一道关于函数周期性的典型错题

函数的周期性练习题函数是数学中的重要概念之一，它描述了输入和输出之间的对应关系。

在数学中，周期性函数是一类特殊的函数，它们具有周期性的特征。

本文将为大家介绍一些与函数周期性相关的练习题，以帮助大家更好地理解和应用函数的周期性。

练习题1：正弦函数的周期性考虑函数y = sin(x)。

我们知道正弦函数是一个周期为2π的函数，即在区间[0, 2π]内完整地重复自身。

请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，sin(x)的取值范围是多少？2. 在区间[π, 2π]内，sin(x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，sin(x)的取值范围是多少？4. 在区间[0, 8π]内，sin(x)的取值范围是多少？练习题2：余弦函数的周期性考虑函数y = cos(x)。

余弦函数也是一个周期为2π的函数，它与正弦函数在图像上有类似的特点。

请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，cos(x)的取值范围是多少？2. 在区间[π, 2π]内，cos(x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，cos(x)的取值范围是多少？4. 在区间[0, 8π]内，cos(x)的取值范围是多少？练习题3：周期性函数的图像变换现在考虑函数y = sin(x) + 1。

这个函数是对正弦函数进行了图像上的平移。

请回答以下问题：1. 在区间[0, 2π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？2. 在区间[0, 4π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？3. 在区间[0, 8π]内，sin(x) + 1的取值范围是多少？练习题4：周期性函数的复合考虑函数y = sin(2x)。

这个函数是对正弦函数进行了图像上的压缩。

请回答以下问题：1. 在区间[0, π]内，sin(2x)的取值范围是多少？2. 在区间[0, 2π]内，sin(2x)的取值范围是多少？3. 在区间[0, 4π]内，sin(2x)的取值范围是多少？练习题5：周期性函数的复合和平移考虑函数y = cos(2x - π)。

（函数的周期性）：周期函数的定义周期函数是高中阶段需要掌握的一种重要函数类型，最常见的为三角函数，而除去三角函数，还有很多具有周期性的函数，今天我们就借助几个例子一起来看一看。

同学们要着重思考的是：如何通过定义判断一个函数是周期函数？周期函数有哪些性质？先看例题：例1：设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，242,10(),01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩ ，则3()2f =__________.由题意有：(2)()f x f x +=23111()(2)()4()212222f f f =-+=-=-⨯-+= 所以3()12f =注意：分段函数中，要注意函数的取值范围。

再看一个例题： 例2：设函数3,05()(),55f x f x x x x ⎧≤<=⎨≥-⎩，则(2015)()f =解：当x ≥5 ()(5)f x f x =-，即T =5(2015)(5403)(0)f f f =⨯=所以(2015)0f =总结：1.周期函数性质()()x T f x f +=()()x T f x f -=2.若()()()f x a f x b a b ++≠＝则f (x )是周期函数，其中一个周期是.||T a b ＝－3.对比：若()()f x a f x b -＋＝＋则函数f (x )图象的对称轴2a b x +=同号看周期，异号看对称练习：1.设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数 则下列结论错误的是( )A.D (x )的值域为{0,1}B. D (x )是偶函数C. D (x )不是周期函数D. D (x )不是单调函数。

函数的周期性与常考题【知识点分析】：函数的周期性设函数y＝f(x)，x∈D，如果存在非零常数T，使得对任意x∈D，都有f(x＋T)＝f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期．(D为定义域)1. 型的周期为T。

定义：对x取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，T叫函数的周期。

【相似题练习】1．定义在R上的函数f（x）满足：f（x+6）＝f（x），当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）＝﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）＝x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝（）A．336B．337C．338D．3391．已知定义在R上的函数y＝f（x）对于任意的x都满足f（x+2）＝f（x）．当﹣1≤x＜1时，f（x）＝x3．若函数g（x）＝f（x）﹣log a|x|至少有6个零点，则a的取值范围是．1．已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x）+2，若函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则f（2014）＝（）A．﹣2+2B．2+2C．2D．【知识点分析】：2. 型的周期为。

证明：。

特别得：f（x-a）＝f（x+a）型，的周期为2a。

【相似题练习】2．已知偶函数y＝f（x）满足条件f（x+1）＝f（x﹣1），且当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝3x+，则f（5）的值等于．1．已知函数f（x）的定义域为R．当x＜0时，f（x）＝x3﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝﹣f（x）；当时，，则f（2019）＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【知识点分析】：3. 型的周期为2a。

证明：【相似题练习】1．已知定义在R上的函数f（x﹣1）的对称中心为（1，0），且f（x+2）＝﹣f（x），当x∈（0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（x）在闭区间[﹣2014，2014]上的零点个数为．1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x+1）＝﹣f（x﹣1），若f（﹣1）＞1，f（5）＝a2﹣2a﹣4，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（﹣3，1）D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）1．已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+6）+f（x）＝2f（3），y＝f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且f （4）＝4，则f（2012）＝（）A．0B．﹣4C．﹣8D．﹣161．已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称图形，且满足，f（﹣1）＝1，f（0）＝﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【知识点分析】：4. 型的周期为2a。

