江苏专用2019_2020学年高中数学课时跟踪检测二十七离散型随机变量的均值苏教版选修2_3

[课下梯度提能]一、基本能力达标1. 若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44D ．3×0.64解析：选C 因为ξ～B (n,0.6)，所以E (ξ)＝n ×0.6，故有0.6n ＝3，解得n ＝5.P (ξ＝1)＝C 15×0.6×0.44＝3×0.44.2. 随机变量X 的分布列如下表，则E (5X ＋4)等于( )A ．16 C ．2.2D ．2.3解析：选A 由已知得E (X )＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.3. 今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X ，则E (X )等于( )A ．0.765B ．1.75C ．1.765D ．0.22解析：选B P (X ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15＝0.015；P (X ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22；P (X ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E (X )＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.4．已知离散型随机变量X 的分布列为若Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 由离散型随机变量分布列的性质，得12＋13＋m ＝1，解得m ＝16.∴E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13. ∴E (Y )＝E (aX ＋3)＝aE (X )＋3＝－13a ＋3＝73， ∴a ＝2.5．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min ，这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y 的期望为( )A.13 B ．1 C.43D.83解析：选D 遇到红灯的次数X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，∴E (X )＝43.∴E (Y )＝E (2X )＝2×43＝83.6．若随机变量X ～B (n,0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)＝________. 解析：∵X ～B (n,0.6)，E (X )＝3， ∴0.6n ＝3，即n ＝5.∴P (X ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44＝0.076 8.答案：0.076 87．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的数学期望为________．解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064 ＝2.376. 答案：2.3768．设10件产品中有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为________．解析：设取得次品数为X(X＝0,1,2)，则P(X＝0)＝C03C27C210＝715，P(X＝1)＝C13C17C210＝715，P(X＝2)＝C23C210＝115，∴E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.答案：3 59．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝C12C13C15C310＝14.(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X＝0)＝C38C310＝715，P(X＝1)＝C12C28C310＝715，P(X＝2)＝C22C18C310＝115.综上知，X的分布列为故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝35(个)．10．一接待中心有A，B，C，D四部热线电话，已知某一时刻电话A，B占线的概率均为0.5，电话C，D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互间没有影响，假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的数学期望．解：P(X＝0)＝0.52×0.62＝0.09，P(X＝1)＝C12×0.52×0.62＋C12×0.52×0.4×0.6＝0.3，P(X＝2)＝C22×0.52×0.62＋C12C12×0.52×0.4×0.6＋C22×0.52×0.42＝0.37，P (X ＝3)＝C 12×0.52×0.4×0.6＋C 12C 22×0.52×0.42＝0.2，P (X ＝4)＝0.52×0.42＝0.04. 于是得到X 的概率分布列为所以E (X )＝0＝1.8. 二、综合能力提升1．设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．2解析：选A 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为X ，则X 取值0,1,2，P (X ＝0)＝C 27－xC 27＝(7－x )(6－x )42，P (X ＝1)＝C 1x ·C 17－x C 27＝x (7－x )21， P (X ＝2)＝C 2xC 27＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，解得x ＝3.2．盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止．求：(1)抽取次数X 的分布列； (2)平均抽取多少次可取到好电池． 解：(1)由题意知，X 取值为1,2,3. P (X ＝1)＝35； P (X ＝2)＝25×34＝310； P (X ＝3)＝25×14＝110.所以X的分布列为X 12 3P 35310110(2)E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5，即平均抽取1.5次可取到好电池．3．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100 m处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150 m处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200 m处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且比赛结束．已知射手甲在100 m处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的．(1)求射手甲在这次射击比赛中命中目标的概率；(2)求射手甲在这次射击比赛中得分的数学期望．解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A，B，C，三次都未击中目标为事件D，依题意P(A)＝1 2，设在x m处击中目标的概率为P(x)，则P(x)＝kx2，且12＝k1002，∴k＝5 000，即P(x)＝5 000 x2，∴P(B)＝5 000 1502＝29，P(C)＝5 000 2002＝18，P(D)＝12×79×78＝49144.由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率P＝P(A)＋P(A·B)＋P(A·B·C)＝P(A)＋P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)·P(C)＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12·29＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12·⎝⎛⎭⎪⎫1－29·18＝95144.(2)依题意，设射手甲得分为X，则P(X＝3)＝1 2，P(X＝2)＝12×29＝19，P(X＝1)＝12×79×18＝7144，P(X＝0)＝49 144.所以E(X)＝3×12＋2×19＋1×7144＋0×49144＝255144＝8548.由Ruize收集整理。

高中数学人教A 版选修部分 课时跟踪检测离散型随机变量的均值一、选择题1.若随机变量ξ的分布列如下表所示，则E(ξ)的值为( )A. B. C. D.118192099202.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X 的期望是( )A.0.2B.0.8C.1D.03.某班有的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的14学生数ξ～B ，则E(－ξ)的值为( )(5， 14)A. B.－ C. D.－141454544.有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E(X)等于( )A. B. C. D.13581514155.已知随机变量ξ的分布列为若η=a ξ＋3，E(η)=，则a=( )73A.1B.2C.3D.46.已知抛物线y=ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ=|a －b|的取值，则ξ的数学期望E(ξ)为( )A. B. C. D.893525137.设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则67口袋中白球的个数为( )A.3B.4C.5D.28.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经一段时间考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定( )A.甲比乙质量好B.乙比甲质量好C.甲与乙质量相同D.无法判定二、填空题9.一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的数学期望为________.10.设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P(X=k)=ak ＋b(k=1,2,3).又X 的均值E(X)=3，则a ＋b=________.11.