对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用引言：数学作为高考的一门重要科目，其中不等式是数学中的一个重要概念。

在高考中，有一类不等式常常被提及，那就是对数均值不等式及其变式。

本文将对对数均值不等式及变式的应用进行探讨，并从深度和广度两个方面阐述其在高考压轴题中的实际应用。

一、对数均值不等式的定义与简单应用1.1 对数均值不等式的定义对数均值不等式是数学中的一类不等式，它是由均值不等式推导而来。

对于两个正数a和b，可以定义它们的几何平均数M和算术平均数A 为：\[ M = \sqrt{ab} \]\[ A = \frac{a+b}{2} \]而对于这两个平均数的自然对数，我们可以定义为：\[ m = \ln{M} \]\[ a = \ln{a} \]则对数均值不等式可以表示为：\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]即：\[ \frac{a+b}{2} \geq \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]1.2 对数均值不等式的简单应用对数均值不等式在求证过程中往往与其他的不等式相结合，从而达到简化证明的目的。

例：设a、b、c为正数，证明以下不等式：\[ \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\] 解：由对数均值不等式可得：\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]\[ \ln{(b+c)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{bc} \]\[ \ln{(c+a)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ca} \]将上述三个不等式相加，得到：\[ \ln{(a+b)} + \ln{(b+c)} + \ln{(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]\[ \ln{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]由对数的性质可得：\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \cdot \sqrt{2} \]将上述不等式代入原式，即可得到所要证明的不等式。

对数平均不等式链在高考压轴题中的研究温州市瓯海区第一高级中学浙江温州 325005在高三复习课中，处理试卷存在的问题时，试卷讲评是一种常见的教学形式，过去我常常是就题评讲，笼统评讲，尽管学生能够改正错误，解决试卷中存在的问题，理解一些基本的教学方法，但并没有从根本上解决问题，学生并没有真正理解数学，掌握数学方法，具体表现为试卷中出现的问题，错误会反复出现，多次订正仍不奏效。

针对这种现象，我们认真探索，尝试将一类题型归类到一起，以基本方法为主线，以微专题的形式讲评试卷。

1.1 “微专题”复习的认识“微专题”是相对于如“函数与方程思想”“数型结合思想”这样的综合性强，涵盖知识广，研究方法活的传统大专题而言的，通常是指围绕复习重点和关键点设计的，利用具有紧密相关性的知识和方法形成的专项研究，或结合学生的疑点易错点整合的，能够在短时间内专门解决的问题集，“微专题”复习具有“因微而细”“因微而准”“因微而深”的特点。

1.2 .“微专题”形式讲评试卷的设计原理波利亚曾经指出“良好的组织使得所提供的知识容易用上，这甚至比知识广泛更为重要”。

依托主题明确，针对性强的微专题进行复习，可以促进学生深度学习，从而有利于学生获得清晰的数学知识网络，系统的数学教学方法，加深对数学的理解，提高自身的数学素养。

一、案例分析【设计意图】由于a，b是两个独立的变量，如果可以变形为一个整体，那么就可以通过构造两个变量的比值或者差值通过换元转化为一元变量，利用导数证明不等式。

通过这个不等式的证明，引入双元换元定主元这一重要方法。

请同学们尝试证明【设计意图】由不等式（1）的证明方法类比，通过不等式（2）的证明同学们尝试巩固方法。

例1：（2017云南省高三区调研）已知函数（1）讨论函数的单调性（2）当函数有两个不相等的零点时，证明：【设计意图】例2，例3的设计针对模拟考试中学生存在的共性问题，设置“微专题”，让学生通过不同层次的练习，深刻理解方法本本质，通过反复训练感悟方法的应用。

