江苏省—高一数学苏教必修一单元测试：集合

1.2 子集、全集、补集5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正.（1）{∅}表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）{1，2，3}与{3，2，1}表示不同的集合；（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；（5）如果A ⊇B 且A ≠B ，那么B 必是A 的真子集；（6）A ⊇B 与B ⊆A 不能同时成立.思路解析：对每个说法按照相关的定义进行分析，认真与定义中的要素进行对比，即能判断正误.在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密，紧扣概念，对每个概念不仅要记住，而且要理解其本质.另外要注意的是：对于错误的说法，举一个反例即可.解：（1）{∅}不表示空集，它表示以空集(∅)为元素的集合，所以（1）不正确.空集有专用的符号“∅”，不能写成{∅}，也不能写成{ }.（2）不正确.空集是任何非空集合的真子集；也就是说空集不能是它自身的真子集.这是因为空集与空集相等，而两个相等的集合不能说其中一个是另一个的真子集.由此也发现了，如果一个集合是另一个集合的真子集，那么这两个集合必不相等.（3）不正确.两个集合是不是相同，要看其中一个集合的每个元素在另一个集合中是不是都有相同的元素与之对应，而不必考虑各元素的顺序.（4）不正确.注意到∅是每个集合的子集.所以这个说法不正确.（5）正确.A ⊇B 包括两种情形：A ⊃B 和A=B.（6）不正确.A=B 时，A ⊇B 与B ⊆A 能同时成立.2.选用适当的符号（∈，∉，=，⊆，，⊇，）填空：32____________Q ；{32}____________Q ；Z _________N ；N ____________N *. 思路解析：首先理解各种符号的意义.答案：∈3.已知全集U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，则A等于_____________.思路解析:考查补集的概念及求法.易知集合A为偶数集，∵U=Z，∴A为奇数集.∴A={x|x=2k＋1，k∈Z}.答案:{x|x=2k＋1，k∈Z}10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知集合{2x，x2-x}有且只有4个子集，则实数x的取值X围是( )A.RB.（-∞，0）∪（0，+∞）C.{x|x≠3，x∈R}D.{x|x≠0且x≠3，x∈R}思路解析:由已知{2x，x2-x}有且只有4个子集，可知2x≠x2-x.解得x≠0且x≠3.∴选D.答案:D2.集合{x∈N |x=5-2n，n∈N }的真子集的个数是( )A.9B.8C.7D.6思路解析:考查集合子集个数公式的应用.∵x∈N，n∈N，∴x=5-2n=5，3，1.∴集合{x∈N|x=5-2n，n∈N}={1，3，5}.∴其真子集的个数是23-1=7.答案:C3.已知集合A{0，1，2，3}且A中至少有一个奇数，则这样的集合的个数是( )A.11B.12C.15D.16思路解析:集合{0，1，2，3}共有子集16个，去掉集合{0，2}的子集4个，再去掉{0，1，2，3}这个集合本身，共有16-4-1=11个.故选A.答案:A4.设M={x|x=a2＋1，a∈N*}，P={y|y=b2-4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是( )A.M=PB.M PC.P MD.M与P没有相同元素思路解析:∵a ∈N *，∴x=a 2＋1=2，5，10，….∵b ∈N *，∴y=b 2-4b ＋5=（b-2）2＋1=1，2，5，10，….∴M P.故选B. 答案:B5.若S ={x|x=2n+1，n ∈Z }，T={x|x=4k ±1，k ∈Z }，试判断S 与T 这两个集合之间存在怎样的关系.思路解析:考查两个集合的关系，即判别元素的异同，可列举元素，也可判别元素是否等价等.解法一:∵S={…，-5，-3，-1，1，3，5，…}，T={…，-5，-3，-1，1，3，5，…}，∴S=T. 解法二:由2n+1=4k+1（n=2k 时）或4k-1（n=2k-1时）（n 、k ∈Z ），可知S=T.解法三:S 为奇数集合，而T 中元素均为奇数，故有T ⊆S.任取x ∈S ，则x=2n+1. 当n 为偶数2k 时，有x=4k+1∈T ；当n 为奇数2k-1时，仍有x=4k-1∈T ，∴S ⊆T.∴T ⊆S 且S ⊆T.故S=T.6.已知集合S={x|2，3，a 2+2a-3}，A={|a+1|，2}，A={a+3}，求a 的值.思路解析:根据补集的定义及元素的互异性列出方程组，然后解得a 的值.解:由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足: （Ⅰ）)4()3()2()1(332,232,32|1|,33222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-+≠-+-+=+=+a a a a a a a a 或（Ⅱ）)8()7()6()5(.332,232,3|1|,323222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-+≠-+=+-+=+a a a a a a a a在（Ⅰ）中，由①得a=0，依次代入②③④检验.因为a=0不能使②成立，所以应舍去. 在（Ⅱ）中，由⑤得a=-3或a=2，分别代入⑥⑦⑧检验.因为a=-3不能使⑥成立，所以应舍去.因此a=2.快乐时光打 猎一个年轻的猎人来向老猎人请教如何猎熊.老猎人说，通常我都是先找到一个山洞，然后向洞里扔一块石头，如果听到有“呜呜……”的声音，那里面一定有熊．你就跳到洞口，向里面开枪，一定能打到熊的.过了几天，老猎人在医院里看到全身缠满绷带的年轻猎人，很惊讶.年轻猎人说，我去猎熊，先找到一个山洞，然后我向里面扔了一块石头，听到里面有“呜呜……”的声音，我就跳到洞口…… 可是，我还没来得及开枪，从山洞里开出一列火车！ 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.集合M={x|x=m+61，m ∈Z }，N={x|x=2n -31，n ∈Z }，P={x=2p +61，p ∈Z }，则M 、N 、P 之间的关系是( )A.M=N PB.M N=PC.M N PD.N P=M 思路解析一:可简单列举集合中的元素.思路解析二:从判断元素的共性和差异入手.M={x|x=616+m ，m ∈Z }，N={x|x=61)1(3623+-=-n n ，n ∈Z }，P={x|x=613+p ，p ∈Z }. 由于3（n-1）+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数， 所以MN=P. 答案:B2.已知全集U={（x ，y ）|xy=1，x 、y ∈R }，A={（x ，y ）|x=y1，x 、y ∈R }，则A 等于( ) A.{0} B.{(0,0)} C.∅D.{∅}思路解析:全集U 和集合A 的元素均是点，所以A 的补集的元素是点，排除A 、D 两项，又因为U=A ，故选C.答案:C3.已知集合A={0，2，3，4}，B={0，1，2，3}，非空集合M满足M⊆A且M⊆B，则满足条件的集合M的个数为( )A.7B.8C.15D.16思路解析:此题有两种解决方法:（1）用列举法写出符合条件的集合；注意熟悉的规律性，做到不重不漏.（2）M⊆A且M⊆B，则M⊆（A∩B）=N={0，2，3}，进而求出集合N的非空子集为23-1=7（个）.答案:A4.同时满足：（1）M⊆{1，2，3，4，5}，（2）若a∈M，则6-a∈M的非空集合M有( )A.32个B.15个C.7个D.6个思路解析:∵M⊆{1，2，3，4，5}，a∈M，则6-a∈M，∴1、5应同属于M，2、4也应同属于M，3可单独出现.∴集合M的情况有七种:{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.故选C.答案:C5.设集合M={x|x=12a+8b，a、b∈Z }，N={y|y=20c+16d，c、d∈Z }，则( )A.M⊆NB.M⊇NC.M=ND.以上结论都不对思路解析:由y∈N，y=20c+16d=12c+8（c+2d），∵c、d∈Z，∴c+2d∈Z，得y∈M，N⊆M.又由x∈M，x=12a+8b=20a+8（b-a），若a、b∈Z，且a、b同奇偶，则8（b-a）=16·2ab-.∵2ab-∈Z，∴x∈N.若a、b∈Z，且a、b一奇一偶，则x=20（a-2）+16·25 +-ab.∵a-2∈Z，25 +-ab∈Z，∴x∈N.∴M ⊆N ，即M=N.答案:C6.在平面直角坐标系中，集合C={（x ，y ）|y=x}表示直线y=x 上所有的点形成的集合，从这个角度看，集合D={（x ，y ）|⎩⎨⎧=+=-5412y x y x }表示直线2x-y=1和x+4y=5的所有交点形成的集合，则集合C 、D 之间的关系为___________，用几何语言描述这种关系为___________. 思路解析:直线2x-y=1和直线x+4y=5的交点坐标为（1，1）.答案:D ⊆C 点D 在直线y=x 上7.定义集合A ※B={x|x ∈A 且x ∉B}，若A={1，3，5，7}，B={2，3，5}，则（1）A ※B 的所有子集为___________；（2）A ※（A ※B ）=___________.思路解析:（1）A ※B={1，7}，其子集为∅，{1}，{7}，{1，7}.（2）A ※（A ※B ）={3，5}.答案:（1）∅，{1}，{7}，{1，7} （2）{3，5}8.已知集合A={1，2}，B={1，2，3，4，5}，且A M ⊆B ，写出满足上述条件的集合M.思路解析:要解决这个问题，关键是要搞清满足条件AM ⊆B 的集合M 是由哪些元素组成的. ∵A M ，∴M 中一定含有A 的全部元素1、2，且至少含有一个不属于A 的元素. 又∵M ⊆B ，∴M 中的元素除了含有B 的元素1、2外，还有元素3、4、5中的1个、2个或3个.故求M 的问题转化为研究集合{3，4，5}的非空子集的问题，显然所求集合M 有23-1=7个，按元素的多少把它们一一列举出来即可.解:满足条件的集合M 是{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.9.设全集U={2，3，a 2＋2a-3}，A={|2a-1|，2}，A={5}，某某数a 的值. 思路解析:本题抓住A={5}这个条件，得出5∈U 且A ⊆U ，易求出a 的值. 解:∵A={5}，A={|2a-1|，2}，U={2，3，a 2＋2a-3}，∴⎩⎨⎧=-+=-.532,3|12|2a a a解得⎩⎨⎧-==-==.42,12a a a a 或或∴a=2.10.设集合A=｛-1，1｝，集合B={x|x 2-2ax+b=0}，若B ≠∅，B ⊆A ，求a 、b 的值. 思路解析:由B ≠∅，B ⊆A 可见B 是A 的子集.而A 的子集有三个:B=｛-1｝或B=｛1｝或B=｛-1，1｝.所以B 要分三种情形讨论.解:由B ⊆A 知，B 中的所有元素都属于集合A ，又B ≠∅，故集合B 有三种情形:B=｛-1｝或B=｛1｝或B=｛-1，1｝.当B=｛-1｝时，B={x|x 2+2x+1=0}，故a=-1，b=1；当B=｛1｝时，B={x|x 2-2x+1=0}，故a=b=1；当B=｛-1，1｝时，B={x|x 2-1=0}，故a=0，b=-1. 综上所述，a 、b 的值为⎩⎨⎧=-=1,1b a 或⎩⎨⎧==1,1b a 或⎩⎨⎧-==.1,0b a。

