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石景山区2017--2018学年第一学期高三期末考试试卷物理则在1s内发射的重离子个数为（e=1.6×10-19 C）A．3.0×1012 B．1.5×1013C．7.5×1013D．3.75×10145．发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个初速度不同的乒乓球（忽略空气的影响）。
初速度较大的球越过球网，初速度较小的球没有越过球网。
其原因是A．初速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大B．初速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少C．初速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大D．初速度较小的球下降相同距离所用的时间较多9．如图所示，直线a 、b 和c 、d 是处于匀强电场中的两组平行线，M 、N 、P 和Q 是它们的交点，四点处的电势分别为M ϕ、N ϕ、P ϕ和Q ϕ。
一带正电的粒子由M 点分别运BA C Da第Ⅱ卷（共64分）二、本题共2小题，共18分。
13．（6分）现用频闪照相方法来研究物块的变速运动。
在一小物块沿斜面向下运动的过程中，用频闪相机拍摄的不同时刻物块的位置如图所示。
拍摄时频闪频率是10 Hz ；通过斜面上固定的刻度尺读取A 、B 、C 、D 和 E 5个连续影像间的距离依次为R R mAab A BCDE（3）若电阻1R 和2R 中有一个被短路，利用图（3）的电路可以判断出被短路的电阻，图（3）中R 为保护电阻。
则图中的d 点应和接线柱 （填“b ”或“c ”）相连。
判断依据是： 。
三、本题共5小题，共46分。
解答应写出必要的文字说明、方程和重要步骤。
只写出最后答案的不能得分。
有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位。
15．（8分）如图所示，某台式弹簧秤的秤盘水平，一物块放在秤盘中处于静止状态。
试证明物块对秤盘的压力大小等于物块所受的重力大小。
16．（9分）有一辆质量为800 kg 的小汽车驶上圆弧半径为50 m 的拱桥。
正（主）视图侧（左）视图 俯视图21 11石景山区2017年高三统一练习数学（理）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{|210}A x x =-<，{|01}B x x =≤≤，那么等于（ ） A ．{|0}x x ≥ B ．{|1}x x ≤C ．1{|0}2x x << D ．1{|0}2x x <≤2．已知实数,x y 满足06,,0,x y x y x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩2,≤≤≥≥则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．10D ．123．直线1cos 2ρθ=被圆1ρ=所截得的弦长为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．44．设∈R θ,“sin cos θθ=”是“cos20θ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年）给出了求*()n n ∈N次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++. 当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：3232103210(())a x a x a x a a x a x a x a +++=+++之后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值． A ．432234x x x x ++++B ．4322345x x x x ++++C ．3223x x x +++D ．32234x x x +++6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥 的表面积是（ ）A ． 25+B ． 225+C ． 45+D ． 5AB开始是 否结束7．如图，在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是（ ）A ．22-B ．1C ．2D ．28．如图，将正三角形ABC 分割成m 个边长为1的小正三角形和一个灰 色菱形，这个灰色菱形可以分割成n 个边长为1的小正三角形． 若:47:25m n =，则三角形ABC 的边长是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数i1ia +-是纯虚数，则实数a = ． 10．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +⋅=-(123)n =，，，，那么8a 等于 ． 11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = ． 12．如果将函数()sin(3)(π0)f x x ϕϕ=+-<<的图象向左平移π12个单位所得到的图象关于原点对称，那么ϕ= ．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 ．（用数字做答）14．已知42(),,()4,.a x x a xf x x x a x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≥①当1a =时，()3f x =，则x = ；②当1a -≤时，若()3f x =有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a = ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分)已知c b a ,,分别是△ABC 的三个内角,,A B C 的三条对边，且222c a b ab =+-． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求B A cos cos 的最大值．16．（本小题共13分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间(0,50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按(0,10]，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a 的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间(0,20]的数据样本中抽取3个，记在(0,10]内的数据个数为X ，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间(0,10]中的个数．频数频率/组距6 5 3 4 2 0 0.030 0.025 0.0150.020 a10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 甲种酸奶日销售量/箱 乙种酸奶日销售量/箱 图甲 图乙17．（本小题共14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ē n ào ）．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，E 为PC 中点，点F 在PB 上，且PB ⊥平面DEF ，连接BD ，BE ．（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只写出结论）；若不是，说明理由； （Ⅲ）已知2,2AD CD ==，求二面角F AD B --的余弦值．18．（本小题共13分）已知函数()ln f x x =． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当0x >时，1()1f x x-≥；（Ⅲ）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值．ABCDEPF19．（本小题共14分） 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点（0，1）．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20．（本小题共13分）已知集合12{(,,,),{0,1},1,2,,}(2)nn i R X X x x x x i n n ==∈=≥．对于12(,,,),n n A a a a R =∈ 12(,,,),n n B b b b R =∈定义A 与B 之间的距离为11221(,)nn n i i i d A B a b a b a b a b ==-+-+-=-∑．（Ⅰ）写出2R 中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：3M R ⊆，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合n P R ⊆，P 中有(2)m m ≥个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为()d P ，证明()2(1)mnd P m ≤-．石景山区2017年高三统一练习数学（理）试卷答案及评分参考三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为222c a b ab =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==． ……3分 又因为(0,π)C ∈， 所以π3C =． …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =，又πA B C ++=， 所以2π3B A =-且2π(0,)3A ∈， 故2πcos cos cos cos()3A B A A +=+-2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++ 1πcos sin()26A A A =+=+． 又2π(0,)3A ∈，5π(,)666A ππ+∈， 所以当ππ62A +=即π3A =时，cos cos AB +的最大值为1． …13分 16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由图（乙）知，10(0.020.030.0250.015)1a ++++=解得0.01a =，2212s s >． ………………… 3分（Ⅱ）X 的所有可能取值1，2，3．则()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===， 其分布列如下：…………………8分 （Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2345620++++=个，其中有4个数据在区间(0,10]内．又因为分层抽样共抽取了12005%60⨯=个数据， 乙种酸奶的数据共抽取602040-=个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间(0,10]内的频率为0.1， 故乙种酸奶的日销售量数据在区间(0,10]内有400.14⨯=个． 故抽取的60个数据，共有448+=个数据在区间(0,10]内． 所以，在1200个数据中，在区间(0,10]内的数据有160个．……………13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）因为PD ⊥ 面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以BC PD ⊥.因为四边形ABCD 为矩形，所以BC DC ⊥.PD DC D =, 所以BC ⊥面PDC .DE ⊂面PDC , DE BC ⊥, 在PDC ∆中，PD DC =，E 为PC 中点 所以DE PC ⊥. PC BC C =,所以DE ⊥面PBC . ……………………………………4分（Ⅱ）四面体DBEF 是鳖臑，其中π2BED FED ∠=∠=，π2BFE BFD ∠=∠=． ……………………………………9分（Ⅲ）以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(0,0,0),(2,0,0),D A C P B ．设PF PB λ=，则(2)F λ．DF PB ⊥得0DF PB =解得14λ=．所以1(,244F ． ………11分 设平面FDA 的法向量(,,)n x y z =，10220n DF x y z n DA x ⎧⎧⊥++=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩=⎩令1z = 得0,3x y ==-． 平面FDA 的法向量(0,3,1)n =-，平面BDA的法向量DP =，cos ,10n DP n DP n DP-<>===．二面角F AD B -- ． …………………14分 18．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）1()f x x'=, (1)1f '=， 又(1)0f =，所以切线方程为1y x =-; ……3分 （Ⅱ）由题意知0x >，令11()()(1)ln 1g x f x x xx=--=-+． 22111'()x g x x x x -=-= ………5分 令21'()0x g x x-==，解得1x =． ………6分易知当1>x 时，'()0g x >，易知当01x <<时，'()0g x <．即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 ………7分 所以min ()(1)0g x g ==，()(1)0g x g ≥=即1()()(1)0g x f x x =--≥，即1()(1)f x x≥-． ……8分（Ⅲ）设()1ln (1)h x x a x x =--≥，依题意，对于任意1,>x ()0h x >恒成立．'()1a x ah x x x-=-=， ………9分 1≤a 时，'(),h x >0()h x 在[1,)+∞上单调增，当1>x 时，()(1)0h x h >=，满足题意． ………11分1>a 时，随x 变化，'()h x ，()h x 的变化情况如下表：()h x 在(,)a 1上单调递减， 所以()()<=g a g 10即当 1>a 时，总存在()0<g a ，不合题意． ………12分 综上所述，实数a 的最大值为1． ………13分 19．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为c e a ==c =2a =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ） 设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ． 联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=．由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m <所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分 所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC ===………10分 又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN == ………12分所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=． 所以B 、N两点间距离为定值2． ………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}R =，2,A B R ∈ ，max (,)2d A B =． …………………3分（Ⅱ）3R 中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M 中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}M = 或{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}M =，集合M 中元素个数最大值为4． ………………8分 （Ⅲ）2,1()(,)A B Pmd P d A B C ∈=∑，其中,(,)A B Pd A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和．设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0，则,1(,)()ni i A B Pi d A B t m t ∈==-∑∑由于2()(1,2,,)4i i m t m t i n -≤=所以2,1(,)()4ni i A B P i nm d A B t m t ∈==-≤∑∑从而222,1()(,)42(1)A B P mmnm nmd P d A B C C m ∈=≤=-∑ …………………13分。
