2018年秋新课堂高中数学人教A版必修一学案：第1章 1.3 1.3.2 第2课时 奇偶性的应用 Word版含答案

3.2 函数的基本性质3.2.1 单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课程标准核心素养借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.通过对函数单调性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.课前自主学习知识点函数的单调性增函数、减函数定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是.(2)如果∀x1，x2∈D，当时，都有，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是.(3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的.『微体验』1．思考辨析(1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在『－1,2』上是增函数．()(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．()(3)若函数f(x)在区间(1,2』和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．() 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()A．『－4,4』B．『－4，－3』∪『1,4』C．『－3,1』D．『－3,4』3．下列函数中，在(－∞，0』内为增函数的是()A ．y ＝x 2－2B ．y ＝3xC ．y ＝1＋2xD ．y ＝－(x ＋2)24．若函数f (x )在R 上单调递增，且f (m )<f (n )，则m 与n 的关系为( ) A ．m >nB ．m <nC ．m ≥nD ．m ≤n课堂互动探究探究一 利用定义证明函数的单调性例1 证明函数f (x )＝x ＋1x 在(1，＋∞)上是增函数．变式探究 判断并证明本例中函数f (x )在(0,1)上的单调性．『方法总结』利用增函数或减函数的定义证明或判断函数单调性的一般步骤跟踪训练1 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．探究二根据函数图象求单调区间例2 求函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调区间．『方法总结』图象法求函数单调区间的步骤(1)作图：作出函数的图象．(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间．提醒：当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接．跟踪训练2作出函数y＝|x|(x－1)的图象，并指出函数的单调区间．探究三函数单调性的简单应用例3 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4』上是减函数．求实数a的取值范围．变式探究在本例中，若将“函数f(x)在(－∞，4』上是减函数”改为“函数f(x)的单调递减区间为(－∞，4』”，则a为何值？若改为“函数f(x)在『4，＋∞)上是增函数”呢？『方法总结』由函数单调性求参数范围的类型及处理方法(1)由函数『解析』式求参数(2)抽象函数求参数①依据：单调增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)>f(b)⇌a>b(a<b)．②方法：依据函数单调性的特点去掉符号“f”，转化为不等式问题求解．随堂本课小结1．若f (x )的定义域为D ，A ⊆D ，B ⊆D ，f (x )在A 和B 上都单调递减，未必有f (x )在A ∪B 上单调递减．2．对增函数的判断，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，也可以用一个不等式来替代：(x 1－x 2)『f (x 1)－f (x 2)』＞0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.对减函数的判断，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x 1－x 2)『f (x 1)－f (x 2)』＜0或f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0.3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数、二次函数、反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f (x )单调递减(f (x )≠0)．5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较．——★ 参*考*答*案 ★——课前自主学习知识点 函数的单调性 (1) x 1<x 2 f (x 1)<f (x 2) 增函数 (2) x 1<x 2f (x 1)>f (x 2)减函数(3)单调区间 『微体验』 1．(1)× (2)√ (3)× 2．C『『解 析』』根据函数单调性定义及函数图象知f (x )在『－3,1』上单调递增． 3．C『『解 析』』y ＝x 2－2在(－∞，0』上是减函数，y ＝3x 在(－∞，0)内是减函数. y ＝1＋2x 在R上为增函数，所以在(－∞，0)上是增函数. y ＝－(x ＋2)2在(－∞，－2』上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数． 4．B『『解 析』』因为f (x )在R 上单调递增，且f (m )<f (n )，所以m <n .课堂互动探究探究一 利用定义证明函数的单调性 例1 证明 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2.∵x 2>x 1>1，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，x 1x 2－1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )＝x ＋1x在(1，＋∞)上是增函数．变式探究 解 函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上单调递减．证明如下：∀x 1，x 2∈(0,1)，且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0.∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．跟踪训练1 证明 ∀x 1，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)，因为－1<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， 所以x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．所以y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．探究二 根据函数图象求单调区间例2 解 y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋4，x ≥0，－(x ＋1)2＋4，x ＜0. 函数的图象如图所示：由图象可以看出，在(－∞，－1』和『0,1』上的图象是上升的，在(－1,0)和(1，＋∞)上的图象是下降的，∴函数的单调递增区间是(－∞，－1』和『0,1』，单调递减区间是(－1,0)和(1，＋∞)．跟踪训练2 解 y ＝|x |(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，－x 2＋x ，x ＜0.图象如图所示：由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，0』和⎣⎡⎭⎫12，＋∞；单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，12. 探究三 函数单调性的简单应用例3 解 ∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2＝『x ＋(a －1)』2－(a －1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x ＝1－a . ∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a 』． ∵f (x )在(－∞，4』上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4.解得a≤－3.∴实数a的取值范围是(－∞，－3』．变式探究解若f(x)的单调递减区间为(－∞，4』，则1－a＝4，∴a＝－3. 若f(x)在『4，＋∞)上是增函数，则1－a≤4，∴a≥－3，即a的取值范围为『－3，＋∞)．。