专题03 函数的奇偶性、对称性、周期性【方法点拨】1.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . 2.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；一般的，若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0恒成立，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称. 3. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍．(注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)4. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化.【典型题示例】例1 （2022·全国乙·理·T12） 已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（ ）A. 21-B. 22-C. 23-D.24-【答案】D【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=-，()()()462210f f f +++=-，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【解析】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称， 所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-， 所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ， 所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()2211235(1)2k f f f f f f k =⎡⎤++++++⎣⎦=∑()()()4622f f f ⎡⎤+++⎣⎦13101024=----=-.故选：D例2 （2022·新高考Ⅱ卷·T8） 若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A. 3-B. 2-C. 0D. 1【答案】A【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【解析】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=， 令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =， 令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-， 所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--， 故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．例3 （2021·新高考全国Ⅱ卷·8）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A. 102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B. ()10f -=C. ()20f =D.()40f =【答案】B【分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【解析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.例4 （2021·全国甲卷·理·12）设函数()f x 的定义域为R ，()1fx +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 94-B. 32-C.74 D.52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．例5 已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________. 【答案】4【分析】由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12＝＝，由函数 f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心＝＝，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )＝＝＝＝2，＝＝＝＝f (x )＝＝＝即可.【解析】＝＝＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝＝＝＝f (＝x ＝1)＝＝f (x ＝1)＝＝＝＝f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝ f ⎝⎛⎭⎫12＝x ＝＝＝f (1＝x )＝f (x )＝＝＝f (x ＝1)＝＝f (x )＝＝f (x ＝2)＝＝f (x ＝1)＝f (x )＝ ＝＝ ＝＝f (x )＝＝＝＝2＝＝＝＝＝＝＝＝x ＝12＝＝＝＝＝＝＝f (x )＝＝＝＝＝＝＝＝由图象可得 f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4. 例6 已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则下列结论正确的有( )A ．f （1）f +（2）f +（3）(2019)0f +⋯+=B ．直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[7-，7]上有5个零点D ．函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数【分析】根据题意，利用特殊值法求出f （2）的值，进而分析可得1x =是函数()f x 的一条对称轴，函数()f x 是周期为4的周期函数和()f x 在区间[1-，1]上为增函数，据此分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，函数()y f x =是R 上的奇函数，则(0)0f =；对任意x R ∈，都有(2)()f x f x f -=+（2）成立，当2x =时，有(0)2f f =（2）0=，则有f （2）0=，则有(2)()f x f x -=，即1x =是函数()f x 的一条对称轴；又由()f x 为奇函数，则(2)()f x f x -=--，变形可得(2)()f x f x +=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，故函数()f x 是周期为4的周期函数， 当1x ，2[0x ∈，1]，且22x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，则函数()f x 在区间[0，1]上为增函数，又由()y f x =是R 上的奇函数，则()f x 在区间[1-，1]上为增函数； 据此分析选项：对于A ，(2)()f x f x +=-，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）[f =（1）f +（3）][f + （2）f +（4）]0=，f （1）f +（2）f +（3）(2019)504[f f +⋯+=⨯（1）f +（2）f +（3）f +（4）]f +（1）f +（2）+（3）f =（2）0=，A 正确；对于B ，1x =是函数()f x 的一条对称轴，且函数()f x 是周期为4的周期函数，则5x = 是函数()f x 的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线5x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴，B 正确； 对于C ，函数()y f x =在[7-，7]上有7个零点：分别为6-，4-，2-，0，2，4，6；C 错误；对于D ，()f x 在区间[1-，1]上为增函数且其周期为4，函数()y f x =在[5-，3]-上为增函数，又由5x =-为函数()f x 图象的一条对称轴，则函数()y f x =在[7-，5]-上为减函数，D正确； 故选：ABD ． 例7 已知函数()111123f x x x x =++---，()2g x x =-，则关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和为______；定义区间(),a b ，[),a b ，(],a b ，[],a b 长度均为b a -，则()1111123f x x x x =++≥---解集全部区间长度之和为______． 【答案】①8 ②3【分析】根据题意得以函数()f x 关于点()2,0对称，进而利用导数研究函数()f x 性质，作出简图，树形结合求解即可得关于x 的方程()()f x g x =的实数根之和；令()1111123f x x x x =++=---整理得方程的实数根123,,x x x 满足1239x x x ++=，再数形结合得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x ，最后根据定义求解区间长度的和即可.【解析】因为()()1114321f x f x x x x-=++=----， 所以函数()f x 关于点()2,0对称， 由于()()()()222111'0123f x x x x =---<---，所以函数()f x 在()()()(),1,1,2,2,3,3,-∞+∞上单调递减，由于1x <时，()0f x <，(),0x f x →-∞→，()1,x f x -→→-∞，()1,x f x +→→+∞，()2,x f x -→→-∞，()2,x f x +→→+∞，()3,x f x -→→-∞，()3,x f x +→→+∞，(),0x f x →+∞→，且3x >时，()0f x >.故作出函数简图如图： 根据图像可知，函数()111123f x x x x =++---与函数()2g x x =-图像共有4个交点，且关于点()2,0对称，所以()()f x g x =的实数根之和为8；令()1111123f x x x x =++=---，整理得32923170x x x -+-=， 由图像知方程有三个实数解，不妨设为123,,x x x ， 所以由三次方程的韦达定理得1239x x x ++=， 由函数图像得()1f x ≥解集为(](](]1231,2,3,x x x所以全部区间长度之和为12312312363x x x x x x -+-+-=++-=. 