某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分.小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________.12.设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：则E(X)的最大值为________.13.节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.三、解答题14.盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止.求：(1)抽取次数X 的分布列；(2)平均抽取多少次可取到好电池.15.如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图.(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.16.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.答案解析1.答案为：C ；解析：根据概率和为1，可得x=，E(ξ)=0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5×x=40x=.1182092.答案为：B ；解析：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，所以E(X)=1×0.8＋0×0.2=0.8.3.答案为：D ；解析：∵E(ξ)=5×=，∴E(－ξ)=－E(ξ)=－，故选D.1454544.答案为：A ；解析：X 的可能取值为0,1,2，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==.C 27C 210715C 17C 13C 210715C 23C 210115所以E(X)=1×＋2×=.715115355.答案为：B ；解析：由分布列的性质得＋＋m=1，∴m=.121316∴E(ξ)=－1×＋0×＋1×=－. 12131613∴E(η)=E(a ξ＋3)=aE(ξ)＋3=－a ＋3=，∴a=2.13736.答案为：A ；解析：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴－<0，即>0，∴a 与b 同号.b 2a b a ∴ξ的分布列为∴E(ξ)=0×＋1×＋2×=.134929897.答案为：A ；解析：设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2，8.答案为：A ；解析：E(ξ)=0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1=0.6，E(η)=0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0=0.7.∵E(η)>E(ξ)，故甲比乙质量好.9.答案为：2.376；解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P(X=3)=0.6；P(X=2)=0.4×0.6=0.24；P(X=1)=0.42×0.6=0.096；P(X=0)=0.43=0.064.所以E(X)=3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064=2.376.10.答案为：－；16解析：∵P(X=1)=a ＋b ，P(X=2)=2a ＋b ，P(X=3)=3a ＋b ，∴E(X)=1×(a ＋b)＋2×(2a ＋b)＋3×(3a ＋b)=3，∴14a ＋6b=3.①又∵(a ＋b)＋(2a ＋b)＋(3a ＋b)=1，∴6a ＋3b=1.②∴由①②可知a=，b=－，∴a ＋b=－.12231611.答案为：48；解析：设小王选对的个数为X ，得分为Y=5X ，则X ～B(12,0.8)，E(X)=np=12×0.8=9.6，E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×9.6=48.12.答案为：；32解析：由表可得Error!从而得P ∈，期望值E(X)=0×＋1×p ＋2×=p ＋1，[0，12](12－p )12当且仅当p=时，E(X)最大值=.123213.答案为：706；解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)=200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15=340(束).设利润为η，则η=5ξ＋1.6×(500－ξ)－500×2.5=3.4ξ－450，所以E(η)=3.4E(ξ)－450=3.4×340－450=706(元).14.解：(1)由题意知，X 取值为1,2,3.P(X=1)=；P(X=2)=×=；P(X=3)=×=.3525343102514110所以X 的分布列为(2)E(X)=1×＋2×＋3×=1.5，35310110即平均抽取1.5次可取到好电池.15.解：(1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39=1，解得x=0.12.(2)由题意知，X ～B(3,0.1).因此P(X=0)=C ×0.93=0.729；03P(X=1)=C ×0.1×0.92=0.243；13P(X=2)=C ×0.12×0.9=0.027；23P(X=3)=C ×0.13=0.001.3故随机变量X 的分布列为故X 的数学期望为E(X)=3×0.1=0.3.16.解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.C 12C 13C 15C 31014(2)X 的所有可能值为0,1,2，且P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==.C 38C 310715C 12C 28C 310715C 2C 18C 310115综上知，X 的分布列为故E(X)=0×＋1×＋2×=(个).71571511535。

[课下梯度提能]一、基本能力达标1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m .令随机变量Z ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 发生，则Z 的方差V (Z )等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1)D ．m (1－m )解析：选D 由题意知，E (Z )＝m ，则V (Z )＝m (1－m )． 2. 若X 的分布列如下表所示且E (X )＝1.1，则( )A ．V (X )＝2 C ．V (X )＝0.5D ．V (X )＝0.49解析：选D 0.2＋p ＋0.3＝1，∴p ＝0.5.又E (X )＝0×0.2＋1×0.5＋0.3x ＝1.1，∴x ＝2，∴V (X )＝(0－1.1)2×0.2＋(1－1.1)2×0.5＋(2－1.1)2×0.3＝0.49.3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的数学期望与方差分别为( )A ．E (X )＝0，V (X )＝1B ．E (X )＝12，V (X )＝12 C ．E (X )＝0，V (X )＝12 D ．E (X )＝12，V (X )＝1解析：选A E (X )＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，V (X )＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.4．若X ～B (n ，p )且E (X )＝6，V (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2 B ．2－4 C ．3·2－10D ．2－8解析：选C ∵X ～B (n ，p )， ∴E (X )＝np ，V (X )＝np (1－p )．∴⎩⎨⎧np ＝6，np (1－p )＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝12，p ＝12.∴P (X ＝1)＝C 112·⎝ ⎛⎭⎪⎫121⎝⎛⎭⎪⎫1－1211＝3·2－10. 5．某种种子每粒发芽的概率是90%，现播种该种子1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望与方差分别是( )A ．100,90B ．100,180C ．200,180D ．200,360解析：选D 由题意可知播种了1 000粒，没有发芽的种子数ξ服从二项分布，即ξ～B (1 000,0.1)．而每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，故X ＝2ξ，则E (X )＝2E (ξ)＝2×1 000×0.1＝200，方差为D (X )＝D (2ξ)＝22·D (ξ)＝4×1 000×0.1×0.9＝360.6．已知X 的概率分布为则V (X )＝________.解析：∵a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3. ∴E (X )＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3.∴V (X )＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81. 答案：0.817．篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他一次罚球得分的方差为________．解析：设一次罚球得分为X ，X 服从两点分布，即所以V (X )＝p (1－p )＝0.7答案：0.218．已知随机变量X ～B (5,0.2)，Y ＝2X －1，则E (Y )＝________，标准差V (Y )＝________.解析：∵随机变量X～B(5,0.2)，Y＝2X－1，∴E(X)＝5×0.2＝1，V(X)＝5×0.2×0.8＝0.8. ∴E(Y)＝2E(X)－1＝1，V(Y)＝4V(X)＝3.2，∴V(Y)＝ 3.2＝45 5.答案：145 59．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：解：∵由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)．D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.∴D(X1)<D(X2)．综上可知，A大钟的质量较好．10．