2016年高考真题------理科数学(浙江卷) Word版含解析

专题07 平面向量【2020年】1.（2020·新课标Ⅲ）已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b （ ） A. 3135-B. 1935-C.1735D.1935【答案】D 【解析】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()22222526367a b a ba ab b +=+=+⋅+=-⨯+=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 2.（2020·山东卷）已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-，3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 (1).5 (2). 1-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22215PD =-+=，()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.4.（2020·天津卷）如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ︒∠==，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．【答案】 (1). 16 (2). 132【解析】AD BC λ=，//AD BC ∴，180120BAD B ∴∠=-∠=，cos120AB AD BC AB BC AB λλ⋅=⋅=⋅1363922λλ⎛⎫=⨯⨯⨯-=-=- ⎪⎝⎭，解得16λ=， 以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，()66,0BC C =∴，,∵3,60AB ABC =∠=︒，∴A 的坐标为3332A ⎛ ⎝⎭,∵又∵16AD BC =,则533,22D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设(),0M x ，则()1,0N x +（其中05x ≤≤）， 533,2DM x ⎛=- ⎝⎭，333,2DN x ⎛=- ⎝⎭，()222533321134222222DM DN x x x x x ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-+=-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，当2x =时，DM DN ⋅取得最小值132. 5.（2020·浙江卷）设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______． 【答案】2829【解析】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 6.（2020·江苏卷）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．【答案】185【解析】∵,,A D P 三点共线， ∴可设()0PA PD λλ=>， ∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+， 若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线， ∴321m m λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=，即32λ=， ∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒， ∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时， 32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0， 当32m =时，32PA PB =，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.7.（2020·新课标Ⅱ）已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】2【解析】由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.8.（2020·新课标Ⅰ）设,a b 为单位向量，且||1+=a b ，则||a b -=______________.【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a b a a b b -=-=-⋅+=【2019年】1．【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ．2．【2019年高考全国II 卷理数】已知AB →=(2,3)，AC →=(3，t )，BC →=1，则AB →·BC →= A ．−3 B ．−2 C ．2D ．3【答案】C【解析】由BC →=AC →—AB →=（1，t-3），211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．3．【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】AB 与AC 的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅，即22||||AB AC AC AB +>-，因为AC AB BC -=，所以|AB +AC |>|BC |；当|AB +AC |>|BC |成立时，|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇒•AC >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB 与AC 的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C ．4．【2019年高考全国III 卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________. 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c 22133⋅==⨯⋅a c a c ．5．【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_____________．【答案】1-【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535(,)22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒， 因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒， 所以直线BE 的斜率为33，其方程为3(23)3y x =-， 直线AE 的斜率为33-，其方程为33y x =-. 由3(23),333y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x =，1y =-， 所以(3,1)E -.所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-.6．【2019年高考江苏卷】如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.【答案】3.【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 的中点，知BF =FE =EA ,AO =OD ．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭， 得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3ABAC=【2018年】1．【2018·全国I 卷 】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC -B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+，所以3144EB AB AC =-. 故选A.2．【2018·全国II 卷 】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【答案】B【解析】因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.3．（2018·浙江卷）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A ．3−1 B ．3+1 C ．2 D ．2−3【答案】A【解析】设，则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离23=32减去半径1，为选A.4．【2018·天津卷 】如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,AB BC AD CD BAD ⊥⊥∠=1,AB AD ==若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为A ．2116 B ．32C ．2516D ．3【答案】A【解析】连接AD ,取AD 中点为O ,可知ABD △为等腰三角形，而,AB BC AD CD ⊥⊥，所以BCD △为等边三角形，3BD =. 设()01DE tDC t =≤≤AE BE ⋅ ()()()2232AD DE BD DE AD BD DE AD BD DE BD DE DE =+⋅+=⋅+⋅++=+⋅+ =233322t t -+ ()01t ≤≤ 所以当14t =时，上式取最大值2116，故选A.5．【2018·北京卷 】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C.6．【2018·全国III 卷 】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________． 【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为12.7．【2018·上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =，则AE BF ⋅的最小值为___________． 【答案】-3【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a =b +2，或b =a +2； 且()()1,2,AE a BF b ==-，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．8．【2018·江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为___________． 【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =【2017年】1．【2017·全国III 卷 】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ， 易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤21514z -≤+，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．2．【2017·全国II 卷 】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是 A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则3)A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以(3)PA x y =-，(1,)PB x y =---，(1,)PC x y =--，所以(2,2)PB PC x y +=--，22()22(3)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-2333)22-≥-，当3P 时，所求的最小值为32-，故选B ．3．【2017·北京卷 】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若0λ∃<，使λ=m n ，则两向量,m n 反向，夹角是180︒，那么cos180⋅=︒=m n m n0-<m n ；若0⋅<m n ，那么两向量的夹角为(]90,180︒︒，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得λ=m n ，所以是充分而不必要条件，故选A.4．【2017·全国I 卷 】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】23【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b 方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为235．【2017·江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=2cos α= 易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222720210n m ⎧=⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=．6．【2017·天津卷】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =，AE AC λ=-()AB λ∈R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________．【答案】311【解析】由题可得1232cos 603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯︒==+， 则12()33AD AE AB AC ⋅=+2123()34934333311AC AB λλλλ-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． 7．【2017·山东卷 】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122)()λλλλ-⋅+=⋅-⋅-e e e e e e e ，12|2-==e ，12||λ+===e e ，cos60λ=︒=λ=． 8．【2017·浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【答案】4，【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b则++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是 【2016年】1.【2016高考山东理数】已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ），则实数t 的值为（ ） （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–94【答案】B【解析】由43=m n ，可设3,4(0)k k k ==>m n ，又()t ⊥+n m n ， 所以22221()cos ,34(4)41603t t n n t t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯⨯+=+=n m n n m m n m n n , 所以4t =-，故选B.2.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.3.【2016高考新课标3理数】已知向量1(2BA = ，31()2BC = ，则ABC ∠=（ ） (A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⋅∠===⨯，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 4.