苏教版（2019）高中数学必修第一册第1章《集合》检测卷一、单选题（本题有8小题，每小题5分，共40分）1．集合{}0,2,A a =，{}21,B a =，若{}0,1,2,4,16A B ⋃=，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．设集合2,1,0,1,2U ，{}220A x x x =--=，则U A =（ ）A ．{}2,1-B ．{}1,2-C ．2,0,1D ．{}2,1,0,1,2--3．设集合{}220A x x x =-=，{}20B x x x =+=，则A B =（ ）A ．{0}B ．{1,0,0,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,2}-4．已知集合{}{}{}|2,,|21,,|41,P x x k k Z Q x x k k Z M x x k k Z ==∈==+∈==+∈，且,a P b Q ，则（ ）A ．a b PB ．a b QC ．a b MD ．a b +不属于,,P Q M 中的任意一个 5．已知集合{}{}37,410A x x B x x =≤≤=<<，则A B =（ ）A ．{}310x x ≤<B ．{}710x x ≤<C ．{}34x x ≤<D ．{}47x x <≤ 6．设全集{|}2U x x ∈≤Z ＝，{|10,}A x x x U =+≤∈，{}2,0,2B =-，则()U A B =（ ） A ．{}1 B ．{}0,2 C ．{2,0,1,2}- D ．(1,2]{2}-⋃- 7．已知集合{}220A x ax x a =-+=中至多含有一个元素，则实数a 的取值范围（ ）A ．[]1,1-B ．[1,)(,1]+∞-∞-C ．[]{}1,10-D ．{}[)1,,10(]+∞-∞-8．已知集合{|0},{|12}A x x B x x =≥=-≤≤，则A B =（ ）A ．{|1}x x ≥-B ．{|2}x x ≤C ．{|02}x x <≤D ．{|12}x x ≤≤二、多选题（本题有4小题，每小题5分，共20分。

单元检测—集合一、填空题1. 设集合{1,2,3,4},{1,2},{2,4}U A B ===，则集合()U C A B 等于2. 设集合{|05A x x =≤≤且},{|,}2k x Z B x x k A ∈==∈，则集合A B 等于3. 若集合2{|440,}A x kx x x R =++=∈中只有一个元素，则实数k 的值为4. 已知集合{(,)|3},{(,)|1}A x y x y B x y x y =+==-=，则A B 等于5. 全集{0,1,2,3,4}I =，集合{0,1,2,3}A =，集合{2,3,4}B =，则I I C A C B 等于6. 已知集合{|12},{|35}A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是7. 已知集合{|13},{|||}M x x N x x a =-<<=<，若N M ⊆，则实数a 的取值范围是 8. 设P 、Q 为两个非空集合，定义{(,)|,},P Q a b a P b Q ⊕=∈∈若P={0，1，2}，Q={1，2，3}，则P Q ⊕中元素的个数为9. 若集合22{|1},{|2(3)}M x y x N x y x ==+==--，则M N =10. 设2{|210,}A x ax x a R =++=∈中至多有一个元素时，则a 的取值范围为 11. 设集合22{|150},{|50}A x x px B x x x q =-+==-+=，若{3}A B =，则p q +=12. 若全集I=R ，(),()f x g x 均为x 的二次函数，{|()0}P x f x =<，{|()0}Q x g x =≥，则不等式组()0()0f x g x <⎧⎨<⎩的解集可用P 、Q 表示为13. 设全集U=R ，{|||2},{|13}A x x B x x =>=<<，则U A C B = 14. 已知集合22{(,)|0},{(,)|0}A x y ax y b B x y x ay b =-+==-+=，且(1,2)A B ∈，则a = ，b=二、 解答题15. 设集合2{1,,},{,,}A a b B a a ab ==，且A=B ，求实数a 、b 的值。

高一数学《集合》练习05、9姓名 ________ 学号_____ 成绩____一、选择题（每题4分，共40分）1、下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C 一切很大的书D倒数等于它自身的实数2、集合{a, b, c}的真子集共有__________个（）A 7B 8C 9D 103、若{1, 2}G A Q{1, 2, 3, 4, 5}则满足条件的集合A的个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 94、若U={1, 2, 3, 4}, M={1, 2}, N={2, 3},贝U Cu CMUN）= （）A. {1, 2, 3}B. {2}C. {1, 3, 4}D. {4}f x+y=l5、方程组I x-尸-1 的解集是()A.{x=0,y=l}B. {0,1}C. {(0,1)}D. {(x,y)lx=0 或y=l}6、以下六个关系式：0 G {o}, {0} n 0 , 0.3^0, Qe N , [a,b] cz [b,a],{.rl.r-2^0,.reZ}是空集中，错误的个数是（）A 4B 3C 2D 17、点的集合皿={ （x, y） | xy20}是指（）A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C.第一、第三象限内的点集D.不在第二、第四象限内的点集8、设集合A={x|l<x<2}, B={x|x<a},若AgB,则a的取值范围是（）A {a|a>2}B {a|aVl}C {a|a〉l}D {a|a<2}9、满足条件MU {1} ={1,2,3}的集合M的个数是（）A 1B 2C 3D 410、集合P = {x 丨x = w Z}, Q = [x \ x = 2k +l,k E , R = [x \ x = 4k + l,k e Z}, ^.aeP,beQ,则有（）A a+b e PB a-\-b G QDa+b不属于P、Q、R中的任意一个二、填空题（每题3分，共18分）11、若A = {—2,2,3,4}, B = {x\x = t2,teA],用列举法表示 B ________________12> 集合A={xl X2+X-6=0}, B={xl ax+l=O},若BuA,则a= ___________13、设全集U ={2,3,y + 2Q— 3} , A={2,b}, Ct/A={5},贝, b — __________________ 。

集合单元测试一、填空题（共14小题，每题5分，共70分）：1、下列命题正确的有个（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合1|2xyy 与集合1|,2xyy x 是同一个集合；（3）3611,,,,0.5242这些数组成的集合有5个元素；（4）集合R y x xy y x ,,0|,是指第二和第四象限内的点集2、若21,4,,1,A x Bx且AB B ，则x。

3、已知集合}023|{2x axx A至多有一个元素，则a 的取值范围。

4、下列表述中正确的是（只填序号）：⑴、若A B A B A 则,⑵、若B A B B A ，则⑶、)(B AA )(B A⑷、BC AC BAC U U U 5、已知x R ，则集合2{3,,2}x xx 中元素x 所应满足的条件为。

6、满足Ma}{},,,{d c b a 的集合M 的个数为_____________。

7、某中学高一（1）班有45人，其中参加数学兴趣小组有28人，参加化学兴趣小组有21人，若数学化学都参加的有x 人，则x 的取值范围是。

8、设全集UR ，2|10Mm mxx 方程有实数根，2|0,N n x x n方程有实数根则U C MN =。

9、集合22|190Ax x ax a，2|560Bx x x，2|280C x xx 满足,A B，,AC实数a 值为。

10、设2,|,,,y x ax b A x y x a M a b M 。

11、设UR ，集合2|320Ax xx ，2|(1)0Bx xm x m ；若BA C U )(，m =。

12、已知{25}A x x ，{121}B x m x m ，B A ,则m 的取值范围为。

13、设是集合A 中元素的一种运算，如果对于任意的,,x y x y A ，都有x y A ，则称运算对集合A 是封闭的，若{|2,,}M x x a b a b z ，则对集合M 不封闭的运算是。

（选填：加法、减法、乘法、除法）14、设21,32,Ax x k k kZ ，,PA Q A ，请你构造一个P 到Q 的奇函数________________________________________________________。