北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）考生须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟． 2. 本试卷共8页，各题答案均答在本题规定的位置．题号 一 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 分数一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|04B x x =≤≤，则AB =（ ）A ．]2,0[B ．]2,1[C ．]4,0[ D ．]4,1[2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a =-，则8S 等于（ ）A ．144B ．72C ．54D ．363．现有3名男生和2名女生站成一排，要求其中2名女生恰好站在两端的不同的排法种数为（ ） A ． 120 B ．24 C ．12 D ．48 4．已知53)2sin(=-απ，则)2cos(απ-=（ ） A ．257B ．2524C ．257-D ．2524-5．若|a |＝2，|b |＝2，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．125π 6．nxx )1(+的展开式中常数项等于20，则n 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．关于直线m ，n 与平面α，β，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④C ．①④D ．②③8．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 的中点，则当P 沿着路径--B A M C -运动时，点P 经过的路程x 与△APM 的面积y 的函数)(x f y =的图象的形状大致是图中的（ ）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．计算：=+-∞→3423limn n n ．10．复数ii+-12（i 是虚数单位）的实部为 ． 11．不等式01|25|>--x 的解集是_______________________． 12．函数)2(log 221x x y -=的单调递减区间是__________________．13．某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经验公式ed c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出a b e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字母）14．一种计算装置，有一个数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序． （1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为=)1(f 31； （2）当从A 口输入自然数)2(≥n n 时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果3)1(21)1(2)1(+----n n n f 的倍．当从A 口输入3时，从B 口得到 ；要想从B 口得到23031， 则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知：02<<-x π，51cos sin =+x x ． （Ⅰ）求x 2sin 和x x sin cos -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值．16．（本题满分12分）在某电视节目的一次有奖竞猜活动中，主持人准备了A 、B 两个相互的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A 可获奖金1000元，答对问题B 可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A 、B 的概率分别为12、14． （Ⅰ）记先回答问题A 获得的奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值分别是多少？ （Ⅱ）你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金？请说明理由．17．（本题满分14分）正项数列{a n }的前n 项和为n S ，且12+=n n a S ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，数列{n b }的前n 项和为n T ，求证：21<n T ．18．（本题满分14分）已知：如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1？若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由．19．（本题满分14分） 已知：在函数x mx x f -=3)(的图象上，以),1(n N 为切点的切线的倾斜角为4π．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k ；如果不存在，请说明理由；PA BCDE（Ⅲ）求证：)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）．20．（本题满分12分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[b a ,]D ⊆，使)(x f 在],[b a 上的值域为],[b a ；那么把函数)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数．（Ⅰ）求闭函数3x y -=符合条件②的区间],[b a ；（Ⅱ）判断函数)0(143)(>+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由； （Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，求实数k 的取值范围．北京市石景山区—第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C A B B D A二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：第14题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分） 解：（Ⅰ）∵ 51cos sin =+x x ，∴ 251)cos (sin 2=+x x . ∴ 2524cos sin 2-=x x ，即25242sin -=x . ………………………………4分∵ 02<<-x π，∴ x x sin cos >. ………………………………5分∴ 5725241cos sin 21)sin (cos sin cos 2=+=-=-=-x x x x x x . ………………………………8分（Ⅱ）xx x x x x x x x x x x x x cos sin cos )sin (cos sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=-+x x x x x x x x x x x sin cos )cos (sin 2sin sin cos )sin (cos cos sin 2-+=-+=…………………12分=⨯-=5751)2524(17524-. ………………………………14分16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）随机变量ξ的可能取值为0，1000，3000. …………………………3分 （Ⅱ）设先答问题A 获得的奖金为ξ元，先答问题B 获得的奖金为η元.则有21211)0(=-==ξP ，83)411(21)1000(=-⨯==ξP ，814121)3000(=⨯==ξP ，∴ 75086000813000831000210==⨯+⨯+⨯=ξE . ………………………7分 答案43 21 2|{<x x ，或}3>x（2，+∞）c351，24同理：43)0(==ηP ，81)2000(==ηP ，81)3000(==ηP ， ∴ 62585000813000812000430==⨯+⨯+⨯=ηE . ……………………11分故知先答问题A ，所获得的奖金期望较多. ………………………………12分17．（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵ 1211+=a S ，∴ 11=a . ………………………………2分 ∵ 0>n a ，12+=n n a S ，∴ 2)1(4+=n n a S . ① ∴ 211)1(4+=--n n a S （2≥n ）. ② ①-②，得 1212224----+=n n n n n a a a a a ，即0)2)((11=--+--n n n na a a a ，而0>n a ，∴)2(21≥=--n a a n n . ………………………………6分故数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列.∴ 12-=n a n . ………………………………8分 （Ⅱ）)121121(21)12)(12(1+--=+-=n n n n b n . ………………………………10分n n b b b T +++= 21)121121(21)5131(21)311(21+--++-+-=n n 21)1211(21<+-=n . ………………………………14分18．（本题满分14分）解法一：（Ⅰ）证明： ∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ CD PA ⊥. …………1分 ∵ 四边形ABCD 是矩形，EP∴ CD AD ⊥. 又 A AD PA =⋂∴⊥CD 平面PAD . …………3分 又 ∵ ⊂CD 平面PDC ，∴ 平面⊥PDC 平面PAD . ……5分 （Ⅱ）解：设CD 的中点为F ，连结EF 、AF .∵ E 是PD 中点， ∴ EF ∥PC .∴ AEF ∠是异面直线AE 与PC 所成角或其补角. ……………………7分 由1==AB PA ，2=BC ，计算得2521==PD AE ，2621==PC EF ，217=AF ， 10302625241746452cos 222-=⋅⋅-+=⋅-+=∠EF AE AF EF AE AEF ，…………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030. ……………………10分 （Ⅲ）解：假设在BC 边上存在点G ，使得点D 到平面PAG 的距离为1. 设x BG =，过点D 作AG DM ⊥于M .∵ ⊥PA 平面ABCD ，∴ DM PA ⊥,A AG PA =⋂. ∴ ⊥DM 平面PAG .∴ 线段DM 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DM . ……………12分又1121212=+=⋅=∆x DM AG S AGD ， 解得 23<=x .所以，存在点G 且当3=BG 时，使得点D 到平面PAG 的距离为1.……………………14分解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （1，0，0），C（1，2，0），D （0，2，0），E （0，1，12），P （0，0，1）．∴ CD ＝（－1，0，0），AD ＝（0，2，0），AP ＝（0，0，1）， AE ＝（0，1，12）， PC ＝（1，2，－1）. …………2分（Ⅰ）∵ 0=⋅AD CD ，∴ AD CD ⊥.∵ 0=⋅AP CD ，∴ AP CD ⊥.又 A AD AP = ，∴ ⊥CD 平面PAD . …………………………5分∵ ⊂CD 平面PAD ，∴ 平面PDC ⊥平面PAD ． ……………………7分（Ⅱ）∵ ||||,cos PC AE PC AE ⋅>=<10306411212=⋅+-=， …………………………9分 ∴ 异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为1030． ………………10分（Ⅲ）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令x BG =，则)0,,1(x G .作AG DQ ⊥于Q ，∵ ⊥PA 平面ABCD ， ∴ DQ PA ⊥.又 A AG PA =⋂，∴ ⊥DQ 面PAG .∴ 线段DQ 的长是点D 到平面PAG 的距离，即1=DQ . …………12分 ∵ ADG S ∆2=S 矩形ABCD ，∴ 2||||||||=⋅=⋅AD AB DQ AG .QGzyxEDCBAP∴ 2||=AG . 又 12+=x AG ，∴ 23<=x .故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1． …………14分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）13)(2-='mx x f ，依题意，得=')1(f 4tanπ，即113=-m ，32=m . ………………………………2分 ∵ n f =)1(， ∴ 31-=n . ………………………………3分 （Ⅱ）令012)(2=-='x x f ，得22±=x . ………………………………4分当221-<<-x 时，012)(2>-='x x f ；当2222<<-x 时，012)(2<-='x x f ； 当322<<x 时，012)(2>-='x x f . 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，15)3(=f . 因此，当]3,1[-∈x 时，15)(32≤≤-x f . ………………………………7分 要使得不等式1993)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成立，则2008199315=+≥k . 