高中数学课件：抛物线的几何性质1
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高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口大小与函数值随x变化的幅度有关，开口越小，函数值变化幅度越小；开口 越大，函数值变化幅度越大。
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时PPT课件(人教版)
（2）关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)；
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16 的点P，且FP平行于准线.
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 y x 1 ， ①
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1.范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0 x 0
p0
所以抛物线的范围为 x 0
o F ( p ,0) x
2
2.对称性 视察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
作业：课本136页练习1,2,3,4
2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.归纳、对照四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质 2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的准线 .
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16 的点P，且FP平行于准线.
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 y x 1 ， ①
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1.范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0 x 0
p0
所以抛物线的范围为 x 0
o F ( p ,0) x
2
2.对称性 视察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
作业：课本136页练习1,2,3,4
2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.归纳、对照四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质 2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的准线 .
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
抛物线的几何性质PPT课件
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
• 第二组拓展练习：
如图，河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型， 其函数的解析式为y= - 1 x2 当水位线在AB位置时，水
25
面宽AB=30米这时水面离桥顶高度h是（D）
A、5米
B、6米； C、8米； D、9米。
y
0
h
x
A
B
尝试成功 如图，有一次,我班某同学在距篮下4m处跳起投篮， 球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离2.5m时，达 到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地 面的距离为3.05m.
建立如图所示的直角坐标系， 求抛物线的解析式；
y
3.5m
3.05 m
o
2.5m 4 m
x
教
学
总 结
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
简单板书 ：
抛物线的 几何性质
y2 2 pxp 0
范围 x≥0
对称轴 顶点 x轴 O(0,0)
离心率 准 线 e=1 x： • (1)“有心”与“无心”； • (2)“一轴、一线、一顶、一焦、一
率”；
• (3)定义的“统一性”与“单一性”；
范例教学，练习反馈 第一组练习： ．
抛物线 的几何性质
教材分析
教学目标
抛物线的简单几何性质 课件
解： (1)因为直线 l 的倾斜角为 60°， 所以其斜率 k＝tan 60°＝ 3， 又 F32，0. 所以直线 l 的方程为 y＝ 3x－32.
y2＝6x，
联立 y＝
3x－32，
消去 y 得 x2－5x＋94＝0.
若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5， 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2＝x1＋x2＋p.
归纳升华 1．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义 在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标 问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
2．焦点弦长． 设 AB 是抛物线 y2＝2px(p＞0)的一条过焦点 F 的弦， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2 ＋p. 即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点 距转化为点线距(点到准线的距离)来解决，这体现了抛物 线的特殊性，此为求抛物线焦点弦的便捷方法．
y1＋y2＋ p－(y1＋y2)
p
类型 1 求抛物线的标准方程及其几何性质(自主研 析)
[典例 1] 已知顶点在原点，以 x 轴为对称轴，且过 焦点垂直于 x 轴的弦 AB 的长为 8，求出抛物线的方程， 并指出它的焦点坐标和准线方程．
解：当焦点在 x 轴的正半轴上时，设方程为 y2＝2px(p ＞0)．
焦点 Fp2，0 F__－__p2_，__0__ p0，p2 F__0_，__－__p2__