【2016年高考北京理数】设a ，b 是向量，则“||||a b =”是“||||a b a b +=-”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D【解析】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥，故是既不充分也不必要条件，故选D.5.【2016高考天津理数】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） （A ）85-（B ）81 （C ）41 （D ）811【答案】B【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选 B.6.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA=DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( ) （A ）434 （B ）494 （C ）37634+ （D ）372334+ 【答案】B【解析】甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则()()()2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛⎫-+++=∴∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222+1334x y BM ++∴=，它表示圆()2221x y -+=上的点()x y ，与点()1,33--的距离的平方的14，()()2222max149333144BM⎛⎫∴=++= ⎪⎝⎭，故选B.7.【2016高考新课标1卷】设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m = . 【答案】－2【解析】由222||||||+=+a b a b ,得⊥a b ,所以1120m ⨯+⨯=,解得2m =-.8.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 9.【2016高考浙江理数】已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A Z 中元素的个数是（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（A ）9（B ）18（C ）20（D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33（B ）23（C ）22（D ）19.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1)（B ）(0,2)（C ）(0,+∞)（D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA=-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434（B ）494（C ）37634+（D ）372334+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科数学本试卷共20题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪(C R Q)=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(−∞,−2]∪[1,+∞)2.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m,n满足m∥α，n⊥β，则A. m∥lB. m∥nC. n⊥lD. m⊥n3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域{x−2≤0 x+y≥0x−3y+4≥0中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A.2√2B.4C. 3√2D.64.命题“∀x∈R，∃n∈N∗，使得n≥x2”的否定形式是A. ∀x∈R，∃n∈N∗，使得n<x2B. ∀x∈R，∀n∈N∗，使得n<x2C. ∃x∈R，∃n∈N∗，使得n<x2D. ∃x∈R，∀n∈N∗，使得n<x25.设函数f(x)=sin2x+bsinx+c，则f(x)的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列{An}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N∗，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N∗.（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为∆A n B n B n+1的面积，则A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列7.已知椭圆C1：x2m2+y2=1(m>1)与双曲线C2：x2n2−y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则A.m>n且e1e2>1B.m>n且e1e2<1C.m<n且e1e2>1D.m<n且e1e2<18.已知实数a，b，c.A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a+b2−c|≤1，则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b−c2|≤1，则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2−c|≤1，则a2+b2+c2<100二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2016年普通高等学校招生全国统一考试〔##卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 〔1〕[2016年##,理1,5分]若复数z 满足232i z z +=-,其中i 为虚数为单位,则z =〔〕〔A 〕12i +〔B 〕12i -〔C 〕12i -+〔D 〕12i -- [答案]B[解析]设(),,z a bi a b R =+∈,则2()i 23i 32i z z z z z a b a a b +=++=++=+=-,所以1,2a b ==-,故选B ． [点评]本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力．〔2〕[2016年##,理2,5分]已知集合{}{}22,,10x A y y x R B x x ==∈=-<,则AB =〔〕〔A 〕()1,1-〔B 〕()0,1〔C 〕()1,-+∞〔D 〕()0,+∞ [答案]C[解析]由题意()0,A =+∞,()1,1B =-,所以()1,AB =-+∞,故选C ．[点评]本题考查并集与其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题． 〔3〕[2016年##,理3,5分]某高校调查了200名学生每周的自习时间〔单位：小时〕,制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的X 围是[]17.5,30,样本数据分组为[)17.5,20,[)20,22.5,[)22.5,25,[)25,27.5,[]27.5,30．根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是〔〕 〔A 〕56〔B 〕60〔C 〕120〔D 〕140 [答案]D[解析]由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=, 所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是()20010.30140⨯-=人,故选D ． [点评]本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目．〔4〕[2016年##,理4,5分]若变量x ,y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则22x y +的最大值是〔〕〔A 〕4〔B 〕9〔C 〕10〔D 〕12 [答案]C[解析]由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--,所以()3,1-是最优解,22x y +的最大值是10,故选C ．[点评]本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题． 〔5〕[2016年##,理5,5分]有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该几何体的体积为〔〕〔A 〕1233+π〔B 〕1233+π〔C 〕1236+π〔D 〕216+π[答案]C[解析]由三视图可知,半球的体积为26π,四棱锥的体积为13,所以该几何体的体积为1236+π,故选C ．[点评]本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状是解答的关键．〔6〕[2016年##,理6,5分]已知直线,a b 分别在两个不同的平面α,β内,则"直线a 和直线b 相交〞是"平面α和平面β相交〞的〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 [答案]A[解析]由直线a 和直线b 相交,可知平面αβ、有公共点,所以平面α和平面β相交．又如果平面α和平面β相交,直线a 和直线b 不一定相交,故选A ．[点评]本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题． 〔7〕[2016年##,理7,5分]函数()()()3sin cos 3cos sin f x x xx x =+-的最小正周期是〔〕〔A 〕2π〔B 〕π〔C 〕32π〔D 〕2π[答案]B[解析]由()2sin cos 3cos 22sin 23f x x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,所以,最小正周期是π,故选B ．[点评]本题考查的知识点是和差角与二倍角公式,三角函数的周期,难度中档．〔8〕[2016年##,理8,5分]已知非零向量,m n 满足143,cos ,3m n m n =<>=,若()n tm n ⊥+则实数t 的值为〔〕〔A 〕4〔B 〕4-〔C 〕94〔D 〕94-[答案]B[解析]因为21cos ,4nm m n m n n =⋅<>=,由()n tm n ⊥+,有()20n tm n tmn n +=+=,即2104t n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4t =-,故选B ．[点评]本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题．〔9〕[2016年##,理9,5分]已知函数()f x 的定义域为R ,当0x <时,3()1f x x =-；当11x -≤≤时,()()f x f x -=-；当12x >时,1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()6f =〔〕〔A 〕2-〔B 〕1-〔C 〕0〔D 〕2 [答案]D[解析]由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,知当12x >时,()f x 的周期为1,所以()()61f f =．又当11x -≤≤时,()()f x f x -=-,所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦,故选D ．[点评]本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题． 〔10〕[2016年##,理10,5分]若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是〔〕〔A 〕sin y x =〔B 〕ln y x =〔C 〕x y e =〔D 〕3y x = [答案]A[解析]因为函数ln y x =,x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质,故选A ．[点评]本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题,每小题5分〔11〕[2016年##,理11,5分]执行右边的程序框图,若输入的的值分别为0和9,则输出i 的值为． [答案]3[解析]i 1=时,执行循环体后1,8a b ==,a b >不成立；i 2=时,执行循环体后3,6a b ==,a b >不成立；i 3=时,执行循环体后6,3a b ==,a b >成立；所以i 3=,故填 3.[点评]本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进行解答． 〔12〕[2016年##,理12,5分]若521ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是80-,则实数a =．[答案]2-[解析]由()23222355551C C 80ax a x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,得2a =-,所以应填2-．[点评]考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数,属常规题型．〔13〕[2016年##,理13,5分]已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>,若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,,AB CD 的中点为E 的两个焦点,且23AB BC =,则E 的离心率为．[答案]2[解析]由题意BC 2c =,所以2AB 3BC =,于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上,代入方程,得2222914c c a b -=,在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．[点评]本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出A B C D ，，，的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题．〔14〕[2016年##,理14,5分]在[]1,1-上随机的取一个数k ,则事件"直线y kx =与圆()2259x y -+=相交〞发生的概率为． [答案]34[解析]首先k 的取值空间的长度为2,由直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交,得事件发生时k 的取值空间为33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,其长度为32,所以所求概率为33224=． [点评]本题主要考查了几何概型的概率,以与直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题．〔15〕[2016年##,理15,5分]在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩,其中0m >,若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值X 围是．[答案]()3,+∞[解析]因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =,所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增,只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时,关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤,0m >时,存在实数b ,使方程()f x b =在x m ≤时有两个根,只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可,解之,注意0m >,得3m >,故填()3+∞，． [点评]本题考查根的存在性与根的个数判断,数形结合思想的运用是关键,分析得到24m m m -<是难点,属于中档题．