章末质量评估(一)(时间：100分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．满足{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }的集合B 的个数是________．解析 ∵{a ，b }∪B ＝{a ，b ，c }，∴B 中必含元素c ，且B ⊆{a ，b ，c }．∴b ＝{c }或{a ，c }或{b ，c }或{a ，b ，c }．答案 42．若A ＝{1,4，x }，B ＝{1，x 2}，且A ∩B ＝B ，则x ＝________.解析 x 2＝4或x 2＝x .解得x ＝2，或x ＝－2，或x ＝0，或x ＝1(舍去)．答案 2，－2或03．已知A ＝{0,1}，B ＝{x |x ⊆A }，则A 与B 之间的关系是________．解析 A ＝{0,1}，B ＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}．答案 A ∈B4．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3＜x ＜5}，则使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是________．解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，a ＋2≥5，解得3≤a ≤4. 答案 {a |3≤a ≤4}5．已知A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是________．解析 因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .因为A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |x <a }，所以a ≥4.答案 [4，＋∞)6．如图所示，已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,5,7,11}的子集，且A ∩B ＝{2}，(∁U B )∩A ＝{11}，则A 等于________．解析 本题考查集合的交、并、补运算，难度较小．∵A ∩B ＝{2}，(∁U B )∩A ＝{11}且B ∪(∁U B )＝U ，∴A ＝{2,11}．答案 {2,11}7．已知全集A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则实数m 的范围是______．解析 ∵A ＝{x |－2≤x ≤7}，又∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A 且B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤7，∴2<m ≤4.答案 (2,4] 8．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，则N －M ＝________.解析 因为集合N －M 是由N 的元素中不属于M 元素构成的，所以N －M ＝{6}．故填{6}．答案 {6}9．设全集U ＝{x |x ≤5，且x ∈N *}，集合A ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，且(∁U A )∪B ＝{1,3,4,5}，则p ＋q ＝________.解析 因为U ＝{1,2,3,4,5}，(∁U A )∪B ＝{1,3,4,5}，所以必有2∈A ，从而22－10＋q ＝0，即q ＝6，所以A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∁U A ＝{1,4,5}，于是又由(∁U A )∪B ＝{1,3,4,5}，得3∈B ，所以32＋3p ＋12＝0，即p ＝－7，所以A ＝{x |x 2－7x ＋12＝0}＝{3,4}．答案 －110．已知两个集合A 与B ，集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，集合B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且满足A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是______．解析 由已知A ＝{x |－1≤x ≤2}，又由A ∩B ＝∅，①若B ＝∅，则2a ≥a ＋3，即a ≥3；②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3≤－1，2a <a ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥2，2a <a ＋3.答案 (－∞，－4]∪[1，＋∞)11．若集合A 1、A 2满足A 1∪A 2＝A ，则称(A 1，A 2)为集合A 的一种分拆，并规定当且仅当A 1＝A 2时，(A 1，A 2)与(A 2，A 1)为集合A 的同一种分拆，则集合{1,2,3}的不同分拆种数是________．解析 若A 1＝∅，则A 2＝{1,2,3}；若A 1＝{1}，则A 2＝{2,3}或{1,2,3}；若A 1＝{2}，则A 2＝{1,3}或{1,2,3}；若A 1＝{3}，则A 2＝{1,2}或{1,2,3}；若A 1＝{1,2}，则A 2＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，若A 1＝{2,3}，则A 2＝{1}或{1,2}或{1,3}或{1,2,3}；若A 1＝{1,3}，A 2＝{2}或{1,2}或{2,3}或{1,2,3}；若A 1＝{1,2,3}，则A 2＝∅或{1}或{2}或{3}或{1,2}或{2,3}或{1,3}或{1,2,3}，共有27种不同的分拆方程．答案2712．设集合M＝{(x，y)|x＋y＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x2－y＝0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为________．解析如右图，在同一直角坐标系中画出x＋y＝1与x2－y＝0的图象，由图象可得，两曲线有两个交点，即M∩N中有两个元素．答案 213．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析∵U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案{2,4,8}答案(2,0)二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．解(1)当B＝∅时，显然满足B⊆A，此时有m ＋1＞2m －1，解得m ＜2.(2)当B ≠∅时，要使B ⊆A ，需⎩⎨⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，3]．16．(本小题满分14分)已知集合U ＝{x |－3≤x ≤3}，M ＝{x |－1＜x ＜1}，∁U N ＝{x |0＜x ＜2}．求：(1)集合N ，(2)集合M ∩(∁U N )，(3)集合M ∪N .解 借助数轴可得(1)N ＝{x |－3≤x ≤0或2≤x ≤3}．(2)M ∩(∁U N )＝{x |0＜x ＜1}．(3)M ∪N ＝{x |－3≤x <1或2≤x ≤3}．17．(本小题满分14分)已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0，x ∈R }，若A ∩R －≠∅，求实数m 的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝16m 2－8m －24≥0}＝{m |m ≤－1或m ≥32}，方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根均非负满足⎩⎨⎧ m ∈U4m ≥02m ＋6≥0，得m ≥32. ∴A ∩R －≠∅时，实数m 的范围是{m |m ≤－1}．18．(本小题满分16分)若集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 的值，使得∅(A ∩B )与A ∩C ＝∅同时成立．解 B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}，∴B ∩C ＝{2}．∵(A ∩B )∅，A ∩C ＝∅，∴3∈A .将x ＝3代入方程x 2－ax ＋a 2－19＝0，得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.①若a ＝5，则A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}≠∅，不符合要求，舍去；②若a ＝－2，则A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{－5,3}，满足要求．综上可知，a 的值为－2.19．(本小题满分16分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0}．(1)若A ∪B ＝{1,2,3}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值集合．解 (1)因为A ＝{1,2}，A ∪B ＝{1,2,3}，所以3∈B ，即9－3(a ＋1)＋a ＝0，解得a ＝3.此时B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}，满足题意，∴实数a 的值为3.(2)因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .又因为1∈B ，a ∈B ，所以有B ＝{1}，这时a ＝1或B ＝{1,2}，这时a ＝2，故a 的取值集合为{1,2}．20．(本小题满分16分)已知集合E ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，F ＝{x |x <－2或x >0}．(1)若E ∪F ＝R ，求实数m 的取值范围；(2)若E ∩F ＝∅，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意，得⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m ≥0，即⎩⎨⎧m ≥3，m ≥－1所以m ≥3. 故m 的取值范围是{m |m ≥3}．(2)由题意，得E ＝∅，这时1－m >1＋m ， 解得m <0.或E ≠∅，这时－2≤1－m ≤1＋m ≤0，解得m ∈∅. 综上，m 的取值范围是{m |m <0}．。

模块综合检测(A)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知集合{2x ，x ＋y}＝{7,4}，则整数x ＝______，y ＝________.2．已知f(12x －1)＝2x ＋3，f(m)＝6，则m ＝_______________________. 3．函数y ＝x －1＋lg (2－x)的定义域是________．4．函数f(x)＝x 3＋x 的图象关于________对称．5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)f(y)”的是______．(填序号)①幂函数；②对数函数；③指数函数；④一次函数．6．若0<m<n ，则下列结论不正确的是________．(填序号)①2m >2n ；②(12)m <(12)n ；③log 2m>log 2n ；④12log m>12log n. 7．已知a ＝0.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是________．8．用列举法表示集合：M ＝{m|10m ＋1∈Z ，m ∈Z }＝________. 9．已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．10．函数y ＝|lg(x ＋1)|的图象是________．(填序号)11．若函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x －b 2x 是奇函数，则a ＋b ＝________. 12．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝________.13．函数y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，f (x )＝x 3＋2x －1，则x >0时函数的解析式f (x )＝________.14．幂函数f(x)的图象过点(3，427)，则f(x)的解析式是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)(1)计算：12729⎛⎫⎪⎝⎭＋(lg 5)0＋132764-⎛⎫⎪⎝⎭；(2)解方程：log3(6x－9)＝3.16．(14分)某商品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售价每涨1元，销售量就减少1个，为了获得最大利润，求此商品的最佳售价应为多少？17．(14分)已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．18．(16分)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：在定义域D 内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．(1)函数f (x )＝1x是否属于集合M ？说明理由； (2)若函数f (x )＝kx ＋b 属于集合M ，试求实数k 和b 满足的约束条件．19．(16分)已知奇函数f (x )是定义域[－2,2]上的减函数，若f (2a ＋1)＋f (4a －3)>0，求实数a 的取值范围．20．(16分)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x －2x (x >12)x 2＋2x ＋a －1 (x ≤12).(1)若a ＝1，求函数f (x )的零点；(2)若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．模块综合检测(A)1．2 5解析 由集合相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝7x ＋y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝4x ＋y ＝7， 解得⎩⎨⎧ x ＝72y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5，又x ，y 是整数，所以x ＝2，y ＝5. 2．－14 解析 令12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2， 所以f(t)＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.令4m ＋7＝6，得m ＝－14. 3．[1,2)解析 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥02－x>0，解得1≤x<2. 4．原点解析 ∵f(x)＝x 3＋x 是奇函数，∴图象关于坐标原点对称．5．③解析 本题考查幂的运算性质．f(x)f(y)＝a x a y ＝a x ＋y ＝f(x ＋y)． 6．①②③解析 由指数函数与对数函数的单调性知只有④正确．7．b>c>a解析 因为a ＝0.3＝0.30.5<0.30.2＝c<0.30＝1，而b ＝20.3>20＝1，所以b>c>a.8．{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}解析 由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1,2,5,10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.9．2解析 依题意，函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上具有单调性，因此a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，解得a ＝2.10．①解析 将y ＝lg x 的图象向左平移一个单位，然后把x 轴下方的部分关于x 轴对称到上方，就得到y ＝|lg(x ＋1)|的图象．11.12解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即lg(10－x＋1)－ax ＝lg 1＋10x10x －ax ＝lg(10x ＋1)－(a ＋1)x ＝lg(10x ＋1)＋ax ，∴a ＝－(a ＋1)，∴a ＝－12，又g (x )是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，即2－x －b 2－x ＝－2x ＋b 2x ，∴b ＝1，∴a ＋b ＝12. 12.15lg 2 解析 令x 5＝t ，则x ＝15t .∴f (t )＝15lg t ，∴f (2)＝15lg 2. 13．x 3－2－x ＋1 解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋2－x －1]＝x 3－2－x ＋1. 14．f (x )＝34x解析 设f (x )＝x n ，则有3n ＝427，即3n ＝343，∴n ＝34， 即f (x )＝34x . 15．解 (1)原式＝12259⎛⎫⎪⎝⎭＋(lg 5)0＋13334-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝53＋1＋43＝4. (2)由方程log 3(6x －9)＝3得6x －9＝33＝27，∴6x ＝36＝62，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．16．解 设最佳售价为(50＋x )元，最大利润为y 元，y ＝(50＋x )(50－x )－(50－x )×40＝－x 2＋40x ＋500.当x ＝20时，y 取得最大值，所以应定价为70元．故此商品的最佳售价应为70元．17．解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个根，易知Δ>0，即Δ＝4＋12(1－m )>0，可解得m <43；Δ＝0，可解得m ＝43；Δ<0，可解得m >43. 故m <43时，函数有两个零点；m ＝43时，函数有一个零点； m >43时，函数无零点． (2)因为0是对应方程的根，有1－m ＝0，∴m ＝1.18．解 (1)D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，若f (x )＝1x ∈M ，则存在非零实数x 0，使得1x 0＋1＝1x 0＋1，即x 20＋x 0＋1＝0， 因为此方程无实数解，所以函数f (x )＝1x∉M . (2)D ＝R ，由f (x )＝kx ＋b ∈M ，存在实数x 0，使得 k (x 0＋1)＋b ＝kx 0＋b ＋k ＋b ，解得b ＝0，所以，实数k 和b 的约束条件是k ∈R ，b ＝0.19．解 由f (2a ＋1)＋f (4a －3)>0得f (2a ＋1)>－f (4a －3)， 又f (x )为奇函数，得－f (4a －3)＝f (3－4a )，∴f (2a ＋1)>f (3－4a )，又f (x )是定义域[－2,2]上的减函数，∴2≥3－4a >2a ＋1≥－2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2≥3－4a 3－4a >2a ＋12a ＋1≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥14a <13a ≥－32，∴实数a 的取值范围为[14，13)． 20．解 (1)当a ＝1时，由x －2x＝0，x 2＋2x ＝0， 得零点为2，0，－2.(2)显然，函数g (x )＝x －2x 在[12，＋∞)上递增， 且g (12)＝－72； 函数h (x )＝x 2＋2x ＋a －1在[－1，12]上也递增， 且h (12)＝a ＋14. 故若函数f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，则a ＋14≤－72，∴a ≤－154. 故a 的取值范围为(－∞，－154]．。

