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对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用引言：数学作为高考的一门重要科目，其中不等式是数学中的一个重要概念。
在高考中，有一类不等式常常被提及，那就是对数均值不等式及其变式。
本文将对对数均值不等式及变式的应用进行探讨，并从深度和广度两个方面阐述其在高考压轴题中的实际应用。
一、对数均值不等式的定义与简单应用1.1 对数均值不等式的定义对数均值不等式是数学中的一类不等式，它是由均值不等式推导而来。
对于两个正数a和b，可以定义它们的几何平均数M和算术平均数A 为：\[ M = \sqrt{ab} \]\[ A = \frac{a+b}{2} \]而对于这两个平均数的自然对数，我们可以定义为：\[ m = \ln{M} \]\[ a = \ln{a} \]则对数均值不等式可以表示为：\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]即：\[ \frac{a+b}{2} \geq \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]1.2 对数均值不等式的简单应用对数均值不等式在求证过程中往往与其他的不等式相结合，从而达到简化证明的目的。
例：设a、b、c为正数，证明以下不等式：\[ \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\] 解：由对数均值不等式可得：\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]\[ \ln{(b+c)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{bc} \]\[ \ln{(c+a)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ca} \]将上述三个不等式相加，得到：\[ \ln{(a+b)} + \ln{(b+c)} + \ln{(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]\[ \ln{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]由对数的性质可得：\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \cdot \sqrt{2} \]将上述不等式代入原式，即可得到所要证明的不等式。
对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a bab a b+->>-，其中ln ln a b a b --被称之为对数平均数.童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1 对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,,T ab ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以()12ln ln ,badx b a b a x a b=->-+ò① 又1ln ln abAUTPaS dx ab a x==-ò曲边梯形， ()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形， ()11111222AUTP ABCDb aS ab a S aab ab骣-÷ç=+-=?÷ç÷ç桫梯形梯形，根据右图可知，AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ，所以ln ln b ab a ab--<， ② 另外，ABQXABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得：()()()11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a骣÷ç-<-<+-<-÷ç÷ç桫 ③ 综上，结合重要不等式可知：()()()()211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b aab 骣--÷ç-<<-<<+-<-÷ç÷ç桫+， 即()20112ln ln a b b ab ab a b a b aa b+->>>>>>>-+. ④2 不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．2.1()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析（3）因为()1xg x x=+， 所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12gg g n +++与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b a b b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+，将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++， 故()()()()12gg g n n f n +++>-.评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L . 例2 （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑ 解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+-．根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+ 2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L ()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 2.2()2202ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用例3 设数列{}n a 的通项()111n a n n =++，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．解析 根据0b a >>时，222ln ln a b b ab a+->-，即()222ln ln b a b a a b-->+，令1,,b n a n =+=则()()222ln 1ln 1n n n n +->++22221n n =++22222n a n n >>++，易证()ln 1n S n <+．2.3()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用 例4 设数列{}n a 的通项111123na n=++++，证明：()ln 21n a n <+． 解析 根据0b a >>时，2ln ln a b b ab a+->-，即()2ln ln b a b a a b -->+，令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21n a n <+． 2.4()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用 例 5 （2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L 解析 （1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ， ()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 将以上各不等式左右两边分别相加得：()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L 即()()111111ln 11,234212n n n +<++++++-+L 故()()1111ln 1.2321nn n n ++++>+++L例6 （2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123na n =++++，证明：21ln 24n n a a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意； 综上，λ的最小值是12．