2021年江苏省高考数学总复习：数列

【高考复习】2021年高考数学知识点总结：数列一、排列组合与二项式定理知识点1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1・n2・n3・…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类)2. 排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)­…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n!Cnm = n!/(n-m)!m!Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题) 间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+­…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。

(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran-rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。

2021年高考数学解答题专项复习-《数列》1.设{a}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．2.设{a}是等差数列，且a1=ln2,a2+a3=5ln2.n（1）求{a n}的通项公式；（2）求错误!未找到引用源。

.3.设数列{a}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.n（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n·b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n.4.已知{a}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．5.已知数列{a}前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N+,数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N+.n(1)求a n和b n的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.6.已知数列{a}和{b n}满足a1=1，b1=0，，.n（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式.7.S为数列{a n}的前n项和.已知a n＞0，=.n（1）求{a n}的通项公式；（2）设 ,求数列{b n}的前n项和.8.已知等差数列{a}满足a3=6，前7项和为S7=49.n（1）求{a n}的通项公式（2）设数列{b n}满足b n=(a n-3)·3n，求{b n}的前n项和T n.9.设数列{a}满足a1+3a2+...+(2n-1)a n=2n.n（1）求{a n}通项公式；（2）求数列的前n项和．10.已知等比数列{a}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，n数列{（b n+1-b n）a n}的前n项和为2n2+n．（1）求q的值；（2）求数列{b n}的通项公式．11.已知数列{a}是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，，求数列{b n}的前n项和T n．12.已知数列{a}为递增的等差数列，其中a3=5，且a1,a2,a5成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）设记数列{b n}的前n项和为T n，求使得成立的m的最小正整数．13.等比数列{a}的各项均为正数，且.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列的前n项和T n.14.已知数列{a}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设错误!未找到引用源。

2021年高考数学复习数列问题的题型与方法教案苏教版一．复习目标：1．能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式解题；2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前项的和；3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．二．考试要求：1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。

2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题。

3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题。

4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

2021高考数学数列数列是数学中的重要概念之一，也是高考数学考查的重点内容之一。

在2021年的高考数学考试中，数列仍然是必考的知识点。

本文将围绕2021高考数学数列展开讨论，从数列的定义、分类、性质以及解题方法等方面进行分析和总结，帮助考生更好地掌握数列相关知识，为高考取得优异成绩提供帮助。

一、数列的定义和分类数列是按照一定规律排列的一组数的集合。

通常用数学公式表示为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中a₁, a₂, a₃, ...是数列的项。

数列可以分为等差数列和等比数列两大类。

等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

例如，{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个等差数列，其中公差为2。

等比数列是指数列中相邻两项之比保持恒定的数列。

例如，{2, 4, 8, 16, 32, ...}就是一个等比数列，其中公比为2。

二、数列的性质数列具有一些重要的性质，掌握这些性质对于解题非常有帮助。

1. 公差/公比的性质：对于等差数列，任意两项的差等于公差；对于等比数列，任意两项的比等于公比。

2. 通项公式：数列中的每一项可以通过通项公式来表示。

对于等差数列，通项公式为an=a₁+(n-1)d；对于等比数列，通项公式为an=a₁r^(n-1)，其中an表示第n项，a₁表示首项，d表示公差，r表示公比。

3. 前n项和公式：数列的前n项和表示为Sn=a₁+a₂+...+an。

对于等差数列，前n项和公式为Sn=(a₁+an)n/2；对于等比数列，前n项和公式为Sn=a₁(1-r^n)/(1-r)。

三、数列的解题方法解题时，需要根据题目给出的条件来确定数列的类型，然后利用数列的性质进行分析和计算。

1. 求第n项：如果已知数列的通项公式，可以通过将n代入公式中计算出第n项的值。

2. 求前n项和：如果已知数列的通项公式，可以通过将n代入前n 项和公式中计算出前n项和的值。

3. 求公差/公比：如果已知数列的前几项，可以利用这些项之间的关系来求出公差或公比。

数 列一、高考要求理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前n 项.理解等差（比）数列的概念，把握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些学问来解决一些实际问题.了解数学归纳法原理，把握数学归纳法这一证题方法，把握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 二、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般状况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列全部项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式学问的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类争辩等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势 （1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻生疏函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和力气的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 （2）数列推理题是新毁灭的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查规律推理力气，近两年在数列题中也加强了推理力气的考查。

