2019高考数学总复习 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法(第一课时) 同步练习 新人教A版必修1

第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算B{x A A =∅=∅B A ⊆ B B ⊆ B{xA A =A ∅=B A ⊇ B B ⊇()U A =∅ð 2()U A A U =ð【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1（20))()()U U B A B =?)()()U U B A B =?〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法： ①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．yxo②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y y f x y f x =−−−→=-轴()()y f x y f x =−−−→=--原点 1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象 ()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

必修1数学知识点第一章、集合与函数概念§1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且§1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大（小）值1、 注意函数单调性证明的一般格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…§1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。

高一数学知识内容必修一第一章集合与函数概念1、集合的含义与表示2、集合间的基本关系3、集合的基本运算4、函数及其表示：1）函数的概念2）函数的表示法5、函数的基本性质：1）单调性与最大（小）值2）奇偶性第二章基本初等函数1、指数函数:1)指数与指数幂2）指数函数及性质2、对数函数：1）对数与对数运算2）对数函数及其性质3、幂函数第三章函数的应用1、函数与方程2、函数模型及其应用必修二第一章空间几何体1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积和体积第二章点、直线平面之间的位置关系1、空间点、直线平面之间的位置关系2、直线、平面平行的判定及其性质3、直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程1、直线的倾斜角与斜率2、直线的方程3、直线的交点坐标与距离公式第四章圆的方程1、元的方程2、直线、圆的位置关系3、空间直角坐标系必修四第一章三角函数1、任意角和弧度制2、任意角的三角函数3、三角函数的诱导公式4、三角函数的图像与性质5、函数的图像6、三角函数模型的简单应用第二章平面向量1、平面向量的概念2、平面向量的线性运算3、平面向量的基本定理及坐标表示4、平面向量的数量积5、平面向量应用举例第三章三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1、正弦定理和余弦定理2、应用举例第二章数列1、数列的概念与简单表示法2、等差数列3、等差数列的前n项和4、等比数列5、等比数列的前n项和第三章不等式1、不等关系与不等式2、一元二次不等式及其解法3、二元一次不等式（组）与简单的线性4、基本不等式：2ba ab +≤。

第一章集合与函数概念知识网络第一讲集合★知识梳理一：集合的含义及其关系1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；3.集合中元素与集合的关系：二： 集合间的根本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同B A ⊆且A ⊆B ⇔ B A =子集 A 中任意一元素均为B 中的元素B A ⊆或A B ⊇ 真子集A 中任意一元素均为B 中的元素，且B 中至少有一元素不是A 的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集A ⊆φ，φB 〔φ≠B 〕三：集合的根本运算①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: AB ={}x x A x B ∈∈或;③设全集是U,集合A U ⊆,那么U C A ={}x x U x A ∈∉且交 并 补{|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或U C A ={}x x U x A ∈∉且★重、难点突破重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。

难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。

重难点： 1.集合的概念掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被无视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法〔1〕列举法要注意元素的三个特性；〔2〕描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，{})(x f y x =如、{})(x f y y =、{})(),(x f y y x =等的差异，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：问题：集合221,1,9432x y x y M xN y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则M N=〔 〕 A. Φ；B. {})2,0(),0,3(；C. []3,3-；D. {}3,2(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。

1.2 函数及其表示1．2.1 函数的概念预习课本P15～18，思考并完成以下问题(1)在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？(2)如何用区间表示数集？(3)相等函数是指什么样的函数？[新知初探]1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．[点睛] 对函数概念的3点说明(1)当A，B为非空数集时，符号“f：A→B”表示A到B的一个函数．(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．(3)符号“f”它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3．其它区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a} 符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)[点睛] 关于无穷大的2点说明(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( )(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．函数y＝1x＋1的定义域是( )A．[－1，＋∞)B．[－1,0) C．(－1，＋∞) D．(－1,0) 答案：C3．已知f(x)＝x2＋1，则f ( f (－1))＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案：D4．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________．(2){x|x>1}用区间表示为________．答案：(1)[10,100] (2)(1，＋∞)[例1] (1)设M＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？ ① f ：把x 对应到3x ＋1； ② g ：把x 对应到|x |＋1； ③ h ：把x 对应到1x； ④ r ：把x 对应到x .(1)[解析] ①中，因为在集合M 中当1<x ≤2时，在N 中无元素与之对应，所以①不是；②中，对于集合M 中的任意一个数x ，在N 中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x ＝2对应元素y ＝3∉N ，所以③不是；④中，当x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是，故选B.[答案] B(2)[解] ①是实数集R 上的一个函数．它的对应关系f 是：把x 乘3再加1，对于任一x ∈R,3x ＋1都有唯一确定的值与之对应，如x ＝－1，则3x ＋1＝－2与之对应．同理，②也是实数集R 上的一个函数．③不是实数集R 上的函数．因为当x ＝0时，1x的值不存在．④不是实数集R 上的函数．因为当x <0时，x 的值不存在．1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A ，B 必须是非空数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于x 轴的直线l . (2)在定义域内平行移动直线l .