（2)当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ ()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++ ()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++L ()111ln 2ln 21,2212n n n n骣÷ç--<+÷ç÷ç桫- 将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣÷ç-<++++++÷ç÷ç桫+++-L 即111111ln 2,2123214n n n n n n骣÷ç<++++++÷ç÷ç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x ++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111l n 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.2.5()0ln ln b aab b a b a->>>-的应用例7 （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据0b a >>时，ln ln b aab b a->-，即ln ln ,b ab a ab --<令21,21,b n a n =+=-则()()22ln 21ln 21,41n n n +--<-变形可得：()()2222111142ln 21ln 21,4414141n n n n n n n -+轾+--<=<臌---则 ()212ln 3ln1,4411-<?()213ln 5ln 3,,4421-<?L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌- 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a 的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.。
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用一、引言在高中数学的学习过程中，对数均值不等式是一个重要且常见的概念。
它不仅在数学理论中有着广泛的应用，更是在高考压轴题中经常出现的考点之一。
本文将深入探讨对数均值不等式及其变式在高考压轴题中的应用，希望能够帮助读者更深入地理解这一概念，并为高考做好充分的准备。
二、基本概念所谓对数均值不等式，即指若a>0，b>0，则有ln(a) + ln(b) ≥2ln(√ab)，这是对数均值不等式的基本形式。
对数均值不等式的变式有很多种，常见的有加权形式、n元形式等。
在高中数学的学习中，对数均值不等式主要被用来证明不等式或者进行估值。
三、应用举例1. 高考压轴题一题目：已知a，b，c为正实数，求证：(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥(a^2b + b^2c + c^2a)/3。
解析：根据对数均值不等式，可知ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3) ≥3ln(abc)，即3ln(abc) ≤ ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3)。
两边同时除以3，得ln(abc) ≤ (ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3))/3。
由于ln是增函数，故ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3) ≥ ln(a^2b) +ln(b^2c) + ln(c^2a)。
代回，得ln(abc) ≤ ln(a^2b) + ln(b^2c) +ln(c^2a)/3，即abc ≤ (a^2b + b^2c + c^2a)/3。
又由于a，b，c为正实数，所以(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ (a^2b + b^2c + c^2a)/3。
2. 高考压轴题二题目：证明当x，y > 0时，有x/y + y/x ≥ 2。
解析：根据对数均值不等式，可知ln(x) + ln(y) ≥ 2ln(√xy)，即ln(x) + ln(y) ≥ ln(x) + ln(y)。
对数平均数不等式链的几何证明及变式探究2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是:平均数”.安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解1对数平均数不等式链的几何证明1如图，先画反比例函数f（X ）= —（X >0 ）的图象，再画其他的辅助线，其中Xf1MN 11 CD ll x 轴，A(a , 0 ), P (a,—AP,BQ交于点E,F，则根据左图可知:ABFEb 1 2所以J -dx= In b- In a >X因为2曲边梯形AUTPJ -dx= In Tab- In a 二Q X1 12(lnb-In a) = 2边梯形ABQP，S梯形AUTP= 2l+iw后-a)=7 需扛ABCD，设b> a> 0 ,则b> a+^>2b- a -- >In b- In a 'Tab^-2—1 1a b> a，其中a —b----------- 被称为“对数In a — In b 中学数学教育专家安振平在剖析.基于此，笔者进AP II BC U TU II KV，.设函数f （X）在点(b- a).a+ bS矩形ABNM，因为S a边梯形ABQP > S梯形K F?,走〕处的切线分别与直线b - a 而根据右图可知：S 曲边梯形AU TPv S 梯形AUT P ,所以Inb- I nav —.J ab综上，结合重要不等式可知:X — X求证：In X 2 T 门％<^^^.VX 1X2知 X 2 > X 1 > 0，求证：1一互 < I n X2T n % <X 21(b- a )v4vInb- b' ' a+ bInavb-a屁<1骣 2?吿+1 j b- a )v1(b-a)，即 b>U b- a >2 In b- In aT ab > 2------- > 1 1 —+ - a ba (b> a> 0).2对数平均数不等式链的变式探究 近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如年新课标I 、 2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的 . 2010年湖北卷、 2012年天津、2013 为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式 ，记为①式；将 In b- In a b- a ---- > In b- In a J Ob ，记为②式；将b> ln b- b- a ---- > In a，记为③式 变式探究1:取a = X i ,b = X 2，则由①知:X 1 +x 2 2X 2-X 1 >In X 2 Tn x 1于是，可编制如下试题：已知X 2 >X i >0， 求证：lnx 2-lnx .>2(X2—X1)X 1 +X 2变式探究2 :取a=x ,,b=X 2，则由②知:X 2 -X 1 In X 2 Tn x 1>7x1x r .于是，可编制如下试题：已知另外，根据S 矩形ABQX < S 曲边梯形ABQP <S弟形ABQP< S 矩形ABYP ，可得:[(b- a ) v Inb- Inav + - j (b- b 2?® b ■ a)<^(b- aa ).X 2 AX j >0， 变式探究 3:取a =捲山=X 2，则由③知:2>—-—.