当前位置：文档之家 › 随机过程课程第一章 基础知识

随机过程课程第一章 基础知识

  • 格式：ppt
  • 大小：1.98 MB
  • 文档页数：71

下载文档原格式

  / 71

合集下载

(完整版)随机过程知识点汇总

(完整版)随机过程知识点汇总

第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。

若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。

1第一章 随机过程基础

1第一章 随机过程基础

3、 基本事件与样本空间 在随机试验 S E中最简单的随机事件称为基本事件，所 有基本事件的集合称为基本事件空间。例如对一个六面 体骰子，出现1,2,…, 6 点是基本事件，而所有的基本事件 1,2,…, 6 的集合称为基本事件空间，而“出现奇数点”是随机 事件，但不是基本事件。可见基本事件只是事件的一种。 例如A:掷骰子试验中，事件：“出现点数不大于3”是由 三个基本事件“出现点数1”、“出现点数2”、“出现点数3 共同组成的，是事件空间 A 的一个事件，即 A 1,2,3 ， SE。
1.1 概率论中的几个概念与公式
2、 随机试验、复合随机试验与样本空间 通常把对自然现象进行的一次观察或进行的一次试验， 统称为一个试验，而若这个试验满足下列条件： （1）在相同条件下可重复进行； （2）每次试验结果有多种可能，且所有可能的结果能 事先明确； （3）每次试验之前不能确定会出现哪一个结果。 就称其为随机试验。显然，随机试验表示的是在一组 可以重复实现的条件下观察某种现象能否出现的行动。 如投硬币，掷骰子等等。当然，随机试验可以 根据上述条件进行设计。
P A B P AB P B
（1-7）
式中 解释为
P AB
为事件A与B的联合概率。式（1-7）的频率的
nAB nAB n nB nB n
P A B
,
nAB P AB n
且
nAB nB n n
，故有
P AB P B
。
式（1-7）的含义是事件A与事件B有关，若 A B ，即 事件A与事件B互不相交，则 P A B 0 ；而条件一词的含 P 义是 P B 0，否则若 B ， B 0，则式（1-7）没有意义。 2、乘法公式 设有n个事件 A1 ,…, An ，则 A A …A 同时发生也是一个 事件，其概率记为 P A A …A ，称为事件 A1 , A2 ,…, An 的联合 概率。则 P A1 A2 …An P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 …P An A1…An 1 （1-8）

第一章 随机过程 第二节 随机过程的基本概念

第一章 随机过程 第二节 随机过程的基本概念
若 FX ( x, t ) 的偏导数存在，则有随机 过程 X(t)一维概率密度函数
FX ( x1 , t1 ) f X ( x1 , t1 ) x1
2 、二维概率分布 为了描述S.P在任意两个时刻t1和t2的状态间的 内在联系,可以引入二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分 布函数FX(x1,x2;t1,t2)，它是二随机事件{X(t1)≤x1} 和{X(t2)≤x2}同时出现的概率，即
FX(x1,x2;t1,t2)=P{ X(t1)≤x1,X(t2)≤x2}
称为随机过程X(t)的二维分布函数。 若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在， 则 2 F ( x , x ;t ,t )
f X ( x1 , x2 ; t1 , t 2 )
X 1 2 1 2
x1x2
E[cos ] cos f ( )d cos
0 0
2
2
同理
1 d 0 2
E[sin ] 0
mx (t ) 0
2 2 x (t ) 2 (t ) mx (t ) 2 (t ) E[ x2 (t )] x x （2）
2 ＝ E[sin (0t )] E [1 cos(20t 2 )]
t 离散型随机过程：对随机过程任一时刻1 的取值X (t1 ) 都是离散型随机变量。
连续随机序列：随机过程的时间t只能取 t 某些时刻，如 t ， 2 ，…..，n t，且这 时得到的随机变量 X ( nt ) 是连续型随机变 量，即时间是离散的。相当于对连续型随 机过程的采样。 离散随机序列：随机过程的时间t只能取 t 某些时刻，如 t ， 2 ，…..，n t，且这 时得到的随机变量 X ( nt ) 是离散型随机变 量，即时间和状态是离散的。相当于采样 后再量化 。

