单位圆与周期性(北师大版)

§单位圆与周期性一、[学习目标]1掌握正弦、余弦函数的定义，理解正弦函数、余弦余数都是周期函数2会利用正弦、余弦函数的周期性把求任意角的正弦、余弦值转化为0°～360°求值．二、[教学难点]周期函数的定义及应用三、[教学重点]正弦函数，余弦函数的周期性四、学情分析：五、学法与教法：探究讨论法六、教学过程：〔一〕、复习回忆任意角的三角函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P,，那么：叫作α的正弦函数，记作inα，即inα=；叫作α的余弦函数，记作coα，即coα=;当角α的终边分别在第一、二、三、四象限时，正弦函数值、余弦函数值的正负号：在直角坐标系的单位圆中，画出以下各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表观察此表格中的数据,你能发现函数=in和=co的变化有什么特点吗？〔二〕、引入新课把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数正弦函数、余弦函数是周期函数，称为正弦函数、余弦函数的周期例如，等都是它们的周期其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期一般地，对于函数f，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个值，都有fT=f, 我们就把f称为周期函数，T称为这个函数的周期说明：假设不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期〔三〕、探究新知1、对周期函数的理解周期函数的定义中“对于定义域内的任意一个〞的“任意一个〞的含义是指定义域内的所有的值，即如果有一个，使得，那么T就不是函数f的周期。

注意，周期函数定义中的“T〞是____________2、对最小正周期的理解并不是所有周期函数都存在最小正周期。

函数：f=c〔c为常数〕，对于函数f〔〕的定义域内的每一个值,都有f〔T〕=c，因此f〔〕为_______,由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f〔〕没有最小正周期3、周期函数的周期有无限多个。

《单位圆与周期性》教学设计教材首先通过对终边相同角的正、余弦函数值的分析得出公式，使学生初步了解函数的周期性，进而给出周期函数的定义。

特别探究正弦函数、余弦函数的周期、最小正周期，以便于后续的学习和应用。

【知识与能力目标】1、掌握终边相同角的正弦、余弦函数值间的关系2、理解周期函数的定义；熟知正、余弦函数的周期、最小正周期。

【过程与方法目标】通过对周期函数的定义和三角函数周期的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】1、使学生认识到事物之间是有联系的，终边相同角的三角函数值相等；2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。

【教学重点】掌握终边相同角的正弦、余弦函数值间的关系【教学难点】理解周期函数的定义；熟知正、余弦函数的周期、最小正周期。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、复习导入部分复习回顾正、余弦函数的定义、定义域、值域、在各个象限的符号。

二、探究新知： 阅读教材P 16～P 17练习以上部分，完成下列问题。

1、终边相同的角的正弦、余弦函数值的关系。

(1)终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(x ＋2k π)＝sin x (k ∈Z )。

(2)终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )。

2、一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期。

3、特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k π(k ∈Z ，k ≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期。

三、例题解析求下列各角的三角函数值。

(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π；(2)cos 1 500°； (3)sin 174π；(4)cos 253π。

