八年级上册数学-第1章第5课时k的几何意义

反比例函数中k的几何意义及应用.例析反比例函数中k 的几何意义及应用陆智勇(云南省广南县篆角初级中学邮编：663312 电话：135********) 反比例函数中k 的几何意义就是反比例函数图象上的任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数K 的值，如图①所示.过P 作x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ，垂足为A 、B ，连结OP,则有（１）AOBP S 矩形=PA ·PB=|y|·|x|=|xy|=|k|；（２）K PA OA S S BOP AOP 2121=?==??.能灵活运用这两个结论解有关反比例函数的问题，会给解题带来很多方便。

现略举说明。

一、求交点坐标和面积例1如图②，已知反比例函数与xy 8-=一次函数2+-=x y 的图象交于Ａ、Ｂ两点。

（１）求Ａ，Ｂ两点的坐标；（２）求△ＡＯＢ的面积。

图②+-=-=.2,8)1(:x y x y 联立解??=-=-==.4,2;2,4y x y x 或解得).2,4(),4,2(--∴B A ).0,2(,2,0,2:)2(M x y x y ==+-=时当解法一二、比较面积的大小例2如图⑤，在χχ(1=y ＞0）的图像上有三点A,B,C,经过三点分别向χ轴引垂线，交χ轴于111,,C B A 三点，连接OA ，OB ，OC ，记△,1OAA △,1OBB △,1OCC 的面积分别为,,,321S S S 则有 ..642=+=+=∴OAM OMB AOB S S S .,D x BD C x AC 轴于轴于作⊥⊥,2,4==BD AC ,2222121=??=??=∴?BD OM S OMB .4422121=??=??=?AC OM S OMA ). 2,0(,2,0,2:)2(N y x x y ==+-=时当解法二图⑤.2=∴ON .,D y BD C y AC 轴于轴于作⊥⊥,4,2==BD AC ,4422 121=??=??=∴?BD ON S ONB.2222121=??=??=?AC ON S ONA .624=+=+=∴O NA O NB AO B S S SA.S 1 = S 2 = S 3B. S 1 < S 2 < S 3C. S 3 < S 1 < S 2D. S 1 > S 2 >S 3 解:由性质(1)得三、确定解析式例3如图⑥，反比例函数K xKy (=﹤0) 的图象经过点A （,3-m ），过A 作AB ⊥χ轴于点B ，.3=?AO B S （1）求K 和m 的值.(2)若过A 点的直线y=a χ+b 与χ轴交于点C ，且∠ACO=30, 求直线的解析式.解: (1)由性质(2)得,21K S AOB =∴.213K =.,,21||21,21||21,21||21321111A S S S k S k S k S OOC BOB AOA 故选即========.32=K ,图像在二、四象限又 .32-=∴K .32χ-=∴y 解析式为得代入，把（χ32)3-=-y m 图⑥(2)①连接，2AC 则在Rt △AB 2C 中，∵AB=2，∠A 2C O=30,.32,422==∴BC AC.322=-=∴BO BC OC ).0,32的坐标为（C ∴得）代入，（和（把b a y A C +=-χ23)0,32② 连接，1AC 则在Rt △AB 1C 中，∵AB=2，∠A 1C O=30,.32,411==∴BC AC.3311=+=∴BO BC OC ).0,331-∴的坐标为（C.133+-=∴χy 解析式为=+-=+.23,03)1(:b a b a 解??=-=.1,33b a 解方程组得.2=m得）代入，（和（把b a y A C +=--χ23)0,331四、求函数值例4两个反比例函数χχ6,3==y y 在第一象限内的图象如图⑦所示,2005321...,P P P P ，点在反比例函数χ6=y 的图象上，它们的横坐标分别是,...,2005321χχχχ，纵坐标分别是1，3，5，…,共2005个连续奇数, 2005321...,P P P P ，过点分别作y 轴的平行线，χ3=y 与的图象的交点依次),,(),,(),,(332222111y Q y Q y Q χχχ …, ),,(200520052005χχQ 则=2005y .解: 2005321...,P P P P ，点在反比例函数χ6=y 的图象上，它们的纵坐标分别取1,3,5…,4009时相应的横坐标分别=+-=+-.23,033b a b a ??==.3,33b a 解方程组得.333+=∴χy 解析式为图⑦图⑧为,40096,...,56,36,16),,(),,(),,(332222111y Q y Q y Q χχχ…, ),,(200520052005χχQ 函数的图象上，χ3=y 且这些点的横坐标分别与点2005321...,P P P P ，横坐标相同, 的点2005Q 横坐标是.40096所以的点2005Q 纵坐标是=2005y χ3=.24009400963= 五、确定K 的取值范围例5如图⑧所示，已知一次函数8+-=χy 和反比例函数χKy =(K ≠0)的图象在第一象限内有两个不同的公共点A 、B.(1)求实数K 的取值范围;(2)若△AOB 的面积S=24,求K 的值..082=+-k χχ依据题意得△=64-4K ＞0,∴K ＜16.设两公共点的坐标为).y ,(),y ,(2211χχB A 又1χ＞0, 2χ＞0,∴1χ+2χ=8＞0, 1χ2χ=K ＞0. ∴实数K 的取值范围为0＜K ＜16.(2)在y=-χ+8中，令χ=0，得y=8，∴OC=8.(4212112=?-?=-=χχOC OC S S S COA COB AOB 2χ-1χ) =.2446444)(421221=-=-+K χχχχ得消去联立解y Ky y ??=+-=.,8)1(:χχ∴.6464=-K ∴K=7.六、确定自变量χ的取值范围例6如图⑨是一次函数和b K y +=χ1和反比例函数χmy =2的图象，观察图象写出1y ＞2y 时，χ的取值范围 .解:由图⑨得y ＞2y ，χmy =2的图象在一、三象限，∴第三象限χ的取值范围为-2＜χ＜0.第一象限χ的取值范围为χ＞3.∴图象1y ＞2y 时，χ的取值范围为-2＜χ＜0或χ＞3. 七、求点的坐标例7如图⑩所示，正方形OABC 、正方形ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在函数χ1=y （χ＞0）的图象上，则点E 的坐标是（）.的增大而增大，随χ1y .2的增大而增小随χy M ＞0 图⑨)215,215.(-+A )253,253.(-+B )215,215.(+-C )253,253.(+-D 解：连接OB ，则.1,12121==∴?=?=?AOB AB OA AB OA S连接OE ，则,12121?=?=?O DE OD S DE 设则,a AD DE == ,01,1)12=-+=+a a a a 即（=1a 解得.(215,2152舍去）--=-a .2512151,215+=-+=+=-=∴AD OA OD DE ∴点E 的坐标是).215,215(-+图⑩。