随机过程-1随机过程基本概念

随机过程-1随机过程基本概念

均方值 Ψ X (t) EX 2 (t) DX (t) EX 2 (t) [EX (t)]2 Ψ X (t) mx2 (t)
二、随机过程的协方差函数和相关函数 对于任意固定的 t1,t2 T , X1(t), X 2 (t) 为随机变量。 相关系数：
(t1, t2 )
cov[X (t1), X (t2 )] , DX (t1) DX (t2 )
2a / 2
§2 随机过程数字特征
一、随机过程的数学期望和方差
{X (t),t T} 在任意固定时刻均是一个随机变量，因此 随机过程的期望和方差是t的函数。
数学期望（函数）

mX (t) EX (t)
xdF(x,t), t T

方差（函数）
DX (t) DX (t) E[ X (t) mX (t)]2 , t T
X(t)的（自）相关函数
RX (t1, t2 ) EX (t1) X (t2 ), t1, t2 T
二者之间的关系 CX (t1, t2 ) RX (t1, t2 ) mX (t1)mX (t2 ), t1, t2 T
若 t1 t2 t CX (t,t) E[ X (t) mX (t)]2 DX (t) DX (t)
X (t,0 ) —— 随机过程的样本函数或样本曲线，也称为现
实曲线。
样本空间——样本函数的全体。
例5中，若 P{Φ 0} P{Φ }
条曲线构成。
1 ，则 2
Ω
由
x1(t), x2 (t)
两
X (t0 ,0 ) —— 样本函数在t0处的数值。
随机过程可简记为：
{X (t),t T}

随机过程讲义 第一章

随机过程讲义 第一章

第一章 随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。

在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。

将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。

1． 随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。

其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。

随机过程的两种描述方法： 用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。

记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。

参数T 一般表示时间或空间。

常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。

当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。

随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。

S 中的元素称为状态。

状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。

实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。

例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。

随机过程课件

随机过程课件


1
m X (t1 )][ x2 m X (t 2 )] f ( x1 x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2 f ( x1, x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2
x x


1 2
X(t) 协方差与相关函数的关系为 当 mx (t ) 0 时 C X (t 1 , t 2 ) R X (t 1 , t 2 ) 在协方差定义中取t1=t2=t,就有
为XT 的均值函数或数学期望。其中F(x,t)是过程 的一维分布函数。 若是连续型随机变量，有 mX (t) xf(x,t)dx 其中f(x,t)是一维分布密度。 12

2．随机过程的方差 若 DX (t) 2 (t) E[X(t) mX (t)]2 存在，t∈T， X 称为X（t）的方差。 x (t) Dx (t) 称为X（t）的标准差。 它们描绘过程的样本曲线在各个t时刻对均 值 m X ( t ) 的离散程度， 对每个t1∈T， EX (t1 ) 反映t1状态取值的概率平均。 DX (t1 ) 反映t1状态取值与 EX (t1 ) 离散程度。 在工程中随机过程的均方值具有物理意义，比 较有用。均方值定义为： E[ X 2 (t )] X (t ) DX (t ) E( X 2 (t )) E 2 ( X (t )) 有关系式： 13 Dx (t ) x (t ) [mx (t )]2 即
第一章. 随机过程的基本概念
§1.1 随机过程及其概率分布
在实际问题中，有时需要对随机现象的变化进 行研究，这时就必须考虑无穷个随机变量或一族 随机变量, 我们就称这种随机变量族为随机过程。 例1: 生物群体的增长问题。在描述群体的发展 或演变过程中, 以 Xt 表示在时刻 t 群体的个数, 则 对每一个 t ，Xt 是随机变量。假设我们从 t ＝0 开 始每隔24小时对群体的个数观测一次, 则{Xt , t ＝0, 1, 2, ...}是一个随机过程。 例2: 电话呼唤问题。某电话总机在[0，t]时间 内收到的呼唤次数用 Xt 来表示, 则对于固定的 t ， 1 Xt 是随机变量。于是{Xt , t ∈[0, ∞)}是随机过程。

