2015-2016年北京市首师大附属育新学校高二上学期期中数学试卷及答案

2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=02．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣13．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．15．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是．11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是．19．已知p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R；q：0＜a＜1．则p是q（充分，必要，充要）条件．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x+y﹣1=0的斜率为﹣1，∴所求垂线的斜率为1，∴方程为y﹣2=x﹣（﹣1），∴x﹣y+3=0，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．2．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解方程排除重合即可．【解答】解：∵两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，∴a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解得a=，经验证当a=﹣时，两直线平行．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．3．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】利用正方体模型，举出A、B、C三项的反例，得出A、B、C三项均为假命题，通过排除法可得D选项为正确答案．【解答】解：以正方体为例对于A选项，设下底面ABCD为平面α，在上底面A1D1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a、b都平行于平面α，但直线a、b不平行，故A项不对（如图1）对于B选项，设下底面ABCD为平面α，上底面A1C1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a是平面α的平行线，直线b与a垂直，但直线b与平面α不垂直，故B选项不对（如图2）对于C选项，设下底面ABCD为平面α，直线AB、CD所在直线分别为a、b，AD1所在直线为l．可见直线a、b是平面α内的平行线，虽然直线a、b都与直线l垂直，但直线l与平面α不垂直，故C选项不对（如图3）由A、B、C都不对，得应该选择D选项．故答案为D【点评】判断空间直线与平面的位置关系时，常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等，结合立体几何的定理或推论解决问题．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，∴三棱柱的体积V==1．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．5．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】由多面体的结构特征逐一核对四个选项得答案．【解答】解：在正三棱锥中，斜高为直角三角形的直角边，侧棱为同一个直角三角形的斜边，∴斜高小于侧棱，A错误；由直棱柱的定义可知，有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，B正确；底面是正方形的棱锥是正四棱锥错误，还需满足顶点在底面的射影为底面的中心；有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥错误，还需满足三角形由公共顶点．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了多面体的结构特征，是基础题．6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知求出外接球半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，∴它的外接球的半径R满足：2R==3，即R=，故它的外接球的体积V==，故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积，球内接多面体，计算出球的半径是解答的关键．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；规律型；数形结合；直线与圆．【分析】由题意可得反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），点P（﹣2，﹣3）关于x 轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，用斜率公式求解即可．【解答】解：由题意可得反射光线所在的直线经过圆：（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心M（﹣3，2），由反射定律可得点P（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，根据M、Q两点的坐标，所求直线的斜率为：=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查用两点式求直线方程，判断反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），是解题的突破口．8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的定义与性质，算出圆锥的高h，再由圆锥的体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：∵圆锥的母线长l=52，底面圆的半径r=1，∴圆锥的高h=，因此，圆锥的体积为V=πr2h=π×12×=．故答案为：．【点评】本题给出圆锥的母线长和底面圆的半径，求此圆锥的体积．着重考查了圆锥的定义与性质、圆锥的体积公式等知识，属于基础题．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是6．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图还原成原图为四个面都是直角三角形的四面体，然后求出四个面的面积，找出最小面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形的四面体（如图所示），则S ABD=×4×5=10，S ABC=×3×5=7.5，S BCD=×4×3=6，且AD＞51，AC＞5，CD=5，∴S ACD＞S BCD，∴面积最小为6．故答案为：6．【点评】本题考查了由三视图还原成原图，要注意还原前后数量的对应关系，考查了空间想象能力，属于基本题型，难度不大11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】先求出正三棱锥的底面面积，再由经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，能求出结果．【解答】解：∵正三棱锥的底面边长为2，∴正三棱锥的底面面积S==，∵经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，∴经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积S′==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥中截面面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的结构特征的合理运用．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；数形结合；直线与圆．【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆的位置关系．【解答】解：由题意可得，两圆的圆心距C1C2==∈[1，3]，即两圆的圆心距大于两圆的半径之差，小于半径和，故两圆相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有（1）（2）（4）．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知推导出FG⊥AB，CD⊥GF，EF⊥CD从而得到CD⊥平面GEF；由已知得AB=AE=BE=BC=AC=2，AF=BF=CF，从而得到AG=BG=1，以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，∠EAD=∠EAB=60°．【解答】解：在（1）中，∵E是正方形ABCD所在平面外一点，FG∥BC，∴BC⊥AB，∴FG⊥AB，∵AB∥CD，∴CD⊥GF，∵E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥CD，∵EF∩GF=F，∴CD⊥平面GEF，故（1）正确；在（2）中，∵AB=AE=2，∠EAB=60°，∴AB=AE=BE=BC=AC=2，∴AF=BF=CF，∵FG∥BC，∴AG=BG=1，故（2）正确；在（3）中，∵由（2）得AF=CF=EF=，∴=2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，故（3）错误；在（4）中，由（2）得∠EAD=∠EAB=60°，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证EF∥平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B1D1，又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证平面CAA1C1⊥平面CB1D1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，满足线面垂直的判定定理则B1D1⊥平面CAA1C1．【解答】（本题满分为12分）证明：（1）连接BD，因为正方体，所以BB1∥DD1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为EF∥BD，由平行线传递性得：EF∥B1D1，因为B1D1⊄面CB1D1，EF⊂面CB1D1，所以EF∥平面CB1D1．（6分）（2）因为在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．（10分）又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；数形结合；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）联立直线方程可解得P（4，4）可得l0的方程，又可得圆C的圆心为（2，2），半径为1，可得圆心C到直线l0的距离d，由勾股定理可得；（2）由相切可得k的方程，解方程可得k值，由三角函数的定义可得sin∠MPC，由二倍角公式可得cos∠MPN．【解答】解：（1）联立可解得P（4，4），当k=时，l0的方程为y﹣4=（x﹣4），即3x﹣2y﹣4=0，配方可得圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，故圆C的圆心为（2，2），半径为1，∴圆心C到直线l0的距离d==，∴|AB|=2=；（2）l0的方程为y﹣4=k（x﹣4），即kx﹣y+4﹣4k=0，由相切可得圆心C到直线l0的距离d==1，平方并整理可得3k2﹣8k+3=0，解得k=，∵sin∠MPC===，∴cos∠MPN=cos2∠MPC=1﹣2sin2∠MPC=1﹣2×=．【点评】本题考查圆的切线方程，涉及圆的弦长和点到直线的距离以及二倍角的余弦公式，属中档题．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根．【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】根据命题的否定可知，存在的否定词为任意，再根据非p进行求解即可．【解答】解：∵p：存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根，存在的否定词为任意，∴非p形式的命题是：对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根，故答案为：对任意实数m，方程x2+mx+1=0没有实数根．【点评】此题主要考查命题的否定，此题是一道基础题．19．已知p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R；q：0＜a＜1．则p是q必要（充分，必要，充要）条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】结合二次函数的性质求出a的范围，再由集合的包含关系判断即可．【解答】解：若不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，a=0时：1＞0，成立，a≠0时：△=4a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜1，综上，p：0≤a＜1；q：0＜a＜1，故答案为：必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意列式求出b，再由椭圆的长轴的长为4求得a，结合隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求．【解答】解：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，得b=．又∵2a=4，∴a=2，∴c2=a2﹣b2=2，即c=．∴e=．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式，是基础题．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合￢P和￢q的关系，得到不等式组，解出即可．