反比例函数比例系数k 的几何意义知识梳理：如图所示，过双曲线)0(k≠=k x y 上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=|y|∙|x|.,y xk=∴||k S k xy ==，。

1.反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”S=12│k │2.反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”S=│k │这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。

这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。

典例精析专题一 K 值与面积直接应用 例1：已知如图，A 是反比例函数ky x=错误！未找到引用源。

的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是（ ）A 、3B 、﹣3C 、6D 、﹣6变式练习1：如图，点P 是反比例函数6y x=错误！未找到引用源。

图象上的一点，则矩形PEOF 的面积是 ．变式练习2： 如图：点A 在双曲线 y=kx 上，AB 丄x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k= ．变式练习3：如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上:△ABP 的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．变式练习4：如图反比例函数4y x=-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC △的面积为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2变式练习5：如图，A 、B 为双曲线x12-y =上的点，AD ⊥x 轴于D,BC ⊥y 轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为 。

A B Px y OA OBC xyOABxy:例2：如图1所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S 1，⊿BOD 的面积S 2，⊿POE 的面积S 3的大小：。

反比例函数中k 的几何意义在解题中的运用反比例函数中k 的几何意义，在解题中具有重要的意义.反比例函数与其他知识的关联运用，依旧离不开反比例函数中k 的几何意义.一、k 的几何意义过双曲线k y x=图像上任一点作坐标轴的垂线段，与原点构造的直角三角形面积等于2k . 例1 已知反比例函数6y x=在第一象限的图象如图所示，点A 在其图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连接AO 、AB ,且AO AB =，AOB S ∆为多少?解析 根据k 的几何意义，如图作AE x ⊥轴，垂足为E .所以32AOE k S ∆==.因为AO AB =，所以2326AOB AOE S S ∆∆==⨯=.练习 如图，在平面直角坐标系中，过点M (0,2)的直线l 与x 轴平行，且直线l 分别与反比例函数6(0)y x x =>和(0)k y x x =<的图象交于点P 、点Q .(1)求点P 的坐标;(2)若△POQ 的面积为8，求k 的值.解 因为点P 在双曲线6y x=上，过M (0,2)的直线l 与x 轴平行，所以点P 的纵坐标为y =2，则横坐标x =3.所以点P 的坐标为P (3,2)所以3MOP S ∆=.因为，所以8,3POQ MOP S S ∆∆==，所以10,10k k ==或10k =-.因为图象在第二象限，所以10k =-.二、k 的几何意义与线段比，面积比的知识关联例2 如图，反比例函数(0)k y k x=>的图象与矩形ABCO 的两边相交于,E F 两点，若E 是AB 的中点，2EFB S ∆=，求k 的值.解析 双曲线上存在点E 与点F ，根据k 的几何意义，连接O E 、OF ，有/2AOE COF S S k ∆∆==.又因为点E 是AB 的中点，所以(1/4)AOE AOCB S S ∆=矩形.可得;(1/4)COF AOCB S S ∆=矩形.所以点F 是CB 的中点.所以22AOE BEF S S ∆∆==⨯2=4.可得 28AOE k S ∆==.因为图象在第一象限，所以k =8.知识关联:此题用到k 的几何意义、线段比与面积比的知识关联.三、k 的几何意义与三角形相似知识的关联例3 如图，一次函数1y kx =-的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数3(0)y x x =>的图象交于点B , BC 垂直x 轴于点C .若△ABC 的面积为1，求k 的值.解析 因为点B 在反比例函数3y x =图象上，得 1.5BOC S ∆=.由1ABC S ∆=，得0.5A O B S ∆=，得:1:2O A A C =.假设直线1y kx =-与y 轴交与点D ，则点D (－1,0),OD =1.BC //OD 得△ABC ～△ADO ，可得:::1:2OD BC OA AC ==.由OD =1得BC =2，把y =2代入3y x=得x =1. 5.所以点B 坐标为(1. 5,2).把x =1. 5,y =3代入1y kx =-中得k =8/3. 知识关联:此题用到k 的几何意义、三角形相似、线段比与面积比的知识关联.练习 如图，若双曲线/y k x =与边长为5的等边AOB ∆的边OA , AB 分别相交于C , D 两点，且OC =3BD ,求k 的值.解析 过点C 作CE x ⊥轴于点E ，过点D 作DF x ⊥轴于点F .因为AOB ∆为等边三角形，3OC BD =，可得OEC ∆～BFD ∆，所以:::3:1OC BD CE DF OE BF ===.又因为/2,:3:1C O E D O F S S k C E D F ∆∆===得:3:1OF OE =.设BF a =,则3,9OE a OF a ==.可得105OB a ==即1/2a =.在Rt DBF ∆中60B ∠=︒，可得DF =.2211()22228DOF S OF DF ∆=⋅===. 28DOF kS ∆==,所以4k =.图象在第一象限，所以4k =. 作为九年级复习阶段，做好知识间的关联学习，对构成学生的知识系统具有很好的作用.。

