2018年秋八年级数学上册 1 方法技巧专题 分式运算中的技巧习题 (新版)湘教版

方法技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一 按常规步骤运算1．计算1x －1x －y的结果是( ) A ．－y x （x －y ） B.2x ＋y x （x －y ）C.2x －y x （x －y ）D.y x （x －y ）2．化简m m ＋3＋6m 2－9÷2m －3的结果是________． 3．(2016－2017·张家界市桑植县期中)先化简a －2a ＋3÷a 2－42a ＋6－5a ＋2，再选一个你所喜欢的数代入求值．◆类型二 先约分，再化简4．(2016·德州中考)化简a 2－b 2ab －ab －b 2ab －a 2等于( ) A.b a B.a b C ．－b a D ．－a b5．化简：a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1＝________． 6．先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1－3x ＋1，其中x ＝0.◆类型三 混合运算中灵活运用分配律7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2－1＋x －1x ＋1÷1x 2－1的结果是( ) A.1x 2＋1 B.1x 2－1C ．x 2＋1D ．x 2－1 8．计算：⎝⎛⎭⎫2x x －2－x x ＋2÷x x 2－4＝________． 9．先化简，再求值：12x －1x ＋y ·⎝⎛⎭⎫x 2－y 2＋x ＋y 2x ，其中x ＝2，y ＝3.◆类型四 分式化简求值注意整体代入10．若xy －x ＋y ＝0且xy ≠0，则分式1x －1y的值为( ) A.1xyB ．xyC ．1D ．－1 11．已知x 2－3x ＋1＝0，则x x 2－x ＋1的值是( ) A.12B ．2 C.13D ．3 12．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.【方法2①】参考答案与解析1．A 2.13．解：原式＝a －2a ＋3×2（a ＋3）（a －2）（a ＋2）－5a ＋2＝2a ＋2－5a ＋2＝－3a ＋2.∵a ＋3≠0，a 2－42a ＋6≠0，a ＋2≠0，∴a ≠－3且a ≠±2，∴可取a ＝0.当a ＝0时，原式＝－32. 4．B 5.1a6．解：原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1－3x ＋1＝x －1x ＋1·x ＋1x －2＝x －1x －2.当x ＝0时，原式＝12. 7．C 8.x ＋69．解：原式＝12x －1x ＋y ·(x ＋y )(x －y )－1x ＋y ·x ＋y 2x ＝12x－(x －y )－12x ＝－(x －y )＝y －x .当x ＝2，y ＝3时，原式＝3－2＝1.10．D11．A 解析：因为x 2－3x ＋1＝0，所以x 2＝3x －1，所以x x 2－x ＋1＝x 3x －1－x ＋1＝12.故选A. 12．解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）（x ＋1）x （x ＋1）－x （x －2）x （x ＋1）÷x （2x －1）（x ＋1）2＝（x 2－1）－（x 2－2x ）x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x 2.因为x 2－x －1＝0，所以x 2＝x ＋1，所以原式＝x ＋1x ＋1＝1.非常感谢！您浏览到此文档。

