圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：1中点弦问题具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法点差法：设曲线上两点为(,)x y 11,(,)x y 22,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论,消去四个参数;如：1)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B,设弦AB 中点为Mx 0,y 0,则有02020=+k by a x ; 2)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B,设弦AB 中点为Mx 0,y 0则有02020=-k by a x 3y 2=2pxp>0与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为Mx 0,y 0,则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=;过A2,1的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程;2焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥;典型例题 设Px,y 为椭圆x a y b22221+=上任一点,F c 10(,)-,F c 20(,)为焦点,∠=PF F 12α,∠=PF F 21β; 1求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；2求|||PF PF 1323+的最值;3直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解;典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()() 1求证：直线与抛物线总有两个不同交点2设直线与抛物线的交点为A 、B,且OA ⊥OB,求p 关于t 的函数ft 的表达式;4圆锥曲线的相关最值范围问题圆锥曲线中的有关最值范围问题,常用代数法和几何法解决;<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决;<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数通常利用二次函数,三角函数,均值不等式求最值;1,可以设法得到关于a 的不等式,通过解不等式求出a 的范围,即：“求范围,找不等式”;或者将a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a 的范围；对于2首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即：“最值问题,函数思想”;最值问题的处理思路：1、建立目标函数;用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关键是由方程求x 、y 的范围；2、数形结合,用化曲为直的转化思想；3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值; 典型例题已知抛物线y 2=2pxp>0,过Ma,0且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B,|AB|≤2p1求a 的取值范围；2若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N,求△NAB 面积的最大值;5求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决; 典型例题已知直线L 过原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上;若点A-1,0和点B0,8关于L 的对称点都在C 上,求直线L 和抛物线C 的方程; 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题已知直角坐标平面上点Q2,0和圆C ：x 2+y 2=1, 动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λλ>0,求动点M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线;6 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内;当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决典型例题 已知椭圆C 的方程x y 22431+=,试确定m 的取值范围,使得对于直线y x m =+4,椭圆C 上有不同两点关于直线对称7两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k k y y x x 1212121···==-来处理或用向量的坐标运算来处理;典型例题 已知直线l 的斜率为k ,且过点P (,)-20,抛物线C y x :()241=+,直线l 与抛物线C 有两个不同的交点如图; 1求k 的取值范围；2直线l 的倾斜角θ为何值时,A 、B 与抛物线C 的焦点连线互相垂直;四、解题的技巧方面：在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大;事实上,如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量;下面举例说明：1充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量;典型例题 设直线340x y m ++=与圆x y x y 2220++-=相交于P 、Q 两点,O 为坐标原点,若OP OQ ⊥,求m 的值;2 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到;典型例题 已知中心在原点O,焦点在y 轴上的椭圆与直线y x =+1相交于P 、Q 两点,且OP OQ ⊥,||PQ =102,求此椭圆方程; 3 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算;典型例题 求经过两已知圆C x y x y 122420：+-+=和C x y y 22224：+--=0的交点,且圆心在直线l ：2410x y +-=上的圆的方程;4充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法;典型例题 P 为椭圆22221x y a b+=上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四边形OAPB 面积的最大值及此时点P 的坐标;5线段长的几种简便计算方法① 充分利用现成结果,减少运算过程一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中,得到型如ax bx c 20++=的方程,方程的两根设为x A ,x B ,判别式为△,则||||AB k x x A B =+-=12·||12a k △·+,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程;例 求直线x y -+=10被椭圆x y 22416+=所截得的线段AB 的长; ② 结合图形的特殊位置关系,减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算;例 F 1、F 2是椭圆x y 222591+=的两个焦点,AB 是经过F 1的弦,若||AB =8,求值||||22B F A F +③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A3,2为定点,点F 是抛物线y x 24=的焦点,点P 在抛物线y 2=4x 上移动,若||||PA PF +取得最小值,求点P 的坐标;圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备： 1. 