反比例函数K的几何意义专题一．教学分析反比例函数知识看似简单，好像就只有定义，图像，性质，但在实际的中考中，它常与图形的面积交汇在一起，是中考的热点之一．本节内容在这一章中也占据着举足轻重的地位，是一次函数的延续和二次函数的基础，在初中函数的学习中起着承上启下的作用．﹙一﹚、教学目标1.知识目标；（1）、理解K的几何意义，会由已知条件求函数解析式和简单图形的面积（2）、熟练掌握反比例函数的图像和性质，灵活运用K的几何意义．2.能力目标；在教学过程中引导学生自主探索、思考及想象，经历探索K的几何意义的过程，发展学生分析归纳和概括的能力，3.情感目标；通过学习，培养学生积极参与和勇于探索的精神，科学的学习态度，同时通过多媒体演示激发学生学习的兴趣．﹙二﹚、教学重点：K的几何意义的探究与运用教学难点：灵活运用K的几何意义．﹙三﹚教学方法：自主探究、合作交流、讲练结合教学模式问题——探究——总结——应用﹙四﹚、教学准备：多媒体课件．二、考点分析：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现，常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察．所以，应该引起广大学生的重视．反比例函数中k的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计算大题中进行考察．这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学生的数学图形思维．本次专题目的在于让学生掌握反比例函数中k的几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数k几何意义的常见考察方式和解题思路．三、学情分析反比例函数的图象是学生中学阶段首次遇到的非线性函数的图象，而且反比例函数的图象还是不连续的断开的两支曲线，而学生的认知结构中仅有正比例、一次函数即所谓的线性函数的作图经验，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决问题的能力．四、授课内容：(一）：反比例函数与矩形面积这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|．这是系数k几何意义，明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便．设计意图：利用多媒体直观展示图形的变化，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣．推广：反比例函数与三角形面积如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作P A⊥x轴于A点，PB⊥y 轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形P AO和三角形PBO的面积都是）．设计意图：两个题目让学生经历由特殊到一般，由猜想到归纳，教给学生考虑问题的方法，同时渗透了数形结合思想与分类讨论的数学思想 ． (二 ) 例题讲解千里之行 始于足下例题1.如图，点P 是反比例函数 图象上的一点，PD ⊥x 轴于D .则△POD 的面积为 .例2：如图所示，直线l 与双曲线)0(k y >=k x 交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S 1，⊿BOD 的面积S 2，⊿POE 的面积S 3的大小：设计意图：这几个题目为了及时掌握总结的知识点，加深印象，强化学生的数形结合能力.例3 如图，点A ，B 是双曲线 上的点，过点A 、B 两点分别向x 轴、y 轴作垂线，若S 阴影＝1，则S 1＋S 2＝例4. 在反比例函数2y x=（0x >）的图象上，有点1234P P P P ，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为123S S S ，，，则123S S S ++= ． 2y x=x y O P 1 P 2 P 3P 4 1 2 3 4设计意图：对面积类题目进行了一次升华，目的是使课堂面向全体学生，照顾优等生，提高分析能力．培养学生的表达能力和分析能力，树立合作学习的理念．趁热打铁，大显身手1. 已知点A是反比例函数上的点，过点A作AP⊥x轴于点P，已知△AOP的面积3，则k的值是（）A．6 B．－6 C．－3 D．32 3 4题设计意图：灵活运用k的几何意义解决面积类题目进行了一次升华，培养学生的表达能力和分析能力，树立合作学习的理念．(三) 根据中心对称解题的图象相交于A、C两点，AB⊥例题6．正比例函数y＝x与反比例函数y＝1xx轴于B，CD•⊥x轴于D，如图所示，则四边形ABCD的为_______．例题7设计意图：让学生感受知识间的联系，双曲线具有轴对称性，中心对称性，妙用其图像的对称性，有利于我们理清思路，快速解题，它是一个重要的解题技巧．五.中考题型精选设计意图：这个简单而有用的结论，较好的体现了数形结合．是解决反比例函数问题的有力的侗剧，因而备受各地中考命题人的关注和青睐，在中考中，反比例函数方面的考题多与一次函数，三角形，特殊四边形等知识综合来进行考查，常以中低难度的选择题，填空题的形式出现．六．课堂练习1 若A(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，点B的坐标(3，2)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C；过点B作直线BD∥y轴交x轴于点D，交直线AC 于点E，当四边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由．2、已知反比例函数y＝12/x与一次函数y＝kx－7的图象都经过点P(m，2)，函数y＝kx－7的图象交y轴于点Q.试求这个一次函数的解析式及△OPQ的面积．设计意图：检查学习效果，巩固所学知识，作业面向全体，照顾大多数，同时也要注意培养优等生，选拔数学人才，激励学生深入研究，给学生发展空间．七、课时总结：让学生谈谈本节课有哪些收获？设计意图：对本节课的内容进行一次系统回顾，进一步加深印象，巩固所学知识，加强学生的表达能力．八、作业布置●若A(m，n)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，点B的坐标(3，2)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C；过点B作直线BD∥y轴交x轴于点D，交直线AC于点E，当四边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由．●设计意图：检查学习效果，巩固所学知识，作业面向全体，照顾大多数，同时也要注意培养优等生，选拔数学人才，激励学生深入研究，给学生发展空间．●九板书设计●●●●●教学设计说明：●本节课的设计力求体现使学生“学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法．由此我采用“问题——探究——总结——应用”的学科教学模式，把主动权充分的还给学生，让学生在自己已有经验的基础上提出问题，明确学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥妙与成功的快乐．。

一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）中，k的意义
1、K值代数意义：小明说，在式子y=kx+b中，x每增加1，kx增加了k。

而如图所示的一次函数图象中，x从1变成2时，函数值从3变成5，增加了2，因此该一次函数中k 的值应该是2.你认为小明的说法有道理吗？说说你的认识。

首先，k值为2是正确的。

可以将（1，3）（2，5）分别代入y=kx+b，得：
然后，小明说的有道理。

按小明思路可以举实例说明，当x=1时，kx=k，当x=2时，kx=2k，当x=3时，kx=3k……x每增加1，kx增加了k。

我这样想，假设一次函数y=kx+b经过两点（x1，y1）（x1+1， y2），则y1=k x1+b，y2=k （x1+1）+b= k x1+b+k，y2－y1=k，所以x每增加1，y就增加了k。

y=kx+b的图象经过（1，3）（2，5），说明x增加1，y增加了2，所以k=2。

如上图，假设一次函数y=kx+b经过两点（x1，y1）（x1+1， y2），则y1=k x1+b，y2=k （x1+1）+b= k x1+b+k，y2－y1=k，而此时k为负数，所以x每增加1，y就增加了k，其实就是y减小了K绝对值。

2、K值几何意义：
在直角三角形ABC中，BC为x增加值，AC为y增加值，AC/BC得x每增加1，y增加的量，由上述过程可知，x每增加1，y就增加了k，所以AC/BC=k。

