【衡水金卷】2018高考模拟文科数学(二)(含答案)

衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)（附答案）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 为虚数单位，复数12aii +- (a R ∈)为纯虚数，则a 的值为 A ．-2 B ．12-C ．2D ．122. 已知集合{}2log 3A x x =<，{}2450B x x x =-->，则()R A C B =（ ）A ．[)1,8- B ． (]05, C ．[)1,5- D ．()0,8 3. 已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和，764a =，15320a a a +=，则5S =（ ）A ．31B ．63C ． 16D ． 1274.设向量a =，(,3)b x =-，(1,c =，若//b c ，则a b -与b 的夹角为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C. 120︒ D ．150︒5.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，测得Γ的离心率为，则椭圆Γ的方程为（ ）A ．221164x y +=B ．2214x y += C. 2216416x y += D ．22154x y +=6.已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量()q x (单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为1260,020,1()9020180,xxq xx⎧<≤⎪+=⎨⎪-<≤⎩, 则当该服装厂所获效益最大时，x=A．20 B．60 C. 80 D．407. 已知,x y满足不等式组240,20,30,x yx yy+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则1z x y=+-的最小值为（）A．2 B．．18. 已知函数21()10sin10sin2f x x x=---，,2x mπ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数m的取值范围是（）A．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.已知21(1+2)nx xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中常数项为-42，则n=（）A． 10 B． 8 C. 12 D．1110. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．30π．803π923π．763π11.已知22221x y a b Γ-=： （0,0a b >>1）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线Γ右支上一点，且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，且22P M M F =，若PA 的中点E 在1F M 的延长线上，则双曲线Γ的离心率是（ ）A．．D．12. 已知函数22()(2)()f x x x x mx n =+++，且对任意实数x ,均有(3)(3)f x f x -+=--，若方程()f x a =有且只有4个实根，则实数a 的取值范围（ ）A ．(16,9)-B ．(]16,9- C. (]16,0- D ．(]16,5--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知圆心角为120︒的扇形的圆心为O ，在其弧AB 上任取一点P ，则使AOP ∠和BOP ∠同时大于50︒的概率为 ．14.已知直线m ，n 和平面α，β，且m α⊂，n β⊂，则“//m β，//n α”是“//αβ”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要” 15.执行如图所示的程序框图，若输出的2017s =，则正整数T = ．16. 已知数列{}n a 满足11a =，22a =，212n na +是(2)n n a +，2(2)a n λ+的等差中项，若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C的对边，向量,)m A a =，(,cos )n b B =，2m n a ⋅=（1）求B ；（2）若ABC ∆外接圆的直径为sin sin()2sin2B C AA +-=，求ABC ∆的面积. 18.在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 为边长为2的菱形，ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且//AB CD ，AB BC ⊥，1CD =. （1）若E ，F 分别为11AC ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ；（2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角11A AC D --的余弦值.19.某企业从某种型号的产品中抽取了N 件对该产品的某项指标E 的数值进行检测，将其整理成如图所示的频率分布直方图，已知数值在100~110的产品有2l 件.（1）求N 和a 的值； （2）规定产品的级别如下表：已知一件,,C B A 级产品的利润分别为10，20，40元,以频率估计概率，现质检部门从该批产品中随机抽取两件，两件产品的利润之和为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）为了了解该型号产品的销售状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图，由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场卢有率y （%）与月份代码x 之间的关系.求y 关于x 的线性回归方程，并预测2017年4月份(即7x =时)的市场占有率.(参考公式：回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆ)a y bx =-20.已知抛物线2:2x py Γ=（0p >），直线2y =与抛物线Γ交于,A B (点B 在点A 的左侧)两点，且AB =.（1）求抛物线Γ在,A B 两点处的切线方程；（2）若直线l 与抛物线Γ交于,M N 两点，且,M N 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求QMN ∆面积的最大值.21.已知函数()x f x e mx =-，()()2x g x xf x e =-+，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为(1)y e x n =-+，求,m n 的值；（2）当2m >时，若()g x 在区间[)0,+∞上有两个零点1x ,212()x x x <，试判断14lnx e +，2x ，m 的大小关系.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l的参数方程为,222xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t为参数)，曲线1C的参数方程为,2sinx ay a⎧=⎪⎨=⎪⎩(a为参数)，曲线2C的极坐标方程为[)0,2)ρθπ=∈.（1）求曲线1C和2C的公共点的极坐标；（2）若P为曲线1C上的一个动点，求P到直线l的距离的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()224f x x x=-++.（1）解不等式：()34f x x≥-+；（2）若函数()f x的最小值为a，且(0,0)m n a m n+=>>，试求2018201810071007m n+++的最小值.理数（二）一、选择题1-5: CBADA 6-10: CDBBC 11、12：CA二、填空题13.16 14. 必要不充分 15. 2016 16.[)0,+∞三、解答题17.解:（1）因为2m n a⋅=，sin cos2A aB a+=.sin sin cos 2sin B A A B A +=， 又sin 0A ≠，cos 2sin()26B B B π+=⇒+=.因为0B π<<，所以7666B πππ<+<，所以62B ππ+=，即3B π=.（2）由（1）和正弦定理，得32b B ===.因为sin sin()2sin 2B C A A +-=， 所以sin()sin()2sin 2C A C A A ++-=，sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos C A C A C A C A A A ++-=，即 sin cos 2sin cos C A A A =.当cos 0A =时，2A π=，由正弦定理，得a =c =所以12ABC S bc ∆==. 当cos 0A ≠时，有sin 2sin C A =，即2c a =，由余弦定理，得222a cb ac +-=，所以239a a =⇒=c =所以1sin 22ABC S ac B ∆==综上，ABC ∆的面积为.18.解:（1）连接1A B ,因为四边形11ABB A 为菱形，所以11A B AB ⊥.因为平面11ABB A ⊥平面A B C D ，平面11ABB BA 平面A B C D A B =，BC ⊂平面A B C D ，AB BC ⊥，所以BC ⊥平面11ABB A . 又1A B ⊂平面11ABB A ，所以1A B BC ⊥. 因为11//BC B C ，所以111A B B C ⊥. 因为1111B C AB B =，所以1A B ⊥平面11AB C .因为,E F 分别为11AC ，1BC 的中点，所以1//EF A B ，所以EF ⊥平面11AB C（2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A .由160A AB ∠=︒，2BA =，得1AB =1AC =过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ，如图所示，又160A AB ∠=︒，所以1ABA ∆为等边三角形，所以1A H AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD .因为11BCC B 为平行四边形，所以11//CC BB ，所以1//CC 平面11AA BB .又因为//CD AB ，所以//CD 平面11AA BB .因为1CC CD C =，所以平面11//AA BB 平面1DC M .由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，所以BC ⊥平面1DC M ，所以1BC C M ⊥.因为BC DC C =，所以1C M ⊥平面ABCD ，所以1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角. 因为11//A B AB ，11//C B CB ，所以11//A B 平面ABCD ，11//B C 平面ABCD ，因为11111A B C B B =，所以平面//ABCD 平面111A B C .所以11A H C M ==111sin MC C AM AC ∠===，解得a =在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，分别以HA ，HD ，1HA 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则(1,0,0)A，D，1A，1(B -，(1,0,0)B -，(1C -，由1(1BB =-，及11BB CC =，得1(C -，所以(1AC =-，(1AD =-，1(1AA =-.设平面1ADC 的一个法向量为111(,,)m x y z =，由10,0,m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111130,0,x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩令11y =，得m=(3,1,2) 设平面AA1C1的一个法向量为n=(x2,y2,z2),2)m =.设平面11AAC 的一个法向量为222(,,)n x y z =，由110,0,n AC n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222230,0,x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令21z =，得n =.所以7cos ,8m n m n m n ⋅====又因为二面角11A AC D --是钝角，所以二面角11A AC D --的余弦值是78-.19.解：（1）数值在100~110内的频率为(0.04+0.03)5=0.35⨯，所以21600.35N ==.又因为521(0.020.030.0420.05)5a ⨯=-++⨯+⨯， 所以0.01a =.（2）由频率分布直方图，可知抽取的一件产品为C ，B ，A 等级的概率分别为14，35，320，且X 的取值为20，30，40，50，60，80，则111(20)4416P X ==⨯=，133(30)24510P X ==⨯⨯=，339(40)5525P X ==⨯=，133(50)242040P X ==⨯⨯=，339(60)252050P X ==⨯⨯=，339(80)2020400P X ==⨯=，所以X 的分布列为所以139399()203040506080411610254050400E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）由折线图中所给的数据计算，可得1234563.56x +++++=，111316152021166y +++++==，所以121()()35ˆ217.5()niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑，所以ˆ162 3.59a=-⨯=， 故月度市场占有率(%)y 与月份序号x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+.当7x =时，ˆ27923y =⨯+=.所以2017年4月份的市场占有率预计为23%.20.解：（1）由22x p y =，令2y =，得x =±所以=解得3p =，26x y =，由26x y =，得3xy '=，故x x y y -=''，所以在A 点的切线方程为2y x -=-，即20x -=，同理可得在B 点的切线方程为20x +=. （2）由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设:l y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，由26x y =与y kx m =+联立， 得2660x kx m --=，236240k m =+>，所以126x x k +=，126x x m =-，故MN ==又21212()2624y y k x x m k m +=++=+=，所以223m k =-，所以MN =，由236240k m ∆=+>，得k <<且0k ≠. 