函数的单调性与导数 学案

函数的单调性与导数教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念，能够判断函数的单调性。

2. 让学生掌握导数的定义，能够计算常见函数的导数。

3. 让学生理解导数与函数单调性的关系，能够利用导数判断函数的单调性。

二、教学内容1. 函数的单调性定义：如果函数f(x)在区间I上，对于任意的x1, x2∈I，当x1 < x2时，都有f(x1) ≤f(x2)，则称f(x)在区间I上为增函数；如果对于任意的x1, x2∈I，当x1 < x2时，都有f(x1) ≥f(x2)，则称f(x)在区间I上为减函数。

2. 导数的定义定义：函数f(x)在点x处的导数定义为函数在点x处的切线斜率，记作f'(x)，即f'(x) =lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗。

3. 常见函数的导数（1）常数函数f(x) = c，其导数为f'(x) = 0。

（2）幂函数f(x) = x^n，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

（3）指数函数f(x) = a^x，其导数为f'(x) = a^x ln(a)。

（4）对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。

4. 导数与函数单调性的关系（1）如果f'(x) > 0，则f(x)在区间(-∞, +∞)上为增函数。

（2）如果f'(x) < 0，则f(x)在区间(-∞, +∞)上为减函数。

（3）如果f'(x) = 0，则f(x)可能在某点处改变单调性。

三、教学方法1. 采用讲解法，讲解函数的单调性和导数的定义及计算方法。

2. 采用案例分析法，分析导数与函数单调性的关系。

3. 采用练习法，让学生通过练习巩固所学知识。

四、教学步骤1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数的单调性。

2. 讲解：讲解函数的单调性的定义，并通过实例演示如何判断函数的单调性。

3. 讲解：引入导数的定义，讲解常见函数的导数计算方法。

函数的单调性与导数导学案【学习目标】1、了解可导函数的单调性与其导数的关系.2、掌握利用导数判断函数单调性的方法.【学习重难点】教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 【学法指导】运用导数这个工具研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，并与以前知识相比较，体会导数在研究函数中优越性。

知识链接一、【自主学习】1．增函数、减函数的定义一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．1.观察23页图1.3.2的四副图，完成下列表格。

2、以小组为单位完成上列表格二【合作探究】1、学生以小组为单位讨论上述表格函数的单调性与其导数的正负的关系：2、抽生回答3、师总结：在区间[a’b]内，若f '(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f '(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减。

备注：f '(x )＞0是函数单调递增的充分不必要条件 f '(x )＜0是函数单调递减的充分不必要条件。

f '(x )》0f '(x )《0例．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．师扮演过程：解：f (x )'＝6x 2－12x ．令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2．因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数， 当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数． 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2． 因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数． 师总结：利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．练习1：教材P24面的例2 【课堂小结】1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法. 【达标检测】1、求下列函数的单调区间．(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝12x.2、已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1） 求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

导数与函数单调性【课标要求】1．掌握函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 【核心扫描】1．利用导数确定函数的单调性及求函数的单调区间．(重点) 2．利用导数证明一些简单不等式．(难点) 3．常与不等式、方程等结合命题教学过程： 一、复习引入、回顾思考 1.导数的几何意义: 2.常见函数的导数公式：3.求导法则：4.思考：（1）到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？（2）函数单调性的定义是什么？怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（3）由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？（4）还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？ 有没有捷径？ 5．探究活动、观察与表达通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？ 填表（表格1）填表（表格2）32()233616f x x x x =--+二、建构数学探究1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y =f (x )的切线的斜率就是函数y =f (x )的导数. 从函数342+-=x x y 的图象可以看到：探究2. 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系结论：一般地,设函数y ＝f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间注：三、数学运用命题角度1 求不含参数的函数的单调区间 例1：求函数f(x)=2x 3-6x 2+7的单调区间.思考与感悟：用导数法求函数单调区间的一般步骤：（1） （2） （3） （4）例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 2－ln x ；(2)f(x)＝1-x e x；题组训练：求下列函数单调区间(1) y ＝e x －x ＋1. （2）f (x )＝3x 2－2ln x);,0(,sin )( )3(π∈-=x x x x f 32(4) ()2324 1.f x x x x =+-+;ln )5(x x y =命题角度2 应用导数信息确定函数大致图象例3已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状. (选讲)命题角度3利用导数判断函数的单调性例4 证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．四、巩固训练五、课堂小结：通常对于哪些函数我们用“导数法”来判断它们的单调性比较简便？六、课后作业：教案精品文档。