于是，可编制如下试题：已In X 2 Tnx 1 丄 + 丄X 1 X 2X 2> X 2-X 12 2X 2-X 12X 1X 2变式探究4：取 a =X 1 +1,b =X 2 +1，则由①知：（X1+1）+（X2+1）A 区+“^为十.于是，可 " In （X 2 +1） -1 n （捲 +1）编制如下试题: 对任意X i , X 2 € （ —h ），且 X i 工 X 2 , X 2 — Xi X i +X 2求证：In （X 2 +1）-Ind j +1） V —厂 +1.变式探究 5：取a=X i +1,b =X 2 +1，则由②知:朋：肌时丙.于是，可编制如下试题: 对任意X i , X 2 匸（—1, ，且 X i H X 2 , X 2 - X1求证： -------- -- ------- > J X 1X ^ X <l- X ^1 . In （X2+1）—I n （X 1 +1） J变式探究 6:取 a +1,b =X 2 +1，则由③知:一（X2+1） —（X1+1）2 X <H 1 > -------------------------- > ------------ ---In （X2+1）—I n^ +1） 1 + 1人+1 X2+1是，可编制如下试题：对任意 X 1,X 2 忘(一1,母)，且 X 1 H X 2，求证: X 2 —X1 2（X 1+1）（X 2+1）X2 +1 > ---------- = --- : -------- > In （X 2 +1）—I 门（为 +1） 为 +X 2 +2变式探究 7：取a =为-1,b =X 2 -1，则由①知: （x 1 1）rx 2-1）于是, In （X 2—1） —I n （X 1 —1） 编制如下试题: 对任意 X 1, X 2 € （1,邑），且 X 1 HX 2，求证: .4—1. In （X 2 -1） —I 门（为-1） 2 变式探究 =X 1 -1,b =X 2 —1，则由②知:（X 2 -"-（花 一1） In （X 2 -1） jnd j T ） > J （X 1 -1）（X 2 -1）.于是， 编制如下试题: 对任意 X 1,X 2 巳1,+^），且 X 1 KX 2，求证: X 2 — X1 In （X 2 T ）Tn （为 T ） > J X ,X2 - % - X 2 +1 .变式探究 9：取 a = X 1—1,b = X 2-1，则由③知：X 2_1 A （X 2 -“-（捲-1）In （X 2 -1） —In （X 1 -1） +为 一1 X 2 -1可编制如下试题：对任意 X 1,X ^(1^)，且X 1 H X 2， 求证: X 2 十化-1）“-1）In （ X 2 -1） Tn （ X i-1） >2（X 1-1）（X 2-1） X j + X 2 -2X1 变式探究 10：取a=e X1,b=e'严，则由①知：— +e X 22A 兰三.于是，可编制如下试题：对任意X 2 -X 1总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、 名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景,正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学 机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我 们对问题信息的审视和挖掘 .水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学 思维素养的有效途径.【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和 关注，我们将会做得更好】X j , X 2 壬 R ，且 X 2 >x 1，求证: X 2 X 1 X 2e -e 1~> X 1X2e^e "2变式探究11：取a =e Xl ,b XX 1= e X2，则由②知：eeX2.于是，可编制如下试题：对任意X i ,X 2 迂 R ，且 X 2 >X i ，求证: (X 2-X i 丫尹2变式探究12 ：取a = e x , b X 2 -X i<(e J”eX2e X2-e "1> -------------------X 2 — X12> 一2一 .于是，可编制如下试题：对 丄+―1X ie eX 22eXi恢e X 2 _e X 1任意 X2 R ，且 X ^X1，求证：e X2>K 〉E-X 22e X11-严 1 e* + e X^ X 2 -X-i V。
高中数学核心素养在知识点的提升：1.对数平均数不等式链的几何证对数平均数不等式链的几何证明及变式探究中学数学教育专家安振平在剖析2021年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是：设b>a>0，则b>a+bb-a>>2lnb-lnaab>211+ab>a，其中a?b被称为“对数lna?lnb平均数”.安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.1 对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数f?x??1?x?0?的图象，如图所示，AP??BC??TU??KV，MN??CD??x轴，x1??1??1???a?b2?作在点fxA?a,0?,P?a,?,B?b,0?,Q?b,?,T?ab,,K,????处的切线分别与?ab??a??b???2a?b?AP,BQ交于E,F，根据左图可知，因为S曲边梯形ABQP所以>S梯形ABFE=S矩形ABNM，2(b?a). ① a?b?xab1dx?lnb?lna?S曲边梯形AUTP??aba111dx?lnab?lna?(lnb?lna)?S曲边ABQP x22S梯形AUTP?1111b?a(?)(ab?a)?? 2a2abab根据右图可知， S曲边梯形AUTP另外，S矩形ABQX11111 (b?a)?lnb?lna?(?)(b?a)?(b?a) ③b2aba综上，结合重要不等式可知：即b>a+bb-a>>2lnb-lnaab>211+ab>a(b>a>0). ④2 对数平均数不等式链的变式探究近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2021年湖北卷、2021年天津、2021年新课标Ⅰ、2021年陕西卷、2021福建预赛、2021年绵阳一、三诊、2021合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式a+bb-a>，记为①式；将2lnb-lnab-a>lnb-lnaab，记为②式；将b>b-a2>，记为③式.lnb-lna11+abx1?x2x2?x1.于是，可编制如下试题：已知?2lnx2?lnx1变式探究1：取a?x1,b?x2，则由①知：x2?x1?0，求证：lnx2?lnx1?2(x2?x1).x1?x2x2?x1?x1x2.于是，可编制如下试题：已知lnx2?lnx1变式探究2：取a?x1,b?x2，则由②知：x2?x1?0，求证：lnx2?lnx1?x2?x1. x1x2x2?x12.于是，可编制如下试题：已?lnx2?lnx11?1x1x2变式探究3：取a?x1,b?x2，则由③知：x2?x1x22?x12知x2?x1?0，求证：1?. ?lnx2?lnx1?x22x1x2变式探究4：取a?x1?1,b?x2?1，则由①知：(x1?1)?(x2?1)(x2?1)?(x1?1).于是，可?2ln(x2?1)?ln(x1?1)x2?x1x?x?12?1.ln(x2?1)?ln(x1?1)2编制如下试题：对任意x1,x2?(?1,??)，且x1?x2，求证：2变式探究5：取a?x1?1,b?x2?1，则由②知：(x2?1)?(x1?1)?(x1?1)(x2?1).于是，可ln(x2?1)?ln(x1?1)x2?x1?x1x2?x1?x2?1.ln(x2?1)?ln(x1?1)(x2?1)?(x1?1)?ln(x2?1)?ln(x1?1)211?x1?1x2?1.于编制如下试题：对任意x1,x2?(?1,??)，且x1?x2，求证：变式探究6：取a?x1?1,b?x2?1，则由③知：x2?1?是，可编制如下试题：对任意x1,x2?(?1,??)