在直角三角形ABC中，BC为x增加值，AC为y减小值，AC/BC得x每增加1，y减小的量，由上述过程可知，x每增加1，y就减小了k的绝对值，所以AC/BC=k的绝对值。

综上所述，一次函数的K值几何意义：k的绝对值是直线与x轴所夹锐角的正切值。

专题12 反比例函数中k的几何意义专题解读】反比例函数中k的几何意义就是双曲线上任意一点与两坐标轴构成的矩形面积的数量等于k的绝对值，而此矩形的两边恰巧与这个点的横纵坐标有关，于是，巧妙的运用图形面积，将极大的简化运算，一般来讲，当图象上明确存在一个点时，经常从k的几何意义锲入问题.思维索引例1.已知双曲线kyx=（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E.（1）求证：点E是BC中点；（2）用含k的代数式表达图中四个三角形的面积.变式】已知，如图，双曲线kyx=（x＞0）经过矩形ODEC的边DE的中点A（4，2），交EC于点B.求△AOB的面积.例2.函数4yx=和1yx=在第一象限内的图象如图，点P是4yx=的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴交1yx=的图象于点B.给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝13AP.其中所有正确结论的序号是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④素养提升1. 如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(4，3)，顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx(x >0)的图象经过顶点B ，则k 的值为( ) A.12 B.27 C.32 D.362. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，点D 的坐标为(－2，6)，反比例函数y ＝kx(x <0)经过点D ，若AC 的延长线交y 轴于点E ，连接BE ，则△BCE 的面积为( ) A.3 B.5 C.6 D.73. 如图，点A (m ，1)，B (2，n )在双曲线y ＝(0)kk x≠，连接OA ，OB .若ABO S ∆＝8，则k 的值是( )A.－12B.－8C.－6D.－4 4. 如图，反比例函数y ＝kx的图象与矩形OABC 的边分别交于D ，E 两点，D 为AB 的中点，若△BDE 的面积为12，则k 的值为( ) A.1 B.2 C.4 D.85. 若矩形的一条边长为x ，周长的一半为y .定义(x ，y )为这个矩形的坐标.如图，在平面直角坐标系中，直线x ＝1，y ＝3将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中.则下面叙述中正确的是( ) A .点A 的横坐标有可能大于3B .矩形1是正方形时，点A 位于区域②C .当点A 沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小D .当点A 位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等6. 如图，平行于x轴的直线与函数y＝11(0)kkx>，y＝22(0)kkx>的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为.7. 已知：如图在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为(10，0)，对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝kx(x>0)经过D点，交BC的延长线于E点，且OB·AC＝160，则点E的坐标为.8. 如图，双曲线y＝kx经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB 的面积为5，则k的值是.9. 如图，点C在反比例函数y＝kx(x>0)的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB ＝BC，△AOB的面积为1，则k的值为.10. 已知函数y＝12(0)3(0)xxxx⎧->⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB.下列结论：①若点M1(x1，y1)，M2(x2，y2)在图象上，且x1<x2<0，则为x2<y2；②当点P坐标为(0，－3)时，△AOB是等腰三角形；③无论点P在什么位置，始终有AOBS∆＝7.5，AP＝4BP；其中正确的结论是.11. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边△AOB 的边长为6，点C 在边OA 上，点D 在边AB 上，且OC ＝3BD ，反比例函数y ＝(0)kk x≠的图象恰好经过点C 和点D ，求反比例函数的表达式.12. 如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝1k x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝2kx的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，求k 1－k 2的值.13. 如图，A 、B 是双曲线y ＝kx(k >0)上的点，A 、B 两点的横坐标分别是a 、3a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若AOC S ∆＝3.求k 的值.14. 已知双曲线y ＝kx(x <0)经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴负半轴的夹角，AB //x 轴，将△ABC 沿AC 翻折得到△ADC ，点D 落在OA 上，若△ABC 的面积34，求反比例函数的表达式.15. 平面直角坐标系中，点A在函数y1＝2x(x>0)的图象上，y1的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y2＝kx，B在y2的图象上，设A的横坐标为a，B的横坐标为b.(1)当AB//x轴时，求△OAB的面积；(2)当△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求ab的值.专题12反比例函数中k 的几何意义思维索引】例1.（1）可设B （2m ，2n ），则F （2m ，n ），E （x ，2n ）从而k ＝2mn ＝x 2n ，所以x ＝m ，所以E 为BC 中点.（2）在矩形OABC 中，△OAF 的面积是k 2，E 为BC 的中点，△OCE 的面积为k2，从而矩形OABC 面积为2k ，由中点知识可知，△BEF 的面积为k 4，则AOEF 的面积为3k 4. 变式】y ＝8x ，由例题1可知，AOB S △＝3k4＝6. 例2.OBD S △＝OAC S △＝12，故①正确；当P 的坐标为（2，2）时P A ＝PB ，当P 的横坐标大于纵坐标时，PB ＞P A ，当P 的横坐标小于纵坐标时，PB ＜P 4故②错误；∴PAOB S 四边形＝PDOC S 矩形－ODB S △－OAC S △＝4－12－12＝3，故③正确；连接OP ，OAC S △:POA S △＝12：32＝1：3，而OAC S △:POA S △＝CA :P A ，所以CA ：P A ＝1：3，故④正确；综上，正确的结论有①③④.素养提升】1.B ；2.C ；3.C ；4.B ；5.D ；6.8；7.（4，8）；8. 103;9.4；10.①②③；11.过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，设BD ＝a ，则OC ＝3a .在RI △COE 中，OC ＝3a ，∴OE ＝32a ，CE ，∴点C （32a ）.同理，点D 的坐标为（6－12a a ）.∴k ＝32a＝（6－12a ）×32a ，∴a ＝65，k . 12.连接OA 、OC 、OD 、OB ，OAE S △＝BOF S △＝121k ，COE S △＝DOF S △＝－122k ，∴12AC ·OE ＝12（1k 一2k ），∴12BD ·OF ＝12×（3－OE ）＝12（1k 一2k ），解得OE ＝1，故1k 一2k ＝2. 13.如图，分别过点A 、B 作AD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥x 轴于点E ，∵A 、B 两点的横坐标分别是a 、3a ，∴A 、B 两点的纵坐标分别之比为3：1，故AH ＝2HD ，取AB 中点F ，作FG ⊥AH ，于是AD ＝3BE ，∴点B 是AC 的三等分点，∴DE ＝2a ，CE ＝a ，∴AOC S △＝12×5a ×k a －12k ＝3，解得k ＝1.5.14.由例题1可知，ABC S △＝4k ＝34，从而k ＝－3. 15.（1）由题意2y ＝－2x ，OAB S △＝11k 2＋21k 2＝2； （2）A （a ，2a ），B （b ，－2b ），因为OA ＝0B ，∴a ²＋（2a ）²＝b ²＋（－2b）²， 整理得：（a ²－b ²）（1－224a b ）＝0. a ≠b ，∴1－224a b＝0，∴ab ＝±2.因ab ＜0，∴ab ＝－2.。