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求E(X)和V(X)．解：这3张卡片上的数字和X的可能取值为6,9,12.X＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P(X＝6)＝C38C310＝715.X＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.X ＝12表示取出的3张卡片中两张标有5，一张标有2，则P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.所以X 的分布列如下表：所以E (X )＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.V (X )＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36. 二、综合能力提升1．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53B.73 C ．3 D.113解析：选Cx 1，x 2满足⎩⎪⎨⎪⎧23x 1＋13x 2＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432×13＝29，解得⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23.∵x 1<x 2，∴x 1＝1，x 2＝2，∴x 1＋x 2＝3.2．若随机变量X 的分布列为P (X ＝m )＝13，P (X ＝n )＝a ，若E (X )＝2，则V (X )的最小值等于( )A ．0B ．1C．4 D．2解析：选A由分布列的性质，得a＋13＝1，a＝23.∵E(X)＝2，∴m3＋2n3＝2.∴m＝6－2n.∴V(X)＝13×(m－2)2＋23×(n－2)2＝23×(n－2)2＋13×(6－2n－2)2＝2n2－8n＋8＝2(n－2)2.∴n＝2时，V(X)取最小值0.3．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X，求V(X)．解：先求X的分布列．X＝0,1,2,3.X＝0表示三位学生全坐错了，情况有2种，所以P(X＝0)＝23！＝13；X＝1表示只有一位同学坐对了，情况有3种，所以P(X＝1)＝33！＝12；X＝2表示有两位学生坐对，一位学生坐错，这种情况不存在，所以P(X＝2)＝0；X＝3表示三位学生全坐对了，情况有1种，所以P(X＝3)＝13！＝16.所以X的概率分布如下：所以E(X)＝0×13＋1×12＋2×0＋3×16＝12＋12＝1，V(X)＝(0－1)2×13＋(1－1)2×12＋(2－1)2×0＋(3－1)2×16＝1.4．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个黑球．(1)采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； (2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差．解：(1)“有放回摸取”可看作独立重复实验， 每次摸出一球得白球的概率为p ＝26＝13. 所以“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 C 12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝49. (2)设摸得白球的个数为X ，依题意得P (X ＝0)＝C 24C 26＝25，P (X ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.所以E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝23，V (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×815＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×115＝1645.。

课时跟踪检测（六十三） 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.9，则P (0<X <2)＝( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4D ．0.6解析：选C ∵随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)， 且P (X <4)＝0.9，∴P (2<X <4)＝0.9－0.5＝0.4， ∴P (0<X <2)＝P (2<X <4)＝0.4，故选C.2．(2018·合肥一模)已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X 为取出3个球的总分值，则E (X )＝( )A.185B.215C ．4D.245解析：选B 由题意知，X P (X ＝3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23·C 12C 35＝35，P (X ＝5)＝C 13·C 22C 35＝310，所以E (X ＋5×310＝215.E (ξ)＝1.6，则a －b ＝a ＋b ＝0.8，又由E (ξ)＝0.3，b ＝0.5，则a －b ＝－0.2.4.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值E (X )等于( )A.126125 B.65C.168125D.75解析：选B 由题意X 可取0,1,2,3， 且P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125， P (X ＝2)＝3×12125＝36125， P (X ＝3)＝8125. 故E (X )＝54125＋2×36125＋3×8125＝65.5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的期望E (X )为( ) A.24181 B.266C.27481解析：选B 依题意，知X ，设每两局比赛为一轮，则该轮结束＝59，P (X ＝4)代替)，则随机变量ξ的数学期望为________．解析：∵随机变量分布列中各概率之和恒为1.∴P (ξ＝5)＝0.15，进而P (ξ＝3)＝0.25.∴E (ξ)＝1×0.20＋2×0.10＋3×0.25＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.20＝3.5.答案：3.57．一位篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望E (X )＝2，则2a ＋13b的最小值为________．解析：由题意可得，3a ＋2b ＋0·c ＝2，则3a ＋2b ＝2. 又a ，b ，c ∈(0,1)，∴2a ＋13b ＝12(3a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫203＋4b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫203＋2 4ba ·ab ＝163，当且仅当a ＝2b ＝12时取等号，故2a ＋13b 的最小值为163.答案：1638．(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率； (2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)解：(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率P ＝1550＝0.3.(2)由图知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2. P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16.所以ξ的分布列为故ξ的数学期望E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差． 9．(2018·洛阳第一次统考)雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM2.5，要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格指标考核．某省环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A ，B ，C 三个城市进行治霾落实情况抽查．(1)若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为12，若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检，否则需进行复检．设需进行复检的城市的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：(1)随机选取，共有34＝81种不同方法，恰有一个城市没有专家组选取的有C 13(C 14A 22＋C 24)＝42种不同方法， .(2)设事件A 则P (A )＝1－ ⎛⎪⎫14＝15，X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，1516，所以X 的分布列为故数学期望E (X )＝3×1516＝4516.10．(2018·长沙模拟)张老师开车上班，有路线①与路线②两条路线可供选择． 路线①：沿途有A ，B 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为12，23，若A 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为20分钟．路线②：沿途有a ，b 两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为34，25，若a 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b 处遇红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所花时间为15分钟．(1)若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？并说明理由． 解：(1)走路线①，20分钟能到校意味着张老师在A ，B 两处均遇到绿灯，记该事件发生的概率为P ，则P ＝12×23＝13.(2)设选择路线①的延误时间为随机变量ξ，则ξ的所有可能取值为0,2,3,5. 