1．3.1函数的单调性与导数学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一函数的单调性与导函数的关系思考观察图中函数f(x)，填写下表．梳理一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内．知识点二利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．()2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.()类型一函数图象与导数图象的应用例1已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.给出下列关于函数f(x)的说法：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．其中正确说法的个数是()A．4 B．3C．2 D．1考点函数的单调性与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数图象答案D解析依题意得，函数f(x)不可能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1<a<2)个单位长度后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确．故选D.反思与感悟(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．跟踪训练1已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是()考点 函数的单调性与导数的关系 题点 根据导函数图象确定原函数图象 答案 C解析 当0<x <1时，xf ′(x )<0， ∴f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x >1时，xf ′(x )>0，∴f ′(x )>0， 故y ＝f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故选C.类型二 利用导数求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间． (1)y ＝21x 2－ln x ； (2)y ＝x ＋x b(b >0)．考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 解 (1)函数y ＝21x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， 又y ′＝x (x ＋1.若y ′>0，即x>0，(x ＋1解得x >1； 若y ′<0，即x>0，(x ＋1解得0<x <1.故函数y ＝21x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0,1)． (2)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f ′(x )＝x b ′＝1－x2b，令f ′(x )>0，则x21(x ＋)(x －)>0， 所以x >或x <－.所以函数的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)． 令f ′(x )<0，则x21(x ＋)(x －)<0， 所以－<x <且x ≠0.所以函数的单调递减区间为(－，0)，(0，)． 反思与感悟 求函数y ＝f (x )的单调区间的步骤 (1)确定函数y ＝f (x )的定义域． (2)求导数y ′＝f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数． (4)解不等式f ′(x )<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数． 跟踪训练2 函数f (x )＝(x 2＋2x )e x (x ∈R )的单调递减区间为____________． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求不含参数函数的单调区间 答案 (－2－，－2＋)解析 由f ′(x )＝(x 2＋4x ＋2)e x <0， 即x 2＋4x ＋2<0， 解得－2－<x <－2＋.所以f (x )＝(x 2＋2x )e x 的单调递减区间为(－2－，－2＋)．例3 讨论函数f (x )＝21ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋1－x a ＋1＝x ax2＋x －(a ＋1. (1)当a ＝0时，f ′(x )＝x x －1，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． (2)当a >0时，f ′(x )＝x (x －1， ∵a >0，∴a a ＋1>0.由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．综上所述，当a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． 反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解． 跟踪训练3 设函数f (x )＝e x －ax －2，求f (x )的单调区间． 考点 利用导数求函数的单调区间 题点 利用导数求含参数函数的单调区间 解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a . 若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a >0时，f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增.1．函数f (x )＝x ＋ln x ( ) A ．在(0,6)上是增函数 B ．在(0,6)上是减函数C ．在e 1上是减函数，在，61上是增函数 D ．在e 1上是增函数，在，61上是减函数2．若函数f (x )的图象如图所示，则导函数f ′(x )的图象可能为( )3．函数f (x )＝3＋x ·ln x 的单调递增区间是( ) A.e 1B ．(e ，＋∞)C.，＋∞1D.，e 14．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________.5．试求函数f (x )＝kx －ln x 的单调区间．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.一、选择题1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．在区间(－2,1)上，f(x)是增函数B．在(1,3)上，f(x)是减函数C．在(4,5)上，f(x)是增函数D．在(－3，－2)上，f(x)是增函数2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()3．已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象只可能是所给选项中的()4．函数f(x)＝x e－x的一个单调递增区间是()A．[－1,0] B．[2,8]C．[1,2] D．[0,2]5．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin x B．y＝x e xC．y＝x3－x D．y＝ln x－x6.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，若△ABC为锐角三角形，则下列不等式一定成立的是()A．f(cos A)<f(cos B)B．f(sin A)<f(cos B)C．f(sin A)>f(sin B)D．f(sin A)>f(cos B)7．定义在R上的函数f(x)，若(x－1)·f′(x)<0，则下列各项正确的是()A．f(0)＋f(2)>2f(1)B．f(0)＋f(2)＝2f(1)C．f(0)＋f(2)<2f(1)D．f(0)＋f(2)与2f(1)大小不定二、填空题8．若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则函数f (x ＋1)的单调递减区间是________．9.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )<0的解集为________．10．已知函数f (x )＝k e x －1－x ＋21x 2(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与x 轴平行，则f (x )的单调递增区间为____________．11．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a 的值为________．12．定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，f ′(x )<2，则满足f (x )>2x －1的x 的取值范围是________．三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间．四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的大致图象是( )15．已知函数f (x )＝x －x 2＋a (2－ln x )，a >0，试讨论f (x )的单调性．。

