7专题七 三角函数

三角函数包含的知识点总结一、基本概念1. 三角函数的定义三角函数是由角的正弦、余弦、正切等与该角的变量之间的关系来定义的。

在以角为自变量的函数中，这些关系通常用三角函数名称来表示。

角度单位可以是度，也可以是弧度。

2. 正弦、余弦、正切、余切的定义正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）、余切（cot）是最基本的四个三角函数，它们的定义如下：正弦：sinθ = 对边/斜边余弦：cosθ = 邻边/斜边正切：tanθ = 对边/邻边余切：cotθ = 邻边/对边3. 三角函数的周期性正弦、余弦、正切、余切都是周期函数，周期为2π或π，即f(x+2π) = f(x)，或者f(x+π) = f(x)。

4. 三角函数的定义域和值域正弦、余弦、正切的定义域是全体实数；正弦、余弦的值域是[-1,1]，而正切的值域是整个实数集。

二、性质与公式1. 倒数公式tanθ = 1/cotθ，cotθ = 1/tanθsinθ = 1/cscθ，cscθ = 1/sinθcosθ = 1/secθ，secθ = 1/cosθ2. 三角函数的和差化积公式sin(A±B) = sinAcosB±cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB∓sinAsinBtan(A±B) = (tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)3. 三角函数的倍角公式sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos^2A−sin^2Atan2A = 2tanA/(1−tan^2A)4. 三角函数的半角公式sin((1/2)A) = ±√[(1−cosA)/2]cos((1/2)A) = ±√[(1+cosA)/2]tan((1/2)A) = ±√[(1−cosA)/(1+cosA)]5. 三角函数的辅助角公式sin(180°−A) = sinAcos(180°−A) = −cosAtan(180°−A) = −tanAcot(180°−A) = −cotA6. 三角函数的同角变换sin(π−A) = sinAcos(π−A) = −cosAtan(π−A) = −tanAcot(π−A) = −cotA7. 三角函数的万能公式sinA+sinB = 2sin(A+B/2)cos(A−B/2)sinA−sinB = 2cos(A+B/2)sin(A−B/2)8. 三角恒等式sin^2A+cos^2A = 1，cot^2A+1 = csc^2A，tan^2A+1 = sec^2A三、函数图像和性质1. 正弦函数的图像和性质正弦函数y=sin(x)的图像是在直角坐标系中绕原点作周期为2π的振动，函数的最大值为1，最小值为-1，且为奇函数。

三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。

首先，角的概念是基础。

我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。

角可以用弧度制或角度制来度量。

弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。

接下来是三角函数的定义。

在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。

二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。

2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。

3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。

初中三角函数知识点总结一、三角函数的定义三角函数是描述角的一组函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，用来描述角的特性和计算角度的各项属性。

二、角度制和弧度制1.角度制：角度制是以度为单位来度量角的大小。

一个圆共360度，一个直角为90度。

2. 弧度制：弧度制是以弧长与半径的比值来度量角的大小，弧度用符号rad表示。

一个圆共2π弧度，一个直角为π/2弧度。

两种制度的转换公式：角度=弧度×(180/π)，弧度=角度×(π/180)。

三、正弦函数1. 定义：在三角形中，正弦值（sinθ）是指对边与斜边的比值。

2.性质：（1）在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值。

（2）函数定义域：所有实数；值域：[-1,1]。

（3）正弦函数是一个奇函数，即sin(-θ) = -sinθ。

（4）正弦函数周期为2π，即sin(θ + 2πn) = sinθ。

四、余弦函数1. 定义：在三角形中，余弦值（cosθ）是指邻边与斜边的比值。

2.性质：（1）在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值。

（2）函数定义域：所有实数；值域：[-1,1]。

（3）余弦函数是一个偶函数，即cos(-θ) = cosθ。

（4）余弦函数周期为2π，即cos(θ + 2πn) = cosθ。

五、正切函数1. 定义：在三角形中，正切值（tanθ）是指对边与邻边的比值。

2.性质：（1）在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值。

（2）函数定义域：所有实数，除去所有使得cosθ = 0的点；值域：(-∞, ∞)。

（3）正切函数是一个奇函数，即tan(-θ) = -tanθ。

（4）正切函数的周期为π，即tan(θ + πn) = tanθ。

六、割函数、余割函数和余切函数割函数secθ定义为secθ = 1/cosθ，余割函数cscθ定义为cscθ = 1/sinθ，余切函数cotθ定义为cotθ = 1/tanθ。