4．1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2单位圆与周期性1．任意角的正弦、余弦函数的定义如图所示，在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点P(u，v)，我们把点P的纵坐标v定义为角α的正弦函数，记作v＝sin__α；点P的横坐标u定义为角α的余弦函数，记作u＝cos__α．对于给定的角α，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数．在给定的单位圆中，对于任意角α可以是正角、负角或是零角，所以，正弦函数v＝sin α，余弦函数u＝cos α的定义域为全体实数．2．正弦函数、余弦函数在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin α＋＋－－cos α＋－－＋[注意]按正值简记为：正弦一、二象限全为正；余弦偏在一、四中．3．终边相同的角的正、余弦函数(1)公式：sin(x＋2kπ)＝sin__x，k∈Z；cos(x＋2kπ)＝cos__x，k∈Z.(2)意义：终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值分别相等．4．周期函数(1)定义：一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )为周期函数，T 称为这个函数的周期． (2)正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的最小正周期均是2π．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α>0，则角α的终边在第一或第二象限．( ) (2)若sin α＝sin β，则α＝β.( )(3)若sin(60°＋60°)＝sin 60°，则60°是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( ) (4)若T 是函数f (x )的周期，则kT ，k ∈N ＋也是函数f (x )的周期．( ) 解析：(1)错误．因为sin α>0，所以角α的终边还有可能在y 轴的正半轴上． (2)错误．正弦值相等，但两角不一定相等，如sin 60°＝sin 120°，但60°≠120°. (3)错误．举反例，sin(40°＋60°)≠sin 40°，所以60°不是正弦函数y ＝sin x 的一个周期． (4)正确．根据周期函数的定义知，该说法正确. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．若角α的终边与单位圆相交于点⎝⎛⎭⎫22，－22，则sin α的值为( ) A.22B ．－22C.12D ．－12解析：选B.利用任意角三角函数的定义可知，点⎝⎛⎭⎫22，－22到原点的距离为1，则sin α＝－221＝－22，故选B. 3．对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________． 解析：由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2. 答案：2(答案不唯一)4．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴负方向相同，则sin α＝________．解析：由正弦线的概念知sin α＝－12.答案：－121．对正弦函数、余弦函数定义的理解(1)定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．(2)角α的终边与单位圆O 交于点P (u ，v )，实际上给出了两个对应关系，即 实数α(弧度)对应于点P 的纵坐标v ――→对应正弦 实数α(弧度)对应于点P 的横坐标u ――→对应 余弦(3)三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．(4)sin α是一个整体，不是sin 与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的． 2．正弦函数、余弦函数定义的拓展上面利用单位圆，给出了任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把这一定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，如下图，那么，比值y r 叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r ；比值xr 叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝xr.3．终边落在坐标轴上的角的正弦、余弦值利用正弦函数、余弦函数的定义可知，当α的终边落在坐标轴上时，正弦函数、余弦函数的取值情况如下表：函数名称 终边位置正弦函数余弦函数x 轴正半轴 0 1 x 轴负半轴 0 －1 y 轴正半轴1y轴负半轴－104.对周期函数的概念的理解(1)定义域：在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)“对定义域内的任意一个x”这句话中“任意一个x”的含义是指定义域内所有的x值，即如果存在一个x0，使f(x0＋T)≠f(x0)，那么T就不是函数f(x)的周期．(3)周期函数的周期有无限多个．若T是周期，则对定义域中任意x，总有f(x＋kT)＝f(x＋(k －1)T)＝f(x＋(k－2)T)＝…＝f(x)都成立，即f(x＋kT)＝f(x)，所以kT(k∈Z，k≠0)也是周期．(4)值域：由于对定义域中任意x，总有f(x＋T)＝f(x)成立，则周期函数y＝f(x)的值域与函数y＝f(x)在一个周期内的值域相同．利用正、余弦函数的定义求值已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．【解】法一：设射线y＝2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y0＝2x0，x20＋y20＝1，x0≥0，解得⎩⎨⎧x0＝55，y0＝255，即P⎝⎛⎭⎫55，255，所以sin α＝y0＝255，cos α＝x0＝55.法二：设点P(a，2a)是角α终边上任意一点，其中a>0.因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.本例中条件“角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”若换为“角α的终边落在直线y＝2x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：(1)若α的终边在第一象限内，设点P(a，2a)(a>0)是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝a2＋4a2＝5a（O为坐标原点），所以sin α＝yr＝2a5a＝255，cos α＝xr＝a5a＝55.(2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ，2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0) （O 为坐标原点），所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )(P 与原点O 不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2(r >0)；第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝xr求值．1.(1)设角α的终边上有一点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值是( )A ．－25 B.25 C ．－25或25D ．1(2)已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，则cos α＝________． 