故答案为：8；3.【巩固训练】1．已知函数()1()2x af x -=关于1x =对称,则()()220f x f -≥的解集为_____.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，且()f x 的图象与()lg4xg x x=-的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 3.已知函数()()f x x R ∈满足(1)(1),(4)(4)f x f x f x f x +=-+=-，且33x -<≤时，()ln(f x x =，则(2018)f =（ ）A ．0B ．1 C．2) D．2)4. 已知f (x )是定义域为R 的函数，满足f (x ＋1)＝f (x －3)，f (1＋x )＝f (3－x )，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )的周期为4B.函数f (x )图象关于直线x ＝2对称C.当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为2D.当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为－125.已知定义在R 上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )=m (m >0)在区间上有四个不同的根，则6．(多选题)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C.f (x ＋3)为奇函数D.f (x ＋4)为偶函数7.若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，()1f x +是奇函数，现给出下列4个论断：①()f x 是周期为4的周期函数；②()f x 的图象关于点()1,0对称； ③()f x 是偶函数； ④()f x 的图象经过点()2,0-； 其中正确论断的个数是______________.8. (多选题)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2－f (2－x )，且f (x )是偶函数，下列说法正确的是( )A.f (x )的图象关于点(1，1)对称B.f (x )是周期为4的函数C.若f (x )满足对任意的x ∈[0，1]，都有f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0，则f (x )在[－3，－2]上单调递增D.若f (x )在[1，2]上的解析式为f (x )＝ln x ＋1，则f (x )在[2，3]上的解析式为f (x )＝1－ln(x －2) 9. (2022·江苏常州·模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )等于( ) A.0B.mC.2mD.4m)(x f (4)()f x f x -=-[]8,8-1234,,,x x x x 1234_________.x x x x +++=10.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…A ．50-B ．0C ．2D ．5011.已知函数y kx b =+与函数11x x y e e --=-的图象交于A ，B ，C ，且|AB |＝|BC |＝2211e e+-，则实数k ＝ ．【答案与提示】1．【答案】[]1,2【解析】∵函数()1()2x a f x -=关于1x =对称,∴()111,2x a f x -⎛⎫== ⎪⎝⎭,则由()()12202f x f -≥=,结合图象可得0222x ≤-≤,求得12x ≤≤.2．【答案】8【解析】()lg 4x g x x =-，故(4)()g x g x -=-，即()y g x =的图象关于点(2,0)对称，又函数()f x 满足(1)(3)f x f x +=--，则函数()y f x =的图象关于点(2,0)对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8.3. 【答案】D【解析】因为()()()()11,44f x f x f x f x +=-+=-，所以()(2),()(8)(2)(8)826,f x f x f x f x f x f x T =-=-∴-=-∴=-=(2018)(2)ln(25)f f ∴==+ .4. 【答案】ABC【解析】 由f (x ＋1)＝f (x －3)，得f (x )＝f [(x －1)＋1]＝f [(x －1)－3]＝f (x －4)，所以函数f (x )的周期为4，A 正确.由f (1＋x )＝f (3－x )，得f (2＋x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确.当0≤x ≤2时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎦⎤12，2上单调递增.所以当x ＝12时，函数f (x )在[0，2]上取得极小值－14，且f (0)＝0，f (2)＝2.作出函数f (x )在[0，8]上的大致图象，如图.由图可知，当0≤x ≤4时，函数f (x )的最大值为f (2)＝2，C 正确；当6≤x ≤8时，函数f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫152＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14，D 错误.故选ABC.5. 【答案】－8【提示】四个根分别关于直线2x =，6x =-对称.【命题立意】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．6．【答案】ABC【解析】法一 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 yx f(x)=m (m>0)所以f (x )是以2为周期的周期函数.又f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.法二 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性相同，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性相同，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.7.【答案】3【解析】命题①：由()()2f x f x +=-，得：()()()42f x f x f x +=-+=， 所以函数()f x 的周期为4，故①正确；命题②：由()1f x +是奇函数，知()1f x +的图象关于原点对称，所以函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故②正确；命题③：由()1f x +是奇函数，得：()()11f x f x +=--，又()()2f x f x +=-，所以()()()()()()21111f x f x f x f x f x -=--+=-+-=--=，所以函数()f x 是偶函数，故③正确；命题④：()()()2220f f f -=--+=-，无法判断其值，故④错误.综上，正确论断的序号是：①②③.8. 【答案】ABC【解析】根据题意，f (x )的图象关于点(1，1)对称，A 正确；又f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝f (－x )，则2－f (2－x )＝f (－x )，f (x )＝2－f (x ＋2)，从而f (x ＋2)＝2－f (x ＋4)，所以f (x )＝f (x ＋4)，B 正确；由f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0可知f (x )在[0，1]上单调递增，又f (x )的图象关于点(1，1)对称，所以f (x )在[1，2]上单调递增，因为f (x )的周期为4，所以f (x )在[－3，－2]上单调递增，C 正确；因为f (x )＝f (－x )，x ∈[－2，－1]时，－x ∈[1，2]，所以f (x )＝f (－x )＝ln(－x )＋1，x ∈[－2，－1]，因为f (x )的周期为4，f (x )＝f (x －4)，x ∈[2，3]时，x －4∈[－2，－1]，所以f (x )＝f (x －4)＝ln(4－x )＋1，x ∈[2，3]，D 错误.综上，正确的是ABC.9.【答案】 B【解析】 ∵f (x )＋f (－x )＝2，y ＝x ＋1x ＝1＋1x. ∴函数y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的图象都关于点(0，1)对称， ∴∑m i ＝1x i ＝0，∑mi ＝1y i ＝m 2×2＝m . 10.【答案】C【分析】同例1得f (x )的的的的4，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f (5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48)，而f (1)＝2，f (2)＝f (0)＝0（f (1－x )＝f (1＋x )中，取x ＝1）、f (3)＝f (－1) ＝－f (1)＝－2、f (4)＝f (0)＝0，故f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋f (4)＝f(5) ＋f (6) ＋f (7) ＋f (8) ＝···＝f (45) ＋f (46) ＋f (47) ＋f (48) ＝0，所以f (1) ＋f (2) ＋f (3) ＋···＋f (50) ＝f (47) ＋f (48) ＝f (1) ＋f (2) ＝2.11.【答案】1e e- 【解析】设()x x f x e e -=-，则()f x 为定义在R 上的单增的奇函数而11(1)x x y e e f x --=-=-，故其图象关于点（1,0）中心对称又因为|AB |＝|BC |，所以B 的坐标为（1,0）为使运算更简单，问题可转化为过坐标原点的直线y kx =与()x x f x e e -=-交于一点D ，且k 的值 不妨设()000,x x D x e e --（00x >），== 解之得01x =，()11,D e e --，所以1k e e -=-.。