一次函数y=kx+b （k≠0 ，k、b 为常数）中，k 的意义1、K 值代数意义：小明说，在式子y=kx+b 中，x 每增加1，kx 增加了k。

而如图所示的一次函数图象中，x 从1 变成2 时，函数值从3 变成 5 ，增加了2，因此该一次函数中k 的值应该是 2. 你认为小明的说法有道理吗？说说你的认识。

首先，k 值为 2 是正确的。

可以将（ 1 ，3）（2，5）分别代入y=kx+b ，得：然后，小明说的有道理。

按小明思路可以举实例说明，当x=1 时，kx=k ，当x=2 时，kx=2k ，当x=3 时，kx=3kx 每增加1，kx 增加了k。

我这样想，假设一次函数y=kx+b 经过两点（x1，y1）（x 1+1，y 2），则y1=k x 1+b ，y2=k （x1 +1 ）+b= k x 1+b+k ，y 2－y 1=k，所以x 每增加1，y 就增加了k。

y=kx+b 的图象经过（1，3）（2，5 ），说明x 增加1 ，y 增加了2，所以k=2 。

如上图，假设一次函数y=kx+b 经过两点（x 1，y 1）（x1+1 ，y 2），则y1=k x 1+b ，y 2=k （x 1+1 ）+b= k x 1+b+k ，y2－y1=k，而此时k 为负数，所以x 每增加1，y 就增加了k，其实就是y 减小了K 绝对值。

2、K 值几何意义：在直角三角形ABC 中，BC 为x 增加值，AC 为y 增加值，AC/BC 得x 每增加 1 ，y 增加的量，由上述过程可知，x 每增加1，y 就增加了k，所以AC/BC=k 。

在直角三角形ABC 中，BC 为x 增加值，AC 为y 减小值，AC/BC 得x 每增加 1 ，y 减小的量，由上述过程可知，x 每增加 1 ，y 就减小了k 的绝对值，所以AC/BC=k 的绝对值。

