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华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A.3B.C.D.22、课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的影长BC为24米，那么旗杆AB的高度约是（）A.12米B. 米C.24米D. 米3、已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )A.2a＋2b－2cB.2a＋2bC.2cD.04、三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A.12B.14C.12或14D.以上都不对5、在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则cosB的值为A. B. C. D.6、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝，BC＝1，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE折叠，得到多边形AFGE，点B，C的对应点分别为点F、G.在点E从点C移动到点D的过程中，则点F运动的路径长为（）A.πB. πC. πD. π7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则sinB的值是（）A. B. C. D.8、已知锐角α，且sinα=cos38°，则α=（）A.38°B.62°C.52°D.72°9、已知sinA= ，那么锐角等于（）A.15°B.30°C.45°D.60°10、已知两条线段的长度分别为２cm、８cm，下列能与它们构成三角形的线段长度为（）A.４cmB.６cmC.８cmD.１０cm11、在△ABC中，若，则∠C的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°12、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A.1，2，3B.3，4，5C.3，1，1D.3，4，713、如图，是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为（）A.4 mB.6 mC.8 mD.12 m14、平行四边形的对角线分别为x、y，一边长为 12，则x、y 的值可能是（）A.8 与 14B.10 与 14C.18 与 20D.4 与 2815、如图是某河坝横断面示意图，迎水坡，为背水坡，过点A作水平面的垂线,设斜坡的坡度为，坡角为，斜坡的坡度为，坡角为，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 AB=4 cm，则阴影部分的面积是________cm217、如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点.若=1，则矩形的面积为________.18、纸片中，，将它折叠使与重合，折痕交于点，则线段的长为________．19、如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120 m，这栋楼的高度BC是________m（≈1.732，结果取整数）.20、如图，在△ABC中，已知BC=5，，∠C=30°，EF 垂直平分BC，点 P 为直线EF上一动点，则 AP+BP 的最小值是________.21、在等腰△ABC中，AB＝AC，如果cosC＝，那么tanA＝________．22、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为________.23、如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是________.24、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则sinA=________25、如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：.27、为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入.(其中AB=9m，BC=0.5m)为标明限高，请你根据该图计算CE.(精确到0.1m)（参考数值，，）28、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a= ，b= ，求这个直角三角形的其他元素。
第2课时仰角、俯角问题1．使学生掌握仰角、俯角的意义，并学会正确地判断；(重点)2．初步掌握将实际问题转化为解直角三角形问题的能力．(难点)一、情境导入在实际生活中，解直角三角形有着广泛的应用，例如我们通常遇到的视线、水平线、铅垂线就构成了直角三角形．当我们测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．今天我们就学习和仰角、俯角有关的应用性问题．二、合作探究探究点：利用仰(俯)角解决实际问题【类型一】利用仰角求高度星期天，身高均为16米的小红、小涛到一个公园，用他们所学的知识测算一座塔的高度．如图，小红站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小涛站在B处测得塔顶的仰角β为30°，他们又测出A、B两点的距离为415，假设他们的眼睛离头顶都是10c，求塔高(结果保留根号)．解析：设塔高为，利用锐角三角函数关系得出PM的长，再利用P＝tan30°，求出的值即可．