因为,M N 的中点为(3,2)k ，所以,M N 的垂直平分线方程为12(3)y x k k -=--，令0x =，得5y =，即(0,5)Q ，所以点Q 到直线2230kx y k -+-=的距离d ==，所以12QMN S ∆=⋅=令21k u+=，则21k u=-，则713u<<，故QMNS∆=设2()(73)f u u u=-，则2()149f u u u'=-，结合713u<<，令()0f u'>，得1419u<<；令()0f u'<，得14793u<<，所以当149u=，即3k=±时，m a x1147()Q M NS∆=.21.解：（1）由题意，知(1)1f e'=-，(1)1f e n=-+.因为()xf x e m'=-，所以(1)1f e m e'=-=-，即1m=.又因为(1)1f e=-，所以0n=.（2）由题意，知2()2x xg x xe mx e=--+.因为2x>，0x≥，由()(2)0xg x x e m'=-=，得0x=或ln(2)x m=.当ln(2)x m>时，()0g x'>，所以()g x在区间(ln(2),)m+∞上单调递增；当0ln(2)x m<<时，()0g x'<，所以()g x在区间(0,ln(2))m上单调递减；所以()g x的极小值为(ln(2))g m.因为l n(2)l nm>>，且()g x在区间(0,l n(2m上单调递减，所以(ln(2))(1)20g m g m<=-<.又因为(0)10g=>，(1)20g m=-<，所以存在1(0,1)x∈，使得1()0g x=，所以存在2(ln(2),)x m∈+∞，使得2()0g x=，且2ln(2)ln4x m>>，所以214ln41lnx xe->-=，即214lnx xe>+.当x m =时，3()(1)2m g m m e m =--+，2m >. 令3()(1)2x u x x e x =--+，2x >，则22()3(3)xu x xe x x e x '=-=-，设()3xG x e x =-，则()30xG x e '=->在区间(2,)+∞上恒成立，所以()G x 在区间(2,)+∞上单调递增， 所以2()(2)60G x G e >=->， 所以()0u x '>在区间(2,)+∞上恒成立，即()u x 在区间(2,)+∞上单调递增，故2()(2)60u m u e >=->，所以当2m >时，()0g m >. 又因为2()0g x =，()g x 在区间(ln(2),)m +∞上单调递增，所以2m x >所以124lnx x m e +<<.22.解：（1）因为曲线1C的参数方程为,2sin x a y a ⎧=⎪⎨=⎪⎩,(a 为参数)所以曲线1C 的直角坐标方程为221124x y +=.因为222x y ρ=+，所以曲线2C 的直角坐标方程为226x y +=.两方程联立得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以其极坐标分别为)4π，3)4π，，5)4π，，7)4π，. （2）直线l 的普通方程为20x y --=. 设点(3co s ,2s i n )P a a ，则点P到l l的距离d ==当26a k πππ+=+，即526a k ππ=+，k Z ∈时，maxd =23.解：（1）()224f x x x =-++32,2,6,22,32,2,x x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩可得当2x <-时，3234x x --≥-+，即24-≥，可知无解；当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得12x ≥-，可得122x -≤≤；当2x >时，3234x +≥-+，得13x ≥，可得2x >.∴不等式的解集为12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. （2）根据函数32,2,()6,22,32,2,x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩,可知当2x =-时，函数取得最小值(2)4f -=，可知4a =，4m n +=，∴100710072018m n +++=. ∴2018201810071007m n +++100710071007100710071007m n m n m n ++++++=+++ 10071007210071007n m m n ++=++++4≥=，当且仅当2m n ==时，取得最小值为4.。

2017-2018学年全国普通高等学校高考数学二模试卷（文科）（衡水金卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合A={x|≤0}，B={y|y≥2016}，则A∪（∁U B）=（）A．R B． C．（﹣∞，2016]D．（﹣∞，2016）2．若复数=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则b a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．93．若向量=（﹣1，﹣1），=（﹣1，1），则|2+|=（）A．B．2C． D．104．给出下列三个结论：①若p：∃x0∈R，x+x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1＞0；②“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的否为：“若m≤0，则方程x2+x﹣m=0没有实数根”；③p：a=1是x＞0，x+≥2恒成立的充要条件．其中正确的是（）A．①B．②③C．①②D．①③5．若=，则tanα=（）A．B．2 C．D．46．若实数x，y满足不等式组，则的最小值为（）A．﹣B．﹣2 C．﹣D．7．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称，且f（）=0，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．或32 D．或9．执行如图所示的程序框图，则输出的“S+n”的值为（）A．﹣21 B．﹣20 C．﹣19 D．﹣1810．设函数f（x）=，则f（20）=（）A．3 B．4 C．5 D．log1711．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过点M（2，1），斜率为4的直线l与双曲线交于A，B两点，且点M恰好为线段AB的中点，则双曲线的一条渐近线方程为（）A．2x﹣y=0 B．y=x C．x﹣y=0 D． +y=012．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣2x．若x∈[4，6）时，不等式f（x）≥﹣恒成立，则t的取值范围为（）A．[﹣2，0）∪[1，+∞）B．（﹣∞，2]∪（0，1]C．[﹣2，0）∪（0，1）D．[﹣2，0）∪（0，1]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．2017年某地区高考改革方案出台，选考科目有：思想政治，历史，地理，物理，化学，生命科学．要求考生从中自选三门参加高考，甲，乙两名同学各自选考3门课程（每门课程被选中的机会相等），两位同学约定共同选择思想政治，不选物理，若两人选择的课程情况共有36种，则他们选考的3门课程都相同的概率是_______．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sin2B=sinAsinC，且c=2a，则cosB 的值为_______．15．已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2﹣4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB面积的最小值为_______．16．如图，圆O是四边形ABQC的外接圆，其直径为4，PA垂直圆O所在的平面，PA=4，则四棱锥P﹣ABQC外接球的表面积为_______．三、解答题（共5小题，满分60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．设函数{a n}为等差数列，且a3=5，a5=9，数列{b n}的前n项和为S n，且S n+b n=2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若T n=a1b n+a2b n﹣1+a3b n﹣2+…+a n﹣1b2+a n b1，求T n．18．某大学在自主招生面试环节中．七位评委老师为陈小伟，李小明打出了分数，要求统计组、复核组依次打出的分数进行统计，复核组拿到了有两处污染的成绩单（成绩为40﹣100委02给李小明打出的分数为91分．请你结合两处污染的成绩单数据完成两位同学成绩的茎叶图1，并比较两位同学成绩的稳定性．（2）若复合组将考生成绩去掉一个最高分和一个最低分，根据有两处污染的成绩单，你能否判断出两位同学平均水平的高低？（3）该大学用系统抽样的方法抽取了n名学生的面试成绩，制作了如图2所示的频率分布直方图．①已知图表中第四小组（即[70，80）内）的频数为15，求n的值；②请你根据图表中的信息估计样本的众数，中位数，平均数（精确到0.01）参考公式：假设样本数据是x1，x2，…x n，，s分别表示这组数据的平均数和标准差，则：s=．19．如图，已知四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB∥CD，AF=BC=2，CD=3，AB=4．（1）求证：AC⊥平面BCE；（2）求点E到平面BCF的距离．20．已知曲线f（x）=axlnx+bx在（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）对∀x≥1，不等式f（x）≤m（x2﹣1）（m＞0）恒成立，求实数m的最小值．21．已知点Q为抛物线C：y2=2px（0＜p＜6）上任意一点，Q到抛物线C准线的距离与其到点N（7，8）距离之和最小值是10，过x轴的正半轴上的点T（t，0）的直线l交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线方程；（2）是否存在实数t，使得不论直线l绕点T如何转动， +为定值？选考题（请在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[集合证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，直线PA切⊙O于点A，直线PB交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E．（1）证明：AD=AE；（2）证明：AD2=DB•EC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m＞1，且关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1的解集为[0，4]．（1）求m的值；（2）若a，b均为正实数，且满足2a+b+m+4=ab，求a+b的最小值．2016年全国普通高等学校高考数学二模试卷（文科）（衡水金卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．设集合A={x|≤0}，B={y|y≥2016}，则A∪（∁U B）=（）A．R B． C．（﹣∞，2016]D．（﹣∞，2016）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中不等式的解集，再求出集合B的补集，即可求出所求．【解答】解：由≤0得到（x﹣2016）（x﹣2015）≤0，且x≠2015，解得2015＜x≤2016，∴A=，∴∁U B=（﹣∞，2016），∴A∪（∁U B）=（﹣∞，2016]，故选：C．2．若复数=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则b a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．9【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再由复数相等的充要条件即可求出a，b的值，则答案可求．【解答】解：=，又=a+bi，∴a=0，b=1．则b a=10=1．故选：A．3．若向量=（﹣1，﹣1），=（﹣1，1），则|2+|=（）A．B．2C． D．10【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量的坐标运算和向量模的公式求解即可．【解答】解：向量=（﹣1，﹣1），=（﹣1，1），则|2+|=（﹣3，﹣1），∴|2+|==，故选：C．4．给出下列三个结论：①若p：∃x0∈R，x+x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1＞0；②“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的否为：“若m≤0，则方程x2+x﹣m=0没有实数根”；③p：a=1是x＞0，x+≥2恒成立的充要条件．其中正确的是（）A．①B．②③C．①②D．①③【考点】的真假判断与应用．【分析】①根据特称的否定是全称进行判断，②根据否的定义进行判断即可，③根据基本不等式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：①若p：∃x0∈R，x+x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1＞0；正确，故①正确，②“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根”的否为：“若m≤0，则方程x2+x﹣m=0没有实数根”；正确，故②正确，③当a=1时，x+≥2=2=2，即充分性成立，若x＞0，x+≥2恒成立，则x2+a≥2x，即a≥﹣x2+2x，当x＞0时，﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1，则a≥1，此时必要性不成立，即a=1是x＞0，x+≥2恒成立的充分不必要条件，故③错误，故选：C5．若=，则tanα=（）A．B．2 C．D．4【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用两角差的正弦函数，余弦函数公式，倍角公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，可得关于tanα的关系式，即可得解．【解答】解：∵====，解得：tanα=．故选：C．6．若实数x，y满足不等式组，则的最小值为（）A．﹣B．﹣2 C．﹣D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用分式的性质转化为直线的斜率进行求解即可．【解答】解：==3+，则的几何意义是区域内的点到D（﹣5，8）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象可得AD的斜率最小，由得，即A（﹣，），则AD的斜率k===﹣，此时的最小值为3﹣=，故选：D7．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=对称，且f（）=0，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求ω的最小值，由周期和ω的关系，需要求周期的最大值，对称轴与对称中心最近为周期，可求最大周期，从而求得最小的ω值．