极值点偏移——对数平均不等式（本质回归）笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链：， 不曾想，其中一部分竟可用来解极值点偏移问题． 对数平均不等式：对于正数，，且，定义为，的对数平均值，且，即几何平均数＜对数平均数＜算术平均数，简记为．先给出对数平均不等式的多种证法． 证法1（对称化构造） 设，则，，构造函数，则．由得，且在上，在上，为的极大值点．对数平，等价于，这是两个常规的极值点偏移问题，留给读者尝试．证法2（比值代换） 令，则，构造函数可证．证法3（主元法） 不妨设，111ln2e e 2ln b a b aa ab b ab ab b a b a ba b a b b b a a a ---⎛⎫-+⎛⎫<<<<<<⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ab a b ≠ln ln a ba b--a b ln ln 2a b a ba b -+<-()()(),,,G a b L a b A a b <<0ln ln a bR a b-=>-ln ln k a k b a b -=-ln ln k a a k b b -=-()ln f x k x x =-()()f a f b =()1kf x x'=-()0f k '=()f x ()0,k Z (),k +∞]x k =()f x 2a b k +<<22a b kab k +>⎧⎨<⎩1at b=>()()11ln ln 2ln 2b t b t a b a ba b t -+-+<<⇔<<-()2111ln ln 21t t t t t t --+⇔<⇔<<+a b >．记，，则 ，得在上，有，左边得证，右边同理可证．证法4（积分形式的柯西不等式） 不妨设，则由得，； 由得，．证法5（几何图示法） 过上点作切线，由曲边梯形面积，大于直角梯形面积，可得，即； 如上右图，由直角梯形面积大于曲边梯形面积，可得． 由对数平均不等式的证法1、2即可看出，它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题．再解例1：即，，则ln ln ln ln 0ln ln a b a b a b a b -<⇔-<⇔-<-()ln ln f a a b =-(),a b ∈+∞()210f a a '==<()f a (),b +∞]()()0f a f b <=a b >()()()()2ln ln ln 22ln ln ln e e 1aa axx bbbdxdxdx <⎰⎰⎰()()()2221ln ln 2b a a b a b -<--ln ln 2a b a ba b -+<-()222111a a ab b bdx dx dx x x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()()211ln ln a b a b b a ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭ln ln a ba b-<-()1f x x =2,2a b a b +⎛⎫⎪+⎝⎭()11ln ln 2a b a b dx a b a b x -⋅<=-+⎰ln ln 2a b a b a b -+<-1dx x=< ⎪ ⎪⎝⎭ln ln a b a b -<-()()12f x f x =1212ee x x x x --=1122ln ln x x x x -=-12121ln ln x x x x -=-（正数，的对数平均数为1），得，且．再解例2：即；由得，两式相减得 ，下面用反证法证明．若，则，，取对数得，则．而由对数平均不等式得，矛盾．再解例3：由得， ； ． 由对数平均不等式得，，得． 再解练习1：由得，则，1x 2x 1212x x +<<121x x <122x x +>()()()22e 10xf x x a x =-+-=()()22e 10xx a x -=->()()120f x f x ==()()()()122112222e 12e 1x x x a x x a x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()121212122e 2e 2x xx x a x x x x ---=-+-122x x +<122x x +≥()()12122e 2e 0x x x x ---≤()()12122e 2e x xx x -≤-()()1122ln 2ln 2x x x x -+≤-+()()21121ln 2ln 2x x x x -≥---()()()()()()()()121221121212222221ln 2ln 2ln 2ln 222x x x x x x x x x x x x ----+--+=<=-≤------1122ln ln x x x x m ==11ln m x x =22ln mx x =1212121212ln ln ln ln ln ln ln ln m mx x x x mx x x x x x --==---()12121212ln ln ln ln ln ln m x x m mx x x x x x ++=+=()()12121212ln ln 0,ln 0,ln 0ln ln 2ln ln m x x mm x x x x x x +-<<<<+()12122ln ln ln x x x x ->+=1221e x x <1122ln ln x ax x ax -=-1212110ln ln e x x a x x a -⎛⎫=<< ⎪-⎝⎭1212x xa +<得； ，已证． 再解例4：同例1，不再详述． 再解例5：同例1得到，则． 再解例7（2）：易得，则，则，． 再解例8：，，得，则，，．再解练习2：原题结论抄写有误，应更正为．即，，则 ①－②得，则（正数，的对数平均数为1）．，得，且．①＋②得，由此可得．解练习3：选项D ：即，则，，所以1222ex x a +>>()2121212122e ln ln 22x x x x a x x x x a>⇔+>⇔+>⇔+>121x x <12112x x +>>()1ln 1ln ln ln 0,1a b a b a b a b ++-==∈-1ln ln a b a b->-12a b+>2a b +>11222ln 2ln x ax x ax -=-()()12122ln ln x x a x x -=-12122ln ln x x x x a -=-1222x x a +>124x x a +>()121224262x x x x x a a a+=++>+=0f '<()0f x =()()2e 1e x a x a =->()ln ln 1x a x =+-()()1122ln ln 1 ln ln 1 x a x x a x =+-⎧⎨=+-⎩①②()()()()12121211ln 1ln 1x x x x x x -=---=---()()()()1212111ln 1ln 1x x x x ---=---11x -21x -()()121112x x -+-<<()()12111x x --<124x x +>()()12122ln ln 112ln x x a x x a +=+--<12ln 2x x a +<<0f '<()()12f x f x =121222ln ln x x x x +=+()12122112222ln ln x x x x x x x x --=-=121212ln ln 2x x x x x x -=-． 顺带地，也有． 极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，解题的关键有以下几步： （1）根据建立等量关系；（2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数； （3）通过恒等变形转化出对数平均数（的值或仍用，表示），代入对数平均不等式求解．细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键，最后再举一例． 例10设函数的两个零点是，，求证：． 证法1：首先易知，且在上，在上，不妨设，，构造函数可证．证法2：由题意得，两式相减得 ， ，，121212442x x x x x x <⇒>⇒+>>()()1212111212121111122x x x x x x x x x x x x +<⇒<+⇔--<⇔+>()()120f x f x ==1x 2x ()()2ln 2f x x ax a x =-+-1x 2x 1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭0a >()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭Z 1a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭]1210x x a <<<121212201022x x x x f a x x a ++⎛⎫'<⇔⋅->⇔+> ⎪⎝⎭()()2F x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()21112222ln 20ln 20x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩()()()()12121212ln ln 20x x a x x x x a x x --+-+--=()()()121212ln ln 2x x x x a x x a -=-++-()12121210ln ln 2x x x x a x x a -=>-++-所以．()()()()212121212122012x x a x x a x x a x x a +<⇒++-+->++-()()()12121212221002x x a x x x x x x f a +⎛⎫'⇒+-++>⇒+>⇒< ⎪⎝⎭。