1.3.1函数的单调性与导数1．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导(1)若在区间(a，b)内，f′(x)>0，则f(x)在此区间内是□01单调递增的．(2)若在区间(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间内是□02单调递减的．2．求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的□03定义域．(2)计算f′(x)，令□04f′(x)＝0，求零点．(3)用零点和不连续点(或不可导点)将定义域分成若干区间(若无不连续点或不可导点，则直接用零点划分区间)．(4)判断f′(x)在每个区间的□05符号，确定函数f(x)的□06增区间和□07减区间．函数的增减快慢与导数一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图，函数y ＝f (x )的图象在(0，a )内“陡峭”，在(a ，＋∞)内“平缓”． 说明：通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之也可行．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f (x )在定义域上都有f ′(x )>0，则函数f (x )在定义域上单调递增．( ) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)函数y ＝x 3＋x 在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．(2)若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则a ，b ，c 的关系式为________．(3)函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________． 答案 (1)上升 (2)a >0，且b 2≤3ac (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53，(1，＋∞)探究1 函数与导函数图象之间的关系例1 f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )[解析]由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<x1时，f′(x)<0，即函数f(x)为减函数；当x>x1时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数．观察选项易知C正确．[答案] C拓展提升研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．【跟踪训练1】设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()答案 D解析 应用函数的单调性与其导数的正负之间的关系来判断导函数的图象． 探究2 求函数的单调区间 例2 求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝e xx －2；(3)f (x )＝－x 3＋3x 2；(4)f (x )＝－13ax 3＋x 2＋1(a ≤0)． [解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x.因为x >0，所以2x ＋1>0，由f ′(x )>0，解得x >22，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞；由f ′(x )<0，解得x <22，又x ∈(0，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，22.(2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x >0，(x －2)2>0.由f ′(x )>0，解得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，解得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．(3)f (x )＝－x 3＋3x 2的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)．当0<x <2时，f ′(x )>0，因此，函数在区间(0,2)上是单调递增的；当x <0或x >2时，f ′(x )<0，因此，函数在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递减的．故函数f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)． (4)因为f ′(x )＝－ax 2＋2x .①当a ＝0时，f (x )＝x 2＋1，其单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，令f ′(x )>0，所以(－ax ＋2)x >0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a x >0，得x >0或x <2a ，由f ′(x )<0，得2a <x <0.故f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0.拓展提升(1)利用导数求函数f (x )的单调区间，实质上是转化为解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0，不等式的解集就是函数的单调区间．(2)如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接或直接用逗号隔开，不能写成并集的形式．(3)要特别注意函数的定义域．【跟踪训练2】 求下列函数的单调区间． (1)y ＝(1－x )e x ；(2)y ＝x 3－2x 2＋x ；(3)y ＝12x ＋sin x ，x ∈(0，π)；(4)y ＝a x －a －x (a >0且a ≠1)．解 (1)∵y ＝(1－x )e x ，∴y ′＝－x e x ，∴y ′>0时x <0，y ′<0时x >0，所以递增区间为(－∞，0)，递减区间为(0，＋∞)．(2)∵y ＝x 3－2x 2＋x ，∴y ′＝3x 2－4x ＋1，x ∈R ， ①令3x 2－4x ＋1>0，得x >1或x <13.②令3x 2－4x ＋1<0，得13<x <1.∴函数y ＝x 3－2x 2＋x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(3)∵y ＝12x ＋sin x ，∴y ′＝12＋cos x ，①令y ′>0，得cos x >－12，又∵x ∈(0，π)， ∴0<x <2π3.②令y ′<0，得cos x <－12，又∵x ∈(0，π)，∴2π3<x <π.∴函数y ＝12x ＋sin x 的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π.(4)y ′＝a x ln a －a －x ln a ·(－x )′＝(a x ＋a －x )ln A ． 当a >1时，ln a >0，a x ＋a －x >0， 所以y ′>0在R 上恒成立．所以函数y ＝a x －a －x 在R 上是增函数． 当0<a <1时，ln a <0，a x ＋a －x >0， 所以y ′<0在R 上恒成立．所以函数y ＝a x －a －x 在R 上是减函数．综上可知，当a >1时，函数y ＝a x －a －x 在R 上是增函数；当0<a <1时，函数y ＝a x －a －x 在R 上是减函数．