第一章集合(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．下列指定的对象，不能构成集合的是________．(把正确的序号填上)①一年中有31天的月份；②平面上到点O的距离等于1的点；③满足方程x2－2x－3＝0的x；④某校高一(1)班性格开朗的女生．【解析】①是集合，一年中有31天的月份只有1,3,5,7,8,10,12这7个月份；②是集合，平面上到点O的距离等于1的点在圆上；③是集合，满足方程x2－2x－3＝0的x只有－1和3；④不是集合，“性格开朗”无明确界限不符合集合中元素的确定性．【答案】④2．在下列5个写法：①{0}∈{0,1,2}；②∅{0}；③0∈∅；④{0,1,2}⊆{1,2,0}；⑤0∩∅＝∅.其中错误的写法个数为________．【解析】①不正确，因为{0}⊆{0,1,2}；②正确，因为空集是任何非空集合的真子集；③不正确，∅不含有任何元素；④正确，因为任何集合是它自身的子集；⑤不正确，元素与集合不能运算．【答案】3个3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.【解析】∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.【答案】 34．已知集合A＝(1,3)，B＝[2,4]，则A∪B＝________.【解析】∵A＝(1,3)，B＝[2,4]，∴结合数轴(如图)，可知A∪B＝(1,4]．【答案】(1,4]5．满足条件{1,3}∪M＝{1,3,5}的集合M的个数是________．【解析】∵{1,3}∪M＝{1,3,5}，∴M中必须含有元素5，∴M可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．【答案】 46．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则∁U(M∪N)＝________.【解析】M∪N＝{1,3,5,6,7}，则∁U(M∪N)＝{2,4,8}．7．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R }只有一个元素，则a 的值为________．【解析】 当a ＝0时，A ＝{－12}，当a ≠0时，若集合A 只有一个元素，则Δ＝4－4a ＝0，即a ＝1，综上，a ＝0或1.【答案】 0或18．下列四个推理，其中正确的序号为________．①a ∈A ⇒a ∈A ∪B ； ②a ∈A ∪B ⇒a ∈A ∩B ；③A ∪B ＝B ⇒A ⊆B ； ④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .【解析】 ①正确，结合A ∪B 的定义可知a ∈A ⇒a ∈A ∪B ；②不正确，如A ＝{1,2}，B ＝{3,4},1∈A ∪B ，但1∉A ∩B ；③正确，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；④正确，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ⇒A ∩B ＝B .【答案】 ①③④9．已知集合A ＝{x |x ＝k 3，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k6，k ∈Z }，则A 与B 的关系为________． 【解析】 ∵k 3＝2k 6，∴k 3∈B ，∴A ⊆B ，但B 中元素16∉A ，∴A B . 【答案】 A B10．(2013·苏州高一检测)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪∁R B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2，∵A ∪∁R B ＝R ，∴a ≥2.【答案】 {a |a ≥2}11．已知集合M ＝{x |x ＝12[1＋(－1)n ]，n ∈Z }，N ＝{－1，0,1}，P ＝{x |x 2＝x }．有下列结论：①M ⊆N ；②P N ；③M ＝P ；④M ⊆P ；⑤M P ；⑥M P .其中，所有正确结论的序号为________．【解析】 集合M ＝{0,1}，N ＝{－1,0,1}，P ＝{0,1}，由子集意义，得M ⊆N ，M ＝P ，P N ，M ⊆P .所以①③④正确．【答案】 ①③④12．定义集合A 与B 的运算⊗：A ⊗B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ∉A ∩B }，已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6,7}，则(A ⊗B )⊗B 为________．【解析】 由运算⊗的定义，得A ⊗B ＝{1,2,5,6,7}，则(A ⊗B )⊗B ＝{1,2,5,6,7}⊗{3,4,5,6,7}＝{1,2,3,4}．13．(2013·南京高一检测)某班有学生55人，其中音乐爱好者35人，体育爱好者45人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中既爱好体育又爱好音乐的学生有________人．【解析】 设既爱好体育又爱好音乐的学生有x 人，则(35－x )＋(45－x )＋x ＋4＝55，解得x ＝29.【答案】 2914．已知集合A ＝{x |x ＝19(2k ＋1)，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝49k ±19，k ∈Z }，则集合A ，B 之间的关系为________．【解析】 设x 1∈A ，则x 1＝19(2k 1＋1)，k 1∈Z ， 当k 1＝2n ，n ∈Z 时，x 1＝19(4n ＋1)＝49n ＋19，∴x 1∈B ；当k 1＝2n －1，n ∈Z 时，x 1＝19(4n －2＋1)＝49n －19，∴x 1∈B .∴A ⊆B .又设x 2∈B ，则x 2＝49k 2±19＝19(4k 2±1)，k 2∈Z ，而4k 2±1表示奇数，2n ＋1(n ∈Z )也表示奇数，∴x 2＝19(4k 2±1)＝19(2n ＋1)，k 2∈Z ，n ∈Z .∴x 2∈A ，∴B ⊆A .综上可知A ＝B .故填A ＝B .【答案】 A ＝B二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}， (1)求A ∩B ；(2)求(∁U B )∪P .【解】 借助数轴，如图．(1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤2}，(2)∵∁U B ＝{x |≤－1或x >3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}． 16．(本小题满分14分)已知集合A ＝{3,4，m 2－3m －1}，B ＝{2m ，－3}，若A ∩B ＝{－3}，求实数m 的值并求A ∪B .【解】 ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈A .又A ＝{3,4，m 2－3m －1}，∴m 2－3m －1＝－3，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，B ＝{2，－3}，A ＝{3,4，－3}，满足A ∩B ＝{－3}，∴A ∪B ＝{－3,2,3,4}．当m ＝2时，B ＝{4，－3}，A ＝{3,4，－3}，不满足A ∩B ＝{－3}舍去．综上知m ＝1.17．(本小题满分14分)(2013·杭州高一检测)已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的取值范围．【解】 (1)A ∩B ＝∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥－1a ＋3≤5，解得，－1≤a ≤2，(2)∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .∴a ＋3<－1或a >5，∴a <－4或a >5.18．(本小题满分16分)已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x ，y 2,2}，若A ∩B ＝A ∪B ，求实数x ，y 的值．【解】 ∵A ∩B ＝A ∪B ，∴A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y 2，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝12，经检验⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，不合题意，舍去， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝14，y ＝12.19．(本小题满分16分)(2013·南京高一检测)已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠∅，且B ⊆A ，求实数a ，b 的值．【解】A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}．由B⊆A，B≠∅，得B＝{1}或{－1}或{1，－1}．当B＝{1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个相等实数根1，由根与系数的关系得a＝1，b ＝1；当B＝{－1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个相等实数根－1，由根与系数的关系得a＝－1，b＝1；当B＝{1，－1}时，方程x2－2ax＋b＝0有两个根－1,1，由根与系数的关系得a＝0，b ＝－1.综上，a＝1，b＝1或a＝－1，b＝1或a＝0，b＝－1.20．(本小题满分16分)设A，B是两个非空集合，定义A与B的差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A－B与B－A是否一定相等？说明理由；(3)已知A＝{x|x>4}，B＝{x|－6<x<6}，求A－(A－B)和B－(B－A)，由此你可以得到什么更一般的结论？(不必证明)．【解】(1)如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A－B＝{1}．(2)不一定相等，由(1)B－A＝{4}，而A－B＝{1}，故A－B≠B－A.又如，A＝B＝{1,2,3}时，A－B＝∅，B－A＝∅，此时A－B＝B－A，故A－B与B－A不一定相等．(3)因为A－B＝{x|x≥6}，B－A＝{x|－6<x≤4}，A－(A－B)＝{x|4<x<6}，B－(B－A)＝{x|4<x<6}，由此猜测：对于两个集合A，B，有A－(A－B)＝B－(B－A)．。