【解答】解：∵﹣==，∴T=π，∴ω=2．故选A．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．B．C．或32 D．或【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体正四面体或五面体，且是棱长为2的正方体的一部分，画出直观图后，由正方体的性质求出该多面体的体积．【解答】解：由三视图知该几何体为正四面体P﹣ACF或几何体PFADC，直观图如图所示：则正四面体P﹣ACF是棱长为4的正方体的一部分，由正方体的性质得，==，三棱锥F﹣ABC的体积V三棱锥F﹣ABC∴正四面体P﹣ACF的体积V=4×4×4﹣4•V三棱锥F﹣ABC=64﹣4×=，该多面体的体积V=4×4×4﹣3•V 三棱锥F ﹣ABC=64﹣3×=32，∴该多面体的体积为或32，故选C ．9．执行如图所示的程序框图，则输出的“S +n ”的值为（ ）A ．﹣21B ．﹣20C ．﹣19D ．﹣18 【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的“S +n ”值． 【解答】解：当S=98时，n=2， 当S=94时，n=3， 当S=86时，n=4， 当S=70时，n=5， 当S=38时，n=6， 当S=﹣26时，n=7； 此时退出循环，故输出的“S +n ”的值为﹣26+7=﹣19． 故选：C ．10．设函数f（x）=，则f（20）=（）A．3 B．4 C．5 D．log17【考点】函数的值．【分析】根据函数的解析式将f（20）逐步化为：f（﹣1）+7后，代入解析式由对数的运算性质求值．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（20）=f（17）+1=f（14）+2=f（11）+3=…=f（2）+6=f（﹣1）+7=log4+7=5，故选：C．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过点M（2，1），斜率为4的直线l与双曲线交于A，B两点，且点M恰好为线段AB的中点，则双曲线的一条渐近线方程为（）A．2x﹣y=0 B．y=x C．x﹣y=0 D． +y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用点差法，结合中点坐标关系进行化简得=2，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减可得：﹣=0，即=•∵斜率为4的直线l与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，A、B的中点为M（2，1），∴k AB==4，，即x1+x2=4，y1+y2=2，则4=•，即=2，则=∴y=x=±x．即±x+y=0，则双曲线的一条渐近线为+y=0故选：D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣2x．若x∈[4，6）时，不等式f（x）≥﹣恒成立，则t的取值范围为（）A．[﹣2，0）∪[1，+∞）B．（﹣∞，2]∪（0，1]C．[﹣2，0）∪（0，1）D．[﹣2，0）∪（0，1]【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x）=2f（x+2）得出f（x﹣4）=4f（x），由x∈[0，2）时f（x）的解析式求出x∈[4，6）时f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，把不等式f（x）≥﹣化为﹣≤﹣，求出它的解集即可．【解答】解：由题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x﹣2）=2f（x），f（x﹣4）=2f（x﹣2）；即f（x﹣4）=4f（x）；又当x∈[0，2）时，f（x）=x2﹣2x；当x∈[4，6）时，x﹣4∈[0，2），∴f（x﹣4）=（x﹣4）2﹣2（x﹣4）=x2﹣10x+24，∴f（x）=x2﹣x+6，且f（x）图象的对称轴为x=5，最小值为f（5）=﹣；又不等式f（x）≥﹣恒成立，即﹣≤﹣恒成立，∴≤0，等价于或，解得t≤﹣2或0＜t≤1；∴t的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，1]．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．2017年某地区高考改革方案出台，选考科目有：思想政治，历史，地理，物理，化学，生命科学．要求考生从中自选三门参加高考，甲，乙两名同学各自选考3门课程（每门课程被选中的机会相等），两位同学约定共同选择思想政治，不选物理，若两人选择的课程情况共有36种，则他们选考的3门课程都相同的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】由已知先求出基本事件总数，再求出他们选考的3门课程都相同包含的基本事件个数，由此能求出他们选考的3门课程都相同的概率．【解答】解：由已知得基本事件总数n=36，他们选考的3门课程都相同包含的基本事件个数m==6，∴他们选考的3门课程都相同的概率是p===．故答案为：．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，sin2B=sinAsinC，且c=2a，则cosB的值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知利用正弦定理可得b2=ac，结合已知利用余弦定理即可计算得解cosB的值．【解答】解：∵sin2B=sinAsinC，∴由正弦定理可得：b2=ac，又∵c=2a，∴由余弦定理可得：cosB===．故答案为：．15．已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2﹣4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB面积的最小值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设P（x，y），D为抛物线的焦点，故而PD=x+2，利用勾股定理求出PA，得出四边形面积关于x的函数，利用二次函数的性质及x的范围得出面积的最小值．【解答】解：圆D的圆心为D（2，0），半径为r=DA=1，与抛物线的焦点重合．抛物线的准线方程为x=﹣2．设P（x，y），则由抛物线的定义可知PD=PM=x+2，∵PA为圆D的切线，∴PA⊥AD，∴PA===．=2S△PAD=2××AD×PA∴S四边形PADB=．取得最小值．∵x≥0，∴当x=0时，S四边形PADB故答案为：．16．如图，圆O是四边形ABQC的外接圆，其直径为4，PA垂直圆O所在的平面，PA=4，则四棱锥P﹣ABQC外接球的表面积为32π．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】由题意，P﹣ABQC外接球的球心在过O点，且垂直于圆O所在平面的直线l上，在Rt△AOO′中，利用勾股定理求出R，即可求出P﹣ABQC外接球的表面积．【解答】解：由题意，P﹣ABQC外接球的球心在过O点，且垂直于圆O所在平面的直线l上，则l∥PA，设球心为O′，外接圆的半径为R，故O′A=O′P=R，且OO′=PA=2．在Rt△AOO′中，R2=22+22=8，所以P﹣ABQC外接球的表面积为4πR2=32π．故答案为：32π．三、解答题（共5小题，满分60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17．设函数{a n }为等差数列，且a 3=5，a 5=9，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n +b n =2． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）若T n =a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n ﹣1b 2+a n b 1，求T n ． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据等差数列的性质列方程组解出首项和公差，得出{a n }的通项公式，利用b n =S n ﹣S n ﹣1得出{b n }是等比数列； （2）使用错位相减法求和．【解答】解：（1）设{a n }的公差为d ，则，解得．∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1． ∵S n +b n =2，∴S n =2﹣b n ． ∴n=1时，2b 1=2，∴b 1=1．当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=2﹣b n ﹣（2﹣b n ﹣1），∴b n =b n ﹣1．∴{b n }是以1为首项，以为公比的等比数列．∴b n =．（2）T n =1+3•+5+…+（2n ﹣3）+（2n ﹣1）•1，①∴T n =1•+3•+5+…+（2n ﹣3）•+（2n ﹣1），②①﹣②得：=﹣2（+++…+）+2n ﹣1﹣=﹣2•+2n ﹣1﹣=+2n ﹣3．∴T n =+4n ﹣6．18．某大学在自主招生面试环节中．七位评委老师为陈小伟，李小明打出了分数，要求统计组、复核组依次打出的分数进行统计，复核组拿到了有两处污染的成绩单（成绩为40﹣100委02给李小明打出的分数为91分．请你结合两处污染的成绩单数据完成两位同学成绩的茎叶图1，并比较两位同学成绩的稳定性．（2）若复合组将考生成绩去掉一个最高分和一个最低分，根据有两处污染的成绩单，你能否判断出两位同学平均水平的高低？（3）该大学用系统抽样的方法抽取了n名学生的面试成绩，制作了如图2所示的频率分布直方图．①已知图表中第四小组（即[70，80）内）的频数为15，求n的值；②请你根据图表中的信息估计样本的众数，中位数，平均数（精确到0.01）参考公式：假设样本数据是x1，x2，…x n，，s分别表示这组数据的平均数和标准差，则：s=．【考点】极差、方差与标准差；系统抽样方法．【分析】（1）画出茎叶图，计算平均数以及方差，从而判断李小明的成绩稳定；（2）设评委05给学生陈小伟打出的分数为：80+m，分别求出其平均分，作差判断即可；（3）（i）求出第四小组的频率，根据第四小组（即[70，80）内）的频数是15，求出n的值即可，（ii）设出中位数，得到估计值即可．【解答】解：（1）两位同学成绩的茎叶图如图所示：，==84，==85，故==，同理可得：s 李=，s 李＜s 陈，故考生李小明的成绩较为稳定；（2）设评委05给学生陈小伟打出的分数为：80+m ， （m ∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}）， 将考生成绩去掉一个最高分和一个最低分，陈小伟的成绩数据分别为：85，84，80+m ，85，81，=，=，且﹣=，又m ∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴﹣＜0，故李小明同学的平均水平较高； （3）（i ）∵10×（0.004+0.006+0.016+0.020+0.024+x ）=1， 解得：x=0.030，第四小组的频率为：0.030×10=0.30，又第四小组（即[70，80）内）的频数是15，故=0.30，解得：n=50；（ii ）由频率分布直方图可知[70，80）这一组对应的小长方形最高，估计众数是75，设中位数是（70+x ），则0.04+0.06+0.20+0.03x=0.5，解得：x ≈6.67， 估计中位数是76.67，45×0.04+55×0.06+65×0.20+75×0.30+85×0.24+95×0.16=76.20， 估计平均数是76.20．19．如图，已知四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，∠BAD=90°，AB ∥CD ，AF=BC=2，CD=3，AB=4． （1）求证：AC ⊥平面BCE ； （2）求点E 到平面BCF 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M，可得四边形ADCM是矩形利用勾股定理可得CM=．由AC2+BC2=16=AB2，利用勾股定理的逆定理可得AC⊥CB．由矩形的性质可得：AF⊥AB．利用面面垂直的性质定理可得：AF⊥平面ABCD，又BE∥AF，可得BE⊥平面ABCD，BE⊥AC，即可证明AC⊥平面BCE．（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，利用点E到平面BCF的距离d=即可得出．【解答】证明：（1）过点C作CM⊥AB，垂足为M．则四边形ADCM是矩形，∴AM=DC=3，∴BM=1，在Rt△BCM中，CM==．在Rt△ACM中，AC2=AM2+CM2=12，∴AC2+BC2=16=AB2，∴∠ACB=90°，∴AC⊥CB．∵四边形ABEF为矩形，∴AF⊥AB．∵平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴AF⊥平面ABCD，又BE∥AF，∴BE⊥平面ABCD，由AC⊂平面ABCD，∴BE⊥AC，又BE∩BC=B，∴AC⊥平面BCE．解：（2）建立如图所示的空间直角坐标系．∴A（0，0，0），C（，3，0），B（0，4，0），F（0，0，2），E（0，4，2）．∴=（﹣，﹣3，2），=（，﹣1，0），=（0，0，﹣2）．设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，可得，取=，∴点E到平面BCF的距离d====．20．已知曲线f（x）=axlnx+bx在（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求函数f（x）的解析式；（2）对∀x≥1，不等式f（x）≤m（x2﹣1）（m＞0）恒成立，求实数m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）将（1，f（1））代入切线方程求出a的值，求出f（x）的导数，得到f′（1）=1，求出b的值，从而求出函数的解析式；（2）构造函数g（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），（x≥1），只需g（x）max≤0成立即可，求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的最大值，从而求出m的最小值即可．【解答】解：（1）将（1，f（1））代入切线方程得：f（1）=0，又f（1）=b，故b=0，又f′（x）=a（lnx+1）+b，故f′（1）=1，即a+b=1，∴a=1，故f（x）=xlnx；（2）原问题等价于对∀x≥1，xlnx﹣m（x2﹣1）≤0恒成立，求实数m的最小值，构造函数g（x）=xlnx﹣m（x2﹣1），（x≥1），只需g（x）max≤0成立即可，g′（x）=lnx﹣2mx+1，g″（x）=，0＜m＜时，对于x∈[1，），g″（x）＞0，g′（x）在[1，）递增，g′（x）≥g′（1）=1﹣2m＞0，则函数g（x）在[1，）递增，即g（1）=0，故0≤g（x）＜g（），与已知矛盾，m≥时，对于x∈（1，+∞），函数g″（x）＜0恒成立，则g′（x）在区间（1，+∞）递减，则g′（x）＜g′（1）=1﹣2m≤0，则函数g（x）在区间[1，+∞）递减，故g（x）≤g（1）=0恒成立，综上，对∀x≥1，f（x）≤m（x2﹣1）恒成立，则实数m的取值范围是[，+∞），故实数m的最小值是．21．