探究3 应用函数单调性求参数范围例3 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间[1,4]上为减函数，在区间[6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．[解] f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，对于任意的x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，即函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，不符合题意；当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1]和[a －1，＋∞)上单调递增，在[1，a －1]上单调递减，依题意[1,4]⊆[1，a －1]且[6，＋∞)⊆[a －1，＋∞)，从而4≤a －1≤6，故5≤a ≤7.综上，实数a 的取值范围为[5,7]． 拓展提升已知f (x )在区间(a ，b )上的单调性求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理：f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理：f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立；(3)对于探索性问题，一般先对结论肯定存在的假设，然后由此假设出发，根据已知条件进行推理论证．【跟踪训练3】已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围．解因为f(x)＝ax3＋3x2－x＋1，所以f′(x)＝3ax2＋6x－1.当x∈R时，f(x)为减函数，得f′(x)≤0，即3ax2＋6x－1≤0(x∈R)．①当a＝0时，f′(x)＝6x－1≤0(x∈R)不成立(舍去)，②当a>0时，f′(x)≤0(x∈R)不成立(舍去)，③当a<0时，f′(x)≤0(x∈R)，则有Δ＝36＋12a≤0，解得a≤－3.所以，当a≤－3时，函数f(x)在R上为减函数．所以a的取值范围为(－∞，－3]．探究4利用导数证明不等式例4求证：当n∈N*，且n≥3时，2n＞2n＋1.[证明]设f(x)＝2x－2x－1(x≥3)，则f′(x)＝2x ln 2－2(x≥3)．因为x≥3，所以f′(x)≥23·ln 2－2＞0.所以f(x)在[3，＋∞)内是增函数．所以f(x)的最小值为f(3)＝23－2×3－1＝1＞0.所以当n∈N*，且n≥3时，f(n)≥f(3)＞0，即2n－2n－1＞0恒成立．故当n∈N*，且n≥3时，2n＞2n＋1成立．拓展提升利用导数证明此类不等式，可以作不等式两边的差构造函数f (x )．因此，要证不等式成立，只需证f (x )＞0在其定义域内恒成立即可．【跟踪训练4】 已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22. (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1.解 (1)由题意得f (x )定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x ，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得－x 2＋x ＋1>0， 解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.判断函数单调性的方法(1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x 1，x 2，且x 1<x 2，通过判断f (x 1)－f (x 2)的符号确定函数的单调性.(2)图象法，观察图象的变化趋势直观判断.(3)利用导数判断可导函数f (x )在(a ，b )内的单调性，步骤是：①求f ′(x )；②确定f ′(x )在(a ，b )内符号；③得出结论.1．下列命题中正确的是( )A ．若f (x )在(a ，b )上是增函数，则对任意x ∈(a ，b )都有f ′(x )＞0B ．若在(a ，b )上对任意x 都有f ′(x )＞0，则f (x )在(a ，b )上是增函数C ．若f (x )在(a ，b )上是单调函数，则f ′(x )也是单调函数D ．若可导函数f (x )在(a ，b )上有f ′(x )＜0，则在(a ，b )上有f (x )＜0 答案 B解析 根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可知B 正确；对于A ，可能存在x 0∈(a ，b )，使得f ′(x 0)＝0；因为f ′(x )的单调性与f (x )的单调性的关系不确定，所以C 不正确；因为f ′(x )与f (x )的符号关系不确定，所以D 不正确．2．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2 D ．a ≤13 答案 A解析 由题意可知f ′(x )≤0恒成立，即3ax 2－1≤0恒成立，显然B ，C ，D 都不能使3ax 2－1≤0恒成立，故选A ．3．函数f (x )＝x ln x 的单调递减区间为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0得x <1e ，又x >0，所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .4．设函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，因为f (x )在(1，＋∞)上是增函数，所以3x 2＋a ≥0对x ∈(1，＋∞)恒成立，即a ≥－3x 2对x ∈(1，＋∞)恒成立，又－3x 2<－3，所以a ≥－3.5．判断函数y ＝ax 3－1(a ∈R )在(－∞，＋∞)上的单调性． 解 y ′＝3ax 2，x 2≥0.当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增；当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减；当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．A级：基础巩固练一、选择题1．函数f(x)＝x3－3x＋1的单调递减区间为()A．(－1,1) B．(1,2)C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)答案 A解析f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3<0得－1<x<1.所以原函数的单调递减区间为(－1,1)．2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()答案 A解析因为导函数f′(x)是增函数，所以切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大．3．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有()A．f(2)<f(e)<f(3) B．f(e)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(e)<f(2) D．f(e)<f(3)<f(2)答案 A解析因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝12x＋1x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．故选A．4．