. 乂 B]Cu 面 B\CD ・面面 B\CD\=EF,所以EF//B\C.⑵解 因为四边形AA\B 、B, ADD ⑷,ABCD 均为正方形，所以 山|丄AA }±AD f 丄/ID 且AA }=AB=AD,以力为原点，分别以乔，AD,石]为x 轴，y 轴和z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0f 0, 0), 5(1, 0, 0), D(0, 1, 0),如(0, 0, 1), 0(1, 0, 1), Di(0,4ECF\AE\\CF故 cos 〈庞，CF>D —1,—羽, \0,迈)，F -1,所以E点的坐标为住, 1 1,1) 而E点为5D的中点,』］—1\ =0,(―1, 1，1)为其一组解，所以可取711=(—b h 1).设面A\B\CD 的法向量兀2=(尸2, S2,①，而该面上向量石方］=(1, 0, 0), AD=(0, 1, — 1),由此同理可得兀2 = (0, 1, 1).所以结合图形知二面角E ・A\D ・B\的余弦值为册箫茄导.3. (2014-新课标全国I 卷)如图，三棱柱ABC-AxB }C }中，侧面BB\C\C 为菱形，ABLBxC.(1) 证明：AC=4Bi ；(2) 若/C 丄力5，ZCBBi=60°, AB=BC,求二面角 A-A\B X -C X 的余弦值. ⑴证明连接BC 、,交BiC 于点O,连接力0.因为侧面BB\C\C 为菱形，所以5C 丄BC\,且O 为5C 及的中点. 又AB 丄B\C,4BQBO=B,所以5C 丄平面/BO.由于/Ou 平面ABO,故5C 丄力0・ 又 B\O=CO, ^AC=AB }.(2)解 因为/C 丄AB if 且O 为5C 的中点，所以AO=CO ・又因为AB=BC,所以△ BOA 竺5BOC.故CU 丄03,从而CM, OB, O 厲两两互相垂直.设面A\DE 的法向量wi = (ri ，5i ，“)，而该面上向量施=|j, 2(0, L 一1),由〃i 丄石Hh 应满足的方程组1=0,AJ)=以O为坐标原点，OB,爾,刃的方向分别为兀轴、尹轴、z轴的正方向，\OB |为单位长，建立如图所示的空间宜角坐标系Oxyz•因为ZCBB、=60°, 所以△CB5为等边三角形.又AB=BC, OC=OA,则彳0, 0, 5(1, 0, 0), 5(0,卑0)4= AB = 1,AB\= (°,爭,(-1,\-申,o)设n — (xjyz)是平面AA\B\的法向量，则3厂3厂°'0,0, ,B^Cx = BC =n-A\B\=Q,所以可取兀=(1,羽，羽).设加是平面A i B i C i的法向量，则m-B\C\=0.同理可取加=(1,—羽,萌).则cos {n, m)所以二面角A-A^B^Ci的余弦值为沪4. (2015-浙江卷)如图，在三棱柱ABCA\BC中，Z5^C=90°, AB=AC=2, A{A=4, Mi在底面/BC的射影为BC的中点，D是3C1的中点.(1)证明：丄平面AxBC,(2)求二面角AxBDB x的平面角的余弦值.⑴证明设E为BC的中点，由题意得//丄平面M?C,所以//丄/E. 因为MFC,所以M丄BC・故ME丄平面右BC.由D, E分别为5C], BC的中点，得DE//B\B且^TTu DE//A\A DE=A X A,所以A\AED为平行四边形.故A\D//AE.又因为/E丄平面A\BC,所以丄平面A X BC.⑵解法一作4F丄且4FCBD=F,连接5F. 由AE=EB=^2, ZA}EA=ZA}EB=90°f得A i B=A i A=4. 由A\D=B\D, A、B=B\B,得△儿DB 与厶BQB 全等.由4F丄BD,得B、F丄BD,因此SFB i为二面角A\BDB 1的平面角.由4Q=迄,AiB=4f ZDA l B=90°f得L 4 1BD=3yfi, M\F=B\F=w由余弦定理得cosZA}FB} = -^故二面角AyBDBy的平而角的余弦值为一右A B法二以CB的中点E为原点，分别以射线以，EB为X, y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Erpz,如图所示.7由题意知各点坐标如下：力1（0, 0, V14）, 5（0,迈，0）, D（_d 0, 0）, 31（—迈，迈，回）.因此丽=（0,孙-V14）, 5£）=（-^2,—迈，0）,屈|=（0, 0）.设平面如80的法向量为加=（力，力,zi）,平面B/D的法向量为n=（x29力,陸=(1,荒i=(—2, 0, 2),寿=(—I, 0, 2),0)，Z2)・石B=0, a i ^y/2yi —y[\^z\—Q, —y^2x\ —y[2y\ +y[l4z\=0,可取m = (0,⑴，1)・\nDB {=Q, nBD=O f可取〃=(羽，0, 1).于是|cos </w, ?i) | =爲.需=£.由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角AxBDBx 的平面角的余眩 值为-£5. (2014-湖北卷)如图，在棱长为2的正方体4BCD4\B\CQi 中，E, F, M, N 分 别是棱力3, AD,力為，/Qi 的中点，点P ，0分别在棱DD ，BB\上移动， 且DP=BQ=A (0<A<2)・Dr(1) 当人=1时，证明：直线BCy//平面EFP0(2) 是否存在儿 使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在， 求出久的值；若不存在，说明理由.解 以D 为原点，射线D4, DC, DD 分别为x, y, z 轴的正半轴建立如图所 示的空间直角坐标系由已知得5(2, 2, 0), C|(0, 2, 2), £(2, 1, 0), F(], 0, 0), P(0,0, A). m ・ m^BD=O,y/2y2=0,—y[2x2—迈力 + V^Z2 — 0,⑴证明 当久=1时，帀=(—1, 0, 1),因为5Ci = (-2, 0, 2),所以陀1 =2序，即 BCJ/FP.而FFu 平面EFP0 且BC&平面EFPQ,故直线BCJ 平面EFPQ.FP ・“=0,同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m = (A-2, 2—久，1)・若存在儿使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则加・〃 = (久一2,2-2, 1).(2,—儿 1)=0,即 A(2-2)-A(2-A)+l=0,解得 2=1±半.故存在6.如图，四棱柱ABCD-A x B x CxD\中，侧棱力必丄底面/BCD AB//DC, AB 丄AD,AD=CD=\, AA {=AB=2f E 为棱 九£ 的中点.