1.3第一课时 函数的单调性和最值（1）一、课前准备 1．课时目标(1)了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思； (2) 理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间；(3) 掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题；能运用函数的单调性定义证明简单函数 的单调性。

2．基础预探（1）在初中已经学习了函数图象的画法为 。

其步骤：第一步 ；第二步 ；第三步 。

(2) 从函数2x y =的图象可以看到其图像特点：图象在y 轴的右侧部分是 的，也就是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着 ，图象在y 轴的左侧部分是 的，也就是说， 当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着 。

（3）增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是 ；若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是 。

（4）若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的） ，这一区间叫做函数)(x f 的 .此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是 的，减函数的图象是 的.（5）判断或证明单调性的步骤：①、 ；②、 ；③、 ；④、 ；⑤、 。

二、学习引领 1、增减函数单调性。

函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =，当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数，在R 上没有单调性。

有的函数没有单调性，如：y=2常数函数。

2、函数的单调区间⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵在区间上取值，应是该区间内任意的两个实数，忽略“需要任意取值”这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

用己知的函数模型解决问题一、课前准备1．课时目标（1）掌握函数的思想方法，即通过求出或构造出函数来解决问题；（2）学会运用函数知识解决某些简单的实际问题；（3）梳理社会生活中普遍使用的函数模型，并进行简单的应用。

2．基础预探（1）叫做一次函数；叫做二次函数；叫做指数函数；叫做对数函数；叫做幂函数。

（2）指数函数的主要性质有，指数函数与对数函数的关系是。

二、基本知识习题化1. 按复利计算，若存入银行5万元，年利率2%，3年后支取，则可得利息(单位:万元) 为（）.A. 5(1+0.02)B. 5(1+0.02)C. 5(1+0.02) -5 C. 5(1+0.02) -52. x克a%盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为（）.A. y=c ac b--x B. y=c ab c--x C. y=a cb c--x D. y=b cc a--x3. 现有含盐15%的盐水400克，张老师要求将盐水浓度变为12%，某同学由于计算错误加进了110克水，要使浓度重新变为12%，该同学该（）A、倒出10千克盐水B、再加入10千克盐水C、加入10千克盐水D、再加入1411克盐4. 拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.5×[m]+1）元给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数（职[3]=3，[3.7]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为元.5. 已知镭经过100年，质量便比原来减少4.24％，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则()y f x=的函数解析式为.三、学习引领1、函数应用题的解题步骤求解函数应用题，关键是考虑该题考查的是何种函数模型，并要注意定义域，然后建立其解析式，最后结合其实际意义作出解答。

解题步骤：第一步：阅理解读审清题意读题主要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

几类不同增长的函数模型一、课前准备1．课时目标1、借助绘图技术，利用函数图像及数据表格，比较一次函数，指数函数，幂函数，对数函数的增长差异；2、结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；3、重点体会现代信息技术在解决实际问题中的作用，将实际问题转化为函数模型，利用手持技术比较一次函数，指数函数，幂函数，对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．基础预探1、实际应用问题的解答关键是、解模并返回到实际问题；2、教材中例1、例2分别是和模型的应用；3、我们学过的函数模型类型由、、、等。

二、基本知识习题化1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为（）.A．1= B. y=21x- C. y=2 D. y=2x2xy+2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（）.A. 一次函数B. 二次函数C. 指数型函数D. 对数型函数3. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y与投放市场的月数x之间的关系可写成. 5. 某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机. 现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有台计算机被感染. （用式子表示）三、学习引领1. 两类实际问题：投资回报、设计奖励方案；2. 几种函数模型：一次函数、对数函数、指数函数；3. 应用建模（函数模型）；4.解决应用题的一般程序：⑴审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；⑵建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；⑶解模：求解数学模型，得出数学结论；⑷还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义。