【解答】解：解法一：非p：A={x|x＜﹣2或x＞10}，非q：B={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}．∵非p是非q的必要不充分条件，∴非p推不出非q，非q⇒非p，∴B A，结合数轴分析知，B A的充要条件是：或，解得m≥9，即m的取值范围是m≥9．解法二：∵非p是非q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．而p：M={x|﹣2≤x≤10}，q：N={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，∴M N，结合数轴分析知，M N的充要条件是：或，解得m≥9，∴m的取值范围是m≥9．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0，代入计算，即可求实数m的取值范围；（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0，利用根系关系，可得结论．【解答】解：（1）方程x2+y2﹣6x+2y+m=0，由圆的一般方程知识得D=﹣6，E=2，F=m当此方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0解之得m＜10．（2）联立直线和圆的方程，消去x并化简整理得5y2+6y+m﹣8=0设题中直线与圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则在上述方程判别式△＞0的前提下，由根系关系得到y1+y2=﹣，y1y2=．再由x=2﹣2y可得x1+x2=，x1x2=由以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0即+=0，解之得m=﹣．验证此时△＞0成立．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查根系关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．【考点】椭圆的简单性质；点到直线的距离公式；椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，解方程组求得点P的坐标．（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M 的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】解：（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x﹣4，y）．由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是（，）．（2）直线AP的方程是，即x﹣y+6=0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，∴当x=时，d取得最小值．【点评】本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M 的坐标，是解题的难点．。

北京市首都师范大学附属育新学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l mB ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若l α⊥，αβ⊥，则//l βD ．若l α∥，m α⊥，则l m⊥2．下列可使非零向量,,a b c构成空间的一组基底的条件是（）A ．,,a b c两两垂直B ．b cλ= C ．a mb nc =+D ．0a b c ++= 3．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则点B 到直线1AC 的距离为（）A B C D ．2234．已知直线l 的方向向量为()1,2,4v =-，平面α的法向量为(),1,2n x =- ，若直线l 与平面α垂直，则实数x 的值为（）A ．10-B ．10C ．12-D ．125．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG x AB y AA z AC =++，则x y z ++=（）A ．1B ．12C ．32D ．346．已知直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的直线分别为（）A ．12k =，4b =-B ．12k =-，4b =C ．12k =，4b =D ．12k =-，4b =-8．已知圆()()22:349C x y -+-=，直线l 过点()2,3P ，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A ．B C ．D 9．已知圆C 的方程为22(2)x y a +-=，则“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B .点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论不正确的是（）A ．C 的方程为22(4)16x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3C ．在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为1二、填空题11．已知圆锥的母线与底面所成角为45 ，高为1.则该圆锥的体积为.12．已知平面α的一个法向量为(2,3,5)n =，点(1,3,0)A --是平面α上的一点，则点(3,4,1)P --到平面α的距离为.13．过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为（用一般式表示）14．已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为米．15．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不包含端点）上运动，则下列结论正确的是.（填序号）①正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为48π；②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③直线1//A M 平面1ACD ；④三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化.三、解答题16．已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -．(1)求线段BC 的中点及其所在直线的斜率；(2)求线段BC 的垂直平分线1l 的方程；(3)若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程．17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点()1,0A 和点()1,2B -，且圆心在直线220x y -+=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线3x ay =+被圆C截得弦长为a 的值.18．已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过点()1,0A .(1)求圆C 的圆心坐标及半径长；(2)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(3)设直线l 与圆C 相切于点B ，求A .19．如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.(1)求证：//MN 平面CFG ；(2)求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．20．如图，已知等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，122AB AD BC ===，E 是BC 的中点，AE BD M = ，将BAE 沿着AE 翻折成1B AE △，使1B M ⊥平面AECD.(1)求证：CD ⊥平面1B DM ；(2)求平面1B MD 与平面1B AD 夹角的余弦值；(3)在线段1B C 上是否存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.21．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),d A B 表示，又称“曼哈顿距离”，即(),d A B AC CB =+，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,d A B x x y y =-+-(1)①点()A 3,5，()2,1B -，求(),d A B 的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．(2)已知点()10B ,，直线220x y -+=，求B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值；(3)设三维空间4个点为(),,i i i i A x y z =，1,2,3,4i =，且i x ，i y ，{}0,1i z ∈．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d ，求d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．。

2015-2016 学年北京二十四中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12 小题，每题 3 分，满分36 分）1．直线（ a 为实常数）的倾斜角的大小是()A．30° B ．60° C ．120°D．150°2．若 a， b 是异面直线，直线c∥a，则 c 与 b 的地点关系是( )A．订交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或订交3．到直线 3x﹣ 4y﹣ 1=0的距离为 2 的直线方程是 ( )A． 3x﹣4y﹣ 11=0 B ． 3x﹣4y﹣ 11=0 或 3x﹣ 4y+9=0C． 3x﹣4y+9=0 D． 3x﹣4y+11=0 或 3x﹣ 4y﹣ 9=04．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个几何体的体积为( )A．B．C．πD．5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形， E 是BC中点，则以下表达正确的选项是( )A． CC1与 B1E 是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C． AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D． A1C1∥平面 AB1E6．直线 x+（ 1+m） y=2﹣ m和直线 mx+2y+8=0平行，则m的值为 ( )A．1B．﹣ 2 C．1 或﹣ 2D．﹣7．以下四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．此中正确的个数为 ( )A．0B．1C．2D．38．已知过球面上A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是 ( )A．B．C． 4πD．9．已知点 M（ 0，﹣ 1），点 N在直线 x﹣ y+1=0 上，若直线MN垂直于直线x+2y ﹣ 3=0，则点 N 的坐标是 ( )A．（﹣ 2，﹣ 1）B．（ 2，3）C．（2， 1）D．（﹣ 2， 1）10．如图，在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中，异面直线A1D与 D1C 所成的角为 ( )A．30° B ．45° C ．60° D ．90°11．由小正方体木块搭成的几何体的三视图以下图，则搭成该几何体的小正方体木块有( )A．6 块B．7 块C．8 块D．9 块12．将正方形ABCD沿对角线 BD折成直二面角A﹣ BD﹣ C，有以下四个结论：①AC⊥BD；②△ ACD是等边三角形；③AB 与平面 BCD所成的角为60°；④AB 与 CD所成的角为60°．此中错误的结论是( )A．①B．②C．③D．④二、填空题（共 6 小题，每题 4 分，满分24 分）13．过点（ 1， 2）且与直线x+2y ﹣ 1=0 平行的直线方程是__________ ．14．△ ABC的三极点分别是 A（﹣ 8，5）， B（4，﹣ 2），C（﹣ 6，3），则 BC边上的高所在的直线的一般式方程是 __________ ．15．经过两直线2x﹣ 3y ﹣12=0 和 x+y﹣ 1=0 的交点，而且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 __________．k 的16．直线y=k（ x+1） +3 与以点A（ 2，﹣ 5），B（ 4，﹣ 2）为端点的线段AB有公共点，则取值范围是___________17．如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD﹣ A1B1C1D1中，当底面ABCD知足条件__________ 时，有 AC⊥B1D1（写出你以为正确的一种条件即可．）．18．如图， P 是二面角α ﹣ AB﹣β棱 AB上的一点，分别在α，β 上引射线 PM， PN，假如∠BPM=∠BPN=45°，∠ MPN=60°，那么二面角α ﹣ AB﹣β的大小是 __________．三、解答题（共 3 小题，满分40 分）19．已知直线 l 经过直线 3x+4y ﹣ 2=0 与直线 2x+y+2=0 的交点 P，且垂直于直线x﹣ 2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l 的方程；（Ⅱ）直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S．20．如图，四棱锥 S﹣ ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， E 是 SA上一点，尝试究点 E 的地点，使 SC∥平面 EBD，并证明．ABCD，21．（ 16 分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ ABCD中，∠ ABC=90°， SA⊥面SA=AB=BC=1， AD= ．