（3）加强了数列与极限的综合考查题3.娴熟把握、机敏运用等差、等比数列的性质。

等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用格外广泛，且格外机敏，主动发觉题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁秀丽 .如243546225a a a a a a ++=，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有223355225a a a a ++=，即235()25a a +=. 4.对客观题，应留意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发觉，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下： ①借助特殊数列. ②机敏运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加精确 、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有机敏、简捷的解法5.在数列的学习中加强力气训练 数列问题对力气要求较高，特殊是运算力气、归纳猜想力气、转化力气、规律推理力气更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法机敏多变，而解答题更是考查力气的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理力气的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平常要加强对力气的培育。

等差数列高考大纲思维导图讲义导航知识梳理一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示二、等差数列的通项公式等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．三、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．四、等差数列的求和公式等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和的公式：①()12nnn a aS+=；②()112nn nS na d-=+．五、等差数列最值求解等差数列前n项和的最值问题可转化为项的正负问题，也可转化为二次函数最值问题.例题讲解一、等差数列定义的理解例1．下面数列中，是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④110，210，310，410，… A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个例2．下列数列中不是等差数列的为（ ） A.0，0，0，0，0 B.0，1-，2-，3-，4- C.2，3，4，5，6 D.0，1，2，1，0二、等差数列通项公式例1．在等差数列{}n a 中，已知32a =，5815a a +=，则10(a = ) A ．64 B ．26C ．18D ．13例2．在等差数列{}n a 中，214a =，55a =，则公差(d = )A ．2-B ．3-C ．2D ．3例3．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则公差等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8三、等差数列的性质例1．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20 C ．24 D ．28例2．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17例3．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是( )A ．(2,4)B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．(4,)+∞四、等差数列的求和公式例1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1B ．53C ．83D ．3例2．等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于( ) A ．99 B ．66C ．144D ．297例3．设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．23X Z Y +=B ．44X Z Y +=C ．237X Z Y +=D ．86X Z Y +=六、等差数列最值求解例1．已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（ ）． A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在例2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值_______．例3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，214a =，且a 4+a 5=6a 3．练习A1．下列说法中正确的是（ ）A.若a ，b ，c 成等差数列，则222,,a b c 成等差数列B.若a ，b ，c 成等差数列，则222log ,log ,log a b c 成等差数列C.若a ，b ，c 成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列D.若a ，b ，c 成等差数列，则2,2,2a b c 成等差数列2．已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ） 1 4，5，6，7，8，... 2 3，0，-3，0，-6，... 3 0，0，0，0， (4)1234,,,,10101010… A.1 B.2C.3D.43．已若{}n a 是等差数列，则由下列关系确定的数列{}n b 也一定是等差数列的是（ ）A. 2n n b a =B. 2n n b a n =+C. 1n n n b a a +=+D. n n b na =4．已知数列{}n a 为等差数列，且39a =，53a =，则9a 等于( )A ．9-B ．6-C ．3-D ．275．已知等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，3456a a a ++=，则91011a a a ++的值为( ) A ．18 B ．16 C ．14 D ．126．等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则10141(3a a -= )A ．15B ．30C ．45D ．607．等差数列{}n a 中，31a =-，1117a =-，则7a 等于( )A ．9-B ．8-C ．92-D ．4-8．在等差数列{}n a 中，公差为12，1359960a a a a +++⋯+=，则246100(a a a a +++⋯+= ) A ．60 B ．70 C ．75 D ．859．已知等差数列{}n a 满足12910a a a ++⋯+=，则有( )A ．3890a a +=B ．2900a a +<C ．1910a a +>D ．4646a =10．已知数列{}n a 为等差数列，且17132a a a π++=，则7tan (a = )A．BC． D．11．已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b成等差数列，则9a b +的最小值为( ) A ．16 B ．9C ．5D ．412．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20C ．24D ．2813．在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为( ) A ．20 B ．22C ．24D ．2814．等差数列{}n a 中，156a a +=，65a =，那么9a 的值是( ) A ．7- B ．7 C ．113-D ．11315．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于( )A．1+B．1-C．3+D．3-16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1B ．53C ．83D ．317．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4104a a +=，则13(S = ) A ．13 B ．14C ．26D ．5218．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5 B ．7C ．9D ．1019．在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于( ) A ．8 B ．13C ．16D ．2620．在等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则9(S = ) A ．66 B ．99C ．144D ．29721．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若312S =，244a a +=，则6(S = ) A ．6 B ．12C ．15D ．1822．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-．则当n S 取最小值时，(n = ) A ．6 B ．7C ．8D ．923．数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-，则数列{}n a 各项中最小项是( )A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项24．已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a <，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 得最小正值时，n 等于( ) A ．20 B ．17 C ．19 D ．2125．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A ．②③B ．②③④C ．②④D ．①③④26．