(1) 证明5Ci 丄CE ；(2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为w = (x, y, z),则由FEn = G,可得兀+卩=0, —/^ 1).(2)求二面角B\CEC\的正弦值；(3)设点M在线段C\E上，且育线与平面ADD\A X所成角的正弦值为求线段的长. 解如图，以点力为原点建立空间直角坐标系，依题意得力(0, 0, 0), 5(0,0, 2), C(l, 0, 1), 5(0, 2, 2), Ci(l, 2, 1), E(0, 1, 0).(1)证明易得必1=(1, 0, -1),C£=(-l, 1, -1),于是威1•住=0,所以6C1丄CE.（2）卓 =（1, -2, 一1）・设平面5CE 的法向量加= （x,力z ）,m • B]C=0，[x~2y —z =0^ 则 即 : 八消去X,得y+2z=0,不妨令7=1,可得 [nvCE=0, l-x+y-z=0.一个法向量为加=(一3, -2, 1).由（1）, B 、C 」CE, 乂 CG 丄B\C\,可得耳G 丄平面CEC 、,故必尸（1, 0, 一1）为平面CECi 的一个法向量.吟 所以二面角B\CEC\的正弦值为孕. (3) 庞=(0, 1, 0),免i=(l, 1, 1),设EM=AEC }=(X, /, z), 0WNW1,有AM=AE+EM=Q… z+1, 2）.可取石=（0, 0, 2）为平面 ADD {A X 的一个法 向量.设&为直线与平面ADDxAy 所成的角，则sin0=|cos {AM, AB ） | =凶"個\AM\\AB\___________ U ________________ 2于是cos 〈加，乙〉 2^7 7 从而sin {m 5rCi )=—册+ G+l）吟尸X 2—寸3”+2久+1，3”；2卄厂習'解得久=+（负值舍去），所以4M=&.于是寸。

专题七 数学思想方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想练习文一、填空题1.直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m ＝________. 解析 圆的方程(x －1)2＋y 2＝3，圆心(1，0)到直线的距离等于半径⇒|3＋m |3＋1＝3⇒|3＋m |＝23⇒m ＝3或m ＝－3 3. 答案 －33或 32.已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是________.解析 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0，1]的函数. 又f (x )＝lg x ，则x ∈(0，10]，画出两函数图象， 则交点个数即为解的个数. 由图象可知共9个交点.答案 93.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为________.解析 f ′(x )＞2转化为f ′(x )－2＞0，构造函数F (x )＝f (x )－2x ， 得F (x )在R 上是增函数.又F (－1)＝f (－1)－2×(－1)＝4，f (x )＞2x ＋4， 即F (x )＞4＝F (－1)，所以x ＞－1. 答案 (－1，＋∞)4.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是________.解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA →⊥CB →，∴O ，A ，C ，B 四点共圆.∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →|＝ 2. 答案25.已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1，2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________.解析 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，画出草图如图所示.由图象可知函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1，2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞). 答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)6.(2015·全国Ⅱ卷改编)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上， △ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为________.解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则AB ＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴BM ＝AB ＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝MN ＝BM sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝OB ＋BN ＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (2a ，3a )的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝ 2. 答案27.已知e 1，e 2是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b 满足|b |＝2，b ·e 1＝1，b ·e 2＝1，则对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|的最小值为________.解析 |b －(x e 1＋y e 2)|2＝b 2＋x 2e 21＋y 2e 22－2x b ·e 1－2y b ·e 2＋2xy e 1·e 2＝4＋x 2＋y 2－2x －2y ＝(x －1)2＋(y －1)2＋2≥2，当且仅当x ＝1，y ＝1时，|b －(x e 1＋y e 2)|2取得最小值2，此时|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值 2. 答案28.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________. 