第一章集合1.1集合的概念与表示................................................................................................. - 1 -第1课时集合的概念.......................................................................................... - 1 -第2课时集合的表示.......................................................................................... - 5 -1.2子集、全集、补集................................................................................................. - 9 -1.3交集、并集 .......................................................................................................... - 14 -第1章测评 ................................................................................................................... - 19 - 1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念1.(2020江苏南京高一检测)下列判断正确的个数为()①所有的等腰三角形构成一个集合;②倒数等于它自身的实数构成一个集合;③质数的全体构成一个集合;④由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合.A.1B.2C.3D.4,故①正确;若=a,则a2=1,解得a=±1,构成的集合中的元素为1,-1,故②正确;质数的全体构成一个集合,任何一个质数都在此集合中,不是质数的都不在,故③正确;集合中的元素具有互异性,由2,3,4,3,6,2构成的集合含有4个元素,分别为2,3,4,6,故④错误.故选C.2.下列说法:①集合N与集合N+是同一个集合;②集合N中的元素都是集合Z中的元素;③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;④集合Q中的元素都是集合R中的元素.其中正确的是()A.②④B.②③C.①②D.①④N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R 表示实数集,所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确.3.用符号∈或∉填空:(1)-2N+;(2)(-4)2N+;(3)Z;(4)π+3Q.∉(2)∈(3)∉(4)∉4.已知集合P中元素x满足:x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三个元素,则整数a=.x∈N,2<x<a,且集合P中恰有三个元素,∴集合P中的三个元素为3,4,5,∴a=6.5.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合,若a∈A且3a∈A,求a的值.a∈A且3a∈A,∴解得a<2.又a∈N,∴a=0或1.6.(2020河北师范大学附属中学高一期中)设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A,则A中的元素个数为()A.4B.5C.6D.7,集合A中的元素分别为我、和、的、祖、国,共5个元素.故选B.7.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素组成的集合,且2∈A,则实数m为()A.2B.3C.0或3D.0,2,3均可2∈A可知,m=2或m2-3m+2=2.若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0相矛盾;若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,当m=0时,与m≠0相矛盾,当m=3时,此时集合A 的元素为0,3,2,符合题意.8.(2020上海高一月考)如果集合中的三个元素对应着三角形的三条边长,那么这个三角形一定不可能是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形,该三角形一定不可能是等腰三角形.故选D.9.(多选)(2020北京高一检测)下列各组对象能构成集合的是()A.拥有手机的人B.2020年高考数学难题C.所有有理数D.小于π的正整数A,C,D中的元素都是确定的,能构成集合,选项B中“难题”的标准不明确,不符合确定性,不能构成集合.故选ACD.10.(多选)(2020广东深圳第二高级中学高一月考)由a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,则实数a的取值可以是()A.-1B.-2C.6D.2a2,2-a,4组成一个集合A,且集合A中含有3个元素,所以a2≠2-a,a2≠4,2-a≠4,解得a≠±2,且a≠1.故选AC.11.(多选)(2020山东济南高一检测)已知x,y,z为非零实数,代数式的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是()A.0∉MB.2∈MC.-4∈MD.4∈M,分4种情况讨论:①当x,y,z全部为负数时,则xyz也为负数,则=-4;②当x,y,z中只有一个负数时,则xyz为负数,则=0;③当x,y,z中有两个负数时,则xyz为正数,则=0;④当x,y,z全部为正数时,则xyz也为正数,则=4.则M中含有三个元素-4,0,4.分析选项可得C,D正确.故选CD.12.(2020山东潍坊高一检测)如果有一集合含有三个元素1,x,x2-x,则实数x满足的条件是.≠0,且x≠1,且x≠2,且x≠x≠1,x2-x≠1,x2-x≠x,解得x≠0,且x≠1,且x≠2,且x≠.13.若方程ax2+x+1=0的解构成的集合只有一个元素,则a的值为.或a=0时,原方程为一元一次方程x+1=0,满足题意,所求元素即为方程的根x=-1;当a≠0时,由题意知方程ax2+x+1=0只有一个实数根,所以Δ=1-4a=0,解得a=.所以a的值为0或.14.集合A是由形如m+n(m∈Z,n∈Z)的数构成的,试分别判断a=-,b=,c=(1-2)2与集合A的关系.a=-=0+(-1)×,而0∈Z,-1∈Z,∴a∈A.∵b=,而∉Z,∉Z,∴b∉A.∵c=(1-2)2=13+(-4)×,而13∈Z,-4∈Z,∴c∈A.15.设A为实数集,且满足条件:若a∈A,则∈A(a≠1).求证:(1)若2∈A,则A中必还有另外两个元素;(2)集合A不可能是单元素集.若a∈A,则∈A.又2∈A,∴=-1∈A.∵-1∈A,∴∈A.∵∈A,∴=2∈A.∴A中必还有另外两个元素,且为-1,.(2)若A为单元素集,则a=,即a2-a+1=0,方程无实数解.∴a≠,∴集合A不可能是单元素集.第2课时集合的表示1.用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为()A.{x|2<x<5,x∈N}B.{2,3,4,5}C.{2<x<5}D.{3,4}2且小于5的自然数为3和4,所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}.2.设集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为()A.4B.5C.6D.7,B={2,3,4,5,6,8},共有6个元素,故选C.3.集合{(x,y)|y=2x-1}表示()A.方程y=2x-1B.点(x,y)C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合{(x,y)|y=2x-1}的代表元素是(x,y),x,y满足的关系式为y=2x-1,因此集合表示的是满足关系式y=2x-1的点组成的集合,故选D.4.集合3,,…用描述法可表示为()A.x x=,n∈N*B.x x=,n∈N*C.x x=,n∈N*D.x x=,n∈N*解析由3,,即从中发现规律,x=,n∈N*,故可用描述法表示为x x=,n∈N*.5.(2020山东济宁高一检测)已知集合A={-1,-2,0,1,2},B={x|x=y2,y∈A},则用列举法表示B应为B=.-1)2=12=1,(-2)2=22=4,02=0,所以B={0,1,4}.6.已知集合A={x|x2+2x+a=0},若1∈A,则A=.-3,1}x=1代入方程x2+2x+a=0,可得a=-3,解方程x2+2x-3=0可得A={-3,1}.7.用适当的方法表示下列集合:(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合;(3)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的集合.方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2=0,解得x=2,y=-3,所以方程的解集为{(x,y)|x=2,y=-3}.(2)集合的代表元素是数,用描述法可表示为{x|x=3k+2,k∈N,且x<1 000}.(3)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2-10}.8.(2020福建厦门翔安一中高一期中)已知集合M={x|x(x+2)(x-2)=0},则M=()A.{0,-2}B.{0,2}C.{0,-2,2}D.{-2,2}M={x|x(x+2)(x-2)=0}={-2,0,2}.9.(2020河北沧州高一期中)已知集合M={a,2a-1,2a2-1},若1∈M,则M中所有元素之和为()A.3B.1C.-3D.-1a=1,则2a-1=1,矛盾;若2a-1=1,则a=1,矛盾,故2a2-1=1,解得a=1(舍)或a=-1,故M={-1,-3,1},元素之和为-3.故选C.10.(2020上海嘉定第一中学高一月考)已知集合A={a2,0,-1},B={a,b,0},若A=B,则(ab)2 021的值为()A.0B.-1C.1D.±1a≠0,b≠0.因为A=B,所以a=-1或b=-1.当a=-1时,b=a2=1,此时(ab)2 021=(-1)2 021=-1;当b=-1时,a2=a,因为a≠0,所以a=1,此时(ab)2 021=(-1)2 021=-1.故选B.11.(多选)(2020山东潍坊高一检测)下列选项表示的集合P与Q相等的是()A.P={x|x2+1=0,x∈R},Q=⌀B.P={2,5},Q={5,2}C.P={(2,5)},Q={(5,2)}D.P={x|x=2m+1,m∈Z},Q={x|x=2m-1,m∈Z}A,集合P中方程x2+1=0无实数根,故P=Q=⌀;对于B,集合P中有两个元素2,5,集合Q中有两个元素2,5,故P=Q;对于C,集合P中有一个元素是点(2,5),集合Q中有一个元素是点(5,2),元素不同,P≠Q;对于D,集合P={x|x=2m+1,m∈Z}表示所有奇数构成的集合,集合Q={x|x=2m-1,m∈Z}也表示所有奇数构成的集合,P=Q.故选ABD.12.(多选)(2020山东济宁曲阜一中高一月考)下列选项能正确表示方程组的解集的是()A.(-1,2)B.{(x,y)|x=-1,y=2}C.{-1,2}D.{(-1,2)}{(x,y)|x=-1,y=2}或{(-1,2)}.故选BD.13.(多选)(2020江苏连云港高一期中)已知集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},下列关系正确的是()A.(1,2)∈BB.A=BC.0∉AD.(0,0)∉BA={y|y≥1},集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合,故A正确,B错误,C正确,D正确.故选ACD.14.(2020上海南洋模范中学高一期中)已知集合A={x,y},B={2x,2x2},且A=B,则集合A=.答案,1解析由题意,集合A={x,y},B={2x,2x2},且A=B,则x=2x或x=2x2.若x=2x,可得x=0,此时集合B不满足集合中元素的互异性,舍去;若x=2x2,可得x=或x=0(舍去),当x=时,可得2x=1,2x2=,即A=B=,1.15.用列举法表示集合A={(x,y)|x+y=5,x∈N*,y∈N*}是A=;用描述法表示“所有被4除余1的整数组成的集合”是.{x|x=4k+1,k∈Z}A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所有被4除余1的整数组成的集合为{x|x=4k+1,k∈Z}.16.已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求实数c的值..①若a+b=ac,a+2b=ac2,消去b,得a+ac2-2ac=0.当a=0时,集合B中的三个元素均为0,与集合中元素的互异性矛盾,故a≠0, 所以c2-2c+1=0,即c=1,但当c=1时,B中的三个元素相同,不符合题意.②若a+b=ac2,a+2b=ac,消去b,得2ac2-ac-a=0.由①知a≠0,所以2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,解得c=-或c=1(舍去),当c=-时,经验证,符合题意.综上所述,c=-.17.(2020天津南开翔宇学校高一月考)已知集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的所有取值组成的集合;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多有一个元素,求a的所有取值组成的集合.当a=0时,-3x+2=0,此时x=,所以A不是空集,不符合题意;当a≠0时,若A是空集,则Δ=9-8a<0,所以a>.综上可知,a的所有取值组成的集合为a a>.