35be b ba作c图图2a ~ba ~b对数平均数不等式的证明与应用0),P9+2&成立'a陀,0),0卩，+),幷 Tab彳二 t(t>l),设/"(t ) = 21nr<屮，即证In 牛2 b令》=心 > l),g(O = In 一^119 M 15%2 -119,9a;2 -18% -119 WO,% W 1 +攀2020年第4期中学数学研究安徽省合肥一六八中学(230000) 谈世勇故原不等式成立.注8：本题来源于对2019年秘鲁数学奥林匹克 试题的改进：已知 a,b,c 是满足 a + — = b + — = c + -7-=cab1的实数，求证：丨a I +1 6 1+1 cl < 5.令％ =丨 a I +1 b I +1 c 丨，贝J % > 0=(I al +1 6 1 +1 cl )2 = a 2 + 62 + c 2 + 2(1 I +al? + b 2 c 2 + c a + 2 I abc I (I al+l & I+I cl)=9 + J18 +6% ,(%+ 3)( %3 - 3%2 一 9% + 3) = 0, 3x(x + 3) = x 3 + 3,6x(x + 3) =(/+%'+ 125)-已知为两不等的正实数，我们称］"十人Ina - lnb为a,b 的“对数平均数”.它与a,b 的“几何平均数应”及“算术平均数巻乜”之间有如下不等关系：质 < 1 a < 屮•此不等式我们称之为“对Ina - lnb 2/(/)在(1,+8)递减，而/(I) =0,因此当/ >1时,O'则刃)所以 g(t)在(1, + 8 )递增，而g(l) = 0,因此当t > 1时川-半屮>0恒成立，即吕 <中成立.该不等式本身的证明是通过构造函数，借助于导数作为工具，利用函数单调性而得•在处理某些与 指数、对数相关的不等式问题时，可以尝试应用它来帮助思考分析.2.对数平均数的不等关系的几何证明所示,AP // BC // TU // KV,MN // CD // x 轴,A(a,/(%)在点《(号2焉)处的切线分别与AP,BQ 交于E,F,根据图1可知.2(f -1)数平均不等式”.1.对数平均不等式的代数证明不妨设a > b > 0,先证価< | a 十即证Ina - lnb1),则7(0 = y-l = - (^1)2 <0,所以/(f) = 2 I ni - / + *<0恒成立，即1咗<反比例函数/■(%)=—(X > 0)的图象，如图1X审、〒 a - b 再证 Ina - lnb・36 •中学数学研究2020年第4期因为S 曲边梯形4BQP > S 梯形4BFE = S 矩形ab /VM ，所以『^—dx = ln6 - Ina > - ？J a x as/ab ]—dx a XT （lnb — Ina ）=㊁S 曲边abqp ,=In ^ab - Ina S 梯^autp 二 +（+ + ^=）（_ °）二*.~由图2可知S 曲边梯形A&7P < S 梯形As ,所以lnb -V ab1 b - aIna < — .y/ab综上可得质 < 严二h<屮.Ina - lnb 23.对数平均数不等关系的应用举例例1(2010年天津高考理科21题)已知函数= xe~x (x e 7?).(I )求函数/仏)的单调区间和极值；(II )已知函数y = g (久)的图象与函数y =fM 的图象关于直线％二1对称，证明：当％〉1时， /(^) > g (光);(皿)如果久1工％2,且/(衍)二/(衍)，证明沦1 +光2 > 2.分析：(I )、( H)略•(皿)由前知,％ = 1是函数/(%)的极值点，不妨设0 <衍< 1 <悠，则根据 心)=心)，有*—2宀即宀诗按故要证f(x 0) <0,即证％ =法则这样高等数学的知识•调整思路,利用对数平均数不等式作如下尝试.将衍= x 2e~X2两边取自然对数得lrujj -x x =久1 + %2lnx 2 -慾，故]I/ = 1.由对数平均数不等式知久i - 久1 +心 一]-----}—二 1 < 一5—,即衍 + %2 > 2.llU¥ ] — 厶例2 (2011年辽宁高考理科压轴题)已知函数_/(%) - In% - ax 2 + (2 - a)x.(1) 讨论函数人小的单调性；(2) 设a > 0,证明：当0<力 < 丄时,/(丄+%)a a> y (+ - %)；(3)若函数y =只小的图象与％轴交于两点，线段中点的横坐标为％，证明：/(%0) < 0.分析:(1)、(2)略；(3)由(1)知a > 0时歹= 尸仏)在(0, + 8 )单调递减且f (+)=0.已知函数y =/&)的图象与％轴交于两点，设4(衍,0), B (X 2,0) ,0 < 幻 < * < %2,由/(«1 ) =/(%2)= 0 得lnx 1 - ax^ + (2 - a)%】二 0,lnx 2 - % + (2 - a)x 2 =0,故 In%] - lnx 2 +2(%i -％2)二 a (并-光；+%i -%2),所以「肌-血2 +2(衍7)2 2 , '久1_ %2 + %] _ X 2尤1 +禺 1 一>丄，即证2 a—=t(t > 1),则["2 =阿' 二衍+"(：+」罟,然后通过构I 一 久1 + %2 -匕 1造函数h(t) = a + 1?叫/ > 1)来解决.但如此需i — 1要两次构造函数过程繁琐，而且还要用到像罗必塔照常规思路，一般设e+%22---------<街+尤2\nx 1 - \nx 2lnx 1 - lnx 2 £x 1 - x 2（光]+ %2 ） +1，光1+ x 20—->街一％2 2不等式可得命题得证.只x 1 -光22需证卞<\nx 1 - liLr 2'由对数平均数。