专题08函数的周期性专项突破一周期函数的定义与求解1．有下面两个命题：①若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =是周期函数；②若(())y f f x =是周期函数，则()y f x =是周期函数，则下列说法中正确的是（）．A ．①②都正确B ．①正确②错误C ．①错误②正确D ．①②都错误【解析】若()y f x =是周期函数，设周期为T ，则()()f x T f x +=，则(())(())f f x T f f x +=也是周期函数，故①正确；若(())y f f x =是周期函数，设周期为T ，则(())(())f f x T f f x +=，()()f x T f x +=不一定成立，故②错误.故选：B.2．若函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则()f x 可以是（）A ．2()(1)f x x =-B ．()|2|f x x =-C ．()sin 2f x x π⎫⎛=⎪⎝⎭D ．()tan 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭【解析】因为(2)()f x f x +=，所以函数的周期为2.A ：因为(1)0,(3)4f f ==，所以(1)(3)f f ≠，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；B ：因为(2)0,(4)2f f ==，所以(2)(4)f f ≠，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；C ：该函数的最小正周期为：242ππ=，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；D ：该函数的最小正周期为：22ππ=，因此本选项符合题意，故选：D3．已知定义在R 上的非常数函数()f x 满足：对于每一个实数x ，都有122f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 的周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．32π【解析】由122f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得()()()2221112224f x f x fx f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-=--+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()221112224f x f x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对任意x ∈R 成立，则()221112224f x f x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()221122f x f x π⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由122f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得1022f x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 成立，即()12f x ≥对任意x ∈R 成立，则()()1122f x f x π+-=-，即()()f x f x π+=对任意x ∈R 成立，则π为()f x 的一个周期；而取()1sin 2xf x +=时，满足1sin 21111cos 222222x f x x ππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+==+=+= ⎪⎝⎭此时()f x 不存在小于π的周期；故选：C4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足(2)()f x f x +=且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log ||f x x =的解有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．多于4个【解析】由(2)()f x f x +=可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当[0x ∈，1]时，()f x x =，故可作出函数()f x 得图象．∴方程3()log ||f x x =的解个数等价于()f x 与3log ||y x =图象的交点，由图象可得它们有4个交点，故方程3()log ||f x x =的解个数为4.故选：C ．5．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，则()f x 是（）A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数【解析】因为()()11f x f x +=-，()()22f x f x +=--，所以()()()()()()()211112f x f x f x f x f x -=+-=--==-+，所以()()()24f x f x f x +=-+=-，故()()4f x f x =+，所以()f x 周期为4，因为()()()()()()()42222f x f x f x f x f x -=-=+-=---=-，所以()f x 是奇函数.故选：C.6．已知函数()21f x +的最小正周期为3，则函数()f x 的最小正周期为______．【解析】设函数()f x 的最小正周期为T ，则()()f x T f x +=，∴()()2121f x T f x ++=+，即()21212T f x f x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()21f x +的最小正周期为2T ，又函数()21f x +的最小正周期为3，∴3,62TT ==.7．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，则()f x 的周期为__________．【解析】()(2)f x f x =- ，(2)()f x f x ∴+=-，又()f x 为奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=-=-+=-+=，()f x ∴是周期为4的周期函数.8．若定义在R 上的非零函数()f x ，对任意实数x ，存在常数λ，使得()()f x f x λλ+=恒成立，则称()y f x =是一个“f λ。