则P (ξ＝0)＝12×23＝13，P (ξ＝2)＝12×23＝13，P (ξ＝3)＝12×13＝16，P (ξ＝5)＝12×13＝16.故ξ的数学期望E (ξ)＝0×13＋2×13＋3×16＋5×16＝2.设选择路线②的延误时间为随机变量η，则η的所有可能取值为0,5,8,13. 则P (η＝0)＝34×25＝620，P (η＝5)＝34×35＝920，P (η＝8)＝14×25＝220，P (η＝13)＝14×35＝320.故η的数学期望E (η)＝0×620＋5×920＋8×220＋13×320＝5.因此选择路线①平均所花时间为20＋2＝22分钟，选择路线②平均所花时间为15＋5＝20分钟，所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②.B 级——拔高题目稳做准做1．已知一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当成功次数的标准差的值最大时，p 及标准差的最大值分别为( )A.12，5 B.45，25C.45，5 D.12，25解析：选A 记ξ为成功次数，由独立重复试验的方差公式可以得到D (ξ)＝np (1－p )≤n ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1－p 22＝n 4，当且仅当p ＝1－p ＝12时等号成立，所以D (ξ)max＝100×12×12＝25，D ξmax＝25＝5.2．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为P (X ＝1)＝p ，发球次数为2即两次发球成功的概率为P (X ＝2)＝p (1－p )，发球次数为3的概率为P (X ＝3)＝(1－p )2，则期望E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3.依题意有E (X )＞1.75，即p 2－3p ＋3＞1.75，解得p ＞52或p ＜12，结合p 的实际意义，可得0＜p ＜12.6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ B.54D.7740f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2中偶函数有f 2(x )＝x 2，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2，共3个，∴ξ的可能取值为1,2,3,4，P (ξ＝1)＝36＝12，P (ξ＝2)＝36×35＝310，P (ξ＝3)＝36×25×34＝320，P (ξ＝4)＝36×25×14＝120，∴ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.4．现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为12，乙、丙应聘成功的概率均为t2(0＜t ＜2)，且三个人是否应聘成功是相互独立的．记应聘成功的人数为ξ，当且仅当ξ为2时概率最大，则E (ξ)的取值范围为________．解析：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2＝－t28；P (ξ＝1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×t 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2＝4－t 28；P (ξ＝2)＝2×12×t 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×t 2×t 2＝4t －t28；P (ξ＝3)＝12×t 2×t 2＝t28.故ξ的分布列为－t 28∴E (ξ)＝0×－t 28＋1×4－t 28＋2×4t －t 28＋3×t 28＝t ＋12，由题意知P (ξ＝2)－P (ξ＝1)＝t －12＞0，P (ξ＝2)－P (ξ＝0)＝－t 2＋4t －24＞0，P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝2t －t24＞0，又0＜t ＜2，∴1＜t ＜2，∴32＜E (ξ)＜52，即E (ξ)的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，525．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率． 解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0,10,20,30.P (ξ＝0)＝15×14×13＝160，P (ξ＝10)＝45×14×13＋15×34×13＋15×14×23＝960＝320， P (ξ＝20)＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝2660＝P (ξ＝30)＝45×34×23＝25，故ξ的分布列为＋20×1330＋30×25＝1336.A ，“甲队得20分，乙队得10分”为事件BP (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝901 280＝9128. 6．某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23，甲、乙两家公司对每道题目的回答都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 解：(1)由题意可知，所求概率P ＝C 14C 22C 36×C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋C 24C 12C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝115.(2)设甲公司正确完成面试的题数为X ， 则X 的可能取值分别为1,2,3，P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，则X 的分布列为所以E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25.设乙公司正确完成面试的题数为Y ， 则Y 的可能取值分别为0,1,2,3，P (Y ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－233＝127， P (Y ＝1)＝C 13×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29，P (Y ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝49， P (Y ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， 则Y 的分布列为所以E (Y )＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2或因为Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，所以E (Y )＝3×23＝2，D(Y)＝(0－2)2×127＋(1－2)2×29＋(2－2)2×49＋(3－2)2×827＝23，因为E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲公司成功的可能性更大．。

课时跟踪检测(六十六) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布1．设随机变量X ～N (1,52)，且P (X ≤0)＝P (X ≥a －2)，则实数a 的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．102．一套重要资料锁在一个保险柜中，现有n 把钥匙依次分给n 名学生依次开柜，但其中只有一把真的可以打开柜门，平均来说打开柜门需要试开的次数为( )A ．1B ．n C.n ＋12D.n －123．已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．84．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，712 B.⎝⎛⎭⎫712，1 C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫12，15．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.16．袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，…，9的九个球．现从袋中随机取出3个球．设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时ξ的值是2)．则随机变量ξ的数学期望E (ξ)为( )A.16 B.13 C.12D.237．随机变量ξ服从正态分布N (40，σ2)，若P (ξ＜30)＝0.2，则P (30＜ξ＜50)＝________. 8．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分．没有击中记0分，某人每次击中目标的概率为23，此人得分的数学期望与方差分别为________．9．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E (ξ)＝________.(结果用最简分数表示)10．某医疗设备每台的销售利润与该设备的无故障使用时间Q (单位：年)有关．若Q ≤1，则销售利润为0元；若1＜Q ≤3，则销售利润为100元；若Q >3，则销售利润为200元．设每台该种设备的无故障使用时间Q ≤1，1<Q ≤3及Q ＞3这三种情况发生的概率分别为p 1，p 2，p 3，又知p 1，p 2是方程25x 2－15x ＋a ＝0的两个根，且p 2＝p 3.(1)求p 1，p 2，p 3的值；(2)记ξ表示销售两台这种设备的利润总和，求ξ的分布列和期望．11．2010年上海世博会大力倡导绿色出行，并提出在世博园区参观时可以通过植树的方式来抵消因出行产生的碳排放量，某游客计划在游园期间种植n 棵树，已知每棵树是否成活互不影响，成活率都为p (0<p <1)，用X 表示他所种植的树中成活的棵数，X 的数学期望为E (X )，方差为D (X )．(1)若n ＝1，求D (X )的最大值； (2)已知E (X )＝3，标准差D (X )＝32，试求n 与p 的值并写出X 的分布列． 12．甲、乙等五名大运会志愿者被随机分到A 、B 、C 、D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；(3)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列及数学期望．