随机过程-第一章__概率预备知识


概率空间
(1) Ω∈F ; (2) 若A∈F ,则A=Ω\A∈F ; (3) 若An∈F ,n=1,2,…,则 n 1 An∈F , 那么F 称为ς-代数(Borel域).(Ω,F )称为可测空间,F中 的元素称为事件. 由定义1.1且有: (4) υ∈F ; (5) 若A,B∈F ,则A\B∈F ; n n (6) 若Ai∈F ,i=1,2,…,则 i 1 Ai, i 1 Ai, i 1 Ai∈F . 定义1.2 设(Ω,F )是可测空间,P(· )是定义在F 上的实值 函数.若 (1) 任意A∈F ,0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1;
y1
yn
n维随机变量及其概率分布
率密度. 定义1.6 设{Xt,t∈T}是一族随机变量,若对任意的n≥2, t1,t2,…,tn∈T, x1,x2,…,xn∈R, 有 n P( X t≤x1, X t≤x2,…, X t≤xn)= i 1 P( X t xi ) 1 2 n 则称{Xt,t∈T}是独立的. • 若{Xt,t∈T}是一族独立的离散型随机变量, 则上式等 n 价于P( X t1 =x1, X t2 =x2,…, X t n=xn)= i 1 P( X t xi ) ; 若{Xt,t∈T}是一族独立的连续型随机变量, 则上式等 n 价于 f t1 ,t2 ,,tn(x1,x2,…,xn)= i 1 f t ( xi ), 其中 f t1 ,t2 ,,tn 1, (x x2,…,xn)是随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合概率密度且 f ti ( xi ) 是随机变量 X t 的概率密度,i=1,2,…,n. • 独立性是概率论中的重要概念,独立性的判断通常是根 据经验或具体情况来决定的.
n维随机变量及其概率分布
是右连续函数; (3)对于Rn中的任意区域(a1,b1;…;an,bn),其中ai≤bi, i=1,2,…,n, 成立 n F(b1,b2,…,bn)- i 1 F(b1,…,bi-1,ai,bi+1,…,bn)

随机过程讲义(第一章)


P (Ω ) = 1 ；
对任意两两不交的至多可数集 {An } ⊂ F ， P⎛ ⎜ U An ⎞ ⎟ = P ( An ) ⎝n ⎠ ∑ n
称 P(⋅) 为 F 上的概率测度， (Ω, F , P) 称为概率空间。
1
1.4 随机变量的概念 定义：设 (Ω, F , P ) 为一概率空间， X = X ( w) 为 Ω 上的一个实值函数，若对 任意实数 x ，X −1 ((−∞, x) ) ∈ F ， 则称 X 为 (Ω, F , P ) 上的一个 （实） 随机变量。 称 F ( x) = P( X < x ) = P( X ∈ (−∞, x)) = P X −1 ((−∞, x) ) 为随机变量 X 的 分布 函数。 随 机 变 量 实 质 上 是 (Ω, F ) 到 (R, B ( R ) ) 上 的 一 个 可 测 映 射 ( 函 数 ) 。 记
_______
2
α 1 , α 2 Lα m ， ∑∑ ϕ (t l − t k )α l α k ≥ 0 ；
l =1 k =1
m
m
5) ϕ ( w) 为 R n 上的连续函数。 6) 有限多个独立随机变量和的特征函数等于各自特征函数的乘积； 7) 设 X = (ξ1 , Lξ n ) 为 n 维 随 机 向 量 ， 特 征 函 数 为 ϕ ( w1 ,L wn ) , 则
n→∞
敛到随机变量 X ；
2)
若 E X n 存在， 且 lim E X n − X
n→∞
p
p
则称 X 1 , X 2 , L X n ,L p 阶收敛到 = 0，
随机变量 X ，特别当 p = 2 ，称为均方收敛。
3) 4)
若 P lim X n = X = 1 ，称 X 1 , X 2 , L X n ,L 几乎必然收敛到随机变量 X 。