所以，存在最小的正整数2008=k ，使得不等式1993)(-≤k x f 对于 ]3,1[-∈x 恒成立. ………………………………9分（Ⅲ）方法一：|)(cos )(sin |x f x f +|)cos cos 32()sin sin 32(|33x x x x -+-=|)cos (sin )cos (sin 32|33x x x x +-+= |]1)cos cos sin (sin 32)[cos (sin |22-+-+=x x x x x x|31cos sin 32||cos sin |--⋅+=x x x x3|cos sin |31x x +=3|)4sin(2|31π+=x 322≤. …………………11分 又∵ 0>t ，∴ 221≥+t t ，14122≥+tt .∴ )21(2t t f +)]21()21(32[23tt t t +-+=]31)41(32)[21(222-++=tt t t 322)3132(22=-≥. …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）. …………………………14分方法二：由（Ⅱ）知，函数)(x f 在 [-1，22-]上是增函数；在[22-,22]上是减函数；在[22，1]上是增函数. 又31)1(=-f ，32)22(=-f ，32)22(-=f ，31)1(-=f . 所以，当x ∈[-1，1]时，32)(32≤≤-x f ，即32|)(|≤x f . ∵ x sin ，x cos ∈[-1，1]，∴ 32|)(sin |≤x f ，32|)(cos |≤x f . ∴ 3223232|)(cos ||)(sin ||)(cos )(sin |=+≤+≤+x f x f x f x f . ………………………………11分又∵0>t ，∴ 1221>≥+tt ，且函数)(x f 在),1[+∞上是增函数. ∴ 322]2)2(32[2)2(2)21(23=-=≥+f t t f . …………………13分综上可得，)21(2|)(cos )(sin |tt f x f x f +≤+（R x ∈，0>t ）.……………14分20．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，3x y -=在[b a ,]上递减，则⎪⎩⎪⎨⎧>-=-=ab b a a b 33，解得⎩⎨⎧=-=11b a .所以，所求的区间为[-1，1] . ………………………3分 （Ⅱ）取11=x ，102=x ，则)(107647)(21x f x f =<=， 即)(x f 不是),0(+∞上的减函数. 取,1001,10121==x x )(100400310403)(21x f x f =+<+=， 即)(x f 不是),0(+∞上的增函数.所以，函数在定义域内既不单调递增也不单调递减，从而该函数不是闭函数.………………………6分 （Ⅲ）若2++=x k y 是闭函数，则存在区间[b a ,]，在区间[b a ,]上，函数)(x f y =的值域为[b a ,].容易证明函数2++=x k y 在定义域内单调递增，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22b k b a k a .∴ b a ,为方程2++=x k x 的两个实数根.即方程22(21)20(2,)x k x k x x k -++-=≥-≥有两个不相等的实根.………………………8分当2-≤k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+≥->∆22120)2(0k f ，解得249-≤<-k .当2->k 时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≥>∆k k k f 2120)(0，无解.综上所述，]2,49(--∈k . ………………………12分注：若有其它解法，请酌情给分．。
【高三】（试题全）北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题（WORD试卷说明：石景山区―学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，那么（）A．B．C．D．2．复数（）A．B．C．D．3．已知向量，，则“”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知数列为等差数列，，那么数列通项公式为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为（）A．B．C．D． 6．在边长为的正方形中任取一点，则点恰好落在正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为（）A．B．C．D．7．用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．B． C．D．8．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．的参数方程为为参数，则圆的直角坐标方程为_______________，圆心到直线的距离为______． 1．中，角的对边分别为，若，，，则______．11．，满足约束条件则．12．中，，是上一点，以为圆心，为半径的圆与交于点，与切于点，，，则的长为，的长为． 13．的焦点为，准线为直线，过抛物线上一点作于，若直线的倾斜角为，则______． 14．是边长为的正方形，且平面，为上动点，过且垂直于的平面交于，那么异面直线与所成的角的度数为，当三棱锥的体积取得最大值时，四棱锥的长为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数．在上的最小值，并写出取最小值时相应的值．13分）北京市各级各类中小学每年都要测试，测试总成绩满分为分测试成绩在之间为体质优秀；在之间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格．现从某校高年级的名学生中随机抽取名学生体质测试成绩如下：1356801122333445667797056679645856（Ⅰ）试估计该校高年级体质为优秀的学生人数；名学生体质测试成绩名学生，再从这名学生中选出人．名学生中至少有名体质为优秀的概率；（?）记为名学生中体质为良好的人数，求的分布列及数学期望．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，∥，且，，为的中点．（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在一点（不与两点重合），使得∥平面?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数（为自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）已知函数在处取得极小值，不等式的解集为，若，且，求实数的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且，再过作直线.证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知集合，对于数列中.（Ⅰ）若项数列满足，，则数列中有多少项取值为零？()（Ⅱ）若各项非零数列和新数列满足（）．（?）若首项，末项，求证数列是等差数列；（?）若首项，末项，记数列的前项和为，求的最大值和最小值．石景山区―学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案DCAACBBD二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．题号91011121314答案，，，(两空的题目第一空2分，第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）............2分， (4)分，，，，...............6分所以函数的单调递增区间为．，， (9)分，，……………11分所以当，即时，函数取得最小值．13分）解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为．，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．……………6分（?）设“在选出的名学生中至少有名体质为优秀”为事件，则．名学生中至少有名体质为优秀的概率为．的所有取值为．，，．的分布列为: ．因为平面，平面，所以. ……………1分取因为底面为直角梯形，∥，，且，所以四边形为正方形，所以，且，所以，即. ……………3分又，所以平面. ……………4分（Ⅱ）解：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．……………5分则，，，，所以，，．因为平面，所以为平面的一个法向量．……………6分设平面的法向量为，由，得令，则，，所以是平面的一个法向量．……………8分所以因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．……………9分（Ⅲ）解：假设在线段上存在点（不与两点重合），使得∥平面．设，则，．设平面的法向量为，由，得令，则，，所以是平面的一个法向量．因为∥平面，所以，即，……………13分解得，所以在线段上存在一点（不与两点重合），使得∥平面，且．8.（本小题共13分）解：（Ⅰ）当时，，，，得，……………2分所以曲线在点处的切线方程为. ……………3分（Ⅱ）.当时，恒成立，此时的单调递增区间为，无单调递减区间；……………5分当时，时，，时，，此时的单调递增区间为，单调递减区间为.……………7分（Ⅲ）由题意知得，经检验此时在处取得极小值. ...............8分因为，所以在上有解，即使成立，...............9分即使成立，............10分所以.令，，所以在上单调递减，在上单调递增，则， (12)分所以. ……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以，所以，……………1分因为椭圆的离心率为，所以，即，……………2分解得，……………4分所以椭圆的方程为. ……………5分（Ⅱ）设，，①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由得，……………7分所以，……………8分因为，即为中点，所以，即. 所以，……………9分因为直线，所以，所以直线的方程为，即，显然直线恒过定点. ……………11分②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过点. ……………13分综上所述直线恒过定点. ……………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）设数列中项为分别有项．由题意知解得．所以数列中有项取值为零．……………3分（Ⅱ）（?）且，得到，若，则满足．此时，数列是等差数列；若中有个，则不满足题意；所以数列是等差数列．……………7分（?）因为数列满足，所以，根据题意有末项，所以．而，于是为正奇数，且中有个和个．要求的最大值，则只需前项取，后项取，所以（为正奇数）．要求的最小值，则只需前项取，后项取，则（为正奇数）．…………13分【注：若有其它解法，请酌情给分．】每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源 1 12 每天发布最有价值的是输入输出开始结束否．（试题全）北京市石景山区届高三上学期期末考试数学理试题（WORD版，含答案）感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
石景山区2018—2018学年上学期期末考试试卷高三数学（理科）考生须知 1. 本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟．2. 本试卷共10页，其中第10页为草稿纸．各题答案均答在本题规定的位置．题号 一 二 三总分 15 16 17 18 19 20 分数一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内． 1．已知全集U R =，{22}M x x =-≤≤，{1}N x x =<，那么M N =I （ ）A ．{1}x x <B ．{21}x x -<<C ．{2}x x <-D ．{21}x x -≤<2．复数11ii =－＋（ ） A ．2B ．2C ．iD ． i -3．幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)，那么函数()f x 的单调递增区间是（ ）A ． (2,)-+∞B ． [1,)-+∞C ． [0,)+∞D ． (,2)-∞-为14．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ） A ． π3 B ． π2 C ． π23 D ． π45．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，那么甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ） A ． 65 B ． 64 C ． 63D ． 624题图主视图俯视图左视图6．六名学生从左至右站成一排照相留念，其中学生甲和学生乙必须相邻．在此前提下，学生甲站在最左侧且学生丙站在最右侧的概率是（ ）A ．130B ．110C ．140D ． 1207．在ABC ∆中，AB 3=u u u r ，BC 1=u u u r ， cos cos AC B BC A =u u u r u u u r，则AC AB ⋅=u u u r u u u r （ ）A ．32或2 B ．32或2 C ． 2D ．3或2 8．如果对于函数()y f x =的定义域内的任意x ，都有()N f x M ≤≤（,M N 为常数）成立，那么称)(x f 为可界定函数，M 为上界值，N 为下界值．设上界值中的最小值为m ，下界值中的最大值为n ．给出函数2()2f x x x =+，1(,2)2x ∈，那么n m +的值（ ） A ．大于9B ．等于9C ．小于9D ．不存在二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知向量=(1,3)a ,=(3,)b n ，如果a 与b 共线，那么实数n 的值是______．10．阅读右面程序框图，如果输入的5n =，那么输出的S 的值为______．11．函数sin (0)y x x π=≤≤的图象与x 轴围成图形的面积为 ．12．二元一次不等式组2,0,20,x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域甲 乙3 1 8 6 3 24 59 7 3 2 6 714 5 75题图的面积为 ， x y +的最大值为 ．13．已知函数()31x f x x =+， 对于数列{}n a 有1()n n a f a -=（n N *∈，且2n ≥）， 如果11a =，那么2a = ，n a = ．14．给出下列四个命题：①命题“x x R x 31,2>+∈∃”的否定是“2,13x R x x ∀∈+>”；②在空间中，m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，如果αβ⊥，n αβ=I ，m n ⊥，那么m β⊥；③将函数x y 2cos =的图象向右平移3π个单位，得到函数sin(2)6y x π=-的图象； ④函数()f x 的定义域为R ，且21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩,若方程()f x x a =+有两个不同实根，则a 的取值范围为(,1)-∞. 