解析：(1)由三角函数的定义可知sin α＝－342＋（－3）2＝－35，cos α＝442＋（－3）2＝45， 所以2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25，故选A. (2)因为r ＝4＋y 2，所以sin α＝yr ＝yy 2＋4＝－55.所以y <0，所以y ＝－1，r ＝5， 所以cos α＝x r ＝－25＝－255.答案：(1)A (2)－255单位圆中的角在直角坐标系的单位圆中，已知α＝83π.(1)画出角α；(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值． 【解】 (1)因为α＝83π＝2π＋23π，所以角α的终边与23π的终边相同．以原点为角的顶点，以x 轴非负半轴为角的始边，逆时针旋转83π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示． (2)因为α＝83π，所以点P 在第二象限，由(1)知∠AOP ＝2π3，过点P 作PM ⊥x 轴于点M .则在Rt △OMP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π3，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝12，MP ＝32，所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32.(3)根据正弦函数的定义有sin8π3＝32.(1)先将角α表示为α＝β＋2k π(－π<β≤π，k ∈Z )的形式，则角β的终边即为角α的终边，k 为x 轴的非负半轴逆(k >0)或顺(k <0)旋转的周数．(2)求角α与单位圆的交点坐标，应利用角α的特殊性转化为直角三角形的边角关系求解，进而得角α的正弦、余弦值．2.(1)已知角α的终边和单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α＝________，cos α＝________．(2)在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－136π.①画出角α；②求出角α的终边与单位圆的交点坐标； ③求出角α的正弦、余弦值．解：(1)根据正弦函数和余弦函数的定义知，sin α＝－45，cos α＝35.故填－45和35.(2)①因为α＝－136π＝－2π－π6，所以角α的终边与－π6的终边相同，如图，以原点为角的顶点，以x 轴的非负半轴为角的始边，顺时针旋转136π，与单位圆交于点P ，则角α如图所示．②因为α＝－136π，所以点P 在第四象限．由①知，∠AOP ＝π6，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，则在Rt △MOP 中，∠OMP ＝π2，∠MOP ＝π6，OP ＝1，由直角三角形的边角关系，得OM ＝32，MP ＝12， 所以得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12.③根据正弦、余弦函数的定义，得 sin ⎝⎛⎭⎫－136π＝－12，cos ⎝⎛⎭⎫－136π＝32. 判断三角函数值的符号及角所在象限(1)判断sin 340°cos 265°的符号；(2)若sin 2α>0，且cos α<0，试确定α所在的象限． 【解】 (1)因为340°是第四象限角，265°是第三象限角， 所以sin 340°<0，cos 265°<0. 所以sin 340°cos 265°>0. (2)因为sin 2α>0，所以2k π<2α<2k π＋π(k ∈Z )， 所以k π<α<k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，有2m π<α<2m π＋π2(m ∈Z )；当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，有2m π＋π<α<2m π＋3π2(m ∈Z )．所以α为第一或第三象限角．又由cos α<0，可知α为第三象限角．(1)三角函数值的符号可按以下口诀记忆：一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． (2)对于确定α角所在象限问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后依据上述三角函数的符号来确定角α所在的象限，则它们所在象限的公共部分即为所求．3.判断下列各式的符号．(1)α是第四象限角，sin α·cos α； (2)sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－23π4. 解：(1)因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0. (2)因为π2<3<π，π<4<3π2，所以sin 3>0，cos 4<0. 因为－23π4＝－6π＋π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫－23π4>0. 所以sin 3·cos 4·cos ⎝⎛⎭⎫－234π<0. 周期性及其应用已知函数f (x )在定义域R 上恒有： ①f (x )＝f (－x )，②f (2＋x )＝f (2－x )， 当x ∈[0，4)时，f (x )＝－x 2＋4x . (1)求f (8)；(2)求f (x )在[0，2 016]内零点的个数．【解】 (1)由已知：f (8)＝f (2＋6)＝f (2－6)＝f (－4)＝f (4)＝f (2＋2)＝f (2－2)＝f (0)＝0. (2)因为f (x )在定义域R 上恒有f (2＋x )＝f (2－x )， 所以f (x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 又f (x )＝f (－x )对x ∈R 恒成立． 故有f (－x )＝f (4－x )对x ∈R 恒成立． 即4是f (x )的一个周期．因为x ∈[0，4)时，f (x )＝0的根为x ＝0， 所以f (x )＝0在R 上的根为x ＝4k ，k ∈Z . 由0≤4k ≤2 016(k ∈Z )得0≤k ≤504(k ∈Z )． 所以f (x )在[0，2 016]内的零点共有505个．(1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如本题出现由f (x )＝f (4－x )得4是f (x )的一个周期是错误的．4.(1)设f (x )是以4为一个周期的函数，且当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫72的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－3(2)已知函数f (x )满足f (1)＝2，且f (x ＋1)＝－1f （x ）(f (x )≠0)对任意x ∈R 恒成立，则f (5)＝________．(3)已知f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 解：(1)选B.f (x )是以4为一个周期的函数， 所以4k (k ∈Z ，k ≠0)也是f (x )的周期． 所以f (x －4)＝f (x )，故f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫72－4，从而f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12. 又当x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋1， 所以f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0. (2)因为f (x ＋1)＝－1f （x ），所以f (x ＋2)＝－1f （x ＋1），所以f (x ＋2)＝－1－1f （x ）＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 所以f (5)＝f (1)＝2.故填2.(3)因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝ －[－f (x )]＝f (x )，所以f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．