已知点Q为抛物线C：y2=2px（0＜p＜6）上任意一点，Q到抛物线C准线的距离与其到点N（7，8）距离之和最小值是10，过x轴的正半轴上的点T（t，0）的直线l交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线方程；（2）是否存在实数t，使得不论直线l绕点T如何转动， +为定值？【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）分N在抛物线内外两种情况讨论，根据抛物线的性质列方程得出p；（2）设l方程为x=my+t，联立方程组得出A，B两点坐标与m，t的关系，代入两点间的距离公式化简即可得出结论．【解答】解：（1）①若N在抛物线内部，则Q到抛物线C准线的距离与其到点N距离之和得最小值等于N到准线的距离，∴+7=10，解得p=6，不符合题意．②若N在抛物线外部，则Q到抛物线C准线的距离与其到点N（7，8）距离之和的最小值等于|NF|．∴=10，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（2）设直线l的方程为x=my+t，联立方程组，得y2﹣4my﹣4t=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4t．∴===．===．∴=+==．∴当=1即t=2时，=．∴存在实数t=2使得为定值．选考题（请在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[集合证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，直线PA切⊙O于点A，直线PB交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E．（1）证明：AD=AE；（2）证明：AD2=DB•EC．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用∠ADE=∠PAB+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，证明∠ADE=∠AED，即可证明AD=AE；（2）证明：△PCE∽△PAD，△PAE∽△PBD，即可得出AD2=DB•EC．【解答】证明：（1）PA与圆O相切于点A，AB是弦，∴∠PAB=∠C，又∵∠APD=∠CPE，∴∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，∵∠ADE=∠PAB+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE．（2）∵∠PCE=∠PAD，∠CPE=∠APD，∴△PCE∽△PAD，∴，∵∠PEA=∠PDB，∠APE=∠BPD，∴△PAE∽△PBD，∴=，∴=，由（1）知，AD=AE，∴AD2=DB•EC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知C1：（θ为参数），将C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和2倍后得到曲线C2以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4（1）试写出曲线C1的极坐标方程与曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最小，并求此最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）把C1消去参数化为普通方程为x2+y2=1，再化为极坐标方程．根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程，再化为极参数方程．（2）先求得直线l的直角坐标方程，设点P（cosθ，2sinθ），求得点P到直线的距离为d=，故当sin（θ+）=1时，即θ=2kπ+，k∈z时，点P到直线l的距离的最小值，从而求得P的坐标以及此最小值【解答】解：（1）把C1：（θ为参数），消去参数化为普通方程为x2+y2=1，故曲线C1：的极坐标方程为ρ=1．再根据函数图象的伸缩变换规律可得曲线C2的普通方程为+=1，即+=1．故曲线C2的极参数方程为（θ为参数）．（2）直线l：ρ（cosθ+sinθ）=4，即x+y﹣4=0，设点P（cosθ，2sinθ），则点P到直线的距离为d==，故当sin（θ+）=1时，d取得最小值，此时，θ=2kπ+，k∈z，点P（1，），故曲线C2上有一点P（1，）满足到直线l的距离的最小值为﹣．[选修4-5：不等式选讲]24．已知m＞1，且关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1的解集为[0，4]．（1）求m的值；（2）若a，b均为正实数，且满足2a+b+m+4=ab，求a+b的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据m的范围得到1﹣m≤x﹣2≤m﹣1，结合不等式的解集求出m的值即可；（2）求出2a+b+7=ab，得到不等式（a+b）2﹣6（a+b）﹣27≥0，解出即可．【解答】解：（1）∵不等式m﹣|x﹣2|≥1可化为|x﹣2|≤m﹣1，m＞1，∴1﹣m≤x﹣2≤m﹣1，即3﹣m≤x≤m+1，∵其解集为[0，4]，∴，∴m=3；（2）由（1）得：2a+b+7=ab，∴a+b+7=a（b﹣1）≤，∴（a+b）2﹣6（a+b）﹣27≥0即[（a+b）+3][（a+b）﹣9]≥0，∴a+b≤﹣3（舍）或a+b≥9，当且仅当，即a=4，b=5时“=”成立，∴a+b的最小值是9．2016年9月15日。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(二)本试卷共4页，23题(含选考题)。

全卷满分1 50分。

考试用时120分钟。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合 题目要求的。

1．已知集合{}{}1,1,2,3,5,6,210xA B x Z =-=∈<，则AB=A ．{1}B ．{l ，2}C ．{1，2，3}D ．{一1，1，2，3}2．设i 为虚数单位，复数z 满足2(13)(3)i z i +=-+，则共轭复数z 的虚部为 A ．3i B ．3i - C ．3 D ．3- 3．学生李明上学要经过4个路口，前三个路口遇到红灯的概率均为12，第四个路口遇到 红灯的概率为13，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则李明从家到学校恰好遇到 一次红灯的概率为 A ．724 B ．14 C ． 124 D ． 184．已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，F 1，F 2为双曲线的左、右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足120PF PF ⋅=，若1230PF F ︒∠=，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．2 C ．22 D ．3 5．已知θ为锐角，1cos 211cos 22θθ-=+，则sin()3πθ+的值为A ．264+ B ．624- C ．366+ D ．3236+ 6．执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为A ．一1B ．一2C ．1D ．27．2101211011112(1)(2)(1)(1)(1)x x a x a x a x a +-=-+-++-+，则01211a a a a ++++的值为A ．2B ．0C ．一 2D ．一48．某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．2052π-B ．203π-C ．24π-D ．12π+9．已知34a b ==12，则a ，b 不可能满足的关系是 A ．a +b >4 B ．ab >4C ．(a 一1)2+(b —1)2>2D ．a 2+b 2<8 10．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是 A ．112(0,][,]1243 B ．(0，16][13，23] C ．[12,43] D ．[12,33] 11．过抛物线x 2=2p y (p>0)上两点A ，B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点 P(1，一2)，则直线AB 的方程为 A ．122y x =+ B ．124y x =+ C ．132y x =+ D ．134y x =+ l 2．在正三棱锥(底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面三角形的中心的 三棱锥)O 一ABC 中，OA ，OB ，OC 三条侧棱两两垂直，正三棱锥O —ABC 的内切球与三个侧面切点分别为D ，E ，F ，与底面ABC 切于点G ，则三棱 锥G —DEF 与O —ABC 的体积之比为 A ．23318+ B ．23318- C ．6239+ D ．6239- 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合{}10A x x =+≥，101x B xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则图中阴影部分所表示人集合为A ．{}1x x ≥- B ．{}1x x <- C ．{}11x x -≤≤- D ．﹛1x x <-或1x ≥﹜ 2.已知复数123z i =+，2z a i =+（a R ∈，i 为虚数单位），若1218z z i =+，则a 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．4 3.已知函数()f x 的图象关于原点对称，且在区间[]5,2--上单调递减，最小值为5，则()f x 在区间[]2,5上A ．单调递增，最大值为5B ．单调递减，最小值为5-C ．单调递减，最大值为5-D ．单调递减，最小值为54.已知直线231x +=与x ，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，与直线0x y +=交于点C ，若OC OA OB λμ=+（O 为坐标原点），则λ，μ的值分别为 A ．2λ=，1μ=- B ．4λ=，3μ=- C. 2λ=-，3μ= D ．1λ=-，2μ=5.已知122log 3a =，22log 3b =，1232c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32d e =，则A ．d c a b >>>B ．d b c a >>> C.c d a b >>> D ．a c b d >>>6.已知0a >，0b >，则点()1,2P 在直线b y x a =的右下方是双曲线22221x y a b-=的离心率e 的取值范围为()3,+∞的A ．充要条件B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 7.已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥；②存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥；③存在两条平行直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α；④存在两条异面直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α，则可以推出//αβ的是 A ．①③ B ．②④ C. ①④ D ．②③ 8.已知直线2y =与函数()()tan 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象的相邻两个交点间的距离为6，点()1,3P 在函数()f x 的图像上，则函数()()12log g x f x =的单调递减区间为A ．()()6,26k k k Z ππππ-+∈B ．(),63k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C. ()11,63k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()()61,26k k k Z -+∈ 9.在如图所求的程序框图中，若输出n 的值为4，则输入的x 的取值范围为A ．13,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]3,13 C.[)9,33 D ．913,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.已知某几何体的三视图如图所求，则该几何体的表面积为A ．295937144a ππ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．2959144a ππ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭C.29593744a ππ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．295937144a ππ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭11.甲、乙两人各自在400米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是 A ．18 B ．1136 C.1564D ．14 12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()102f =，则不等式()102x f x e -<的解集为A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,+∞ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),0-∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()2log ,2,2,2,x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则()()()3ff f -的值为 ．14.已知命题:P x R ∀∈，()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022xa≤，若命题P Q∧为真命题，则实数a 的取值范围为 ．15.已知()222210x y a b a b +≤>>表示的区域为1D ，不等式组0,0,0,bx cy bc bx cy bc bx cy bc bx cy bc -+≥⎧⎪--≤⎪⎨+-≤⎪⎪++≥⎩表示的区域为2D ，其中()2220a b c c =+>，记1D 与2D 的公共区域为D ，且D 的面积S 为23，圆2234x y +=内切于区域D 的边界，则椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为 ．16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为 米.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，134n n a a +=+，*n N ∈.