其中正确命题的序号是 ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数22()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值，并写出x 相应的取值.16．（本小题满分13分）已知数列}{n a ，其前n 项和为237()22n S n n n N *=+∈.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式，并证明数列}{n a 是等差数列；（Ⅱ）如果数列}{n b 满足n n b a 2log =，请证明数列}{n b 是等比数列，并求其前n 项和； （Ⅲ）设9(27)(21)n n n c a a =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切n N *∈都成立的最大正整数k 的值.17．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，,,E F H 分别是线段,,PA PD AB 的中点．（Ⅰ）求证：PB //平面EFH ； （Ⅱ）求证：PD ⊥平面AHF ； （Ⅲ）求二面角H EF A --的大小．18．（本小题满分13分）某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销.（Ⅰ）试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；（Ⅱ）该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次．．中奖都获得m 元奖金.假设顾客每次．．抽奖时获奖与否的概率都是21，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ，请写出X 的分布列，并求X 的数学期望；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？19．（本小题满分13分）将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比（强度系数为k ，0k >）．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应是多少？ 20．（本小题满分14分）已知函数21()22f x ax x =+，()g x lnx =. dx横梁断面图（Ⅰ）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1(,)e e内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．石景山区2018—2018学年第一学期期末考试试卷高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．答案D D C C B C A B二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ） 22()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+cos2sin 2x x =+ ………………………………4分 2sin(2)4x π=+ ………………………………6分所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==. …………………………8分（Ⅱ）44x ππ-≤≤Q ， ∴32444x πππ-≤+≤， ………………………………9分∴12sin(2)24x π-≤+≤， ………………………………11分∴当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 有最大值2. …………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1n =时，115a S ==， ……………………………1分当2n ≥时，22137[(1)][(1)]22n n n a S S n n n n -=-=--+-- 37(21)3222n n =-+=+． ……………………………2分 又15a =满足32n a n =+， ……………………………3分 32()n a n n N *∴=+∈． ………………………………4分∵132[3(1)2]3n n a a n n --=+--+= (2,)n n N *≥∈，∴数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列． ………………5分（Ⅱ）由已知得2n an b = ()n N *∈， ………………………………6分题号 91011121314答案9 14 2 8，614，132n a n =-（n N *∈） ③④∵+1+13+12==2=2=82n n n n a a -a n a n b b ()n N *∈， ……………………7分 又11232ab ==，∴数列}{n b 是以32为首项，8为公比的等比数列. ………………8分∴数列}{n b 前n 项和为32(18)32(81)187n n-=--. ……………9分 （Ⅲ）91111()(27)(21)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ===----+-+ ……10分∴1111111[()()()]213352121n T n n =-+-+⋅⋅⋅+--+ 11(1)22121nn n =-=++． ……………………11分 ∵110(23)(21)n n T T n n +-=>++ ()n N *∈，∴n T 单调递增． ∴min 11()3n T T ==． …………………12分 ∴1357k>，解得19k <，因为k 是正整数， ∴max 18k =． ………………13分17．（本小题满分14分） 解法一：（Ⅰ）证明：∵E ，H 分别是线段PA ，AB 的中点，∴EH //PB ． ………………………2分又∵⊂EH 平面EFH ，⊄PB 平面EFH ，∴PB //平面EFH ． ……………………………4分（Ⅱ）解：F Q 为PD 的中点，且PA AD =，PD AF ∴⊥，又PA ⊥Q 底面ABCD ，BA ⊂底面ABCD ， AB PA ∴⊥． 又Q 四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴⊥．又PA AD A =Q I ，AB ∴⊥平面PAD ． ……………………………………7分又PD ⊂Q 平面PAD ，AB PD ∴⊥ ． ……………………………………8分 又AB AF A =Q I ，PD ∴⊥平面AHF ． ……………………………………9分 （Ⅲ）PA ⊥Q 平面ABCD ，PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ，AD ⊂Q 平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD AB ⊥， AD ∴⊥平面PAB ，E Q ，F 分别是线段PA ，PD 的中点， EF ∴//AD ， EF ∴⊥平面PAB ．EH ⊂Q 平面PAB ，EA ⊂平面PAB ，EF ∴⊥EH ，EF ∴⊥EA ， ……………………10分HEA ∴∠就是二面角H EF A --的平面角． ……………………12分在Rt HAE ∆中，111,1,22AE PA AH AB ==== 45AEH ∴∠=o ，所以二面角H EF A --的大小为ο45. ………14分解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A B C D ∴, )2,0,0(P ，)1,0,0(E ，)1,1,0(F ，(1,0,0)H .………………2分（Ⅰ）证明：∵(2,0,2)PB =-u u u r ，(1,0,1)EH =-u u u r， ∴2PB EH =u u u r u u u r,∵⊄PB 平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ， ……………………4分 ∴PB //平面EFH . ……………………5分（Ⅱ）解：(0,2,2)PD =-u u u r ，(1,0,0)AH =u u u r ， (0,1,1)AF =u u u r， ……………………6分0021(2)10,0120(2)00.PD AF PD AH ⋅=⨯+⨯+-⨯=⋅=⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u ru u u r u u u r ……………………8分,PD AF PD AH ∴⊥⊥， 又AF AH A =Q I ，PD ∴⊥平面AHF . ………………………9分（Ⅲ）设平面HEF 的法向量为),,(z y x n =,因为(0,1,0)EF =u u u r ，(1,0,1)EH =-u u u r，则0,0,n EF y n EH x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u r 取).1,0,1(=n ………………………………12分 又因为平面AEF 的法向量为),0,0,1(=m所以10012cos ,,2||||212m n m n m n ⋅++<>====⨯u r ru u r r u r r …………………13分,45,m n ∴<>=o u u r r所以二面角H EF A --的大小为ο45． …………………14分18．（本小题满分13分）解: (Ⅰ) 从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有37C 种选法. ……………………………2分 选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有34C 种， ………………………4分所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为353113734=-=C C P .………………………5分（Ⅱ）X 的所有可能的取值为0，m ，2m ，3m . ……………………6分0X =时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖,所以(),8121210303=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ……………………7分 同理可得(),8321212113=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛==C m X P ……………………8分 (),83212121223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P…………………9分 ().81212130333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C m X P …………………10分X0 m 2m 3mP18 38 38 18于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的数学期望是m m m m EX 5.181383283810=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………11分（Ⅲ）要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5150m <，所以100m <. ………………… 12分 故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利. …… 13分19．（本小题满分13分）解： 设断面高为h ，则222h d x =-．横梁的强度函数2()f x k xh =⋅，所以22()()f x kx d x =⋅- ，0x d <<． ……………………………5分 当()0,x d ∈时，令22()(3)0f x k d x '=-=． ……………………………7分解得33x d =±（舍负）． ……………………………8分 当30 3x d <<时，()0f x '>； ……………………………9分 当33d x d <<时，()0f x '<． ……………………………10分 因此，函数()f x 在定义域(0,)d 内只有一个极大值点33x d =． 所以()f x 在33x d =处取最大值，就是横梁强度的最大值． ……………12分 即当断面的宽为33d 时，横梁的强度最大． ……………………13分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a =时，()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意．………1分 当0a >时，()y f x =的对称轴方程为2x a=-， 由于()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数， 所以21a-≤，解得2a ≤-或0a >， 所以0a >． ……………………3分当0a <时，不符合题意．综上，a 的取值范围是0a ≥． ……………………4分 （Ⅱ）把方程()()(21)g x f x a x '=-+整理为2(21)lnxax a x=+-+， 即为方程2(12)0ax a x lnx +--=. ……………………5分设2()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >，原方程在区间(1,e e )内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数()H x 在区间(1,e e)内有且只有两个零点. ……………………6分1()2(12)H x ax a x'=+--22(12)1(21)(1)ax a x ax x x x+--+-== …………………7分令()0H x '=，因为0a >，解得1x =或12x a=-（舍） …………………8分 当(0,1)x ∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数；当(1,)x ∈+∞时, ()0H x '>，()H x 是增函数. …………………10分()H x 在(1,e e)内有且只有两个不相等的零点, 只需min 1()0,()0,()0,H e H x H e ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩…………………13分 即2222212(12)10,(1)(12)10,(12)1(2)(1)0,a a a e a e e e e H a a a ae a e e e a e ⎧--++++=>⎪⎪⎪=+-=-<⎨⎪+--=-+->⎪⎪⎩ ∴22,211,1,2e ea e a e a e e ⎧+<⎪-⎪⎪>⎨⎪-⎪>-⎪⎩解得2121e e a e +<<-, 所以a 的取值范围是(21,21e ee +-) ． …………………14分注：若有其它解法，请酌情给分．。