解析 设直线l 的方程为x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 把直线l 的方程代入抛物线方程y 2＝4x 并整理得y 2－4ty －4m ＝0，则Δ＝16t 2＋16m ＞0，y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m ，那么x 1＋x 2＝(ty 1＋m )＋(ty 2＋m )＝4t 2＋2m ，则线段AB 的中点M (2t 2＋m ，2t ).由题意可得直线AB 与直线MC 垂直，且C (5，0). 当t ≠0时，有k MC ·k AB ＝－1，即2t －02t 2＋m －5·1t＝－1，整理得m ＝3－2t 2， 把m ＝3－2t 2代入Δ＝16t 2＋16m ＞0， 可得3－t 2＞0，即0＜t 2＜3.由于圆心C 到直线AB 的距离等于半径， 即d ＝|5－m |1＋t2＝2＋2t21＋t2＝21＋t 2＝r ， 所以2＜r ＜4，此时满足题意且不垂直于x 轴的直线有两条. 当t ＝0时，这样的直线l 恰有2条，即x ＝5±r ，所以0＜r ＜5. 综上，可得若这样的直线恰有4条，则2＜r ＜4. 答案 (2，4) 二、解答题9.已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5. (1)求{a n }的通项a n ；(2)求{a n }前n 项和S n 的最大值.解 (1)设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋4d ＝－5，解得a 1＝3，d ＝－2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5. (2)S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋4n ＝4－(n －2)2.所以n ＝2时，S n 取到最大值4.10.椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围.解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，设c ＞0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22， 所以a ＝1，b ＝c ＝22. 故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1.即y 2＋2x 2＝1.(2)当直线l 的斜率不存在时，由题意求得m ＝±12；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，2x 2＋y 2＝1，得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)＞0，(*)解上述方程后易得：x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3 PB →，所以－x 1＝3x 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2，x 1x 2＝－3x 22. 所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0.所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0. 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2＞2m 2－2， 又k ≠0，所以k 2＝2－2m24m 2－1＞0.解得－1＜m ＜－12或12＜m ＜1.综上，所求m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 11.设函数f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝bx 2－ln x (a ，b ∈R )，已知它们在x ＝1处的切线互相平行.(1)求b 的值； (2)若函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≤0，g （x ），x ＞0，且方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围.解 函数g (x )＝bx 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， (1)f ′(x )＝3ax 2－3a ⇒f ′(1)＝0，g ′(x )＝2bx －1x⇒g ′(1)＝2b －1，依题意得2b －1＝0，所以b ＝12.(2)x ∈(0，1)时，g ′(x )＝x －1x＜0，即g (x )在(0，1)上单调递减，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x＞0，即g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，g (x )取得极小值g (1)＝12；当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有四个解；当a ＜0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－∞，－1)上单调递减，x ∈(－1，0)时，f ′(x )＞0，即f (x )在(－1，0)上单调递增，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ， 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(1)所示， 从图象可以看出F (x )＝a 2不可能有四个解. 当a ＞0，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0， 即f (x )在(－∞，－1)上单调递增，x ∈(－1，0)时，f ′(x )＜0，即f (x )在(－1，0)上单调递减，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a . 又f (0)＝0，所以F (x )的图象如图(2)所求，从图(2)看出，若方程F (x )＝a 2有四个解，则12＜a 2＜2a ，得22＜a ＜2， 所以，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，2.。