三、解答题：本大题共6题,共75分．〔16〕[2016年##,理16,12分]在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为a,b,c ,已知()tan tan 2tan tan cos cos A BA B B A+=+． 〔1〕证明：2a b c +=； 〔2〕求cos C 的最小值．解：〔1〕由()tan tan 2tan tan cos cos A B A B B A +=+得sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos C A BA B A B A B⨯=+,2sin sin sin C B C =+, 由正弦定理,得2a b c +=．〔2〕由()222222cos 22a b ab ca b c C ab ab +--+-==222333111122222c c ab a b =-≥-=-=+⎛⎫⎪⎝⎭．所以cos C 的最小值为12． [点评]考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为π,以与三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式222a b ab +≥的应用,不等式的性质．〔17〕[2016年##,理17,12分]在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O '的直径,FB 是圆台的一条母线．〔1〕已知,G H 分别为,EC FB 的中点,求证：//GH 平面ABC ；〔2〕已知123,2EF FB AC AB BC ====,求二面角F BC A --的余弦值．解：〔1〕连结FC ,取FC 的中点M ,连结,GM HM ,因为//GM EF ,EF 在上底面内,GM 不在上底面内,所以//GM 上底面,所以//GM 平面ABC ；又因为//MH BC ,BC ⊂平 面ABC ,MH ⊄平面ABC ,所以//MH 平面ABC ；所以平面//GHM 平面ABC ,由GH ⊂平面GHM ,所以//GH 平面ABC ．〔2〕连结OB ,AB BC =OA OB ∴⊥,以为O 原点,分别以,,OA OB OO '为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系．123,2EF FB AC AB BC ====,22()3OO BF BO FO '=--=,于是有()23,0,0A ,()23,0,0C -,()0,23,0B ,()0,3,3F ,可得平面FBC 中的向量()0,3,3BF =-, ()23,23,0CB =,于是得平面FBC 的一个法向量为()13,3,1n =-,又平面ABC 的一个法向量为()20,0,1n =,设二面角F BC A --为θ, 则121217cos 77n n n n θ⋅===⋅．二面角F BC A --的余弦值为77． [点评]本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用．〔18〕[2016年##,理18,12分]已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,{}n b 是等差数列,且1n n n a b b +=+．〔1〕求数列{}n b 的通项公式；〔2〕令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：〔1〕因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+,所以111a =,当2n ≥时,221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+,又65n a n =+对1n =也成立,所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列,设公差为d ,则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时,1211b d =-；当2n =时,2217b d =-,解得3d =,所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． 〔2〕由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++,于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅,两边同乘以２,得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅,两式相减,得2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．[点评]本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用,考查分析与运算能力,属于中档题．〔19〕[2016年##,理19,12分]甲、乙两人组成"星队〞参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则"星队〞得3分；如果只有一人猜对,则"星队〞得1分；如果两人都没猜对,则"星队〞得0分．已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响．假设"星队〞参加两轮活动,求： 〔1〕"星队〞至少猜对3个成语的概率；〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ． 解：〔1〕"至少猜对3个成语〞包括"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞．设"至少猜对3个成语〞为事件A ；"恰好猜对3个成语〞和"猜对4个成语〞分别为事件C B ,,则1122332131225()4433443312P B C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=；33221()44334P C =⋅⋅⋅=．所以512()()()1243P A P B P C =+=+=．〔2〕"星队〞两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,于是11111(0)4343144P X ==⋅⋅⋅=；112212*********(1)4343434314472P X C C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==；1211223311132125(2)443344334433144P X C ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；123211121(3)434314412P X C ==⋅⋅⋅==； 12321231605(4)()43434314412P X C ==⋅⋅⋅+⋅==；3232361(6)43431444P X ==⋅⋅⋅==； XX 的数学期望01234614472144121241446EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． [点评]本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题．〔20〕[2016年##,理20,13分]已知221()(ln ),x f x a x x a R x-=-+∈．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕当1a =时,证明3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立．解：〔1〕求导数3122()(1)x f x a x x'=－－－23(1)(2x ax x =－－),当0a ≤时,x ∈(0,1),()0f x '>,()f x 单调递增,x +∞∈(1,),()0f x '<,()f x 单调递减当0a >时,()()()233112()a x x x x ax f x x x⎛--+ --⎝⎭⎝⎭'== ①当02a<<时,1,x ∈(0,1)或x ⎫+∞⎪⎪⎭∈,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎛ ⎝∈,()0f x '<,、()f x 单调递减；②当a =２时1,x ∈+∞(0,),()0f x '≥,()f x 单调递增, ③当a >２时,01<,x ⎛∈ ⎝或()x ∈+∞1,,()0f x '>,()f x 单调递增,x ⎫∈⎪⎪⎭1,()0f x '<, ()f x 单调递减．〔2〕当1a =时,221()ln x f x x x x=+－－,2323(1)(212()1x x f x x x x x '==+－－)2－－, 于是2232112()()ln 1)x f x f x x x x x x x '=++－2－－－(－－23312ln 1x x x x x =--++-,[1,2]x ∈令()g ln x x x =-,2332h()x x x x=-++-11,[1,2]x ∈,于是()()g(()f x f x x h x '-=+）, 1g ()10x x x x-'=-=≥1,()g x 的最小值为()11g =；又22344326326()x x h x x x x x --+'=--+=, 设()2326x x x θ=--+,[1,2]x ∈,因为()11θ=,()210θ=-,所以必有0[1,2]x ∈,使得()00x θ=,且01x x <<时,()0x θ>,()h x 单调递增；02x x <<时,()0x θ<,()h x 单调递减；又()11h =,()122h =, 所以()h x 的最小值为()122h =．所以13()()g(()g(1(2)122f x f x x h x h '=+>+=+=））－． 即3()()2f x f x '>+对于任意的[1,2]x ∈成立． [点评]本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题．〔21〕[2016年##,理21,14分]平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率是,抛物线2:2E x y =的焦点F 是C 的一个顶点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设P 是E 上的动点,且位于第一象限,E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点,A B ,线段AB 的中点为D ,直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． 〔i 〕求证：点M 在定直线上；〔ii 〕直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ∆的面积为1S ,PDM ∆的面积为2S ,求12SS 的最大值与取得最大值时点P 的坐标．解：〔1,有224a b =,又抛物线22x y =的焦点坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭,所以12b =,于是1a =,所以椭圆C 的方程为2241x y +=．〔2〕〔i 〕设P 点坐标为()2,02m P m m ⎛⎫> ⎪⎝⎭,由22x y =得y x '=,所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ,因此切线l 的方程为22m y mx =-,设()()1122,,,A x y B x y ,()00,D x y ,将22m y mx =-代入2241x y +=,得()223214410m x m x m +-+-=．于是3122414m x x m +=+,312022214x x m x m +==+, 又()220022214m m y mx m -=-=+,于是直线OD 的方程为14y x m =-． 联立方程14y x m =-与x m =,得M 的坐标为1,4M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以点M 在定直线14y =-上．〔ii 〕在切线l 的方程为22m y mx =-中,令0x =,得22m y =-,即点G 的坐标为20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又2,2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以211(1)24m m S m GF +=⨯=；再由()32222,41241m m D m m ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭,得 ()()22232222112122441841m m m m m S m m +++=⨯⨯=++于是有()()()221222241121m m S S m ++=+．令221t m =+, 得()12221211122t t S S t t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭==+-,当112t =时,即2t =时,12S S 取得最大值94．此时212m =,m =所以P点的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭．所以12S S 的最大值为94,取得最大值时点P的坐标为14P ⎫⎪⎪⎝⎭． [点评]本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标,考查直线和抛物线斜的条件,以与直线方程的运用,考查三角形的面积的计算,以与化简整理的运算能力,属于难题．。

2016年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题1．(2016·浙江，1)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．(2016·浙江，2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥lD ．m ⊥n3．(2016·浙江，3)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0 中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．64．(2016·浙江，4)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 25．(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关6．(2016·浙江，6)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列7．(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜18．(2016·浙江，8)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100第Ⅱ卷二、填空题9．(2016·浙江，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 10．(2016·浙江，10)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.11．(2016·浙江，11)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm 2，体积是________cm 3.12．(2016·浙江，12)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.13．(2016·浙江，13)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝______，S 5＝______.14．(2016·浙江，14)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．15．(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________． 三、解答题16．(2016·浙江，16)(本题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．17．(2016·浙江，17)(本题满分15分)如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值．