第三章 函数的概念与性质典型易错题集易错点1．忽视定义域表示的是谁的范围【典型例题1】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）已知函数()y f x =的定义域为[)1,2-，则函数()2y f x =+的定义域为（ ）A ．[]3,0-B ．[)1,4C ．[)3,0-D ．(]1,4【错解D 】因为函数()y f x =的定义域为[)1,2-，即12x -≤<，对于()2y f x =+有124x ≤+<。

点评：本题错解在于将()y f x =中的“x ”与()2y f x =+中的“x ”当成同一个量，其次就是没有理解函数定义域的定义，表示的是“x ”的取值范围，本题错解反而求()2y f x =+中2x +的取值范围当做定义域。

【正解】C 【详解】因为函数()y f x =的定义域为[)1,2-， 所以122x -≤+<，解得30x -≤< 所以函数(2)y f x =+的定义域为[)3,0-. 故选：C.易错点2．解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为0【典型例题2】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4C ．[]0,4D ．(](),04,-∞+∞【错解A 】函数的定义域为R ，即不等式224mx mx ++>0的解集为R2416004m m m m >⎧⇒<<⎨⎩∆=-<点评：在解不等式问题时，本题错解漏了考虑最高项系数为0的情况，在解不等式问题时，需要特别注意最高项系数为0的情况。

【正解】B 【详解】函数的定义域为R ，即不等式224mx mx ++>0的解集为R（1）当0m =时，得到40>，显然不等式的解集为R ；（2）当0m <时，二次函数224y mx mx =++开口向下，函数值y 不恒大于0，故解集为R 不可能． （3）当0m >时，二次函数224y mx max =++开口向上，由不等式的解集为R ， 得到二次函数与x 轴没有交点，即24160m m ∆=-<，即(4)0m m -<，解得04m <<； 综上，a 的取值范围为[)0,4 故选：B易错点3．忽视函数的定义域【典型例题3】（2022·全国高一单元测试）若1)f x =+()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()(0)f x x x x =+≥C ．()2()1f x x x x =-≥D ．2()f x x x =+【错解A 】1)f x =+1t =，则2(1)x t =-， ∴22()(1)1f t t t t t =-+-=-，， ∴函数()f x 的解析式为2()f x x x =-．点评：本题错解在换元时没有考虑变量的取值范围，换元必换范围。

函数的周期性1、定义对于函数f(x),如果存在一个 常数他T, 使当x 取 定义域内的 值时，都有 ，则函数f(x)叫做周期函数。

其中T 叫做f(x)的周期。

若所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个 叫做f(x)的最小正周期。

2、常用性质①若T ≠0是f(x)周期，则kT(k ∈Z,k ≠0)也是f(x)周期②对f(x)定义域内任意x1） 若f(x+a) =-f(x)，则f(x)周期T=2a2） )((1)(x f a x f =+,则f(x)周期T=2a3） )((1-)(x f a x f =+,则f(x)周期T=2a4） 若f(x+a) =f(x-a)，则f(x)周期T=2a5)若一个函数有两条对称轴x=a,x=b 则该函数的一个周期为T=2|a-b|6)函数y= f(x)满足f(x+a) =f(a - x)其中a>0,如果y= f(x)为奇函数，则周期为 ，若y= f(x)为偶函数，则周期为 。