石景山区2017年高三统一练习数 学（理）试 卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|210}A x x =-<，{|01}B x x =≤≤，那么等于（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．1{|0}2x x <<D ．1{|0}2x x <≤2．已知实数,x y 满足06,,0,x y x y x y +⎧⎪-⎪⎨⎪⎪⎩2,≤≤≥≥则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．10D ．123．直线1cos 2ρθ=被圆1ρ=所截得的弦长为（ ） A ．1BC ．2D ．44．设∈R θ,“sin cos θθ=”是“cos20θ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A B I正（主）视图侧（左）视图俯视图211 15．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202—1261年） 给出了求*()n n ∈N次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++L当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九 韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：3232103210(())a x a x a x a a x a x a x a +++=+++之后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（ ）的值． A ．432234x x x x ++++ B ．4322345x x x x ++++ C ．3223x x x +++ D ．32234x x x +++6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）A ． 25+B ． 225+C ． 45+D ． 57．如图，在矩形ABCD 中，2,2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=u u r u u u r，则AE BF ⋅u u r u u r的值是（ ）A ．22-B ．1C ．2D ．2DEFCBA开始是否 结束8．如图，将正三角形ABC 分割成m 个边长为1的 小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以 分割成n 个边长为1的小正三角形．若:47:25m n =，则三角形ABC 的边长是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数i1ia +-是纯虚数，则实数a = ． 10．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +⋅=-(123)n =L ，，，，那么8a 等于 ．11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = ． 12．如果将函数()sin(3)(π0)f x x ϕϕ=+-<<的图象向左平移π12个单位所得到的图象关于原点对称，那么ϕ= ．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是 ．（用数字做答）14．已知42(),,()4,.a x x a xf x x x a x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≥①当1a =时，()3f x =，则x = ；②当1a -≤时，若()3f x =有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a = ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知c b a ,,分别是△ABC 的三个内角,,A B C 的三条对边，且222c a b ab =+-． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求B A cos cos +的最大值．16．（本小题共13分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间(0,50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按(0,10]，(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a 的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为21s ，22s ，试比较21s 与22s 的大小（只需写出结论）； （Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间(0,20]的数据样本中抽取3个，记在(0,10]内的数据个数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间(0,10]中的个数． 17．（本小题共14分）频数频率/组距6 5 3 4 2 0 0.030 0.025 0.0150.020 a10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 甲种酸奶日销售量/箱 乙种酸奶日销售量/箱 图甲 图乙《九章算术》中，将底面为长方形且有一条 侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都 为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē nào ）．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ， 且PD CD =，E 为PC 中点，点F 在PB 上， 且PB ⊥平面DEF ，连接BD ，BE ． （Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ； （Ⅱ）试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （Ⅲ）已知2,2AD CD ==，求二面角F AD B --的余弦值．18．（本小题共13分）已知函数()ln f x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当0x >时，1()1f x x-≥；（Ⅲ）若1ln x a x ->对任意1x >恒成立，求实数a 的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点（0，1），且离心率为32．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20．（本小题共13分）ABCDEPF已知集合12{(,,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i R X X x x x x i n n ==∈=≥L L ．对于12(,,,),n n A a a a R =∈L 12(,,,),n n B b b b R =∈L 定义A 与B 之间的距离为11221(,)nn n i i i d A B a b a b a b a b ==-+-+-=-∑L ．（Ⅰ）写出2R 中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：3M R ⊆，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合n P R ⊆，P 中有(2)m m ≥个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为()d P ，证明()2(1)mnd P m ≤-．石景山区2017年高三统一练习数学（理）试卷答案及评分参考三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为222c a b ab =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==． ……3分 又因为(0,π)C ∈， 所以π3C =． …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =，又πA B C ++=， 所以2π3B A =-且2π(0,)3A ∈， 故2πcos cos cos cos()3A B A A +=+-2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++ 1πcos sin()26A A A =+=+． 又2π(0,)3A ∈，5π(,)666A ππ+∈， 所以当ππ62A +=即π3A =时，cos cos AB +的最大值为1． …13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）由图（乙）知，10(0.020.030.0250.015)1a ++++=解得0.01a =，2212s s >． ………………… 3分（Ⅱ）X 的所有可能取值1，2，3．则()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===， 其分布列如下：…………………8分 （Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2345620++++=个，其中有4个数据在区间(0,10]内．又因为分层抽样共抽取了12005%60⨯=个数据， 乙种酸奶的数据共抽取602040-=个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间(0,10]内的频率为0.1， 故乙种酸奶的日销售量数据在区间(0,10]内有400.14⨯=个． 故抽取的60个数据，共有448+=个数据在区间(0,10]内． 所以，在1200个数据中，在区间(0,10]内的数据有160个．……………13分（Ⅰ）因为PD ⊥ 面ABCD ，BC ⊂面ABCD ，所以BC PD ⊥.因为四边形ABCD 为矩形，所以BC DC ⊥.PD DC D =I , 所以BC ⊥面PDC .DE ⊂面PDC , DE BC ⊥, 在PDC ∆中，PD DC =，E 为PC 中点 所以DE PC ⊥. PC BC C =I ,所以DE ⊥面PBC . ……………………………………4分（Ⅱ）四面体DBEF 是鳖臑，其中π2BED FED ∠=∠=，π2BFE BFD ∠=∠=． ……………………………………9分（Ⅲ）以,,DA DC DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(0,0,0),(2,0,0),D A C P B ．设PF PB λ=u u u r u u u r，则(2)F λ．DF PB ⊥得0DF PB =u u u r u u u r g 解得14λ=．所以1(,,244F ． ………11分 设平面FDA 的法向量(,,)n x y z =r，10220n DF x y z n DA x ⎧⎧⊥++=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎪⎩=⎩r u u u r r u u u r 令1z = 得0,3x y ==-． 平面FDA 的法向量(0,3,1)n =-r， 平面BDA的法向量DP =u u u r，cos ,10n DP n DP n DP<>===-r u u u rr u u u r g r u u u r ． 二面角F AD B --． …………………14分解：（Ⅰ）1()f x x'=, (1)1f '=， 又(1)0f =，所以切线方程为1y x =-; ……3分 （Ⅱ）由题意知0x >，令11()()(1)ln 1g x f x x xx=--=-+． 22111'()x g x x x x -=-= ………5分 令21'()0x g x x-==，解得1x =． ………6分易知当1>x 时，'()0g x >，易知当01x <<时，'()0g x <．即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增 ………7分 所以min ()(1)0g x g ==，()(1)0g x g ≥=即1()()(1)0g x f x x =--≥，即1()(1)f x x≥-． ……8分 （Ⅲ）设()1ln (1)h x x a x x =--≥，依题意，对于任意1,>x ()0h x >恒成立．'()1a x ah x x x-=-=， ………9分 1≤a 时，'(),h x >0()h x 在[1,)+∞上单调增，当1>x 时，()(1)0h x h >=，满足题意． ………11分1>a 时，随x 变化，'()h x ，()h x 的变化情况如下表：()h x 在(,)a 1上单调递减， 所以()()<=g a g 10即当 1>a 时，总存在()0<g a ，不合题意． ………12分 综上所述，实数a 的最大值为1． ………13分解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为2c e a ==，所以c =2a =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分 （Ⅱ） 设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ．联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=．由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m <所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分 所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC === ………10分 又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN == ………12分 所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=．所以B 、N ………14分解：（Ⅰ）2{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}R =，2,A B R ∈ ，max (,)2d A B =． …………………3分 （Ⅱ）3R 中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M 中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以{(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}M =或{(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(1,1,1)}M =，集合M 中元素个数最大值为4． ………………8分 （Ⅲ）2,1()(,)A B P m d P d A B C ∈=∑ ，其中,(,)A B P d A B ∈∑表示P 中所有两个元素间距离的总和．设P 中所有元素的第i 个位置的数字中共有i t 个1，i m t -个0，则 ,1(,)()ni i A B P i d A B t m t ∈==-∑∑ 由于2()(1,2,,)4i i m t m t i n -≤=L 所以2,1(,)()4ni i A B P i nm d A B t m t ∈==-≤∑∑ 从而222,1()(,)42(1)A B P mmnm nm d P d A B C C m ∈=≤=-∑ …………………13分 【注：若有其它解法，请酌情给分】。