若函数f (x )＝mx ＋x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，则实数m 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A解析 由题意，得f ′(x )＝m ＋12x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，即m ≥－12x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立．令g (x )＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1，g ′(x )＝14x－ 32 ，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上g ′(x )>0，所以g (x )max ＝g (1)＝－12，故m ≥－12，故选A ．5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )答案 D解析 图A 中，直线为导函数f ′(x )图象，抛物线为原函数f (x )图象，故A 正确；B 中导函数递减且恒大于0，原函数单调递增，故B 正确；C 中，导函数单调递增且恒大于0，原函数单调递增，故C 正确；D 中，若上面曲线为导数，则f ′(x )大于0，原函数单调递增；若下面曲线为导函数，则f ′(x )恒小于0，原函数单调递减，均不符合，故D 错误．6．若函数y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成立，且常数a ，b 满足a <b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．af (b )>bf (a )B ．af (a )>bf (b )C ．af (a )<bf (b )D ．af (b )<bf (a )答案 C解析 令g (x )＝x ·f (x )，则g ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )>0，∴g (x )在R 上是增函数．又∵a ，b 为常数且a <b ，∴g (a )<g (b )，即af (a )<bf (b )，故选C ．二、填空题7．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．答案 m ≥13解析 因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1在R 上单调，f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f (x )在R 上只能递增，f ′(x )≥0，所以Δ＝4－12m ≤0，所以m ≥13.8．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案 1≤k <32解析 显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x .由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. ∵函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，∴⎩⎨⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32 .9．设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案 (－∞，－1)和(0，＋∞) (－1,0)解析 因为f (x )＝x (e x －1)－12x 2，所以f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．三、解答题10．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a的取值范围．解 f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2A ．函数有单调递增区间，即在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞内，导函数大于零有解，令29＋2a >0，得a >－19.所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间．B 级：能力提升练11．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)因为函数f (x )的图象过点P (1,2)，所以f (1)＝2，所以a ＋b ＝1.① 又函数图象在点P 处的切线斜率为8，所以f ′(1)＝8， 又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以2a ＋b ＝5.② 解由①②组成的方程组，可得a ＝4，b ＝－3. (2)由(1)得f ′(x )＝3x 2＋8x －3， 令f ′(x )>0，可得x <－3或x >13； 令f ′(x )<0，可得－3<x <13.所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，13. 12．已知函数f (x )＝ln x ＋ax ＋a ＋1x －1.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当－12≤a ≤0时，讨论f (x )的单调性． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1， 此时f ′(x )＝1x ＋1－2x 2，f ′(2)＝12＋1－24＝1. 又因为f (2)＝ln 2＋2＋22－1＝ln 2＋2， 所以切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2整理得x －y ＋ln 2＝0.(2)f ′(x )＝1x ＋a －1＋a x 2＝ax 2＋x －a －1x 2＝(ax ＋a ＋1)(x －1)x 2.当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2.此时，在(0,1)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 在(1，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增．当a ＝－12时，f ′(x )＝－(x －1)22x 2≤0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当－12<a <0时，f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a (x －1)x 2，－1＋a a >1，此时在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上，f ′(x )<0，f (x )单调递减；在⎝⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 综上，当a ＝0时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增； 当－12<a <0时，f (x )在(0,1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋a a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1＋a a 上单调递增；当a ＝－12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减．。