解：设塔底面中心为O，塔高，MN∥AB与塔中轴线相交于点P，得到△PM、△PN是直角三角形，则－（16－01）PM＝tan45°，∵tan45°＝1，∴PM＝P＝－15在Rt△PN中，PPN＝tan30°，即－15－15＋415＝33，解得＝833＋894答：塔高为833＋894方法总结：解决此类问题要了解角与角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．【类型二】利用俯角求高度如图，在两建筑物之间有一旗杆EG，高15米，从A点经过旗杆顶部E点恰好看到矮建筑物的墙角点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°若旗杆底部G点为B的中点，求矮建筑物的高D解析：根据点G是B的中点，可判断EG是△AB的中位线，求出AB在Rt△AB和Rt△AFD中，利用特殊角的三角函数值分别求出B、DF，继而可求出D的长度．解：过点D作DF⊥AF于点F，∵点G是B的中点，EG∥AB，∴EG是△AB 的中位线，∴AB＝2EG＝30在Rt△AB中，∵∠AB＝30°，∴B＝AB tan∠BA＝30×33＝103在Rt△AFD中，∵AF＝B＝103，∴FD＝AF·tanβ＝103×33＝10，∴D＝AB－FD＝30－10＝20答：矮建筑物的高为20方法总结：本题考查了利用俯角求高度，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．【类型三】利用俯角求不可到达的两点之间的距离如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21的建筑物D的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少(精确到01，参考数据：2≈141，3≈173)?解析：在Rt△AD中，根据已知条件求出A的值，再在Rt△BD中，根据∠EDB＝45°，求出B＝D＝21，最后根据AB＝A－B，代值计算即可．解：∵在Rt△AD中，D＝21，∠DA＝30°，∴A＝Dtan30°＝2133＝213∵在Rt△BD中，∠EDB＝45°，∴∠DB＝45°，∴B＝D＝21，∴AB＝A－B＝213－21≈153()．则河的宽度AB约是153方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．【类型四】仰角和俯角的综合某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们到与建筑物AB在同一平地且相距12的建筑物D上的处观察，测得此建筑物顶部A的仰角为30°、底部B的俯角为45°求建筑物AB的高(精确到1，可供选用的数据：2≈14，3≈17)．解析：过点作AB的垂线E，垂足为E，根据题意可得出四边形DBE是正方形，再由BD＝12可知BE＝E＝12，由AE＝E·tan30°得出AE的长，进而可得出结论．解：过点作AB的垂线，垂足为E，∵D⊥BD，AB⊥BD，∠EB＝45°，∴四边形DBE是正方形．∵BD＝12，∴BE＝E＝12，∴AE＝E·tan30°＝12×33＝43()，∴AB＝43＋12≈19()．答：建筑物AB的高为19方法总结：本题考查的是解直角三角形的应用中仰角、俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．三、板书设计1．仰角和俯角的概念；2．利用仰角和俯角求高度；3．利用仰角和俯角求不可到达两点之间的距离；4．仰角和俯角的综合．备课时尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学过程中的每一个细节．上课前多揣摩，让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，舍得把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率。
第24章 解直角三角形24.4解直角三角形第2课时 俯角、仰角问题学习目标：1.理解仰角、俯角的概念（重点）.2.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题（难点）.自主学习一、新知预习当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做_______，在水平线下方的角叫做_______．合作探究一、探究过程 探究点：利用仰角、俯角解决实际问题 【问题1】 如图，为了测量山的高度AC ，在水平面B 处测得山顶A 的仰角为30°，AC ⊥BC ，从B 出发沿着BC 方向向前走1000 m ，到达D 处，又测得山顶A 的仰角为45°，求山的高度AC (结果保留根号)．【归纳总结】在解直角三角形时，若仰角、俯角不是直角三角形的内角时，应利用已知条件将它转化为直角三角形的内角，再利用直角三角形的边角关系列方程求解．【问题2】 如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB ，已知观察点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆顶的仰角∠ECA 为30°，旗杆底边的俯角∠ECB 为45°，那么旗杆AB 的高度是( )A ． (82＋83)mB ．(8＋83)mC ．(82＋833)mD ．(8＋833)m 【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．【针对训练】1.