直线方程的形式1直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式; 2与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+3弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =-=或12AB y y =- 4两条直线的位置关系①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且 2、圆锥曲线方程及性质1、椭圆的方程的形式有几种三种形式标准方程：221(0,0)x y m n m n m n+=>>≠且2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== 2、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n+=⋅<距离式方程：|2a = 3、三种圆锥曲线的通径你记得吗 4、圆锥曲线的定义你记清楚了吗如：已知21F F 、是椭圆13422=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则动点M 的轨迹是A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 5、焦点三角形面积公式：122tan 2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅6、记住焦半径公式：100;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”;20||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为311||,||22p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 6、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗 第二、方法储备1、点差法中点弦问题 设()11,y x A 、()22,y x B ,()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有1342121=+y x ,1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =ba 43-2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗经典套路是什么如果有两个参数怎么办设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判别式0∆≥,以及根与系数的关系,代入弦长公式,设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ,将这两点代入曲线方程得到错误!错误!两个式子,然后错误!-错误!,整体消元······,若有两个字母未知数,则要找到它们的联系,消去一个,比如直线过焦点,则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之;若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消元处理;一旦设直线为y kx b =+,就意味着k 存在;例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上,且点A 是椭圆短轴的一个端点点A 在y 轴正半轴上.1若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线BC 的方程; 2若角A 为090,AD 垂直BC 于D,试求点D 的轨迹方程.分析：第一问抓住“重心”,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率,从而写出直线BC 的方程;第二问抓住角A 为090可得出AB ⊥AC,从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ,然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程；解：1设B 1x ,1y ,C 2x ,2y ,BC 中点为00,y x ,F2,0则有11620,1162022222121=+=+y x y x两式作差有16))((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04500=+ky x 1 F2,0为三角形重心,所以由2321=+x x ,得30=x ,由03421=++y y 得20-=y ,代入1得56=k直线BC 的方程为02856=--y x2由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x 2设直线BC 方程为8054,22=++=y x b kx y 代入,得080510)54(222=-+++b bkx x k2215410k kbx x +-=+,222154805k b x x +-= 2222122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入2式得 0541632922=+--k b b ,解得)(4舍=b 或94-=b直线过定点0,)94-,设Dx,y,则1494-=-⨯+xy x y ,即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()920()916(222≠=-+y y x ;4、设而不求法例2、如图,已知梯形ABCD 中CDAB2=,点E 分有向线段AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围;分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力;建立直角坐标系xOy ,如图,若设C ⎪⎭⎫⎝⎛h c , 2,代入12222=-b y a x ,求得h =,进而求得,,E E x y ==再代入12222=-b y a x ,建立目标函数(,,,)0f a b c λ=,整理(,)0f e λ=,此运算量可见是难上加难.我们对h 可采取设而不求的解题策略,建立目标函数(,,,)0f a b c λ=,整理(,)0f e λ=,化繁为简.解法一：如图,以AB 为垂直平分线为y 轴,直线AB 为x 轴,建立直角坐标系xOy ,则CD ⊥y 轴因为双曲线经过点C 、D,且以A 、B 为焦点,由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称依题意,记A ()0 ,c -,C ⎪⎭⎫ ⎝⎛h c , 2,E ()00 ,y x ,其中||21AB c =为双曲线的半焦距,h 是梯形的高,由定比分点坐标公式得()()122120+-=++-=λλλλc cc x , λλ+=10h y设双曲线的方程为12222=-by a x ,则离心率a ce =由点C 、E 在双曲线上,将点C 、E 的坐标和ac e =代入双曲线方程得 14222=-b h e , ①11124222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bh e λλλλ ②由①式得14222-=e b h , ③将③式代入②式,整理得 ()λλ214442+=-e , 故1312+-=e λ由题设4332≤≤λ得,43231322≤+-≤e 解得 107≤≤e所以双曲线的离心率的取值范围为[]10, 7分析：考虑,AE AC 为焦半径,可用焦半径公式, ,AE AC 用,E C 的横坐标表示,回避h 的计算, 达到设而不求的解题策略．解法二：建系同解法一,(),E C AE a ex AC a ex =-+=+,()()22121E cc c x λλλλ-+-==++,又1AE AC λλ=+,代入整理1312+-=e λ,由题设4332≤≤λ得,43231322≤+-≤e 解得107≤≤e所以双曲线的离心率的取值范围为[]10, 75、判别式法 例3已知双曲线122:22=-x yC ,直线l 过点()0,2A ,斜率为k ,当10<<k 时,双曲线的上支上有且仅有一点B 到直线l 的距离为2,试求k 的值及此时点B 的坐标;分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到：过点B 作与l 平行的直线,必与双曲线C 相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0=∆. 由此出发,可设计如下解题思路：()10)2(:<<-=k x k y l解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所把直线l ’的方程代入双曲线方程,消去y ,令判别式0=∆直线l ’在l 的上方且到直线l 的距离为2谓“有且仅有一点B 到直线l 的距离为2”,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：,则点M 到直线l 的距离. 