18．(2016·浙江，18)(本题满分15分)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )．19．(2016·浙江，19)(本题满分15分)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 20．(2016·浙江，20)(本题满分15分)设数列{a n }满足|a n －a n ＋12|≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝⎛⎭⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n|≤2，n ∈N *.答案解析1.解析 由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}．∴∁R Q ＝(－2,2)．又P ＝[1,3]，∴P ∪∁R Q ＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 答案 B2.解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确．故选C. 答案 C3.解析 已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为l 与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0 解得Q (2，－2)．所以|AB |＝|PQ |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2. 答案 C4.解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合． 答案 D5.解析 因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B. 答案 B6.解析 作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ，则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|. 设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ，则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)，∴S n ＝12c [(n －1)b －(n －2)a ]＝12c [(b －a )n ＋(2a －b )]，∴S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝12c (b －a )，∴数列{S n }是等差数列． 答案 A7.解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 答案 A8.解析 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项． 对选项A ，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，可排除此选项； 对选项B ，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，可排除此选项； 对选项C ，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，可排除此选项． 故选D. 答案 D9.解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9. 答案 910.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案2 111.解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ，其直观图如下：其体积V ＝2×2×2×4＝32(cm 3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S ＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm 2)． 答案 72 3212.解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，①因此a b ＝b a ⇒b 2b＝2b b ，②解得b ＝2，a ＝4. 答案 4 213.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得： a n ＋1＝2S n ＋1，① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列． ∴S 5＝1－1×351－3＝121.答案 1 12114.解析 设PD ＝DA ＝x ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，∴CD ＝23－x ，且∠ACB ＝12(180°－120°)＝30°，∴S △BCD ＝12BC ·DC ×sin ∠ACB ＝12×2×(23－x )×12＝12(23－x )．要使四面体体积最大，当且仅当点P 到平面BCD 的距离最大，而P 到平面BCD 的最大距离为x .则V 四面体PBCD ＝13×12(23－x )x ＝16[－(x －3)2＋3]，由于0＜x ＜23，故当x ＝3时，V 四面体PBCD 的最大值为16×3＝12.答案 1215.解析 由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立． ∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.答案 1216.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.17.(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以，AC ⊥平面BCFE ，因此BF ⊥AC . 又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ， 且CK ∩AC ＝C ， 所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 方法一 过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ . 因为BF ⊥平面ACFD ，所以BF ⊥AK ， 则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK . 所以∠BQF 是二面角B-AD-F 的平面角． 在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得FQ ＝31313.在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34. 所以，二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为34. 方法二 如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，连接KO ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC . 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz .由题意得B (1,0,0)，C (－1,0,0)，K (0,0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝⎛⎫12，0，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32.因此，AC →＝(0,3,0)，AK →＝(1,3，3)，AB →＝(2,3,0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)．于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34.所以，二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为34. 18.解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2,2a ]．(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min {}f (1)，g (a )，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max {}f (0)，f (2)＝2＝F (2)． 当2<x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max {}g (2)，g (6) ＝max {}2，34－8a ＝max {}F (2)，F (6). 当a ≥4时，34－8a ≤2； 当3≤a <4时，34－8a >2，所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.19.解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值范围是(0，22)． 20.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝⎛⎭⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝⎛⎭⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n －1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1＜1， 因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m ＞n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1＜12n －1， 故|a n |＜⎝⎛⎭⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎡⎦⎤12n －1＋12m ·⎝⎛⎭⎫32m ·2n ＝2＋⎝⎛⎭⎫34m ·2n .从而对于任意m ＞n ，均有|a n |＜2＋⎝⎛⎭⎫34m ·2n . 由m 的任意性得|a n |≤2.① 否则，存在n 0∈N *，有|0n a |＞2，取正整数m 0＞0034||2log 2n n a -且m 0＞n 0，则02n ·⎝⎛⎭⎫340m ＜02n ·034||2log 23()4n a -＝|0n a |－2，与①式矛盾．综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅲ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年全国Ⅲ，理1，5分】设集合()(){}{}|230,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T = （ ）（A ）[]2,3 （B ）(][),23,-∞+∞ （C ）[)3,+∞ （D ）(][)0,23,+∞ 【答案】D【解析】由()()230x x --≥解得3x ≥或2x ≤，{}23S x x ∴=≤≥或，所以{}023S T x x x =<≤≥ 或，故选D ． 【点评】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．（2）【2016年全国Ⅲ，理2，5分】若i 12z =+，则4i1zz =-（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）i （D ）i - 【答案】C【解析】4i 4ii (12i)(12i)11zz ==+---，故选C ． 【点评】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成1-．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．（3）【2016年全国Ⅲ，理3，5分】已知向量1(2BA =uu v，1)2BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）（A ）30︒ （B ）45︒ （C ）60︒ （D ）120︒ 【答案】A【解析】由题意，得112222cos 11BA BC ABC BA BC+⋅∠===⨯ ，所以30ABC ∠=︒，故选A ． 【点评】（1）平面向量a 与b 的数量积为·cos a b a b θ＝，其中θ是a 与b 的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：0180θ︒≤≤︒；（2）由向量的数量积的性质有|a ·cos a ba b θ=，·0a b a b ⇔⊥ ＝，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．（4）【2016年全国Ⅲ，理4，5分】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15C ︒，B 点表示四月的平均最低气温约为5C ︒．下面叙述不正确的是（ ）（A ）各月的平均最低气温都在0C ︒以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D ）平均气温高于20C ︒的月份有5个 【答案】D【解析】由图可知0C ︒均在虚线框内，所以各月的平均最低气温都在0C ︒以上，A 正确；由图可在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在5C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20C ︒的月份有3个或2个，所以不正确，故选D ．【点评】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．（5）【2016年全国Ⅲ，理5，5分】若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） （A ）6425（B ）4825（C ）1 （D ）1625【答案】A 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【点评】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． （6）【2016年全国Ⅲ，理6，5分】已知432a =，254b =，1325c =，则（ ）（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A【解析】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．【点评】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函数的单调性来判断，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不同，底数相同，则考虑指数函数的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．（7）【2016年全国Ⅲ，理7，5分】执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一循环，得2,4,6,6,1a b a s n =====；第二循环，得2,6,4,10,2a b a s n =-====；第三循环，得2,4,6,16,3a b a s n =====；第四循环，得2,6,4,2016,4a b a s n =-===>=； 退出循环，输出4n =，故选B ．【点评】解决此类型时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构．根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．（8）【2016年全国Ⅲ，理8，5分】在ABC D 中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )（A （B （C ）- （D ）-【答案】C【解析】设BC 边上的高线为AD ，则3B C A D =，所以AC ，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅C ．【点评】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．（9）【2016年全国Ⅲ，理9，5分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该集合体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+B ．【点评】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立 未知量与已知量间的关系，进行求解．（10）【2016年全国Ⅲ，理10，5分】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．【点评】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．（11）【2016年全国Ⅲ，理11，5分】已知O 为坐标原点，F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF x ⊥轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点()FM k a c =-，OE ka =，由~OB E ∆ CBM ∆，得12OE OB FM BC=，即()2ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆离心率为1e 3=，故选A ． 【点评】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e 的值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得ba或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．（12）【2016年全国Ⅲ，理12，5分】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数．若4m =，则不同的“规范01数列”共有（ ） （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个【答案】C【解析】由题意，得必有0a =，1a =，则具体的排法列表如下：，故选C ．往往利用表格法、树枝法将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学使用地区:广西、云南、贵州注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共6页.2. 答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.3. 答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效.4. 答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.答在本试卷上无效.5. 第22、23、24小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答.要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{|(2)(3)0}S x x x =--≥，{}0Tx x =>，则S T = （ ）A. []2,3B. (,2][3,)-∞+∞C. [3,)+∞D. (0,2][3,)+∞2．若12i z =+，则4i1zz =- （ ）A. 1B. 1-C. iD. i -3．已知向量1331()()2222BA BC ==，，，，则ABC ∠=（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是( )----平均最低气温——平均最高气温A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个5. 若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=( )A. 6425B.4825 C. 1D. 16256. 已知432a =，254b =，1325c =，则( )A. b a c <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<7. 执行如图的程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 68. 在ABC △中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则cos A = ( )A. 10310B.1010C. 1010-D. 31010-9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A. 18365+B. 54185+C. 90D. 8110. 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球.若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是( )A. 4πB.92π C. 6πD. 323π11. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A. 13 B.12 C. 23D. 3412. 定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，123,,......k a a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有( )A. 18个B. 16个--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无----------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________C. 14个D. 12个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题:本题共4小题，每小题5分.13. 若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则z x y =+的最大值为______.14. 函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移______个单位长度得到.15. 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1，3)-处的切线方程式是______. 16. 已知直线30l mx y m ++=：与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l的垂线与x 轴交于,C D两点，若||AB =，则||CD =______. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠. （Ⅰ）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （Ⅱ）若53132S =，求λ.18.（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图.注:年份代码1～7分别对应年份2008—2014.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化 处理量.附注:参考数据:719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.552.646≈.参考公式:相关系数1()()nii i tt y y r =--=∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b =121()()()nii i nii tt y y tt ==---∑∑，a y bt =-．19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点． （Ⅰ）证明：MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知抛物线C :22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ ∥； （Ⅱ）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.21.（本小题满分12分）设函数()cos2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A . （Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ； （Ⅲ）证明：()2f x A '≤.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 中AB 的中点为P ，弦PC PD ，分别交AB 于E F ，两点． （Ⅰ）若2PFB PCD ∠=∠，求PCD ∠的大小;（Ⅱ）若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明：OG CD ⊥.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,sin ,x y αα⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+= （Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+. （Ⅰ）当2a=时，求不等式()6f x ≤的解集;（Ⅱ）设函数()|21|g x x =-.当x ∈R 时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）理科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】易得(][),23,S =-∞+∞，(][)0,23,S T ∴=+∞．【考点】解一元二次不等式，交集 2.【答案】C【解析】易知12i z =-，故14zz -=，4ii 1zz ∴=-． 【考点】共轭复数，复数运算 3.【答案】A【解析一】32cos 11BA BC ABC BA BC ∠===⨯，30ABC ∴∠=．【解析二】可以B 点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知60ABx ∠=，30CBx ∠=，30ABC ∴∠=．【考点】向量夹角的坐标运算4.【答案】D【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C 的月份有七月、八月，六月为20C 左右，故最多3个． 【考点】统计图的识别 5.【答案】A【解析】22222cos 4sin cos 14tan 64cos 2sin 2cos sin 1tan 25ααααααααα+++===++． 【考点】二倍角公式，弦切互化，同角三角函数公式6.【答案】A【解析】423324a ==，233b =，1233255c ==，故c a b >>． 【考点】指数运算，幂函数性质 7.【答案】B【考点】程序框图 8.【答案】C【解析】如图所示，可设1BD AD ==，则AB =2DC =，AC ∴=知，cos A =．【考点】解三角形9.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为2332362354⨯⨯+⨯⨯+⨯+． 【考点】三视图，多面体的表面积 10.【答案】B【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，又1322AA =<⨯，所以内接球的半径为32，即V 的最大值为349ππ32R =． 【考点】内接球半径的求法11.【答案】A【解析】易得ON OB aMF BF a c==+，2MF MF AF a c OE ON AO a -===，12a a c a c a c a a c --∴==++，13c e a ∴==．【考点】椭圆的性质，相似12.【答案】C【解析】011110111010111101001110011110110011101010111001111011001110101⎧⎧→⎧⎪⎪⎪→⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪→⎪⎪⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪→⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪→⎨⎩⎪⎩⎪⎨⎪→⎪⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩⎩⎪⎪⎧→⎧⎪⎪⎪→⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎪→→⎨⎩⎩⎪⎪⎪→⎧⎪⎪→⎨⎪→⎪⎩⎩⎩【考点】数列，树状图第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】32【解析】三条直线的交点分别为(2,1)--，11,2⎛⎫⎪⎝⎭，(0,1)，代入目标函数可得3-，32，1，故最大值为32． 【考点】线性规划14.【答案】2π3【解析】sin 2sin 3y x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故可前者的图像可由后者向右平移2π3个单位长度得到．【考点】三角恒等变换，图像平移15.【答案】210x y ++=【解析一】11()33f x x x-'=+=+-，(1)2f '∴-=，(1)2f '∴=-，故切线方程为210x y ++=．【解析二】当0x >时，()()ln 3f x f x x x =-=-，1()3f x x'∴=-，(1)2f '∴=-，故切线方程为210x y ++=．【考点】奇偶性，导数，切线方程 16.【答案】3【解析】如图所示，作AE BD ⊥于E ，作OF AB ⊥于F，AB =OA =，3OF ∴=，即3=，m ∴=，∴直线l 的倾斜角为30，3CD AE ∴===．【考点】直线和圆，弦长公式 三、解答题17.【答案】（Ⅰ）1n n S a λ=+，0λ≠，0n a ∴≠，当2n ≥时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-，即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠，10λ∴-≠，即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n ≥，{}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=，即111a λ=-，1111n n a λλλ-⎛⎫∴= ⎪--⎝⎭；（Ⅱ）若53132S =，则555111131113211S λλλλλλλ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-= ⎪-⎝⎭--，1λ∴=-． 【考点】等比数列的证明，由n S 求通项，等比数列的性质18.【答案】（Ⅰ）由题意得123456747t ++++++==，71 1.3317i i y y ==≈∑，7()()0.99nii i itt y y t ynt yr ---===≈∑∑，因为y与t 的相关系数近似为0．99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合y 与t 的关系； （Ⅱ）121()()2.890.10328()nii i ni i tt y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.330.10340.92a y bt =-=-⨯≈，所以y 关于t 的线性回归方程为0.920.10y a bt t =+=+，将9t =代入回归方程可得， 1.82y =，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．【考点】相关性分析，线性回归 19.