2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B = （ ） A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<< C ．{|12}x x << D ．{|23}x x <<2.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A．y = B ．3y x =- C ．12log y x = D ．1y x x =+3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ A ．1 B ．2 C ．4 D ．74.在ABC △中，60A =︒，4AC =，BC =ABC △的面积为（ ）A ．B ．4C ．D ．5.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示， 则此多面体的体积是（ ）A.378cmB. 323cmC. 356cmD.312cm6.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行 涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色， 则不同的涂色方法共有（ ）A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种 7.设,a b ∈R ，则“a b >”是“a a b b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8.如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段C D A B ⊥,且满足2CD AD BD λ=⋅（λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.双曲线2212x y -=的焦距是________,渐近线方程是________. 10.若变量,x y 满足2,239,0,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则22x y +的最大值是____________.B CD11.已知圆C 的参数方程为cos ,sin 2,x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ+=，则直线截圆C 所得的弦长是_____________．12. 已知函数31,1(),1x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪<⎩≥，若关于x 的方程()f x k =有两个不同零点，则k 的取值范围是_____________．13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股 树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长________． 14.设W 是由一平面内的(3n n ≥）个向量组成的集合．若a W ∈ ，且a 的模不小于W 中除a外的所有向量和的模．则称a是W 的极大向量.有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量,a b，在该平面内总存在唯一的平面向量c a b =-- ，使得{}=,,W a b c中的每个元素都是极大向量；③若{}{}11232123=,,=,,W a a a W b b b，中的每个元素都是极大向量，且12,W W 中无公共元素，则12W W 中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是_______________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期;（Ⅱ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内 20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m ，n 的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ，E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ，试分别比较1v 与2v 、21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A ，E 两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．17．（本小题共14分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥； （Ⅱ）求证：BD //平面PEC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小．18．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．19．（本小题共14分）已知2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+. （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当x ∈R 时，判断()y f x =与1y bx =+交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）20．（本小题共13分）对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a = （1,2,,k m = ），即k b 为12,,k a a a 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（Ⅰ）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ； （Ⅱ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m = ），求证：k k a b =（1,2,,k m = ）；（Ⅲ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期;（Ⅱ）求函数()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）2()2cos cos 1f x x x x =+-cos2x x = 12(cos 22)2x x =+π2sin(2)6x =+ ………………5分 所以周期为2ππ2T ==. ………………6分（Ⅱ）因为ππ2x ≤≤， 所以7ππ13π2666x ≤+≤. ………………7分 所以当π13π266x +=时，即πx =时max ()1f x =.当π3π262x +=时,即2π3x =时min ()2f x =-. …………13分16．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内 20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 99 22 68 98 79对这20个数据进行分组，各组的频数如下：（Ⅰ）写出m ，n 的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ，E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ，试分别比较1v 与2v 、21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A ，E 两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为ξ，求ξ的分布列和数学期望．16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）m =4，n =2，B ； ………………… 3分（Ⅱ）1v <2v ，21s <22s ； ………………… 6分（Ⅲ）ξ的可能取值为0，30，140，170，ξ的数学期望为111132503014017066333E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．………………… 13分 17．（本小题共14分）如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，EB //PA ，4AB PA ==，2EB =，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AF PC ⊥； （Ⅱ）求证：BD //平面PEC ； （Ⅲ）求二面角D PC E --的大小．17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA ⊥平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系． ……2分 依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF = ，(4,4,4)PC =-，所以80(8)0AF PC ⋅=++-=． ……5分所以AF PC⊥（Ⅱ）证明：取PC的中点M，连接EM．因为(2,2,2)M，(2,2,0)EM=-，(4,BD=-所以2BD EM=，所以//BD EM．分又因为EM⊂平面PEC，BD⊄平面PEC，所以//BD平面PEC．……9分（Ⅲ）解：因为AF PD⊥，AF PC⊥，PD PC P=，所以AF⊥平面PCD，故(2,0,2)AF=为平面PCD的一个法向量．……10分设平面PCE的法向量为(,,)n x y z=，因为(4,4,4)PC=-，(0,4,2)PE=-，所以0,0,n PCn PE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即4440,420,x y zy z+-=⎧⎨-=⎩令1y=-，得1x=-，2z=-，故(1,1,2)n=---．……12分所以cos,AF n<>==……13分所以二面角D PC E--的大小为5π6．……14分18．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy中，动点E到定点(1,0)的距离与它到直线1x=-的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b=+与曲线C相切于点P，与直线1x=-相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1,0)为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动点E 的轨迹C 的方程为24y x =． ……………5分（Ⅱ）证明：由24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440ky y b -+=． 因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb ∆==，即1b k =． ……8分 所以直线l 的方程为1y kx k =+． 令1x =-，得1y k k=-+． 所以Q 11,k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭． ……………10分 设切点坐标00(,)P x y ，则20044+0ky y k -=， 解得：212(,)P k k， ……………11分 设(,0)M m ，2121(1)()k MQ MP m m k k k ⎛⎫⋅=---+-+ ⎪⎝⎭221=2m m m k -+-- 所以当22=0-10m m m ⎧+-⎨=⎩，即10m MQ MP =⋅= 时，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分19．（本小题共14分）已知2()x f x e ax =-，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx =+.（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当x ∈R 时，判断()y f x =与1y bx =+交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）()2x f x e ax '=-,由已知可得(1)2f e a b '=-=，(1)1f e a b =-=+解之得1,2a b e ==-． …………3分（Ⅱ）令()'()2x g x f x e x ==-．则'()2x g x e =-, …………5分 故当0ln 2x ≤<时，'()0g x <，()g x 在[0,ln 2)单调递减；当ln 21x <≤时，'()0g x >，()g x 在(ln 2,1]单调递增；所以min ()(ln 2)22ln 20g x g ==->， …………8分故()f x 在[0,1]单调递增，所以max ()(1)1f x f e ==-． ………11分（Ⅲ）当x R ∈时，()y f x =与1y bx =+有两个交点. ………14分20．（本小题共13分）对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a = （1,2,,k m = ），即k b 为12,,k a a a 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（Ⅰ）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ；（Ⅱ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m = ），求证：k k a b =（1,2,,k m = ）；（Ⅲ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4 …………3分 （Ⅱ）由题意知数列{}n b 中1k k b b +≥.又12018k m k a b -++=，所以12018k m k a b +-+= …………4分 111(2018)(2018)0k k m k m k m k m k a a b b b b +--+-+--=---=-≥ 所以1k k a a +≥，即k k a b =（1,2,,k m = ） …………8分 （Ⅲ）当2m =时，由1212b b b b +=得12(1)(1)1b b --=，又12,b b N *∈ 所以122b b ==，不满足题意；当3m =时，由题意知数列{}n b 中1n n b b +>，又123123b b b b b b ++= 当11b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12336b b b b >，所以等式成立11b =； 当22b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12333b b b b ≥，所以等式成立22b =； 当11b =，22b =得33b =，此时数列{}n a 为1,2,3. 当4m ≥时，12m m b b b mb +++< ，而12(1)!m m m b b b m b mb ≥-> ，所以不存在满足题意的数列{}n a .a依次为1,2,3. …………13分综上数列{}n【注：若有其它解法，请酌情给分】。