由于10<<k ,所以kx x x >>+22,从而有 于是关于x 的方程()*由10<<k 可知：方程()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k k x k k k x k 的二根同正,故02)1(22>+-+kx k k 恒成立,于是()*等价于()()()022)1(22)1(22122222=--++-++-k kx k k k x k.由如上关于x 的方程有唯一解,得其判别式0=∆,就可解得 552=k . 点评：上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C:x y 2228+=和点P4,1,过P 作直线交椭圆于A 、B 两点,在线段AB 上取点Q,使AP PB AQQB=-,求动点Q 的轨迹所在曲线的方程. 分析：这是一个轨迹问题,解题困难在于多动点的困扰,学生往往不知从何入手;其实,应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此,首先是选定参数,然后想方设法将点Q 的横、纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的.由于点),(y x Q 的变化是由直线AB 的变化引起的,自然可选择直线AB 的斜率k 作为参数,如何将y x ,与k 联系起来一方面利用点Q 在直线AB 上；另一方面就是运用题目条件：AP PB AQQB=-来转化.由A 、B 、P 、Q 四点共线,不难得到)(82)(4B A BA B A x x x x x x x +--+=,要建立x 与k 的关系,只需将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程,利用韦达定理即可.通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,在得到()k f x =到关于y x ,()k f 即可得到轨迹方程;简解：设(,1x A 解之得：)(84212121x x x +-= 1设直线AB 的方程为：1)4(+-=x k y ,代入椭圆C 的方程,消去y 得出关于 x 的一元二次方程：()08)41(2)41(412222=--+-++k x k k x k2∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=+.128)41(2,12)14(42221221k k x x k k k x x 代入1,化简得：.234++=k k x 3与1)4(+-=x k y 联立,消去k 得：().0)4(42=--+x y x 在2中,由02464642>++-=∆k k ,解得41024102+<<-k ,结合3可求得.910216910216+<<-x故知点Q 的轨迹方程为：042=-+y x 910216910216+<<-x .点评：由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中,难点在引出参,活点在应用参,重点在消去参.,而“引参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例5设直线l 过点P0,3,和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点,试求APPB的取值范围.分析：本题中,绝大多数同学不难得到：AP PB=BA x x -,但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个或某几个参数的函数关系式或方程,这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1: 从第一条想法入手,AP PB =BA x x-已经是一个关系式,但由于有两个变量B A x x ,,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆方程,消去y 得出关于x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.51-=PB AP ; )2y ,直线l 的方程为：3+=kx y ,代入椭解之得.4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称,点P 在y 轴上,所以只需考虑0>k 的情形. 当0>k 时,4959627221+-+-=k k k x ,4959627222+---=k k k x , 所以 21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 952≥k ,所以 51592918112-<-+-≤-k , 综上 511-≤≤-PB AP .分析2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有了,即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.简解2,消去y 得则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+2121x x x x 令λ=21x x ,在中,由判别式,0≥∆可得 952≥k , 从而有5362045324422≤+≤k k ,所以 536214≤++≤λλ,解得 551≤≤λ. 结合10≤<λ得151≤≤λ. 综上,511-≤≤-PB AP . 点评：范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解法.解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知着,树立全局观念,讲究排兵布阵,运筹帷幄,方能决胜千里.第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学求解的核心;以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程;在推理过程中,必须注意所使用的命题之间的相互关系充分性、必要性、充要性等,做到思考缜密、推理严密;通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力;例6椭圆长轴端点为B A ,,O 为椭圆中心,F 为椭圆的右焦点,且1=⋅FB AF 1=．Ⅰ求椭圆的标准方程；Ⅱ记椭圆的上顶点为M ,直线l 交椭圆于Q P ,两点,问：是否存在直线l ,使点F 恰为PQM ∆的垂心若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由;思维流程：ⅠⅡ消元,22a ba b>>又∵1=⋅FBAF即22()()1a c a c a c+⋅-==-,∴22a=故椭圆方程为2212xy+=Ⅱ假设存在直线l交椭圆于QP,两点,且F恰为PQM∆的垂心,则设1122(,),(,)P x y Q x y,∵(0,1),(1,0)M F,故1=PQk,于是设直线l为y x m=+,由2222y x mx y=+⎧⎨+=⎩得,2234220x mx m++-=∵12210(1)(1)MP FQ x x y y⋅==-+-又(1,2)i iy x m i=+=得1221(1)()(1)0x x x m x m-+++-=即212122()(1)0x x x x m m m++-+-=由韦达定理得解得43m=-或1m=舍经检验43m=-符合条件．点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零．例7、已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过(2,0)A-、(2,0)B、31,2C⎛⎫⎪⎝⎭三点．Ⅰ求椭圆E 的方程：Ⅱ若点D 为椭圆E 上不同于A 、B 的任意一点,(1,0),(1,0)F H -,当ΔDFH 内切圆的面积最大时,求ΔDFH 内心的坐标；ⅠⅡ41,914m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得11,43m n ==.∴椭圆E 的方程22143x y += ．Ⅱ||2FH =,设ΔDFH 边上的高为h h S DFH =⨯⨯=∆221当点D 在椭圆的上顶点时,h ,所以DFH S ∆．设ΔDFH 的内切圆的半径为R ,因为ΔDFH 的周长为定值6．所以,621⨯=∆R S DFH 所以R 的最大值为3．所以内切圆圆心的坐标为.点石成金：的内切圆的内切圆的周长∆∆⨯∆⨯=r S 21例8、已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ,过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点.