(3)若l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．函数的判断[活学活用]1．下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A ．A ＝R ，B ＝R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1解析：选B A 错误，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A ，在B 中找不到与之相对应的数．D 错误，－1∈A ，在B 中找不到与之相对应的数.[例2] 下列各组函数中是相等函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1 C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0) D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2[解析] 对于选项A ，前者定义域为R ，后者定义域为{x |x ≠1}，不是相等函数；对于选项B ，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是相等函数；对于选项C ，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是相等函数；对于选项D ，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．[答案] B判断函数相等的方法判断函数是否相等，关键是树立定义域优先的原则． (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同． [活学活用]2．下列各组式子是否表示同一函数？为什么？相等函数(1)f (x )＝|x |，φ(t )＝t 2； (2)y ＝x 2，y ＝(x )2；(3)y ＝1＋x ·1－x ，y ＝1－x 2； (4)y ＝3－x2，y ＝x －3.解：(1)f (x )与φ(t )的定义域相同，又φ(t )＝t 2＝|t |，即f (x )与φ(t )的对应关系也相同，∴f (x )与φ(t )是同一函数．(2)y ＝x 2的定义域为R ，y ＝(x )2的定义域为{x |x ≥0}，两者定义域不同，故y ＝x 2与y ＝(x )2不是同一函数．(3)y ＝1＋x ·1－x 的定义域为{x |－1≤x ≤1}，y ＝1－x 2的定义域为{x |－1≤x ≤1}，即两者定义域相同．又∵y ＝1＋x ·1－x ＝1－x 2，∴两函数的对应关系也相同．故y ＝1＋x ·1－x 与y ＝1－x 2是同一函数．(4)∵y ＝3－x 2＝|x －3|与y ＝x －3的定义域相同，但对应关系不同，∴y ＝3－x2与y ＝x －3不是同一函数.[例3] 求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[解] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0.解得x ≤1，且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．求函数定义域的常用方法(1)若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零． (2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． (5)若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义． 求函数的定义域[活学活用]3．求下列函数的定义域： (1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1. 解：(1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时，函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0.解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0.解得x >－1，且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1，且x ≠1}.[例4] (1)已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)，则f (2)＝________，f (g (2))＝________.(2)求下列函数的值域： ①y ＝x ＋1；②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)； ③y ＝3x －1x ＋1；④y ＝2x －x －1.(1)[解析] ∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2，求函数值和值域∴g (2)＝22＋2＝6，∴f ( g (2))＝f (6)＝11＋6＝17.[答案] 13 17(2)[解] ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1.∵4x ＋1≠0，∴y ≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．④(换元法)设t ＝x －1，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞.1．函数求值的方法(1)已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． (2)求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则． 2．求函数值域常用的4种方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；(2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域；(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f (x )＝ax ＋b ＋cx ＋d (其中a ，b ，c ，d 为常数，且a ≠0)型的函数常用换元法．[活学活用]4．求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1＋1；(2)y ＝1－x21＋x2.解：(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)． (2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x2≤2，则y ∈(－1,1]．所以所求函数的值域为(－1,1].层级一 学业水平达标1．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选D 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.2．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析：选B A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，C 中图象不表示函数关系，D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}．3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝(x －1)2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝x 2x和g (x )＝x x2解析：选D A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.4．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．－1 C.35D ．－35解析：选Bf 2 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 2 ＝22－122＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝35－3454＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－1. 5．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析：选B y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x2＋1的值域为[1，＋∞)．6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 解析：由题意知3a －1>a ，则a >12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 7．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为________． 解析：∵x ＝1,2,3,4,5， ∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. ∴f (x )的值域为{－1,1,3,5,7}． 