对数平均数的不等关系的应用安徽省太和县太和中学 岳 峻 236600中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景是： 当0ba时，2221122ln ln a b a bb ababa b aab. 其中ln ln a ba b--被称之为对数平均值.一、借助于对数平均数的不等关系巧妙放缩 对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略）（3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析 （3）因为()1xg x x=+， 所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据③式中，1ln ln ,b a b a b令,1,a n b n 则1ln 1ln ,1n n n所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+， 将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++，故()()()()12gg g n n f n +++>-.评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握． 若根据③式中1ln ln ,bab a a令,1,a n b n 则1ln 1ln ,n nn可得：111ln 1123n n.若根据③式中111ln ln 2b a b a ab，又会得出怎样的结论呢？请看下例.例2 （2010年湖北）已知函数0b f x ax c a x的图象在点1,1f 处的切线方程为1yx ．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：1111ln 11.2321nn n nn解析 （1）1,12b a c a ；（3）根据③式中，111ln ln ,2b ab a a b令,1,a n b n 则111ln 1ln ,21n nn n所以111ln 2ln1,212111ln 3ln 2,223，111ln 1ln ,21n nnn将以上各不等式左右两边分别相加得：111111ln 1,223421n n n即111111ln11,234212n n n故1111ln 1.2321nn nn例3 （2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x≥时, ()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：21ln 24n na a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意；综上，λ的最小值是12．（2)根据③式中，111ln ln 2bab a a b，令,1,a n b n 则111ln 1ln ,21n nn n 所以111ln 1ln ,21n nnn 111ln 2ln 1,212n n n n111ln 3ln 2,223n n n n111ln 2ln 21,2212n n n n将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n nn n n n n n即111111ln 2,2123214nn nn n n故1111ln 21224n n n n++++>++． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111ln 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.例4 （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑ 解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+-．根据③式中，1ln ln ,ba b a b令21,21,a n bn 则22ln 21ln 21,21121n n n n2ln 3ln1,32ln 5ln 3,52ln 7ln 5,,72ln 21ln 21,211n n n将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 例5 （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略）（2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据 式中，ln ln ,b a ab令21,21,a n b n 则2ln 21ln 21,41n n n变形可得：222211142ln 21ln 21,444141n n n n n n n 则 212ln 3ln1,4411213ln 5ln 3,,4421211ln 21ln 21,441n n n n 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-，整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？二、多变量问题蕴含的对数平均数的不等关系高考数学时常出现多变量的综合问题，且多出现在压轴题的位置，由于含有多个变量，使题目显得繁杂混乱，此类问题对学生的阅读能力、转化与划归的思维灵活性要求较高，许多学生面对此类问题往往一筹莫展，难以找到解决问题的突破口．如何从繁乱中理出头绪并顺利解决问题呢？例6 (2015合肥最后一卷)已知函数()ln .f x x kx =-（1）（略）（2）若函数()y f x =的有两个相异的零点12,,x x 求证：212.x x e > 分析 第（2）问属于多变量的综合问题，如何破解此类问题呢？因为函数()y f x =的有两个相异的零点12,,x x 显然0k >，不妨设120,x x <<则()()120f x f x ==，亦即1122ln ln 0x kx x kx -=-=,且()2121ln ln k x x x x -=-，要证212,x x e >即证12ln ln 2x x +>，只需证()122,k x x +>即212112ln ln 2,x x x x x x ->-+亦即()2121212ln ln x x x x x x -->+ 待证不等式()2121212ln ln x x x x x x -->+就是不等式2ln ln a b a ba b +->-的“化妆”而已， 破解此类问题，需运用转化与化归的思想，通过构造两个变量的比值（或差值）的函数，使之减少变量的个数，化归为我们所熟悉的一元函数，最后利用导数证明不等式．待证式()2121212ln ln x x x x x x -->+转化为21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，令()211x t t x =>，则21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+等价于()21ln 1t t t ->+，令()()()21ln 11t g t t t t -=->+，则()()()()222114011t g t t t t t t -'=-=>++， 所以()g t 在区间()1,+∞单调递增，故()()10g t g >=，即()21ln 1t t t ->+成立，因此212x x e >得证．评注 以此为背景的两个变量的不等式的证明问题，其解题策略：先将待证不等式逆推分析，进行等价转化，使得其中的两个变量的特征显现出来，然后利用换元法将两个变量的比值（或差值）作为新的一元变量．这种解题策略是转化与化归、消元与换元、构造与求导等基本数学思想方法的有机整合，因此此类问题是高考考查的重点．对数平均数不等式链的证明方法与本例的证明方法是一样的．例7 （2014年绵阳三诊）已知函数()()()ln 0f x x a x a =+->有且只有一个零点．（1）（2）略（3）设()(),h x f x x =+对任意()()1212,1,x x x x ∈-+∞≠， 证明：不等式()()1212x x h x h x ->-恒成立．解析 （3）易求1a =，()()ln 1,h x x =+不妨设211x x >>-， 待证不等式等价于()()()()212111ln 1ln 1x x x x +-+>+-+根据④中的ln ln b a ab ba， 令211,1bx a x 即可．评注 本题原证的方法是令()21111x t t x +=>+，将待证不等式转化为()ln 1t t >>，()ln 1t t >>即可．想一想，若()1212,1,,x x x x ∈-+∞≠时，()()2112211ln 1ln 12x x x xx x -+<++-+是否恒成立呢？例8 (2015年江南十校联考)已知函数()ln .f x x ax =-（1）略；（2）若函数()y f x =的图像在1x =处的切线平行于x 轴,且()()()112212,,,A x y B x y x x <是函数()y f x =的图像上任意两个不同的点，设直线AB 的斜率为k ，证明:21111 1.k x x -<<- 解析 由题意可知()1,f x a x'=- ()110, 1.f a a '=-==()ln .f x x x =- ()()2211212121ln ln ln ln 1,x x x x x x k x x x x ----==---要证21111 1.k x x -<<-只需证21111,k x x <+<即212211ln ln 11,x x x x x x -<<-根据④中的ln ln b aba b a， 令21,bx a x 即可．对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智。