综上所述，一次函数的K 值几何意义：k 的绝对值是直线与x 轴所夹锐角的正切值。

k值的几何意义1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AD，若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，若△ABE的面积为24，则k的值为（）A．6B．12C．16D．24【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为矩形，∴O为对角线AC，BD交点，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠OAE，∴∠OAD＝∠EAD，∴∠ODA＝∠EAD，∴BD∥AE，∴S△ABE＝S△AOE＝24．设点A坐标为（m，），∵AF＝EF，即F为AE中点，∴点F纵坐标为，将y＝代入y＝得x＝2m，∴点F坐标为（2m，），∴点E横坐标为2×2m﹣m＝3m，即点E坐标为（3m，0）．∴S△AOE＝OE•y A＝×3m×＝24，解得k＝16．故选：C．2．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC的边BC的中点D，且与边AB相交于点E，则四边形ODBE的面积为（）A．B．2C．3D．4【解答】解：连接OB，如图所示：∵OB是矩形OABC的对角线，∴S△OAB＝S△OBC又∵点D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴，又∵CD＝BD，OC是△OCD和△OBD的高，∴S△OCD＝S△OAB＝1，又∵S△OBC＝S△OCD+S△OBD，∴S△OAB＝S△OBC＝2又∵S△OBE＝S△OAB﹣S△OAE，∴S△OBE＝2﹣1＝1，又∵S四边形OEBD＝S△ODE+S△OBE，∴S四边形OEBD＝1+1＝2，故选：B．3．如图，矩形ABCD的中心位于直角坐标系的坐标原点O，其面积为8，反比例函数y＝的图象经过点D，则m的值为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，∴矩形ABCD的面积是8，设D（x，y），则4xy＝8，xy＝2，反比例函数的解析式为y＝，∴m＝2．故选：A．4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E．若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．2B．C．3D．【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE＝|k|，S△OAD＝|k|，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S▱ONMG＝|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO＝4S▱ONMG＝4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k＞0，则++9＝4k，∴k＝3．故选：C．5．如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y＝（k＜0），经过C、E两点，若平行四边形ABOC的面积为18，则k的值是（）A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6【解答】解：设E的坐标是（m，n），则mn＝k，∵E是OA的中点，∴A的坐标是：（2m，2n），C的纵坐标是2n，把y＝2n代入y＝，x＝，即C的横坐标是．∴OB＝AC＝﹣2m，OB边上的高是2n，∴（﹣2m）•2n＝18，即k﹣4mn＝18，∴k﹣4k＝18，解得：k＝﹣6．故选：D．6．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过AB上的两点A，P，其中P为AB的中点，若△AOB的面积为18．则k的值为（）A．﹣18B．﹣12C．﹣9D．﹣6【解答】解：连接OP，作PD⊥OB于点D，AE⊥OB于E，∵P为AB的中点，∴BD＝DE，PD＝AE，∵反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过AB上的两点A，P，∴S△AOE＝S△POD＝|k|，∴，∴OD＝2OE，∴BD＝DE＝OE，∴S△POD＝S△POB，∵△AOB的面积为18，∵P为AB的中点，∴S△POB＝S△AOB＝9，∴S△POD＝S△POB＝6，∴|k|＝6，∵k＜0，∴k＝﹣12．故选：B．7．如图，反比例函数的图象经过平行四边形OABC的顶点C和对角线的交点E，顶点A在x轴上．若平行四边形OABC的面积为12，则k的值为（）A．8B．6C．4D．