第三课时建立实际问题的函数模型一、课前准备1．课时目标（1）．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题，（2）．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.2．基础预探常见实际问题的函数模型（1）设原有人口a人，人口的自然增长率为b，则经过x年后，人口数为y ；（2）复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，在计算下一期的利息；（3）本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则本利和y随存期x变化的函数式为（4）放射性元素剩流量为所需要的时间叫做半衰期。

二、基本知识习题化1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p，每期利率为r，存期为x，则本金与利息和．2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p，每期利率为r，存期为x，则本金与利息和．3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，可以用公式表示．三、学习引领1、知识梳理2、解函数应用的基本步骤：第一步：阅读理解，审清题意读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

第二步：引进数学符号，建立数学模型一般设自变量x，函数y，必要时可引入其他相关辅助变量，并用,x y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件运用已掌握的数学知识、物理知识及其相关知识建立关系式，在此基础上，将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型。

第三步：利用数学方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，得到结果；第四步：将所得的结论转译成具体问题的解答。

四、典例导析1、指、对函数的实际应用：例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是O T ,经过一定时间后的温度是T ,则1()()2th a o a T T T T -=-⋅,其中a T 表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88c热水冲的速容咖啡,放在24c的房间中,如果咖啡降到40c需要20min ,那么降温到35c 时,需要多长时间?思路导析：根据题设条件，常设变量，用变量表达函数关系，利用函数知识求解。

第一章 集合与函数概念与性质诊疗一．集合 1. 精要总结集合的有关概念是解决集合问题的基础，也是学习其他数学知识的语言工具，试题多以选择题或填空题的形式出现，主要应用集合的基本概念和元素的特征进行分析和检验. 集合中元素的“三性”是指集合中元素的确定性、元素的互异性和元素的无序性，抓住的集合中元素这三个特性就等于抓住了集合的本质特征，也就抓住了解决问题的理论依据 确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。