思想方法分类讨论思想确定三角函数值符号函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是________．[解析] 当x 为第一象限的角时，sin x ＞0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1＋1＝2；当x 为第二象限的角时，sin x ＞0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝1－1＝0；当x 为第三象限的角时，sin x ＜0，cos x ＜0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＝－1－1＝－2；当x 为第四象限的角时，sin x ＜0，cos x ＞0， 所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x＝－1＋1＝0.所以y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x 的值域是{－2，0，2}．[答案] {－2，0，2}求函数的值域实质是对函数式进行化简，在求解中对sin x 、cos x 的符号进行讨论，即对x 所在象限进行分类讨论．所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．1．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．23 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－2 3解析：选D.r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.故选D. 2．若－π2＜α＜0，则点(tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由－π2＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是________．解析：因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.答案：24．已知函数f (x )是周期函数，周期T ＝6，f (2)＝1，则f (14)＝________． 解析：f (14)＝f (2×6＋2)＝f (2)＝1. 答案：1, [A 基础达标]1．cos ⎝⎛⎭⎫－16π3的值为( ) A ．－32B.32C.12D ．－12解析：选D.－163π的终边与23π的终边重合，故cos ⎝⎛⎭⎫－16π3＝cos 2π3＝－12. 2．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C.因为sin 30°＝12，cos 30°＝32，所以α的终边过点(1，－3)，所以r ＝1＋（－3）2＝2，所以sin α＝y r ＝－32，故选C.3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－|cos α|cos α的值是( )A ．－1B ．2C ．1D ．0解析：选B.因为α为第二象限角， 所以sin α>0，cos α<0.所以|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝2.4．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z解析：选B.由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .5．有下列命题：①存在函数f (x )定义域中的某个自变量x 0，使f (x 0＋T )＝f (x 0)，则f (x )为周期函数；②存在实数T ，使得对f (x )定义域内的任意一个x ，都满足f (x ＋T )＝f (x )，则f (x )为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.①由周期函数的定义，可知f (x ＋T )＝f (x )对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则f (x ＋2T )＝f [(x ＋T )＋T ]＝f (x ＋T )＝f (x )，所以2T 也是周期，故不正确． 6．已知角α为第二象限角，则（sin α－cos α）2化简的结果为________． 解析：因为角α为第二象限角，故sin α>0，cos α<0，因此（sin α－cos α）2＝|sin α－cosα|＝sin α－cos α. 答案：sin α－cos α7．若α是第三象限角，则sin(cos α)·cos(sin α)________0. 解析：因为α是第三象限角，所以－1<cos α<0，－1<sin α<0.所以sin(cos α)<0，cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0. 答案：<8．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________． 解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：359．已知点M 是圆x 2＋y 2＝1上的点，以射线OM 为终边的角α的正弦值为－22，求cos α的值．解：设点M 的坐标为(x 1，y 1)． 由题意，可知sin α＝－22，即y 1＝－22. 因为点M 在圆x 2＋y 2＝1上， 所以x 21＋y 21＝1，即x 21＋⎝⎛⎭⎫－222＝1， 解得x 1＝22或x 2＝－22. 所以cos α＝22或cos α＝－22. 10．已知函数f (x )的定义域是R ，对任意实数x ，满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x .(1)求证：函数f (x )是周期函数； (2)求f (－7)．解：(1)证明：对任意实数x ，有f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )． 所以函数f (x )是周期函数． (2)由(1)知，函数f (x )的周期为4， 所以f (－7)＝f (－7＋2×4)＝f (1)． 因为当x ∈[0，4)时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (－7)＝f (1)＝3.[B 能力提升]11．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．12．若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433 D. 3解析：选C.依题意，可知sin α＝a a 2＋16，cos α＝－4a 2＋16.又sin α·cos α＝34，所以－4a a 2＋16＝34， 即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433，故选C.13．已知角α的终边过点(3m －9，m ＋2)，且cos α<0，sin α>0，求m 的取值范围． 解：因为cos α<0，所以α的终边在第二或第三象限，或x 轴的非正半轴上． 又因为sin α>0，所以α的终边在第一或第二象限，或y 轴的非负半轴上． 所以α是第二象限角，即点(3m －9，m ＋2)在第二象限．所以⎩⎪⎨⎪⎧3m －9<0，m ＋2>0，解得－2<m <3，即m 的取值范围是(－2，3)．14．(选做题)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义． (1)试判断角α所在象限；(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，所以α是第三或第四象限角或终边在y 轴非正半轴上的角．由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角．综上可知角α是第四象限角． (2)因为点M ⎝⎛⎭⎫35，m 在单位圆上， 所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝－45.。