这三个函数的定义域和性质与正弦、余弦、正切函数类似。

三角函数知识归纳总结三角函数是高中数学中的一门重要内容，主要研究一个三角形的边与角之间的关系。

在解决几何、物理、信号处理等问题时经常会用到三角函数的知识。

下面是对于三角函数的一些常见知识进行归纳总结。

1.基本概念：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别记作sin、cos 和tan。

正弦函数sin A表示角A的对边与斜边之比，即sin A = a / c。

余弦函数cos A表示角A的邻边与斜边之比，即cos A = b / c。

正切函数tan A表示角A的对边与邻边之比，即tan A = a / b。

2.函数图像：正弦函数的图像是一条余弦曲线，范围在[-1,1]之间，周期为2π。

余弦函数的图像是一条正弦曲线，范围在[-1,1]之间，周期为2π。

正切函数的图像是一条无穷的曲线，范围为整个实数轴。

3.基本性质：正弦函数和余弦函数的值在同一角度上相等，只是符号不同。

即sin(A) = cos(90° - A)。

正弦函数和余弦函数在90°的倍数角上都等于0，即sin(0°) = cos(90°) = sin(180°) = cos(270°) = ··· = cos(n × 90°) = 0。

正切函数在0°、180°、360°等等的倍数角上都等于0，即tan(0°) = tan(180°) = tan(360°) = ··· = tan(n × 180°) = 0。

4.三角函数的关系：(1) 三角函数的互余关系：sin(A) = cos(90° - A)，cos(A) =sin(90° - A)。

(2) 三角函数的倒数关系：tan(A) = 1 / cot(A)，cot(A) = 1 /tan(A)。

专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。

三角函数的知识点总结
一、基础概念
定义：在直角三角形中，锐角A的对边a、邻边b和斜边c的比值分别称为角A的正弦、余弦和正切，记作sinA，cosA和tanA。

即sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b。

第二象限角：对于第二象限的角，正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。

第三、四象限角：对于第三象限的角，正弦值为负，余弦值为负，正切值为正；对于第四象限的角，正弦值为负，余弦值为正，正切值为负。

二、三角函数的性质
奇偶性：正弦和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。

周期性：正弦、余弦和正切函数都具有周期性，其最小正周期分别为2π、2π和π。

有界性：正弦和余弦函数的值域为[-1, 1]，正切函数的值域为全体实数。

三、诱导公式
诱导公式用于将角转换到基本区间（0, 2π）或（0, π）内，以便利用基本角的三角函数值求解。

四、三角函数的和差公式、倍角公式、半角公式等
这些公式用于化简和计算复杂的三角函数表达式。

五、反三角函数
反三角函数是三角函数的逆运算，包括反正弦、反余弦和反正切等。

六、三角函数的图像和性质
理解并掌握正弦、余弦和正切函数的图像，包括其周期性、振幅、相位等信息，对于理解和应用三角函数至关重要。

七、三角恒等式和三角不等式
三角恒等式和三角不等式是三角函数中重要的性质，常用于证明和计算。

八、三角函数的应用
三角函数在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用，如波动、交流电、信号处理等。