（1）证明：数列{}2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()3log 22n n n a b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数（患者考核：10分制），用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数（试卷考试：100分制），用相关的特征量x 表示，数据如下表： 特征量1 2 3 4 5 6 7 x98 88 96 91 90 92 96 y9.98.69.59.09.19.29.8（1）求y 关于x 的线性回归方程（计算结果精确到0.01）；（2）利用（1）中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数（精确到0.1）；（3）现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率.附：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，PD ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=，2PD a =，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，三棱锥P EAD -的体积为183，求a 的值. 20. 已知动圆C 恒过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线12x =-相切.（1）求圆心C 的轨迹方程；（2）若过点()3,0P 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，直线OA ，OB （O 为坐标原点）分别交直线3x =-于点M ，N ，证明：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值. 21. 已知函数()()322316f x x a x ax =-++，a R ∈.（1）若对于任意的()0,x ∈+∞，()()6ln f x f x x +-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，设函数()f x 在区间[]1,2上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，记()()()h a M a m a =-，求()h a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线11,2:322x t l y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线12cos ,:22sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为k ，证明：对任意的正数a ，b ，c ，当a b c k ++=时，有a b c k ++≤成立.试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10:ACDDA 11、12：CB二、填空题13.2log 3 14.5,24⎛⎤⎥⎝⎦15.12或32 16.4062.5 三、解答题17.解：（1）由134n n a a +=+， 得()1232n n a a ++=+， 即1232n n a a ++=+，且123a +=,所以数列{}2n a +是以3为首项，3为公比的等比数列. 所以12333n n n a -+=⨯=，故数列{}n a 的通项公式为()*32n n a n N --∈.（2）由（1）知，23n n a +=，所以3log 333n n n n nb ==. 所以1231231233333n n nnT b b b b =++++=++++.① 234111231333333n n n n nT +-=+++++.② ①-②，得234211111333333n n T =+++++13n n += 11111331113223313nn n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=--⋅-， 所以332323044343443n n n nn n T +=-=-⋅⋅⋅.故数列{}n b 的前n 项和323443n n n T +=-⋅. 18.解：（1）由题得，98889691909296937x ++++++==. 9.98.69.59.09.19.29.89.37y ++++++==.()()()()198939.99.3niii x x y y =--=-⨯-+∑()()()()88938.69.396939.59.3-⨯-+-⨯-+ ()()()()91939.09.390939.19.3-⨯-+-⨯-+ ()()()()92939.29.396939.89.39.9-⨯-+-⨯-=()()()()22221989388939693nii x x =-=-+-+-∑()()()()2222919390939293969382+-+-+-+-=.所以()()()1219.90.1282niii nii x x y y b x x ==--==≈-∑∑. 9.30.1293 1.86a =-⨯=-.所以线性回归方程为0.12 1.86y x =-. （2）由于0.120b =>.所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高.当95x =时，0.1295 1.869.5y =⨯-≈.（3）由于95分以下的分数有88，90，91，92，共4个，则从中任选两个的所有情况有()88,90，()88,91，()88,92，()90,91，()90,92，()91,92，共6种.则这两个人中至少有一个分数在90分以下的情况有()88,90，()88,91，()88,92，共3种. 故选派的这两个人中至少有一人考核分数在90分以下的概率3162P ==.19.解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥. 又四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 又PDBD D =，所以AC ⊥平面PBD . 而AC ⊂平面EAC ， 所以平面EAC ⊥平面PBD .（2）因为//PD 平面EAC ，平面EAC平面PBD OE =.所以//PD OE .又O 为AC 与BD 的交点， 所以O 是BD 的中点，所以E 是PB 的中点. 因为四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=， 所以取AD 的中点H ，连接BH ，可知BH AD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD BH ⊥. 又PDPD D =，所以BH ⊥平面PAD . 由于AB a =，所以32BH a =. 因此E 到平面PAD 的距离11332224d BH a a ==⨯=， 所以3111332183332412P EAD E PAD PAD V V S d a a a a --∆==⨯=⨯⨯⨯⨯==. 解得6a =，故a 的值为6. 20.解：（1）由题意得，点C 与点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离始终等于点C 到直线12x =-的距离.因此由抛物线的定义，可知圆心C 的轨迹为以1,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，12x =-为准线的抛物线.所以122p =，即1p =. 所以圆心C 的轨迹方程为22y x =. （2）由圆心C 的轨迹方程为22y x =，可设()2112,2A t t ，()2222,2B t t ，()120t t ≠， 则()21323,2PA t t =-，()22223,2PB t t =-，由A ，P ，B 三点花线，可知()()2212232322320t t t t -⋅--⋅=，即()()()()22122231122312123223230230230t t t t t t t t t t t t t t t t --+=⇒-+-=⇒+-=.因为12t t ≠，所以1232t t =-. 又依题得，直线OA 的方程为11y x t =. 令3x =-，得133,M t ⎛⎫--⎪⎝⎭. 同理可知133,N t ⎛⎫--⎪⎝⎭. 因此以MN 为直径的圆的方程可设为()()1233330x x y y t t ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 化简得()22121233930x y y t t t t ⎛⎫+++++=⎪⎝⎭，即()()212212123930t t x y y t t t t +++++=. 将1232t t =-代入上式，可知()()22123260x y t t y ++-+-=， 在上式中令0y =，可知136x =-+，236x =--，因此以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为12363626x x -=-+++=，为定值. 21.解：（1）因为()()()2616ln f x f x a x x +-=-+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以()2ln 1xa x-+≥. 令()2ln x g x x =，0x >，则()'212ln x g x x -=. 令()'0g x =，则x e =.当()0,x e ∈时，()'0g x >，()g x 在区间()0,e 上单调递增；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <，()g x 在区间(),e +∞上单调递减.所以()()max 12g x g e e==， 所以()112a e -+≥，即112a e≤--， 所以实数a 的取值范围为1,12e ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦. （2）因为()()322316f x x a x ax =-++， 所以()131f a =-，()24f =.所以()()()()'2661661f x x a x a x x a =-++=--. 令()'0fx =，则1x =或a .①若513a <≤， 当()1,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；当(),2x a ∈时，()'0fx >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.又因为()()12f f ≤，所以()()24M a f -=，()()323m a f a a a ==-+，所以()()()()32324334h a M a m a a a a a =-=--+=-+.因为()()'236320h a a a a a =-=-<，所以()h a 在区间51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以当51,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()h a 的最小值为58327h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若523a <<， 当()1,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；当(),2x a ∈时，()'0f x >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.又因为()()12f f >，所以()()131M a f a =--，()()323m a f a a a -=-+.因为()()2'2363310h a a a a =-+=->， 所以()h a 在区间5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以当5,23a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()58327h a h ⎛⎫>=⎪⎝⎭. ③若2a ≥， 当()1,2x ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,2上单调递减，所以()()131M a f a ==-，()()24m a f -=.所以()()()31435h a M a m a a a =-=--=-，所以()h a 在区间[)2,+∞上的最小值为()21h =.综上所述，()h a 的最小值为827. 22.解：（1）将直线11,2:322x t l y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t ， 得3320x y ++-=，故直线l 的普通方程为3320x y ++-=.将曲线12cos ,:22sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为()()22124x y -+-=， 即222410x y x y +--+=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=.（2）由（1）可知，圆心()1,2C 到直线:3320l x y ++-=的距离为()23232331d ++-==+. 则222432AB R d =-=-=（R 为圆C 半径）. 所以1123322ABC S AB d ∆=⨯=⨯⨯=. 故所求ABC ∆面积为ABC ∆的面积为3.23.解：（1）由题知，()3,2,21,21,3. 1.x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩所以()2f x ≥，即32,2x -≥⎧⎨<-⎩或212,21x x +≥⎧⎨-≤≤⎩或32,1.x ≥⎧⎨>⎩解得12x ≥. 故原不等式的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为()21213f x x x x x =+--≤+-+=（当且仅当()()210x x +-≥时取等号）， 所以3k =，因此有3a b c ++=. 所以111a b c a b c ++=⋅+⋅+⋅111333322222a b c a b c +++++++≤++===（当且仅当1a b c ===时取等号）， 故不等式a b c k ++≤得证.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文科数学(二)本试卷共4页，23题(含选考题)。

全卷满分1 50分。

考试用时1 20分钟。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。