【答案】（Ⅰ）由已知得223AM AD ==，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN BC ∥，122TN BC ==，又AD BC ∥，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥，因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）取BC 中点E ，连接AE ，则易知AE AD ⊥，又PA ⊥面ABCD ，故可以A 为坐标原点，以AE 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A 、(0,0,4)P 、C 、N ⎫⎪⎪⎝⎭()0,2,0M，52AN ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,4)PM =-，22PN N ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，故平面PMN 的法向量(0,2,1)n =，4cos ,52AN n ∴<>==，∴直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值为25．【考点】线面平行证明，线面角的计算20.【答案】（Ⅰ）由题设1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，设1:l y a =，2:l y b =，则0ab ≠，且2,2a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2Q b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,22a b R +⎛⎫- ⎪⎝⎭，记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2()0x a b y ab -++=，由于F 在线段AB 上，故10ab +=，记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则122211a b a b abk b k a a ab a a---=====-=+-，所以AR FQ ∥； （Ⅱ）设l 与x 轴的交点为1(,0)D x ，则1111222ABF S b a FD b a x ∆=-=--，2PQF a bS ∆-=，由题设可得111222a b b a x ---=，所以10x =(舍去)，11x =，设满足条件的AB 的中点为(,)E x y ，当AB 与x 轴不垂直时，由AB DE k k =可得2(1)1y x a b x =≠+-，而2a by +=，所以21(1)y x x =-≠，当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为21y x =-． 【考点】抛物线，轨迹方程21.【答案】（Ⅰ）()2sin 2(1)sin f x a x a x '=---；（Ⅱ）当1a ≥时，|()||cos2(1)(cos 1)|2(1)32(0)f x a x a x a a a f =+-+≤+-=-=，因此，32A a =-，当01a <<时，将()f x 变形为2()2cos (1)cos 1f x a x a x =+--，令2()2(1)1g t at a t =+--，则A 是|()|g t 在[1,1]-上的最大值，(1)g a -=，(1)32g a =-，且当14a t a -=时，()g t 取得极小值，极小值为221(1)611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，令1114a a --<<，解得13a <-（舍去），15a >． ①当105a <≤时，()g t 在(1,1)-内无极值点，|(1)|g a -=，|(1)|23g a =-，|(1)||(1)|g g -<，所以23A a =-； ②当115a <<时，由(1)(1)2(1)0g g a --=->，知1(1)(1)()4ag g g a-->>； 又1(1)(17)|(1)|048a a a g g a a --+⎛⎫--=> ⎪⎝⎭，所以216148a a a A g a a -++⎛⎫==⎪⎝⎭， 综上，2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩（Ⅲ）由（Ⅰ）得|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a '=---≤+-，当105a <≤时，|()|1242(23)2f x a a a A '≤+≤-<-=，当115a <<时，131884a A a =++≥， 所以|()|12f x a A '≤+<，当1a ≥时，|()|31642f x a a A '≤-≤-=，所以|()|2f x A '≤． 【考点】导函数讨论单调性，不等式证明22.【答案】（Ⅰ）连结PB ，BC ，则BFD PBA BPD ∠=∠+∠，PCD PCB BCD ∠=∠+∠，因为AP BP =，所以PBA PCB ∠=∠，又BPD BCD ∠=∠，所以BFD PCD ∠=∠，又180PFD BFD ∠+∠=，2PFB PCD ∠=∠，所以3180PCD ∠=，因此60PCD ∠=；（Ⅱ）因为PCD BFD ∠=∠，所以180PCD EFD ∠+∠=，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上，因此OG CD ⊥． 【考点】几何证明23.【答案】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=；（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-，当且仅当π2π()6k k Z α=+∈时，()d α，此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭．【考点】坐标系与参数方程24.【答案】（Ⅰ）当2a =时，()|22|2f x x =-+，解不等式|22|26x -+≤，得13x -≤≤，因此，()6f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12||212||1|f x g x x a a x x a x a a a +=-++-≥-+-+=-+，当12x =时等号成立，所以当x R ∈时，()()3f x g x +≥等价于|1|3a a -+≥①． 当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解；当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥； 所以a 的取值范围是[2,)+∞． 【考点】不等式。

2016浙江高考理科数学真题及答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A. B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.15.已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，学.科.网若对任意单位向量e，均有|a·e|+|b·e|，则a·b的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B += （Ⅰ）证明：2A B =（Ⅱ）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小. 学科.网17.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，已知平面BCFE 平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF EC ===，2BC =，3AC =，（Ⅰ）求证：ACFD BF ⊥平面 （Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.18. （本题满分15分）设3a ≥，函数2()min{2|1|,242}F x x x ax a =--+-,其中（Ⅰ）求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围（Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a（ii ）求()F x 在[0,6]上的最大值()M a 学.科网19.（本题满分15分）如图，设椭圆C:2221(1)x y a a+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a,k 表示）（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.20、（本题满分15分）设数列满足1||12n n a a +-≤，（Ⅰ）求证：11||2(||2)(*)n n a a n N -≥-∈（Ⅱ）若3||()2n n a ≤，*n N ∈，证明：||2n a ≤，*n N ∈.学科&网浙江数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意:1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别书写在试卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上书写作答，在本试卷上作答，一律无效.选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{13}P x x =∈R ≤≤，2{4}Q x x =∈R ≥，则()P Q =R( )A . []2,3B . (]2,3-C . [)1,2D . (][),21,-∞-+∞2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m α∥，n β⊥，则 ( ) A . m l ∥ B . m n ∥ C . n l ⊥D . m n ⊥2．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域20,0,340,x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =( )A . 22B . 4C . 32D . 6 4．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x >”的定义形式是( )A . *x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <B . *x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <C . *x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <D . *x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <5.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( )A . 与b 有关，且与c 有关B . 与b 有关，但与c 无关C . 与b 无关，且与c 无关D . 与b 无关，但与c 有关6.如图，点列{},{}n n A B 分别在某锐角的两边上，且112||||n n n n A A A A +++=，2n n A A +≠，*n ∈N ，112||||n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，*n ∈N （P Q ≠表示点P 与Q 不重合），若||n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则( )A . {}n S 是等差数列B . 2{}nS 是等差数列 C . {}n d 是等差数列 D . 2{}nd 是等差数列 7. 已知椭圆()212211x m C y m +=>：与双曲线()2222–10n x C y n=>：的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则( )A . 121m n e e >>且B . 121m n e e ><且C . 121m n e e <>且D . 121m n e e <<且 8. 已知实数a ，b ，c .( )A . 若22|||1|a b c a b c +++++≤，则222100a b c ++<B . 若22|||1|–a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<C . 若22|||–1|a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<D . 若22|||–1|a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9. 若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______. 10. 已知()()2sin 2cos i 20s n x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =________. 11. 某几何体的三视图如图所示（单位:cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3.12. 已知1a b >>.若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a = ，b = . 13. 设数列{}n a 的前n 项和为n S 若21421n n S a S n +==+∈*N ，，，则1a = ，5S = .14. 如图，在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=︒，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA PB BA ==，，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .15. 已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是 .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （Ⅰ）证明:2A B =； （Ⅱ）若ABC △的面积2=4aS ，求角A 的大小.17.（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，BE =1EF FC ==，2BC =，3AC =.（Ⅰ）求证:BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求二面角B AD F --的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分） 已知3a ≥，函数2{||min 2}1242F x x x ax a =--+-（），，其中,min{}.,p p q q p q p q ⎨⎩=⎧≤，＞， （Ⅰ）求使得等式2242F x x ax a =-+-（）成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a ； （ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a .19.（本小题满分15分）如图，设椭圆22211x y a a+=（＞）.（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得的线段长（用a ，k 表示）；（Ⅱ）若任意以点0,1A （）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.20.（本小题满分15分）设数列{}n a 满足1||12n n a a +-≤，n ∈*Ν. （Ⅰ）证明：112(||2)n n a a --≥，n ∈*Ν；（Ⅱ）若3||2nn a ≤（），n ∈*Ν，证明：||2n a ≤，n ∈*Ν.2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】B【解析】2{|}{Q x x 4x |x 2x 2}=∈≥=∈≥≤R R 或﹣，即有R{|Q x 2}x 2-=∈<<R ，则R P(Q)23](,=-【提示】运用二次不等式的解法，求得集合Q ，求得Q 的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】∵互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足m α∥，∴m β∥，m ⊆β或m ⊥β，l ⊆β，∵n ⊥β，∴n l ⊥．故选：C ． 【提示】由已知条件推导出l ⊆β，再由n ⊥β，推导出n l ⊥ 【考点】直线与平面垂直的判定 3.