以上是对三角函数知识点的简要总结，具体学习和掌握还需要结合具体的教材和练习题进行深入学习和实践。

专题七 三角函数的概念、图像和性质一、多选题1．（2020·湖南永州市·高三月考）已知函数()sin f x x x ωω=(0>ω)相邻的最高点的距离为2π，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()y f x =的图象关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称 B ．函数()y f x =的图象关于直线12x π=对称C ．函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[1，2] D ．将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，然后向左平移4π个单位得72sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2．（2020·湖北黄石市·黄石二中高三月考）设函数()2sin sin 2cos2f x x x =++，给出下列四个结论：则正确结论的序号为（ ） A ．()20f >B ．()f x 在53,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增 C ．()f x 的值域为[]12cos2,32cos2-++ D ．()f x 在[]0,2π上的所有零点之和为4π3．（2020·重庆高一月考）已知函数()(sin cos )sin cos f x x x x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．若()()122f x f x +=，则12k 2x x π+=()k ∈Z C ．()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．函数()()1g x f x =+在区间[0,2]π上有且仅有1个零点4．（2020·江苏省黄桥中学高三月考）关于函数()24cos 4sin cos 6f x x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ）A ．若12,x x 是函数()f x 的零点，则12x x -是2π的整数倍 B ．函数()f x 的图象关于点,16π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．函数()f x 的图象与函数216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象相同D ．函数()f x 的图象可由2y x =的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移3π个单位长度得到 二、单选题5．（2020·浙江高一期末）已知函数()cos(2)f x x ϕ=+()R ϕ∈，若()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭且()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭，则函()f x 数取得最大值时x 的可能值为（ ） A ．23π B ．6π C ．3π D ．2π 6．（2020·四川攀枝花市·（文））关于函数()cos |||sin |f x x x =+的下述四个结论中，正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在[,]-ππ有3个零点 D ．()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 7．（2020·全国高三其他模拟（理））已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，点(A ，,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ） A ．直线12x π=是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 的图象可由2sin 2g xx 向左平移3π个单位而得到8．（2020·云南师大附中高三月考（文））已知()2sin cos f x x x =，下列结论中错误的是（ ）A ．()f x 即是奇函数也是周期函数B ．()f x 的最大值为3C ．()f x 的图象关于直线2x π=对称D ．()f x 的图象关于点(),0π中心对称9．（2020·浙江高一单元测试）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一条对称轴与相邻的一个对称中心的距离为4π，将其向右平移6π后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象在区间3[,]4ππ上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 10．（2020·安徽宣城市·高三其他模拟（文））如图，O 与x 轴的正半轴交点为A ，点B ，C 在O 上，且43,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 在第一象限，,1AOC BC α∠==，则5cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45-B ．35C ．35D ．4511．（2020·广东中山市·高一期末）已知函数()2cos f x x = ([0,]x π∈) 的图象与函数()3tan g x x =的图象交于A ，B 两点，则OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为（ ）A ．4π B ．4C ．2π D ．212．（2020·全国高三其他模拟（文））已知函数()()()2cos 22f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++< ⎪⎝⎭图象关于直线0x =对称，由此条件给出5个结论：①()f x 的值域为[]2,2-；②()f x 图像关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 的图像向右平移6π后可得到()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭；④()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；⑤0ϕ=且4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭） A ．①②③④B ．①③④⑤C ．②③⑤D ．③④⑤13．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数()sin (,06f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭）的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移φ(φ0)>个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是 A ．23πB ．3π C ．4π D ．8π 14．（2020·全国高一课时练习）将函数()2cos2f x x =的图象向右平移个6π单位后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]3a和7[2,]6a π上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[,]32ππB ．[,]62ππC ．[,]63ππD ．3[,]48ππ15．（2020·江苏高一课时练习）已知函数()sin()(0,)2f x wx w πϕϕ=+><的最小正周期为π，其图象关于直线6x π=对称．给出下面四个结论：①将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数图象关于原点对称；②点5(,0)12π为()f x 图象的一个对称中心；③1()42f π=；④()f x 在区间[0,]6π上单调递增．其中正确的结论为（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④16．（2020·全国高三专题练习）已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =++-，下列结论正确的是（ ） A ．函数图像关于4x π=对称B ．函数在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()124f x f x +=，则()1222x x k k Z ππ+=+∈D ．函数()f x 的最小值为2-17．（2020·江西赣州市·高三月考（理））已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的是（ ）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m 的取值范围是⎣； ②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数； ③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π； ④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点. A ．