导数的简单应用之层数与函数的单调性（导学案）学习目标：（1）能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；（2）能解决含参函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。

学习重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。

学习难点：探求含参函数的单调性的问题。

复习回顾：导数的概念、几何意义、导数的计算基础梳理：函数的单调性与导数的关系：.（1）函数)(x f y =在某个区间内可导①若0)(/>x f ,则)(x f 在这个区间内 ；②若0)(/<x f ,则)(x f 在这个区间内 ；③如果在某个区间内恒有0)(/=x f ,则)(x f 为 ；（2）求解函数()y f x =单调区间的步骤：①确定函数()y f x =的 ； ②求导数''()y f x =； ③解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为 ；④解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为 ．质疑探究：在区间(a ，b )内，若f ′(x )＞0，则f (x )在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示：)(x f 在(a ，b )内单调递增，则 。

结论：f ′(x )＞0是)(x f 在(a ，b )内单调递增的 条件。

基础检测：1、已知函数的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =。

试画出函数()y f x =图像的大致形状．2、判断函数3()3f x x x =+的单调性，并求出单调区间．考点突破：例1、(2012年高考重庆卷)设f(x)=12321ln +++x x x a ，其中a ∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y 轴.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值。

§3.3.1函数的单调性与导数1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法8993复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ；()'x e = ；()'x a = ；二、新课导学※ 学习探究探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间（2，∞+）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数()y f x =在区间（2，∞+）内为 函数；在区间（∞-，2）内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间（∞-，2）内为 函数.新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数.试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--；（3）()sin ,(0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+.反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：①求函数f (x )的导数()f x '.②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？※ 典型例题例1 已知导函数的下列信息：当14x <<时，()0f x '>；当4x >，或1x <时，()0f x '<；当4x =，或1x =时，()0f x '=.试画出函数()f x 图象的大致形状.变式：函数()y f x =的图象如图所示，试画出导函数()f x '图象的大致形状.例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.※ 动手试试练1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）2()24f x x x =-+； （2）()x f x e x =-；（3）3()3f x x x =-； （4）32()f x x x x =--.练2. 求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数.三、总结提升※ 学习小结用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的定义域；②求函数f (x )的导数()f x '.③令()0f x '=，求出全部驻点；④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()f x '的符号，由此确定()f x 的单调区间 注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.※ 知识拓展一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数()y f x =在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”，在(,)b +∞或(,)a -∞内的图象“平缓”.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有（ ）A ．240b ac -<B ．230b ac -<C ．240b ac ->D ．230b ac ->2. （2004全国）函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）A ．3(,)22ππ B ．(,2)ππ C ．35(,)22ππ D ．(2,3)ππ 3. 若在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()0f x =D ．不能确定4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是5.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）32()f x x x x =+-；（2）3()3f x x x =+；（3）()cos ,(0,)2f x x x x =+∈.1. 已知汽车在笔直的公路上行驶：（1）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点.（2）如果函数()y f t =表示时刻t 时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？。