在等差数列{}n a 中，128a =-，公差4d =，若前n 项和n S 取得最小值，则n 的值为( ) A ．7 B ．8C ．7或8D ．8或927．数列{}n a 是首项为111a =，公差为2d =-的等差数列，那么使前n 项和n S 最大的n 值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7练习B1．设{}n a 为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为( )①2{}na ②{}n pa ③{}n pa q + ④{}(n na p 、q 为非零常数） A ．1 B ．2C ．3D ．42．等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则对2n >时有( ) A ．1nn S a a n<< B ．1nn S a a n <<C ．1n n Sa a n<<D ．1,,n n Sa a n的大小不确定3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则( )A ．当4n =时，n S 取得最大值B ．当3n =时，n S 取得最大值C ．当4n =时，n S 取得最小值D ．当3n =时，n S 取得最小值4．已知数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和．若3916S S =，则612(S S = )A ．110B ．310C ．510D ．7105．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足100S >，110S <，则下列数值最大的是( )A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S6．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若3221n n S n T n -=+，则77(ab = ) A ．3727B ．3828C ．3929D ．40307．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．168．已知点(n ，*)()n a n N ∈都在直线3240x y --=上，那么在数列n a 中有79(a a += )A ．790a a +>B ．790a a +<C ．790a a +=D ．790a a =9．已知等差数列{}n a 满足3243a a =，则{}n a 中一定为零的项是( )A ．6aB ．8aC ．10aD ．12a10．在等差数列{}n a 中，15a =，470a a +=，则数列{}n a 中为正数的项的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．711．已知数列{}n a 中，132(3n n a a ++= *)n N ∈，且356820a a a a +++=，那么10a 等于( ) A ．8 B ．5 C ．263D ．712．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，记nn S b n=，则( ) A ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差也为dB ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差为2dC ．数列{}n n a b +是等差数列，{}n n a b +的公差为dD ．数列{}n n a b -是等差数列，{}n n a b -的公差为2d13．等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．5114．若等差数列的首项是24-，且从第10项开始大于零，则公差d 的取值范围是( )A ．83d > B ．3d < C ．833d < D ．833d <15．在数列{}n a 中，若1332()n n a a n N +=+∈，且247920a a a a +++=，则10a 为( ) A ．5 B ．7C ．8D ．1016．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-．则当n S 取最小值时，(n = ) A ．6 B ．7C ．8D ．917．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，63a =，则48(a a += )A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值318．已知实数序列1a ，2a ，⋯，n a 满足：任何连续3项之和均为负数，且任何4项之和均为正数，则n 的最大值是( ) A ．4 B ．5C ．6D ．719．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A ．②③B ．②③④C ．②④D ．①③④20．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，如果21a =，那么这个数列前3项的和3S 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．[3，)+∞21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ，下列四个命题中，假命题是( )A ．公差d 的最大值为2-B ．70S <C ．记n S 的最大值为K ，K 的最大值为30D ．20162017a a >练习C1．已知||0x y >>．将四个数,,x x y x y -+( )A ．当0x >时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等比数列B ．当0x >时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等差数列C ．当0x <时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等比数列D ．当0x <时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等差数列2．等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则对2n >时有( )A ．1nn S a a n<< B ．1nn S a a n<<C ．1nn S a a n<< D ．1,,nn S a a n的大小不确定3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则( )A ．当4n =时，n S 取得最大值B ．当3n =时，n S 取得最大值C ．当4n =时，n S 取得最小值D ．当3n =时，n S 取得最小值4．等差数列，的前项和分别为，，若，则 A ． B ．C ．D ．5．在等差数列中，，其前项和为，若，则 A ． B ．C ．2008D ．20096．设为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为① ② ③ ④、为非零常数） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．设表示等差数列的前项和，已知，那么等于 A ．B ．C ．D ．8．等差数列中，，，则该数列前项之和为{}n a {}n b n n S n T 231n n S n T n =+(n na b =)232131n n --2131n n ++2134n n -+{}n a 12007a =-n n S 20082006220082006S S -=2009(S =)2009-2008-{}n a ()2{}na {}n pa {}n pa q +{}(n na p q n S {}n a n 51013S S =1020SS ()193101813{}n a 1m a k =1()k a m k m=≠mk ()A ．B ．C ．D ．9．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意，都有成立，则的值为A ．22B ．21C ．20D ．1910．设等差数列的公差为，前项和为．若，则的最小值为 A ．10 B ．C ．D ．二．填空题（共2小题） 11．在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则使取得最小正数的 19 ．12．已知两个等差数列、的前项和分别为和，若，则使为整数的正整数的个数是 5个 ．课后练习1．等差数列中，若，则 ．2．设等差数列的前项和为，若，，则 0 ，的最小值为 ．3．等差数列中，，，则取最大值时， 6或7 ．4．已知等差数列的前项和为，能够说明“若数列是递减数列，则数列是递减数列”是假命题的数列的一个通项公式为 （答案不唯一） ．5．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差等于 ．6．若等差数列满足，则12mk-2mk12mk +12mk+{}n a n n S 14799a a a ++=25893a a a ++=*n N ∈n k S S k (){}n a d n n S 11a d ==8n nS a +()927212+{}n a 11101a a <-n n S n S n ={}n a {}n b n n A n B 7453n n A n B n +=+n na b {}n a 31110a a +=678a a a ++={}n a n n S 23a =-510S =-5a =n S {}n a 10a >49S S =n S n ={}n a n n S {}n a {}n S {}n a 27n a n =-+{}n a n n S 1122S =71a ={}n a 1-{}n a 1461,52a a a =+=2019a =20192二．解答题（共3小题）7．在等差数列中，已知，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求．8．设等差数列满足，． （1）求的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的序号的值．9．已知为等差数列，，． ( I ) 求数列的通项公式以及前项和． （Ⅱ）求使得的最小正整数的值．{}n a 1312a a +=2418a a +=*n N ∈{}n a 3693n a a a a +++⋯+{}n a 35a =109a =-{}n a {}n a n n S n S n {}n a 112a =-562a a ={}n a n n S 14n S >n。