答案：{－1,1,3,5,7}8．设f (x )＝11－x，则f ( f ( x ))＝________.解析：f ( f (x ))＝11－11－x ＝11－x －11－x ＝x －1x . 答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1) 9．已知f (x )＝x 2－4x ＋5. (1)求f (2)的值．(2)若f (a )＝10，求a 的值． 解：(1)由f (x )＝x 2－4x ＋5， 所以f (2)＝22－4×2＋5＝1. (2)由f (a )＝10，得a 2－4a ＋5＝10， 即a 2－4a －5＝0，解得a ＝5或a ＝－1. 10．求函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域，并用区间表示．解：要使函数解析式有意义，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，6－2x ≥0，6－2x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≤3，x ≠52，所以－2≤x ≤3且x ≠52.所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2≤x ≤3且x ≠52. 用区间表示为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，52 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，3.层级二 应试能力达标1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( ) A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6D ．x ＝y解析：选A 对于A ，由x ＝y 2＋1得y 2＝x －1.当x ＝5时，y ＝±2，故y 不是x 的函数；对于B ，y ＝2x 2＋1是二次函数；对于C ，x －2y ＝6⇒y ＝12x －3是一次函数；对于D ，由x ＝y 得y ＝x 2(x ≥0)是二次函数．故选A.2．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B ＝( ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 集合A 表示函数y ＝x －1的定义域，则A ＝{x |x ≥1}，集合B 表示函数y ＝x 2＋2的值域，则B ＝{y |y ≥2}，故A ∩B ＝{x |x ≥2}．3．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f ( f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选A ∵f (x )＝ax 2－1，∴f (－1)＝a －1，f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1.∴a (a －1)2＝0. 又∵a 为正数，∴a ＝1.4．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝x ＋3＋1－x 是相等的函数，则函数y ＝f (x )的定义域是( )A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选A 由于y ＝f (x )与y ＝x ＋3＋1－x 是相等函数，故二者定义域相同，所以y ＝f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤1}．故写成区间形式为[－3,1]．5．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝2x ＋6 的值域是B ，则A ∩B ＝________(用区间表示)．解析：要使函数式y ＝1x －2有意义，只需x ≠2，即A ＝{x |x ≠2}；函数y ＝2x ＋6 ≥0，即B ＝{y |y ≥0}，则A ∩B ＝{x |0≤x <2，或x >2}．答案：[0,2)∪(2，＋∞)6．函数y ＝6－x|x |－4的定义域用区间表示为________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧6－x ≥0，|x |－4≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤6，x ≠±4，∴定义域为(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6]． 答案：(－∞，－4)∪(－4,4)∪(4,6] 7．试求下列函数的定义域与值域：(1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1； (3)f (x )＝5x ＋4x －1；(4)f (x )＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．(2)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－54.8．已知函数f (x )＝x 21＋x2. (1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 是定值；(3)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016的值．解：(1)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1， f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)由(2)知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝1， ∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，…，f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝1.∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016＝2 015.1．2.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示法预习课本P19～21，思考并完成以下问题(1)表示两个变量之间函数关系的方法有几种？分别是什么？(2)函数的各种表示法各有什么特点？[新知初探][点睛] 列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以同上述三种方法表示．( ) (2)函数f (x )＝2x ＋1不能用列表法表示．( )(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×2．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )x 1≤x <2 2 2<x ≤4 f (x )1 23A.1C．3 D．不存在答案：C3.函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的定义域是( )A．RB．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(－1,0)答案：C4．已知反比例函数f (x)满足f(3)＝－6，f (x)的解析式为________．答案：y＝－18x[例1] 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来[解] (1)列表法：x/台1234 5y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000x/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000(2)图象法：(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．理解函数的表示法3个关注点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满函数的表示法足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义． (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．[活学活用]1．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出．x 1 2 3 f (x )211则f ( g (1))的值为________； 当g ( f (x ))＝2时，x ＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g (1)＝3，∴f ( g (1))＝f (3)＝1.由于g (2)＝2，∴f (x )＝2，∴x ＝1.答案：1 1[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[解] (1)当x ∈[0,2]时，图象是直线y ＝2x ＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)当－2≤x ≤2时，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 的一部分．