准线 方程 x_＝__－__p2__
x＝p2
__－__p2__
y＝p2
温馨提示 抛物线的性质和椭圆、双曲线的性质比较起来，差别 较大．它的离心率为 1，是一个定值，有一个焦点、一个 顶点、一条准线、一条对称轴，没有中心，学习中要注意 区分、比较记忆．
数学选修课件第章抛物线的几何性质
）。
开口方向与宽度
开口方向
对于形如$y^2=2px$的抛物线，当$p>0$时，开口向右；当 $p<0$时，开口向左。对于形如$x^2=2py$的抛物线，当 $p>0$时，开口向上；当$p<0$时，开口向下。
宽度
抛物线的宽度与焦准距$p$有关。当$p$增大时，抛物线开口 变宽；当$p$减小时，抛物线开口变窄。
点为$F(0,p/2)$。
准线
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其准线方程为$x=-p/2$；对 于形如$x^2=2py$的抛物线，
其准线方程为$y=-p/2$。
对称轴
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其对称轴为$y=0$（即x轴） ；对于形如$x^2=2py$的抛物 线，其对称轴为$x=0$（即y轴
抛物线焦点与准线的应用
通过抛物线的焦点和准线，可以建立坐标系，将问题转化为坐标运 算，从而简化问题。
在三角函数问题中应用
抛物线参数方程与三角函数的关系
01
通过抛物线的参数方程，可以将三角函数问题转化为参数方程
问题，从而利用三角函数的性质进行求解。
抛物线顶点与三角函数最值的关系
02
利用抛物线的顶点坐标，可以求出三角函数的最值，进而解决
焦点弦两端点横坐标之积等于 $p^2/4$ 。
焦点弦长度计算公式推导
公式推导
设抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$）上两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$， 且 $AB$ 为焦点弦，则有
证明
由抛物线定义可知 $|AF| = x_1 + p/2$， $|BF| = x_2 + p/2$，因此 $|AB| = |AF| + |BF| = x_1 + x_2 + p$。
开口方向与宽度
开口方向
对于形如$y^2=2px$的抛物线，当$p>0$时，开口向右；当 $p<0$时，开口向左。对于形如$x^2=2py$的抛物线，当 $p>0$时，开口向上；当$p<0$时，开口向下。
宽度
抛物线的宽度与焦准距$p$有关。当$p$增大时，抛物线开口 变宽；当$p$减小时，抛物线开口变窄。
点为$F(0,p/2)$。
准线
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其准线方程为$x=-p/2$；对 于形如$x^2=2py$的抛物线，
其准线方程为$y=-p/2$。
对称轴
对于形如$y^2=2px$的抛物线 ，其对称轴为$y=0$（即x轴） ；对于形如$x^2=2py$的抛物 线，其对称轴为$x=0$（即y轴
抛物线焦点与准线的应用
通过抛物线的焦点和准线，可以建立坐标系，将问题转化为坐标运 算，从而简化问题。
在三角函数问题中应用
抛物线参数方程与三角函数的关系
01
通过抛物线的参数方程，可以将三角函数问题转化为参数方程
问题，从而利用三角函数的性质进行求解。
抛物线顶点与三角函数最值的关系
02
利用抛物线的顶点坐标，可以求出三角函数的最值，进而解决
焦点弦两端点横坐标之积等于 $p^2/4$ 。
焦点弦长度计算公式推导
公式推导
设抛物线 $y^2 = 2px$（$p > 0$）上两点 $A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$， 且 $AB$ 为焦点弦，则有
证明
由抛物线定义可知 $|AF| = x_1 + p/2$， $|BF| = x_2 + p/2$，因此 $|AB| = |AF| + |BF| = x_1 + x_2 + p$。
抛物线的简单几何性质课件 (1)
⑴k→+∞时，|AB| →2p 时 即垂直于对称轴的焦点弦最短（通径） 即垂直于对称轴的焦点弦最短（通径） p2 y1y2=-p2 ⑵x1x2= 4 ⑶以焦点弦为直径的圆和准线相切
课堂练习： 课堂练习：p122第1、3、4题 第 、 、 题
例4、正三角形的一个顶点在原点，另二个顶 、正三角形的一个顶点在原点， 点在抛物线y2=2px上，求三角形的边长。 点在抛物线 上 求三角形的边长。
抛物线的几何性质
标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
图 形
范围 对称轴 顶点
离心率 开口大小 通经
的直线经过抛物线y 的焦点， 例3、斜率为 的直线经过抛物线 2=4x的焦点， 、斜率为1的直线经过抛物线 的焦点 与抛物线交于两点A、 ，求线段AB的长 的长。 与抛物线交于两点 、B，求线段 的长。 一般化：斜率为 的直线经过抛物线 的直线经过抛物线y 一般化：斜率为k的直线经过抛物线 2=2px的焦 的焦 与抛物线交于点A、 ，求线段AB的长 的长。 点，与抛物线交于点 、B，求线段 的长。 • 问题：从上面的解题过程中，你还得到了哪些 问题：从上的简单几何性质
例1、填空： 、填空： 抛物线y ⑴抛物线 2=2px（p＞0）上一点 到焦点的距 （ ＞ ）上一点M到焦点的距 离是a（ ＞ ）， ），则 到准线的距离是 离是 （a＞p/2），则M到准线的距离是 ， p a 点M的横坐标是 的横坐标是 ； a− 2 抛物线y 上与焦点的距离等于9的点的坐 ⑵抛物线 2=12x上与焦点的距离等于 的点的坐 上与焦点的距离等于 ， 标是 (6 ± 6 2) 。 例2、根据下列条件写出抛物线的标准方程： 、根据下列条件写出抛物线的标准方程： y2=-12x 焦点是F（ ， ）； ⑴焦点是 （-3，0）； x2=2y 准线方程是2y+1=0； ⑵准线方程是 ； 焦点到准线的距离是2。 ⑶焦点到准线的距离是 。 内容？ 抓手？ 研究抛物线的几何性质： 内容？ 抓手？ 研究抛物线的几何性质
高二数学抛物线的简单几何性质1省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
PF QF
PF QF 0 即( p, y1) ( p, y2 ) 0
p2 y1 y2 0
即y1 y2 p2
易得：x1x2
p2 4
Py A
O •F
x
Q
B
12/15
例5、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线y2 2 px（p 0）上，求这个 正三角形的边长.