2021年高考数学 数列 专题复习教案 苏教版【例1】在数列中，（），则﹦ ．【分析】由得，∴是等差数列，∴．【答案】．【例2】数列满足，*1*12,0,2121,1,2n n n n n a a n a a a n +⎧⎛⎫≤<∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤<∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N ，则 ． 【分析】∵，∴，，，，，……．∴该数列周期为4．∴．【答案】．【例3】在等差数列中，若，则﹦ ．【分析】∵数列是等差数列，∴由得，． ∴()7866611128222a a a d a d a -=+-+==． 【答案】8．【例4】已知的前n 项之和21241,n S n n a a =-+++则…﹦ ．【分析】可求得． 则…﹦21131567-+-++++=．【答案】67．【例5】设是数列的前项和，若不等式对任何等差数列及任何正整数恒成立，则的最大值是 ．【分析】当时，；当时，由得． 设，则．又﹦225151114244555t t t ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，∴． 综上的最大值是.【答案】．【例6】设为数列的前项和，，其中是常数．（1）求及；（2）若对于任意的，成等比数列，求的值．解：（1）当，，当时，()()2211121n n n a S S kn n k n n kn k -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦又当时合上式，∴（）．（2）∵成等比数列，∴，即()()()2412181km k km k km k -+=-+-+，整理得：对任意的都成立，∴或．【例7】数列中，（），数列满足（）．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项与最小项，并说明理由．解：（1）1111111121n n n n n a b a a a ---===----， 而（），∴11111111n n n n n a b b a a -----=-=--（）． ∴数列是等差数列．（2）依题意有，而5(1)1 3.52n b n n =-+-=-⋅，∴． 函数在（3.5，）上为减函数，在（，3.5）上也为减函数．故当n ＝4时，取最大值3，n ＝3时，取最小值-1．【例8】在等差数列中，，前项和满足条件．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，由得．又，∴．∴．∴．（2）由，得．∴23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+．① 当时，；当且时，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+．②①－②得23111(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p p np np p-++--=+++++-=--， ∴． 综上()()()()121,12(1),0,111n n n n n p T p p np p p p p +⎧+=⎪⎪=⎨-⎪->≠⎪--⎩且． 【例9】某个体户，一月初向银行贷款1万元作为开店启动资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需要交纳所得税为该月利润的10%，每月的生活费开支为540元，余额作为资金全部投入下个月的经营，如此不断继续，问到这年年底该个体户还贷款前尚余多少资金？若银行贷款的年利息为5%，问该个体户还清银行贷款后还有多少资金？（参考数据：1011121.18 5.23,1.18 6.18,1.187.29≈≈≈．结果精确到0.1元）解：设第个月月底的余额为元，则，1(120%)20%10%540 1.18540n n n n a a a a +=⨯+-⨯⨯-=-，于是()1211101.18540 1.181.18540540a a a =-=--=＝()1110911.18 1.18 1.18 1.181540a -++++⋅＝11111.1811.181126054054046.81.181-⨯-⨯=-． 还清银行贷款后剩余资金为()121000015%54046.81050043546.8a -⋅+=-=．答：到这年年底该个体户还贷款前尚余资金元；还清银行贷款后还有资金元．【例10】已知分别以和为公差的等差数列和满足，．（1）若=18，且存在正整数，使得，求证：；（2）若，且数列，，…，，，，…，的前项和满足，求数列和的通项公式；（3）在（2）的条件下，令，，，且，问不等式≤ 是否对一切正整数恒成立？请说明理由． 解：（1）依题意，22[18(1)18]36(1414)45m m d +-⨯=++--， 即，即22918108d m m=+≥，等号成立的条件为，即． ，等号不成立，原命题成立． （2）由得，即180360(141)22k k ++⨯=⨯-+， 即，得，，．则，．（3）在（2）的条件下，，．要使≤，即要满足≤0．当时，，数列单调减；单调增．当正整数时，，，；当正整数时，，，；当正整数时，，，．则不等式≤对一切的正整数恒成立．同理，当时，也有不等式≤对一切的正整数恒成立．综上所述，不等式≤对一切的正整数恒成立．【练习1】在数列中，（），则其前8项的和= ．【答案】．【练习2】已知数列满足，当时，，则数列的前100项和＝ ．【答案】1849．【练习3】在各项均为正数的等比数列中，2436455736a a a a a a a a +++=，则 ．【答案】6．【练习4】已知数列的前项和（），第项满足，则﹦ ．【答案】7．【练习5】已知数列中，（是与无关的实数常数），且满足，则实数的取值范围是___________．【答案】．【练习6】数列的前项和记为()*11,1,21n n n S a a S n +==+∈N ．（1）求的通项公式；（2）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求．解：（1）由可得()*1212,n n a S n n -=+≥∈N ，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又，∴．∴是首项为，公比为的等比数列．∴．（2）设的公差为，由得，可得，∴．故可设．又，由题意可得()()()2515953d d -+++=+，解得．∵等差数列的各项为正，∴ ．∴()213222n n n T n n n -=+⨯=+．【练习7】已知是公差为的等差数列，它的前项和为,,．（1）求公差的值；（2）若，求数列中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的，都有成立，求的取值范围．解：（1）∵，∴113442(2)42a d a d ⨯+=++，解得． （2）∵，∴数列的通项公式为．∴．∵函数在和上分别是单调减函数，∴，又当时，．∴数列中的最大项是，最小项是．（3）由得．又函数在和上分别是单调减函数，且时，；时，．∵对任意的，都有，∴，∴．∴的取值范围是．【练习8】等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列， ，且．（1）求与；（2）证明：． 解：（1）设的公差为，的公比为，则，，． 依题意有．解得或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) ． ∴132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=．（2）∵35(21)(2)n S n n n =++++=+， ∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯⨯+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ ． 【练习9】某企业进行技术改造需向银行贷款，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息．若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取1010101.05 1.629,1.313.786,1.557.665===）解：①甲方案获利：10291.311(130%)(130%)(130%)42.630.3-+++++++=≈（万元），银行贷款本息：（万元），故甲方案纯利：（万元）．②乙方案获利：1091(10.5)(120.5)(190.5)1010.52⨯++++⨯+++⨯=⨯+⨯ （万元），银行本息和： 291.05[1(15%)(15%)(15%)]⨯+++++++（万元），故乙方案纯利：（万元）．综上可知，甲方案更好．【练习10】设向量*(,2),(,21)()a x b x n x n ==+-∈N ，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足：1212999(1)()()1101010n n n nb n b b --+-++=++++ （1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）设，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论． 解：（1）∵2()42(4)2y x x n x x n x =++-=++-在[0,1]上为增函数，∴21421n a n n =-+++-=+﹒ （2）∵12129999(1)()()110[1()]10101010n n n n nb n b b --+-++=++++=-， ∴()11219(1)(2)10[1()]210n n n b n b b n ---+-++=-≥﹒ 两式相减得()1129()210n n b b b n -+++=≥， ∴()21219()310n n b b b n --+++=≥． 两式相减得．又，，∴()()2*1,119(),2,1010n n n b n n -⎧=⎪=⎨-⋅≥∈⎪⎩N ． （3）由()()2*2, 119(),2,1010n n n c n n n -⎧-=⎪=⎨+-⋅≥∈⎪⎩N 及当时111,981,k k k k c c k c c -+⎧≥⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩得或﹒ 又也满足，∴存在使得对所有的成立．。