如图,某飞机在空中A 处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B 的俯角为α,若测得飞机与目标B 之间的距离AB 大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度AC .2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树10m的E处,测得树顶的仰角∠ACD=54°.已知测角器的架高CE=1.5 m,求树高AB(精确到0.1 m.参考数据：tan54°≈1.38).二、课堂小结仰角俯角问题图解在进行高度测量时，由视线与水平线所夹的角中，当视线在水平方向上时，叫做_____角；当视线在水平方向下时，叫做_____角当堂检测1．如图某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞机高度AC＝b（m），从飞机上看地面上挥台B的俯角为α，则飞机A到指挥台B的距离为（）A．m B．b cosαm C．m D．B sinαm第1题图第2题图2．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点5m 的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°，若测角仪的高度是1.6m，则旗杆AB的高度约为（）（精确到0.1m，参考数据：＝1.73）A．8.6m B．8.7m C．10.2m D．10.3m3．为加快5G网络建设，某移动通信公司在山顶上建了一座5G信号通信塔AB，山高BE＝100米（A，B，E在同一直线上），点C与点D分别在E的两侧（C，E，D在同一直线上），BE⊥CD，CD之间的距离1000米，点D处测得通信塔顶A的仰角是30°，点C 处测得通信塔顶A的仰角是45°（如图），则通信塔AB的高度约为（精确到1米.参考数据：≈1.414，≈1.732）.A．350 B．270 C．200 D．150第3题图第4题图4．如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝米（结果保留根号）．5．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是米（结果保留根号）．6．如图，无人机A的高度为270m，从A处看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看底部C的俯角为60°，求这栋大楼的高度BC．能力提升7．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝308米，步行道BD＝336米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．参考答案 自主学习一、新知预习仰角 俯角合作探究一、探究过程【问题1】解：在Rt △ABC 中，由tan B ＝，得BC ＝＝3AC ①， 在Rt △ACD 中，由tan ∠ADC ＝，得CD ＝＝AC ②，由①﹣②，得BD=（3-1）AC=1000m,则AC=131000 =500（+1）（m ）．即山高为500（+1）m ． 【问题2】 D【针对训练】 1. 解：由题意得∠B ＝α，∠C ＝90°．∴sinB ＝sin α≈0.52．∵sinB ＝，∴AC ＝AB •sinB ＝2400×0.52＝1248（米）． 答：飞机飞行的高度约为1248米．2. 解：由题易得四边形CEBD 是矩形，BD ＝CE ＝1.5 m .在Rt △ACD 中，CD ＝EB ＝10 m ， ∠ACD ＝54°，∵tan ∠ACE ＝，∴AD ＝CD •tan ∠ACD ≈10×1.38＝13.8 (m).∴AB ＝AD +BD ＝13.8+1.5＝15.3(m)．答：树的高度AB 约为15.3 m ．二、课堂小结仰俯当堂检测1.C2.D3.2664.（20﹣20）5. （15+15）6.解：过点A作AD⊥BC，交CB延长线于点D，由题意可知：∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴AB＝CB.设BD＝x m，∴AB＝2x m，∴CB＝AB＝2x m.∴CD＝BC+DB＝3x m.由题意可知CD＝270 m，∴3x＝270.∴x＝90.∴BC＝2x＝180 m.即大楼的高度为180 m.7.解：作DE⊥BC于E，DF⊥AC于F.则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC.在Rt △DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝168米，∴FC＝DE＝168米，∴AF＝AC﹣FC＝308﹣168＝140（米）.在Rt△ADF中，∵∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝140（米）. 答：电动扶梯DA的长为140米．~。
解直角三角形的方法口诀
口诀(一)
已知一边一锐角，求其余边和余角．
求出它们很是绕，概括三句口诀妙．
求直角边用乘，求斜边用除灵．
是对边用正，是邻边用余．
有斜边用弦，无斜边用切．
[注]：余边、余角即其余边和其余角．已知角的三角函数，求直角边用乘，求斜边用除．当已知边为斜边时，求对边用正弦，求邻边用余弦．已知一直角边求另一直角边用正切和余切．
口诀(二)——选用关系式
选用关系式归纳为：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便．
已知直边求直边，正切余切理当然．
已知两边求一边，勾股定理最方便．
已知两边求一角，函数关系要选好．
已知锐角求锐角，互余关系要记牢．
已知直边求斜边，用除还需正余弦．
计算方法要选择，能用乘法不用除．