(2)当a=0时,-3x+2=0,此时x=,满足条件,此时A中仅有一个元素;当a≠0时,Δ=9-8a=0,所以a=,此时方程为x2-3x+2=0,即(3x-4)2=0,解得x=,此时A 中仅有一个元素.综上可知,当a=0时,A中只有一个元素为;当a=时,A中只有一个元素为.(3)A中至多有一个元素,即方程ax2-3x+2=0只有一个实数根或无实数根.则a=0或Δ=9-8a<0,解得a=0或a>.故a的所有取值组成的集合为a a=0,或a>.1.2子集、全集、补集1.(2020山东青岛高一检测)已知集合M={x|x2-2x=0},U={2,1,0},则∁U M=()A.{0}B.{1,2}C.{1}D.{0,1,2}M={x|x2-2x=0}={0,2},U={2,1,0},则∁U M={1}.故选C.2.集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则()A.B∈AB.A⊆BC.B⊆AD.A=BA={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},∴B⊆A.故选C.3.下列关系:①0∈{0};②⌀⫋{0};③{0,1}⊆{(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)}.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4正确,0是集合{0}的元素;②正确,⌀是任何非空集合的真子集;③错误,集合{0,1}含两个元素0,1,而{(0,1)}含一个元素点(0,1),所以这两个集合没关系;④错误,集合{(a,b)}含一个元素点(a,b),集合{(b,a)}含一个元素点(b,a),这两个元素不同,所以集合不相等.故选B.4.已知集合B={-1,1,4},满足条件⌀⫋M⊆B的集合M的个数为()A.3B.6C.7D.8M是集合B的非空子集,集合B中有3个元素,因此非空子集有7个,故选C.5.若集合M=x x=,k∈Z,集合N=x x=,k∈Z,则()A.M=NB.N⊆MC.M⫋ND.以上均不对解析M=x x=,k∈Z=x x=,k∈Z,N=x x=,k∈Z=x x=,k∈Z.又2k+1,k∈Z 为奇数,k+2,k∈Z为整数,所以M⫋N.6.设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⫋B,则实数a的取值范围是.a|a≥2},因为A⫋B,所以a≥2,即a的取值范围是{a|a≥2}.7.设全集U=R,A={x|x<1},B={x|x>m},若∁U A⊆B,则实数m的取值范围是.m|m<1}∁U A={x|x≥1},B={x|x>m},∴由∁U A⊆B可知m<1,即m的取值范围是{m|m<1}.8.已知集合A={x|x<-1,或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若B⊆A,求实数a的取值范围.B=⌀时,2a>a+3,即a>3,显然满足题意.当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴,可得解得a<-4或2<a≤3.综上可得,实数a的取值范围为{a|a<-4,或a>2}.9.(2020山东济宁高一月考)如果集合P={x|x>-1},那么()A.0⊆PB.{0}∈PC.⌀∈PD.{0}⊆PP={x|x>-1},∴0∈P,{0}⊆P,⌀⊆P,故A,B,C错误,D正确.故选D.10.已知M={x|x>1},N={x|x>a},且M⫋N,则()A.a≤1B.a<1C.a≥1D.a>1M={x|x>1},N={x|x>a},且M⫋N,∴a<1.故选B.11.集合M={x|x=4k+2,k∈Z},N={x|x=2k,k∈Z},P={x|x=4k-2,k∈Z},则M,N,P的关系为()A.M=P⊆NB.N=P⊆MC.M=N⊆PD.M=P=NM=P={±2,±6…},N={0,±2,±4,±6…},所以M=P⊆N.12.(2020山东济南高一检测)已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A,则实数a 取值的集合为()A.0,1,B.1,C.0,2,D.-2,解析因为A={x|x2-3x+2=0}={x|(x-1)(x-2)=0}={1,2},又B={x|ax=1},当B=⌀时,方程ax=1无解,则a=0,此时满足B⊆A;当B≠⌀时,a≠0,此时B={x|ax=1}=,为使B⊆A,只需=1或=2,解得a=1或a=.综上,实数a取值的集合为0,1,.故选A.13.已知全集U={1,2,a2-2a+3},A={1,a},∁U A={3},则实数a等于()A.0或2B.0C.1或2D.2,知则a=2.14.(多选)(2020山东五莲教学研究室高一期中)已知集合M={x|-3<x<3,x∈Z},则下列符号语言表述正确的是()A.2∈MB.0⊆MC.{0}∈MD.{0}⊆MM={x|-3<x<3,x∈Z}={-2,-1,0,1,2},∴2∈M,0∈M,{0}⊆M.∴A,D正确,B,C错误.故选AD.15.(多选)(2020福建宁德高一期中)已知集合A={y|y=x2+1},集合B={x|x>2},下列关系正确的是()A.B⊆AB.A⊆BC.0∉AD.1∈AA={y|y=x2+1}={y|y≥1},B={x|x>2},所以B⊆A,0∉A,1∈A.故选ACD.16.(多选)(2020北京高一检测)集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的可能取值为()A.-1B.0C.1D.2解析由题意,B⊆A,当a=0时,B=⌀符合题意;当a≠0时,B=-⊆A,则-=1或-=-1,解得a=-1或a=1,所以实数a的取值为-1,0或1.故选ABC.17.(2020山东东营高一月考)设U=R,A={x|a≤x≤b},∁U A={x|x<3或x>4},则a=,b=.4U=R,A={x|a≤x≤b},∴∁U A={x|x<a,或x>b}.∵∁U A={x|x<3,或x>4},∴a=3,b=4.18.集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个子集,则a的取值为.或-A有两个子集可知,该集合中只有一个元素,当a=1时,满足题意;当a≠1时,由Δ=9+8(a-1)=0,可得a=-.19.设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.(1)若a=,试判定集合A与B的关系;(2)若B⊆A,求实数a组成的集合C.a=,则B={5},元素5是集合A={5,3}中的元素,集合A={5,3}中除元素5外,还有元素3,3在集合B中没有,所以B⫋A.(2)当a=0时,由题意B=⌀,又A={3,5},故B⊆A;当a≠0时,B=,又A={3,5},B⊆A,此时=3或=5,则有a=或a=.所以C=0,.20.设集合A={x|-1≤x+1≤6},m为实数,B={x|m-1<x<2m+1}.(1)当x∈Z时,求A的非空真子集的个数;(2)若B⊆A,求m的取值范围.A得A={x|-2≤x≤5}.(1)∵x∈Z,∴A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},即A中含有8个元素,∴A的非空真子集个数为28-2=254.(2)当m-1≥2m+1,即m≤-2时,B=⌀⊆A;当m>-2时,B≠⌀,因此,要使B⊆A,则只要解得-1≤m≤2.综上所述,m的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m≤2}.21.(2020山西平遥综合职业技术学校高一月考)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|2a<x<a+3},且B⊆∁U A,求实数a的取值集合.A={x|-2≤x≤3},所以∁U A={x|x<-2,或x>3}.因为B⊆∁U A,当B=⌀时,2a≥a+3,解得a≥3;当B≠⌀时,由B⊆∁U A,得解得≤a<3或a≤-5.所以实数a的取值集合为a a≤-5,或a≥.1.3交集、并集1.(2020北京八中期末)已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2,3},则∁U(A∪B)=()A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4},全集U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,3},可得A∪B={1,2,3},所以∁U(A∪B)={4}.故选D.2.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},∴A∩B={2,4}.∴A∩B中元素的个数为2.故选B.3.(2021全国甲,理1)设集合M={x|0<x<4},N=,则M∩N=()A. B.C.{x|4≤x<5}D.{x|0<x≤5}解析由交集的定义及图知M∩N=x≤x<4.4.设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=x+b},且A∩B={(2,5)},则()A.a=3,b=2B.a=2,b=3C.a=-3,b=-2D.a=-2,b=-3A∩B={(2,5)},∴解得故选B.5.若集合A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A,则满足条件的实数x有()A.1个B.2个C.3个D.4个A∪B=A,∴B⊆A.∵A={0,1,2,x},B={1,x2},∴x2=0或x2=2或x2=x,解得x=0或x=±或x=1.经检验,当x=或-时满足题意.故选B.6.已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=.∩B={1,2,3}∩{y|y=2x-1,x∈A}={1,2,3}∩{1,3,5}={1,3}.7.(2020山东泰兴第三高级中学高一月考)设M={a2,a+1,-3},N={a-3,2a-1,a2+1},若M∩N={-3},则a的值为,此时M∪N=.1{-4,-3,0,1,2}M∩N={-3},∴a-3=-3或2a-1=-3,解得a=0或a=-1.当a=0时,M={0,1,-3},N={-3,-1,1},得M∩N={1,-3},不符合题意,舍去.当a=-1时,M={0,1,-3},N={-4,-3,2},得M∩N={-3},符合题意.此时M∪N={-4,-3,0,1,2}.8.(2020上海浦东华师大二附中高一月考)调查班级40名学生对A,B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成,另外,对A,B都不赞成的学生数比对A,B都赞成的学生数的三分之一多1,则对A,B都赞成的学生有人.A的人数为40×=24,赞成B的人数为24+3=27.设对A,B都赞成的学生数为x,则对A,B都不赞成的学生数为x+1,如图可得x+1+27-x+x+24-x=40,解得x=18.9.已知集合A={x|-2<x<4},B={x|x-m<0,m∈R}.(1)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围;(2)若A∩B=A,求实数m的取值范围.∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m,m∈R},又A∩B=⌀,∴m≤-2.故实数m的取值范围为{m|m≤-2}.(2)由A∩B=A,得A⊆B.∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m,m∈R},∴m≥4.故实数m的取值范围为{m|m≥4}.10.已知集合M={0,1},则满足M∪N={0,1,2}的集合N的个数是()A.2B.3C.4D.8,可知满足M∪N={0,1,2}的集合N有{2},{0,2},{1,2},{0,1,2},共4个.故选C.11.(2020江苏无锡期末)下图中的阴影部分,可用集合符号表示为()A.(∁U A)∩(∁U B)B.(∁U A)∪(∁U B)C.(∁U B)∩AD.(∁U A)∩BA与集合B的补集的交集,所以图中阴影部分可以用(∁U B)∩A表示.12.(2020江苏镇江月考)集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的.在他的集合理论中,用card(A)表示有限集合中元素的个数,例如:A={a,b,c},则card(A)=3.若对于任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).某校举办运动会,高一某班参加田赛的学生有14人,参加径赛的学生有9人,两项都参加的有5人,那么该班参加本次运动会的人数为()A.28B.23C.18D.16A,则card(A)=14,参加径赛的学生组成集合B,则card(B)=9,由题意得card(A∩B)=5,所以card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=14+9-5=18,所以该班参加本次运动会的人数为18.故选C.13.(2020天津南开中学高一开学考试)已知集合A={x|x≥-1},B=x a≤x≤2a-1,若A∩B≠⌀,则实数a的取值范围是()A.{a|a≥1}B.a a≥C.{a|a≥0}D.a0≤a≤解析因为A={x|x≥-1},B=x a≤x≤2a-1,若A∩B≠⌀,则B≠⌀且B与A有公共元素,则需解得a≥.故选B.14.(多选)(2020江苏江浦高级中学期中)已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(∁R A)∩B 中的元素有()A.-2B.-1C.0D.1A={x|x>-1},所以∁R A={x|x≤-1},则(∁R A)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}={-2,-1}.故选AB.15.(多选)(2020河北曲阳第一高级中学月考)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则()A.A∩B=x x<B.A∩B≠⌀C.A∪B=x x<D.A∪(∁R B)=R解析∵A={x|x<2},B={x|3-2x>0}=x x<,∁R B=x x≥,∴A∩B=x x<,A∩B≠⌀,A∪B={x|x<2},A∪(∁R B)=R.故选ABD.16.