①－②得、12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1、∴S n ＝2n ＋1－n －22n.]4．数列{a n }的前n 项和为S n 、已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n 、则S 17＝ .9 [S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.]考点1 分组转化法求和∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)＝(－2)×n＝－2n.考点2裂项相消法求和形如a n＝错误!(k为非零常数)型a n＝错误!＝错误!错误!.提醒：求和抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项、也有可能前面剩两项、后面也剩两项．A [a 5＝a 2·q 3、∴q 3＝18、∴q ＝12、a 1＝1、∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n-1、形如a n ＝错误!型(1)与不等式相结合考查裂项相消法求和问题应分两步：第一步、求和；第二步、利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式．(2)放缩法常见的放缩技巧有：①1k2＜1k2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1k－1－1k＋1.②1k－1k＋1＜1k2＜1k－1－1k.③2(n＋1－n)＜1n＜2(n－n－1)．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n 、满足S 4＝2a 4－1、S 3＝2a 3－1.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 2(a n ·a n ＋1)、数列{b n }的前n 项和为T n 、求证：1T1＋1T2＋…＋1Tn＜2.[解](1)设{a n }的公比为q 、由S 4－S 3＝a 4得2a 4－2a 3＝a 4、所以a4a3＝2、所以q ＝2. 又因为S 3＝2a 3－1、所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1、所以a 1＝1.所以a n ＝2n －1.(2)证明：由(1)知b n ＝log 2(a n ·a n ＋1)＝log 2(2n －1×2n )＝2n －1、所以T n ＝错误!·n ＝n 2、所以1T1＋1T2＋…＋1Tn ＝112＋122＋…＋1n2＜1＋11×2＋12×3＋…＋错误! ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n＝2－1n＜2. 考点3 错位相减法求和。