K.
OF
x
－－抛物线标准方程
2/15
2、抛物线标准方程：
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
8/15
三、例题选讲：
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,而且过点
M(2, 2 2 )抛物线有几条,求它标准方程.
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可 防止讨论！
1.抛物线只位于半个坐标平面内,即使它能够无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线离心率是确定e=1; 5.抛物线标准方程中p对抛物线开口影响.
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
关于x轴
对称
( x, y )
O
•
F
(
p
,0)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
x
3.顶点
定义：抛物线与它的对称轴的交
y
点叫做抛物线的顶点.
y2
= 2px (p>0)中，
叫做抛物线的焦半径.
y
焦半径公式：
p
MF x0
2
H
y2 = 2px
d
M (x0,y0)
O
•
F( p ,0) x
2
方程 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
图
形
y
l
M
O F
M
x
F
y
y
l
O
F M
x
O
l
焦半
径
y
x
O
F
l
M x
p
p
p
p
MF x0
MF
例4.斜率为1的直线 l 经过抛物线
且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
解:F(1,0),直线l:y=x-1
y x 1
由 2
消y得：x 2 6 x 1 0
y 4xyA来自oFB
法2：设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x1 x2 6
x1 x2 1
由 2
y 4x
抛物线的简单几何性质 人教课标版精品课件
9
抛物线的简单几何性质(二)
问题(接上一节的思考): 倾斜角为 的直线经过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化,计算弦长.
(1)列表（在第一象限内列表）
x 0 1 23 4 …
y 0 2 2.8 3.5 4 …
(2)描点：
y4
3
(3)连线：
2
1
(4) 运用对称性画出全图 o 1 2 3 4
x
注:如果是画草图,一般取五点就连线,可确定大致形状.
且这个形状与双曲线是有很大区别的.
3
练习巩固:
1. M
顶 (5,
点4)在的原抛物点线, 的关方于程x是轴__对__y_称2__,_1并_6__且x__经_.
思考 1:(课本第 76 页例 6)
已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过定
点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物
线 y2 4x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;
过
点
2.顶点 在原 点 ,准 线为 y 2 的 抛 物5线的 方程是
______x_2____8__y____.
3.抛物线 ( x 1)2 4( y 2) 的顶点坐标为_(_1_,___2_,)
对 称 轴 方 程 是 __x______1_, 焦 点 坐 标 为 ___(_1_,___1_,) y 3 准线方程为____________________.
积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
答案:下一张
抛物线的简单几何性质(二)
问题(接上一节的思考): 倾斜角为 的直线经过抛物线 y2 2 px ( p 0) 的
焦点,与抛物线相交于 A、B ,求线段 AB 的长.
解本题,可尝试用的方法有: 法一:设而不求,运用韦达定理, 计算弦长; 法二:设而不求,数形结合,运用 定义转化,计算弦长.
(1)列表（在第一象限内列表）
x 0 1 23 4 …
y 0 2 2.8 3.5 4 …
(2)描点：
y4
3
(3)连线：
2
1
(4) 运用对称性画出全图 o 1 2 3 4
x
注:如果是画草图,一般取五点就连线,可确定大致形状.
且这个形状与双曲线是有很大区别的.
3
练习巩固:
1. M
顶 (5,
点4)在的原抛物点线, 的关方于程x是轴__对__y_称2__,_1并_6__且x__经_.