（ 1）求四棱锥S﹣ ABCD的体积；（ 2）求证：面SAB⊥面SBC；（ 3）求 SC与底面 ABCD所成角的正切值．2015-2016 学年北京二十四中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12 小题，每题 3 分，满分36 分）1．直线（a为实常数）的倾斜角的大小是( )A．30° B ．60° C ．120°D． 150°【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题．【剖析】由已知中直线的方程，能够求直线的斜率，从而依据直线斜率与倾斜角的关系，能够求出直线倾斜角的大小．【解答】解：∵直线令直线则 tan θ=﹣解得θ=150°应选 D（ a 为实常数）的斜率为﹣（ a 为实常数）的倾斜角为θ【评论】本题考察的知识点是直线的倾斜角，此中依据直线方程求出直线的斜率是解答本题的重点2．若 a， b 是异面直线，直线c∥a，则 c 与 b 的地点关系是( )A．订交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或订交【考点】空间中直线与直线之间的地点关系．【剖析】若a， b 是异面直线，直线c∥a，所以 c 与 b 可能异面，可能订交．【解答】解：由 a、 b 是异面直线，直线 c∥a知 c 与 b 的地点关系是异面或订交，应选D．【评论】本题考察学生的空间想象能力，考察对异面直线的理解和掌握．3．到直线3x﹣ 4y﹣ 1=0 的距离为 2 的直线方程是 (A． 3x ﹣4y﹣ 11=0 B ． 3x﹣4y﹣ 11=0 或 3x﹣ 4y+9=0)C． 3x ﹣4y+9=0D． 3x﹣4y+11=0 或 3x﹣ 4y﹣ 9=0【考点】直线的一般式方程；两条平行直线间的距离．【专题】计算题；待定系数法．【剖析】设到直线3x﹣ 4y﹣ 1=0 的距离为 2 的直线方程是3x ﹣4y+c=0 ，由两平行线间的距离公式得=2，解方程求出 c 值，即得所求的直线的方程．【解答】解：设到直线3x﹣ 4y﹣ 1=0 的距离为 2 的直线方程是3x ﹣ 4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，c=﹣ 11，或 c=9 ．∴到直线3x﹣ 4y﹣ 1=0 的距离为 2 的直线方程是3x ﹣4y﹣ 11=0，或 3x ﹣ 4y+9=0，应选 B．【评论】本题考察用待定系数法求平行直线方程的方法，以及两平行线间的距离公式的应用．4．一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个几何体的体积为( )A．B．C．πD．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【剖析】由三视图可判断这个几何体为圆柱体，依据题意可知底面半径以及高，易求体积．【解答】解：由三视图可知这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径，高为 1，那么圆柱体的体积是：π ×（）2×1=，应选 A．【评论】本题考察三视图求几何体的体积，考察计算能力，空间想象能力，三视图还原几何体是解题的重点．5．如图，三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1是正三角形，E 是BC中点，则以下表达正确的选项是( )A． CC1与 B1E 是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C． AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D． A1C1∥平面 AB1E【考点】空间中直线与平面之间的地点关系．【专题】证明题；综合法．【剖析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形， E 是中点，由这些条件对四个选项逐个判断得出正确选项【解答】解： A 不正确，因为CC1与 B1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不行能存在AC⊥平面 ABB1A1；C 正确，因为AE， B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为 A1C1所在的平面与平面AB1E 订交，且 A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面 AB1E不正确；应选 C．【评论】本题考察空间中直线与平面之间的地点关系，解题的重点是理解清楚题设条件，依据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考察空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强．6．直线 x+（ 1+m） y=2﹣ m和直线 mx+2y+8=0平行，则m的值为 ( )A．1B．﹣ 2 C．1 或﹣ 2D．﹣【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；数形联合法；直线与圆．【剖析】由直线平行可得1×2﹣（ 1+m） m=0，解方程清除重合可得．【解答】解：∵直线x+ （1+m） y=2﹣ m和直线 mx+2y+8=0平行，∴1×2﹣（ 1+m）m=0，解得 m=1或﹣ 2，当 m=﹣2 时，两直线重合．应选： A．【评论】本题考察直线的一般式方程和平行关系，属基础题．7．以下四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．此中正确的个数为 ( )A． 0B． 1C． 2D． 3【考点】空间中直线与直线之间的地点关系．【专题】惯例题型．【剖析】依据线线平行、线面平行的判断和性质．即可得出正确结论．【解答】解：：（ 1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、订交、异面．故（ 1）不正确．（ 2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面．故（2）不正确．（ 3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、订交、异面．故（3）不正确．（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能订交、可能在平面内．应选 A【评论】本题考察学生对空间中点线面之间的地点关系的掌握与理解．考察学生的空间想象能力．8．已知过球面上A、B、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是 ( )A．B．C． 4πD．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【剖析】由AB=BC=CA=2，求得△ ABC的外接圆半径为r ，再由 R2﹣（ R）2=，求得球的半径，再用面积求解．【解答】解：因为AB=BC=CA=2，所以△ ABC的外接圆半径为r=．设球半径为R，则 R2﹣（R）2= ，所以 R2=2S=4π R =．应选 D【评论】本题主要考察球的球面面积，波及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得有关量的重点．9．已知点 M（ 0，﹣ 1），点 N在直线 x﹣ y+1=0 上，若直线MN垂直于直线x+2y ﹣ 3=0，则点 N 的坐标是 ( )A．（﹣ 2，﹣ 1）B．（ 2，3）C．（2， 1）D．（﹣ 2， 1）【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【剖析】依据点 N 在直线 x﹣y+1=0 上，设点 N 坐标为（ x0，x0+1），利用经过两点的斜率公式，获得直线 MN的斜率对于 x0的表达式，最后依据直线 MN垂直于直线 x+2y ﹣3=0，获得两直线斜率乘积等于﹣ 1，成立等式并解之可得点 N 的坐标．【解答】解：∵点 N 在直线 x﹣ y+1=0 上∴可设点N坐标为（ x0， x0+1）依据经过两点的直线的斜率公式，可得=∵直线 MN垂直于直线x+2y﹣ 3=0，而直线x+2y﹣ 3=0 的斜率为∴?=2? x0=2所以，点N的坐标是（ 2，3）应选 B【评论】本题借助于直线与垂直，求点的坐标为例，侧重考察了直线的方程、直线斜率的求法和直线垂直的斜率关系等知识点，属于基础题．10．如图，在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中，异面直线A1D与 D1C 所成的角为 ( )A．30° B ．45° C ．60° D ．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【剖析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由 D1C∥A1B，知∠ DA1B 是异面直线A1D 与 D1C 所成的角，由此能求出结果．【解答】解：在正方体ABCD﹣ A1B1C1D1中，∵D1C∥A1B，∴∠ DA1 B 是异面直线A1D 与 D1C所成的角，∵A1D=A1B=BD，∴△A1BD是等边三角形，∴∠ DA1 B=60°，∴异面直线A1D 与 D1C 所成的角是60°．应选： C．【评论】本题考察异面直线所成的角的求法，解题时要仔细审题，注意空间思想能力的培育．11．由小正方体木块搭成的几何体的三视图以下图，则搭成该几何体的小正方体木块有( )A．6 块B．7 块C．8 块D．9 块【考点】简单组合体的结构特点．【专题】计算题．【剖析】由俯视图易得最基层正方体的个数，由主视图和左视图找到其他层数里正方体的个数相加即可．【解答】解：由俯视图，我们可得该几何体中小正方体共有 4 摞，联合正视图和侧视图可得：第 1 摞共有 3 个小正方体；第 2 摞共有 1 个小正方体；第 3 摞共有 1 个小正方体；第 4 摞共有 2 个小正方体；故搭成该几何体的小正方体木块有7 块，应选 B．【评论】用到的知识点为：俯视图决定基层立方块的个数，三视图的次序分别为：主视图，左视图，俯视图．12．将正方形ABCD沿对角线 BD折成直二面角A﹣ BD﹣ C，有以下四个结论：①AC⊥BD；②△ ACD是等边三角形；③AB 与平面 BCD所成的角为60°；④AB 与 CD所成的角为60°．此中错误的结论是( )A．①B．②C．③D．④【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】证明题．【剖析】取BD的中点 E，则 AE⊥BD，CE⊥BD．依据线面垂直的判断及性质可判断①的真假；求出 AC长后，能够判断②的真假；求出 AB 与平面 BCD所成的角可判断③的真假；成立空间坐标系，利用向量法，求出 AB与 CD所成的角，能够判断④的真假；从而获得答案．【解答】解：取BD的中点 E，则 AE⊥BD，CE⊥BD．面AEC．∴BD⊥AC，故①正确．设正方形边长为a，则 AD=DC=a， AE=a=EC．∴AC=a．∴△ ACD为等边三角形，故②正确．∠ABD为 AB 与面 BCD所成的角为 45°，故③不正确．以 E 为坐标原点， EC、 ED、 EA分别为 x， y，z 轴成立直角坐标系，则 A（0， 0，a）， B（0，﹣a， 0）， D（ 0，a， 0），C（a， 0， 0）．=（ 0，﹣a，﹣a），=（a，﹣a， 0）．cos ＜，＞==∴＜，＞=60°，故④正确．应选 C【评论】本题考察的知识点是线面垂直的判断与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，此中依据已知条件将正方形 ABCD沿对角线 BD折成直二面角 A﹣ BD﹣ C，联合立体几何求出有关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是重点．二、填空题（共 6 小题，每题 4 分，满分24 分）13．过点（ 1， 2）且与直线x+2y ﹣ 1=0 平行的直线方程是x+2y ﹣ 5=0．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】计算题．【剖析】设过点（1， 2）且与直线x+2y ﹣ 1=0 平行的直线方程为x+2y+m=0，把点（ 1， 2）代入直线方程，求出m值即得直线l 的方程．【解答】解：设过点（1，2）且与直线x+2y=0 平行的直线方程为x+2y+m=0，把点（ 1， 2）代入直线方程得，1+4+m=0， m=﹣ 5，故所求的直线方程为x+2y ﹣ 5=0，故答案为： x+2y ﹣ 5=0．1， 2）且与直线x+2y ﹣1=0平【评论】本题考察用待定系数法求直线方程的方法，设过点（行的直线方程为x+2y+m=0 是解题的重点．14．△ ABC的三极点分别是A（﹣ 8，5）， B（4，﹣ 2），C（﹣ 6，3），则 BC边上的高所在的直线的一般式方程是2x﹣ y+21=0．【考点】直线的点斜式方程；待定系数法求直线方程．【专题】方程思想；定义法；直线与圆．【剖析】先求出BC所在直线的斜率，依据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：∵△ ABC 的三极点分别是A（﹣ 8， 5）， B（ 4，﹣ 2）， C（﹣ 6， 3），∴ k BC==﹣，∴BC边上高 AD所在直线斜率k=2，又过 A（﹣ 8， 5）点，∴BC边上的高AD所在的直线AD： y﹣ 5=2（ x+8），即 2x﹣y+21=0 ．故答案为： 2x ﹣y+21=0【评论】本题考察两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法，利用定义法是解决本题的重点．15．经过两直线2x﹣ 3y ﹣12=0 和 x+y﹣ 1=0 的交点，而且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 2x+3y=0；或 x+y+1=0．【考点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标．【专题】计算题；方程思想；分类法；直线与圆．【剖析】联解两条直线的方程，获得它们的交点坐标（﹣ 3，﹣ 1）．再依据直线能否经过原点，分两种状况加以议论，即可算出切合题意的两条直线方程．【解答】解：由解得∴直线 2x ﹣ 3y﹣12=0 和 x+y﹣ 1=0 的交点坐标为（3，﹣ 2）①所求直线经过原点时，知足条件y= ﹣x，即2x+3y=0 ；方程设为y=kx ，可得 3k=﹣ 2，解得 k=﹣，此时直线方程为②当所求直线在座标轴上的截距不为0 时，方程设为x+y=a，可得 3﹣2=a，解之得a=1，此时直线方程为x+y﹣ 1=0综上所述，所求的直线方程为2x+3y=0；或 x+y+1=0．