x 1 2 3 g (x )321函数图象的作法及应用由图可得函数的值域是[－1,8]．作函数y＝f(x)图象的方法(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y＝f(x)不是所学过的基本初等函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y＝f(x)的图象．[活学活用]2．作出下列函数的图象：(1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．解：(1)因为x∈Z，所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图①所示．(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，当x＝1,3时，y＝0；当x＝2时，y＝－1，其图象如图②所示．[例3] 求下列函数的解析式：(1)已知函数f (x＋1)＝x＋2x，求f (x)；(2)已知函数f (x)是二次函数，且f (0)＝1，f (x＋1)－f (x)＝2x，求f (x)．[解] (1)[法一换元法]设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f (t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f (x)＝x2－1(x≥1)．函数解析式的求法[法二 配凑法]∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.又∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 整理，得2ax ＋(a ＋b )＝2x .由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.求函数解析式的4种常用求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[活学活用]3．已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )．解：法一(配凑法)：∵f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2＝(x ＋1)2－5x ＋1＝(x ＋1)2－5(x ＋1)＋6， ∴f (x )＝x 2－5x ＋6.法二(换元法)：令t ＝x ＋1，则x ＝t －1， ∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6， 即f (x )＝x 2－5x ＋6.4．已知函数f (x )是一次函数，若f ( f (x ))＝4x ＋8，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f ( f (x ))＝f ( ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b .又f ( f (x ))＝4x ＋8， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.∴f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.5．已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )． 解：∵f (x )＋2 f (－x )＝x 2＋2x ， ① ∴将x 换成－x ，得f (－x )＋2 f (x )＝x 2－2x . ② ∴由①②得3 f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .层级一 学业水平达标1．已知函数y ＝f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象是如图的曲线ABC ，其中A (1,3)，B (2,1)，C (3,2)，则f (g (2))的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 由函数g (x )的图象知，g (2)＝1，则f (g (2))＝f (1)＝2.2．如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1解析：选B 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.3．若f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －3解析：选B 设f (x )＝ax ＋b ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧22a ＋b －3a ＋b ＝5，20·a ＋b －－a ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.所以选B.4．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )＝( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7解析：选B ∵f (x )＝2x ＋3，∴f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1，即g (x )＝2x －1，故选B.5．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C 令1－2x ＝t ， 则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4t －12－1(t ≠1)， 即f (x )＝4x －12－1(x ≠1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝16－1＝15. 6．已知函数f (x )由下表给出，则f ( f (3))＝________.x 1 2 3 4 f (x )3241＝1. 答案：17．已知函数f (x )＝x －m x，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 解析：将点(5,4)代入f (x )＝x －m x，得m ＝5. 答案：58．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ， 依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －239．(1)已知函数f (x )＝x 2，求f (x －1)； (2)已知函数f (x －1)＝x 2，求f (x )． 解：(1)f ( x －1)＝(x －1)2＝x 2－2x ＋1.(2)法一(配凑法)：因为f (x －1)＝x 2＝(x －1)2＋2(x －1)＋1，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.法二(换元法)：令t ＝x －1，则x ＝t ＋1，可得f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1，即f (x )＝x 2＋2x ＋1.10．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3 f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x ＋1)＝x 2－x ＋3，那么f (x －1)的表达式是( ) A ．f (x －1)＝x 2＋5x －9 B ．f (x －1)＝x 2－x －3 C ．f (x －1)＝x 2－5x ＋9D ．f (x －1)＝x 2－x ＋1解析：选C f (x ＋1)＝(x ＋1)2－3(x ＋1)＋5， 所以f (x )＝x 2－3x ＋5，f (x －1)＝(x －1)2－3(x －1)＋5＝x 2－5x ＋9，故选C.2．若一次函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，则该函数的图象还可能经过的点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4 C ．(－1,3)D ．(－2,1)解析：选A 设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由该函数的图象经过点A (1,6)和B (2,8)，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝6，2k ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝4，，所以此函数的解析式为y ＝2x ＋4，只有A选项的坐标符合此函数的解析式．故选A.3．设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．1或－2解析：选B 因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a2＋3)＝x 2－x ＋1，求得a ＝－1.故选B.4．函数y ＝f (x )(f (x )≠0)的图象与x ＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0或1D ．