第一讲随机过程的概念

第十章
随机过程的基本知识
引例：热噪声电压
一、随机过程的定义
定义1 设E是一随机实验,样本空间S={e}，T为参数集
若对每个eS ,X(e,t)都是实值函数, 则称{X(e,t),t T}
为随机过程，简记为X(t),t T 或X(t),也可记为X(t).
称族中每一个函数称为这个随机过程的样本函数。
样本函数： xi (t ) a cos( t i ) , i (0 , 2 )
状态空间:I=（-a，a）
例3: 掷骰子试验
伯努利过程 （伯努利随机序列）
以上都是随机过程，状态空间都是:I={1，2，3，4，5，6}
二、随机过程的分类
离散型随机过程
1. 依状态离散还是连续分为：
s, t 0, C X ( s, t ) DX [min{s, t }].
④ C X ( s, t ) Cov( X ( s), X (t ))
E[ X ( s) X ( s)][X (t ) X (t )]
为{X(t),tT}的协方差函数.
⑤ Rx(s,t)=E[X(s)X(t)]为{X(t),tT}的自相关函数, 简称相关函数
诸数字特征的关系：
X (t ) f ( x, t )
称 f ( x, t ) 为随机过程的一维密度函数 称{ f ( x, t ), t T } 为一维密度函数族.
X t 0 ，其中 X Y ( t ) te 例4 设随机过程
e( ) ，求
{Y (t ),t 0}的一维密度函数
y P( X ln ) , t 解： F ( y; t ) P[Y (t ) y ] P(te y ) 0 ,