【评论】本题给出经过两条直线，求经过两条直线的交点且在轴上截距相等的直线方程．侧重考察了直线的基本量与基本形式、直线的地点关系等知识，属于基础题．16．直线 y=k（ x+1） +3 与以点 A（ 2，﹣ 5），B（ 4，﹣ 2）为端点的线段AB有公共点，则k 的取值范围是 _【考点】直线的斜率．【专题】计算题；转变思想；综合法；直线与圆．【剖析】由直线方程求得直线所过定点P，而后求得PA， PB 的斜率得答案．【解答】解：由y=k （ x+1） +3，得直线y=k （x+1） +3 过定点 P（﹣ 1， 3），∵A（ 2，﹣ 5），B（ 4，﹣ 2），∴k PA=﹣，k PB=﹣1．∴知足直线y=k （x+1） +3 与线段 AB有公共点的k 的取值范围是．故答案为：．【评论】本题考察了直线系方程，考察了数学联合的解题思想方法，是基础题．17．如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD﹣ A1B1C1D1中，当底面ABCD知足条件ABCD是菱形或是正方形或是对角线相互垂直的四边形时，有AC⊥B1D1（写出你以为正确的一种条件即可．）．【考点】空间中直线与直线之间的地点关系．【专题】开放型．【剖析】在四棱柱ABCD﹣ A1B1C1D1中， BD∥B1D1，故只需 AC⊥BD，则 AC⊥B1D1，即只需底面四边形 ABCD的对角线相互垂直就行了，比方：菱形、正方形、或许随意一个对角线相互垂直的四边形，只需填一个答案即可．【解答】解：在四棱柱ABCD﹣ A1B1C1D1中，∵BD∥B1D1，∴若AC⊥BD，则AC⊥B1D1∴当底面ABCD是菱形、正方形或许是对角线相互垂直的四边形时，AC⊥B1D1故答案为： ABCD是菱形、正方形或许是对角线相互垂直的四边形【评论】本题主要考察了空间中直线与直线之间的地点关系，考察空间想象能力和思想能力．18．如图， P 是二面角α ﹣ AB﹣β棱 AB上的一点，分别在α，β 上引射线 PM， PN，假如∠BPM=∠BPN=45°，∠ MPN=60°，那么二面角α ﹣ AB﹣β的大小是 90°．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；压轴题．【剖析】本题考察的知识点是二面角及其胸怀，我们要依据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点Q，而后向两个平面引垂线，结构出二面角的平面角，而后依据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中有关的边长，解三角形即可获得答案．【解答】解：过AB 上一点 Q分别在α，β内做 AB 的垂线，交PM， PN于 M点和 N点则∠ MQN即为二面角α ﹣AB﹣β 的平面角，以以下图所示：设 PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°∴QM=QN=aPM=PN=a又由∠ MPN=60°，易得△ PMN 为等边三角形则 MN= a解三角形QMN易得∠ MQN=90°故答案为： 90°【评论】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．本题是利用二面角的平面角的定义作出∠ MQN为二面角α ﹣ AB﹣β的平面角，经过解∠ MQN 所在的三角形求得∠ MQN．其解题过程为：作∠ MQN→证∠ MQN 是二面角的平面角→计算∠ MQN，简记为“作、证、算”．三、解答题（共 3 小题，满分40 分）19．已知直线 l 经过直线 3x+4y ﹣ 2=0 与直线 2x+y+2=0 的交点 P，且垂直于直线x﹣ 2y﹣1=0．求：（Ⅰ）直线l 的方程；（Ⅱ）直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S．【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标．【专题】综合题．【剖析】（Ⅰ）联立两直线方程获得方程组，求出方程组的解集即可获得交点P 的坐标，依据直线 l 与 x﹣ 2y ﹣1 垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1，可设出直线l 的方程，把P 代入即可获得直线l 的方程；（Ⅱ）分别令 x=0 和 y=0 求出直线 l 与 y 轴和 x 轴的截距，而后依据三角形的面积函数间，即可求出直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由解得因为点 P 的坐标是（﹣2，2）．则所求直线 l 与 x﹣ 2y﹣ 1=0 垂直，可设直线l 的方程为 2x+y+m=0．把点 P 的坐标代入得2×（﹣ 2） +2+m=0，即 m=2．所求直线 l 的方程为 2x+y+2=0 ．（Ⅱ）由直线 l 的方程知它在 x 轴． y 轴上的截距分别是﹣ 1．﹣ 2，所以直线 l 与两坐标轴围成三角形的面积．【评论】本题考察学生会利用联立两直线的方程的方法求两直线的交点坐标，掌握直线的一般式方程，会求直线与坐标轴的截距，是一道中档题．20．如图，四棱锥 S﹣ ABCD中，底面 ABCD为平行四边形， E 是 SA上一点，尝试究点 E 的地点，使 SC∥平面 EBD，并证明．【考点】直线与平面平行的判断．【专题】证明题．【剖析】欲证 SC∥平面 EBD，依据直线与平面平行的判断定理可知只需证 SC与平面 EBD内向来线平行，取 SA的中点 E，连结 EB， ED， AC，设 AC与 BD的交点为 O，连结 EO．依据中位线可知OE∥SC，而 SC?平面 EBD， OE? 平面 EBD，知足定理所需条件．【解答】答：点 E 的地点是棱SA的中点．证明：取SA的中点 E，连结 EB， ED， AC，设 AC与 BD的交点为 O，连结EO．∵四边形 ABCD是平行四边形，∴点 O是 AC的中点．又 E 是 SA 的中点，∴ OE 是△ SAC的中位线．∴OE∥SC．∵S C?平面 EBD，OE? 平面 EBD，∴SC∥平面 EBD．故 E 的地点为棱 SA 的中点．【评论】本题主要考察了直线与平面平行的判断，应娴熟记忆直线与平面平行的判断定理，属于探究性问题．21．（ 16 分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ ABCD中，∠ ABC=90°， SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1， AD= ．（1）求四棱锥 S﹣ ABCD的体积；（2）求证：面 SAB⊥面 SBC；（3）求 SC与底面 ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判断．【专题】综合题．【剖析】（1）由题设条四棱锥S﹣ ABCD的体积：V==，由此能求出结果．（2）由 SA⊥面 ABCD，知 SA⊥BC，由 AB⊥BC，BC⊥面 SAB，由此能够证明面 SAB⊥面 SBC．（ 3）连结 AC，知∠ SCA 就是 SC与底面 ABCD所成的角．由此能求出SC 与底面 ABCD所成角的正切值．【解答】（ 1）解：∵底面是直角梯形的四棱锥S﹣ ABCD中，∠ ABC=90°，SA⊥面 ABCD， SA=AB=BC=1， AD= ．∴四棱锥S﹣ ABCD的体积：V====．（2）明：∵ SA⊥面 ABCD， BC? 面 ABCD，∴SA⊥BC，∵AB⊥BC，SA∩AB=A，∴BC⊥面SAB∵B C? 面 SBC∴面 SAB⊥面 SBC．（3）解：接 AC，∵SA⊥面 ABCD，∴∠ SCA 就是 SC与底面 ABCD所成的角．在三角形 SCA中，∵SA=1， AC=，∴．⋯10 分【点】本考棱的体的求法，面面垂直的明和直与平面所成角的正切的求法．解要真，注意合理地行等价化．北京二十四中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷含解析。

2015-2016 学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）．1．线段 AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的地点关系是（）A ． AB ? α B ． AB ? αC．由线段AB 的长短而定D．以上都不对2．垂直于同一条直线的两条直线必定（）A ．平行B ．订交C．异面D．以上都有可能3．已知直线l ∥平面α， P∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不必定都在平面α内D．有无数条，不必定都在平面α内4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A．1：2：3B．2：3：4C． 3：2：4D．3：1： 25．过点（﹣ 1， 3）且平行于直线x﹣ 2y+3=0的直线方程为（）A ． x﹣2y+7=0B ． 2x+y ﹣ 1=0C． x﹣ 2y﹣5=0D． 2x+y ﹣5=06．平面α与平面β平行的条件能够是（）A ．α内有无量多条直线与β平行B．直线 a∥ α， a∥ βC．直线aαbβa∥β b∥ α?，直线?，且，D．α内的任何直线都与β平行7．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．8．以下命题中错误的选项是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过极点的截面中面积最大的一个C．圆台的全部平行于底面的截面都是圆面D．圆锥全部的轴截面是全等的等腰三角形二．填空题：（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）．9．长方体的一个极点上的三条棱长分别是3， 4， 5，且它的8 个极点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．10．以点（ 1， 3）和（ 5，﹣ 1）为端点的线段的中垂线的方程是．11．正方体ABCD ﹣ A1B 1C1D 1中，平面 AB 1D 1和平面 BC1D 的地点关系为．12．如图，△ ABC 是直角三角形，∠ ACB=90°，PA ⊥平面 ABC ，此图形中有个直角三角形．13．如图， E，F 分别为正方形ABCD 的边 BC，CD 的中点，沿图中虚线将边长为 2 的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．14．空间四边形ABCD 中， E、F、 G、 H 分别是 AB 、 BC、 CD 、 DA 的中点．①若②若AC=BD ，则四边形AC ⊥ BD ，则四边形EFGH 是EFGH 是；．三．解答题：（本大题共 3 小题，共30 分）15．求点 A （ 3，﹣ 2）对于直线16．如图，在四棱锥P﹣ ABCDl： 2x﹣ y﹣ 1=0 的对称点A′的坐标．中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，AB=AD，∠ BAD=60°，E、F分别是 AP、 AD 的中点，求证：（1）直线 EF∥平面 PCD；（2）平面 BEF ⊥平面 PAD ．17．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B1C1中， AA 1C1C 是边长为 4 的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C1C， AB=3 ， BC=5．（Ⅰ）求证： AA 1⊥平面 ABC ；（Ⅱ）求证二面角 A 1﹣ BC 1﹣B 1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点 D ，使得 AD ⊥A 1B，并求的值．四．填空题：（本大题共 6 小题，每题 5 分，共18．正六棱台的两底面边长分别为1cm， 2cm，高是30分） .1cm，它的侧面积为．19．二面角α﹣l ﹣β内一点 P 到平面α，β和棱 l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是度．20．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共极点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是．21．直线l 过原点且均分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个极点为B（ 1，4），D（ 5，0），则直线l 的方程为．22．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖． A 点正对面的外壁（不是 A 点的外壁）距杯底2cm 的点 B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）23．在半径为 2 的球面上有 A 、 B、 C、D 四点，若AB=CD=2 ，则四周体ABCD 的体积的最大值为．五．解答题：（本大题共 2 小题，共20 分） .24．一块边长为10cm 的正方形铁片按如下图的暗影部分裁下，而后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试成立容器的容积V 与 x 的函数关系式，并求出函数的定义域．25．如图，三棱柱 ABC ﹣ A 1B 1C1中，侧面 AA 1C1C⊥底面 ABC ，AA 1=A 1C=AC=2 ，AB=BC ，且 AB ⊥BC，O 为 AC 中点．（Ⅰ）证明： A 1O⊥平面 ABC ；（Ⅱ）求直线 A 1C 与平面 A 1AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在 BC 1上能否存在一点 E，使得 OE∥平面 A 1AB ，若不存在，说明原因；若存在，确立点 E 的地点．2015-2016 学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（理科）参照答案与试题分析一．选择题：（本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）．1．线段 AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的地点关系是（）A ． AB ? α B ． AB ? αC．由线段AB 的长短而定D．以上都不对【考点】平面的基天性质及推论．【剖析】线段 AB 在平面α内，则直线AB 上全部的点都在平面α内，从而即可判断直线AB 与平面α的地点关系．【解答】解：∵线段 AB 在平面α内，∴直线 AB 上全部的点都在平面α内，∴直线 AB 与平面α的地点关系：直线在平面α内，用符号表示为：AB ? α应选 A．