(多选)(2020山东菏泽高一月考)已知集合M={2,-5},N={x|mx=1},且M∪N=M,则实数m的值可以为()A. B.-5C.-D.0解析因为M∪N=M,所以N⊆M,当m=0时,N=⌀,满足N⊆M.当m≠0时,N=,若N⊆M,则=2或=-5,解得m=或m=-.综上所述,m=0或m=或m=-,故选ACD.17.已知M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},则M∩N=.y|y≥-1}{x|y=x2-1}=R,N={y|y=x2-1}={y|y≥-1},故M∩N={y|y≥-1}.18.(2020山西太原第五十三中学月考)已知A={x|x2+px+1=0},M={x|x>0},若A∩M=⌀,则实数p的取值范围为.p|p>-2}A=⌀时,Δ=p2-4<0,解得-2<p<2;当A≠⌀,即p≤-2或p≥2时,此时方程x2+px+1=0的两个根需满足小于等于0,则x1x2=1>0,x1+x2=-p<0,得p>0,则p≥2.综上,实数p的取值范围为{p|p>-2}.19.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-4x+a=0},若A∪B=A,求实数a的取值范围.{1,2},因为A∪B=A,所以B⊆A.若B=⌀,则方程x2-4x+a=0无实数根,所以Δ=16-4a<0,所以a>4.若B≠⌀,则a≤4,当a=4时,B={2}⊆A满足条件;当a<4时,1,2是方程x2-4x+a=0的根,此时a无解.所以a=4.综上可得,a的取值范围是{a|a≥4}.20.(2020天津宝坻大钟庄高中月考)已知集合A={x|-3≤x≤6},B={x|x<4},C={x|m-5<x<2m+3,m∈R}.(1)求(∁R A)∩B;(2)若A⊆C,求实数m的取值范围.因为A={x|-3≤x≤6},所以∁R A={x|x<-3,或x>6},故(∁R A)∩B={x|x<-3,或x>6}∩{x|x<4}={x|x<-3}.(2)因为C={x|m-5<x<2m+3},且A⊆C,所以<m<2,所以m的取值范围为m<m<2.21.(2020山东滕州第一中学新校高一月考)已知全集U=R,集合A={x|x>2},B={x|-4<x<4}.(1)求∁U(A∪B);(2)定义A-B={x|x∈A,且x∉B},求A-B,A-(A-B).因为A={x|x>2},B={x|-4<x<4},所以A∪B={x|x>-4},则∁U(A∪B)={x|x≤-4}.(2)因为A-B={x|x∈A,且x∉B},所以A-B={x|x≥4},因此A-(A-B)={x|2<x<4}.第1章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列所给对象能构成集合的是()A.2020年全国Ⅰ卷数学试题中的所有难题B.比较接近2的全体正数C.未来世界的高科技产品D.所有整数A,B,C的标准不明确,所以不能构成集合;而选项D的元素具有确定性,能构成集合.故选D.2.(2021新高考Ⅰ,1)设集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},则A∩B=()A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},∴A∩B={2,3}.故选B.3.(2020山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}数形结合)由数轴可知所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.4.(2020江苏梅村高级中学月考)已知A={x,x+1,1},B={x,x2+x,x2},且A=B,则()A.x=1或x=-1B.x=1C.x=0或x=1或x=-1D.x=-1x=1时,集合A={1,2,1},B={1,2,1}不满足集合中元素的互异性,排除A,B,C;当x=-1时,A={-1,0,1},B={-1,0,1},A=B,满足题意.故选D.5.(2020江苏吴江中学月考)满足{2}⫋A⊆{1,2,3,4,5},且A中元素之和为偶数的集合A 的个数是()A.5B.6C.7D.8{2}⫋A⊆{1,2,3,4,5},所以2∈A.又A中元素之和为偶数,所以满足条件的集合A有{2,4},{1,2,3},{1,2,5},{2,3,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5},共7个,故选C.6.(2020安徽安庆白泽湖中学月考)已知集合A={x|x<1,或x>3},B={x|x-a<0},若B⊆A,则实数a的取值范围为()A.{a|a>3}B.{a|a≥3}C.{a|a<1}D.{a|a≤1}B={x|x<a},因为B⊆A,所以a≤1.故选D.7.(2020山东潍坊月考)设全集U=R,M={x|x<-2,或x>2},N={x|1≤x≤3}.如图所示,则阴影部分所表示的集合为()A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x≤3}C.{x|x≤2,或x>3}D.{x|-2≤x≤2}∁R(M∪N).又M={x|x<-2,或x>2},N={x|1≤x≤3},所以M∪N={x|x<-2,或x≥1},则图中阴影部分表示的集合为∁R(M∪N)={x|-2≤x<1}.故选A.8.(2020山西高一月考)某学校组织强基计划选拔赛,某班共有30名同学参加了学校组织的数学、物理两科选拔,其中两科都取得优秀的有6人,数学取得优秀但物理未取得优秀的有12人,物理取得优秀而数学未取得优秀的有4人,则两科均未取得优秀的人数是()A.8B.6C.5D.4,两科都取得优秀的有6人,数学取得优秀物理未取得优秀的有12人,物理取得优秀而数学未取得优秀的有4人,这样共有22人至少取得一科优秀.某班共有30名同学,则两科均未取得优秀的人数是30-22=8.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的可能取值有()A.1B.-1C.3D.25∈M,所以m+2=5或m2+4=5,解得m=3,或m=±1.当m=3时,M={1,5,13},符合题意,当m=1时,M={1,3,5},符合题意,当m=-1时,M={1,1,5},不满足元素的互异性,不成立.所以m=3或m=1.故选AC.10.(2020山东邹城第一中学高一月考)已知全集U=R,A={x|x<2,或x>4},B={x|x≥a},且∁U A⊆B,则实数a的取值可以是()A.1B.3C.2D.4A={x|x<2,或x>4},得∁U A={x|2≤x≤4}.因为∁U A⊆B,B={x|x≥a},所以a≤2,所以实数a的取值可以是1,2.故选AC.11.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则()A.A∩B={0,1}B.∁U B={4}C.A∪B={0,1,3,4}D.集合A的真子集个数为8A={0,1,4},B={0,1,3},所以A∩B={0,1},A∪B={0,1,3,4},选项A,C都正确;又全集U={0,1,2,3,4},所以∁U B={2,4},选项B错误;集合A={0,1,4}的真子集有7个,所以选项D错误.12.(2020重庆万州第二高级中学月考)给定数集M,若对于任意a,b∈M,有a+b∈M,且a-b∈M,则称集合M为闭集合,则下列说法错误的是()A.集合M={-4,-2,0,2,4}为闭集合B.正整数集是闭集合C.集合M={n|n=5k,k∈Z}为闭集合D.若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合A,4∈M,2∈M,但4+2=6∉M,故A错误;对于B,1∈N*,2∈N*,但1-2=-1∉N*,故B错误;对于C,对于任意a,b∈M,设a=5k1,b=5k2,k1∈Z,k2∈Z,a+b=5(k1+k2),a-b=5(k1-k2),k1+k2∈Z,k1-k2∈Z,所以a+b∈M,a-b∈M,故C正确;对于D,A1={n|n=5k,k∈Z},A2={n|n=3k,k∈Z}都是闭集合,但A1∪A2不是闭集合,如5∈(A1∪A2),3∈(A1∪A2),但5+3=8∉(A1∪A2),故D错误.故选ABD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设集合A={0,1},B={1,2},C={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合C的真子集个数为.A={0,1},B={1,2},∴C={x|x=a+b,a∈A,b∈B}={1,2,3}有3个元素,∴集合C的真子集个数为23-1=7.14.(2020湖南雨花雅礼中学高一月考)设A={x|-1<x≤3},B={x|x>a},若A⊆B,则实数a的取值范围是.a|a≤-1},如图所示,∵A⊆B,∴a≤-1.15.(2020江苏玄武南京田家炳高级中学月考)集合A={x|x<1,或x≥2},B={x|a<x<2a+1},若A∪B=R,则实数a的取值范围是.答案a≤a<1集合A={x|x<1,或x≥2},B={x|a<x<2a+1},A∪B=R,∴解得≤a<1,∴实数a的取值范围是a≤a<1.16.(2020山西高一月考)设全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1组成的6位字符串.如:(2,5)表示的是从左往右第2个字符为1,第5个字符为1,其余均为0的6位字符串010010,并规定空集表示的字符串为000000.若M={1,3,4},则∁U M表示6位字符串为;若A={2,3},集合A∪B表示的字符串为011011,则满足条件的集合B的个数为.4U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,4},所以∁U M={2,5,6},则∁U M表示6位字符串为010011.因为集合A∪B表示的字符串为011011,所以A∪B={2,3,5,6}.又A={2,3},所以集合B可能为{5,6},{2,5,6},{3,5,6},{2,3,5,6},即满足条件的集合B的个数为4.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020江苏镇江月考)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,2,3},B={1,3,4}.(2)集合C满足(A∩B)⊆C⊆(A∪B),请写出所有满足条件的集合C.由A={1,2,3},B={1,3,4},得A∩B={1,3},A∪B={1,2,3,4}.由U={0,1,2,3,4,5,6,7},得(∁U A)∩(∁U B)={0,5,6,7}.(2)由(A∩B)⊆C⊆(A∪B),A∩B={1,3},A∪B={1,2,3,4},得C可以为{1,3},{1,2,3},{1,3,4},{1,2,3,4}.18.(12分)已知集合A有三个元素:a-3,2a-1,a2+1,集合B也有三个元素:0,1,x(a∈R,x ∈R).(1)若x2∈B,求实数x的值.(2)是否存在实数a,x,使A=B?若存在,求出a,x;若不存在,请说明理由.集合B中有三个元素:0,1,x.x2∈B,当x取0,1,-1时,都有x2∈B,∵集合中的元素都有互异性,∴x≠0,x≠1,∴x=-1.∴实数x的值为-1.(2)不存在.理由如下:a2+1≠0,若a-3=0,则a=3,A={0,5,10}≠B;若2a-1=0,则a=,A=0,-≠B,∴不存在实数a,x,使A=B.19.(12分)已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B?若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由.(2)若A⊆B成立,求出相应的实数对(a,b).不存在.理由如下:若对任意的实数b都有A⊆B,则当且仅当1和2是A中的元素时才有可能.因为A={a-4,a+4},所以这都不可能,所以这样的实数a不存在.(2)由(1)易知,当且仅当时,A⊆B.解得所以所求的实数对为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6).20.(12分)(2020山东枣庄第三中学高一月考)已知集合A={x|a-1<x<2a+1,a∈R},B={x|0<x<1},U=R.(2)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.解(1)当a=时,A=x-<x<2.因为B={x|0<x<1},所以∁U B={x|x≤0,或x≥1}.因此A∩B={x|0<x<1},A∩(∁U B)=x-<x≤0,或1≤x<2.(2)当A=⌀时,显然符合题意,因此有a-1≥2a+1,解得a≤-2;当A≠⌀时,因此有a-1<2a+1,解得a>-2,要想A∩B=⌀,则有2a+1≤0或a-1≥1,解得a≤-或a≥2,而a>-2,所以-2<a≤-或a≥2.综上所述,实数a的取值范围为a a≤-,或a≥2.21.(12分)(2020安徽芜湖一中月考)已知集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x<0,或x>2},C={x|m-2≤x≤m+2},m为实数.(1)求A∩B,∁R(A∩B);(2)若A⊆∁R C,求实数m的取值范围.因为A={x|-1≤x≤3},B={x|x<0,或x>2},所以A∩B={x|-1≤x<0,或2<x≤3},∁R(A∩B)={x|x<-1,或0≤x≤2,或x>3}.(2)因为C={x|m-2≤x≤m+2},所以∁R C={x|x<m-2,或x>m+2}.因为A⊆∁R C,所以m-2>3或m+2<-1,解得m>5或m<-3,所以m的取值范围为{m|m<-3,或m>5}.22.(12分)(2020北京八中月考)设a为实数,集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.(1)若A∩B=A∪B,求a的值;(2)若A∩B≠⌀,A∩C=⌀,求a的值.,B={2,3},C={-4,2}.(1)因为A∩B=A∪B,所以A=B.又B={2,3},则解得a=5.(2)由于A∩B≠⌀,而A∩C=⌀,则3∈A,即9-3a+a2-19=0,解得a=5或a=-2.由(1)知,当a=5时,A=B={2,3}.此时A∩C≠⌀,矛盾,舍去.当a=-2时,经检验,满足题意.因此a=-2.。

