(新)北师大版八年级数学下册5.4《分式方程》课件(共3课时).ppt

分式方程 去分母 整式方程
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).

（1）你能找出这一情境中的等量关系吗?
（2）根据这一情境你能提出哪些问题?
（3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少? （3）解法2：设共有x间出租房,则
102000 96000
你会解x这 个50方0 程吗x?
500
第七页，共二十五页。
活动探究
问题2：某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费涨价1/3.小丽家去年12月 份的水费15元,而今年7月份的水费是30元.已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用 水量多5立方米,求该市今年居民用水的价格.
活动探究
一项工程， 需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就
要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完 成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需（x+3）天，
根据题意，得
解得x=6.
2 x
x
x
3
=1
检验：当x=6时，x(x+3)≠0.
方米,求该市今年居民用水的价格.
解:设该市去年居民用水的价格为x元/立方米，则今年的水价为
根据题意，得
30
(1
1)x 3
15 x
5
解这个方程得： x=1.5
经检验, x=1.5是所列方程的根
1.5 (1
1) 3
2
元/m3
所以，该市今年居民用水的价格为2元/m³.
元/立1 方13 米x ，
第九页，共二十五页。
x 1 a1
x
a
第十三页，共二十五页。
强化训练
(3)解方程 y y 2 可10转化为

所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3.
四、随堂练习
1.勤洗手，戴口罩.小明第一次用120元买了若干包口罩,第二次用240元 在同一商家买同样的口罩,这次商家每包优惠4元,结果比上次多买了20包, 求第一次买了多少包口罩?若设第一次买了x包口罩,列方程正确的是( D.).
A. 240 120 4 x 20 x
3
x
11x 3
15
30 15 5. 11x x
3
30
三、典例分析
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3， 则今年居民
用水的价格为
1
1 3
x 元/m3.
30
根据题意，得：
1
1
x
15 x
5.
3
解得：
x3 2
经检验， x 3 是原方程的根.
2
整理
45 15 5.
2x x
3 1 1 2 元 / m3 23
所有房屋出租的租金第一年为9.6万元， 第二年为10.2万元.
第一年所有房屋出租的租金=9.6万元 第二年所有房屋出租的租金=10.2万元
1.你能找出这一情境中的等量关系吗?
找等量 关系
第二年每间房屋的租金 = 第一年每间房屋的租金+ 500.
第一年出租的房屋间数 = 第二年出租的房屋间数.
发掘隐含条件！
在“火神山”医院的建造过程中，有两个工程队共同参其中一项搬运工程，
甲队单独施工1天完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工 作了半天天，总工程全部完成. 乙单独干这项工程需要多长时间？
解:设小亮每小时各加工x个，则小明每小时各加工(x+10)个.
根据题意，得：
150 120 . x 10 x

式来确定混合糖果的单价．S= a1m1+a2m2
m1+m2
（a1、a2分别表示甲、乙两种糖果的单价，m1、
m2分别表示甲、乙两种糖果的质量千克数）．已知
a1=30元/千克，a2=20元/千克．现在单价为24元/千克的
这种混合糖果100千克，商场想通过增加甲种糖果，把
单价提高10%，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮
的施工速度快？
1
解： 设乙队如果单独施工一个月能完成总工程的，
记总工程量为1，根据题意，得
x
1 3
1 1 6 2x
`
=1，
解之得：x 1，
经检验知x=1是原方程的解．
由上可知，若乙队单独工作一个月可以完
成全部任务，所灿以若寒乙星 队施工速度快．
1、甲、乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多 做6个，甲做90个零件所用的时间和乙做60个零件所用 时间相等，求甲、乙每小时各做多少个零件？
解：设步行每小时行x千米，骑车每小时行（x+8）千米，则
12 36 x x8
解得x=4， 经检验x=4是方程的解． 40÷4=10（小时）
答：他步行40千米灿若用寒星10个小时．
3、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大
汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分
钟.已知小汽车与大汽车的速度之比是5：2，求两辆汽
240个零件，已知甲每小时比乙少加工5个零件，
求两人每小时各加工的零件个数．
解：设乙每小时加工x个，甲每小时加工（x-5）个，则
180 240 x5 x
解得x=20 检验：x=20时，x（x-5）≠0，x=20是原分式方程的解．
x-5=15， 答：乙每小时加工20灿个若寒，星甲每小时加工15个．