3．3．1函数的单调性和导数学案学习目标1．理解函数单调性和导数的关系； 2．会利用导数判断函数的单调性。

学习重点和难点1．重点，难点：函数单调性和导数的关系；一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：2. 导数运算法则 法则1法则2 法则3 3.函数单调性的判断：函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 时 1）都有 ，则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 ，则 f ( x ) 在G 上是减函数； 单调函数的图像特征若 f(x) 在G 上是增函数或减函数，则 f(x) 在G 上具有严格的单调性。

二、 讲授新课 问题1：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：y x o a b yx o a b（1） ． （2） ．问题2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．问题3：若函数f (x )在区间(a ，b )内单调递增，那么f ′(x )一定大于零吗？ 问题4：(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题2中(4)的单调区间.(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？结论：函数的单调性与导数的关系说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >； 当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．跟踪训练1 函数y ＝f (x )的图象如图所示，试画出导函数f ′(x )图象的大致形状.例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+跟踪训练2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x(e x－1)－x2；(2)f(x)＝3x2－2ln x.利用导数求函数单调区间的基本步骤探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题5 我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像．小结：跟踪训练3 已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是四：课堂练习：1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A.单调增函数B.单调减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ C.(0，＋∞) D.(0，a )4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为_________，减区间为__________.五、本节课我们的收获 ：崇礼县第一中学 陈树伟。

§1.3.1函数的单调性与导数教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点： 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．问题1:运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？(运动员距水面高度先增大后减小)问题2：你能确定该函数的单调区间吗？函数的单调递增区间为),0(a ，单调递减区间为),(b a以下换一种思路：下面请同学们观察图像（2）（图像2是1的导函数图像） 问题3：在),0(a 和),(b a 两个区间上导函数值的正负情况如何？问题4：对比两种思路得到的结论，你发现了什么？问题5：你觉得你得到的结论是否具有一般性？结合常见函数的图像探讨单调性与导数的关系（书中23页 图1.3.2）得出结论的一般性。

如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．※ 得出函数的导数与函数的单调性的关系：一般地，设函数()y f x =在某个区间()b a ,内有导数，如果①在这个区间()b a ,内 ，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数； ②在这个区间()b a ,内 ，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数． 说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增； 当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+ 解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以 ．当'()0f x >，即 时，函数2()23f x x x =-- ； 当'()0f x <，即 时，函数2()23f x x x =-- ；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．例3 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()a ,0内的图像“陡峭”，在()+∞,a 内的图像“平缓”．四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x 1+2x3. f (x )=sin x , x ]2,0[π∈4. y=xlnx五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间六．布置作业：课本26p 练习。

第三章 导数及其应用第三节3.3.1 函数的单调性与导数一、学习目标：1.理解函数的单调性与导数正负的关2.掌握利用导数判断函数单调性的方法和步骤3.掌握含有参数的求导及相应单调区间的综合问题【重点、难点】重点：利用导数研究函数的单调性难点：求含有参数多的函数单调性问题二、学习过程【情景创设】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?【导入新课】如图，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减。

知识点归纳总结：函数的单调性与导数的关系:在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减。

【典型例题】例1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间。

（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--；例 2.若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+()2a >在区间(1,4)上为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围。

【变式拓展】1.已知函数()321f x x ax x =-+--在(-∞,+∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围。

22.求函数()22ln f x x a x =+的单调区间。