1．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(1)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．2．在一次人才招聘会上，有A 、B 、C 三种不同的技工面向社会招聘．已知某技术人员应聘A 、B 、C 三种技工被录用的概率分别是0.8,0.5,0.2(允许受聘人员同时被多种技工录用)．(1)求该技术人员被录用的概率；(2)设X 表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的积． ①求X 的分布列和数学期望；②“设函数f (x )＝3sin (x ＋X )4π，x ∈R 是偶函数”为事件D ，求事件D 发生的概率．[答 题 栏]答 案 课时跟踪检测(六十六)A 级1．选A 由正态分布的性质可知P (X ≤0)＝P (X ≥2)，所以a －2＝2，故a ＝4. 2．选C 法一：(特殊值验证法)当n ＝2时，P (X ＝1)＝P (X ＝2)＝12，E (X )＝32，即打开柜门需要的次数为32，只有C 符合．法二：已知每一位学生打开柜门的概率为1n ，所以打开柜门需要试开的次数的平均数(即数学期望)为1×1n ＋2×1n ＋…＋n ×1n ＝n ＋12.3．选C 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，解得b ＝0.4.∴E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a ＝7.4．选C 发球次数X 的分布列如下表：所以期望E (X )＝p ＋解得p ＞52(舍去)或p ＜12，又p ＞0，则0＜p ＜12.5．选A 依题意得，得分之和X 的可能取值分别是0,1,2，且P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5，P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，因此，这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9.6．选D 依题意得，ξ的所有可能取值是0,1,2，且P (ξ＝0)＝C 37C 39＝512，P (ξ＝1)＝C 27·A 22C 39＝12，P (ξ＝2)＝C 17C 39＝112，因此E (ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.7．解析：根据正态分布曲线的对称性可得P (30＜ξ＜50)＝1－2P (ξ＜30)＝0.6. 答案：0.68．解析：记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分， 则η～B ⎝⎛⎭⎫3，23，ξ＝10η， ∴E (ξ)＝10E (η)＝10×3×23＝20，D (ξ)＝100D (η)＝100×3×23×13＝2003.答案：2020039．解析：ξ可取0,1,2，因此P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22C 27＝121，E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.答案：4710．解：(1)由已知得p 1＋p 2＋p 3＝1. ∵p 2＝p 3，∴p 1＋2p 2＝1.∵p 1，p 2是方程25x 2－15x ＋a ＝0的两个根， ∴p 1＋p 2＝35.∴p 1＝15，p 2＝p 3＝25.(2)ξ的可能取值为0,100,200,300,400. 则P (ξ＝0)＝15×15＝125；P (ξ＝100)＝2×15×25＝425；P (ξ＝200)＝2×15×25＋25×25＝825；P (ξ＝300)＝2×25×25＝825；P (ξ＝400)＝25×25＝425.所以ξ的分布列为：ξ的期望为E (ξ)＝0×125＋100×425＋200×825＋300×825＋400×425＝240.11．解：(1)当n ＝1时，随机变量满足两点分布， D (X )＝p (1－p )＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋14， 即当p ＝12时，D (X )有最大值14，(2)∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )． 即np ＝3，np (1－p )＝32， 解得，n ＝4，p ＝34.∴P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫34k ·⎝⎛⎭⎫144－k (k ＝0,1,2,3,4)， 即X 的分布列为：12．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件A 1，则P (A 1)＝A 33C 25A 44＝140.故甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率为140.(2)记“甲、乙两人在同一岗位服务”为事件A 2，则P (A 2)＝C 14A 33C 25A 44＝110.故甲、乙两人不在同一岗位服务的概率为P (A 2)＝1－P (A 2)＝910.(3)由题知，随机变量ξ的所有可能取值为1,2，则P (ξ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14；P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝34.故ξ的分布列为：数学期望E (ξ)＝1×34＋2×14＝54.B 级1．解：记A i 表示事件：第1次和第2次这2次发球，甲共得i 分，i ＝0,1,2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2.(1)B＝A0A＋A1A，P(A)＝0.4，P(A0)＝0.42＝0.16，P(A1)＝2×0.6×0.4＝0.48，P(B)＝P(A0A＋A1A)＝P(A0A)＋P(A1A)＝P(A0)P(A)＋P(A1)P(A)＝0.16×0.4＋0.48×(1－0.4)＝0.352.(2)P(A2)＝0.62＝0.36.ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(A2A)＝P(A2)P(A)＝0.36×0.4＝0.144，P(ξ＝2)＝P(B)＝0.352，P(ξ＝3)＝P(A0A)＝P(A0)P(A)＝0.16×0.6＝0.096，P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－0.144－0.352－0.096＝0.408.E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝0.408＋2×0.352＋3×0.096＝1.400.2．解：记该技术人员被A、B、C三种技工分别录用的事件为A、B、C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.5，P(C)＝0.2.(1)该技术人员被录用的概率P＝1－P(A B C)＝1－0.2×0.5×0.8＝0.92.(2)设该技术人员被录用的工种数为n，则X＝n(3－n)，n＝0,1,2,3，所以X的所有可能取值为0,2.①P(X＝0)＝P(ABC)＋P(A B C)＝0.8×0.5×0.2＋0.2×0.5×0.8＝0.16；P(X＝2)＝1－P(X＝0)＝0.84.所以X的分布列为：所以E(X)＝0×0.16＋2×0.84＝1.68.②当X ＝0时，f (x )＝3sin πx4，则函数f (x )是奇函数，当X ＝2时，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋πx 4＝3cos πx4，则函数f (x )是偶函数． 所以所求的概率P (D )＝P (X ＝2)＝0.84.。

2．3.1 失散型随机变量的均值填一填1.失散型随机变量的均值(1)定义：若失散型随机变量X 的散布列为：X x1 x2 xxPpin p2pp1in则称 E(X)＝ x 1p 1＋ x 2p 2＋ ＋ x i p i ＋ ＋ x n p n 为随机变量 X 的均值或数学希望．(2)意义：它反应了失散型随机变量取值的均匀水平．(3)性质：假如 X 为 (失散型 ) 随机变量，则 Y ＝ aX ＋ b(此中 a ， b 为常数 )也是随机变量，且P(Y ＝ ax i ＋ b)＝ P(X ＝x i )，i ＝ 1,2,3， ， n.E(Y)＝ E(aX ＋ b)＝ aE(X)＋ b.2．两点散布和二项散布的均值(1)若 X 听从两点散布，则 E(X)＝ p ； (2)若 X ～ B(n ， p)，则 E(X)＝ np.3．随机变量的均值与样本均匀值的关系随机变量的均值是一个常数，它不依靠于样本的抽取，而样本的均匀值是一个随机变量，它随样本抽取的不一样而变化．关于简单随机样本，跟着样本容量的增添，样本的均匀值愈来愈靠近于整体的均值 .判一判 判断 ( 正确的打“√”，错误的打“×”)1．随机变量 X 的数学希望 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化． (×) 2．随机变量的均值反应样本的均匀水平． (× )3．若随机变量 X 的数学希望 E(X)＝ 2，则 E(2X)＝ 4.(√ )4．随机变量 X 的均值 E(X)＝ x ＋ x ＋ ＋ x.(× )1 2 nn 5．若随机变量 X 的数学希望 E(X)＝ 3，则 E(4X －5)＝ 7.(√ )1 ，则 E(X)的值为 4 6．若随机变量 X 听从二项散布B 4，3 3.(√ )17．设随机变量 X ～B(16， p)，且 E(X)＝ 4，则 p ＝ 4.(√ ) 8．一名射手每次射击中靶的概率为 0.8，则他独立射击 3 次中靶次数 X 的均值为 2.4.(√ )想想1.随机变量的均值和样本的均匀值是一个常数仍是随机变量？提示： 随机变量的均值是一个常数，它不依靠于样本的抽取；样本的均匀值是一个随机变量，它是跟着样本的不一样而变化的．2．跟着样本容量的增添，样本的均匀值与整体均匀值有什么关系？提示：跟着样本容量的增添，样本的均匀值愈来愈靠近于整体均匀值．－＝13．关于 n 个数 x1， x2，， x n，称 x(x1＋ x2＋＋ x n)为这 n 个数的均匀数，怎样从随n机变量的角度看这个问题？提示：设 X 为从这 n 个数中任取的一个数，则X 全部可能的取值便为x1， x2，，x n，1P(X＝x i) ＝n(i ＝ 1,2，， n)，即 X 的概率散布列为X x x2x3xn1P 1111 n n n n11111＋ x2＋＋ x n )．E(X)＝x1·＋x2·＋x3·＋＋ x n·＝ ( x1n n n n n4．