因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.当集合为有限集时，一般有列举法，当集合为无限集时，不宜采用列举法，这时，宜用描述法或图示法.对于同一集合，有时既可用列举法又可用描述法，这时应择优选用.集合中的参数问题，是指集合{|p p 适合的条件}中“p 适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性强，难度也较大.因此，解决此为问题要注意思维的严谨性. 2. 错例辨析例1:已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-，若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.误解：∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，得21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩,得33m -≤≤.分析：忽视了空集的特性.A A ∅=.正解：⑴若B =∅，则m+1>2m-1，即2m <此时A B A ⋃= ⑵若B ≠∅，则2m ≥∵B A ⊆，∴21215m m -≤+⎧⎨-≤⎩，得33m -≤≤，则23m ≤≤由⑴⑵可知：m 的取值范围是(,3]-∞ 针对练习1已知集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，若B A Ü，求实数m 的值．例2已知集合{2,,}M a b =，2{2,2,}N a b =且有,M N M N M N ⋃=⋃=求a 、b 的值. 误解：因为,M N M N M N ⋃=⋃=,所以M=N⑴由题意可知：a+2=1或2(1)1a +=或2331a a ++=，解得：a=-1或a=-2或a=0.⑵由题意得：21a a b =⎧⎨=⎩或22a b b a ⎧=⎨=⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩分析：集合中的元素具有三个特性：确定性、互异性、无序性.上述解法中忽视了元素的互异性原则.正解：⑴据元素的互异性可排除-1和2，∴a=0 ⑵据元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或00a b =⎧⎨=⎩针对练习2若{}322427A a a a =--+，，， 223211122(38)372B a a a a a a a a ⎧⎫=+-+---+++⎨⎬⎩⎭，，，，，且{}25A B =，，试求实数a ．例3已知集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}，N={y|y=x+1，x ∈R}，求M ∩N误解：由方程组211y x y x ⎧=+⎨=+⎩得抛物线和直线的交点为(0,0),(1,2).所以M ∩N={(0,0),(1,2)}分析：在集合运算之前，首先要认清集合中元素的特征，集合M={y|y=x 2+1，x ∈R}是数集，此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，属于图形范畴. 正解：M={y|y=x 2+1，x ∈R}={y|y ≥1}，N={y|y=x+1，x ∈R}={y|y ∈R} ∴ M ∩N=M={y|y ≥1} 针对练习3已知{}243A y y x x x ==-+∈R ，，{}222B y y x x x ==--+∈R ，，求A B ．二.函数概念与性质 1.精要总结函数是中学数学中最重要的一个基础概念，定义域、值域、对应法则是它的三个要素．函数实质上是表达定义域到值域的元素之间的一种对应关系，这种对应关系可以是一个元素对应一个元素，也可以是多个元素对应一个元素．函数定义中所涉及的两个集合必须是非空的实数集．由函数定义知，由于函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定，于是确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应关系．因此，只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，才是同一函数．符号)(x f y =是“y 是x 的函数”的数学表示，应理解为：x 是自变量，它是对应关系f 所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，也可以是图象或表格，还可以用文字描述；y 是自变量对应的函数值，当x 为允许的某一具体值时，相应的y 值为与该自变量对应的函数值．对函数奇偶性的学习注意以下几点:①要正确理解奇函数和偶函数的定义.定义是判断或讨论函数的奇偶性的依据，由定义知，若x 是定义域中的一个数值，则x -也必然在定义域中，因此，函数()y f x =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义域在数轴上所示的区间关于原点对称.换而言之，所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具有奇偶性.②奇偶性是函数在定义域上的对称性质.单调性反映函数在某一区间函数值的变化趋势. 函数的奇偶性与单调性是函数的两个重要性质，在解答数学问题时，要善于应用函数的观点，挖掘函数的奇偶性和单调性，并注意奇偶性与单调性的相关关系.③奇函数在0x =有定义，则(0)0f =.事实上(0)(0)f f -=-，所以(0)0f = 对函数单调性的学习注意以下几点:①函数的单调性是针对函数定义域内的某个子区间而言的．有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数.②函数单调性定义中的21,x x ，有三个特征：一是任意性，即“任意取21,x x ”，“任意”二字不能随便丢掉．证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是21,x x 之间有大小，通常规定21,x x ；三是同属一个单调区间．三者缺一不可．③若函数)(x f 在其定义域内的两个区间B A ,上都是增（减）函数，一般不能简单认为)(x f 在B A 上是增（减）函数．如xx f 1)(=在()0,∞-上是减函数，在()+∞,0上也是减函数，但不能说它在定义域()()+∞∞-,00, 上是减函数． 函数单调性的判断及单调区间的确定的常用方法有：①定义法：它是判断函数的单调性及确定函数单调区间的常用方法，一般地函数的单调性证明都是利用定义来完成的．②复合函数法：对于复合函数[])(x g f y =，若)(x g u =,)(x f y =在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则[])(x g f y =为增函数；若)(x g u =,)(x f y =在所讨论的区间上一个增函数，另一个是减函数，则y=[])(x g f y =是减函数．③利用课本习题的结论：在公共定义域上两个增函数的和仍然是增函数，两个减函数的和仍然是减函数. 2. 错例辨析例4:已知函数()f x 的定义域为，求函数(1)f x +的定义域 误解：由于函数()f x 的定义域为，即01x ≤≤，112x ∴≤+≤ ∴(1)f x +的定义域是分析：对函数定义域理解不透，不明白()f x 与(())f u x 定义域之间的区别与联系，其实在这里只要明白：()f x 中x 取值的范围与(())f u x 中式子()u x 的取值范围一致就好了. 正解：由于函数()f x 的定义域为，即01x ≤≤∴(1)f x +满足011x ∴≤+≤10x -≤≤，∴(1)f x +的定义域是针对练习4设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域. 例5:已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f .误解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，∴(2)(2)53f x x x +=+-=-故5(6)()3(6)x x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩，∴(3)f ＝3－3＝0.分析：没有理解分段函数的意义，(3)f 的自变量是3，应代入(2)f x +中去，而不是代入x －5中，只有将自变量化为不小于6的数才能代入解析式求解. 正解：∵ 5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，针对练习5函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-求))5((f . 例6：求函数2()46y f x x x ==-+，[1,5)x ∈的值域. 误解：22(1)14163,(5)545611f f =-⨯+==-⨯+=又[1,5)x ∈，()f x ∴的值域是[)311，分析:对函数定义中，输入定义域中每一个x 值都有唯一的y 值与之对应，错误地理解为x 的两端点时函数值就是y 的取值范围了.正解：配方，得22()46(2)2y f x x x x ==-+=-+∵[1,5)x ∈，对称轴是2x =∴当2x =时，函数取最小值为(2)f =2，()(5)11f x f <= ()f x ∴的值域是[)211，针对练习6求函数242(14)y x x x =-+-≤≤的值域.例7: 函数y=245x x --的单调增区间是_________.误解：因为函数2()54g x x x =--的对称轴是2x =-，图像是抛物线，开口向下，由图可知2()54g x x x =--在(,2]-∞-上是增函数，所以y=245x x --的增区间是(,2]-∞-误解分析：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误. 正解：y=245x x --的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=245x x --的增区间是[5,2]-- 针对练习7 求函数62-+=x x y 的单调区间.例8: 判断函数()(1f x x =+的奇偶性.误解：∵()(1f x x =+=∴()()f x f x -===， ∴()(1f x x =+ 分析：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.正解：()(1f x x =+有意义时必须满足10111x x x -≥⇒-<≤+ 即函数的定义域是｛x ｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 针对练习8判断函数()f x ＝（x 答案及解析本章诊疗 针对练习:1. 由已知，易得 {}32A =-，，B A ∵Ü，{}3B =-∴或{}2或∅．若{}3B =-，由(3)10m -+=，得13m =； 若{}2B =，由210m +=，得12m =-； 若B =∅，由10mx +=无解，得0m =．13m =∴或12m =-或0m =． 2∵A ∩B=｛2，5｝，∴由32275a a a --+=， 解得 2a =或1a =±．当a=1时，2221a a -+=与元素的互异性矛盾，故舍去1a =； 当1a =-时，{}10524B =，，，，，此时{}245AB =，，，这与{}25A B =，矛盾，故又舍去1a =-；当2a =时，{}245A =，，，{}132525B =，，，，，此时{}25AB =，满足题意，故2a =为所求．3. 2243(2)11y x x x =-+=---∵≥，2222(1)33y x x x =--+=-++≤，{}1A y y =-∴≥，{}3B y y =≤， {}13AB y y =-∴≤≤．4. 由题意，得⎩⎨⎧≤-≤≤+≤,10,10m x m x 即⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-,1,1m x m m x m ，解此不等式组，需讨论1-m 与m 的大小.（1）当m m <-1，即21>m 时，不等式组无解，此时函数关系不存在； （2）当m m =-1，即21=m 时，21==m x ； （3）当01>>-m m ，即210<<m 时，m ≤x ≤m -1综上，当0＜m ≤21时，函数)(x g 的定义域为{|x m ≤x ≤m -1}. 5．由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+， 所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+6．2(2)2y x =--+∵ 14x ≤≤，∴ 当2x =时，max 2y =，当4x =时，min 2y =- ∴ 所给函数的值域为[2,2]-．7. )(x f 的定义域为),2[]3,(+∞--∞ ，而62-+=x x y .可由u y =和62-+=x x u 复合而成，而u y =单调递增，42521622-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=x x x u∴u 在]21,(--∞上是减函数，在),21[+∞-上是增函数， ∴所求的单调递增区间为),2[+∞，单调递减区间为]3,(--∞.8.由⎩⎨⎧>-≥+0101x x 或⎩⎨⎧<-≤+0101x x 得[)1,1-∈x ,定义域不关于原点对称,故)(x f 不是奇函数也不是偶函数.。