【评论】本题考察了空间中直线与直线的地点关系及公义一，主要依据定义进行判断，考察了空间想象能力．公义一：假如一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．2．垂直于同一条直线的两条直线必定（）A ．平行B ．订交C．异面D．以上都有可能【考点】空间中直线与直线之间的地点关系．【专题】分类议论．【剖析】依据在同一平面内两直线平行或订交，在空间内两直线平行、订交或异面判断．【解答】解：分两种状况：① 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线能够平行、订交或异面．应选 D【评论】本题主要考察在空间内两条直线的地点关系．3．已知直线l ∥平面α， P∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B．只有一条，在平面α内C．有两条，不必定都在平面α内D．有无数条，不必定都在平面α内【考点】空间中直线与平面之间的地点关系．【剖析】经过假定过点P 且平行于l 的直线有两条m 与 n 的出矛盾，由题意得m∥ l 且 n∥ l，这与两条直线m 与 n 订交与点P 相矛盾，又因为点P 在平面内因此点P 且平行于l 的直线有一条且在平面内．【解答】解：假定过点P 且平行于l 的直线有两条m 与 n∴m∥ l 且 n∥ l由平行公义 4 得 m∥ n这与两条直线m 与 n 订交与点P 相矛盾又因为点 P 在平面内因此点 P 且平行于l 的直线有一条且在平面内因此假定错误．应选 B．【评论】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．4．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（）A．1：2：3B．2：3：4C． 3：2：4D．3：1： 2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．【专题】计算题．【剖析】由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可获得答案．【解答】解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为 2R，则球的体积V 球 =3V圆柱的体积圆柱 =2πR圆锥的体积V 圆锥 =3故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR：：=3： 1：2应选 D【评论】本题考察的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，此中设出球的半径，并依据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，挨次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的重点．5．过点（﹣1， 3）且平行于直线x﹣ 2y+3=0的直线方程为（）A ． x﹣2y+7=0B ． 2x+y ﹣ 1=0C． x﹣ 2y﹣5=0【考点】直线的一般式方程；两条直线平行的判断．【专题】计算题．【剖析】由题意可先设所求的直线方程为x﹣ 2y+c=0 再由直线过点（﹣的值，从而可求直线的方程【解答】解：由题意可设所求的直线方程为x﹣ 2y+c=0∵过点（﹣ 1， 3）D． 2x+y ﹣5=01， 3），代入可求c代入可得﹣ 1﹣ 6+c=0∴x﹣ 2y+7=0则c=7应选 A．【评论】本题主要考察了直线方程的求解，解决本题的重点依据直线平行的条件设出所求的直线方程x﹣ 2y+c=0 ．6．平面α与平面β平行的条件能够是（）A ．α内有无量多条直线与β平行B．直线 a∥ α， a∥ βC．直线 a? α，直线 b? β，且 a∥β， b∥ αD．α内的任何直线都与β平行【考点】平面与平面平行的判断．【专题】证明题．【剖析】当α内有无量多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能订交，当直线a∥β时， a 与β可能平行，也可能订交，a∥ α，故不选 A 、B ，在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选C，利用排除法应选 D ．【解答】解：当α内有无量多条直线与β平行时，a与β可能平行，也可能订交，故不选A．当直线 a∥ α， a∥ β时， a 与β可能平行，也可能订交，故不选B．当直线aαbβa∥ β时，直线a和直线b可能平行，也可能是异面直线，故?，直线?，且不选C．当α内的任何直线都与β 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，应选D．【评论】本题考察两个平面平行的判断和性质得应用，注意考虑特别状况．7．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】立体几何．【剖析】从正视图和侧视图上剖析，去掉的长方体的地点应当在的方向，而后判断俯视图的正确图形．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视野的方向，从侧视图能够看出去掉的长方体在原长方体的左边，由以上各视图的描绘可知其俯视图切合 C 选项．应选：C．【评论】本题考察几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．8．以下命题中错误的选项是（）A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过极点的截面中面积最大的一个C．圆台的全部平行于底面的截面都是圆面D．圆锥全部的轴截面是全等的等腰三角形【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】对应思想；剖析法；立体几何．【剖析】对于 A ，B ，计算出截面面积与轴截面面积比较大小即可判断，对于C， D，利用旋转体的构造特点进行剖析判断．【解答】解：对于 A ，设圆柱的底面半径为r，高为 h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．∴当 a=2r 时截面面积最大，即轴截面面积最大，故 A 正确．对于 B ，设圆锥SO 的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a ，则O到 AB 的距离为，∴截面三角形SAB 的高为，∴截面面积S==≤=．故截面的最大面积为．故 B 错误．对于C，由圆台的构造特点可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体还是圆台，故截面为圆面，故 C 正确．对于D，因为圆锥的全部母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥全部的轴截面是全等的等腰三角形，故 D 正确．应选：B．【评论】本题考察了旋转体的构造特点，属于中档题．二．填空题：（本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分）．9．长方体的一个极点上的三条棱长分别是3， 4， 5，且它的8 个极点都在同一个球面上，则这个球的表面积是50π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题．【剖析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，而后求出球的表面积．【解答】解：长方体的一个极点上的三条棱长分别是3， 4，5，且它的 8 个极点都在同一个球面上，因此长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，因此球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．故答案为： 50π．【评论】本题是基础题，考察球的内接多面体的相关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转变是本题的解答的重点，考察计算能力，空间想象能力．10．以点（ 1， 3）和（ 5，﹣ 1）为端点的线段的中垂线的方程是x﹣ y﹣2=0．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式．【专题】计算题．【剖析】先求出线段 AB 的中垂线的斜率，再求出线段 AB 的中点的坐标，点斜式写出 AB 的中垂线得方程，并化为一般式．【解答】解：直线AB 的斜率k AB =﹣1，因此线段AB 的中垂线得斜率k=1，又线段AB 的中点为（ 3， 1），因此线段 AB 的中垂线得方程为y﹣ 1=x ﹣3 即 x﹣ y﹣ 2=0 ，故答案为x﹣ y﹣ 2=0．【评论】本题考察利用点斜式求直线的方程的方法，别的，本题还能够利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的 2 个端点距离相等）来求中垂线的方程．11．正方体ABCD ﹣ A1B 1C1D 1中，平面 AB 1D 1和平面 BC1D 的地点关系为平行．【考点】平面与平面之间的地点关系．【专题】惯例题型．【剖析】依据正方体中相应的对角线之间的平行关系，我们易获得平面AB 1D1和平面BC1D 内有两个订交直线互相平行，由面面平行的判断定理，我们易获得平面AB 1D1和平面BC1D 的地点关系．【解答】解：∵ AB 1∥C1D， AD 1∥ BC1，AB 1? 平面AB 1D 1， AD 1? 平面AB 1D1， AB 1∩ AD1=AC1D?平面BC1D， BC1? 平面BC 1D， C1D∩BC1 =C1由面面平行的判断理我们易得平面AB 1D1∥平面 BC1D故答案为：平行．【评论】本题考察的知识点是平面与平面之间的地点关系，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家必定要娴熟掌握这类方法．12．如图，△ ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC ，此图形中有4个直角三角形．【考点】棱锥的构造特点．【专题】证明题．BC ⊥【剖析】本题利用线面垂直，判断出线线垂直，从而获得直角三角形，只需证明直线平面 PAC 问题就水到渠成了．【解答】解：由 PA⊥平面 ABC ，则△ PAC，△ PAB 是直角三角形，又由已知△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°因此 BC ⊥ AC ，从而易得 BC ⊥平面 PAC ，因此 BC ⊥ PC，因此△ PCB 也是直角三角形，因此图中共有四个直角三角形，即：△PAC ，△ PAB ，△ ABC ，△ PCB．故答案为： 4【评论】本题考察空间几何体的构造特点，空间中点线面的地点关系，线面垂直的判断定理和性质定理的娴熟应用是解答本题的重点．13．如图， E，F 分别为正方形ABCD 的边 BC，CD 的中点，沿图中虚线将边长为 2 的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间地点关系与距离．【剖析】由题企图形折叠为三棱锥，直接求出三棱柱的体积即可．AC ，【解答】解：由题企图形折叠为三棱锥，底面为△ EFC，高为因此三棱柱的体积：× ×1×1×2= ，故答案为：．【评论】本题是基础题，考察几何体的体积的求法，注意折叠问题的办理方法，考察计算能力．14．空间四边形ABCD 中， E、F、 G、 H 分别是 AB 、 BC、 CD 、 DA 的中点．①若 AC=BD ，则四边形EFGH 是菱形；②若 AC ⊥ BD ，则四边形EFGH 是矩形．【考点】棱锥的构造特点．【专题】证明题．【剖析】①联合图形，由三角形的中位线定理可得EF∥ AC ，GH ∥ AC 且 EF=AC ， GH= AC ，由平行四边形的定义可得四边形EFGH 是平行四边形，再由邻边相等地，获得四边形EFGH 是菱形．②由①知四边形 EFGH 是平行四边形，再由邻边垂直获得四边形EFGH 是矩形．【解答】解：如下图：①∵ EF∥AC，GH∥ AC且EF=AC ，GH= AC∴四边形 EFGH 是平行四边形又∵ AC=BD∴E F=FG∴四边形 EFGH 是菱形．②由①知四边形EFGH 是平行四边形又∵ AC⊥BD ，∴E F⊥FG∴四边形 EFGH 是矩形．故答案为：菱形，矩形【评论】本题主要考察棱锥的构造特点，主要波及了线段的中点，中位线定理，组成平面图形，研究平面图形的形状，是常考种类，属基础题．三．解答题：（本大题共 3 小题，共30 分）15．求点 A （ 3，﹣ 2）对于直线l： 2x﹣ y﹣ 1=0 的对称点A′的坐标．【考点】与直线对于点、直线对称的直线方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【剖析】 设点 A ′的坐标为（ m ，n ），求得 A ′A 的中点再由线段 A ′A 和直线 l 垂直，斜率之积等于﹣ 1 获得A ′的坐标．B 的坐标并代入直线l 的方程获得 ① ，② ，解 ①② 求得 m ， n 的值，即得点【解答】 解：设点 A （ 3，﹣ 2）对于直线 l ： 2x ﹣ y ﹣ 1=0 的对称点 A ′的坐标为（ m ， n ），则线段 A ′A 的中点 B （， ），由题意得 B 在直线 l ：2x ﹣ y ﹣ 1=0 上，故 2×﹣ ﹣ 1=0 ① ．再由线段 A ′A 和直线 l 垂直，斜率之积等于﹣1 得× =﹣ 1 ② ，解①② 做成的方程组可得：m= ﹣ ， n= ，故点 A ′的坐标为（﹣， ）．【评论】 本题考察求一个点对于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．16．如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD ，AB=AD ，∠ BAD=60°，E 、F分别是 AP 、 AD 的中点，求证：（ 1）直线 EF ∥平面 PCD ；（ 2）平面 BEF ⊥ 平面 PAD ．【考点】 平面与平面垂直的判断；直线与平面平行的判断．【专题】 立体几何．【剖析】 （ 1）要证直线 EF ∥ 平面 PCD ，只需证明 E F ∥ PD ，EF 不在平面 PCD 中， PD? 平面 PCD 即可．（2）连结 BD，证明 BF⊥ AD ．说明平面 PAD∩平面 ABCD=AD ，推出 BF⊥平面 PAD ；而后证明平面 BEF ⊥平面 PAD ．【解答】证明：（ 1）在△ PAD 中，因为 E， F 分别为 AP ，AD 的中点，因此 EF ∥PD．又因为 EF 不在平面PCD 中， PD? 平面 PCD因此直线 EF ∥平面 PCD．（2）连结 BD ．因为 AB=AD ，∠ BAD=60° ．