1.4.1-1.4.2任意角的正弦函数、余弦函数的定义及单位圆与周期性

。
解： cos(
31 2 ) cos(4 2 ) cos 4 4 4 2
本堂小结
1.任意角的正弦、余弦函数的定义： 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(u,v),则 sin v,cos u 2.计算任意角的正弦、余弦函数值。 3.周期函数、最小正周期的概念。正弦函数和 余弦函数都是周期函数。
最小正周期的概念：
对于一个周期函数f(x)，如果它所有 的周期中存在一个最小的正数，那么这个 说明：若不加特别说 最小正数叫f(x)的最小正周期 . 明，本书所指周期均
为函数的最小正周期.
2 思考：（1）对于 y sinx，x R, 有 sin( 6 3 ) sin( 6 ) ， 2 能否说 是它的周期？ 3
可知 r = OP = (- 3 )2 + 22 = 5 .
2 2
y 2 4 则sin = 5 , r 5 2
cos =
3 x 3 2 . 5 r 5 2
回顾归纳: 已经角终边的一个点P ，利
用三角函数的定义求其三角函数，需要 确定三个量：角的终边该点P的横坐标x、 纵坐标y、点P到原点的距离r。
随堂演练 练: 已知角α的终边经过点P(-3,2)，求角α 的正弦、余弦。
典例剖析 例3 确定下列各三角函数值的符号： ⑴ cos250°; ⑵ sin(-π/4)。
解： （1）易知250°为第三象限角，所以 cos250°的符号为负； （2）易知-π/4为第四象限角，所以 sin(-π/4)的符号为负； 回顾归纳： 准确确定三角函数值中角所在象 限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号 是解决这类问题的关键。可以利用口诀“一全 正、二正弦、四余弦”来记忆．

（2）若函数f(x)的周期是T，则 kT , k Z 是f(x) 的周期吗？为什么？

典例剖析
例：求三角函数值 sin(-1050°)。
解： 因为 -1050°= 30°+（-3）× 360° =π/6+（-3） × 2π 所以sin(-1050°)= sin π/6=1/2
31 ) 练：求三角函数值 cos( 4
Q
P
y
N
M
α O
x
(1,0)
, 例2 在直角坐标系的单位圆中， 4
(1)画出角α.
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标.
解：（1）如图，以原点为角的顶
点，以 x轴非负半轴为始边，顺时

4
y
针旋转
，与单位圆交于点P，
，即为所求作的角. 4
M O
π 4
1 x
P
MOP
数 f（x）和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 那么就称 y是x的函数，x叫做自变量。
A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A．
探究新知 下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来 进一步研究锐角 的正弦函数、余弦函数。
的终边与单位圆的交点 当点P(u,v) 就是 时,锐角三角函数会有什么结果？
§1.4.1～ §1.4.2
任意角的正弦函数、 余弦函数的定义及单 位圆与周期性
创设情境，复习引入
你能回忆一下锐角的正弦、余弦的定义吗?
斜边
对边 邻边

对边 邻边 斜边 斜边 sin _____;cos _____;
你能把锐角的正弦、余弦坐标化吗？
y
P(u,v)

v
O

M (u,0)
在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与 单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数 值、余弦函数值填入下表
0
1 2
1
3 2
2 2 2 2
3 3 2 2
0 -1
1 3 2 2 3 - 1 2 2 -
-1 0
1 3 2 2 1 3 2 2
0 1
观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和
α
O
M
A(1,0)
易知5 的终边与单位圆 31 3 的交点为P( , ) 2 2
P
1 3 ( , ) 2 2
x
1 3 cos sin 2 2
随堂演练
练1、求