思 考 题:
1.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知
A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，求轮船在静水中
的速度. 解：设船在静水中的速度为x千米/时,根据题意得:
80 80 1. x2 x2
方程两边同乘（x-2)(x+2)得 80x+160 －80x+160=x2 －4.
④、写：
所以原方程的无解。
写出结论
3.列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？
审题 找等量关系 设未知数 列方程
解方程 检验 答题
讲授新课
一 列分式方程解决工程问题
例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完 成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半
个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
列表格如下：
面包车 小轿车
路程 200 180
速度 x+10
x
时间
200 x 10
180 x
等量关系： 面包车的时间=小轿车的时间
解：设小轿车的速度为x千米/小时，则面包 车速度为x+10千米/小时，由题意得：
180 200 x x 10
解得x＝90
注意两次检验: (1)是否是所列方程的解; (2)是否满足实际意义.
一化→二解→三检验 3.验根有哪几种方法？
有两种方法： 第一种是代入最简公分母； 第二种代入原分式方程每一个分母.通常使用第一种方法.
导入新课
1.解分式方程的一般步骤： 2.解方程
①、化：
解：方程两边同乘
得：
把分式方程化为整式方程
②、解：
解这个方程得：
解整式方程 ③、检验：

• 10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021 10:26:11 PM • 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/1/112021/1/112021/1/11Jan-2111-Jan-21 • 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/1/112021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021 • 13、志不立，天下无可成之事。2021/1/112021/1/112021/1/112021/1/111/11/2021
5.验:有两次检验. (2)检验是否满足实际意义.
6.答:注意单位和语言完整.
例1、小明和同学去书店买书，他们先用15元 买了一种科普书，又用15元买了一种文学 书。科普书的价格比文学书高出一半，他 们所买的科普书比文学书少1本。这种科普 书和这种文学书的价格各是多少？
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/112021/1/11Monday, January 11, 2021
自主研究
• 自学教材例题3 • 思考：
1、列分式方程解应用题的一般步骤？ 2、列分式方程解应用题时要注意什么？
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程.
4.解:认真仔细.
(1)检验是否是所列方程的解;
第五章 分式与分式方程
5.4 分式方程的应用（三）
1.解分式方程的一般步骤：

想一想,议一议
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出等量关系. 2.设:设未知数 3.列:列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. (1)检验是否是所列方程的解;
(2)检验是否满足实际意义.
5.验:有两次检验. 6.答:注意单位和语言完整.
随堂练习
1、小明和同学去书店买书，他们先用15元买了 一种科普书，又用15元买了一种文学书。科普书的价 格比文学书高出一半，他们所买的科普书比文学书少 1本。这种科普书和这种文学书的价格各是多少？
3
试一试
2.小丽家今年7月份的用水量-小丽家去年12月份的用水量=5 m3
3.水费÷用水价格=用水量
解：设去年用水的价格为x元/m3，则今年的水价为 (1 根据题意，得
30 15 5 1 (1 ) x x 3 解这个方程，得 x 1.5
1 ) x元/m3 3
x 1.5 经检验， 是所列方程的根. 1 1.5( 1 ) 2 (元/m3) 3 答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
2 ( x 1 ) 4( x 1 ) ( x 1 )
解这个方程得：
x 1 经检验 x 1 原方程的增根
所以原方程无解。
三、列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步？
想一想,做一做
例：某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的 租金第二年比第一年多500元，所有房屋的租金第一 年为9.6万元，第二年为10.2万元。 1.你能找出这一情境中的等量关系吗?
2.根据这一情境你能提出哪些问题?
想一想,做一做
例：某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租 金第二年比第一年多500元，所有房屋的租金第一年 为9.6万元，第二年为10.2万元。 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少 ? 方法一： 解：设第一年每间房屋的租金为x元，则第 二年每间房屋的租金为（x+500）元，根据 题意，得