§ 函数及其表示函数的概念学习目标 .理解函数的概念(重点、难点).了解构成函数的三要素(重点).正确使用函数、区间符号(易错点)．预习教材－，完成下面问题：知识点函数的概念()函数的概念如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) ()函数的定义域和值域一定是无限集合．( )()根据函数的定义，定义域中的任何一个可以对应着值域中不同的.( ) ()在函数的定义中，集合是函数的值域．( )提示 ()×函数的定义域和值域也可能是有限集，如()＝；()×根据函数的定义，对于定义域中的任何一个，在值域中都有唯一确定的与之对应； ()×在函数的定义中，函数的值域是集合的子集． 知识点区间及有关概念 ()一般区间的表示． 设，∈，且<，规定如下：()已知全集＝，＝{<≤}，则∁用区间表示为．解析∁＝{≤或>}，用区间可表示为(－∞，]∪(，＋∞)．答案(－∞，]∪(，＋∞)题型一函数关系的判定【例】()下列图形中，不能确定是的函数的是( )()下列各题的对应关系是否给出了实数集上的一个函数？为什么？①：把对应到＋；②：把对应到＋；③：把对应到；④：把对应到. ()解析任作一条垂直于轴的直线＝，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知不满足要求，因此不表示函数关系．答案()解①是实数集上的一个函数．它的对应关系是：把乘再加，对于任意∈＋都有唯一确定的值与之对应，如当＝－时，有＋＝－与之对应．同理，②也是实数集上的一个函数．③不是实数集上的函数．因为当＝时，的值不存在．④不是实数集上的函数．因为当<时，的值不存在．规律方法.根据图形判断对应是否为函数的方法()任取一条垂直于轴的直线；()在定义域内平行移动直线；()若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的。

