高中数学 1.4.2 单位圆与周期性1(新版)北师大版必修4

§单位圆与周期性一、[学习目标]1掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数都是周期函数2会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为0°～360°求值．二、[教学难点]周期函数的定义及应用三、[教学重点]正弦函数，余弦函数的周期性四、学情分析：五、学法与教法：探究讨论法六、教学过程：〔一〕、复习回忆任意角的三角函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P,，那么：叫作α的正弦函数，记作inα，即inα=；叫作α的余弦函数，记作coα，即coα=;当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：在直角坐标系的单位圆中，画出以下各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表观察此表格中的数据,你能发现函数=in和=co的变化有什么特点吗？〔二〕、引入新课把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数正弦函数、余弦函数是周期函数，称为正弦函数、余弦函数的周期例如，等都是它们的周期其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期一般地，对于函数f，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个值，都有fT=f, 我们就把f称为周期函数，T称为这个函数的周期说明：假设不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期〔三〕、探究新知1、对周期函数的理解周期函数的定义中“对于定义域内的任意一个〞的“任意一个〞的含义是指定义域内的所有的值，即如果有一个，使得，那么T就不是函数f的周期。

注意，周期函数定义中的“T〞是____________2、对最小正周期的理解并不是所有周期函数都存在最小正周期。

函数：f=c〔c为常数〕，对于函数f〔〕的定义域内的每一个值,都有f〔T〕=c，因此f〔〕为_______,由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f〔〕没有最小正周期3、周期函数的周期有无限多个。

安边中学 高一 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间：第 周集体备课 个人空间一、课题： 1.4.2单位圆与周期性二、学习目标⒈理解周期性概念的形成. ⒉周期函数概念的加深理解.⒊正弦、余弦函数的周期性.重点：正弦、余弦函数的周期性。

难点：求函数的最小正周期。

三、落实目标：【自主预习】1.当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：象限 三角函数 第一象限第二象限 第三象限 第四象限αsinαcos2.终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等，即_________________________，_________________________。

3.课前自主学习⑴一般地，对于函数()x f ，如果存在非零实数T ，对定义域内的_______________一个x 值都有_________________________，我们就把()x f 称为周期函数，____________称为这个函数的周期。

如果在周期函数()x f 的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做()x f 的最小正周期。

⑵若周期函数()x f 的一个周期是T （T ≠0），则___________________也为()x f 的周期。

⑶正弦函数、余弦函数的周期为_____________________，最小正周期为________________。

【合作探究】1.已知函数)(x f )(R x ∈是周期为3的奇函数，且f(-1)＝a,则f(7)＝_________2.已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且f(1)＝2,f(x+3)＝f(x) ,求f(8).3.已知角α为第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。

【检测训练】反思栏。

4.2 单位圆与周期性一、基础过关 1．sin 390°等于( )A.32B ．－32C ．－12D.12 2．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎦⎤π6，5π6C.⎣⎡⎦⎤π6，2π3D.⎣⎡⎦⎤5π6，π 3．比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.54．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3B.⎝⎛⎭⎫0，π3C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 5．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝________________. 6．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在第______象限． 7．求函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为______．8．解三角不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0.二、能力提升 9．下列命题正确的是( )A ．α、β都是第二象限角，若sin α>sin β，则cos α<cos βB ．α、β都是第三象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin βC ．α、β都是第四象限角，若sin α>sin β，则cos α>cos βD ．α、β都是第一象限角，若cos α>cos β，则sin α>sin β10．已知点P (sin α－cos α，sin αcos α)在第一象限，在[0,2π)内，求α的取值范围是________．11．求函数f (x )＝log (1－2cos x )(2sin x ＋1)的定义域．12．已知f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期．三、探究与拓展13．设π2>α>β>0，求证：α－β>sin α－sin β.答案1．D 2.B 3.C 4.D5.⎣⎡⎭⎫0，π4∪⎝⎛⎦⎤54π，2π6.四7.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z 8．解 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x >12，如图所示，由三角函数线可得：∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )，2k π－π3<x <2k π＋π3 (k ∈Z ).此交集恰好为图形中的阴影重叠部分，即2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z .故不等式组的解集为{x |2k π≤x <2k π＋π3，k ∈Z }．9．C 10.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π 11．解 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ＋1>01－2cos x >01－2cos x ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x >－12cos x <12cos x ≠0.如图利用单位圆，得函数的定义域是(2k π＋π3，2k π＋π2)∪(2k π＋π2，2k π＋76π)，k ∈Z .12．证明 ∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期． 13．证明如图所示，设单位圆与角α、β的终边分别交于P1、P2，作P1M1⊥x轴于M1，作P2M2⊥x 轴于M2，作P2C⊥P1M1于C，连接P1P2，则sin α＝M1P1，sin β＝M2P2，α－β＝P1P2，∴α－β＝P1P2>P1P2>CP1＝M1P1－M1C＝M1P1－M2P2＝sin α－sin β，即α－β>sin α－sin β.。

§4.2 单位圆与周期性教学目标1．知识与技能（1）会利用单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的周期性；（2）理解周期函数的定义。

2.过程与方法由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，利用单位圆的独特性，充分理解正弦函数和余弦函数的周期性。

同时感受利用单位圆研究三角函数是高中数学中的一种重要方法。

3.情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的三角函数推广到任意角的三角函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

教材分析在直角坐标系的单位圆中，角α的终边与单位圆的交点P的位置随α的变化而变化，由此可看出正弦函数、余弦函数的周期性。

教材在分析了正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化而呈周期性变化后，归纳出了周期函数的概念，并给出了定义。

教材重点研究了正弦函数、余弦函数的周期性，而对一般的周期函数不作研究。

教学重点1．任意角的三角函数两个定义的应用；2.周期函数的概念教学难点1.三角函数定义的灵活应用；2. 理解周期函数的概念教学方法与手段学生对三角函数定义的灵活应用有一定难度，教师应以数形结合为引导，启发学生利用定义解题的关键是求出角α终边与单位圆的交点坐标。

另外，周期函数的概念的理解对学生有较高的要求，建议教师从特殊出发，引导学生自己独立发现规定自变量的任意性的合理性。

教学过程一、复习回顾：1．任意角的三角函数是如何定义的？体现什么数学思想？2．利用单位圆定义任意角的三角函数的正、余弦函数有什么优点？体现什么数学思想？从中可以发现正、余弦函数有什么关系？利用角α终边上一点(5,12)P -分别求sin ,cos ,tan ααα来回答问题1和问题2.（1）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k ->，如何求ααcos ,sin ？（2）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k -<，如何求ααcos ,sin ？（3）改为已知角α终边上一点(5,12)(0)P k k k -≠，如何求ααcos ,sin ？3．正弦、余弦函数的定义域是什么？你是如何得到三角函数定义域的？4．正弦、余弦函数在四个象限的符号是怎样的？正弦一二为正三四为负，余弦一四为正二三为负。