3、典型例题1）已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2) =-f(x)，则f(6)的值为（）A -1B 0C 1D 22）f(x)是定义在R 上以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0CD ，6）内解的个数的最小值是（）A 2B 3C 4D 5解： (x)是R 上以3为周期的奇函数∴ f(5) =f(2)=0；f(-1) =f(2)=0，则- f(1)=0。

即f(1)=0；f(4)= f(1)=0， 2 f(0)=0， ∴ f(3)= f(0)=0因此在区间（0，6）上 f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=03）已知是R 上的奇函数，且满足f(x+4) =f(x)，当x ∈(０,２)时, f(x)＝２ｘ２,则f(７)＝（Ａ ） Ａ －２ Ｂ ２ Ｃ －９８ Ｄ ９８解： f(x+4) =f(x) ∴ f(x)是以４为周期的周期函数f(７)＝ f(７－８)＝ f(－１)＝ －f(１)＝ ４）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当ｘ<０时，x x f )31()(=，那么)21(f 的值是（ 3-） ５）设f(x)是定义在R 上的偶函数，,它的图象关于直线ｘ＝２对称。

1、给出定义:若1122m x m -<≤+(其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}x ,即{}x m =,在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题: ①()y f x =的定义域就是R ,值域就是11(,]22-; ②点(,0)k 就是()y f x =的图象的对称中心,其中k Z ∈; ③函数()y f x =的周期为1;④函数()y f x =在13(,]22-上就是增函数 上述命题中真命题的序号就是( ) A 、 ①② B 、 ②③ C 、 ①③D 、 ②④2、设()f x 就是(,)-∞+∞上的奇函数,(2)()f x f x +=-,当01x ≤≤时有()2f x x =,则(2015)f =( )A 、 1-B 、 2-C 、 １D 、 23、函数21()(1cos 2)sin ,2f x x x x R =+∈就是( ) A 、 最小正周期为π的奇函数B 、 最小正周期为2π的奇函数 C 、 最小正周期为π的偶函数 D 、 最小正周期为2π的偶函数4、已知函数()4cos sin()1(0)f x x x ϕϕπ=+-<<,若()13f π=,则()f x 的最小正周期为( )A 、 πB 、32πC 、 2πD 、 4π 5、定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=,当[3,1)x ∈--时,2()(2)f x x =-+,当[1,3)x ∈-时,()f x x =,则(1)(2)(3)...(2015)f f f f ++++=( )A 、 336B 、 355C 、 1676D 、 20156、在数列{}n a 中,已知122,7a a ==,记n a 与1()n a n N ++∈的积的个位数为2n a +,则2015a =_________.7、函数22()sin cos f x x x =-的最小正周期就是_______.8、函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为_______.9、函数()f x 就是定义在R 上的偶函数,且满足(2)()f x f x +=.当[0,1]x ∈时,()2f x x =,若在区间[2,3]-上方程+2()0ax a f x -=恰有四个不相等的实数根,则实数a 的取值范围就是________.10、已知函数()f x 就是R 上的奇函数,且(2)f x +为偶函数,若(1)1f =,则(8)(9)f f +=____.11、设函数()y f x =的定义域为D ,如果存在非零常数T ,对于任意x D ∈,都有()()f x T T f x +=⋅,则称函数()y f x =就是“似周期函数”,非零常数T 为函数()y f x =的“似周期”.现有下面四个关于“似周期函数”的命题:①如果“似周期函数”()y f x =的“似周期”为1-,那么它就是周期为2的周期函数; ②函数()f x x =就是“似周期函数”; ③函数-()2xf x =就是“似周期函数”;④如果函数()cos f x x ω=就是“似周期函数”,那么“,k k Z ωπ=∈”. 其中就是真命题的序号就是_____、(写出所有满足条件的命题序号)12、已知函数21()sin 22f x x x =+,则()f x 的最小正周期就是_______;如果()f x 的导函数就是()f x ',则()6f π'=_______.