思考 1:(课本第 76 页例 6)
已知抛物线的方程为 y2 4x ,直线 l 过定
点 P(2,1) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物
线 y2 4x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;
过
点
2.顶点 在原 点 ,准 线为 y 2 的 抛 物5线的 方程是
______x_2____8__y____.
3.抛物线 ( x 1)2 4( y 2) 的顶点坐标为_(_1_,___2_,)
对 称 轴 方 程 是 __x______1_, 焦 点 坐 标 为 ___(_1_,___1_,) y 3 准线方程为____________________.
积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
答案:下一张
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)(1)
于是 AB AF BF x1 x2 + 2.
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
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焦点坐标
ห้องสมุดไป่ตู้
准线方程
（1） （2） （3） （4）
（5，0） （0，—18 ） （- —5 ，0）
8
（0，-2）
x= -5
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
2020/4/25
新授内容
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0 X •y取全体实数
2020/4/25
新授内容
二、抛物线的对称性 y2=2px
=
9
y或y2
=
4
x
。
2
3
2020/4/25
练习3 M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
p M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
X + — 0
2 ————————————
这就是抛
． y M
物线的焦 半径公式!
．
OF
x
2020/4/25
练习4
根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
焦点到准线的距离
想 选择不同的位置建
一 想 ？
立直角坐标系时, 情况如何?
？
2020/4/25
﹒ 图 形 y
焦点
ox
﹒y
﹒o x y
ox
﹒y o x
2020/4/25
准线
标准方程
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量如为X,则X轴为抛物线 的对称轴，焦点就在对称轴X轴上呀！ 一次项的变量如为Y,则Y轴为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴Y轴上呀！ 第二：一次变量的系数正负决定了开口方向
y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
；
y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
2020/4/25
练（1习）5y2填= 表20x:下列（抛2物）线x2=的1焦y点坐标和准线方程
2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
二、抛物线的标准方程 y
设︱KF︱= p
则F（
p 2
，0），l：x = -
p 2
l
· N M
设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知，
·x
Ko F
(x p )2 y2 x p
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
2020/4/25
复习：
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
2020/4/25
练习1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦点F 3 ,0 准线方程 : x 3
2
2
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2，
求它的焦点坐标和准线方程；
焦点F 0, 1 准线方程 : y 1
24
24
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），
3、注重数形结合的思想。
2020/4/25
同学们
来学校和回家的路上要注意安全
同学们
来学校和回家的路上要注意安全
Y
关于X轴对称
没有对称中心，因 此，抛物线又叫做 X 无心圆锥曲线。 而椭圆和双曲线又 叫做有心圆锥曲线
2020/4/25
新授内容
三、抛物线的顶点 y2=2px
Y
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 X点 只有一个顶点
2020/4/25
新授内容
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
所有的抛物 线的离心率 X 都是 1
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜C
B
所以EH是以AB为 直径的圆E的半径， 且EH⊥l，因而圆E 和准线l相切．
H
E
OF
x
DA
2020/4/25
练习 求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
x2 16 y
（2）顶点在原点，准线是x＝4
y2 16 x
（3）焦点是F（0，5），准线是y＝－5
x2 20 y
（4）顶点在原点，焦点在x轴上，
过点A（－2，4）
y2 8x
2020/4/25
小结：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法 2、抛物线的定义、标准方程和它
的焦点、准线、方程
2020/4/25
例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一
条直线m，交这抛物线于A,B两点，求
证：以AB为直径的圆和这抛物线的准
线相切．
y
C
B
分析：运用
抛物线的定 H
E
义和平面几
OF
x
何知识来证 D A
比较简捷．
2020/4/25
证明：如图．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l
引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
2020/4/25
新授内容
五、抛物线的基本元素 y2=2px
Y
基本点：顶点，焦点
基本线：准线，对称轴
X
基本量：P（决定 抛物线开口大小）
2020/4/25
新授内容
六、抛物线开口方向的判断
y2 2 px +X，x轴正半轴，向右 y2 2 px -X，x轴负半轴，向左 x2 2 py +y，y轴正半轴，向上 x2 2 py -y，y轴负半轴，向下
求它的标准方程。
标准方程为 : x2 8y
2020/4/25
练习2 求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p= 9
．y A
4
当焦点在x轴的负半轴上时，
O
x
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
抛物线的几何性质
范围 对称性 顶点 离心率 基本元素
2020/4/25
复习：
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
N
定点F叫做抛物线的焦点。
定直线l 叫做抛物线的准线。
M· ·F
即: 若︳︳MMNF ︳︳1,则点M的轨迹是抛物线。
2020/4/25
复习：