对数平均数的不等关系链的应用中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学时指出，其压轴题的理论背景是： 当0b a >>时，2112ln ln a b b ab a b aa b+->>>>-+.其中ln ln a ba b--被称为对数平均值.对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．1 ()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++L与()n f n -的大小，并加以证明．解析 （3）因为()1xg x x=+， 所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭L L L ， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12gg g n +++L 与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n Λ与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+L ， 将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++L ， 故()()()()12gg g n n f n +++>-L .评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L .例2 （2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑ 解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+-L ． 根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+L ， ()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证.()0ln ln b a b a b a->>-的应用 例3 设数列{}n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．解析 根据0b a >>ln ln b ab a--，即ln ln b a b a -->，令1,,b n a n =+=则()ln 1ln n n +->=n a >>，易证()ln 1n S n <+．3 ()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用 例4 设数列{}n a 的通项111123n a n=++++L ，证明：()ln 21n a n <+．解析 根据0b a >>时，2ln ln a b b a b a+->-，即()2ln ln b a b a a b -->+，令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21n a n <+． 4()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用例 5 （2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略） （3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L 解析 （1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ， ()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 将以上各不等式左右两边分别相加得：()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L 即()()111111ln 11,234212n n n +<++++++-+L 故()()1111ln 1.2321nn n n ++++>+++L例6 （2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++L ，证明：21ln 24n na a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意； 综上，λ的最小值是12．（2) 当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++L ()111ln 2ln 21,2212n n n n骣÷ç--<+÷ç÷ç桫- 将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣÷ç-<++++++÷ç÷ç桫+++-L 即111111ln 2,2123214n n n n n n骣÷ç<++++++÷ç÷ç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++L ． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x ++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111ln 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.5)0ln ln b ab a b a->>>-的应用例7 （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-L 对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据0b a >>时，ln ln b ab a->-ln ln b a -<令21,21,b n a n =+=-则()()ln 21ln 21n n +--<变形可得：()()2111ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<=臌-则 ()212ln 3ln1,4411-<?()213ln 5ln 3,,4421-<?L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌- 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-L 对一切正整数n 均成立． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a 的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智。

对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用一、引言在高中数学的学习过程中，对数均值不等式是一个重要且常见的概念。

它不仅在数学理论中有着广泛的应用，更是在高考压轴题中经常出现的考点之一。

本文将深入探讨对数均值不等式及其变式在高考压轴题中的应用，希望能够帮助读者更深入地理解这一概念，并为高考做好充分的准备。

二、基本概念所谓对数均值不等式，即指若a>0，b>0，则有ln(a) + ln(b) ≥2ln(√ab)，这是对数均值不等式的基本形式。

对数均值不等式的变式有很多种，常见的有加权形式、n元形式等。

在高中数学的学习中，对数均值不等式主要被用来证明不等式或者进行估值。

三、应用举例1. 高考压轴题一题目：已知a，b，c为正实数，求证：(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥(a^2b + b^2c + c^2a)/3。

解析：根据对数均值不等式，可知ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3) ≥3ln(abc)，即3ln(abc) ≤ ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3)。

两边同时除以3，得ln(abc) ≤ (ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3))/3。

由于ln是增函数，故ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3) ≥ ln(a^2b) +ln(b^2c) + ln(c^2a)。

代回，得ln(abc) ≤ ln(a^2b) + ln(b^2c) +ln(c^2a)/3，即abc ≤ (a^2b + b^2c + c^2a)/3。

又由于a，b，c为正实数，所以(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ (a^2b + b^2c + c^2a)/3。

2. 高考压轴题二题目：证明当x，y > 0时，有x/y + y/x ≥ 2。

解析：根据对数均值不等式，可知ln(x) + ln(y) ≥ 2ln(√xy)，即ln(x) + ln(y) ≥ ln(x) + ln(y)。

对数均值不等式推导对数均值不等式是高中数学中的一个重要定理，它在数学证明和问题求解中具有重要的作用。

在本文中，我们将会对对数均值不等式进行推导，帮助读者更好地理解和运用这一定理。

一、基本概念在推导对数均值不等式之前，需要了解一些基本概念。

其中，最重要的是算术平均数和几何平均数。

算术平均数是指若干个数之和除以这些数的个数。

设有n个数a1、a2、a3、……、an，则它们的算术平均数为：(a1+a2+a3+……+an)/n。

几何平均数是指若干个正数的乘积的n次方根。

设有n个正数a1、a2、a3、……、an，则它们的几何平均数为：(a1×a2×a3×……×an)的1/n次方。

根据这些基本概念，我们可以了解到，算术平均数是所有数的和平均分配的结果，而几何平均数是所有数的乘积开n次方的结果，代表这些数的乘积的n个根之一。

两者常常被用来描述某些数据的平均值和变化趋势，例如财务分析中的平均收入和增长率等。

二、对数均值不等式了解完基本概念后，我们可以开始推导对数均值不等式了。

对数均值不等式又称为AM-GM不等式（算术平均数-几何平均数不等式），是高中数学中一个重要的定理。

对于任意n个正实数a1、a2、a3、……、an，有以下不等式成立：(log a1 + log a2 + … + log an)/n ≤ (a1 × a2 × … × an)的1/n的对数其中，∑log(ai)表示对数运算后的所有数之和，n代表有n个数参与运算。

这个重要的不等式意味着，若干个正数的算术平均数不大于它们的几何平均数的对数。

为了方便理解，可以将上述不等式分解开来：log[（a1 × a2 × … × an)的1/n] ≤ (log a1 + log a2 + … + log an) / n两边同时用指数运算还原，则有：(a1 × a2 × … × an)的1/n ≤ (a1 + a2 + … + an) / n这个不等式也是对数均值不等式的常用表述。