1．已知集合{}{}21,,26A x x n n N B x x ==-∈=-<<，则A B= A ．{1，3，5) B ．{一1，1，3，5) C ．[一1，5] D ．(--2，6) 2．下列各式的运算结果为2i 的是A ．234i i i i +++B ．3i i -C ．(2)1i i +-D ．13i i+3．现有甲、乙两台机床同时生产直径为40mm 的零件，各抽测10件进行测量，其结果如 下图，则不通过计算从图中数据的变化不能反映的数字特征是 A ．极差 B ．方差 C ．平均数 D ．中位数4．已知在底面为菱形的直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=4，BD1=42，若∠BAD 60︒=，则异面直线B 1C 与AD 1所成的角为A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的 数字之和为20，则称该图形是“和谐图形’’．已知其中四个三角形上的 数字之和为14．现从1，2，3，4，5中任取两个数字标在另外两个 三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形’’的概率为A ．310 B ．15 C ．110 D ．3206.已知函数y =f (x )在区间(-∞，0)内单调递增，且f (-x )=f (x ),若a =3 1.2121(log ),(2),()2f b f c f -==，则a ，b ，c 的大小关系为A. a >c >bB. b >c >aC. b >a >cD. a >b >c 7.执行如图所示的程序框图，则输出的m 值为 A.6 B.7 C. 8 D. 9 8. 关于函数1()2sin()26f x x π=+的图象或性质的说法中，正确的个数为①函数f (x )的图象关于直线83x π=对称， ②将函数f (x )的图象向右平移3π个单位所得图象的函数为 1()2sin()23f x x π=+③函f (x ) 在区间5(,)23ππ-上单调递增 ④若f (x )=a ，则1cos()233ax π-=A.1B. 2C. 3D. 49.某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如图所示，则 该几何体外接球的面积为A. 2a πB. 22a πC. 23a πD. 24a π10.已知F 是抛物线C:y 2=16x 的焦点，过F 点作x 轴的垂线与抛物线在第一象限的交点为P ，过P 点作直线x =-6的垂线，垂足为M ，直线x =-6与x 轴的交点为K ，在四边形KFPM 内作椭圆E.则面积最大的椭圆E 的内接矩形的最大面积为A. 42B. 62C.32D.4011.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ，且a =1,4S b 2+c 2-1，则△ABC 外接圆的面积为 A. 4π B. 2π C.π D.2π12.已知函数f (x )是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，f (x )为其导函数，当x >0且2x ≠时，'(2)[2()()]x f x xf x -+<0，若曲线y =f (x )在点(2.f (2))处的切线的斜 率为一4，则f (2)的值为A. 4B. 6C. 8D. 10第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）文数二第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，集合{}1,0,1,3A =-，集合{}3,2,1,3B =---，则()U C A B ⋃=（ ） A ．{}3,2,1-- B ．{}2,1,1-- C ．{}2 D ．{}1,2,3-2. 已知复数z 满足()20181z i i +=（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函数()()ln 21f x x =++的定义域为（ ）A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭4.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现项园中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）A B C5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线4310x y ++=垂直，且焦点在圆()22126x y +-=上，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．221916x y -= B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 6.执行如图所示的程序框图，若输入的0.05t =，则输出的n 为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1133,2n n a a S ++==，则5a =（ ） A ．33 B ．43 C ．53 D ．638.已知将函数()()sin 206f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π，则函数()g x 的—个对称中心为（ ） A ．,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭9.榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）A ．812π+B ．816π+C ．912π+D ．916π+10.已知实数,x y 满足约束条件0,20,3,x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩当且仅当1x y ==时，目标函数z kx y =+取大值，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()1,-+∞D ．()1,+∞11.已知0a >，命题:p 函数()()2lg 23f x ax x =++的值域为R ，命题:q 函数()ag x x x=+在区间()1,+∞内单调递增.若p q ⌝∧是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,13⎛⎤⎥⎝⎦12.若函数()ln ,0x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩与()1g x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．RB ．(],e -∞-C ．[),e +∞D ．∅第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知在ABC ∆中，D 为BC 边上的点，20BD CD +=，若(),AD mAB nAC m n R =+∈，则n = ．14.已知焦点在x 轴上的椭圆222121x y m m +=+20y -+=上，则椭圆的离心率为 ．15.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()sin cos sin 1cos C A B C =-，且,3A b π==，则c = ．16.如图，在矩形ABCD 中，2AD =，E 为AB 边上的点，项将ADE ∆沿DE 翻折至A DE '∆，使得点A '在平面EBCD 上的投影在CD 上，且直线A D '与平面EBCD 所成角为30︒，则线段AE 的长为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，15965,3a a a S =+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n b a a ++=，且16b a =，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是PD 的中点，棱PA 与平面BCE 交于点F .（1）求证://AD EF ；（2）若PAB ∆是正三角形，求三棱锥P BEF -的体积.19.某市统计局就某地居民的收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.（1）求居民收入在[)3000,3500的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[)2500,3000内应抽取多少人？20.已知点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，过F 的直线l 交抛物线于,A B 两点. （1）若直线l 的斜率为1，8AB =，求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 的准线与x 轴交于点()1,0P -，(:2:1APF BPF S S ∆∆=，求PA PB ⋅的值. 21.已知函数()2ln ,f x x x ax a R =++∈.（1）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()1212,x x x x <是函数()f x 的导函数()f x '的两个零点，当(),3a ∈-∞-时，求证：()()123ln 24f x f x ->-. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2143x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程； （2）判断曲线12,C C 是否相交，若相交，求出相交弦长. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()212f x x x =-++. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若对任意的[),x m ∈+∞，都有()f x x m ≤-成立，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBDAB 6-10: CCDBB 11、12：DC二、填空题13.1314. 23三、解答题17. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由15965,3a a a S =+=, 得 ()()6535458652d d d ⨯+++=⨯+， 解得2d =.所以()()()*1152123n a a n d n n n N =+-=+-=+∈. （2）由（1）得，1626315b a ==⨯+=. 又因为11n n n b a a ++=，所以当2n ≥时，()()12321n n n b a a n n -==++ 当1n =时，15315b =⨯=，符合上式， 所以()()2321n b n n =++. 所以()()11111232122123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭. 所以1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭()1112323323n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 18. 解：（1）因为底面ABCD 是边长为2的正方形， 所以//BC AD .又因为BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以//BC 平面PAD .又因为,,,B C E F 四点共面，且平面BCEF ⋂平面PAD EF =，所以//BC EF .又因为//BC AD ，所以//AD EF . （2）因为//AD EF ，点E 是PD 的中点， 所以点F 为PA 的中点，112EF AD ==. 又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB AD AB =⊥， 所以AD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB . 又因为PAB ∆是正三角形， 所以2PA PB AB ===，所以12PBF PBA S S ∆∆==又1EF =，所以113P BEF B PEF V V --===故三棱锥P BEF -. 19.解：（1）由题知，月收入在[)3000,3500的频率为0.00035000.15⨯=.（2）从左数第一组的频率为0.00025000.1⨯=，第二组的频率为0.00045000.2⨯=， 第三组的频率为0.00055000.25⨯=， ∴中位数在第三组， 设中位数为2000x +，则0.00050.50.10.2x ⨯=--，解得400x =， ∴中位数为2400.由12500.117500.222500.2527500.2532500.1537500.052400⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 得样本数据的平均数为2400.（3）月收入在[)2500,3000的频数为0.25100002500⨯=（人）， ∵抽取的样本容量为100， ∴抽取的比例为100110000100=， ∴月收入在[)2500,3000内应抽取的人数为1250025100⨯=（人）. 20.解：（1）由题意知，直线l 的方程为2p y x =-. 联立2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=. 设,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ， 则3A B x x p +=.由抛物线的性质，可得4822A B A B p pAB FA FB x x x x p p =+=+++=++==， 解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意，得()1,0F ，抛物线2:4C y x =， 设直线l 的方程为1x my =+，()()1122,,,A x y B x y ， 联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=.所以12124,4,y y m y y +=⎧⎨=-⎩①因为(:2:1APF BPF S S ∆∆=，所以2AF BF=因为,,A F B 三点共线，且,AF FB 方向相同， 所以()23AF FB =-，所以()(()11221,231,x y x y --=-， 所以)122y y =，代入①，得))222314,2 4.y m y⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得212m =， 又因为()1,0P -，所以()()11221,,1,PA x y PB x y =+=+， 所以()()11221,1,PA PB x y x y ⋅=+⋅+()1212121x x x x y y =++++()()()1212111114my my my my =+++++++- ()212122m y y m y y =++2224842m m m =-+==.21.解：（1）当1a =-时，()2ln f x x x x =+-，()121f x x x'=+-， 所以()1ln1110f =+-=，()11212f '=+-=. 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()21y x =-，即220x y --=.（2）由题得，()()212120x ax f x x a x x x++'=++=>.因为12,x x 是导函数()f x '的两个零点， 所以12,x x 是方程210ax ax ++=的两根， 故121210,22a x x x x +=->=. 