2【解答】解：如图，分别过C、E两点作x轴的垂线，交x轴于点D、F，∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过▱OABC的顶点C和对角线的交点E，设C（m，），∴OD＝m，CD＝，∵四边形OABC为平行四边形，∴E为AC中点，且EF∥CD，∴EF＝CD＝，且DF＝AF，∵E点在反比例函数图象上，∴E点横坐标为2m，∴DF＝OF﹣OD＝m，∴OA＝3m，∴S▱OABC＝CD×OA＝×3m＝12，解得k＝4，故选：C．8．如图，过反比例函数y＝（x＞0）上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y＝（x ＞0）于点B，连接OA、OB．若S△AOB＝3．则k的值为（）A．3B．﹣3C．4D．﹣4【解答】解：∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥y轴，∴S△AOC＝×|2|＝1，又∵S△AOB＝3，∴S△BOC＝3﹣1＝2，∴|k|＝2，而k＜0，故选：D．9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，1，反比例函数y＝的图象经过A，B两点，菱形ABCD的面积为9，则k的值为（）A．4B．5C．6D．9【解答】解：过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E，菱形ABCD的面积为＝AE×BC＝9，即（4﹣1）×BC＝9，则BC＝3＝AB，在Rt△ABE中，AE＝3，AB＝3，则BE＝3，设点A（m，4），则点B（m+3，1），将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4m＝m+3，解得：m＝1，k＝4，10．如图，已知P为反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点P作P A⊥y轴，PB⊥x 轴，E是P A中点，F是BE的中点．若△OPF的面积为3，则k的值为（）A．6B．12C．18D．24【解答】解：连接OE，∵P为反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，点P作P A⊥y轴，PB⊥x轴，∴S四边形AOBP＝P A•PB＝k，S△POB＝k，∵E是P A中点，∴S△PBE＝P A•PB＝k，S△EOB＝OB•OA＝k，∵F是BE的中点，∴S△FOB＝S△EOB＝k，S△PFB＝S△PEB＝k，∴S△OPF＝S△POB﹣S△FOB﹣S△PFB＝k﹣k﹣k＝k，∵△OPF的面积为3，∴k＝3，∴k＝24，故选：D．11．已知Rt△ABC在平面直角坐标系中如图放置，∠ACB＝90°，且y轴是BC边的中垂线．已知S△ABC＝6，反比例函数y＝（k≠0）图象刚好经过A点，则k的值为（）A．6B．﹣6C．3D．﹣3【解答】解：作AD⊥y轴于D，设AB与y轴的交点为E，则四边形ACOD是矩形，∴AD＝OC，∵y轴是BC边的中垂线．∴OC＝OB，∴AD＝OB，在△ADE和△BOE中，，∴△ADE≌△BOE（AAS），∴S矩形ACOD＝S△ABC＝6，∵k＜0，∴k＝﹣6，故选：B．12．如图点A为反比例函数y＝（k≠0）图形上的一点，过点A作AB⊥y轴于B，点C为x轴上的一个动点，△ABC的面积为3，则k的值为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：连接OA，∵AB⊥y轴，∴AB∥x轴，∴S△ABO＝S△ABC＝3，即：|k|＝3，∴k＝6，或k＝﹣6（舍去），故选：B．13．如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为（）A．B．C．D．4【解答】解：如图，过点A作AE⊥OC于E，∵四边形ABCO是菱形，∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，∴S△AOE＝S△AOC，∵OA∥BC，∴S△OAD＝S△OAC＝2，∴S△AOE＝＝，∴k＝2故选：C．14．如图，已知双曲线（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2．则k＝（）A．2B．C．1D．4【解答】解：设B点坐标为（a，b），∵矩形OABC的边AB的中点为F，∴F点的坐标为（a，），∴S△OAF＝S△OEC＝|k|＝a•，∴ab＝2k，∵S矩形＝S四边形OEBF+S△OAF+S△OEC，∴ab＝2+k+k，∴2k＝k+2，∴k＝2．故选：A．15、在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在反比例函数kyx=（0k>，0x>）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD x∥轴．若菱形ABCD的面积为452，则k的值为（）A．54B．154C．4 D．5。