3
的正弦值和余弦值。
回顾归纳:
求已经角的三角函数确定角的终边是基础， 求出角终边与单位圆的交点坐标是关键。
由任意角的正弦、余弦函数定义不难发现：终边相同 的角的三角函数值相等，即：
一般地，对于函数 f ( x) ，如果存在非零实数T， 对定义域内的任意一个 x 值，都有 f ( x T ) f ( x) 我们就把函数称为周期函数，T称为这个函数的 周期。
特别提醒：
1.T是非零常数.
2.任意x∈D都有x+T∈D,T≠0，可见函数的定 义域无界是成为周期函数的必要条件. 3.任取x∈D，就是取遍D 中的每一个x，可见 周期性是函数在定义域上的整体性质.理解定义 时，要抓住每一个x都满足f(x+T)=f(x)成立才行. 4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么2T 也是y=f(x)的周期.
α O M A(1,0) x
探究新知 一、任意角的正弦函数、余弦函数定义： 如图，设α是一个任意角，它的终边与单 位圆交于点P(u,v)，那么： （1）v叫做α的正弦，记 作sinα， 即sinα=v；
y
P(u,v)
α
O
（2）u叫做α的余弦，记作 cosα，即cosα=u
A(1,0) x
思考：由三角函数的定义，如何求任意角 α 的 正弦、余弦值？ 提示：求任意角α的正弦、余弦值分两步，第 一步求出角α的终边与单位圆的交点P，第二步 写出点P的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标 为余弦值.
2 2 (2)由于 ，点 P在第四象限，所以 点 P坐 标为（ ， ） . 4 2 2
例3 已知角 终边上一点P ( , 2), 求角 的正弦 函数值、余弦函数值. 解:
3 因为点P ( , 2) 2
3 2
在角 的终边上，
3 所以 x = - ,y = 2, 2
单位圆与周期函数
探究点
周期函数
观察右图，在单位圆中，由任意角 的正弦函数、余弦函数定义不难得到下 列事实：终边相同的角的正弦函数值相
等，即
sin(x 2k ) sin x, k Z ；
终边相同的角的余弦函数值相等， 即 cos(x 2k ) cos x, k Z
.
第四 象限
sin
cos
+ +
+ -
-
+
根据三角函数的定义，研究三角函数的值
在各个象限的符号.
sin y
cos x
y +
O
y
+ _ x
_ _
O
+
_
sin
+
x
cos
口诀： Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ全负，Ⅳ余弦
典例剖析
5 例1、求 的正弦值和余弦值。 3
y
解：如左图所示，角在第四象限；
正负.
探究、发现新知
注：三角函数 sinα=v，cosα=u都是以角为自
变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函 数。通常，我们用x表示自变量，即表示角的大 小(弧度制），用y表示函数值，这样就定义了任 意角的三角函数y=sinx，y=cosx。
象限 第一 第二 三角函数 象限 象限
第三 象限
把这种随自变量的变化呈周期性变化的函
数叫作周期函数.
正弦函数、余弦函数是周期函数，称 2k (k Z, k 0)
为正弦函数、余弦函数的周期.
例如， 4 , 2 , 2 , 4 等都是它们的周期.
其中 2 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的 一个，称为最小正周期.
发现新知 三角函数的周期性
x
u v sin _____; u v cos _____;
2 2
2 2
u
集合观点下的函数定义：设 A、B是非空的数集， 运动观点下的函数定义：设在某变化过程中有
如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合A 两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每
中的任意一个数 xy ，在集合 B中都有唯一确定的 一个确定的值， 都有唯一确定的值与它对应，
探究点2
三角函数值在各象限的符号
思考 1 角 α 的正弦、余弦、正切的值的正负与
谁有关？
提示：与角α终边所在的象限有关. 思考 2 如何判断角 α 的正弦、余弦、正切值的 正负？ 提示：角α的正弦、余弦、正切值的正负只与 点 P(u,v) 的坐标 u,v 的正负有关，所以可通过 u,v的正负来判断角α的正弦、余弦、正切值的
以原点为O圆心，以单位长 度为半径的圆叫做单位圆．
y
P(u,v) α O M A(1,0) x

6
3
u
3 2
v
1 2
3 2
2 2
sin cos
1 2
3 2
3 2
1 2
2 2
4
1 2
2 2
2 2
y
P(u,v)
MP sin v, OP OM cos u, OP
y=cosx的变化有什么特点吗？
总结：用x表示自变量，即x表示角的大小， 用y表示函数值，于是任意角三角函数可以 表示为 y sin x , y cosx.它们的定义域为 全体实数.
1.已知角
的终边经过 解：
，求
的正弦函
数值、余弦函数值． y
O
P
x