答案与解析1、2015年河南省信阳市高中毕业班模拟数学理科试题卷第12题 答案:C 分析:2、2015年广西省玉林市4月高中毕业班联合数学模拟理科试卷第5题 答案:B分析:∵(2)()f x f x +=-,得(4)()f x f x +=,∴周期为4T =, 又∵函数为奇函数,(2015)(50441)(1)(1)2f f f f =⨯-=-=-=-, 故选B .3、2015年广西省南宁市高中毕业班第二次适应性测试理科数学模拟试题第9题 答案:A 分析:4、2015年天津市与平区高三二模文科数学试题第4题 答案:A分析:因为函数()4cos sin()1,()2sin()1133f x x x f ππϕϕ=+-=+-=,所以sin()13πϕ+=,由0ϕπ<<可得333πππϕπ<+<+,∴,326πππϕϕ+=∴=,故:2()4cos sin()12sin cos 13f x x x x x x π=+-=+-sin 2212sin(2)13x x x π=+=+,则()f x 的最小正周期为22ππ=,故选A . 5、2015年北京市东城区高三第二学期数学理科综合练习(二)第7题 答案:A 分析:由题意得(1)1,(2)2,(3)(3)1,(4)(2)0,(5)(1)1,(6)(0)0,f f f f f f f f f f ===-=-=-==-=-==则(1)(2)(3)(4)(5)(6)1,f f f f f f +++++=又因为201563361=⨯-,所以(1)(2)(3)(2015)3361(6)336,f f f f f ++++=⨯-=故选A .6、2015年广西省南宁市高中毕业班第一次适应性检测数学模拟试卷(理科)第15题 答案:2分析:122714a a =⨯=,所以34,4728a =⨯=,所以428,4832a =⨯=,所以52,2816a =⨯=,所以678910116,2,2,4,8,2,a a a a a a ======所以从第三项起, n a 的值成周期排列,周期数为6,201533565=⨯+ ,所以201552a a ==. 7、2015年北京市西城区高三第一次模拟考试数学文科试题第10题 答案:π分析:利用二倍角公式化简解析式后求解最小正周期.因为()cos 2f x x =-,所以最小正周期22T ππ==. 8、2015年河北省石家庄市高三二模文科数学试题第14题 答案:2π 9、2015年北京市东城区高三第二学期数学文科综合练习(一)第13题 答案:2253a << 分析:因为函数()f x 为偶函数,且当[0,1]x ∈时,()2f x x =,所以当[1,0]x ∈-时,()2f x x =-,又因为函数()f x 为周期为2的周期函数,所以画出函数()f x 在[2,3]-上的图象如图所示,则方程2()0ax a f x +-=在[2,3]-上有4个不相等的实数根等价于函数()f x 的图象与直线2(2)y ax a a x =+=+在[2,3]-上有4个交点,则图易得实数a 应满足20203(2)1(2)a --<<----,即2253a <<.10、2015年北京市东城区高三第一学期期末教学统一检测数学理科试题第13题答案:1分析:因为()f x 就是R 上的奇函数,且(2)f x +为偶函数,所以()f x 就是以4为周长的奇函数,所以(8)(9)(0)(1)1f f f f +=+=.11、2015年北京市丰台区高三第一学期期末练习数学理科试题第14题 答案:①③④分析:利用新定义逐一判断、若函数()y f x =的“似周期”为1-,则(1)()(1)f x f x f x -=-=+,即它就是周期为2的周期函数,所以①正确;若()f x x =就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()()f x T x T Tf x Tx +=+==,显然不可能,所以②错误;若()2xf x -=就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()()2()2x T x f x T Tf x T -+-+===,即12()2T T T -==,而已知函数1(),2x y y x ==的图象有一个交点,即非零常数T 存在,所以③正确;若函数()cos f x x ω=就是“似周期函数”,则存在非零常数T ,对任意x R ∈满足()cos[()]()cos f x T x T Tf x T x ωω+=+==,则1T =±,此时cos()cos x w x ωω±=±,所以,k k Z ωπ=∈,所以④正确,综上所述,真命题的序号就是①③④、12、2015年北京市丰台区高三第二学期数学统一练习理科试题(二)第11题 答案:π,1- 分析:21()sin 22f x x x =1cos 2111sin 2)sin 22sin(2)2222232x x x x x π+=+=++=++ 所以()f x 的最小正周期为22ππ=,()f x 的导函数()2cos(2)3f x x π'=+,则()2cos(2)1663f πππ'=⨯+=-、。