若随机变量X～B(40， p)，且 E(X)＝ 16，则 p 为什么值？16提示：∵ E( X) ＝16，∴ 40p＝ 16，即 p＝40＝0.4.思虑感悟：练一练1.已知某一随机变量X 的散布列以下表所示，若E(X)＝ 6.3，则 a 的值为 ()X a79P b0.10.4A.4 B ． 5C．6 D．7分析：依据随机变量X 的散布列可知b＋ 0.1＋0.4＝ 1，所以b＝ 0.5.又 E(X) ＝ab＋ 7× 0.1＋9× 0.4＝ 6.3，所以 a＝ 4.答案： A2．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为 0.6，现有 4 颗子弹，命中后的节余子弹数目 X 的数学希望为 ________．分析： X 的可能取值为3,2,1,0，P(X＝ 3)＝ 0.6；P(X＝ 2)＝ 0.4× 0.6＝0.24；P(X＝ 1)＝ 0.42× 0.6＝ 0.096；P(X＝ 0)＝ 0.43＝ 0.064.所以 E(X)＝ 3×0.6＋ 2×0.24＋ 1×0.096＋ 0× 0.064＝2.376.答案： 2.3763．某次考试中，第一大题由12 个选择题构成，每题选对得 5 分，不选或错选得王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．分析：设小王选对的个数为X，得分为Y＝ 5X，0 分．小则 X～ B(12,0.8)， E(X)＝ np＝ 12× 0.8＝ 9.6，E(Y)＝E(5X)＝ 5E(X)＝ 5× 9.6＝ 48.答案： 48知识点一 失散型随机变量的方差1.一个口袋中有 5 个球，编号为 1,2,3,4,5，从中任取 2 个球，用 X 表示拿出球的较大号码，则 E(X)等于 ( )A ．4B ．5C ． 3D ． 4.5分析： P(X ＝ 2)＝ 12，P(X ＝ 3)＝ C 12 ＝ 1，P(X ＝ 4)＝C1 12， ＝ 1 22＝ 23＝ 3，P( X ＝ 5)＝ C24 ＝ 4 ＝ C510 C5105C510C10551 13 2故 E(X)＝2× 10＋ 3× 5＋ 4× 10＋ 5× 5＝4.答案： A2．袋中有 4 只红球， 3 只黑球，今从袋中随机拿出4 只球，设取到一只红球记2 分，取到一只黑球记 1 分，试求得分 X 的均值．分析： 拿出 4 只球，颜色散布状况是： 4红得 8分，3红1黑得 7分，2红2黑得 6分，1红 3 黑得 5 分，相应的概率为 C 41C 33 4 .P(X ＝ 5)＝ 4 ＝ 3572 C 218P(X ＝ 6)＝ C 43 .4 ＝ 35C 73 C4 1 12 .P(X ＝ 7)＝C＝4 3C 7 354 0P(X ＝ 8)＝ C 4C4 3＝ 1 .C357随机变量 X 的散布列为X 5 6 7 8P4 1812135 353535所以 E(X)＝ 5×354＋ 6×3518＋ 7×3512＋ 8× 351＝447.知识点二失散型随机变量均值的性质3.已知随机变量 X 的散布列为X1 2 3 P1 1 12 3 6且 Y ＝ aX ＋ 3，若 E(Y)＝－ 2，则 a 的值为 ________．分析： E(X)＝ 1× 12＋ 2×13＋ 3× 16＝53.5∵Y ＝ aX ＋ 3， ∴ E(Y)＝ aE(X)＋ 3＝ 3a ＋ 3＝－ 2. 解得 a ＝－ 3. 答案： －34．已知随机变量 X 的散布列以下：X － 2 －1 0 1 2 P1 1 1 m1 43520(1)求 m 的值；(2)求 E(X)；(3)若 Y ＝ 2X － 3，求 E(Y)．11 11分析： (1) 由随机变量散布列的性质，得4＋ 3＋ 5＋ m ＋20＝ 1，1解得 m ＝ 6.1111117(2)E(X)＝ (－ 2)× 4＋ (－ 1)× 3＋ 0×5＋ 1× 6＋ 2× 20＝－30.17(3)法一 (公式法 )：由公式 E(aX ＋ b)＝ aE(X)＋ b ，得 E(Y)＝ E(2X －3)＝ 2E(X)－ 3＝ 2× － 3062－ 3＝－ 15.法二 ( 直接法 )：因为 Y ＝ 2X － 3，所以 Y 的散布列以下：Y－ 7－5 － 3 － 11 P 1 1 1 114 35 6201 11 1 1 62 所以 E(Y)＝ (－ 7)× 4＋( －5)× 3＋ (－ 3)× 5＋(－ 1)× 6＋ 1× 20＝－ 15.知识点三两点散布及二项散布的均值5.一次单元测试由 20 个选择题构成，每个选择题有 4 个选项，此中仅有 1 个选项正确，每题选对得 5 分，不选或选错不得分．一学生选对随意一题的概率为 0.9，则该学生在此次测 验中成绩的均值为 ________．分析： 设该学生在此次测试中选对的题数为X ，该学生在此次测试中成绩为Y ，则 X ～B(20,0.9) ，Y ＝ 5X.由二项散布的均值公式得 E(X)＝20× 0.9＝18.由随机变量均值的线性性质得 E(Y)＝ E(5X)＝ 5×18＝ 90.答案： 906．甲、乙两队参加奥运知识比赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为本队博得一分，答错得零分．假定甲队中每人答对的概率均为2，乙队中三人答对的概率分别为 2， 2，1，3 3 3 2 且各人回答得正确与否互相之间没有影响． (1)若用 ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的散布列和均值；(2)用 A 表示事件“甲、乙两队总得分之和为3”，用 B 表示事件“甲队总得分大于乙队总得分”，求 P(AB)．2分析： (1) 由题意知， ξ的全部可能取值为 0,1,2,3，且 ξ～ B 3，3 ，则有1－ 2 3 ＝ 1 ， P(ξ＝ 0)＝ C 3× 3 27P(ξ＝ 1)＝ C 31×2× 1－ 22＝2，3 3 922 2 2 4 P(ξ＝ 2)＝ C 3×3 × 1－ 3 ＝9，3 2 3 8 P(ξ＝ 3)＝ C 3× 3 ＝ 27，所以 ξ的散布列为ξ 0 1 2 3 P1 2 4 8 27 9 9 2722因为随机变量 ξ～ B 3， 3 ，则有 E(ξ)＝ 3× 3＝ 2.(2)用 C 表示 “甲得 2 分乙得 1 分” 这一事件，用 D 表示 “甲得 3 分乙得0 分 ”这一事件，AB ＝ C ∪D ， C ， D 互斥．2 × 2 2 × 1－ 2 2 × 1 1 1 2 1 1 1 1 10P(C)＝ C 33 3 × 3 × ＋ × × ＋ × ×＝ 4 ，3 2 3 3 2 3 3 2 332 3 2 2 1 4 P(D)＝ C 3× 3 × 1－ 3 × 1－ 3 × 1－2 ＝35，P(AB)＝ P(C)＋P(D)＝104＋ 45＝ 345＝ 34 .3 3 3 243综合知识均值的综合应用7.在一次射击比赛中， 战士甲得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.4,0.1,0.5；战士乙得 1 分、2 分、3 分的概率分别为 0.1,0.6,0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？分析： 设此次射击比赛战士甲得X 1 分，战士乙得 X 2 分，则散布列分别以下：X 1 123 P 0.4 0.1 0.5X 2 1 23P0.10.60.3依据均值公式得E(X 1)＝ 1× 0.4＋ 2× 0.1＋ 3× 0.5＝ 2.1；E(X 2)＝ 1× 0.1＋ 2× 0.6＋ 3× 0.3＝ 2.2；因为 E(X 21)>E(X )，故此次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以战士乙获胜的希望较大．8．某商场经销某商品，依据过去资料统计，顾客采纳的付款期数X 的散布列为X 1 2 3 4 5P0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采纳 1 期付款，其收益为 200 元；分 2 期或 3 期付款，其收益为250 元；分 4 期或 5 期付款，其收益为 300 元． Y 表示经销一件该商品的收益．(1)求事件 A “购置该商品的 3 位顾客中，起码有 1 位采纳 1 期付款”的概率P(A)；(2)求 Y 的散布列及均值 E(Y)．分析： (1) 由 A 表示事件 “购置该商品的3 位顾客中起码有－1位采纳 1期付款”知，A 表 示事件 “ 购置该商品的 3 位顾客中无人采纳1 期付款 ”．－ －0.4)3＝0.216，P( A )＝(1－P(A)＝1－ P( A )＝ 1－ 0.216＝0.784.(2)Y 的可能取值为 200 元， 250 元， 300 元．P(Y ＝ 200)＝ P(X ＝ 1)＝ 0.4，P(Y ＝ 250)＝ P(X ＝ 2)＋ P(X ＝ 3)＝ 0.2＋ 0.2＝ 0.4，P(Y ＝ 300)＝ P(X ＝ 4)＋ P(X ＝ 5)＝ 0.1＋ 0.1＝ 0.2，所以 Y 的散布列为Y 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2E(Y)＝200× 0.4＋250× 0.4＋ 300× 0.2＝ 240(元 )．基础达标一、选择题1．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞翔目标的概率分别为0.9 和 0.85，设发现目标的雷达台数为X，则 E(X)为 ()A ． 0.765B ．1.75C． 1.765 D ．0.22分析： X 的取值为0,1,2，∴P(X＝ 0)＝ 0.1× 0.15＝0.015，P(X＝ 1)＝ 0.9×0.15＋ 0.1× 0.85＝ 0.22，P(X＝ 2)＝ 0.9×0.85＝ 0.765，E(X)＝0× 0.015＋ 1× 0.22＋ 2× 0.765＝ 1.75.答案： B2．设随机变量 X 的散布列以下表，且E(X)＝ 1.6，则 a－ b 等于 ()X0123P0.1a b0.1A.0.2 B ． 0.1C．－ 0.2 D ．－ 0.4分析：由 0.1＋ a＋ b＋0.1＝ 1，得 a＋ b＝0.8.又由 E(X)＝ 0×0.1＋ 1×a＋ 2× b＋3× 0.1＝1.6，得 a＋ 2b＝ 1.3，解得 a＝ 0.3， b＝ 0.5，则 a－ b＝－ 0.2.答案： C3．某船队若出海后天气好，可获取 5 000 元；若出海后天气坏，将损失 2 000 元；若不出海也要损失 1 000 元．依据展望知天气好的概率为0.6，则出海的希望效益是()A．2 000 元B．2 200 元C．2 400 元D．2 600 元分析：出海的希望效益E(ξ)＝ 5 000× 0.6＋ (1－0.6)× (－ 2 000)＝ 3000－ 800＝ 2 200元．答案： B4．已知随机变量 X 和 Y，此中 Y＝ 12X＋ 7，且 E(Y)＝ 34，若 X 的散布列以下表，则m 的值为 ()X1234P 1m n1 41211 A. 3 B.41 1C.6D.89分析： 由 Y ＝ 12X ＋7，则 E(Y)＝12E(X)＋ 7＝ 34，进而 E(X)＝ 4，∴ E (X)＝ 1×14＋ 2× m ＋ 3× n ＋ 4× 121＝94，1 11又 m ＋ n ＋ 12＋ 4＝ 1，联立求解得 m ＝ 3.