①②B ．①③C ．①③④D ．②④18．（2020·湖南长沙市·长沙一中高三月考（理））已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0f π=，且()f x 在区间5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的取值个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1019．（2020·广西柳州市·高三三模（文））若函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的相邻两条对称轴间的距离为2π，且在6x π=取得最大值2，则4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）AB ．1C ．2D20．（2020·全国高三专题练习）已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭21．（2020·全国高三月考（理））已知向量(22cos m x =，()1,sin 2n x =，设函数()1f x m n =⋅-，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数22．（2019·四川成都市·双流中学高三月考（理））已知函数()g x 的图象是由()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到的，若函数()g x 在区间,2a π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的最大值为（ ） A ．83πB ．52πC ．3πD ．73π 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、解答题23．（2021·山西太原市·高一期末）已知函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值； （2）若不等式()1f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围． 24．（2020·深圳实验学校高三月考）已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x πωϕωϕωϕ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2. （1）当[,]24ππx ∈-时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12 （纵坐标变），得到函数()y g x =的图象，当[,]126ππx ∈-时，求函数()g x 的值域. （3）（*）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4[,]63ππx ∈上的根从小到依次为1x ，2x ，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值.25．（2020·新绛县第二中学高一月考）已知函数()12sin 23f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若不等式()2f x m -<在42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数m 的取值范围.26．（2019·湖北黄石市·高二月考）某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域，其中在边长为20米的正方形EFGH 内种植经红色郁金香，在正方形ABCD 的剩余部分（即四个直角三角形内）种植黄色郁金香．现要在以AB 为边长的矩形ABMN 内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积．设GFB θ∠=，AN y =米．（1）求y 与θ之间的函数关系式；（2）求AN 的最大值．27．（2020·全国高三专题练习（理））已知0a >，函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++，当[0,]2x π∈时，()51f x -≤≤. （1）求常数,a b 的值； （2）设()()2g x f x π=+且()lg 0g x >，求()g x 的单调区间.28．（2020·安徽高二月考）若函数()()πcos 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为π4，且当2π3x =时，()f x 取得最小值.（1）求()f x 的解析式；（2）若π5π,46x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 29．（2020·陕西高一期末）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递增区间； （2）当713,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有三个不同的实数根，求m 的取值范围．30．（2020·山西大同市·大同一中高一月考）如图，矩形ABCD 的长AD =宽1AB =，,A D 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上移动，, B C 两点在第一象限.求2OB 的最大值.31．（2020·江苏高三二模）已知函数()()()sin f x A x x R ωϕ=+∈（其中0A >，0>ω，02πϕ<<）的图象与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值及相应的x 的值. 32．（2017·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三期中（理））已知函数()221468x x f x sin cos πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求当04x ≤≤时，()f x 的值域. 四、填空题33．（2019·台州市黄岩中学高一月考）函数()()()1sin 1(13)f x x x x π=---<<的所有零点之和为________.34．（2020·全国高三专题练习）已知函数2sin 3y x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0>ω)在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为______. 35．（2020·全国）函数()13sin cos cos 222f x x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭的最小值为___________________．36．（2020·全国）已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，对任意x ∈R ,()()2f x f x +=-，将函数()f x 的图象向右平移13个单位后，所得图象关于原点中心对称，则函数()y f x =在0,1上的值域为_______. 37．（2020·上海市七宝中学高一期中）函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位后与函数()f x 的图象重合，则下列结论正确的是______. ①()f x 的一个周期为2π-； ②()f x 的图象关于712x π=-对称； ③76x π=是()f x 的一个零点； ④()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减； 38．（2020·渭南市尚德中学高一月考）下列命题中，正确命题的序号是______． ①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是π,2k k Z αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭；③在同一坐标系中，函数sin y x =的图像与函数cos y x =图像在[]0,2π内有1个公共点； ④把函数π3sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像的对称轴是ππ,122=+∈k x k Z ． 39．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））若将函数()()()()1sin 2cos 2022f x x x ϕϕϕπ=+++<<的图象向左平移4π个单位长度，平移后的图象关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()()sin g x x ϕ=+在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为______.五、双空题40．（2020·全国高三专题练习）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知tan(+4Aπ)＝2，则sin A 的值为______，若B ＝4π，a ＝4，则△ABC 的面积等于___．。