2021年高考数学数列专题复习教案苏教版一、本章知识结构：二、重点知识回顾１．数列的概念及表示方法（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列． （４）与的关系：．2．等差数列和等比数列的比较（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．（２）递推公式：110n n n na a d a a q q n *++-==≠∈N ，·，，． （３）通项公式：111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ，，．（４）性质等差数列的主要性质：①单调性：时为递增数列，时为递减数列，时为常数列．②若，则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ，，，．特别地，当时，有．③()()n m a a n m d m n *-=-∈N ，．④232k k k k k S S S S S --，，，…成等差数列． 等比数列的主要性质：①单调性：当或时，为递增数列；当，或时，为递减数列；当时，为摆动数列；当时，为常数列．②若，则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··，，，．特别地，若，则． ③(0)n m nma q m n q a -*=∈≠N ，，． ④，…，当时为等比数列；当时，若为偶数，不是等比数列．若为奇数，是公比为的等比数列．三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例1. （xx 深圳模拟）已知数列.12}{2n n S n a n n -=项和的前（1）求数列的通项公式； （2）求数列解：（1）当111112,1211=-⨯===S a n 时；、当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时，.213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、（2）令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ 时；当||||||||||,67621n n a a a a a T n ++++++=> 时n a a a a a a ----+++= 87621.7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n综上，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,1222n n n n n n T n点评：本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n ＝１时情况，在解题时经常会忘记。