【答案】C【解析】做出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x y 20+-=上的投影构成线段R Q ''，即SAB ，而R Q RQ ''=，由x 3y 44x y 0-+=⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩，即Q(1,1)-，由x 2x y 0=⎧⎨+=⎩得x 2y 2=⎧⎨=-⎩，即R(2,2)﹣，则AB QR ==故选：C【提示】做出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可 【考点】简单线性规划的应用． 4.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x ∀∈R ，n ∃∈*N ，使得2n x ≥”的否定形式是：x ∃∈R ，n ∀∈*N ，使得2n x <.故选：D ．【提示】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【考点】命题的否定． 5.【答案】B【解析】∵设函数2f (x)sin x bsinx c =++，∴c 是图像的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与c 无关，当b 0=时，211f (x)sin x bsinx c cos2x c 22=++=-++的最小正周期为2πT π2==，当b 0≠时，11f x cos2x bsinx c 22=-+++（）， ∵y cos2x =的最小正周期为π，y bsinx =的最小正周期为2π， ∴f (x)的最小正周期为2π，故f (x)的最小正周期与b 有关，故选：B. 【提示】根据三角函数的图像和性质即可判断 【考点】三角函数的周期性及其求法． 6.【答案】A【解析】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==，由于a ，b 不确定，则n {d }不一定是等差数列，2n {d }不一定是等差数列，设n n n 1A B B +△的底边n n 1B B +上的高为n h ，由三角形的相似可得n n n 1n 1h OA a (n 1)bh OA a nb+++-==+，n 2n 2n 1n 1h OA a (n 1)bh OA a nb++++++==+， 两式相加可得n n 2n 1h h 2a 2b2h a nb ++++==+，即有n n 2h h 2++=，由n n 1S d h 2=，可得n n 2n 1S S 2S +++=，即为n 2n 1n 1n S S S S +++-=-，则数列n {S }为等差数列．故选：A ．【提示】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==，由于a ，b 不确定，判断C ，D 不正确，设n n n 1A B B +△的底边n n 1B B +上的高为n h ，运用三角形相似知识，n n 2n 1h h 2h +++=，由n n 1S d h 2=，可得n n 2n 1S S 2S +++=，进而得到数列n {S }为等差数列 【考点】数列与函数的综合． 7.【答案】A【解析】∵椭圆2212C y 1,(x 1m ):m +=>与双曲线2222C y 1,(x )m0:n =->的焦点重合，∴满足222c m 1n 1-==+，即22m n 20-=>，∴22m n >，则m n >，排除C ，D 则222c m 1m -=<，222c n 1n =+>，则c m <、c n >，1c e m =，2ce n=， 则212c c c e e m n mn==， 则221222222222222222222c c (e e m n m n (m 1)(n 1)m n (m n )1m m n m n n 111m n )11-+----⎛⎫==⎛⎫= ⎪⎝⎭=+=+> ⎪⎝⎭∴12e e 1>，故选：A ．【提示】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到222c m 1n 1-==+，即22m n 2-=，进行判断，能得m n>，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可 【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质． 8.【答案】D【解析】A ．设a b 10==，c 110=-，则22a b c ||a c 1||b 0+++++=≤，222a b c 100++>；B ．设a 10=，b 100=-，c 0=，则22a b c ||a b c 0|1|++++-=≤，222a b c 100++>；C ．设a 100=，b 100=-，c 0=，则22a b c a b c 0|||1|+++-=≤+，222a b c 100++>；故选：D ．【提示】本题可根据选项特点对a ，b ，c 设定特定值，采用排除法解答 【考点】命题的真假判断与应用．非选择题部分二、填空题 9.【答案】9【解析】解：抛物线的准线x 1=-，∵点M 到焦点的距离为10，∴点M 到准线x 1=-的距离为10，∴点M 到y 轴的距离为9，故答案为：9【提示】根据抛物线的性质得出M 到准线x 1=-的距离为10，故到y 轴的距离为9 【考点】抛物线的简单性质． 10.【解析】∵22cos x sin2x 1cos2x sin2x +=++1122⎫=+++⎪⎪⎭π2x 14⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴A =b 1=【提示】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案 【考点】两角和与差的正弦函数． 11.【答案】72 32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为222(246)72cm ⨯-=，其体积为34232⨯=，故答案为：72，32【提示】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可． 【考点】由三视图求面积、体积 12.【答案】4 2【解析】解：设b t log a =，由a b 1>>知t 1>，代入a b 5log b log a 2+=得15t t 2+=，即22t 5t 20-+=，解得t 2=或1t 2=（舍去），所以b log a 2=，即2a b =，因为b a a b =，所以2b a b b =，则2a 2b b ==，解得b 2=，a 4=， 故答案为：4；2.【提示】设b t log a =并由条件求出t 的范围，代入a b 5log b log a 2+=化简后求出t 的值，得到a 与b 的关系式代入b a a b =化简后列出方程，求出a 、b 的值． 【考点】对数的运算性质． 13.【答案】1 121【解析】由n 1=时，11a S =，可得211a 2S 12a 1=+=+，又2S 4=，即12a a 4+=， 即有13a 14+=，解得1a 1=；由n 1n 1n a S S ++-=，可得n 1n S 3S 1+=+，由2S 4=，可得3S 34113=⨯+=，4S 313140=⨯+=，5S 3401121=⨯+= 故答案为：1，121.【提示】运用n 1=时，11a S =，代入条件，结合2S 4=，解方程可得首项；再由n 1>时，n 1n 1n a S S ++-=，结合条件，计算即可得到所求和．【考点】数列的概念及简单表示法． 14.【答案】12【解析】如图，M 是AC 的中点．①当AD t AM3=<=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE ，DM t =，由ADE BDM △∽△，可得h 1， ∴h =，22211t 13(3t)V (23t)1326(3t)1(3t)--=-=-+-+，t ∈ ②当AD t AM 3=>=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH ，DM t =，由等面积，可得11AD BM BD AH 22=，∴11t 1(t 22= ∴h =，∴22211t 13(3t)V (23t)1326(3t)1(3t)--=-=-+-+，t ∈综上所述，213(3V 6(3t)--=-，t ∈令[)m 1,2则214m V 6m-=，∴m 1=时，max 1V 2=． 故答案为：12【提示】由题意，ABD PBD △≌△，可以理解为PBD △是由△ABD 绕着BD 旋转得到的，对于每段固定的AD ，底面积BCD 为定值，要使得体积最大，PBD △必定垂直于平面ABC ，此时高最大，体积也最大． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．15.【答案】12【解析】∵(a b)e a e b e a e b e 6+=+≤+≤，∴(a b)e a b 6+=+≤，平方得：22a b 2a b 6++≤，即22122a b 6++≤，则1a b 2≤，故a b 的最大值是12，故答案为：12．【提示】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论 【考点】平面向量数量积的运算． 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）由正弦定理得sinB sinC 2sinAcosB +=2sinAcosB sinB sin(A B)sinB sinAcosB cosAsinB =++=++，于是sinB sin(A B)=-又A,B (0,π)∈， 故0A B π<-<，所以B π(A B)=--或B A B =-， 因此A π=（舍去）或A 2B =， 所以，A 2B =（Ⅱ）由2a S 4=得21a absinC 24=，故有1sinBsinC sin2B sinBcosB 2==， 因sinB 0≠，得sinC cosB =．又B,C (0,π)∈，所以C B 2π=±．当πB C 2+=时，πA 2=；当πC B 2-=时，πA 4=．综上，πA 2=或πA 4=．【提示】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A 2B =（Ⅱ）若ABC △的面积2a S 4=，则21a absinC 24=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A 的大小．【考点】余弦定理，正弦定理．17.【答案】解：（Ⅰ）延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示． 因为平面BCFE ABC ⊥平面，且AC BC ⊥， 所以，AC ⊥平面BCK ， 因此，BF AC ⊥．又因为EFBC ∥，BE EF FC 1===，BC 2=， 所以BCK △为等边三角形，且F为CK 的中点， 则BF CK ⊥，所以BF ⊥平面ACFD ．（Ⅱ）过点F 作FQ AK ⊥，连结BQ ． 因为BF ⊥平面ACK ，所以BF AK ⊥，则AK ⊥平面BQF ， 所以BQ AK ⊥．所以BQF ∠是二面角B AD F --的平面角． 在Rt ACK △中，AC 3=，CK 2=，得FQ 在Rt BQF △中，FQ =BF =，得cos BQF ∠=所以，二面角B AD F --的平面角的余弦值为4．【提示】（Ⅰ）先证明BF AC ⊥，再证明BF CK ⊥，进而得到BF ⊥平面ACFD ． （Ⅱ）先找二面角B AD F --的平面角，再在Rt BQF △中计算，即可得出； 【考点】二面角的平面角及求法，空间中直线与直线之间的位置关系． 18.【答案】解：（Ⅰ）由于a 3≥，故当x 1≤时，22(x 2ax 4a 2)2x 1x 2(a 1)(2x)0-+---=+-->，当x 1>时，2(x 2ax 4a 2)2x 1(x 2)(x 2a)-+---=--．所以，使得等式2F(x)x2ax 4a 2=-+-成立的x 的取值范围为[2,2a]．（Ⅱ）（ⅰ）设函数f (x)2x 1=-，2g(x)x 2ax 4a 2=-+-，则min f (x)f (x)0==，2min g(x)g(a)a 4a 2==-+-，所以，由F(x)的定义知{}m(a)min f (1),g(a)=，即20,3a 2m(a)a 4a 2,a 2⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ⅱ）当0x 2≤≤时，{}F(x)f (x)max f (0),f (2)2F(2)≤≤==，当2x 6≤≤时，F(x)g(x)max{g(2),g(6)}max{2,348a}max{F(2),F(6)}≤≤=-=．所以，348a,3a 4M(a)2,a 4-≤<⎧=⎨≥⎩． 【提示】（Ⅰ）由a 3≥，讨论x 1≤时，x 1>，去掉绝对值，化简2x 2ax 4a 22x 1-+---，判断符号，即可得到2F(x)x 2ax 4a 2=-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）设f (x)2x 1=-，2g(x)x 2ax 4a 2=-+-，求得f (x)和g(x)的最小值，再由新定义，可得F(x)的最小值；（ⅱ）分别对当0x 2≤≤时，当2x 6<≤时，讨论F(x)的最大值，即可得到F(x)在[0,6]上的最大值M【考点】函数最值的应用，函数的最值及其几何意义．19.【答案】解：（Ⅰ）设直线y kx 1=+被椭圆截得的线段为AP ，由222y kx 1x y 1a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(1a k )x 2a kx 0++=，故1x 0=，22222a k x 1a k =-+．因此2212222a k AP x 1k 1a k =-=++．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，2k 0>，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =2AQ =12=，所以22222222121212(k k )[1k k a (2a )k k ]0-+++-=．由于12k k ≠，1k ，2k 0>得22222212121k k a (2a )k k 0+++-=，因此22221211111a (a 2)k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是：221a (a 2)1+->，所以a >因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a 2<≤，由c e a ==得，所求离心率的取值范围为0e 2<≤【提示】（Ⅰ）联立直线y kx 1=+与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A 与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a 的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合． 20.【答案】解：（Ⅰ）由n 1n a a 12+-≤得n n 11a a 12+-≤，故n n 1n n 1n a a 1222++-≤，n ∈*Ν， 所以1n1223n 1n 1n 1223n 1n 12n 1a a a a a a a a 111122222222222---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+-≤++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此n 1n 1a 2(a 2)-≥-．（Ⅱ）任取n ∈*Ν，由（Ⅰ）知，对于任意m n >，n m n n 1n 1n 2m 1m nmnn 1n 1n 2m 1m n n 1m 1n 1a a a a a a a a 1111222222222222+++-+++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+-≤++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故m mm n n nn n 1m n 1m a 11133a 2222222224--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+≤+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦．从而对于任意m n >，均有mn n 3a 224⎛⎫<+ ⎪⎝⎭．由m 的任意性得n a 2≤①否则，存在0n ∈*Ν，有0n a 2>，取正整数00n 03n 4a 2m log 2->且00m n >，则n 003n 040a 2m log 2m n n 3322a 244-⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与①式矛盾．