1.2.1第一课时 函数的概念一、课前准备 1．课时目标(1) 理解函数的定义； (2) 学会区间的表示；(3) 在分析实例的基础上,掌握简单定义域的求法和函数相等的概念. 2．基础预探（1）复习初中所学函数的概念，强调函数的 思想；（2）阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：①炮弹的 的变化关系问题； ②南极臭氧空洞 的变化关系问题；③“八五”计划以来我国城镇居民的 的变化关系问题 （3）函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有 和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个．记作： ．其中，x 叫做 ，x 的取值范围A 叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的 ． （4）．区间的概念 ①区间的分类： ； ②无穷区间 ；③区间的数轴表示．（5）构成函数三个要素是 ．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等. 二、基本知识 1．函数21++=x xy 的定义域为________________． 2. 下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A.3. 已知2)(x x f =，33)(x x g =，判断两个函数是否为同一个函数.4.设{}22≤≤-=x x M ，{}20≤≤=x y M ，函数)(x f 的定义域为M ，值域为N ，则)(x f 的图象可以是三、学习引领 一、函数概念的理解1.函数的概念中要注意任意性和唯一性这两个性质，指的是在定义域A 内任意的一个元素在数集B 都有唯一的元素与之对应.2.①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 3. ①函数的定义域通常由问题的实际背景确定；②如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；③函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．4. 函数中的定义域A ，集合B 均为数集，并且值域C 与数集B 的关系为B C ⊆. 二、判断函数相等的方法.（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等.（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 四、典例导析题型一 函数的基本概念例1. 若f ：A→B 是从集合A 到集合B 的一个函数，则以下说法正确的是________． ①A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素； ②A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同；③B 中两个元素若在A 中都有对应元素，则它们必定不同； ④B 中的元素在A 中可能没有对应元素．思路分析：由函数的概念可知，判断对应是否为函数，即看A 、B 是否为“非空数集”和对“任意”x 有“唯一”y 与之对应． 答案：①③④正确． 规律总结：①利用函数定义去判断是否为函数主要抓住函数在定义域A 内任意的一个元素在数集B 都有唯一的元素与之对应.②从集合A 到集合B 的函数必须满足：(1)集合A 中的元素在集合B 中都有与之对应的元素；(2)集合B 中的元素可以有剩余；(3)对应关系可以是“多对一”，也可以是“一对一”，但绝不是“一对多”．变式练习1下列图形中，不可能作为函数y ＝f (x )图象的是()题型二 函数和函数值 例2．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x)等于( ) A ．f (x ) B ．－f (x ) C.1f xD.1f－x思路分析：利用函数的定义，要求出f (1x )其实就是将原来的f (x )＝x x 2＋1中的x 换成1x即可.2. 解析：f (1x )＝1x 1x2＋1＝x1＋x2＝f (x )．答案A规律总结：理解对应关系的实质是解答此类问题的关键．关于对应关系f ，它是函数的本质特征，当f ( )中括号内输入一个值时，等式右边的x 均换成所输入的这个值．f (a )(a 为定义域中的一个值)是值域内的一个值，是常量，f (x )表示自变量x 的函数，表示的是变量．变式练习2. 已知q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(-f 的值是________．题型三 函数相等例3.下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ＞－x 2x ＜D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)思路分析：判断函数相等主要看定义域和对应法则，如果相同就是同一函数. 解析：A 中定义域不同，B 中解析式不同，C 中定义域不同．答案：D规律总结：两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.变式练习3.判断下列函数是否为相同函数 f （x ）=x 1+x ，g （x ）=x x +2.题型四 定义域问题 例4.求函数xx y 2)12(0+-=的定义域.思路分析：函数定义域问题要考虑分母不为零，零的零次方无意义. 解析：⎩⎨⎧>≠-0012x x 解得定义域为),21()21,0(+∞⋃规律总结：①定义域求法注意偶次方根为大于等于零，分母不为零，零的零次方无意义等. 在实际问题中除了使解析式有意义，还要考虑实际问题对函数自变量的制约． ②定义域和值域一般用集合或者区间表示. 变式练习4：函数y ＝1x定义域的是________．五、随堂练习1．已知x x x f 2)(2-=，则)3(f = .2. 下列各组函数是同一函数的是( )A ．y ＝|x |x与y ＝1B ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞11－x ，x ＜1C ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1D ．y ＝x 3＋xx 2＋1与y ＝x3．已知函数23212---=x x x y 的定义域为（ ）A ．]1,(-∞B ．]2,(-∞C ．]1,21()21,(-⋂--∞ D ． ]1,21()21,(-⋃--∞ 4.已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)12(f 等于 . 5.给出下面四种对应关系：①A ＝N ＋，B ＝Z ，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B ； ②A ＝N ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝|x －1|，x ∈A ，y ∈B ；③A ＝{x|x 为高一(2)班的同学}，B ＝{x|x 为身高}，f ：每个同学对应自己的身高； 是函数的是 .6. 求下列关于x 的函数的定义域和值域六、课后作业1. 已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1x ，－2x x，使函数值为5的x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－522. 如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )3. 1)(+=x x f ，那么))2((-f f = ；如果3)(=a f ，那么实数a = 。