，且x1?x2，求证：x2?1?x2?x12(x1?1)(x2?1). ?ln(x2?1)?ln(x1?1)x1?x2?2(x1?1)?(x2?1)(x2?1)?(x1?1).于是，可?2ln(x2?1)?ln(x1?1)x2?x1x?x?12?1.ln(x2?1)?ln(x1?1)2变式探究7：取a?x1?1,b?x2?1，则由①知：编制如下试题：对任意x1,x2?(1,??)，且x1?x2，求证：变式探究8：取a?x1?1,b?x2?1，则由②知：(x2?1)?(x1?1)?(x1?1)(x2?1).于是，可ln(x2?1)?ln(x1?1)x2?x1?x1x2?x1?x2?1.ln(x2?1)?ln(x1?1)(x2?1)?(x1?1)?ln(x2?1)?ln(x1?1)211?x1?1x2?1.于是，编制如下试题：对任意x1,x2?(1,??)，且x1?x2，求证：变式探究9：取a?x1?1,b?x2?1，则由③知：x2?1?可编制如下试题：对任意x1,x2?(1,??)，且x1?x2，求证：x2?1?(x2?1)?(x1?1)2(x1?1)(x2?1). ?ln(x2?1)?ln(x1?1)x1?x2?2x1x2ex1?ex2ex2?ex1变式探究10：取a?e,b?e，则由①知：.于是，可编制如下试题：对任意?2x2?x1x2?x1ex2?ex1?x1. x1,x2?R，且x2?x1，求证：x22e?eex2?ex1变式探究11：取a?e,b?e，则由②知：?ex1?ex2.于是，可编制如下试题：对任意x2?x1x1x23x1,x2?R，且x2?x1，求证：?x2?x1?ex1?x2??ex2?ex1?.22ex2?ex12?变式探究12：取a?e,b?e，则由③知：e?.于是，可编制如下试题：对11x2?x1?ex1ex2x1x2x2ex2?ex12ex1?x22ex11?ex1?x2任意x1,x2?R，且x2?x1，求证：e???x1??1.x2?x1ex1?ex2e?ex2x2?x1x2…… ……总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径.4感谢您的阅读，祝您生活愉快。
对数平均数的不等关系链的应用中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景是： 当0b a >>时，2221122ln ln a b a b b ab ab a b aa b++->>>>>>-+.其中ln ln a b a b--被称为对数平均值.对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．1 ()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析 （3）因为()1xg x x=+， 所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12gg g n +++与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+， 将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++， 故()()()()12gg g n n f n +++>-.评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L . 例2 （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑ 解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+-．根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+ 2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 2()2202ln ln a b b a b a b a+->>>-的应用 例3 设数列{}n a 的通项()111n a n n =++，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．解析 根据0b a >>时，222ln ln a b b ab a+->-，即()222ln ln b a b a a b-->+，令1,,b n a n =+=则()()222ln 1ln 1n n n n +->++22221n n =++22222n a n n >>++，易证()ln 1n S n <+．3()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用 例4 设数列{}n a 的通项111123n a n=++++，证明：()ln 21n a n <+． 解析 根据0b a >>时，2ln ln a b b ab a +->-，即()2ln ln b a b a a b-->+， 令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21n a n <+． 4()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用 例 5 （2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L 解析 （1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ， ()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+将以上各不等式左右两边分别相加得：()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L 即()()111111ln 11,234212n n n +<++++++-+L 故()()1111ln 1.2321nn n n ++++>+++L例6 （2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x≥时, ()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：21ln 24n n a a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意；综上，λ的最小值是12．（2) 当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++ ()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++L ()111ln 2ln 21,2212n n n n骣÷ç--<+÷ç÷ç桫- 将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣÷ç-<++++++÷ç÷ç桫+++-L 即111111ln 2,2123214n n n n n n骣÷ç<++++++÷ç÷ç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111l n 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.5()0l n l n b aab b a b a->>>-的应用例7 （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据0b a >>时，ln ln b aab b a->-，即ln ln ,b ab a ab --<令21,21,b n a n =+=-则()()22ln 21ln 21,41n n n +--<-变形可得：()()2222111142ln 21ln 21,4414141n n n n n n n -+轾+--<=<臌---则 ()212ln 3ln1,4411-<?()213ln 5ln 3,,4421-<?L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌- 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a 的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智。