对数平均数不等式链的几何证明及变式探究2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是:平均数”.安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解1对数平均数不等式链的几何证明1如图，先画反比例函数f（X ）= —（X >0 ）的图象，再画其他的辅助线，其中Xf1MN 11 CD ll x 轴，A(a , 0 ), P (a,—AP,BQ交于点E,F，则根据左图可知:ABFEb 1 2所以J -dx= In b- In a >X因为2曲边梯形AUTPJ -dx= In Tab- In a 二Q X1 12(lnb-In a) = 2边梯形ABQP，S梯形AUTP= 2l+iw后-a)=7 需扛ABCD，设b> a> 0 ,则b> a+^>2b- a -- >In b- In a 'Tab^-2—1 1a b> a，其中a —b----------- 被称为“对数In a — In b 中学数学教育专家安振平在剖析.基于此，笔者进AP II BC U TU II KV，.设函数f （X）在点(b- a).a+ bS矩形ABNM，因为S a边梯形ABQP > S梯形K F?,走〕处的切线分别与直线b - a 而根据右图可知：S 曲边梯形AU TPv S 梯形AUT P ,所以Inb- I nav —.J ab综上，结合重要不等式可知:X — X求证：In X 2 T 门％<^^^.VX 1X2知 X 2 > X 1 > 0，求证：1一互 < I n X2T n % <X 21(b- a )v4vInb- b' ' a+ bInavb-a屁<1骣 2?吿+1 j b- a )v1(b-a)，即 b>U b- a >2 In b- In aT ab > 2------- > 1 1 —+ - a ba (b> a> 0).2对数平均数不等式链的变式探究 近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如年新课标I 、 2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的 . 2010年湖北卷、 2012年天津、2013 为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式 ，记为①式；将 In b- In a b- a ---- > In b- In a J Ob ，记为②式；将b> ln b- b- a ---- > In a，记为③式 变式探究1:取a = X i ,b = X 2，则由①知:X 1 +x 2 2X 2-X 1 >In X 2 Tn x 1于是，可编制如下试题：已知X 2 >X i >0， 求证：lnx 2-lnx .>2(X2—X1)X 1 +X 2变式探究2 :取a=x ,,b=X 2，则由②知:X 2 -X 1 In X 2 Tn x 1>7x1x r .于是，可编制如下试题：已知另外，根据S 矩形ABQX < S 曲边梯形ABQP <S弟形ABQP< S 矩形ABYP ，可得:[(b- a ) v Inb- Inav + - j (b- b 2?® b ■ a)<^(b- aa ).X 2 AX j >0， 变式探究 3:取a =捲山=X 2，则由③知:2>—-—.于是，可编制如下试题：已In X 2 Tnx 1 丄 + 丄X 1 X 2X 2> X 2-X 12 2X 2-X 12X 1X 2变式探究4：取 a =X 1 +1,b =X 2 +1，则由①知：（X1+1）+（X2+1）A 区+“^为十.于是，可 " In （X 2 +1） -1 n （捲 +1）编制如下试题: 对任意X i , X 2 € （ —h ），且 X i 工 X 2 , X 2 — Xi X i +X 2求证：In （X 2 +1）-Ind j +1） V —厂 +1.变式探究 5：取a=X i +1,b =X 2 +1，则由②知:朋：肌时丙.于是，可编制如下试题: 对任意X i , X 2 匸（—1, ，且 X i H X 2 , X 2 - X1求证： -------- -- ------- > J X 1X ^ X <l- X ^1 . In （X2+1）—I n （X 1 +1） J变式探究 6:取 a +1,b =X 2 +1，则由③知:一（X2+1） —（X1+1）2 X <H 1 > -------------------------- > ------------ ---In （X2+1）—I n^ +1） 1 + 1人+1 X2+1是，可编制如下试题：对任意 X 1,X 2 忘(一1,母)，且 X 1 H X 2，求证: X 2 —X1 2（X 1+1）（X 2+1）X2 +1 > ---------- = --- : -------- > In （X 2 +1）—I 门（为 +1） 为 +X 2 +2变式探究 7：取a =为-1,b =X 2 -1，则由①知: （x 1 1）rx 2-1）于是, In （X 2—1） —I n （X 1 —1） 编制如下试题: 对任意 X 1, X 2 € （1,邑），且 X 1 HX 2，求证: .4—1. In （X 2 -1） —I 门（为-1） 2 变式探究 =X 1 -1,b =X 2 —1，则由②知:（X 2 -"-（花 一1） In （X 2 -1） jnd j T ） > J （X 1 -1）（X 2 -1）.于是， 编制如下试题: 对任意 X 1,X 2 巳1,+^），且 X 1 KX 2，求证: X 2 — X1 In （X 2 T ）Tn （为 T ） > J X ,X2 - % - X 2 +1 .变式探究 9：取 a = X 1—1,b = X 2-1，则由③知：X 2_1 A （X 2 -“-（捲-1）In （X 2 -1） —In （X 1 -1） +为 一1 X 2 -1可编制如下试题：对任意 X 1,X ^(1^)，且X 1 H X 2， 求证: X 2 十化-1）“-1）In （ X 2 -1） Tn （ X i-1） >2（X 1-1）（X 2-1） X j + X 2 -2X1 变式探究 10：取a=e X1,b=e'严，则由①知：— +e X 22A 兰三.于是，可编制如下试题：对任意X 2 -X 1总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、 名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景,正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学 机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我 们对问题信息的审视和挖掘 .水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学 思维素养的有效途径.【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和 关注，我们将会做得更好】X j , X 2 壬 R ，且 X 2 >x 1，求证: X 2 X 1 X 2e -e 1~> X 1X2e^e "2变式探究11：取a =e Xl ,b XX 1= e X2，则由②知：eeX2.于是，可编制如下试题：对任意X i ,X 2 迂 R ，且 X 2 >X i ，求证: (X 2-X i 丫尹2变式探究12 ：取a = e x , b X 2 -X i<(e J”eX2e X2-e "1> -------------------X 2 — X12> 一2一 .于是，可编制如下试题：对 丄+―1X ie eX 22eXi恢e X 2 _e X 1任意 X2 R ，且 X ^X1，求证：e X2>K 〉E-X 22e X11-严 1 e* + e X^ X 2 -X-i V。