§1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小值)第1课时 函数的单调性学习目标 1.理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性(重点、难点).2.会求函数的单调区间，判断单调性(重点)．预习教材P27－P28，完成下面问题： 知识点1 增函数与减函数设函数f (x )的定义域为I ，D ⊆I ，对任意x 1，x 2∈D【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知f (x )＝1x，因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )是增函数．( )(2)增减函数定义中的“任意两个自变量的值x 1，x 2”可以改为“存在两个自变量的值x 1，x 2”．( )(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( ) 提示 (1)× 由函数单调性的定义可知，要证明一个函数是增函数，需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大，函数值也越大，而不是个别的自变量．(2)× 不能改为“存在两个自变量的值x 1、x 2”．(3)× 反例：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈(1，2]，x －4，x ∈(2，3).知识点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．【预习评价】(1)函数f (x )＝x 2＋2x －3的单调减区间是________． (2)函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上( ) A ．递减B ．递增C ．先减后增D ．先增后减解析 (1)二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴为x ＝－1，故其单调减区间是(－∞，－1)．(2)函数y ＝|x |的单减区间是(－∞，0)，又[－2，－1]⊆(－∞，0)，所以函数y ＝|x |在区间[－2，－1]上递减．答案 (1)(－∞，－1) (2)A题型一 求函数的单调区间【例1】 (1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数．(2)画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的图象并写出函数的单调区间．(1)解析 观察图象可知，y ＝f (x )的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]．其中y ＝f (x )在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数．答案 [－2,1] [3,5] [－5，－2] [1,3](2)解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．规律方法 根据函数的图象求函数单调区间的方法 (1)作出函数图象；(2)把函数图象向x 轴作正投影；(3)图象上升对应增区间，图象下降对应减区间． 【训练1】 函数y ＝1x －1的单调减区间是________．解析 y ＝1x －1的图象可由函数y ＝1x 的图象向右平移一个单位得到，如图所示，其单调递减区间是(－∞，1)和(1，＋∞)．答案 (－∞，1)，(1，＋∞) 题型二 证明函数的单调性【例2】 证明函数f (x )＝x ＋4x 在区间(2，＋∞)上是增函数．证明 任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2.因为2<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2－4>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )＝x ＋4x 在(2，＋∞)上是增函数．规律方法 利用定义证明函数单调性的步骤【训练2】 证明函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．证明 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 21－1x 22＝x 22－x 21x 21x 22＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)x 21x 22. 因为x 1<x 2<0，所以x 2－x 1>0，x 1＋x 2<0，x 21x 22>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )＝1x 2在(－∞，0)上是增函数．题型三 用单调性解不等式【例3】 已知函数y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (2a －1)，求实数a 的取值范围．解 由题知⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a >2a －1，解得0<a <23，即所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23. 规律方法 利用函数的单调性解不等式的方法当函数f (x )的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f ”脱掉，列出关于未知量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．【训练3】 已知函数f (x )为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围是________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，解得－1≤x <12.答案 ⎣⎡⎭⎫－1，12．答案 (－∞，0)【探究2】 已知函数y ＝x 2＋2ax ＋3在区间(－∞，1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析 函数y ＝x 2＋2ax ＋3的图象开口向上，对称轴为x ＝－a ，要使其在区间(－∞，1]上是减函数，则－a ≥1，即a ≤－1.答案 (－∞，－1]【探究3】 分别作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤1，－2x ＋3，x >1和g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋7，x >1的图象，并根据其图象的变化趋势判断它们在(－∞，＋∞)上的单调性．解 函数f (x )的图象如图(1)所示，由其图象可知f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数； 函数g (x )的图象如图(2)所示，由其图象可知g (x )在(－∞，＋∞)上既不是增函数，也不是减函数．【探究4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤1，－2x ＋a ，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意得，要使f (x )是减函数，需－2×1＋5≥－2×1＋a ，即a ≤5.【探究5】 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋3，x ≤1，ax ＋1，x >1是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥1，a <0，12＋2a ×1＋3≥a ×1＋1，解得－3≤a ≤－1，则实数a 的取值范围是[－3，－1]．规律方法 已知函数的单调性求参数的关注点(1)视参数为已知数，依据基本初等函数的单调性、函数的图象或函数的单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知的单调区间比较求参数；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的函数值的大小关系．课堂达标1．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 2＋1 C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋1解析 函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数． 答案 C2．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)解析 易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．答案 B3．若f (x )＝(2k －3)x ＋2是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 解析 由题意得2k －3>0，即k >32，故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且f (a －1)>f (2a )，则a 的取值范围是________． 解析 由条件可知a －1<2a ，解得a >－1. 答案 (－1，＋∞)5．证明f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．证明 设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋x 1－x 22－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋1)，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1＋x 2＋1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝x 2＋x 在(0，＋∞)上是增函数．课堂小结1．对函数单调性的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x 1，x 2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x 1，x 2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1<x 2；三是属于同一个单调区间．(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)⇔x1<x2(x1>x2)．(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性．2．单调性的证明方法证明f(x)在区间D上的单调性应按以下步骤：(1)设元：设x1，x2∈D且x1<x2；(2)作差：将函数值f(x1)与f(x2)作差；(3)变形：将上述差式(因式分解、配方等)变形；(4)判号：对上述变形的结果的正、负加以判断；(5)定论：对f(x)的单调性作出结论．其中变形为难点，变形一定要到位，即变形到能简单明了的判断符号的形式为止，切忌变形不到位就定号．。