答案： A5．某一供电网络，有 n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的时机是p ，供电网络中一天均匀用电的单位个数是 ( )A ． np(1－p)B ． npC ． nD ． p(1－ p)分析： 依题意知，用电单位个数X ～ B(n ， p)， ∴ E(X)＝ np.答案： B6．某各种子每粒抽芽的概率为 0.9，现播种了 1 000 粒，关于没有抽芽的种子，每粒需补种 2 粒，补种的种子数记为 X ，则 X 的数学希望为 ( )A ．100B ．200C ． 300D ． 400分析： 由题意可知，被种的种子数记为X ， X 听从二项散布，即 X ～ B(1 000,0.2) ，所以 X的数学希望 E(X)＝1 000× 0.2＝ 200.答案： B7．设随机变量的概率散布为( )ξ0 1 2 Ppp23 31－3p则 ξ的数学希望 E(ξ)的最小值是 ( )1 A.2 B ． 0 C ． 2 D ．随 p 的变化而变化分析： E(ξ)＝ p23＋ 2× 1－3p ＝ 2－ p.0≤ p≤ 1，33∵p 知足2则有 0≤ p ≤ 2，0≤ 1－3p ≤ 1，∴E(ξ)最小值为 12.答案： A 二、填空题1 ，则 E(2X ＋3) ＝ ________.8．已知 X ～ B 100，2分析： E(x)＝ 100× 1＝ 50，E(2x ＋ 3)＝ 2E( x)＋ 3＝ 103. 答案： 10329．某班有 50 名学生，此中男生 30 名，女生 20 名，现随机选用 1 名学生背诵课文，若抽到女生的人数记为 X ，则 E(X) ＝ ________.分析： 易知 X 听从两点散布，且P(X ＝ 0)＝32 25， P(X ＝ 1)＝ 5，故 E(X)＝ 5.答案：2510．设失散型随机变量 X 可能的取值为 1,2,3，P(X ＝ k)＝ ak ＋ b(k ＝ 1,2,3)．又 X 的均值 E(X)＝ 3，则 a ＋ b ＝ ________.分析： 因为 P(X ＝ 1)＝ a ＋b ， P( X ＝ 2)＝ 2a ＋b ， P(X ＝ 3)＝ 3a ＋ b ，所以 E(X)＝ 1×(a ＋ b)＋ 2× (2a ＋b)＋ 3× (3a ＋ b)＝ 3，所以 14a ＋ 6b ＝ 3.又因为 (a ＋ b)＋ (2a ＋ b)＋ (3a ＋ b)＝ 1，所以 6a ＋ 3b ＝ 1.121由①② 可知 a ＝ 2， b ＝－ 3，所以 a ＋ b ＝－ 6.答案：－1611．某射手射击所得环数X 的散布列以下：X 7 8 9 10P x 0.1 0.3 y已知 X 的均值 E(X)＝8.9，则 y 的值为 ________．x ＋ 0.1＋0.3＋ y ＝1，分析： 由题意得7x ＋ 0.8＋ 2.7＋ 10y ＝ 8.9x ＋y ＝ 0.6， x ＝0.2， 即解得7x ＋ 10y ＝ 5.4，y ＝0.4.答案： 0.412．同时投掷两颗骰子，起码有一个 3点或 6点出现时，就说此次试验成功，则在9 次试验中，成功次数 ξ的数学希望是 ________．分析：由已知同时投掷两颗骰子一次，起码有一个 3 点或 6 点出现时的概率为P ＝ 20536＝9，∴ 9 次试验相当于独立重复试验9 次，则成功次数 ξ听从二项散布，且 ξ～ B559，9 .∴E(ξ)＝ 9×＝ 5.9答案： 5 三、解答题13．某广场上有4 盏装修灯，夜晚每盏灯都随机地闪耀红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 2，出现绿灯的概率都是 1X ，当这 4 盏装修灯闪耀3 3.记这4 盏灯中出现红灯的数目为一次时：(1)求 X ＝ 2 时的概率；(2)求 X 的均值．分析： (1) 依题意知 { X ＝ 2} 表示 “4 盏装修灯闪耀一次时，恰巧有 2 盏灯出现红灯 ” ，而每22221 2 8 盏灯出现红灯的概率都是 3，故X ＝2 时的概率为 C 4 33＝ 27.2(2)∵ X 听从二项散布，即 X ～ B 4， 3 ，∴ E (X)＝ 4×23＝ 83.14．某商场为刺激花费，拟按以下方案进行促销：顾客花费每满 500 元便获取抽奖券 1张，每张抽奖券的中奖概率为1，若中奖，则商场返回首客现金100 元．某顾客现购置价钱为22 300 元的台式电脑一台，获取奖券 4 张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为 ξ，求 ξ的散布列；(2)设该顾客购置台式电脑的实质支出为 η(单位：元 )，用 ξ表示 η，并求 η的数学希望．分析： (1) ∵ 每张奖券能否中奖是互相独立的，∴ ξ～ B 4， 12.∴ P(ξ＝ 0)＝ C 04 1 4＝ 1 ， P( ξ＝1)＝ C 14 1 4 ＝ 1，2162421 4 3 3 1 41 P(ξ＝ 2)＝ C 42 ＝ 8， P(ξ＝ 3)＝C 4 2 ＝ 4，4 1 41 P(ξ＝ 4)＝ C 42 ＝ 16.∴ξ的散布列为ξ 01 2 3 4 P1 1 3 1 1 164 8 4 16(2)∵ ξ～B 4，1，∴ E(ξ)＝ 4× 1＝ 2.2 2又由题意可知 η＝ 2 300－ 100ξ， ∴ E (η)＝ E(2 300－ 100ξ)＝ 2 300－ 100E(ξ)＝ 2 300－ 100× 2＝ 2 100.即实质支出的数学希望为 2 100 元.能力提高15.从甲地到乙地要经过3 个十字路口，设各路口信号灯工作互相独立，且在各路口碰到1 1 1红灯的概率分别为2， 3， 4.(1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地碰到红灯的个数，求随机变量 X 的散布列和数学希望； (2)如有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共同遇 1 个红灯的概率．分析： (1) 随机变量 X 的全部可能取值为 0,1,2,3；1 1 1 1则 P(X ＝ 0)＝ 1－ 2 × 1－3 1－4 ＝ 4，P(X ＝ 1)＝ 1 × 1－ 1 × 1－ 1 ＋ 1－ 1 1 × 1－ 1 ＋ 1－ 1 × 1－ 1 1 ＝ 112 34 2 × 423 × ，1 1 3 1 4 24 P(X ＝ 2)＝× 1×1 1××1 1×1×11－2 34＋21－ 3 4＋2 31－ 4＝4，P(X ＝ 3)＝ 1×1× 1＝ 1 ；2 3 4 24 所以，随机变量 X 的散布列为：X0 1 2 3P1 11 11424 4241 111 1 13随机变量 X 的数学希望为 E(X)＝ 0× 4＋1× 24＋ 2× 4＋3× 24＝12. (2)设 Y 表示第一辆车碰到红灯的个数， Z 表示第二辆车碰到红灯的个数，则所求事件的概率为1 11P(Y ＋ Z ＝ 1)＝ P(Y ＝ 0，Z ＝ 1)＋ P(Y ＝ 1，Z ＝ 0)＝ P(Y ＝ 0) ·P(Z ＝ 1)＋ P(Y ＝ 1) ·P(Z ＝ 0)＝ 4×2411 1 11＋24× 4＝48；11所以，这 2 辆车共碰到1 个红灯的概率为48.16．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生会谈会，拟邀请 20 名来自本校机械工程学院、大海学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数以下表所示：学院 机械工程学院大海学院医学院经济学院人数4646(1)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生讲话， 求这 3 名学生中随意两个均不属于同一学院的概率；(2)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生讲话，设来自医学院的学生数为X ，求随机变量 X的散布列和数学希望．分析： (1) 从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 C 203，选出3 人中随意两个均不属于同一11 11 1 1 1 1 1 1 1 1学院的方法数为 C 4 644 6 6 4 4 6 6 4 6＝480，C C＋C C C ＋CCC＋ C C C所以 P ＝4803 ＝ 8 .C 20 19(2)X 可能的取值为 0,1,2,3.C 3 2816P(X ＝ 0)＝ C 3 ＝57，20P(X ＝ 1)＝ C2 1 8 ， 3C＝16 4 19 C201 2 8 C 16C 4P(X ＝ 2)＝ C 3＝ ，20 95 31 C 4P(X ＝ 3)＝ C 3 ＝285.20所以 X 的散布列为X 0 1 2 3 P28 8 8 1 57199528528×0＋ 8×1＋ 8×2＋ 1×3＝57所以 E(X)＝ 57199528595.。

课时跟踪训练(十三) 离散型随机变量的均值1．一名射手每次射击中靶的概率均为0.8，则他独立射击3次中靶次数X 的均值为( ) A ．0.8 B ．0.83 C ．3 D ．2.42．已知离散型随机变量X 的概率分布如下：随机变量Y ＝2X ＋1，则Y A ．1.1 B ．3.2 C ．11k D ．33k ＋1 3．口袋中有5个球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，以X 表示取出的球的最大号码，则EX ＝( )A ．4B ．5C ．4.5D ．4.754．(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值EX ＝( )A.126125B.65C.168125D.755．设10件产品有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的均值为________． 6．某射手射击所得环数X 的分布列如下已知EX ＝8.9，则y 的值为7．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A ，B 两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品．表一(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X ，Y 分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值．8．(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立． (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率； (2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．答案1．选D 射手独立射击3次中靶次数X 服从二项分布，即X ～B (3,0.8)，∴EX ＝3×0.8＝2.4. 2．