因此△ ABD 为正三角形．因为 F 是 AD 的中点，因此BF ⊥ AD ．因为平面 PAD ⊥平面 ABCD ， BF? 平面 ABCD ，平面 PAD∩平面 ABCD=AD ，因此 BF⊥平面 PAD ．又因为 BF? 平面 EBF ，因此平面BEF ⊥平面 PAD ．【评论】本题是中档题，考察直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考察空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．17．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B1C1中， AA 1C1C 是边长为 4 的正方形．平面ABC ⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ ）求证： AA 1⊥平面 ABC ；（Ⅱ ）求证二面角 A 1﹣ BC 1﹣B 1的余弦值；（Ⅲ ）证明：在线段BC1上存在点 D ，使得 AD ⊥A 1B，并求的值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判断；二面角的平面角及求法．【专题】空间地点关系与距离；空间角．【剖析】（ I）利用 AA 1C1C 是正方形，可得AA 1⊥ AC ，再利用面面垂直的性质即可证明；（II ）利用勾股定理的逆定理可得AB ⊥ AC ．经过成立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可获得二面角；（III ）设点 D 的竖坐标为t ，（ 0＜ t＜ 4），在平面BCC1B1中作 DE⊥ BC 于 E，可得D，利用向量垂直于数目积得关系即可得出．【解答】（ I）证明：∵AA 1C1C 是正方形，∴ AA 1⊥ AC ．又∵ 平面 ABC ⊥平面 AA 1C1C，平面 ABC∩平面 AA 1C1C=AC ，∴AA 1⊥平面 ABC ．（I I ）解：由 AC=4 ， BC=5 ，AB=3 ．∴AC 2+AB2=BC2，∴AB ⊥AC ．成立如下图的空间直角坐标系，则 A 1（ 0，0， 4）， B（ 0， 3，0）， B1（ 0，3， 4）， C1（4， 0， 4），∴，，．设平面 A 1BC 1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（ x2， y2，z2）．则，令 y1=4，解得 x1=0，z1 =3，∴．，令 x2=3 ，解得 y2=4 ， z2=0，∴．===．∴二面角 A 1﹣ BC1﹣B1的余弦值为．（III ）设点 D 的竖坐标为t ，（ 0＜ t＜ 4），在平面 BCC1B1中作 DE⊥ BC 于 E，可得D，∴ =，=（0， 3，﹣ 4），∵，∴，∴，解得 t=．∴．【评论】本题综合考察了线面垂直的判断与性质定理、面面垂直的性质定理、经过成立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数目积得关系等基础知识与基本方法，考察了空间想象能力、推理能力和计算能力．四．填空题：（本大题共 6 小题，每题 5 分，共30分） .18．正六棱台的两底面边长分别为1cm， 2cm，高是1cm，它的侧面积为cm2．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】计算题；转变思想；综合法；立体几何．【剖析】作出正六棱台的一部分，侧面ABB1A1为等腰梯形，OO1为高且OO1=1cm，AB=1cm，A 1B1 =2cm．取 AB 和 A 1B1的中点 C， C1，连结 OC， CC1，O1C1，则 C1C 为正六棱台的斜高，且四边形 OO 1C 1C 为直角梯形．依据正六棱台的性质求出OC ，O 1C 1，CC 1 和上、下底面周长，由此能求出正六棱台的侧面积．【解答】 解：如下图，是正六棱台的一部分，侧面 ABB 1A 1 为等腰梯形， OO 1 为高且 OO 1=1cm ， AB=1cm ，A 1B 1 =2cm ．取 AB 和 A 1B 1 的中点 C ， C 1，连结 OC ， CC 1，O 1C 1，则C1C 为正六棱台的斜高，且四边形OO 1C 1C 为直角梯形．依据正六棱台的性质得 OC=， O 1C 1==，∴CC 1==．又知上、下底面周长分别为 c=6AB=6cm ， c ′=6A 1B 1=12cm ．∴正六棱台的侧面积：S= ．==（ cm 2）．故答案为：cm 2．【评论】 本题考察正六棱台的侧面积的求法，是中档，解题时要仔细审题， 注意空间思想能力的培育．19．二面角α﹣l ﹣β内一点 P 到平面α，β和棱 l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是75 度．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】空间角．【剖析】点 P 可能在二面角α﹣ l﹣β内部，也可能在外面，应差别办理．利用点P 到α，β和棱 l 的距离分别为 1：： 2，即可求二面角α﹣ l﹣β的大小．【解答】解：点 P 可能在二面角α﹣ l ﹣β内部，也可能在外面，应差别办理．当点P 在二面角α﹣l ﹣β的内部时，如图，A、 C、 B、 P 四点共面，∠ ACB 为二面角的平面角，由题设条件，点P 到α，β和棱 l 的距离之比为1：： 2 可求∠ACP=30°，∠ BCP=45°，∴∠ ACB=75° ．故答案为： 75．【评论】本题考察与二面角相关的立体几何综合题，考察分类议论的数学思想，正确找出二面角的平面角是重点．20．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共极点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【剖析】利用正方体的体积减去8 个三棱锥的体积，求解即可．【解答】解：在棱长为 1 的正方体上，分别用过共极点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去 8 个三棱锥，8 个三棱锥的体积为：= ．剩下的凸多面体的体积是1﹣=．故答案为：．【评论】本题考察几何体的体积的求法，转变思想的应用，考察空间想象能力计算能力．21．直线l 过原点且均分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个极点为B（ 1，4），D（ 5，0），则直线 l 的方程为【考点】直线的两点式方程．【专题】计算题．．【剖析】先求出 BD 【解答】解：∵ 直线的中点，再求出斜率，用斜截式求直线的方程．l 过原点且均分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD的中点（3，2），故斜率为=，∴由斜截式可得直线故答案为．l 的方程为，【评论】本题考察直线的斜率公式，直线方程的斜截式．22．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm 的点 A 处有一点蜜糖． A 点正对面的外壁（不是 A 点的外壁）距杯底2cm 的点 B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少10 cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形联合；综合法；立体几何．【剖析】作出圆柱的侧面睁开图，找到 A 点对于茶杯口的对称点A′，则A′A在睁开图中的直线距离即为最短距离．【解答】解：作出圆柱的侧面睁开图如下图，设 A 对于茶杯口的对称点为A′，则 A′A=4cm， BC=6cm ，∴ A′C=8cm，∴A′B==10cm．故答案为： 10．【评论】本题考察了曲面的最短距离问题，往常转变为平面图形来解决．23．在半径为 2 的球面上有 A 、 B、 C、D 四点，若AB=CD=2 ，则四周体ABCD 的体积的最大值为．【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【剖析】过 CD 作平面 PCD，使 AB ⊥平面 PCD，交 AB 于 P，设点 P 到 CD 的距离为h，则当球的直径经过AB 与 CD 的中点时， h 最大为 2，从而获得四周体ABCD 的体积的最大值即可．【解答】解：过 CD 作平面 PCD，使 AB ⊥平面 PCD ，交 AB 与 P，设点 P 到 CD 的距离为h，则有V=×2×h× ×2，当球的直径经过AB 与 CD 的中点时， h 最大为 2，则四周体 ABCD 的体积的最大值为．故答案为：．【评论】本小题主要考察棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考察运算求解能力，考察空间想象力．属于基础题．五．解答题：（本大题共 2 小题，共20 分） .24．一块边长为10cm 的正方形铁片按如下图的暗影部分裁下，而后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试成立容器的容积V 与 x 的函数关系式，并求出函数的定义域．【考点】依据实质问题选择函数种类．【专题】计算题．【剖析】设出所截等腰三角形的底边边长为xcm，在直角三角形中依据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，依据实质意义写出定义域．【解答】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，在 Rt△ EOF 中，，∴，∴依题意函数的定义域为{x|0 ＜x＜ 10}【评论】本题是一个函数模型的应用，这类题目解题的重点是看清题意，依据实质问题选择适合的函数模型，注意题目中写出分析式此后要标出自变量的取值范围．25．如图，三棱柱 ABC ﹣ A 1B 1C1中，侧面 AA 1C1C⊥底面 ABC ，AA 1=A 1C=AC=2 ，AB=BC ，且 AB ⊥BC，O 为 AC 中点．（Ⅰ ）证明： A 1O⊥平面 ABC ；（Ⅱ）求直线 A 1C 与平面 A 1AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在 BC 1上能否存在一点 E，使得 OE∥平面 A 1AB ，若不存在，说明原因；若存在，确立点 E 的地点．【考点】直线与平面垂直的判断；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【剖析】（ 1）由题意可知：平面 AA 1C1C⊥平面 ABC ，依据平面与平面垂直的性质定理能够获得，只需证明 A 1O⊥ AC 就行了．（2）此小题因为直线 A 1C 与平面 A 1AB 所成角不易作出，再由第（1）问的结论能够联想到借助于空间直角坐标系，设定参数，转变成法向量n 与所成的角去解决（3）有了第（ 2）问的空间直角坐标系的成立，本题解决就方便多了，欲证 OE∥平面 A 1AB ，能够转变成证明 OE 与法向量 n 垂直【解答】解：（Ⅰ）证明：因为 A 1A=A 1C，且 O 为 AC 的中点，。

首师大附属育新学校中学部2016—2017学年度第二学期期中考试试卷高二物理班级__________ 姓名__________ 学号__________ 成绩__________ 2017.4.27考生注意：本试卷共10页，共4道大题，28道小题，卷面满分100分，答题时间90分钟。

一、单项选择题（本题共15小题，每小题2分，共计30分。

）1．做简谐运动的物体，通过平衡位置时，以下哪些物理量具有最大值（）．A．加速度B．位移C．速度D．回复力2．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减小为原来的一半，则单摆摆动的（）．A．频率不变，振幅不变B．频率不变，振幅改变C．频率改变，振幅改变D．频率改变，振幅不变3．声音在空气中传播的过程中（）．A．波速不断减小B．频率不断减小C．振幅不断减小D．波长不断减小4．关于机械波，下列说法中正确的是（）．A．机械波的传播过程也是传递能量的过程B．机械波的频率与波源振动的频率无关C．机械波不能产生干涉、衍射现象D．机械波能在真空中传播5．在均匀介质中，一列沿x轴正向传播的横波，其波源O在第一个周期内的振动图像，如右图所示，则该波在第一个周期末的波形图是（）．A．B．C．D．6．如图所示为一简谐横波在某一时刻的波形图，已知此时刻质点A正向上运动，由此可判定此横波（）．A．向右传播，且此时质点B正向上运动B．向右传播，且此时质点C正向下运动C．向左传播，且此时质点D正向上运动D．向左传播，且此时质点E正向下运动7．某地区地震波中的横波和纵波传播速率分别约为4km/s和9km/s，一种简易地震仪由竖直弹簧振子P和水平弹簧振子H组成（如图），在一次地震中，震源在地震仪下方，观察到两振子相差5s开始振动，则（）．A．H先开始振动，震源距地震仪约25km B．P先开始振动，震源距地震仪约25kmC．H先开始振动，震源距地震仪约36km D．P先开始振动，震源距地震仪约36km8．一简谐机械横波沿x轴正方向传播，波长为λ，周期为T，0t=时刻的波形如图甲所示，a、b是波上的两个质点。