令()221g x x ax =++， 因为(),3a ∈-∞-，所以13022a g +⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()130g a =+<，所以()1210,,1,2x x ⎛⎫∈∈+∞ ⎪⎝⎭，且22112221,21ax x ax x =--=--， 所以()()()()()2222111212121222ln ln x x f x f x x x ax ax x x x x -=+-+-=--+， 又因为1212x x =，所以1212x x =，所以()()()()2212121221ln 2,1,4f x f x x x x x -=--∈+∞， 令()2222,t x =∈+∞，()()()121ln 22t h t f x f x t t=-=--. 因为()()22211110222t h t t t t -'=+-=>， 所以()h t 在区间()2,+∞内单调递增， 所以()()32ln 24h t h >=-， 即()()123ln 24f x f x ->-. 22.解：（1）由题知，将曲线1C 的参数方程消去参数t ， 可得曲线1C 的普通方程为210x y +-=.由4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得()22cos sin ρρθρθ=+.将222x y ρ=+，cos ,sin x y ρθρθ==代入上式， 得2222x y x y +=+， 即()()22112x y -+-=.故曲线2C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=. （2）由（1）知，圆2C 的圆心为()1,1，半径R ， 因为圆心到直线1C的距离d ==<， 所以曲线12,C C 相交，所以相交弦长为23.解：（1）当2x ≤-时，不等式转化为()()2120x x --++>，解得2x ≤-； 当122x -<<时，不等式转化为()()2120x x ---+>，解得123x -<<-； 当12x ≥时，不等式转化为()()2120x x --+>，解得3x >. 综上所述，不等式()0f x >的解集为{13x x <-或}3x >.（2）由（1）得，()3,2,131,2,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪=---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出其函数图象如图所示：令y x m =-，若对任意的[),x m ∈+∞，都有()f x x m ≤-成立，即函数()f x 的图象在直线y x m =-的下方或在直线y x m =-上. 当2m ≤-时，30m -+≤，无解； 当122m -<<时，310m --≤，解得1132m -≤<； 当12m ≥时，30m -≤，解得132m ≤≤. 综上可知，当133m -≤≤时满足条件，故实数m 的取值范围是1,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（二）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}()(){}2,1,0,1,|130A B x x x =--=+-<，则AB =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}0D ．{}2,1-- 2. 若i 为虚数单位，()()13i a i i +-=+，则实数a =（ ） A ． 2 B ． -2 C ．3 D ．-33. 游戏《王者荣耀》对青少年的不良影响巨大，被戏称为“王者农药”.某车间20名青年工人都有着不低的游戏段位等级，其中白银段位11人，其余人都是黄金或铂金段位.从该车间随机抽取一名工人，若抽得黄金段位的概率是0.2，则抽得铂金段位的概率是（ ） A ．0.20 B ．0.22 C ． 0.25 D ． 0.424.下列函数既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的是 （ ） A ．3y x = B ．14y x = C. y x = D ．tan y x =5.已知变量,x y 满足不等式组1035250430x x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，则目标函数23z x y =--的最大值是 （ ）A ．-3B ．-5 C.195D ．5 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ． 53πB ．73π C.76π D ．23π7.设实数,,a b c 满足21log 332,,ln a b a c a --===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a << C. a c b << D ．b c a <<8.数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的i 为 （ ）A ． 5B ． 6 C. 7 D ．89. 已知函数()()2sin 03f x x ωω=<<的图象关于直线4x π=对称，将()f x 的图象向右平移3π个单位，再向上平移1个单位可以得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（ ）A ．1⎡⎤-⎣⎦B ．1⎡⎤+⎣⎦C. ⎤⎥⎣⎦ D ．1⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知正四棱锥P ABCD -，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为 （ ） A ．1243π B ．62581π C. 50081π D ．2569π11. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则关于m 的不等式()()132120m f m f m e -+-->的解集是（ ）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．11,23⎛⎫-⎪⎝⎭12.已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<的离心率2e =，椭圆C 与y 轴正半轴的交点F 是抛物线()2:20D x py p =>的焦点，过点F 的直线l 交抛物线D 于,A B 两点，过点,A B 分别作抛物线D 的切线1l 和2l ，直线1l 和2l 相交于点M ，则FM AB = （ ） A ． 0 B ． 1 C. -1 D ．不确定第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =，设,CA a CD b ==，则向量CB 用,a b 表示为 ．14.若()f n 为()2*1n n N +∈的各位数字之和，如：2111122,1225+=++=，则()115f =.记()()()()()()()()()()()*121321,,,,,k k f n f n f n f f n f n f f n f n f f n k N +====∈，则()20175f = ．15.已知点()2,0P 到双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>则双曲线离心率的取值范围是 ．16.已知数列{}n a 满足1221,2,2n na a a +==是()()22,2n n a n n λ++的等差中项，若()*212n n a a n N +>∈，则实数λ的取值范围为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin a C A =. （1）求角A 的大小； （2）若2b =，且43B ππ≤≤，求边c 的取值范围.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2,,BC AB AC M N ===分别是111,A B B C 的中点. （1）求证：//MN 平面11ACC A ；（2）若三棱柱111ABC A B C -的体积为4，求异面直线1AC 与BN 夹角的余弦值.19. “双十一”期间，某淘宝店主对其商品的上架时间x （小时）和销售量y （件）的关系作了统计，得到了如下数据并研究.（1）求表中销售量y 的平均数和中位数；（2）① 作出散点图，并判断变量y 与x 是否线性相关？若研究的方案是先根据前5组数据求线性回归方程，再利用第6组数据进行检验，求线性回归方程ˆˆˆybx a =+； ②若根据①中线性回归方程得到商品上架12小时的销售量的预测值与检测值不超过3件，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问：①中的线性回归方程是否理想.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yb ay bx x nx==-==--∑∑. 20. 已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且y 轴和直线20x +=均与圆C 相切. （1）求圆C 的标准方程；（2）若直线y x m =+与圆C 相交于,M N 两点，点()0,1P ，且MPN ∠为锐角，求实数m 的取值范围. 21.已知函数()()1ln f x a x a R x=+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若(]()0,,0x e f x ∈≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，把圆O 上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C ，且倾斜角为α，经过点(Q 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点. （1）当4πα=时，求曲线C 的普通方程与直线l 的参数方程；（2）求点Q 到,A B 两点的距离之积的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()321f x x x =+--. （1）解不等式()2f x x >；（2）若存在[]1,3x ∈，使不等式()1ax f x +>成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BACCB 6-10: AABAC 11、12：AA二、填空题13. 1433a b -+14. 8 15. ( 16. [)0,+∞ 三、解答题17.解：（1sin 1sin sin c CC C=⇔==，∴tan A =，∴3A π=.（2）∵2,3b A π==，在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin b cB C=，∴2sin 2sin 311sin sin sin tan B C B c B B B Bπ2⎛⎫- ⎪⎝⎭===+=+，∵43B ππ≤≤，∴1tan B ≤≤∴21c ≤≤，即c的取值范围为1⎡⎤⎣⎦.18.（1）如图，连接1AB ，因为该三棱柱是直三棱柱，所以111AA A B ⊥， 则四边形11ABB A 为矩形.由矩形性质，得1AB 过1A B 的中点M . 在11AB C ∆中，由中位线性质，得1//MN AC ， 又MN ⊄平面111,ACC A AC ⊂平面11ACC A ， 所以//MN 平面11ACC A .（2）因为2,BC AB AC ===AB BC ⊥， 故1122222ABC S BC AB ∆==⨯⨯=， 又三棱柱111ABC A B C -体积为4. 所以1124ABC S BB BB ∆=⨯=，即12BB = 由（1）知，1//MN AC ，则MNB ∠即为异面直线1AC 与BN 的夹角（或补角）.在MNB ∆中，111122MN AC BM A B BN =====，所以cos MNB ∠==，即异面直线1AC 与BN 夹角的余弦值为5. 19.解：（1）由题得，平均数为641382052853604302476+++++=；中位数为2052852452+=；（2）①作出散点图如图所示：由散点图发现这些点大致在一条直线附近，故变量y 与x 是线性相关的. 由前5组数据计算，得6,210.4x y ==，55211220,7790ii i i i xx y ====∑∑，∴2779056210.4ˆˆ36.95,210.436.95611.322056ba-⨯⨯===-⨯=--⨯， ∴线性回归方程为ˆ36.9511.3yx =-； ②将12x =代入ˆ36.95x 11.3y=-，得ˆ432.1y =， ∵432.14303-<，故①中的线性回归方程是理想的.20.解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，由题意，得00a b a r r>⎧⎪=⎪⎪=⎨=，解得202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆C 的标准方程为()2224x y -+=；（2）将y x m =+代入圆C 的方程，得()222220x m x m +-+=，由()224280m m ∆=-->，得22m --<-+设()()1122,,,M x y N x y ，则212122,2m x x m x x +=-=，依题意，得0PM PN >，即()()1212110x x x m x m ++-+->， 即210m m +->，解得12m -<或12m ->， 故实数m的取值范围是1522⎛⎛-+---+ ⎝⎭⎝. 21.解：（1）由题得，()f x 的定义域为()()22110,,a ax f x x x x-'+∞=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，故()f x 在区间()0,+∞上单调递减，无递增区间； 当0a >，由()0f x '<，得10x a<<， 由()0f x '>，得1x a>. 所以()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）若(]()0,,0x e f x ∈≥恒成立，即()f x 在区间(]0,e 上的最小值大于等于0， 由（1）可知，当0a ≤时，()0f x '<恒成立， 即()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 故()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln f e a e a e e=+=+， 由10a e +≥，得1a e ≥-，故10a e-≤≤， 当0a >时，若1e a ≤，即10a e<≤时，()0f x '≤对(]0,x e ∈恒成立， 所以()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 则()f x 在区间(]0,e 上的最小值为()11ln 0f e a e a e e=+=+>， 显然()f x 的区间(]0,e 上的最小值大于等于0成立. ②若10e<<，即1a >时，则有所以()f x 在区间(]0,e 上的最小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 由1ln0a a a+≥，得1ln 0a -≥， 解得a e ≤，即1a e e<≤.