随机过程的基本知识


• 解：X2 (t) =E(X(t)X(t))=E{AAcos(t)cos(t)}=cos^2(t)E(A^2) • =cos^2(t)(1x1+2x2+3x3)/3= 14 cos2 (t)
3
2 X
(t
)
E{[
X
(t
)
E(
X
(t))]2}
E{[
A
cos(t)
cos(t)E(
A)]2}
E{[ Acos(t) 2 cos(t)]2} E{cos2 (t)( A2 4A 4)}
• 特点2：随时间t的变化，X(t)在延续变化。
例3：股票的价格
• 记t时刻股票的价格为Y(t),则{Y(t),t>0}是一个随机 过程。
•图
• 特点1：给定时刻t，股票价格Y(t)不可预测，可以 认为是随机变量。
• 特点2：股票价格Y(t)随时间t的变化在不断变化。
例4 排队问题
• 记X(t)表示[0,t)小时内通过柜台的人数，则 {X(t),t>0}是一个随机过程。
所以
C 11tt11t22
1 t1t2
1
t
2 2
故( X (t1), X (t2 ))服从以(0,0) 为均值向量，C为协方差矩阵 的二维正态分布
例2：设随机过程X(t)=A cos(t), t实数，其中A是随
机变量，其分布律为：P{A=1}=P{A=2}=P{A=3}=1/3
求(1)X(t)的一维分布函数
是连续型，称该过程为连续型随机过程。 • 例：热噪声电压X(t)服从(a,b)上均匀分布 • 2、离散型 当X(t)是离散型，如排队问题
是离散型随机过程，t时刻通过的人数X(t)只 能取可数个值。据研究，X(t)服从泊松分布。
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
是（X，Y）取值 为 ( xi , y j ) 的概率，即
P( X xi ,Y y j ) pij (i 1,2, j 1,2, )
则称上式为二维离散型随机向量（X，Y）的联合分布律。
它满足
pij 0
pij 1
i1 j 1
首页
2．二维分布密度
连续型
如果存在一个非负的二元函数f（x，y）,使对 任意的实数x，y有
如果对于随机变量X的分布函数为F（x）， 存在非负的函数f（x）,使对任意的实数x 有
x
F (x) f (t)dt
则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密 度，且满足
f (x) 0
f (x)dx 1
首页
二、随机变量的联合分布
1．联合分布函数
设 X1，X 2， ，X n 是样本空间的n个随机
（4） D(X ) 0 的充要条件是 P[X E(X )] 1
3．性质
（5）（柯西—许瓦兹不等式）
| E(XY ) |2 E(X 2 ) E(Y 2 )
等式成立当且仅当 P(Y t0 X ) 1
（6）若X为非负整数值的随机变量，则
E(X ) P(X i) i 1
证
首页
E( X ) kP( X k) k 1
n
n
P( Ai ) 1 1 P( Ai )
i 1
i 1
首页
n
n
P( Ai ) 1 1 P( Ai )
i 1
i 1
证
n
n
P( Ai ) 1 P( Ai )
i 1
i 1
n
1 P( Ai )
i 1
n
1 P( Ai ) i 1
返回
n
1 (1 P( Ai )) i 1
首页
第二节 随机变量及其分布
分布函数F（x）具有下列性质：
1
0 F(x) 1 x
2
F(x) 是非降函数，即当 x1 x2 时，有
F (x1 ) F (x2 )
3
lim F(x) 0 lim F(x) 1
x
x
4
F（x）是右连续的，即 F(x 0) F(x)
首页
3．分布密度
最常见的随机变量是离散型和连续型两种。
返回
Cov( X ,Y ) 0
（3） | rXY | 1
（4） | rXY | 1 的充要条件是X与Y以概率1
线性相关，即
P(Y aX b) 1
首页
例1
设XN（0，1），求 E( X n )
解 E( X n ) 1
x2
x ne 2 dx
2
当n为奇数时， E( X n ) 0
当n为偶数时，由分部积分得
则称事件 A1，A2， ，An 相互独立。
首页
2．独立性的性质
定理4 若事件A，B相互独立，则 A与B ；A与B ；
A与B 分别也相互独立. 定理5 设事件A1，A2， ，An 相互独立，若其中
任意 m (1 m n)个事件相应地换成它们的
对立事件，则所得的n个事件仍然相互独立。
推论 若事件 A1，A2， ，An相互独立，则
P（lim n
En
)
证明 设 {En，n 1}是递增序列，并定义事件Fn ：
n1
F1 E1
Fn
En (
Ei )c
En
Ec n1
n 1
i1
即 Fn 由包含在 En 中但不在任何
前面的 Ei （i n ）中的点组成。 F3 F2 F1 E1
首页
容易验证 Fn（ n 1）是互不相交的事件， 且满足
F (x，y) x y f (u, v)dudv