1或2解析：选C 结合函数的定义可知，如果f ：A →B 成立，则任意x ∈A ，则有唯一确定的B 与之对应，由于x ＝1不一定是定义域中的数，故x ＝1可能与函数y ＝f (x )没有交点，故函数f (x )的图象与直线x ＝1至多有一个交点．5．已知x ≠0，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (x )＝________.解析：f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2＋2.答案：x 2＋26．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．已知函数f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，且f (x )＝x 有唯一解，求函数y ＝f (x )的解析式和f (f (－3))的值．解：因为f (2)＝1，所以22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2，①又因为f (x )＝x 有唯一解，即x ax ＋b＝x 有唯一解，所以ax 2＋(b －1)x ＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝(b －1)2＝0，即b ＝1.代入①得a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2.所以f (f (－3))＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－6－1＝f (6)＝2×66＋2＝32.8．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋bx.且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝100，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝35，代入y ＝ax ＋bx中，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b2＝100，7a ＋b7＝35⇒⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝200，49a ＋b ＝245⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝196.所以所求函数解析式为y ＝x ＋196x(x ∈N,0<x ≤20)．(2)当x ∈{1,2,3,4,5，…，20}时，列表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 197 100 68.353 44.2 38.7 35 32.5 30.8 29.6x 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8依据上表，画出函数y 的图象如图所示，是由20个点构成的点列．第二课时 分段函数与映射预习课本P21～23，思考并完成以下问题(1)什么是分段函数？分段函数是一个还是几个函数？(2)怎样求分段函数的值？如何画分段函数的图象？(3)映射的定义是什么？映射和函数的关系怎样？[新知初探]1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．[点睛] (1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－2≤x ≤0，x ，0<x ≤3，其“段”是不等长的．2．映射的概念设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[点睛] 映射由三要素组成，集合A，B以及A到B的对应关系，集合A，B可以是非空的数集，也可以是点集或其他集合．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)映射中的两个非空集合并不一定是数集．( )(2)分段函数由几个函数构成．( )(3)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x≤1，－x＋3，x>1是分段函数．( )(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，x≤0，x2，x>0.则f(－2)＝( )A．2 B．4C．－2 D．2或4答案：A3．已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的映射的是( )答案：C4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，1≤x<2，3，x≥2的定义域为________．答案：[1，＋∞)[例1] 下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝B＝N*，f：x→|x－3|；(2)A＝N，B＝Q，f：x→1x；(3)A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|2≤y≤5}，f：x→y＝2x.[解] (1)当x＝3∈A时，|x－3|＝0∉B，即A中的元素3在B中没有元素与之对应，所以(1)不是映射．映射的概念(2)当x ＝0∈A 时，1x无意义，即A 中的元素0在B 中没有元素与之对应，所以(2)不是映射．(3)当1≤x ≤2时，2≤2x ≤4，而且对于A 中每一个x 值，按照对应关系y ＝2x ，在B 中都有唯一的元素与之对应，所以(3)是映射．判断一个对应是不是映射的2个关键(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素与之对应． (2)B 中的对应元素是不是唯一的．[点睛] “一对一”或“多对一”的对应才可能是映射． [活学活用]1．已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1.(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？解：(1)A 中元素1，即x ＝1，代入对应关系得x 2x ＋1＝12×1＋1＝13，即与A 中元素1相对应的B 中的元素是13.(2)B 中元素49，即x 2x ＋1＝49，解得x ＝4，因此与B 中元素49相对应的A 中的元素是4.[例2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－2，|x |≤1，11＋x2，|x |>1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值；(2)若f (x )＝13，求x 的值．[解] (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－2＝－32， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝413.(2)f (x )＝13，若|x |≤1，则|x －1|－2＝13，分段函数求值得x ＝103或x ＝－43.因为|x|≤1，所以x 的值不存在；若|x |>1，则11＋x 2＝13，得x ＝±2，符合|x |>1.所以若f (x )＝13，x 的值为± 2.1．求分段函数的函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．求某条件下自变量的值的方法先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．[活学活用]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，f x ＋2，x ≤0，则f (－5)的值等于________．解析：f (－5)＝f (－5＋2)＝f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝2×1＝2.答案：23．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ≤2，45x ，x >2.若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析：当x 0≤2时，f (x 0)＝x 20＋2＝8，即x 20＝6， ∴x 0＝－6或x 0＝6(舍去)； 当x 0>2时，f (x 0)＝45x 0，∴x 0＝10.综上可知，x 0＝－6或x 0＝10. 答案：－6或10题点一：分段函数的图象的判定 1．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )分段函数的图象及应用解析：选B 法一：函数的解析式可化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1.画出此分段函数的图象，故选B.法二：由f (－1)＝2，知图象过点(－1,2)，排除A 、C 、D ，故选B. 题点二：分段函数图象的作法2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1，画出f (x )的图象．解：利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．题点三：由函数的图象确定其解析式3．已知函数f (x )的图象如右图所示，则f (x )的解析式是________． 解析：由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1题点四：分段函数的图象及应用 4．