高三数学函数的周期性和对称性典型例题解析11.函数定义域为，且对任意，都有，若在区间上则（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】第一步，准确求出函数的周期性：由()()2f x f x +=，可知()f x 是周期为2的函数， 第二步，运用函数的周期性求解实际问题：令1-=x 故()()11f f -=，代入解析式，得()22a a e -+=-，解得2a =， 从而()()22,10{22,01x x x f x x e x +-≤≤=-<≤，故()()()()2017201810022f f f f +=+=+=，故选C.2.已知定义域为R 的函数()f x 满足()2()f x f x +=，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，则()2021f -=（）A ．lg3-B ．lg 9C ．lg 3D ．0【答案】C 【分析】由()()2f x f x +=得出函数的周期2T =，所以()()20211f f -=代入解析式可得答案. 【详解】由()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数的周期2T =，且当01x ≤≤时，()2(12)f x g x =+，所以()()20211lg3f f -==. 故选：C.3.已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【分析】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.4.函数y =f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x +2)是偶函数，则下列结论成立的是( ) A ． f(1)<f(52)<f(72) B ． f(72)<f(52)<f(1) C ． f(72)<f(1)<f(52) D ． f(52)<f(1)<f(72) 【答案】C5.函数f(x +2)是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以函数y =f(x)的图像关于x =2对称，则f(52)=f(32)，f(72)=f(12)，函数y =f(x)在[0,2]上单调递增，则有 f(12)<f(1)<f(32)，所以f(72)<f(1)<f(52).选C . 考点：抽象函数的周期性．6.（多选）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称，且对x ∀∈R 有()()4f x f x +-=.当(]0,2x ∈时，()2f x x =+.则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的周期8T = B ．()f x 的最大值为4 C ．()20212f = D ．()2f x +为偶函数【答案】ABD 【分析】由函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称，得()()22f x f x -+=--，又()()4f x f x +-=，所以()()()44f x f x f x =--=--，()()444f x f x --++=，从而可得()()8f x f x +=，进而根据周期性、对称性、(]0,2x ∈时()f x 的解析式即可求解. 【详解】解：函数()1y f x =-的图象关于直线1x =-对称，∴函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称， ∴()()22f x f x -+=--对x R ∀∈有()()4f x f x +-=，∴函数()y f x =的图象关于()0,2中心对称，∴()()2222f x f x -++=--+⎡⎤⎣⎦，即()()()44f x f x f x =--=--，又()()444f x f x --++=，即()()444f x f x --=-+，∴()()4f x f x +=-，∴()()()444f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()8f x f x +=，()()22f x f x +=-+， ∴()f x 的周期8T =，选项A 正确；()2f x +为偶函数，选项D 正确；当(]0,2x ∈时，()2f x x =+，()()4f x f x +-=，∴当[)2,0x ∈-时，(]0,2x -∈，()24f x x +-+=，即()2f x x =+， ∴当[]2,2x ∈-时，()2f x x =+，又函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称，∴在一个周期[]6,2-上，()()max24f x f ==， ()f x ∴在R 上的最大值为4，选项B 正确；()()()()()2021252855141121f f f f f =⨯+==+=-=-+=∴，选项C 错误. 故选：ABD.7. 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ ,又()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）A ．669B ．670C ．2008D ．1 【答案】D 【解析】试题分析：由()32f x f x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以()1131()()(1),(1)(2)(3)0222f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性．8.已知()21y f x =-为奇函数， ()y f x =与()y g x =图像关于y x =对称，若120x x +=，则()()12g x g x +=（ ）A. 2B. -2C. 1D. -1 【答案】B 【解析】()21y f x =-为奇函数，故()21y f x =-的图象关于原点()0,0对称，而函数()y f x =的图象可由()21y f x =-图象向左平移12个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到，故()y f x =的图象关于点()1,0-对称，又()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，故函数()y g x =的图象关于点()0,1-对称，120x x +=，即12x x =-，故点()()()()1122,,,x g x x g x ，关于点()0,1-对称，故()()122g x g x +=-，故选B.9.已知函数()tan sin cos f x x x x =-，现有下列四个命题： ①f (x )的最小正周期为π； ②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于(2π，0)对称； ④f (x )的图象关于(π，0)对称. 其中所有真命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．①②③④ D ．①②④【答案】C 【分析】利用函数的对称性和周期的判断方法直接对选项进行逐一判断即可得出答案. 【详解】因为tan y x =与1sin cos sin 22y x x x ==的最小正周期均为π，所以f (x )的最小正周期是π.因为()()f x f x -=-，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称. 因为()()tan sin cos f x x x x f x π-=-+=-，所以f (x )的图象关于(2π，0)对称. 因为()()2tan sin cos f x x x x f x π-=-+=-，所以f (x )的图象关于(π，0)对称. 所以①②③④均正确 故选：C10.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D 【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【解析】因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 11.设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【解析】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x --=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x -=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数.12.已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C 【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C. 考点： 函数图象的性质13.已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数,满足f(1−x)=f(1+x) .若f(1)=2 则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=（ ）A ． −50B ． 0C ． 2D ． 50 【答案】C【解析】因为f(x)是定义域为(−∞, + ∞)的奇函数，且f(1−x)=f(1+x)， 所以f(1+x)=−f(x −1)∴f(3+x)=−f(x +1)=f(x −1)∴T =4,因此f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)， 因为f(3)=−f(1)，f(4)=−f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，∵f(2)=f(−2)=−f(2)∴f(2)=0，从而f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=f(1)=2，选C. 14.已知函数f(x)=lnx +ln(2−x)，则A ． f(x)在（0，2）单调递增B ． f(x)在（0，2）单调递减C ． y =f(x)的图像关于直线x=1对称D ． y =f(x)的图像关于点（1，0）对称 【答案】C【解析】由题意知，f(2−x)=ln(2−x)+lnx =f(x)，所以f(x)的图象关于直线x =1对称，故C 正确，D 错误；又f(x)=ln[x(2−x)]（0<x <2），由复合函数的单调性可知f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ． 【考点】函数的对称性、单调性。