则称（X，Y）为二维连续型随机变量，f（x，y）称为 （X，Y）的概率密度，满足：
f (x, y) 0
f (x, y)dxdy 1
首页
3．边缘分布及独立性
边缘分布
设（X，Y）的分布函数为 F (x，y)，则X，Y 的分布函数 FX (x)、FY ( y)，依次称为关于X和关于Y
n
n
Fi Ei
i1
i1
和 Fi Ei
i 1
i 1
于是
P（ Ei） P（ Fi）
i 1
i 1
P（Fi )
i 1
n
lim
n
i 1
P（Fi
)
n
n
lim
n
P(
i1
Fi
)
lim
n
P(
i 1
Ei
)
lim
n
P(En
)
首页
四、条件概率
1．定义 设E为随机试验，为其样本空间，A、B
为任意两个事件， 若 P（A） 0
若 En En1 n 1 则称事件序列 {En，n 1} 递减。
这样可定义一个新的事件，记为
lim
n
En
lim
n
En
Ei i 1
En En1 n 1
lim
n
En
Ei
i1
En En1 n 1
首页
2．连续性定理
定理 1 若{En，n 1} 是递增的或递减的事件序列，
则
lim
n
P（En）
计算方差时通常用下列关系式：
D(X ) E[X 2 ] [E(X )]2
首页
3．性质
（1） E(C) C D(C) 0
E(CX ) CE(X ) D(CX ) C 2 D(X )
n
n
（2） E( X i ) E( X i ) 返回
i 1
i 1
（3） 若X和Y相互独立，则
首页
E(XY) E(X )E(Y )
E( X n ) n 1
x2
x n2e 2 dx
2
(n 1)E( X n2 )
依次递推，注意到 E(x0 ) 1 ，故
首页
E(X
n)
(n
0 1)(n
3)
5 3 1
(n
n奇数 1)!! n
2偶数
例2（匹配问题）
P（An
| A1 A2
An
）
1
首页
定理3（全概率公式与贝叶斯公式）
n
设事件 B1，B2， ，Bn 两两互不相容， Bi i 1
P（Bi） 0 i 1，2， , n
则（1）对任意事件A，有
n
P( A) P（Bi）P（A | Bi ) i 1
（2）对任意事件A ，若P（A） 0 ，有
P(Bi | A)
P(X 1) P(X 2) P(X 2)
P(X 3) P(X 3) P(X 3)
P(X n) P(X n) P(X n)
最后对每一丛向列求和，即得。
（7）若X为非负值的随机变量，则
E(X ) （1 F(x)）dx 0
首页
二、协方差和相关系数
1．协方差
Cov(X ,Y) E[(X E(X ))(Y E(Y))]
则称
P（B
|
A）
P（AB） P（A）
为事件A出现的情况下，事件B的条件概率， 或简称事件B关于事件A的条件概率。
首页
2．基本公式
定理2（乘法公式）
假设 A1，A2， ，An为任意n个事件（ n 2），
若 P（A1 A2 An） 0
则
P（A1 A2 An） P( A1)P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )
计算协方差时通常用下列关系式：
Cov( X ,Y ) E(XY) E(X )E(Y)
2.相关系数
Cov(X ,Y ) rXY D(X )D(Y )
首页
3．性质
（1）
n
n
n
D( X i ) D(X i ) 2 Cov(X i , X j )
i1
i1
i, j1
i j
（2）若X和Y相互独立，则
分别称为（X，Y）关于X和Y边缘概率密度。
X和Y相互独立的充要条件是 f (x, y) f X (x) fY ( y)
首页
4．条件分布函数
离散型 若 P（Y y j ) 0 ，则称
P（X
xi
|Y
yj)
P（X xi ,Y P（Y y j )
yj)
pij p• j
为在条件 Y y j 下，随机变量X的条件分布律 。
变量，x1，x2， ，xn为任意实数，则称
F(x1，x2 , , xn ) P(X1 x1, X 2 x2 , , X n xn )
为随机变量的n维联合分布函数
特别地 F(x，y) P(X x,Y y)
即是X，Y的二维联合分布函数
首页
2．二维分布密度
离散型
设（X，Y）所有可能的取值为 ( xi , y j )，而 pij
的边缘分布函数，且有
FX (x) F(x,) FY ( y) F(, y)
独立性
F(x，y) FX (x) FY ( y)
则称随机变量X和Y是相互独立的。
首页
离散型 若随机变量（X，Y）的联合分布律
P( X xi ,Y y j ) pij
则 pi• P(X xi ) pij (i 1,2,
3 P(E c ) 1 P(E)
4
设
E1，E2， ，En n
两两互不相容 ，则
n
P（ Ei） P（Ei )
5
i 1
i 1
设两两互不相容的事件
E1，E2， ， Ei
则对于任意事件A，有
i1
P（A） P（A Ei ) 首页
i 1