对数平均数不等式链的几何证明及变式探究中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是： 设0b a >>，则2112ln ln a b b ab ab a b aa b+->>>>>-+，其中ln ln a ba b--被称为“对数平均数”.安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.1 对数平均数不等式链的几何证明 如图，先画反比例函数()()10f x x x=>的图象，再画其他的辅助线，其中AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,T ab ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设函数()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与直线,AP BQ 交于点,E F ，则根据左图可知：因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以()12ln ln badx b a b a x a b=->-+ò. ① 因为1ln ln abAUTP aS dx ab a x==-ò曲边梯形()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形，()11111222AUTP ABCD b aS ab a S aab ab骣-÷ç=+-=?÷ç÷ç桫梯形梯形， 而根据右图可知：AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形，所以ln ln b ab a ab--<. ② 另外，根据ABQXABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得：()()()11111ln ln 2b a b a b a b a b a b a骣÷ç-<-<+-<-÷ç÷ç桫 . ③ 综上，结合重要不等式可知：()()()()211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a ba ab 骣--÷ç-<<-<<+-<-÷ç÷ç桫+，即()20112ln ln a b b ab ab a b a b aa b+->>>>>>>-+. ④2 对数平均数不等式链的变式探究近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式2ln ln a b b ab a+->-，记为①式；将ln ln b aab b a->-，记为②式；将211ln ln b a b b a a b->>-+，记为③式.变式探究1：取12,a x b x ==，则由①知：1221212ln ln +->-x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：2121122()ln ln -->+x x x x x x .变式探究2：取12,a x b x ==，则由②知：211221ln ln ->-x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：212112ln ln --<x x x x x x . 变式探究3：取12,a x b x ==，则由③知：2122112211ln ln ->>-+x x x x x x x .于是，可编制如下试题：已知210>>x x ，求证：22121212121ln ln 2--<-<x x x x x x x x .变式探究4：取121,1a x b x =+=+，则由①知：122121(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)++++-+>+-+x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：2112211ln(1)ln(1)2-+<++-+x x x xx x .变式探究5：取121,1a x b x =+=+，则由②知：211221(1)(1)(1)(1)ln(1)ln(1)+-+>+++-+x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：211212211ln(1)ln(1)->++++-+x x x x x x x x .变式探究6：取121,1a x b x =+=+，则由③知：2122112(1)(1)2111ln(1)ln(1)11+-++>>+-++++x x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：2112221122(1)(1)1ln(1)ln(1)2-+++>>+-+++x x x x x x x x x .变式探究7：取121,1a x b x =-=-，则由①知：122121(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)-+---->---x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：2112211ln(1)ln(1)2-+<----x x x xx x .变式探究8：取121,1a x b x =-=-，则由②知：211221(1)(1)(1)(1)ln(1)ln(1)--->-----x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：211212211ln(1)ln(1)->--+---x x x x x x x x .变式探究9：取121,1a x b x =-=-，则由③知：2122112(1)(1)2111ln(1)ln(1)11---->>---+--x x x x x x x .于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：211222112(1)(1)2(1)(1)1ln(1)ln(1)2------>>---+-x x x x x x x x x .变式探究10：取12,x x a e b e ==，则由①知：1221212+->-x x x x e e e e x x .于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：2112212-->+x x x x x x e e e e . 变式探究11：取12,x x a e b e ==，则由②知：211221->⋅-x x x x e e e e x x .于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：()()12212221+-<-x x x x x x ee e.变式探究12：取12,x x a e b e ==，则由③知：2121221211->>-+x x x x x e e e x x e e .于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且21>x x ，求证：21121122121221212211+--->>⇔<<-++-x x x x x x x x x x x x e e e e e e x x e e e e x x .…… ……总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径.。