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b .则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．解析：由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，x ，x <1，画出函数f (x )的图象得值域是(－∞，1]．答案：(－∞，1]分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．层级一 学业水平达标1．下列对应关系f 中，能构成从集合A 到集合B 的映射的是( ) A ．A ＝{x |x >0}，B ＝R ，f ：x →|y |＝x 2B ．A ＝{－2,0,2}，B ＝{4}，f ：x →y ＝x 2C ．A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝1x2D ．A ＝{0,2}，B ＝{0,1}，f ：x →y ＝x2解析：选D 对于A ，集合A 中元素1在集合B 中有两个元素与之对应；对于B ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应；对于C ，集合A 中元素0在集合B 中无元素与之对应．故A 、B 、C 均不能构成映射．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：选A ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，∴f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.3．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析：选D 函数y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选D.4．已知集合M ＝{x |0≤x ≤4}，N ＝{0|0≤y ≤2}，按对应关系f 不能构成从M 到N 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x解析：选C 因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉N ，所以C 中的对应关系f 不能构成从M 到N的映射．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]解析：选B 先求各段上的图象，再求各段值域的并集，即为该函数的值域．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥1，1x，x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.解析：依题意，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝113＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f (3)＝32－1＝8.答案：87．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，若f (x )＝3，则x 的值是________．解析：当x ≤－1时，x ＋2＝3，得x ＝1舍去， 当－1<x <2时，x 2＝3得x ＝3或x ＝－3(舍去)． 答案： 38．在映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，则与A 中的元素(－1,2)对应的B 中的元素为________．解析：由题意知，与A 中元素(－1,2)对应的B 中元素为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)． 答案：(－3,1)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x >2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值． 解：(1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；当x 0>2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4.10．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数f (x )； (2)画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域． 解：(1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤2，1－x ，－2<x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，x 2＋1，x ∈0，1]，则函数f (x )的图象是( )解析：选A 当x ＝－1时，y ＝0，即图象过点(－1,0)，D 错；当x ＝0时，y ＝1，即图象过点(0,1)，C 错；当x ＝1时，y ＝2，即图象过点(1,2)，B 错．故选A.2．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，使函数值为5的x 的值是( ) A ．－2 B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－52解析：选A 当x ≤0时，令x 2＋1＝5，解得x ＝－2；当x >0时，令－2x ＝5，得x ＝－52，不合题意，舍去．3．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素在A 中都能找到元素与之对应，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选A 注意到对应法则是f ：a →|a |，因此3和－3对应集合B 中的元素3；2和－2对应集合B 中的元素2；1和－1对应集合B 中的元素1；4对应集合B 中的元素4.所以B ＝{1,2,3,4}，有4个元素．4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水量为( )A ．13立方米B ．14立方米C ．18立方米D ．26立方米解析：选A 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13. 5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋1，x ≥0，2－x ，－2≤x <0，的值域是________．解析：当x ≥0时，f (x )≥1，当－2≤x <0时，2<f (x )≤4，∴f (x )≥1或2<f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －1，x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>1，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝12a －1>1， 解得a >4，符合a ≥0；当a <0时，f (a )＝1a>1，无解． 答案：(4，＋∞)7.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)．(1)求f (f (0))的值；(2)求函数f (x )的解析式．解：(1)直接由图中观察，可得f (f (0))＝f (4)＝2.(2)设线段AB 所对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4与⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0代入，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝b ，0＝2k ＋b .得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，k ＝－2.∴y ＝－2x ＋4(0≤x ≤2)．同理，线段BC 所对应的函数解析式为y ＝x －2(2<x ≤6)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6.8．A ，B 两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A 地到B 地，在B 地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A 地．写出该车离A 地的距离s (公里)关于时间t (小时)的函数关系，并画出函数图象．解：(1)汽车从A 地到B 地，速度为50公里/小时，则有s ＝50t ，到达B 地所需时间为15050＝3(小时)． (2)汽车在B 地停留2小时，则有s ＝150.(3)汽车从B 地返回A 地，速度为60公里/小时，则有s ＝150－60(t －5)＝450－60t ，从B 地到A 地用时15060＝2.5(小时)． 综上可得：该汽车离A 地的距离s 关于时间t 的函数关系为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50t ，0≤t ≤3，150，3<t ≤5，450－60t ，5<t ≤7.5.函数图象如图所示．。