海淀区2015—2016学年度第一学期期中练习高二数学一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的，把答案填在答题纸上的表格内．1．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．梯形一定是平面图形C ．四边形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2.已知命题:p “0a ∀>，有e 1a ≥成立”，则p ⌝为（ ）A. 0a ∃>，有e 1a<成立 B. 0a ∃≤，有e 1a≥成立 C. 0a ∃≤，有e 1a≤成立 D. 0a ∃>，有e 1a≤成立1111ABCD A B C D -的棱所在的直线中，与直线AB 垂直的异面直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．8条4. 命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：若一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝ 5．已知m ，n 表示两条不同直线，α 表示平面．下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α6.设直线l ，m ,n 均为直线，其中m ,n 在平面α内, 则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设,,,A B C D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面班级 姓名 学号 装订线ABCD（第3题图）A 11C 1D 1俯视图侧（左）视图正（主）视图B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥ D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC =8．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BC 1、BD 的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF 平行的截面个数为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 9．高为2的圆柱侧面积为4π，此圆柱的体积为 .10.已知直线b ∥平面α，平面α∥平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 11. 命题“如果直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 垂直于平面α”的否命题是 ;该否命题是 命题．(填“真”或“假”) 12.给定下列命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面互相垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的序号是 .13.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大值是 .14.如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是个．SABCDEFA 1B 1C 1D 1三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知命题:p 2230m m +-≤q ：方程2210x mx -+=p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点. （1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；CBC 1B 1A 1A班级 姓名 学号 装订线（3）求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求PEEB的值.DC BAP2015—2016学年度第一学期期中练习 答题纸高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. ； 10. ；11. ， ；12. ； 13. ；14. .三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.已知命题:p 2230m m +-≤成立.命题2:210q x mx -+=方程有实数根.若p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．班级 姓名 学号 装订线16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点. （1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；CBC 1B 1A 1A18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（3）求证：棱PB 上存在一点E ，使得AE ∥平面PCD ，并求PEEB的值.DCBAP2015—2016学年度第一学期期中练习 参考答案高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在下表中.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACABADB三、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9. 2π ; 10. b ∥β或 b ⊂β；11. 否命题：如果直线l 不垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 不垂直于平面α；真 12.②和④； 13. 234； 14.2.三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（9分）已知命题:p 2230m m +-≤成立. 命题q ：方程2210x mx -+=p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．解：由p ⌝为假命题，p q ∧为假命题可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题………………………………………………2分命题p ：2230m m +-≤可得[3,1]m ∈- ，…………………………………5分命题2:210q x mx -+=方程有实数根，可得(,1][1,)m ∈-∞⋃+∞…………7分 由于q 为假，则(1,1)m ∈-综上，(1,1)m ∈-………………9分16.（10分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO（1）解：作法：延长D 1面D 1BQ 与面ABCD 的交线……………………………………2分 理由如下：由作法可知，1M D Q ∈直线 又1D Q ⊂直线面D 1BQ M ∴∈面D 1BQ同理可证M ∈面ABCD则M 在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上， 又因为B ∈ 面D 1BQ 且B ∈面ABCD, 则B 也在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上，………………………………4分 且面D 1BQ 与面ABCD 有且只有一条交线，班级 姓名 学号 装订线 班级 姓名 学号 装订线 M则BM 即为所求交线. …………………………………………………5分（2）连接PQ 、BD ，易证四边形P ABQ 为平行四边形AP ∴∥BQAP ⊂面AOPBQ ⊄面AOPBQ ∴∥面AOP …………………………………………8分同理可证1D B ∥面AOP 又1=BQ D B B ⋂，BQ ⊂面1BQD ，1BD ⊂面1BQD∴ 面1BQD ∥面AOP …………………………………10分17.（共11分）证明：（Ⅰ）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C . 因为 BC平面11AB C ，11B C 平面11AB C ，所以 //BC 平面11AB C . ………………3分 （Ⅱ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1ABBB .因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB平面11ABB A ，所以 AB 平面11BB C C . …………………6分因为 1B C平面11BB C C ， 所以 1AB B C . ………………………………7分在菱形11BB C C 中，11BC B C .因为 1BC 平面1ABC ，AB平面1ABC ，1BC AB B ，所以 1B C 平面1ABC . ………………………9分 因为 1AC 平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC . ………………11分CBC 1B 1A 1A18.（共14分）（Ⅰ）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.………………3分明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，（Ⅱ）证所以PD AD ⊥. ………………5分因为 AD DC ⊥，PD CD D =，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ⊂平面PAD ，所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得12PE EB =.下证//AE 平面PCD . ………………10分因为 //AD BC ，3BC AD =， 所以13OA AD OB BC ==，即12OA AB =. 所以OA PEAB EB=. 所以 //AE OP . ………………12分 因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ， 所以 //AE 平面PCD . ………………14分O EDCBAP。

北京师大附中高中二年级上学期期中考试数学试卷本试卷满分100分。

考试时间为120分钟。

第一部分：学考数学（共76分）一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）1. 某超市有三类食品，其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n 为（ ） A. 3B. 2C. 5D. 92. 从2件正品、2件次品中随机抽取出两件，则恰好是1件正品、1件次品的概率是（ ） A. 3／4B. 1／4C. 1／2D. 2／33. 口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是（ ）A.61B.31 C.21 D.32 4. 有5个大小相同的球，上面分别标有1，2，3，4，5，现任取两个球，两个球序号相邻的概率是（ ） A. 2／5B. 3／5C. 4／5D. 3／105. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个，则互斥但不对立的两个事件是（ ） A. 至少一个白球与都是白球B. 至少一个白球与至少一个红球C. 恰有一个白球与恰有2个白球D. 至少一个白球与都是红球6. 从装有1个白球、2个黑球的盒子中任取两球，则取到的两球均为黑球的概率是（ ） A. 1／4B. 1／2C. 1／3D. 2／37. 下图是500名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图，分数区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，则这500名学生中测试成绩在区间[90，100]中的学生人数是（ ）sA. 60B. 55C. 45D. 508. 某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，则这两种抽样的方法依次是（ ） A. 分层抽样，简单随机抽样 B. 简单随机抽样，分层抽样 C. 分层抽样，系统抽样D. 简单随机抽样，系统抽样9. 如下图，长方形的面积为2，将1000颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有600颗豆子落在阴影部分内，则可以估计图中阴影部分的面积约为A.32 B.54 C.56 D.34 10. 已知由数字1、2、3组成无重复数字的三位数，则该数为偶数的概率为（ ） A. 2／3 B. 1／4 C. 1／3 D. 1／2二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11. 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）125、124、122、123、126，则该样本方差=2s ________12. 袋中有大小相同的黑球和白球各1个，每次从袋中抽取1个，有放回地随机抽取3次，则至少抽到1个黑球的概率是________13. 在长为10cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于225cm 与249cm 之间的概率为__________14. 调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程为321.0254.0+=∧x y ，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元。

2015-2016学年北京市首师大附属育新学校高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）直线x=tan60°的倾斜角是（）A．90°B．60°C．30°D．没有倾斜角2．（4分）若直线（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=4m﹣1在x轴上的截距为1，则实数m是（）A．1 B．2 C．﹣ D．2或﹣3．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=14．（4分）如图，方程y=ax+表示的直线可能是（）A． B． C． D．5．（4分）已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A．﹣3 B．﹣6 C．D．6．（4分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+1=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y+7=0 B．2x﹣3y+5=0 C．3x+2y﹣1=0 D．2x﹣3y+8=07．（4分）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．8．（4分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能9．（4分）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）A．B． C．D．10．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．11．（4分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合12．（4分）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=cm．14．（3分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是．15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于．16．