对数平均不等式的证明及应用1. 引言1.1 引言对数平均不等式是数学中的一个重要不等式，它在数学分析、金融工程、统计学等领域都有广泛的应用。

引入对数平均不等式的概念，可以帮助我们更好地理解数学中的不等式和关系。

对数平均不等式的引入可以追溯到19世纪初，由苏黎世数学家萨尔瓦多·卡梅尼奥提出。

卡梅尼奥定理是对数平均不等式的一个具体应用，它指出如果两个正数的几何平均等于它们的算术平均，那么这两个数相等。

这个定理在数学推导和证明过程中起着至关重要的作用。

通过对数平均不等式的研究，我们可以看到数学中的很多不等式和关系都具有一定的规律性和联系性。

不等式的引入和推导过程不仅展示了数学的严谨性和逻辑性，还有助于我们对数学中的各种问题有更深入的理解和应用。

在接下来的内容中，我们将分别介绍对数平均不等式的证明和应用，为读者提供更详细的信息和实例。

通过深入学习和探究对数平均不等式，我们可以更好地应用它们解决实际问题，提高数学能力和思维能力。

到此结束。

2. 正文2.1 对数平均不等式的证明对数平均不等式是一种经典的数学不等式，广泛应用于数学分析、概率论等领域。

在证明这一不等式时，我们首先需要引入自然对数的定义，即ln(x)表示以e为底的x的对数。

然后我们可以利用泰勒展开式和微积分知识进行推导，具体步骤如下：我们考虑函数ln(x)的泰勒展开式：ln(x) = (x-1) - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - ... + (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n + ...将上述式子代入ln(x) + ln(y) - 2ln(sqrt(xy))，即可得到对数平均不等式的形式。

我们通过泰勒展开式和近似推导得到了对数平均不等式的形式，进而证明了其成立性。

在实际的应用中，对数平均不等式通常用于上界估计和概率计算，具有重要的理论价值和实际意义。

2.2 对数平均不等式的应用对数平均不等式是数学中常见的不等式之一，它有着广泛的应用。

一个不等式链的证明及其变式探究童永奇 陕西省西安市临潼区马额中学 710609水有源、题有根，茫茫题海，寻根悟法方是岸.不等式链2ln ln a b a b a b +->>-成立的前提条件是0,0,a b a b >>≠，其中2a b + 叫做,a b叫做,a b 的几何平均数，ln ln a b a b --不妨叫做,a b 的对数平均数.一、不等式链的证明（1）先证明结论：若0,0,a b a b >>≠，则2ln ln a b a b a b +->-.① 不妨设0a b >>，则欲证2ln ln a b a b a b +->-，即证2()ln ln a b a b a b-->+，即证11ln 21a a b a b b->+. 设(1)a t t b =>，则即证11ln 21t t t ->+. 令函数11()ln ,121t f t t t t -=->+，则因为22212(1)'()02(1)2(1)t f t t t t t -=-=>++，所以函数(t)f 在(1,)+∞上单调递增，所以(t)(1)0f f >=，即11ln 21t t t ->+.故得证. （2）再证明结论：若0,0,a b a b >>≠，则ln ln a b a b ->-. ② 不妨设0a b >>，则欲证ln ln a b a b ->-，即证ln ln a b -<，即证1ln a a b -<(1)u u =>，则即证221ln u u u -<，即证12ln u u u<-. 令函数1g()2ln ,1u u u u u=-+>，则因为22221(1)g'()10u u u u u -=--=-<，所以函数g()u 在(1,)+∞上单调递减，所以g()(1)0u g <=，即12ln u u u<-.故得证. 综上，由（1）、（2）可知，所给不等式链成立.二、不等式链的变式探究探究1：取12,a x b x ==，则由①知：1212122ln ln x x x x x x +->-.于是，可编制如下试题：已知120x x >>，求证：1212122()ln ln x x x x x x -->+. 探究2：取12,a x b x ==，则由②知：1212ln ln x x x x ->-于是，可编制如下试题：已知120x x >>，求证：12ln ln x x -<探究3：取121,1a x b x =+=+，则由①知：121212(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)x x x x x x ++++-+>+-+.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：1212121ln(1)ln(1)2x x x x x x -+<++-+. 探究4：取121,1a x b x =+=+，则由②知：1212(1)(1)ln(1)ln(1)x x x x +-+>+-+于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈-+∞，且12x x ≠，求证：1212ln(1)ln(1)x x x x ->+-+. 探究5：取121,1a x b x =-=-，则由①知：121212(1)(1)(1)(1)2ln(1)ln(1)x x x x x x -+---->---.于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：1212121ln(1)ln(1)2x x x x x x -+<----. 探究6：取121,1a x b x =-=-，则由②知：1212(1)(1)ln(1)ln(1)x x x x --->---于是，可编制如下试题：对任意12,(1,)x x ∈+∞，且12x x ≠，求证：1212ln(1)ln(1)x x x x ->---探究7：取12,x x a e b e ==（即设12ln ,ln a x b x ==），则由①知：1212122x x x x e e e e x x +->-.于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且12x x >，求证：1212122x x x x x x e e e e -->+. 探究8：取12,x x a e b e ==（即设12ln ,ln a x b x ==），则由②知：1212x x e e x x ->-.于是，可编制如下试题：对任意12,x x ∈R ，且12x x >，求证：1212122x x x x e e x x e +--<.温馨提示：上述变式探究问题均可参考前述不等式链的证明思路——转化、换元、构造、求导，加以具体证明.有兴趣的读者，请逐个证明之，必将大有收获，感悟许多！ 【参考文献】肖斌，把“冰冷的美丽”变成“火热的思考” [J]，教学考试（高考数学），2014，（ 5 ）.。

对数平均不等式的证明
数学中的最重要的一个基础结论可能就是「对数平均不等式」（Logarithmic Average Inequality），也称为Gershgorin不等式或者原子不等式，它是指：
如果对任意一组非负数（a1，a2，... aN），其对数平均数 x 表示为：
X=log(a1)+log(a2)+...+log(aN) N
该不等式可以被用来证明由一组实数构成的多项式的几何平均数大于或等于该多项式的算术平均数。

证明过程
设ai（i=1,2,...N）是一组非负数，将它们表示成如下形式：
a1=x, a2=x^2, a3=x^3, ..., aN=x^N
此时，对数平均数 X 可以写成：
所以，对数平均不等式（Logarithmic Average Inequality)成立。