《单位圆与周期性》教学设计本课时编写：双辽一中张敏◆教材分析本节是根据在单位圆中，任意角的正弦、余弦函数定义得到函数的特征，通过分析两个等式直接下了定义。

由于定义来的突然，学生对于应用的理解很低，因此本教案设计了两个例题和一个变式训练，算是抛砖引玉。

◆教学目标【知识与能力目标】了解并掌握周期性的定义；【过程与方法目标】积极讨论，踊跃展示，大胆质疑，探究周期性的规律．【情感态度价值观目标】在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．◆教学重难点【教学重点】周期性的定义.【教学难点】周期性的应用.◆课前准备多媒体课件教学过程一、新知探究提出问题：（1）观察下图，根据前面学的知识，在单位圆中，由任意角的正弦、余弦函数定义能得到哪些结论？（2）怎样定义周期函数？（3）怎样确定最小正周期？通过探讨，由老师进行归纳总结：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，也就是终边相同的角的正弦函数值相等，即sin(2kπ+x)=sinx,k∈Z；终边相同的角的余弦函数值相等，即cos(2kπ+x)=cosx,k∈Z.对于任意一个角x，每增加的2π整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变。

所以正弦函数值、余弦函数值均是随角的变化呈周期性变化的。

我们把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数，正弦函数、余弦函数是周期函数，且2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数、余弦函数的周期。

一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，任取定义域内地任意一个值x，都有f(x+T)=f(x),我们就把称它为周期函数，T称为这个函数的周期。

特别注意：若不加特别说明，本书所指的周期均为函数的最小正周期。

【设计意图】通过提问，引出新知，让学生带着问题思考。

二、典例分析.例1. 求下列三角函数值：（1）sin390° ；（2）cos19π6由老师带领学生做题，加深对观念的理解，最后进行点评。