综上，对于任意n ∈*Ν，均有n a 2≤ 【提示】（Ⅰ）使用三角不等式得出n 1n a a 12+-≤，变形得n n 1n n 1na a 1222++-≤，使用累加法可求得n n 11a a 12+-≤，即结论成立； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论得出n m n m n 1a a 1222--<，进而得出mn n 3a 224⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，利用m 的任意性可证n a 2≤ 【考点】数列与不等式的综合。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A. B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.15.已知向量a，b，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e，均有|a·e|+|b·e|，则a·b的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B += （Ⅰ）证明：2A B =（Ⅱ）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小.17.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，已知平面BCFE 平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF EC ===，2BC =，3AC =，（Ⅰ）求证：ACFD BF ⊥平面 （Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.18. （本题满分15分）设3a ≥，函数2()min{2|1|,242}F x x x ax a =--+-,其中（Ⅰ）求使得等式2()242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围 （Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a（ii ）求()F x 在[0,6]上的最大值()M a19.（本题满分15分）如图，设椭圆C:2221(1)x y a a+=>（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得到的弦长（用a,k 表示） （Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.20、（本题满分15分）设数列满足1||12n n a a +-≤，（Ⅰ）求证：11||2(||2)(*)n n a a n N -≥-∈（Ⅱ）若3||()2n n a ≤，*n N ∈，证明：||2n a ≤，*n N ∈.2016年高考浙江卷数学（理）试题答案及解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}213,4,P x x Q x x=∈≤≤=∈≥R R则()P Q⋃=RA．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．(,2][1,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】根据补集的运算得{}[](]24(2,2),()(2,2)1,32,3=<=-∴=-=-R RQ x x P Q．故选B．2. 已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m，n满足,m nαβ∥⊥，则A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【答案】C3. 在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=A．22B．4 C．32D．6【答案】C【解析】如图∆PQR为线性区域，区域内的点在直线20x y+-=上的投影构成了线段''R Q，即AB，而''=R Q PQ，由340-+=⎧⎨+=⎩x yx y得(1,1)-Q，由2=⎧⎨+=⎩xx y得(2,2)-R，22(12)(12)32==--++=AB QR．故选C．4. 命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的定义形式是A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 5. 设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期 A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关 D ．与b 无关，但与c 有关 【答案】B6. 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则A ．{}n S 是等差数列B ．2{}nS 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}nd 是等差数列 【答案】A【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即112n n n n S h B B +=，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么11tan n n n h h A A θ+=+⋅，其中θ为两条线的夹角，即为定值，那么1111(tan )2n n n n S h A A B B θ+=+⋅，111111(tan )2n n n n S h A A B B θ+++=+⋅，作差后：1111(tan )2n n n n n n S S A A B B θ+++-=⋅，都为定值，所以1n n S S +-为定值．故选A ．7. 已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【解析】由题意知2211-=+m n ，即222=+m n ，2221222221111()(1)(1)-+=⋅=-+m n e e m n m n，代入222=+m n ，得212,()1>>m n e e ．故选A ． 8. 已知实数a ，b ，cA ．若|a 2+b +c |+|a +b 2+c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100B ．若|a 2+b +c |+|a 2+b –c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100C ．若|a +b +c 2|+|a +b –c 2|≤1，则a 2+b 2+c 2<100D ．若|a 2+b +c |+|a +b 2–c |≤1，则a 2+b 2+c 2<100 【答案】D二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. 若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=10. 已知2cos 2x +sin 2x =Asin(ωx +φ)+b (A >0)，则A =______，b =________． 【答案】2 1【解析】22cos sin 22sin(2)14x x x π+=++，所以2, 1.A b == 11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯= 12. 已知a >b >1.若log a b +log b a =52，a b =b a ，则a = ，b = .【答案】4 2【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==13.设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 12114. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】12【解析】ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=， 所以30BAD BCA ∠==.由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=，所以3AC =设AD x =，则023t <<23DC x =.在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-⋅2234x x =-+.故2234BD x x =-+在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(234)3cos 2222PD PB BD x x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD ∠=.EDCBAP过P 作直线BD的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠， 即2112342sin 3022x x d x -+⨯=⋅， 解得2234d x x =-+.而BCD ∆的面积111sin (23)2sin 30(23)222S CD BC BCD x x =⋅∠=-⋅=-. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=.故四面体PBCD 的体积211111sin (23)33332234BcD BcD BcD V S h S d S d x x x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯-⋅-+ 21(23)6234x x x x -=-+.设22234(3)1t x x x =-+=-+，因为023x ≤≤，所以12t ≤≤.则2|3|1x t -=-.（2323x <≤2|331x x t ==- 故231x t =-此时，221(31)[23(31)]6t t V t+--+-=21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12. 15. 已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜≤6 ,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12【解析】221|(a b)||a ||b |6|a b |6|a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅≤⇒+≤⇒++⋅≤⇒⋅≤，即最大值为12三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B. （I ）证明：A =2B ；（II ）若△ABC 的面积2=4a S ，求角A 的大小.【试题分析】（I ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得()sin sin B =A-B ，再判断A-B 的取值范围，进而可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得sinC cos =B ，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．（II ）由24a S =得21sin C 24a ab =，故有1sin sin C sin 2sin cos 2B =B =B B ，因sin 0B ≠，得sinC cos =B ．又B ，()C 0,π∈，所以C 2π=±B ．当C 2πB +=时，2πA =； 当C 2π-B =时，4πA =．综上，2πA =或4πA =．17. (本题满分15分)如图,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,=90ACB ∠,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.【试题分析】（I ）先证F C B ⊥A ，再证F C B ⊥K ，进而可证F B ⊥平面CFD A ；（II ）方法一：先找二面角D F B-A -的平面角，再在Rt QF ∆B 中计算，即可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面C A K 和平面ABK 的法向量，进而可得二面角D F B-A -的平面角的余弦值．（II ）方法一：过点F 作FQ ⊥AK ，连结Q B ．因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得313FQ =． 在Rt QF ∆B 中，313FQ =，F 3B =，得3cos QF ∠B =． 所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为34．18. （本小题15分）已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p，q}=,>p p qq p q.≤⎧⎨⎩，，（I）求使得等式F（x）=x2−2ax+4a−2成立的x的取值范围；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间[0,6]上的最大值M（a）.【试题分析】（I）分别对1x≤和1x>两种情况讨论()F x，进而可得使得等式()2F242x x ax a=-+-成立的x的取值范围；（II）（i）先求函数()21f x x=-，()2242g x x ax a=-+-的最小值，再根据()F x的定义可得()F x的最小值()m a；（ii）分别对02x≤≤和26x≤≤两种情况讨论()F x的最大值，进而可得()F x在区间[]0,6上的最大值()aM．（II）（i）设函数()21f x x=-，()2242g x x ax a=-+-，则()()min10f x f==，()()2min42g x g a a a==-+-，所以，由()F x的定义知()()(){}min1,m a f g a=，即()20,32242,22am aa a a⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩（ii）当02x≤≤时，()()()(){}()F max0,22F2x f x f f≤≤==，当26x≤≤时，()()()(){}{}()(){}F max2,6max2,348max F2,F6x g x g g a≤≤=-=．所以，()348,342,4a aaa-≤<⎧M=⎨≥⎩．19. （本题满分15分）如图，设椭圆2221xya+=（a＞1）.（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【试题解析】（I）设直线1y kx=+被椭圆截得的线段为AP，由22211y kxxya=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx++=，故1x=，222221a kxa k=-+．因此22212222111a kk x ka kAP=+-=++（II）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足QAP=A．记直线AP，QA的斜率分别为1k，2k，且1k，2k>，12k k≠．20.（本题满分15分）设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【试题分析】（I ）先利用三角形不等式得1112n n a a +-≤，变形为111222n n n n n a a ++-≤，再用累加法可得1122n n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）可得11222n m n m n a a --<，进而可得3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭，再利用m 的任意性可证2n a ≤．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，1121112122222222n m n n n n m m n m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m nn n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭ 11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．从而对于任意m n >，均有。