综上所述，实数a 的取值范围是1,e e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.22.解：（1）设圆O 上任意一点的坐标为()00,x y ，曲线C 上一点的坐标为(),x y ,根据题意，得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩.又点()00,x y 在圆22:1O x y +=上，所以22112x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即曲线C 的方程为2214x y +=，由题知，(,4Q πα=，所以直线l的参数方程是1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）. （2）将直线l的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 是参数）代入2214x y +=， 得()()222cos4sin 2cos 90tt αααα++++= （*）.设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则1222299cos 4sin 13sin t t ααα==++， 当2πα=时，经检验，（*）式中0∆>，则12t t 取得最小值，即最小值为94. 23.解：（1）因为()321f x x x =+--，所以()4,3132,3214,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=+-<≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，由()2f x x >，得342x x x ≤-⎧⎨->⎩或132322x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪+>⎩或1242x x x⎧>⎪⎨⎪-+>⎩，解得4x <-或122x -<≤或1423x <<.综上所述，不等式()2f x x >的解集为()4,42,3⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭. （2）当[]1,3x ∈时，()4f x x =-+， 由()1ax f x +>，得14ax x +>-+， 即31a x>-+. 存在[]1,3x ∈，使不等式()1ax f x +>成立，等价于31min a x ⎛⎫>-+⎪⎝⎭. 因为()31g x x=-+在[]1,3x ∈上是减函数， 所以()()min 30g x g ==，所以0a >，即实数a 的取值范围是()0,+∞.。

河北省衡水市衡水金卷2018届高三大联考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N I 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知命题p ：x ∀∈R ，()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A ．0x ∃∈R ，()12020x -> B ．x ∀∈R ，()1210x -> C ．x ∀∈R ，()1210x -≥ D ．0x ∃∈R ，()12020x -≥ 3．已知复数5i2i 1z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．已知双曲线C ：()2221016x y a a -=>的一个焦点为()5,0，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．430x y ±= B ．1690x y ±=C ．40x =D ．4312x y ±=5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．2726mm 5π B．2363mm 10π C ．2363mm 5π D ．2363mm 20π6．下列函数中，与函数122x x y =-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A ．sin y x =B ．2y x =C ．1y x =D ．()()2200x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设55log 4log 2a =-，2ln ln 33b =+，1lg5210c =，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c << 9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1819 B ．1920 C ．2021 D ．12010．将函数()2sin 43f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π的图象向左平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ） A ．最小正周期为π B ．图象关于直线12x =π对称C ．图象关于点,012⎛⎫⎪⎝⎭π对称 D ．初相为3π11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A ．43 B ．43- C ．43± D ．169- 12．已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且()()222cos cos ab c a B b A abc +-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量sin ,cos 36a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππr ，(),1b k =r，若a b ∥r r ，则k = ．14．已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆C ：()222x y a +-=的圆心，则实数a 的值为 ．15．已知实数x y ，满足约束条件3,,60,x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩ππ则()sin x y +的取值范围为 （用区间表示）．16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M ABCD -为阳马，侧棱MA ⊥底面ABCD ，且2MA BC AB ===，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a ⋅=，其中*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 为AB 的中点.（1）证明：1AC ∥平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63520．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,12，直线l ：20kx y -+=与椭圆C 交于A B ，两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数k ，使得OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r（其中O 为坐标原点）成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()2ln 23f x x x =-+，()()()4ln 0g x f x x a x a '=++≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lsin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，试证明：223t t -≥.衡水金卷2018届全国高三大联考文数参考答案及评分细则一、选择题1-5:CDDAB 6-10:DAABC 11、12：BB 二、填空题13．1 14．2- 15．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．36-π 三、解答题17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=，∴22a =，516a =或216a =，52a =（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q--==（*n ∈N ）.（2）由（1）得，12n n b n -=+.∴12n n T b b b =+++L()()211222123n n -=+++++++++L L()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.18．解：（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是平行四边形. ∴点O 是1BC 的中点. ∵点D 为AB 的中点， ∴1OD AC ∥.又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD .（2）∵AC BC =，AD BD =， ∴CD AB ⊥.在三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A I 平面ABC AB =. ∴CD ⊥平面11ABB A .∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin 4CD AC ==π∴11111113A CDB C A DB A DB V V S CD --∆==⨯1111132A B AA CD =⨯⨯⨯⨯=14263⨯=. 19．解：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. （2）（i ）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）.（ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a b c ，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为d e ，.则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e ，共1种.故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=. 20．解：（1）依题意，得22222211,,2,a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，22c =，故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程222,24,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理，得()2212840k xkx +++=.则()226416120k k∆=-+>，即2k >或2k <-. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122812k x x k +=-+，122412x x k=+. 由OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r ，得0OA OB ⋅=uu r uu u r.∴12120x x y y +=.∴()()1212220x x kx kx +++=. 即()()212121240kx xk x x ++++=.∴()22224116401212k k k k+-+=++. 即2284012k k -=+. 即22k =，即k =故存在实数k =OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立.21．解：（1）依题意，得()21144x f x x x x -'=-=()()1212x x x+-=，()0,x ∈+∞. 令()0f x '>，即120x ->. 解得102x <<； 令()0f x '<，即120x -<. 解得12x >. 故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由题得，()()4ln g x f x x a x '=++=1ln a x x+. 依题意，方程1ln 0a x a x +-=有实数根， 即函数()1ln h x a x a x=+-存在零点.又()2211a ax h x x x x -'=-+=.令()0h x '=，得1x a=.当0a <时，()0h x '<.即函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，而()110h a =->，111111e 1a ah a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111110e e a-=-<-<.所以函数()h x 存在零点；当0a >时，()h x '，()h x 随x 的变化情况如下表：所以11ln ln h a a a a a a a ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值. 当10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点； 当10h a ⎛⎫≤⎪⎝⎭，即1a ≥时，注意到()110h a =-≤， ()11e 0e eh a a =+-=>， 所以函数()h x 存在零点.综上所述，当()[),01,a ∈-∞+∞U 时，方程()g x a =有实数根.22．解：（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），得曲线C 的普通方程为2214x y +=. 2sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ， 得()sin cos 3+=ρθθ，即3x y +=.∴直线l 的普通方程为30x y +-=.（2）设曲线C 上的一点为()2cos ,sin αα，则该点到直线l的距离d ==（其中tan 2=ϕ）.当()sin 1+=-αϕ时，max d ==. 即曲线C 上的点到直线l. 23．解：（1）依题意，得()3,1,12,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 则不等式()3f x ≤即为1,33x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,23 3.x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得11x -≤≤.故原不等式的解集为{}11x x -≤≤. （2）由题得，()()121g x f x x x =++=-+2221223x x x +≥---=， 当且仅当()()21220x x -+≤.即112x -≤≤时取等号. ∴[)3,M =+∞.∴()()22331t t t t --=-+. ∵t M ∈，∴30t -≥，10t +>. ∴()()310t t -+≥. ∴223t t -≥.。