2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{|(1)(2)0}Ax x x ，集合{|13}B x x ，则A B （）A ．{|13}x xB ．{|11}x xC ．{|12}x xD ．{|23}x x2.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)上单调递减的函数为（）A ．yx B ．3yxC ．12log yxD ．1y xx1,1i S 3.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（）A ．1B ．2C ．4D ．74.在ABC △中，60A，4AC，23BC，则ABC △的面积为（）A ．43B ．4C ．23D ．22考生须知1．本试卷共6页，共三道大题，20道小题，满分150分．考试时间120分钟．2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题、作图题请用2B 铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效．是开始否3i ≤输出S结束1SS i 1i i5.若某多面体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此多面体的体积是（）A.378cm B.323cmC. 356cm D.312cm6.现有4种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法共有（）A ．24种B ．30种C ．36种D ．48种7.设,a bR ，则“a b ”是“a ab b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8.如图，已知线段AB 上有一动点D （D 异于A B 、）,线段C DA B ,且满足2CDAD BD （是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为（）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.双曲线2212xy的焦距是________,渐近线方程是________. 10.若变量,x y 满足2,239,0,xy xy x ≤≤≥则22xy 的最大值是____________.BACD11.已知圆C 的参数方程为cos ,sin2,x y（为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin cos 1，则直线截圆C 所得的弦长是_____________．12. 已知函数31,1(),1x f x xx x≥，若关于x 的方程()f x k 有两个不同零点，则k 的取值范围是_____________．13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，,，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．14.设W 是由一平面内的(3n n ≥）个向量组成的集合．若a W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量.有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量,a b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c a b ，使得=,,W a b c 中的每个元素都是极大向量；③若11232123=,,=,,W a a a W b b b ，中的每个元素都是极大向量，且12,W W 中无公共元素，则12W W 中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是_______________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数2()2cos 23sin cos 1f x xx x .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期; （Ⅱ）求函数()f x 在区间π,π2上的最小值和最大值.16．（本小题共13分）抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动．小明收集班内20名同学今年春节期间抢到红包金额x （元）如下（四舍五入取整数）：102 52 41 121 72 162 50 22 158 46 43 136 95 192 59 9922689879对这20个数据进行分组，各组的频数如下：组别红包金额分组频数A 0≤x ＜40 2 B 40≤x ＜80 9 C 80≤x ＜120 m D 120≤x ＜160 3 E160≤x ＜200n（Ⅰ）写出m ，n 的值，并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别；（Ⅱ）记C 组红包金额的平均数与方差分别为1v 、21s ，E 组红包金额的平均数与方差分别为2v 、22s ，试分别比较1v 与2v 、21s 与22s 的大小；（只需写出结论）（Ⅲ）从A ，E 两组的所有数据中任取2个数据，记这2个数据差的绝对值为，求的分布列和数学期望．如图，四边形ABCD 是正方形，PA平面ABCD ，EB //PA ，4ABPA ，2EB ，F 为PD 的中点．（Ⅰ）求证：AFPC ；（Ⅱ）求证：BD //平面PEC ；（Ⅲ）求二面角DPCE 的大小．18．（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x 的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l ykx b 与曲线C 相切于点P ，与直线1x相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．19．（本小题共14分）已知2()xf x eax ，曲线()yf x 在(1,(1))f 处的切线方程为1y bx .（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）求()f x 在[0,1]上的最大值；（Ⅲ）当xR 时，判断()y f x 与1y bx 交点的个数.（只需写出结论，不要求证明）FEPBAD C对于项数为m （1m ）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}kk b a a a （1,2,,km ），即k b 为12,,k a a a 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（Ⅰ）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ；（Ⅱ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018kmk a b （1,2,,km ），求证：kk a b （1,2,,km ）；（Ⅲ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .2018年石景山区高三统一测试数学（理）试卷答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABCCADCB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（两空题目，第一空2分，第二空3分）三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）2()2cos 23sin cos 1f x x x x cos23sin2xx题号91011121314 答案23，22yx1020,1（）132②③132(cos2sin 2)22x x π2sin(2)6x,,,,,,5分所以周期为2ππ2T. ,,,,,,6分（Ⅱ）因为ππ2x ，所以7ππ13π2666x.,,,,,,7分所以当π13π266x时，即πx 时max ()1f x . 当π3π262x时,即2π3x时min()2f x .,,,,13分16．（本小题共13分）解：（Ⅰ）m=4，n=2，B ；………………… 3分（Ⅱ）1v <2v ，21s <22s ；………………… 6分（Ⅲ）的可能取值为0，30，140，170，030140170P16161313的数学期望为111132503014017066333E．………………… 13分17．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：依题意，PA平面ABCD ．如图，以A 为原点，分别以AD 、AB 、AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．,,2分依题意，可得(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,0)D ，(0,0,4)P ，(0,4,2)E ，(2,0,2)F ．因为(2,0,2)AF，(4,4,4)PC，所以80(8)0AF PC ．,,5分所以AFPC . ,,6分（Ⅱ）证明：取PC 的中点M ，连接EM ．因为(2,2,2)M ，(2,2,0)EM ，(4,4,0)BD，所以2BDEM ，所以//BD EM ．,,8分又因为EM平面PEC ，BD平面PEC ，所以//BD 平面PEC ．,,9分（Ⅲ）解：因为AFPD ，AFPC ，PD PC P ，所以AF 平面PCD ，故(2,0,2)AF为平面PCD 的一个法向量．,,10分设平面PCE 的法向量为(,,)n x y z ，因为(4,4,4)PC，(0,4,2)PE，所以0,0,n PC n PE即4440,420,x y z yz令1y ，得1x，2z ，故(1,1,2)n．,,12分所以2043cos ,2226AF n，,,13分所以二面角D PC E 的大小为5π6．,,14分zyxM F EPBADC18．（本小题共13分）（Ⅰ）解：设动点E 的坐标为(,)x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以(1,0)为焦点，1x为准线的抛物线，所以动点E 的轨迹C 的方程为24yx ．……………5分（Ⅱ）证明：由24y kx byx，消去x 得：2440kyyb．因为直线l 与抛物线相切，所以16-160kb，即1bk．……８分所以直线l 的方程为1ykx k．令1x，得1yk k．所以Q 11,kk．……………10分设切点坐标00(,)P x y ，则20044+0ky y k，解得：212(,)P k k，……………11分设(,0)M m ，2121(1)()kMQ MPm m kkk221=2m mm k所以当22=0-10mm m ，即10m MQ MP 时，所以MQMP所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ．……………13分19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）()2xf x eax , 由已知可得(1)2f eab ，(1)1f e ab解之得1,2ab e ．…………３分（Ⅱ）令()'()2xg x f x ex ．则'()2xg x e ,…………５分故当0ln 2x时，'()0g x ，()g x 在[0,ln 2)单调递减；当ln 21x时，'()0g x ，()g x 在(ln 2,1]单调递增；所以min()(ln 2)22ln 20g x g ，…………８分故()f x 在[0,1]单调递增，所以max()(1)1f x f e ．………11分（Ⅲ）当x R 时，()yf x 与1y bx 有两个交点. ………14分20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4,,,,3分（Ⅱ）由题意知数列{}n b 中1kk b b .又12018km k a b ，所以12018km ka b ,,,,4分111(2018)(2018)0kkm k m k mk mka ab b b b 所以1kk a a ，即kk a b （1,2,,km ）,,,,8分（Ⅲ）当2m 时，由1212b b b b 得12(1)(1)1b b ，又12,b b N所以122b b ，不满足题意；当3m 时，由题意知数列{}n b 中1n n b b ，又123123b b b b b b 当11b 时此时33b ，12333,b b b b 而12336b b b b ，所以等式成立11b ；高三数学（理科）第11页（共11页）当22b 时此时33b ，12333,b b b b 而12333b b b b ，所以等式成立22b ；当11b ，22b 得33b ，此时数列{}n a 为1,2,3. 当4m 时，12m m b b b mb ，而12(1)!m m m b b b m b mb ，所以不存在满足题意的数列{}n a .综上数列{}n a 依次为1,2,3.,,,,13分【注：若有其它解法，请酌情给分】。
2017-2018学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|（x-1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A. B. C. 0， D. 1，2.设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.用计算机在0～1之间随机选取一个数a，则事件“＜＜”发生的概率为（）A. 0B. 1C.D.4.以角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角θ终边过点P（2，4），则=（）A. B. C. D. 35.“m＞10”是“方程表示双曲线”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.给定函数①，②，③y=|x-1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）A. ①④B. ①②C. ②③D. ③④7.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．如图网格纸中实线部分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（）A. 3立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈8.小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t（s），他与教练间的距离为y（m），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若，，，则a，b，c的大小关系为______．10.执行如图的程序框图，若输入的x的值为-1，则输出的y的值是______．11.若实数x，y满足则z=3x+y的取值范围为______．12.设常数a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为-10，则a=______．13.在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ+μ=______．14.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的．请写出满足上述条件的一个有序数组（a，b，c，d）______，符合条件的全部有序数组（a，b，c，d）的个数是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=6，BD=3，DC=2．（Ⅰ）若，求∠BAC的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．16.摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利．已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过1小时（包含1小时）是免费的，超过1小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算，例如：骑行2.5小时收费为2元）．现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次．设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人用车时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的车费相同的概率；（Ⅱ）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．