分析：此题的主要等量关系是：
小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量 =5m3.
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则
今年的水价为
1
1 3
x
元/m3,根据题意，得
30 15 5.
1
1 3
x
x
解得
x 3. 2
经检验， x 3 是原方程的根.
2
3 2
1
1 3
2(元/m3
).
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
解得x=10. 经检验，x=10是原方程的解，
答：原计划平均每月的绿化面积为10 km2.
随堂练习
6.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知 A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水 中的速度. 解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意得
80 80 1. x2 x2
方程两边同乘（x-2)(x+2)得 80x+160 －80x+160=x2 －4. 解得 x=±18.
x=－18（不合题意，舍去），
经检验，x=18是原方程的根. 答：船在静水中的速度为18千米/小时.
课堂小结
分式方程的 应用
常见类型
行程问题、工程问题、数字问题、 顺逆问题、利润问题等
一般解题步骤
课程讲授
1 分式方程的应用
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年的
水价为
1
1 3
x元/m3,根据题意，得
30 15 5.
1
1 3
x
x
解得 x 3 .
2
经检验，x 3 是原方程的根.
2
3 2

七年级人均捐款额=
4800元 七年级捐款人数
，
八年级人均捐款额=
5000元 八年级捐款人数
.
一、情景引入
如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
八年级捐款人数-七年级捐款人数=20,
七年级人均捐款额=八年级人均捐款额,
七年级人均捐款额=
480பைடு நூலகம்元 七年级捐款人数
，
八年级人均捐款额=
5000元 八年级捐款人数
.
七年级 八年级
人均捐款额
4800 x
5000 x +20
4800 = 5000 . x x +20
人数
x
x +20
捐款总额 4800 5000
二、探究新知
下列方程有哪些共同特点？
1400 - 1400 = 9, x 2.8x
1400 = 2.8? 1400 ,
y
y +9
4800 = 5000 . x x +20
工作效率×工作时间=工作总量 人工工作效率+机械工作效率=合作工作效率
工作效率
工作时间/h 工作总量
人工
1? 6 1
2 12
6
机械
1? x 1
x
2
2x
合作
1?1 1 22
1
1
2
1 + 1 =1.
1
12 2x 2
12
2
六、课堂小结
概念：分母中含 有未知数的方程叫做 分式方程.
分 式 方 程
1.是方程； 2.方程中含分式； 3.分母中含未知数.
C. 1 - y = 0 x- 2
B.x + y =1 D. - 1

分析：一块耕地是工作总量，可设为 1 .
1、若设乙型拖拉机单独耕块这地需要x天完成，那么它1
天耕地量是这块地 1 .
x
2、一台甲型拖拉机4天耕完这块地的一半。那么1天耕地 量是这块地的 1 .
8
3、两台拖拉机合耕这块地，1天耕地量是这块地的
1 x

1 8.
4、列方程的依据是：甲、乙合作1天完成这块地的一半。
1
练习2 甲、乙两人骑自行车各行28公里，甲比乙快 4 小时，已知甲与乙速度比为8：7，求两人速度。
解：设甲的速度8x千米/时， 乙的速度是7x千米/时。 甲
28 28 1 乙
7x 8x 4
v st
8x 28
28 8x
7 x 28 28
7x
三、小结
列分式方程解应用题与一元一次方程 解应用题的方法与步骤基本相同，不同点 是，解分式方程必须要验根。一方面要看 原方程是否有增根，另一方面还要看解出 的根是否符合题意，原方程的增根和不符 合题意的根都应舍去。
解:设第一年每间房为屋 X元 租 ,第金二年每间租 (X金 5为 0)0元, 由题意9得 6000102000
x x500 x8000 经检x验800是 0 原方程的根 x80008500 答:第一年每间房屋8租 00元 金 0,第 为二年则 85为 0元 0.
某市从今年1月1日起调整居民用水价 格，每立方米水费上涨三分之一 ，小 丽家去年12月份的水费是15元，而今 年7月份的水费则是30元．已知小丽家 今年7月份的用水量比去年12月份的用 水量多5立方米，求该市今年居民用水 的价格．
一船在静水中每小时航行20千米，顺水航行72千 米的时间恰好等于逆水航行48千米的时间，求水流 速度。