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第24章解直角三角形24.1测量教学反思教学目标1.能够借助刻度尺等工具进行测量.2.能用测得的数据计算出物体的高度和宽度.3.会采用类比、归纳的学习方法测量物高和河宽.教学重难点重点：探索测量距离的几种方法.难点：选择适当的方法测量物体的高度或长度.教学过程复习巩固直角三角形两锐角、三边之间的关系：如图，在Rt △ABC中，∠C＝90°.角：∠A+ ∠B＝90°.边：AC2 + BC2 ＝AB2.导入新课【问题1】活动1（小组讨论，教师点评)思考：当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？教师引出课题：第24章解直角三角形24.1测量探究新知探究点用不同的方案进行测量活动2（小组讨论，教师点评)要求：（1）画出测量图形；（2）写出需要测量的数据(可以用字母表示需要测量的数据)；（3）根据测量数据写出计算旗杆的高度的比例式.一、影长法原理：在太阳光线下，同一时刻中，物高与影长成正比.得比例式：ABED＝BCDF.【总结】利用太阳光，量出竹竿在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度、竹竿的高度，便可构造出相似三角形，从而求出旗杆的高度.二、平面镜法原理：根据反射角等于入射角，再利用等角的余角相等，可得一组角相等，再根据物与地面垂直，得出一组直角，得两个三角形相似，列出比例式求解.得比例式：AB AE CD CE.三、标杆法教学反思原理：构造相似三角形.得比例式：HF GF AE GE=.AB＝AE+EB四、测倾器法方法：1.在测点D安置测倾器，测得点B的仰角∠BAC＝34°；2.量出测点D到物体底部E的水平距离DE＝l0米；3.量出测倾器的高度AD＝1.5米.现在若按1：500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A B C'''，可得△ABC∽△A B C'''，可得比例式：BC AC B C A C=''''.根据比例尺1∶500，可求得BC，得BE＝BC+CE.合作探究，解决问题（小组讨论，教师点评）典例讲解（师生互动）例如图，小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8 m、与旗杆相距22 m，求旗杆的高度.【探索思路】(引发学生思考)观察法：构建相似三角形模型→得出比例线段→代入数据求解.【解】∵ED⊥AD，BC⊥AC，∴ED∥BC，∴△AED∽△ABC，教学反思∴ED AD BC AC＝.∵AD＝8 m，AC＝AD+CD＝8+22＝30(m)，ED＝3.2 m，∴BC＝ED ACAD＝12 m，∴旗杆的高度为12 m.【题后总结】(学生总结，老师点评)已知两个直角三角形中某些边的数据，我们可以考虑运用直角三角形相似的知识来求未知边的长度.【即学即练】一条大河两岸的A、B处分别立着高压线铁塔，如图所示.假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法.(要求：画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案)【探索思路】(引发学生思考)转化法：作辅助线，将测AB的长转化为在河岸同一侧测与AB相等线段的长，考虑利用三角形的全等来构建测量模型.【解】在河南岸AB的垂线BF上取两点C、E，使CE＝BE，再定出BF的垂线CD，使A、E、D在同一条直线上，这时测得CD的长就是AB的长.【题后总结】(学生总结，老师点评)在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解.课堂练习1.如图，小华晚上由路灯A下的B处走到C时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知小华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于()A.4.5米B.6米C.7.2米D.8米2.九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度.3.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？教学反思参考答案1.B2.【解】∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE，∴CGAH＝EGEH，即CD EFAH-＝EGFD BD+，∴3 1.6AH-＝2215+，解得AH＝11.9.∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5(m).故旗杆AB的高度为13.5 m.3.【解】如图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，即AC为红莲的长.在Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h+3，BC＝6.由勾股定理，得AC2＝AB2+BC2，即(h+3)2＝h2+62，所以h2+6h+9＝h2+36，6h＝27，解得h＝4.5.即水深4.5尺.课堂小结(学生总结，老师点评)用不同的方案进行测量：（1）影长法；（2）平面镜法；（3）标杆法；（4）测倾器法.原理：1.利用物体在阳光下的影子进行测量的根据是在同一时刻，物高与影长成比例.2.利用直角三角形进行测量的根据是勾股定理.3.构造相似三角形进行测量的根据是对应边成比例，对应角相等.布置作业教材第101页练习第1，2题，第101页习题24.1第1，2题.板书设计课题第24章解直角三角形24.1测量用不同的方案进行测量：例题（1）影长法；（2）平面镜法；（3）标杆法；（4）测倾器法.教学反思。