（3分）点A（﹣4，2）和点B（2，m）关于直线5x﹣y+n=0对称，则实数n 的值为．17．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为．18．（3分）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．三、解答题（本大题共3小题，满分34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x﹣3y+16=0，CA：2x+y﹣2=0，求AC边上的高所在的直线方程．20．（12分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．（1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为4，求ι的方程；（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．21．（12分）已知圆O的方程为x2+y2=16．（1）求过点M（﹣4，8）的圆O的切线方程；（2）过点N（3，0）作直线与圆O交于A、B两点，求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率．2015-2016学年北京市首师大附属育新学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）直线x=tan60°的倾斜角是（）A．90°B．60°C．30°D．没有倾斜角【解答】解：直线x=tan60°与x轴垂直，倾斜角是直角．故选：A．2．（4分）若直线（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y=4m﹣1在x轴上的截距为1，则实数m是（）A．1 B．2 C．﹣ D．2或﹣【解答】解：由题意知2m2+m﹣3≠0，令y=0，得在x轴上截距为=1，即2m2﹣3m﹣2=0，解得，m=2或m=﹣．故选：D．3．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=1【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．4．（4分）如图，方程y=ax+表示的直线可能是（）A． B． C． D．【解答】解：方程y=ax+可以看作一次函数，其斜率a和截距同号，只有B 符合，其斜率和截距都为负．故选：B．5．（4分）已知直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0平行，则系数a=（）A．﹣3 B．﹣6 C．D．【解答】解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴﹣=3∴a=﹣6故选：B．6．（4分）直线l过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+1=0垂直，则l的方程是（）A．3x+2y+7=0 B．2x﹣3y+5=0 C．3x+2y﹣1=0 D．2x﹣3y+8=0【解答】解：∵直线2x﹣3y+1=0的斜率为，由垂直可得所求直线的斜率为﹣，∴所求直线的方程为y﹣2=﹣（x+1），化为一般式可得3x+2y﹣1=07．（4分）若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A．B．C．D．【解答】解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，由①解得：k＞﹣；由②解得k＞或k＜﹣，所以不等式的解集为：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．方法二、∵直线l恒过定点（0，﹣），作出两直线的图象．，设直线2x+3y﹣6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B．从图中看出，斜率k AP＜k＜+∞，即＜k＜+∞，故直线l的倾斜角的取值范围应为（，）．故选：B．8．（4分）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．9．（4分）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）A．B． C．D．【解答】解：由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2故其侧视图为直角边长为2和的直角三角形，故选：B．10．（4分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z 越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选：A．11．（4分）已知直线l1：y=xsinα和直线l2：y=2x+c，则直线l1与l2（）A．通过平移可以重合B．不可能垂直C．可能与x轴围成等腰直角三角形D．通过绕l1上某点旋转可以重合【解答】解：直线l1：y=xsinα的斜率为sinα，而sinα∈[﹣1，1]，即直线l1的斜率k1∈[﹣1，1]，直线l2：y=2x+c的斜率k2=2，∵k1≠k2，∴直线l1与l2不可能平行，即两直线必然相交，则直线l1与l2可以通过绕l1上某点旋转可以重合．故选：D．12．（4分）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h=4cm．【解答】解：根据三视图可知，几何体的体积为：V=又因为V=20，所以h=4故答案为：414．（3分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是x+y=2或y=x．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x．综上，所求直线的方程为：x+y=2或y=x．故答案为：x+y=2或y=x15．（3分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于．【解答】解：圆x2+y2=4的圆心坐标为（0，0），半径为2∵圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离为=1∴弦AB的长等于2=故答案为：16．（3分）点A（﹣4，2）和点B（2，m）关于直线5x﹣y+n=0对称，则实数n的值为．【解答】解：∵点A（﹣4，2）和点B（2，m）关于直线5x﹣y+n=0对称，∴，求得m=，n=，∴实数n=，故答案为：．17．（3分）已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．【解答】解：由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．18．（3分）已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．【解答】解：如图所示：直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y 轴的交点C（0，4﹣k），直线l：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即2x﹣4+k2（y﹣4）=0，过定点（2，4 ），与x 轴的交点A（2 k2+2，0），由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+=4k2﹣k+8，∴k=时，所求四边形的面积最小，故答案为．三、解答题（本大题共3小题，满分34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x+4y+12=0，BC：4x﹣3y+16=0，CA：2x+y﹣2=0，求AC边上的高所在的直线方程．【解答】解：由得B（﹣4，0），设AC边上的高为BD，由BD⊥CA，可知BD的斜率等于=，用点斜式写出AC边上的高所在的直线方程为y﹣0=（x+4 ），即x﹣2y+4=0．20．（12分）已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．（1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为4，求ι的方程；（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0得圆心坐标为（﹣2，6），半径为4又因为直线ι被圆C截得的线段长为4，所以直线ι与圆心的距离为2当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx﹣y+5=0∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d==2，解得k=，此时直线的方程为3x﹣4y+20=0当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．故所求直线的方程为3x﹣4y+20=0或x=0．（8分）（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y﹣6）•（y﹣5）=0化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30=0．（14分）21．（12分）已知圆O的方程为x2+y2=16．（1）求过点M（﹣4，8）的圆O的切线方程；（2）过点N（3，0）作直线与圆O交于A、B两点，求△OAB的最大面积以及此时直线AB的斜率．【解答】解：（1）∵圆O的方程为x2+y2=16，∴圆心为O（0，0），半径r=4，设过点M（﹣4，8）的切线方程为y﹣8=k（x+4），即kx﹣y+4k+8=0，（1分）则，解得k=﹣，（3分）切线方程为3x+4y﹣20=0（5分）当斜率不存在时，x=﹣4也符合题意．故切线方程为：3x+4y﹣20=0或x=﹣4．（6分）（2）当直线AB的斜率不存在时，，（7分）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k=0，圆心O（0，0）到直线AB的距离d=，（9分）线段AB的长度|AB|=2，∴．（11分）当且仅当d2=8时取等号，此时，解得k=．所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为．（12分）。

2024—2025学年北京市首都师范大学附属育新学校高二上学期期中考试数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A．若，，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则(★) 2. 下列可使非零向量构成空间的一组基底的条件是（）A．两两垂直B．C．D．(★) 3. 在棱长为1的正方体中，则点到直线的距离为（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线l 与平面垂直，则实数x的值为（）A．B． 10C．D．(★★★) 5. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（）A． 1B．C．D．(★★★) 6. 已知直线与直线平行，则与之间的距离为（）A． 2B． 3C． 4D． 5(★★) 7. 若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的直线分别为（）A．，B．，C．，D．，(★★★) 8. 已知圆，直线过点，则直线被圆截得的弦长的最小值为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 已知圆的方程为，则“”是“函数的图象与圆有四个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★★) 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（）A．的方程为B．在上存在点，使得到点的距离为3C．在上存在点，使得D．上的点到直线的最小距离为1二、填空题(★★) 11. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为.则该圆锥的体积为 ________ .(★★★) 12. 已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为 __________ .(★★) 13. 过两条直线与的交点，倾斜角为的直线方程为____________ （用一般式表示）(★★★) 14. 已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为米，则车辆的最大高度为 ______________ 米．(★★★)15. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是 ______ .（填序号）①正方体的外接球表面积为；②异面直线与所成角的取值范围是；③直线平面；④三棱锥的体积随着点的运动而变化.三、解答题(★★★) 16. 已知顶点、、．(1)求线段的中点及其所在直线的斜率；(2)求线段的垂直平分线的方程；(3)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．(★★) 17. 在平面直角坐标系中，圆经过点和点，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)若直线被圆截得弦长为，求实数的值.(★★★) 18. 已知圆，直线过点.(1)求圆的圆心坐标及半径长；(2)若直线与圆相切，求直线的方程；(3)设直线与圆相切于点，求.(★★) 19. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．(★★) 20. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面.(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(★★★) 21. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，，则(1)①点，，求的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．(2)已知点，直线，求B点到直线的“曼哈顿距离”最小值；(3)设三维空间4个点为，，且，，．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即，求最大值，并列举最值成立时的一组坐标．。