x －y 的结果是() x A ．－ y 6 ．先化简，再求值： x 2－2x ＋1÷ 1－ 3 ⎫ ⎪，其中 x ＝0.C .2x －y 2 ．化简 m2⎛ 2x x －1⎫ 1 7．计算 2 ⎪÷ 2⎝x －1 x ＋1⎭ x －1的结果是 A .18 ． 化简 ： 2 － 1 ⎫ ⎝a －1 a ＋1⎭·(a － 1) ＝ 9 ． 先 化 简 ， 再 求 值 ：1a解题技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一 按常规步骤运算1 11．计算 －2x ＋yx （x －y ） B .x （x －y ）⎝ x ＋1⎭x 2－1x （x －y ）D.yx （x －y ）6 2 m ＋3 ＋ m 2－9 ÷ m －3 的结果是________．3．(2015－2016·祁阳县校级期中 )先2a ＋1 a 2－2a ＋1 1化简，再求值： a 2－1 · a 2－a －a ＋1，1其中 a ＝－ .◆类型二 先约分再化简a 2－1 a 2－a4．化简： 2＋2a ＋1÷ a ＋1 ＝________．9－a 25 ．化简求值： (a －3)· a 2－6a ＋9 ＝________，当 a ＝－3 时，该代数式的值为________．◆类型三 混合运算中灵活运用分配 律＋( )1x 2＋1 B .x 2－1 C ．x 2＋1 D ．x 2－12________．2x－· x 2－y 2＋x ＋y ⎫ 2x ⎭x ＋y ⎝ 10．若 xy －x ＋y ＝0 且 xy≠0，则分式1y A . 1a 12．先化简，再求值： ⎛x －1 x －2⎫ ⎝ x －x ＋1⎭1 ⎛ ⎪，其中 x ＝2，y ＝3.◆类型四 分式化简求值注意整体代入x1－ 的值为( )xy B ．xy C ．1 D ．－1111．已知：a 2－3a ＋1＝0，则 a ＋ －2的值为( )A . 5＋1B ．1C ．－1D ．－5⎪ 2x 2－x ÷x 2＋2x ＋1，其中 x 满足 x 2－x －1＝0.参考答案与解析1．A 2.1 3 ． 解 ：原 式 ＝2a ＋1 （a －1）2 1（a ＋1）（a －1） · a （a －1） － a ＋1 ＝a （a ＋1） a ＋1 a （a ＋1） a 当 a ＝－ 时，原式＝－2.4. 5.－a －3 06．解：原式＝ ÷ ＝ .当 x2 2x x ＋y 2x x （x ＋1） x （2x －1） x 22a ＋1 1 a ＋1 1－ ＝ ＝ .121ax －1 x －2 x －1x ＋1 x ＋1 x －21＝0 时，原式＝ .7．C 8.a ＋31 x 2－y2 19．解：原式＝ － － ＝－x ＋y .当 x ＝2，y ＝3 时，原式＝1.10．D 11.B12 ． 解 ： 原式 ＝x 2－1－x 2＋2x （x ＋1）2 x ＋1· ＝ x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝1..∵x 2 －。

初二数学上册：分式运算6大技巧+例题
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。

但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。

一、分段分步法
例1、计算：
分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。

解：原式
二、分裂整数法
例2、计算：
分析：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

解：原式
三、拆项法
例3、计算：
分析：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式
，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。

在解某些分式方程中，也可使用拆项法。

解：原式
四、活用乘法公式
例4、计算：
分析：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。

解：当且时，
原式
五、巧选运算顺序
例5、计算：
分析：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。