5n－4[由a1＝1＝5×1－4、a2＝6＝5×2－4、a3＝11＝5×3－4、…、归纳a n＝5n－4.]考点1由数列的前几项求数列的通项公式考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式已知S n 求a n 的3个步骤(1)利用a 1＝S 1求出a 1.(2)当n ≥2时、利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n 的表达式．(3)看a 1是否符合n ≥2时a n 的表达式、如果符合、则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式、即a n ＝⎩⎨⎧S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n 、则a n ＝ .(2)(20xx·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1、则S 6＝ . (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n 、则a n ＝ .C ．a n ＝n2D ．a n ＝n22B [∵a1＋a2＋…＋an ＝错误!、 ∴a1＋a2＋…＋an－1＝错误!(n ≥2)、 两式相减得an ＝错误!－错误!＝n (n ≥2)、 ∴a n ＝n 2(n ≥2)、① 又当n ＝1时、a1＝1×22＝1、a 1＝1、适合①式、 ∴a n ＝n 2、n ∈N *.故选B.]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n 、a 1＝1、S n ＝2a n ＋1、则S n ＝ . ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1 [因为S n ＝2a n ＋1、所以当n ≥2时、S n －1＝2a n 、所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)、即an＋1an ＝32(n ≥2)、 又a 2＝12、所以a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-2 (n ≥2)．当n ＝1时、a 1＝1≠12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32-1＝13、所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n-1.]考点3 由递推关系式求数列的通项公式 累加法——形如a n ＋1－a n ＝f (n )、求a n利用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ f (n －1)＋ f (n －2)＋…＋ f (1)＋a 1求解．＝.又a1＝1适合上式、故a n＝.＝Aa n待定系数法——形如a n＋1＋B(A≠0且A≠1、B≠0)、求a n求此类数列的通项公式、通常采用待定系数法将其转化为(a n＋x)＝A(a n＋x)、先求出x、再借助等比数列{a n＋1＋x }求解．C[∵a n＋1＝an1＋3an 、两边取倒数得1an＋1－1an＝3、又a1＝1所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1an表示首项为1、公差为3的等差数列、所以1an＝1＋(n－1)×3＝3n－2、即a n＝13n－2、所以a10＝13×10－2＝128、故选C.]考点4数列的性质数列的周期性及应用解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项、确定数列的周期、再根据周期性求值．令an＋1an>1、解得n <2； 令an＋1an＝1、解得n ＝2； 令an＋1an<1、解得n >2. 又a n >0、故a 1<a 2＝a 3、a 3>a 4>a 5>…>a n 、 所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3、 且a 2＝a 3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝89.故选A.(2)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列、 又∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4、 ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4＞n 2＋kn ＋4、 即k ＞－1－2n 、又n ∈N *、 ∴k ＞－3.]。