选B 由题意知，0.3＋3k ＋4k ＝1， ∴k ＝0.1.EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.4＝1.1， ∴EY ＝E (2X ＋1)＝2EX ＋1＝2.2＋1＝3.2. 3．选C X 的取值为5,4,3. P (X ＝5)＝C24C35＝35，P (X ＝4)＝C23C35＝310，P (X ＝3)＝1C35＝110.∴EX ＝5×35＋4×310＋3×110＝4.5.4．选B 由题意知X 可能为0,1,2,3，P (X ＝0)＝33125＝27125，P (X ＝1)＝9×6125＝54125，P (X ＝2)＝3×12125＝36125，P (X ＝3)＝8125，EX ＝0×P (X ＝0)＋1×P (X ＝1)＋2×P (X ＝2)＋3×P (X ＝3)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65，故选B. 5．解析：设查得次品数为X ，由题意知X 服从超几何分布且N ＝10，M ＝3，n ＝2. ∴EX ＝n ·M N ＝2×310＝35.答案：356．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得y ＝0.4. 答案：0.47．解：(1)P 甲＝0.8×0.85＝0.68， P 乙＝0.75×0.8＝0.6. (2)随机变量X ，Y 的分布列是EX ＝5×0.68＋2.5×0.32＝4.2， EY ＝2.5×0.6＋1.5×0.4＝2.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为4.2万元、2.1万元．8．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427.所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427.由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627，又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×27＋3×27＝9.。

课时跟踪检测(七十) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)第Ⅰ卷：夯基保分卷1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为( )A．0.4 B．1.2C．0.43D．0.62．(2018·衡水模拟)若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( )A．3·2－2B．3·2－10C．2－4D．2－83．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为( )A.148B.124C.112D.164．(2018·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a＝( )A．3 B.5 3C．5 D.7 35．随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝3，则D(ξ)的值是________．6．(2018·杭州二模)设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.7．(2018·西安第二次质检)在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有1个是奇数的概率；(2)设ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ.8．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙约定两人面试都合格就一同签约，否则两个人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都为13，且面试是否合格相互不影响． (1)求至少有一人面试合格的概率； (2)求签约人数的分布列和数学期望．第Ⅱ卷：提能增分卷1．(2018·北京东城模拟)为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学校学生会随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”.(1)写出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“好视力”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．2．(2018·全国课标卷Ⅰ)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．3．(2018·荆州模拟)某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4， P(μ－3σ＜ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选B ∵途中遇红灯的次数X 服从二项分布，即X ～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2. 2．选B E(ξ)＝np ＝6，D(ξ)＝np(1－p)＝3⇒p ＝12，n ＝12，P(ξ＝1)＝C 112⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＝3210.3．选D 设投篮得分为随机变量X ，则X 的分布列为E(X)＝3a ＋2b ＝2≥23a×2b，所以ab≤16，当且仅当3a ＝2b 即a ＝13，b ＝12时，等号成立．4．选D 因为ξ服从正态分布N(3,4)，P(ξ<2a －3)＝P(ξ>a ＋2)，所以2a －3＋a ＋2＝6，a ＝73.5．解析：根据已知条件得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，2b ＝a ＋c ，a ＋2b ＋3c ＝53，解得b ＝13，c ＝16，a ＝12.∴D(ξ)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532＝59.答案：596．解析：S ＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，ξ的分布列为所以E(ξ)＝0×17＋1×27＋4×27＋9×17＋16×17＝5.答案：57．解：(1)记“这3个数恰有一个是奇数”为事件A ，则P(A)＝C 15·C 24C 39＝514.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列为所以ξ的数学期望为 E(ξ)＝0×512＋1×12＋2×112＝23.8．解：(1)用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，C 相互独立，且P(A)＝12，P(B)＝P(C)＝13，所以至少有一人面试合格的概率为1－P(A B C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝79.(2)由题意可知，ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝P(A B C )＋P(A B C )＋P(A B C)＝49；P(ξ＝1)＝P(A B C)＋P(AB C )＋P(A BC )＝49；P(ξ＝2)＝P(A BC)＝118；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝118.所以ξ的分布列为E(ξ)＝0×49＋1×49＋2×118＋3×118＝1318.第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题意知众数为4.6和4.7；中位数为4.75.(2)设A i 表示所选3人中有i 个人是“好视力”，至少有2人是“好视力”记为事件A ， 则P(A)＝P(A 2)＋P(A 3)＝C 24C 112C 16＋C 34C 16＝19140.(3)X 的可能取值为0,1,2,3.由于该校人数很多，故X 近似服从二项分布B ～⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14. P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P(X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764，P(X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964，P(X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164，X 的分布列为故X 的数学期望E(X)＝3×14＝34.2．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P(A)＝P(A 1B 1)＋P(A 2B 2)＝P(A 1)P(B 1|A 1)＋P(A 2)P(B 2|A 2) ＝416×116＋116×12＝364. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且P(X ＝400)＝1－416－116＝1116，P(X ＝500)＝116，P(X ＝800)＝14.所以X 的分布列为E(X)＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.3．解：(1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为(162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2100＋182×1100)×4＝168.72， 高于全市的平均值168.(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为10.(3)∵P(168－3×4＜ξ≤168＋3×4)＝0.997 4， ∴P(ξ≥180)＝1－0.997 42＝0.001 3,0.001 3×100 000＝130. ∴全市前130名的身高在180 cm 以上， 这50人中180 cm 以上的有2人． 随机变量ξ可取0,1,2，于是P(ξ＝0)＝C 28C 210＝2845，P(ξ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P(ξ＝2)＝C 22C 210＝145，∴E(ξ)＝0×2845＋1×1645＋2×145＝25.。