解：原式
六、见繁化简
例6、计算：
分析：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。

解：原式。

专题训练(九) 分式运算的技巧一、条件求值的三种技巧条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简．► 技巧一 整体法为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a ＋b ，a －b ，ab ，a 2＋b 2等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a ，b 的值，即使能求出a 或b 的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．1．已知实数x 满足x ＋1x ＝3，则x 2＋1x 2的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．92．已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b ≠0)，则b a ＋a b的值等于________． 3．已知x ＋y ＝xy ，求1x ＋1y－(1－x)(1－y)的值．4．已知x 2－4x ＋1＝0，求2（x －1）x －4－x ＋6x的值．► 技巧二 倒数法ab a ＋b 的倒数是a ＋b ab ，而a ＋b ab 可拆成1a 与1b 的和，即a ＋b ab ＝1b ＋1a.这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的问题迎刃而解．5．若x 2－5x ＋1＝0，则x 2x 4＋1的值为________． 6．已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43，求xyz xy ＋yz ＋zx的值．► 技巧三 转化法 利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法．7．已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则a a ＋1＋b b ＋2的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若ab ＝1，则31＋a 2＋31＋b 2＝________． 9．已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求a ab ＋a ＋1＋b bc ＋b ＋1＋c ca ＋c ＋1的值．二、异分母分式的加减法的两种技巧异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．► 技巧一 约分10．计算x 2－1x 2＋2x ＋1＋2x ＋1的结果是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．计算：x 2＋9x x 2＋3x ＋x 2－9x 2＋6x ＋9＝________． 12．计算：x 2－y 2x ＋y －4x （x －y ）＋y 22x －y.13．先化简，再求值：(a 2－4a 2－4a ＋4－12－a )÷2a 2－2a，其中a 满足a 2＋3a ＋1＝0.► 技巧二 运用分配律含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算．14．计算(a a －2－a a ＋2)÷a 4－a 2的结果是( ) A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a15．先化简，再求值：a 2－1a ·(3a a －1－a a ＋1)，其中a ＝2.16．先化简，再求值：(x 2－16x 2＋8x ＋16＋x x －4)÷1x 2－16，其中x ＝3.17．化简并求值：12a －1a－b·(a－b2a－a2＋b2)，其中a＝10，b＝5.详解详析1．[解析] B 原式＝(x ＋1x)2－2＝32－2＝7.故选B. 2．[答案] －3[解析] b a ＋a b ＝b 2＋a 2ab ，又a 2＋b 2＝－3ab ，故原式＝－3ab ab＝－3. 3．解：∵x ＋y ＝xy ，∴原式＝y ＋x xy －(1－x －y ＋xy )＝x ＋y xy－1＋x ＋y －xy ＝1－1＋0＝0.4．解： 2（x －1）x －4－x ＋6x ＝2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）＝x 2－4x ＋24x 2－4x. ∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2－4x ＝－1. ∴原式＝x 2－4x ＋24x 2－4x ＝－1＋24－1＝－23. 5．[答案] 123[解析] 显然x ＝0不是方程x 2－5x ＋1＝0的解，由此可将方程x 2－5x ＋1＝0的两边同时除以x ，得x 2－5x ＋1x ＝0，左边拆开得x －5＋1x ＝0，即x ＋1x＝5，两边同时平方，得x 2＋2＋(1x )2＝25，∴x 2＋1x 2＝23，即x 4＋1x 2＝23，∴x 2x 4＋1＝123. 6．解：依题意，得1x ＋1y ＝－12，1y ＋1z ＝34，1z ＋1x ＝－34， 以上三个方程相加，得2(1x ＋1y ＋1z )＝－12. 即xy ＋yz ＋zx xyz ＝－14，∴xyz xy ＋yz ＋zx＝－4. 7．[解析] A 将第一个分式的分子和分母同时乘b ，得原式＝ab ab ＋b ＋b b ＋2. ∵ab ＝2，∴原式＝2b ＋2＋b b ＋2＝b ＋2b ＋2＝1.故选A. 8．[答案] 3[解析] 将第二个分式的分子和分母同时乘a 2，得原式＝31＋a 2＋3a 2a 2＋（ab ）2.∵ab ＝1，∴原式＝31＋a 2＋3a 21＋a 2＝3（1＋a 2）1＋a 2＝3. 9．解：将第二个、第三个分式的分子和分母分别乘a ，ab ，得原式＝a ab ＋a ＋1＋ab abc ＋ab ＋a ＋abc a 2bc ＋abc ＋ab. ∵abc ＝1，∴原式＝a ab ＋a ＋1＋ab 1＋ab ＋a ＋1a ＋1＋ab ＝ab ＋a ＋1ab ＋a ＋1＝1. 10．[解析] A 原式＝（x －1）（x ＋1）（x ＋1）2＋2x ＋1＝x －1x ＋1＋2x ＋1＝x ＋1x ＋1＝1.故选A. 11．[答案] 2[解析] 原式＝x （x ＋9）x （x ＋3）＋（x －3）（x ＋3）（x ＋3）2＝x ＋9x ＋3＋x －3x ＋3＝2（x ＋3）x ＋3＝2. 12．解：原式＝（x ＋y ）（x －y ）x ＋y －（2x －y ）22x －y＝x －y －(2x －y )＝－x . 13．解：原式＝[（a －2）（a ＋2）（a －2）2－12－a ]÷2a 2－2a ＝(a ＋2a －2＋1a －2)·a （a －2）2＝12(a 2＋3a )．∵a 2＋3a ＋1＝0，∴a 2＋3a ＝－1，∴原式＝12×(－1)＝－12. 14．[解析] A 原式＝a a －2·4－a 2a －a a ＋2·4－a 2a ＝－(a ＋2)＋(a －2)＝－4.故选A. 15．解：原式＝a 2－1a ·3a a －1－a 2－1a ·a a ＋1＝3(a ＋1)－(a －1)＝2(a ＋2)． 当a ＝2时，原式＝2×(2＋2)＝8.16．解：原式＝[（x －4）（x ＋4）（x ＋4）2＋x x －4]÷1x 2－16＝(x －4x ＋4＋x x －4)·(x ＋4)(x －4)＝(x －4)2＋x (x ＋4)＝2x 2－4x ＋16.当x ＝3时，原式＝22.17．解：原式＝12a －1a －b ·a －b 2a ＋a 2－b 2a －b＝12a －12a＋a ＋b ＝a ＋b .当a ＝10，b ＝5时，原式＝10＋5＝15.。