第课时补集及综合应用学习目标.理解全集、补集的概念(难点).准确翻译和使用补集符号和图(重点).会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题(重点)．预习教材－，完成下面问题：知识点补集的概念()全集：①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．②记法：全集通常记作.()补集()设集合＝{}，＝{}，＝{}，则∁(∪)＝.()已知集合＝{，}，集合＝{}，若∁＝{}，则实数＝.解析()∵∪＝{}，∴∁(∪)＝{}．()由∁＝{}知∈且∉，即∈{，}，故＝.答案(){} ()题型一补集的基本运算【例】()设集合＝，＝{>或<}，则∁＝( )．{<<}．{≤≤}．{≤或≥}．{<或>}()已知全集＝{，－＋}，＝{，}，∁＝{}，则实数＝.解析()如图，在数轴上表示出集合，可知∁＝{≤≤}．()由题意可知(\\(＝，－＋＝，))解得＝.答案() ()规律方法求补集的方法()列举法表示：从全集中去掉属于集合的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．()由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集中集合以外的所有元素组成的集合．【训练】()已知全集＝{≥－}，集合＝{－<≤}，则∁＝.()设＝{}，＝{∈＋＝}，若∁＝{}，则实数＝.解析()借助数轴得∁＝{＝－或>}．()∵∁＝{}，∴＝{}，∴是方程＋＝的两个根，∴＝－.答案(){＝－或>} ()－题型二集合交、并、补的综合运算【例】已知全集＝{≤}，集合＝{－<<}，＝{－≤≤}，求∩，(∁)∪，∩(∁)．解利用数轴，分别表示出全集及集合，，先求出∁及∁，再求解．则∁＝{≤－，或≤≤}，∁＝{<－，或<≤}．所以∩＝{－<≤}；(∁)∪＝{≤，或≤≤}；∩(∁)＝{<<}．规律方法.求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到．．求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分．【训练】已知集合＝{<≤}，＝{≤<}，＝{≤<}．求：()(∁)∩(∁)；()∁(∪)；()(∁)∪(∁)；()∁(∩)．解()如图所示，可得∩＝{≤<}，∪＝{≤<}，∁＝{<<或≤≤}，∁＝{<<}∪{}．由此可得：()(∁)∩(∁)＝{<<}∪{}．。