对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a ba b+->>-ln ln a b a b --被称之为对数平均数.童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F，根据左图可知，对数平均值的概念ab ba ba b a b a >-->+>ln ln 2.0,则其中ba ba ln ln --被称之为对数平均值，对数平均值在现行高中教材中没有出现，但其蕴含着高等数学的背景，近几年的高考压轴题中，频频出现，对数平均值的不等式链aba ab ba b a b a b a >+>>-->+>112ln ln 2.0,则下面证明b a ba b a b a ln ln 2.,0,-->+>证明：ba ba b a b a ln ln 2.,0,-->+>等价于)1(2ln)1()(2)ln )(ln (->+⇔->-+ab a b a b a b b a a b构造函数：xx g x x x x g xx x x x x x x f x x x x x f ln )(,1ln )(1ln 21ln )()1()1(2ln )1()(='+-=+-=-++='>-++=所以：)1()(,1)(,0)(0)1()(,1)(=>+∞>'=>+∞f x f x f x f g x g x g ）单调递增，在（）单调递增，在（2不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．2.1()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略）（3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，并加以证明．解析（3）因为()1x g x x=+，所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭，而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12gg g n +++ 与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可．根据0b a >>时，ln ln b ab b a->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+ ，将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++ ，故()()()()12g g g n n f n +++>- .评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a nb n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L .例2（2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑解析（3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+- ．根据0b a >>时，ln ln b ab b a->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L ()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+ ，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证.2.2()0ln ln b ab a b a->>>-的应用例3设数列{}n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．解析根据0b a >>时，ln ln b ab a->-，即)ln ln b a -->，令1,,b n a n =+=则()ln 1ln n n +->=n a >>，易证()ln 1n S n <+．2.3()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用例4设数列{}n a 的通项111123n a n=++++ ，证明：()ln 21n a n <+．解析根据0b a >>时，2ln ln a b b a b a+->-，即()2ln ln b a b a a b -->+，令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21n a n <+．2.4()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用例5（2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略）（3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++³+L 解析（1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣ç-<+-çç桫，令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣ç+-<+çç桫+所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ，()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+将以上各不等式左右两边分别相加得：()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L 即()()111111ln 11,234212n n n +<++++++-+L 故()()1111ln 1.2321nn n n ++++>+++L例6（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>．解析（1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意；综上，λ的最小值是12．（2)当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫，令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+所以()111ln 1ln ,21n n n n 骣ç+-<+çç桫+()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣ç+-+<+çç桫++L ()111ln 2ln 21,2212n n n n 骣ç--<+çç桫-将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣ç-<++++++çç桫+++-L即111111ln 2,2123214n n n n n n骣ç<++++++çç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++ ．评注本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x ++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111ln 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.2.5)0ln ln b ab a b a->>>-的应用例7（2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+．（1）（略）（2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯- 对一切正整数n 均成立．解析（2）根据0b a >>时，ln ln b ab a->-ln ln b a --<令21,21,b n a n =+=-则()()ln 21ln 21,n n +--<变形可得：()()21112ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<=<臌-则()212ln 3ln1,4411-<´-()213ln 5ln 3,,4421-<´-L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌-将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯- 对一切正整数n 均成立．评注本题提供标准答案是借助于第一问的a 的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征，令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-，整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.。