方法技巧专题：分式运算中的技巧——观特点，定顺序，灵活计算◆类型一 按常规步骤运算1．计算1x －1x －y的结果是( ) A ．－y x （x －y ） B.2x ＋y x （x －y ）C.2x －y x （x －y ）D.y x （x －y ）2．化简m m ＋3＋6m 2－9÷2m －3的结果是________． 3．(2016－2017·张家界市桑植县期中)先化简a －2a ＋3÷a 2－42a ＋6－5a ＋2，再选一个你所喜欢的数代入求值．◆类型二 先约分，再化简4．(2016·德州中考)化简a 2－b 2ab －ab －b 2ab －a 2等于( ) A.b a B.a b C ．－b a D ．－a b5．化简：a 2－1a 2＋2a ＋1÷a 2－a a ＋1＝________． 6．先化简，再求值：x 2－2x ＋1x 2－1÷⎝⎛⎭⎫1－3x ＋1，其中x ＝0.◆类型三 混合运算中灵活运用分配律7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2－1＋x －1x ＋1÷1x 2－1的结果是( ) A.1x 2＋1 B.1x 2－1C ．x 2＋1D ．x 2－1 8．计算：⎝⎛⎭⎫2x x －2－x x ＋2÷x x 2－4＝________． 9．先化简，再求值：12x －1x ＋y ·⎝⎛⎭⎫x 2－y 2＋x ＋y 2x ，其中x ＝2，y ＝3.◆类型四 分式化简求值注意整体代入10．若xy －x ＋y ＝0且xy ≠0，则分式1x －1y的值为( ) A.1xyB ．xyC ．1D ．－1 11．已知x 2－3x ＋1＝0，则x x 2－x ＋1的值是( ) A.12B ．2 C.13D ．3 12．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0.【方法2①】参考答案与解析1．A 2.13．解：原式＝a －2a ＋3×2（a ＋3）（a －2）（a ＋2）－5a ＋2＝2a ＋2－5a ＋2＝－3a ＋2.∵a ＋3≠0，a 2－42a ＋6≠0，a ＋2≠0，∴a ≠－3且a ≠±2，∴可取a ＝0.当a ＝0时，原式＝－32. 4．B 5.1a6．解：原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）÷⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1－3x ＋1＝x －1x ＋1·x ＋1x －2＝x －1x －2.当x ＝0时，原式＝12. 7．C 8.x ＋69．解：原式＝12x －1x ＋y ·(x ＋y )(x －y )－1x ＋y ·x ＋y 2x ＝12x－(x －y )－12x ＝－(x －y )＝y －x .当x ＝2，y ＝3时，原式＝3－2＝1.10．D11．A 解析：因为x 2－3x ＋1＝0，所以x 2＝3x －1，所以x x 2－x ＋1＝x 3x －1－x ＋1＝12.故选A. 12．解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －1）（x ＋1）x （x ＋1）－x （x －2）x （x ＋1）÷x （2x －1）（x ＋1）2＝（x 2－1）－（x 2－2x ）x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x 2.因为x 2－x －1＝0，所以x 2＝x ＋1，所以原式＝x ＋1x ＋1＝1.作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。