18.已知函数．（Ⅰ）若a=1，确定函数f（x）的零点；（Ⅱ）若a=-1，证明：函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；（Ⅲ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y=0平行，求a的值．19.已知椭圆：＞＞离心率等于，P（2，3）、Q（2，-3）是椭圆上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．20.如果n项有穷数列{a n}满足a1=a n，a2=a n-1，…，a n=a1，即a i=a n-i+1（i=1，2，…，n），则称有穷数列{a n}为“对称数列”．例如，由组合数组成的数列，，，，就是“对称数列”．（Ⅰ）设数列{b n}是项数为7的“对称数列”，其中b1，b2，b3，b4成等比数列，且b2=3，b5=1．依次写出数列{b n}的每一项；（Ⅱ）设数列{c n}是项数为2k-1（k∈N*且k≥2）的“对称数列”，且满足|c n+1-c n|=2，记S n为数列{c n}的前n项和；（ⅰ）若c1，c2，…c k是单调递增数列，且c k=2017．当k为何值时，S2k-1取得最大值？（ⅱ）若c1=2018，且S2k-1=2018，求k的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：B={x|-2＜x＜1}，A={-2，-1，0，1，2}；∴A∩B={-1，0}．故选：A．解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：∵=，∴复数在复平面内所对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内所对应的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．3.【答案】D【解析】解：用计算机在0～1之间随机选取一个数a，则事件“”发生的概率为P==．故选：D．根据几何概型的概率公式，计算所求的区间长度比即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵角θ终边过点P（2，4），∴tanθ==2，则==-3，故选：A．利用任意角的三角函数的定义求得tanθ，再利用两角和的正切公式，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意，若m＞10，则有m-10＞0，m-8＞0，则方程表示双曲线，反之，若方程表示双曲线，则有（m-10）（m-8）＞0，解可得m ＞10或m＜8，则“方程表示双曲线”不一定有“m＞10”；故“m＞10”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件；故选：A．根据题意，由双曲线的标准方程分析可得若m＞10，则方程表示双曲线，反之不一定成立，又由充分必要条件的定义，分析可得答案．本题考查双曲线的标准方程，涉及充分必要条件的判定，关键是掌握双曲线标准方程的形式．6.【答案】C【解析】解：对于①函数在（0，+∞）递增，不合题意；对于②函数在（0，1）递减，符合题意；对于③x＜1时，y=1-x，在（0，1）递减，符合题意；对于④函数在（0，1）递增，不合题意；故选：C．根据常见函数的单调性分别判断即可．本题考查了常见函数的单调性问题，熟练掌握常见函数的性质是关键，本题是一道基础题．7.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体如图：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，则三棱柱的体积V1=×3×1×2=3，四棱锥的体积V2=×1×3×1=1，由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴此刍甍的体积V=V1+2V2=5（立方丈），故选：B．由已知中的三视图，可知该几何体是组合体，由一个三棱柱和两个相同的四棱锥构成，分别求出体积累加得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.【答案】D【解析】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C、假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30秒时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；故选：D分别假设这个位置在点M、N、P、Q，然后结合函数图象进行判断．利用排除法即可得出答案．此题考查了动点问题的函数图象，解答本题要注意依次判断各点位置的可能性，点P的位置不好排除，同学们要注意仔细观察．9.【答案】a＜b＜c【解析】解：a=ln＜0，b=∈（0，1），c=＞1．∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】13【解析】解：模拟执行程序框图，可得x=-1满足条件x＜2，x=0满足条件x＜2，x=1满足条件x＜2，x=2不满足条件x＜2，y=13输出y的值为13．故答案为：13．模拟执行程序框图，依次写出得到的x，y的值，当x=2时不满足条件x＜2，计算并输出y的值为13．本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基本知识的考查．11.【答案】[3，6]【解析】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z，经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得即A（，），此时z max=3×+=6，当直线y=-3x+z，经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．由，解得即B（0，3），此时z min=3×0+3=3，故3≤z≤6，故答案为：[3，6]．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．12.【答案】-2【解析】解：的展开式的通项为T r+1=C5r x10-2r（）r=C5r x10-3r a r令10-3r=7得r=1，∴x7的系数是aC51∵x7的系数是-10，∴aC51=-10，解得a=-2．故答案为：-2．利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．13.【答案】【解析】解：设，则=（1-k）+k．=，∴故答案为：设，则=（1-k）+k.=，即可本题考查了向量的线性运算，属于中档题．14.【答案】（3，2，1，4）；6【解析】解：根据条件分别讨论得：（3，2，1，4），（2，3，1，4）（3，1，2，4）（3，1，4，2）（4，1，3，2）（2，1，4，3）任选一个即可，第二空2分）故答案为：（3，2，1，4）；6根据集合相等，分别进行讨论即可．本题主要考查集合相等的应用，根据条件分别进行讨论是解决本题的关键．15.【答案】解：（Ⅰ）设∠BAD=α，∠CAD=β，则，，所以，因为α+β∈（0，π），所以，即．（Ⅱ）过点A作AH⊥BC交BC的延长线于点H，因为，所以，所以；所以△ ．【解析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，利用诱导公式求出结果．（Ⅱ）利用解直角三角形和三角形的面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，解直角三角形的应用，三角形面积公式的应用．16.【答案】解：（Ⅰ）甲租车时间超过2小时的概率为1--=，乙租车时间超过2小时的概率为1--=；则甲乙两人所付的租车费用相同的概率为P=×+×+×=；（Ⅱ）甲乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，则ξ的所有取值为0，1，2，3，4；且P（ξ=0）=×=，P（ξ=1）=×+×=，P（ξ=2）=×+×+×=，P（ξ=3）=×+×=，P（ξ=4）=×=；数学期望为Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．【解析】（Ⅰ）分别求出甲、乙租车时间超过2小时的概率，再计算甲乙两人所付的租车费用相同的概率值；（Ⅱ）根据题意知随机变量ξ的所有取值，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值．本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．17.【答案】证明：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△PAC中，由已知E为PA中点，所以EF∥PC．又EF⊂平面BFD，PC⊄平面BFD，所以PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以PO⊥CD．又因为平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平面PCD，所以PO⊥平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OF⊥CD．所以PO⊥OG．如图建立空间直角坐标系O-xyz，则A（1，-1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），D（0，-1，0），B（1，1，0），O（0，0，0），G（1，0，0）．=（-1，2，0），=（0，1，-1）．设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，得=（2，1，1）．平面PCD的法向量为=（1，0，0）．设，的夹角为α，所以cosα==．由图可知二面角A-PC-D为锐角，所以二面角A-PC-B的余弦值为．（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．因此点M（0，λ，1-λ），=（-1，λ-1，1-λ），=（-1，2，0）．由，得1+2（λ-1）=0，解得．因为∈[0，1]，所以在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=．【解析】（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF，推导出EF∥PC．由此能证明PC∥平面BED．（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．推导出PO⊥CD，取AB中点G，连结OG，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角A-PC-B的余弦值．（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在λ∈[0，1]使得．利用向量法能求出在棱PC上存在点M，使得BM⊥AC．此时，=本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.【答案】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=，令f（x）=0，即ln（x-1）=0，即x-1=1，解得：x=2，故函数的零点是1；（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=，∴函数的定义域为（-1，0）∪（0，+∞），∴f′（x）=，设g（x）=x-（x+1）ln（x+1），∴g′（x）=1-[ln（x+1）+1]=-ln（x+1），∴g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，∴g（x）＜g（0）=0，∴f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．（Ⅲ）∵f′（x）=，∴k=f′（1）=，∵y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y=0平行∴=1，即ln（1-a）=，分别画出y=ln（1-x）与y=的图象，由图象可知交点为（0，0）∴解得a=0．【解析】（Ⅰ）代入a的值，令f（x）=0，解出即可；（Ⅱ）先求导，得到f′（x），再构造函数g（x）=x-（x+1）ln（x+1），求出g（x）的最大值为0，继而得到f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，问题得以证明；（Ⅲ）欲求a的值，根据在点（1，f（1））处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，解方程即可得．本题考查导数和函数的单调性最值的关系，以及导数的几何意义，考查了不等式的证明问题，培养了学生的转化能力，运算能力，处理问题的能力，属于难题解得a=4，b=，c=2．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，直线PA的直线方程为y-3=k（x-2），联立，得（3+4k2）x2+8k（3-2k）x+4（3-2k）2-48=0．∴ ．同理直线PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得=．∴，，====，∴AB的斜率为定值．【解析】（Ⅰ）由题意列式关于a，b，c的方程组，求解可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（Ⅱ）设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，PA的直线方程为y-3=k（x-2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y-3=-k（x-2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．20.【答案】解：（I）由题意可得：b5=b3=1，又b2=3，∴公比q=．∴数列{b n}的每一项分别为：9，3，1，，1，3，9．（II）（i）∵c1，c2，…c k是单调递增数列，满足|c n+1-c n|=2，∴n≤k-1时，c n+1-c n=2．∴c k=c1+2（k-1）=2017，解得c1=2019-2k，∴c k-1=c k-2=2015．∴S2k-1=2×-c k=4036k-2k2=-2（k-1009）2+2036162．∴当k=1009值时，S2k-1取得最大值2036162．（ii）由题意可得：c1，c2，…c k是单调减增数列，c n+1-c n=-2，n≤k-1时，k取得最小值．∴c k=c1-2（k-1）=2018-2（k-1）=2020-2k，S2k-1=2×-c k=4040k-2k2-2020=2018，化为：k2-2020k+2019=0，k≥2．解得k=2019．∴k的最小值为2019．【解析】（I）由题意可得：b5=b3=1，又b2=3，可得公比q=．利用通项公式即可得出．（II）（i）由c1，c2，…c k是单调递增数列，满足|c n+1-c n|=2，可得n≤k-1时，c n+1-c n=2．因此c k=c1+2（k-1）=2017，解得c1，c k-1=c k-2．可得S2k-1=2×-c k，利用二次函数的即可得出．（ii）由题意可得：c1，c2，…c k是单调减增数列，c n+1-c n=-2，n≤k-1时，k取得最小值．可得c k=c1-2（k-1）=2020-2k，S2k-1=2×-c k=2018，解出即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、等差数列的性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