Ⅰ若线段AB 中点的横坐标是12-,求直线AB 的方程；Ⅱ在x 轴上是否存在点M ,使MB MA ⋅为常数若存在,求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.思维流程：Ⅰ解：依题意,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为(1)y k x =+, 将(1)y k x =+代入5322=+y x , 消去y 整理得 2222(31)6350.k x k x k +++-=设1122() () A x y B x y ，，，，则4222122364(31)(35)0 (1) 6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， 由线段AB 中点的横坐标是12-, 得2122312312x x k k +=-=-+,解得k =,符合题意;所以直线AB 的方程为10x -+=,或10x +=. Ⅱ解：假设在x 轴上存在点(,0)M m ,使MB MA ⋅为常数.① 当直线AB 与x 轴不垂直时,由Ⅰ知 22121222635. (3)3131k k x x x x k k -+=-=++，所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+++22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++将(3)代入,整理得222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++2216142.33(31)m m m k +=+--+ 注意到MB MA ⋅是与k 无关的常数, 从而有761403m m +==-，, 此时4.9MA MB ⋅= ② 当直线AB 与x 轴垂直时,此时点A B ，的坐标分别为11⎛⎛-- ⎝⎝、,当73m =-时, 亦有4.9MA MB ⋅=综上,在x 轴上存在定点703M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,使MB MA ⋅为常数.点石成金：222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++例9、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点;Ⅰ求椭圆的方程； Ⅱ求m 的取值范围；Ⅲ求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程：解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y xⅡ∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距为m 又K OM =21m x y l +=∴21的方程为：由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m 且解得Ⅲ设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可 设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且 则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形⇔021=+k k例10、已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ,过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.231求双曲线的方程；2已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C,D 且C,D 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值. 思维流程： 解：∵1,332=a c 原点到直线AB ：1=-bya x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x2把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ,整理得07830)31(22=---kx x k .设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ,则即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kk k k 又 故所求k=±7.点石成金: C,D 都在以B 为圆心的圆上⇔BC=BD ⇔BE ⊥CD;例11、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1． Ⅰ求椭圆C 的标准方程；II 若直线:l y =k x +m 与椭圆C 相交于A 、B 两点A 、B 不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．思维流程：解：Ⅰ由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,由已知得：31a c a c +=-=，,222213a cb ac ==∴=-=，，∴椭圆的标准方程为22143x y +=． II 设1122()()A x y B x y ，，，．联立221.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,则又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-=++=+++=+． 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，,1AD BD k k ∴=-,即1222211-=-⋅-x y x y . 1212122()40y y x x x x ∴+-++=．2222223(4)4(3)1540343434m k m mk k k k--∴+++=+++． 2271640m mk k ∴++=． 解得：12227km k m =-=-，,且均满足22340k m +->． 当12m k =-时,l 的方程(2)y k x =-,直线过点(20)，,与已知矛盾； 当227k m =-时,l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．所以,直线l 过定点,定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点石成金：以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点⇔ CA ⊥CB; 例12、已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右两个焦点分别为21F F 、,点P 在双曲线右支上.Ⅰ若当点P 的坐标为)516,5413(时,21PF PF ⊥,求双曲线的方程；Ⅱ若||3||21PF PF =,求双曲线离心率e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程：解：Ⅰ法一由题意知,1PF )516,5413(---=c , 2PF )516,5413(--=c , 21PF PF ⊥,,021=⋅∴PF PF )5413(--∴c 0)516()5413(2=-+-c 1分解得5,252=∴=c c . 由双曲线定义得: ,2||||21a PF PF =-2222)516()54135()516()54135(2-+---+--=∴a 6)341()341(22=--+=,4,3==∴b a∴所求双曲线的方程为: 116922=-y x法二 因21PF PF ⊥,由斜率之积为1-,可得解. Ⅱ设2211||,||r PF r PF ==, 法一设P的坐标为),( y x , 由焦半径公式得aex ex a r ex a ex a r -=-=+=+= ||,||21,ca x a ex ex a r r 2212),(3,3=∴-=+∴= ,,2,2a c a a x ≥∴≥ c a ≥∴2,e ∴的最大值为2,无最小值.此时31,2222=-=-==e aa c ab ac , ∴此时双曲线的渐进线方程为x y 3±=法二设θ=∠21PF F ,],0(πθ∈.1当πθ=时, 22121423,2r c r r c r r =∴==+，且 , 22122r r r a =-=此时2242222===r r a c e . 