小专题(十六) 与分式方程有关的运算技巧(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)方法技巧1 裂项相消法解分式方程1．解方程：1x （x ＋1）＋1（x ＋1）（x ＋2）＋1（x ＋2）（x ＋3）＝1x ＋3.2．解方程：1x （x ＋3）＋1（x ＋3）（x ＋6）＋1（x ＋6）（x ＋9）＝32x ＋18.方法技巧2 两边通分法解分式方程3．解方程：1x －4－1x －5＝1x －7－1x －8.4．解方程：1x ＋1＋1x ＋4＝1x ＋2＋1x ＋3.方法技巧3 利用无解(增根)的意义解题5．当m 为何值时，分式方程mx ＋1－2x －1＝3x 2－1会产生增根？方法技巧4 已知分式方程根的情况求参数的取值范围(易错点：忽视增根的情况)6．已知关于x 的方程2x ＋mx －2＝3的解是正数，求m 的取值范围．7．当a 为何值时，关于x 的方程x ＋1x －2－x x ＋3＝x ＋a（x －2）（x ＋3）的解为负数？参考答案1.原方程变形为1x －1x ＋1＋1x ＋1－1x ＋2＋1x ＋2－1x ＋3＝1x ＋3.整理，得1x －2x ＋3＝0，去分母，得x ＋3－2x ＝0，解得x ＝3.经检验，x ＝3是原分式方程的解．2.原方程变形为13(1x －1x ＋3)＋13(1x ＋3－1x ＋6)＋13(1x ＋6－1x ＋9)＝32x ＋18.整理，得1x －1x ＋9＝92（x ＋9），去分母，得2(x ＋9)－2x ＝9x ，解得x ＝2.经检验，x ＝2是原分式方程的解．3.两边通分得：（x －5）－（x －4）（x －4）（x －5）＝（x －8）－（x －7）（x －7）（x －8），－1x 2－9x ＋20＝－1x 2－15x ＋56，6x ＝36，x ＝6.经检验，x ＝6是原分式方程的解．4.移项得：1x ＋1－1x ＋2＝1x ＋3－1x ＋4，两边通分得：1x 2＋3x ＋2＝1x 2＋7x ＋12，x 2＋3x ＋2＝x 2＋7x ＋12，－4x ＝10，x ＝－2.5.经检验，x ＝－2.5是原分式方程的解．5.原方程去分母并整理得：(m －2)x ＝5＋m ，假设产生增根x ＝1，则有m －2＝m ＋5，方程无解，∴不存在m 的值，使原方程产生增根x ＝1；假设产生增根x ＝－1，则有2－m ＝5＋m ，解得m ＝－32.∴当m ＝－32时，分式方程m x ＋1－2x －1＝3x 2－1产生增根．6.去分母得2x ＋m ＝3(x －2)，解得x ＝m ＋6.∵x 为正数，故m ＋6>0，∴m>－6.∵x －2≠0，∴x ≠2，从而m ＋6≠2，解得m ≠－4.故m 的取值范围是m>－6且m ≠－4.7.去分母，得(x ＋1)(x ＋3)－x(x －2)＝x ＋a ，解得x ＝a －35.令x ＝a －35＜0，得a ＜3.又∵x ≠2且x ≠－3，即a －35≠2且a －35≠－3，∴当a ＜3且a ≠－12时，原方程的解为负数．。