辅导专题之七：三角函数一、知识点小结1、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．2、同角三角函数的基本关系：()221sincos 1αα+=()2222sin1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．3、三角函数的诱导公式：sin(),2kk πθ+∈Z 奇变偶不变，符号看象限。

4、（1）函数sin y x =的图象上所有点向左（当ϕ大于零）或向右（当ϕ小于零）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．（2）函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（当ϕ大于零）或向右（当ϕ小于零）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．（3）函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T =-<．5、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值周期 性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．函数 性质对称中心()(),0k kπ∈Z(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭对称轴()2x k kππ=+∈Z()x k kπ=∈Z无对称轴6、两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：sin()sin cos cos sinαβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sinαβαβαβ±=;tan tantan()1tan tanαβαβαβ±±=对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。

三角函数的性质一.1.基础知识精讲：y=sinx y=cosx y=tanx (x y cot =)定义域: R R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≠∈2,|ππk x R x x {}πk x R x x ≠∈,| 值域: [-1,1] [-1,1] R R 周期: 2π 2π π π 奇偶性: 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调区间:增区间;⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 22,22; []πππk k 2,2+-; ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 2,2减区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 223,22; []πππk k 2,2+ 无 对称轴:2ππ+=k xπk x = 无对称中心: ()0,πk ⎪⎭⎫⎝⎛+0,2ππk ⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk （以上均Z k ∈） 2.重点: 三角函数的值域（最值）、周期、单调区间的求法及未经给出的三角函数的特征研究.二.问题讨论 例1[P60]：(1)cos cos()3y x x π=++的最大值是?(2)2sin(3)4y x π=-的图象的两条相邻对称轴之间的距离是.例2.P[60](1)已知f(x)的定义域为[0,1],求f(cosx)的定义域; (2).求函数y=lgsin(cosx)的定义域[思维点拔] 例3：[P61]求函数y=sin 6x+cos 6x 的最小正周期,并求出X 为何值时Y 有最大值.例4求下列函数的值域：（1）3cos 2sin 22-+=x x y （2）10cos 23sin 3+-=x x y解（1）2121cos 21cos 2cos 222-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-=x x x y215,4921cos 41,2121cos 23,1cos 1-≤≤-∴≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤∴≤-≤-∴≤≤-y x x x 即原函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,5 （2）010cos 2≠+x310cos 2sin 3+=-∴y x y x()310sin 492+=-+∴y x y ϕ，其中32tan y =ϕ，由()249310sin yy x ++=-ϕ和()1sin ≤-ϕx得()22249310.149310y y y y +≤+∴≤++,整理得0582≤+y y ,所以085≤≤-y 即原函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,85[思维点拔] 前面学过的求函数的值域的方法也适用于三角函数，但应注意三角函数的有界性 .例5：求下列函数的定义域：1）x y x tan log 221++=（2）x x y cos 21)2sin 2lg(---= 解(1)x 应满足()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+≠>≥≥+z k k x x x x200tan 0log 221ππ,即为()⎪⎩⎪⎨⎧∈+<≤≤<z k k x k x 240πππ所以所求定义域为[]4,2,0ππ⋃⎪⎭⎫⎝⎛(2)x 应满足⎩⎨⎧≥->-0cos 2102sin 2x x ，利用单位圆中的三角函数线可得ππππk x k 24323+≤≤+[思维点拔]先转化为三角不等式，可利用单位圆或三角函数的图象进行求解 所以所求定义域为()z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++432,32ππππ(备用)：已知:函数()()x x x f cos sin log 21-= (1)求它的定义域和值域. (2)判定它的奇偶性. (3)求它的单调区间 （4）判定它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期. 解:(1).由0cos sin >-x x 04sin 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒πx ππππ+<-<∴k x k 242 Z k ∈∴定义域为()Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,452,42ππππ, (]2,04sin 2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ∴值域为.,21⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-(2). 定义域不关于原点对称,∴函数为非奇非偶函数(4).()()()[]πππ2cos 2sin log 221+-==+x x x f (),cos sin log 21x x -=()∴=x f 最小正周期T π2=.[思维点拔] 计算要正确.备用：已知函数()()()θθ+++=x x x f cos 3sin 的一条对称轴为Y 轴,且()πθ,0∈.求θ的值. 解:法一()⎪⎭⎫⎝⎛++=3sin 2πθx x f ,令u x =++3πθ,则()u x f sin 2=,其对称轴为()Z k k x u ∈+=++=,23πππθ,由题意,0=x ,23πππθ+=+k ,即,6ππθ+=k ()πθ,0∈∴令0=k ,得6πθ=[思维点拔]合一法是个好办法.法二.由()()x f x f =- 得:()()θθ+-++-x x cos 3sin()(),cos 3sin θθ+++=x x θθθθsin sin 3cos cos 3sin cos cos sin x x x x +++-⇒θθθθsin sin 3cos cos 3sin cos cos sin x x x x -++=即:()6,,0,33tan cos sin sin sin 3πθπθθθθ=∴∈=⇒= x x [思维点拔]显然知道三角函数的对称轴,对解题有好处.三.课堂小结 ：1.熟记三角函数的图象与各性质很重要.2.设参φω+=x u 可以帮助理解,熟练了以后可以省却这个过程.3.要善于运用图象解题四．作业布置（略） 五．课后体会。