2当），（πθ0∈,由余弦定理得: θθcos 610cos 2222222122212r r r r r r c -=-+=）（∴2cos 6102cos 6102222θθ-=-⋅==r r a c e ,)1,1(cos -∈θ ,)2,1(∈∴e ,综上,e 的最大值为2,但e 无最小值. 以下法一附：1.圆锥曲线的两个定义：1第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中,与两个定点F 1,F 2的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时,无轨迹；双曲线中,与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视;若2a ＝|F 1F 2|,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥|F 1F 2|,则轨迹不存在;若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支;如 1已知定点)0,3(),0,3(21F F -,在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF 答：C ；2方程8=表示的曲线是_____答：双曲线的左支 2第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率e ;圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化;如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P x ,y,则y+|PQ|的最小值是_____答：22.圆锥曲线的标准方程标准方程是指中心顶点在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程：1椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x 0a b >>⇔{cos sin xa yb ϕϕ==参数方程,其中ϕ为参数,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝10a b >>;方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么ABC ≠0,且A,B,C 同号,A ≠B;如1已知方程12322=-++ky k x 表示椭圆,则k 的取值范围为____答：11(3,)(,2)22---；2若R y x ∈,,且62322=+y x ,则y x +的最大值是____,22y x +的最小值是___22双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1,焦点在y 轴上：2222bx a y -＝10,0a b >>;方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么ABC ≠0,且A,B 异号;如1双曲线的离心率等于25,且与椭圆14922=+y x 有公共焦点,则该双曲线的方程_______答：2214x y -=；2设中心在坐标原点O ,焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______答：226x y -=3抛物线：开口向右时22(0)y px p =>,开口向左时22(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>,开口向下时22(0)x py p =->;3.圆锥曲线焦点位置的判断首先化成标准方程,然后再判断： 1椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上;如已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是__答：)23,1()1,( --∞2双曲线：由x 2,y 2项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上；3抛物线：焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向;特别提醒：1在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点F 1,F 2的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,a b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向； 2在椭圆中,a 最大,222a b c =+,在双曲线中,c 最大,222c a b =+;4.圆锥曲线的几何性质：1椭圆以12222=+by a x 0a b >>为例：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心0,0,四个顶点(,0),(0,)a b ±±,其中长轴长为2a ,短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：ce a=,椭圆⇔01e <<,e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁;如1若椭圆1522=+my x 的离心率510=e ,则m 的值是__答：3或325； 2以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__答：222双曲线以22221x y a b-=0,0a b >>为例：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==,一个对称中心0,0,两个顶点(,0)a ±,其中实轴长为2a ,虚轴长为2b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：ce a=,双曲线⇔1e >,等轴双曲线⇔e =e 越小,开口越小,e 越大,开口越大；⑥两条渐近线：by x a=±;如 1双曲线的渐近线方程是023=±y x ,则该双曲线的离心率等于______答：；2双曲线221ax by -=则:a b = 答：4或14；3设双曲线12222=-by a x a>0,b>0中,离心率e ∈2,2,则两条渐近线夹角θ的取值范围是________答：[,]32ππ；3抛物线以22(0)y px p =>为例：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2p,其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =,没有对称中心,只有一个顶点0,0；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：ce a =,抛物线⇔1e =;如设R a a ∈≠,0,则抛物线24ax y =的焦点坐标为________答：)161,0(a；5、点00(,)P x y 和椭圆12222=+by a x 0a b >>的关系：1点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b +>；2点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；3点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+< 6．直线与圆锥曲线的位置关系：1相交：0∆>⇔直线与椭圆相交； 0∆>⇒直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有0∆>,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故0∆>是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件；0∆>⇒直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有0∆>,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故0∆>也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件;如1若直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支有两个不同的交点,则k 的取值范围是_______答：-315,-1； 2直线y ―kx ―1=0与椭圆2215x y m+=恒有公共点,则m 的取值范围是_______答：1,5∪5,+∞；。