阶段质量检测（一）集合(时间：120分钟，满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上)1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B＝________.解析：∵A＝{1,2,3}，∴∁U A＝{0,4}．∴(∁U A)∪B＝{0,2,4}．答案：{0,2,4}2．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝________.解析：由题意可知A⊆U，∴x＝2或x＝x2－2.当x＝2时，U＝{1,2,2}与互异性矛盾；当x＝x2－2时，x＝2(舍去)或x＝－1，∴x＝－1.这时U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，∴∁U A＝{2}．答案：{2}3．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝________.解析：因为M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，所以M∩N＝{－2，－1,0}．答案：{－2，－1,0}4．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是________．解析：∵A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}，∴B中一定有元素3，∴B＝{3}，{1,3}，{2,3}或{1,2,3}．答案：45．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)解析：①、②显然正确；③中π与M的关系为元素与集合的关系，不应该用“”符号；④中{π}与M的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号．答案：①②6．若集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x∈N，y∈N}，则A的非空子集个数为________．解析：∵A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}共三个元素，∴A的非空子集共有23－1＝7个．答案：77．已知集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x >a }，如果A ∪B ＝R ，那么a 的取值范围是________． 解析：如图中的数轴所示，要使A ∪B ＝R ，a ≤2.答案：(－∞，2]8.如图，已知集合A ＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．解析：根据题意，图中阴影部分表示的为集合A 、C 的交集中的元素去掉B 中元素得到的集合，又由A ＝{2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，则A ∩C ＝{2,4,5,8}，A ∩C ∩B ＝{4,5}，∴阴影部分表示集合为{2,8}．答案：{2,8}9．已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝________.解析：∵U ＝{1,3,5,7,9}，A ⊆U ，B ⊆U ，A ∩B ＝{3}，∴3∈A ，又(∁U B )∩A ＝{9}，∴9∈A ，∴A ＝{3,9}．相关的Venn 图如图所示．答案：{3,9}10．设全集I ＝{1,2a －4，a 2－a －3}，A ＝{a －1,1}，∁I A ＝{3}，则a 的值是________． 解析：∵∁I A ＝{3}，∴3∉A 且3∈I .①当2a －4＝3时，a ＝72， 这时I ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3，234，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫52，1，A I .所以不合题意，舍去．②当a 2－a －3＝3时，a ＝3或－2，当a ＝3时，I ＝{1,2,3}，A ＝{2,1}，满足条件∁I A ＝{3}．当a ＝－2时，I ＝{1，－8,3}，A ＝{－3,1}不符合题意．综上可知a ＝3.答案：311．集合A ＝{x |x <1或x ≥2}，B ＝{x |a <x <2a ＋1}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：在数轴上画出A 及B 表示的范围(如图)，由此可知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1，2a ＋1≥2，∴12≤a <1. 答案：⎣⎡⎭⎫12，112．集合A ＝{1,2,3,5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．解析：当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ；当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ；当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ；当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ；综上可知，A 中只有一个孤立元素5.答案：113．定义BA ＝{x |x ∈∁U A 且x ∈B }，已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |1≤x <a }，B ＝{x |x ≥a }，若B A ＝{x |x ≥3}，则实数a ＝________.解析：由已知得BA ＝{x |x ≥a }，∴a ＝3. 答案：314．集合A ＝{a |a ＝2k ，k ∈N}，集合B ＝⎩⎨⎧b ⎪⎪⎭⎬⎫b ＝18[1－(－1)n ]·(n 2－1)，n ∈N ，下列A ，B 间的关系：①A B ；②B A ；③A ＝B ，其中正确的是________(填写相应序号)解析：由题意可知，集合A 是非负偶数集，即A ＝{0,2,4,6,8，…}，集合B 中的元素b ＝18[1－(－1)n ]·(n 2－1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，n 为非负偶数，14(n ＋1)(n －1)，n 为正奇数，而14(n ＋1)(n －1)(n 为正奇数)表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数， 取n ＝1,3,5,7,9，…，代入14(n ＋1)·(n －1)，依次得到0,2,6,12,20，…， 即B ＝{0,2,6,12,20，…}，综上所知，B A ，故填②.答案：②二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ≤3}，N ＝{x |x <1}，求M ∪N ，(∁U M )∩N ，(∁U M )∪(∁U N )．解：由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3}，∁U M ＝{x |x >3}，∁U N ＝{x |x ≥1}，则(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝∅，(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．16．(本小题满分14分)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}．(1)已知a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵a ＝3，∴集合P ＝{x |4≤x ≤7}．∴∁R P ＝{x |x <4或x >7}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}＝{x |－2≤x ≤5}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)∵P ∪Q ＝Q ，∴P ⊆Q .①当a ＋1>2a ＋1，即a <0时，P ＝∅，∴P ⊆Q ；②当a ≥0时，∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，∴0≤a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]．17．(本小题满分14分)某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A ，B ，C 三道知识题作答情况如下：答错A 者17人，答错B 者15人，答错C 者11人，答错A ，B 者5人，答错A ，C 者3人，答错B ，C 者4人，A ，B ，C 都答错的有1人，问A ，B ，C 都答对的有多少人？解：由题意，设全班同学为全集U ，画出Venn 图，A 表示答错A 的集合，B 表示答错B 的集合，C 表示答错C 的集合，将其集合中元素数目填入图中，如图所示，因此A ∪B ∪C 中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A ，B ，C 都答对的有50－32＝18(人)．18．(本小题满分16分)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－5＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若U ＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意可知A ＝{1,2}，若A ∩B ＝{2}则2∈B ，∴22＋4(a ＋1)＋a 2－5＝0，解得a ＝－1或a ＝－3.①当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，符合题意；②当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，符合题意．综上可得a ＝－1或a ＝－3.(2)由题意，得A ∩B ＝∅，即1,2∉B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(a ＋1)＋a 2－5≠0，22＋4(a ＋1)＋a 2－5≠0， 解得a ≠－1，－3，－1±3.∴a 的取值范围是{a |a ≠－1，－3，－1±3，a ∈R}．19．(本小题满分16分)已知集合M 满足：若a ∈M ，则1＋a 1－a∈M . (1)当a ＝2时，判断M 为有限集，还是无限集？若M 为有限集，试求出M 中的所有元素；(2)若a ∈R ，则集合M 中是否可能有且只有一个元素，为什么？解：(1)根据题意：2∈M ，则1＋21－2＝－3∈M ； －3∈M ，则1＋(－3)1－(－3)＝－12∈M ； －12∈M ，则1＋⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－12＝13∈M ； 13∈M ，则1＋131－13＝2. 因此M 中只有四个元素，这四个元素分别是2，－3，－12，13， 即M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，－3，－12，13. (2)若集合M 中有且只有一个元素，则a ＝1＋a 1－a， 即a 2＝－1，此与a ∈R 矛盾．因此，当a ∈R 时，集合M 中不可能只有一个元素．20．(本小题满分16分)已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{a 21，a 22，a 23，a 24}，其中a 1，a 2，a 3，a 4为正整数，且a 1<a 2<a 3<a 4，若A ∩B ＝{a 1，a 4}，a 1＋a 4＝10，A ∪B 中所有元素之和为124，求集合A .解：由题意，得a 1，a 4为两正整数的平方且a 1＜a 4，而a 1＋a 4＝10，故a 1＝1，a 4＝9. 由9∈B ，从而3∈A ，由9∈A ，从而81∈B .若a 2＝3，则A ＝{1,3，a 3,9}，B ＝{1,9，a 23，81}，从而1＋3＋a 3＋9＋a 23＋81＝124，得a 3＝5或a 3＝－6(舍去)，此时集合A ＝{1,3,5,9}；若a 3＝3，则a 2＝2，此时A ＝{1,2,3,9}，B ＝{1,4,9,81}不满足A ∪B 所有元素之和为124，故不合题意．综上所述，集合A ＝{1,3,5,9}．。