该不等式的另一个有用的性质是它还可以作用于具有绝对值的数上，例如：
这里X≥|log(a1*a2*...*aN)|。

对数平均不等式的证明及应用【摘要】对数平均不等式是数学中的重要不等式之一，它在分析和应用中都有着广泛的用途。

本文通过对对数平均不等式的证明和应用进行深入探讨，展示了其在数学领域的重要性和实用性。

文章介绍了对数平均不等式的证明过程，详细解释了其推导和原理。

接着，分析了对数平均不等式在实际问题中的应用，展示了其在求解各种数学问题中的价值。

通过实例分析和一般形式的推广，展示了对数平均不等式在不同领域的灵活运用。

文章探讨了对数平均不等式与几何平均和算术平均的关系，为读者提供了更深入的理解。

结论部分总结了对数平均不等式的重要性、在数学中的应用和意义，强调了其在数学研究和实际问题中的不可或缺性。

通过本文的研究，读者可以更好地认识和应用对数平均不等式，提升数学问题的解决能力和分析水平。

【关键词】对数平均不等式、证明、应用、实例分析、推广、几何平均、算术平均、关系、重要性、数学应用、意义1. 引言1.1 对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式是数学中经常用到的一个重要不等式，其证明及应用涉及到多个领域，包括数学、物理、经济等。

本文将对对数平均不等式进行详细的介绍和分析。

我们将详细介绍对数平均不等式的证明过程。

通过推导和分析，我们可以明确对数平均不等式的成立条件和相关性质。

接着，我们将探讨对数平均不等式在实际问题中的应用。

这些应用涉及到各种不同的情境和领域，例如在统计学中的数据分析、在金融学中的投资决策等。

在实例分析部分，我们将通过具体的案例来展示对数平均不等式的具体应用以及其解决问题的能力。

我们还将对对数平均不等式进行一般形式的推广，以便更好地理解这一不等式的应用范围和特点。

我们将讨论对数平均不等式与几何平均与算术平均的关系，进一步揭示其在数学中的重要性。

结合以上内容，我们将总结对数平均不等式在数学中的应用和意义，以及其在实际问题中的重要性和价值。

通过本文的介绍和分析，相信读者们对对数平均不等式的理解和应用能力将会得到提升。

对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a ba b+->>-ln ln a b a b --被称之为对数平均数.童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV ||||||，MN CD x ||||轴，(),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,T 作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F，根据左图可知，对数平均值的概念ab ba ba b a b a >-->+>ln ln 2.0,则其中ba ba ln ln --被称之为对数平均值，对数平均值在现行高中教材中没有出现，但其蕴含着高等数学的背景，近几年的高考压轴题中，频频出现，对数平均值的不等式链aba ab ba b a b a b a >+>>-->+>112ln ln 2.0,则下面证明b a ba b a b a ln ln 2.,0,-->+>证明：ba ba b a b a ln ln 2.,0,-->+>等价于)1(2ln)1()(2)ln )(ln (->+⇔->-+ab a b a b a b b a a b构造函数：xx g x x x x g xx x x x x x x f x x x x x f ln )(,1ln )(1ln 21ln )()1()1(2ln )1()(='+-=+-=-++='>-++=所以：)1()(,1)(,0)(0)1()(,1)(=>+∞>'=>+∞f x f x f x f g x g x g ）单调递增，在（）单调递增，在（2不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．2.1()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1（2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=，其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略）（3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，并加以证明．解析（3）因为()1x g x x=+，所以()()()1211112231231n g g g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭，而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12gg g n +++ 与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可．根据0b a >>时，ln ln b ab b a->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+ ，将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++ ，故()()()()12g g g n n f n +++>- .评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a nb n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L .例2（2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑解析（3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+- ．根据0b a >>时，ln ln b ab b a->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L ()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+ ，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证.2.2()0ln ln b ab a b a->>>-的应用例3设数列{}n a 的通项n a =，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1n S n <+．解析根据0b a >>时，ln ln b ab a->-，即)ln ln b a -->，令1,,b n a n =+=则()ln 1ln n n +->=n a >>，易证()ln 1n S n <+．2.3()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用例4设数列{}n a 的通项111123n a n=++++ ，证明：()ln 21n a n <+．解析根据0b a >>时，2ln ln a b b a b a+->-，即()2ln ln b a b a a b -->+，令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21n a n <+．2.4()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用例5（2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略）（3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++³+L 解析（1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣ç-<+-çç桫，令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣ç+-<+çç桫+所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ，()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+将以上各不等式左右两边分别相加得：()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L 即()()111111ln 11,234212n n n +<++++++-+L 故()()1111ln 1.2321nn n n ++++>+++L例6（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n n a a n-+>．解析（1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意；综上，λ的最小值是12．（2)当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫，令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+所以()111ln 1ln ,21n n n n 骣ç+-<+çç桫+()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣ç+-+<+çç桫++L ()111ln 2ln 21,2212n n n n 骣ç--<+çç桫-将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣ç-<++++++çç桫+++-L即111111ln 2,2123214n n n n n n骣ç<++++++çç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++ ．评注本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2ln 1022x x x x x ++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111ln 12121k k k k k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.2.5)0ln ln b ab a b a->>>-的应用例7（2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+．（1）（略）（2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯- 对一切正整数n 均成立．解析（2）根据0b a >>时，ln ln b ab a->-ln ln b a --<令21,21,b n a n =+=-则()()ln 21ln 21,n n +--<变形可得：()()21112ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<=<臌-则()212ln 3ln1,4411-<´-()213ln 5ln 3,,4421-<´-L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌-将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯- 对一切正整数n 均成立．评注本题提供标准答案是借助于第一问的a 的最小值2a =-时，12ln(1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征，令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-，整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.。