第2讲反比例函数“k ”的代数意义一、本讲概述双曲线上的点，横、纵坐标之积为定值等于“k ”。

俗称“k ”的代数意义！解决相关问题时，往往设出点的坐标，建立方程求解。

二、典例分析例1、（2016四川达州16题）如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边2:3:=BC AB ，点()()6,00,3B A 、分别在x 轴、y 轴上，反比例函数()0>=x xky 的图像过点D ，且与边BC 交于点E ，则点E 的坐标为___________。

图1图2【分析】特征1：欲求点E 坐标。

点E 可理解为直线BC 与双曲线的交点。

若能求出直线BC 解析式及双曲线解析式就能解决问题。

特征2：2:3:=BC AB ，点()()6,00,3B A 、。

说明矩形ABCD 位置固定，点D 坐标可求。

如图2，过点D 作x DG ⊥轴于G 。

易知AOB ∆∽DGA∆23===GA OB GD OA DA AB ，可求2,4==DG AG 则()14272,7=⨯=⇒k D 所以，双曲线x y 14=直线2321:-=x y AD ，易求直线621:+=x y BC 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=x y x y 146210,0>>y x 解之得⎩⎨⎧==72y x 综上，点E 的坐标为()7,2。

例2、（2016广东深圳16题）如图1，四边形ABCO 是平行四边形，6,2==AB OA ，点C 在x 轴的负半轴上。

将ABCO 绕点逆时针旋转得到AD ADEF ,经过点O ，点F恰好落在x 轴的正半轴上。

若点D 在反比例函数()0<=x xky 的图像上，则k 的值为______。

图1【分析】特征1：ABCO 绕点逆时针旋转得到AD ADEF ,经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上。

如此大张旗鼓地旋转，出现特殊角的可能性很大。

易知BAC AOF AFO ∠=∠=∠而DAFBAO ∠=∠故︒=∠=∠=∠60AFO AOF DAF 特征2：6,2==AB OA 。