北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程复习课件

二、解一元二次方程的方法 各种一元二次方程的解法及使用类型
一元二次方程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解
适用的方程类型 (x+m)2＝n（n ≥ 0）
x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) （x + n）＝0
针对训练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ A ）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.
公式法：a 1，b -4，c -1.
【易错提示】求出m值有两个1和-1，由于原方程是一元二次 方程，所以1不符合，应引起注意.
针对训练
2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值 为 -1 .
考点三 一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ A ）
A. (x-1)2=6
B.(x+2)2=9
b2 - 4ac=-42 -4 1 -1 =20 0.
方程有两个不相等的实数根
x b
b2 4ac -4
20 2
5.
2a
2 1
x1 2 5, x2 2 5.
4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤）.
配方法：移项，得x2 4x 1. 配方,得x2 4x 22 1 22.
三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤：

• 7、 x２ -x-３=０ ( 公法式）
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2 bx c 0a 0
根的判式是:
b2 4ac
一元二次方程 ax2 bx c 0a 0
判别式的情况 根的情况
定理与逆定理
b2 4ac 0 两个不相等实根 0
6. 作答注意单位。
两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
解 : 设较小的数为x,根据题意,得
xx 4 45.
整理得x2 4x 45 0. 解得x1 5, x2 9.
x 4 5 4 9,或x 4 9 4 5.
答 : 这两个数为5,9或 9,5.
一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手, 有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多 少?
A.m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠ ±2
解一元二次方程的方法有几种?
1．直接开平方法
直接开平方法的理论依据是平方根的定义．直接开平
方法适用于解形如(x＋a)2＝b(b≥0)的一元二次方程，
根据平方根的定义可知x＋a是b的平方根，当b≥0时，
x＝
；当b＜0时，方程没有实数根．
2．配方法
x1 28 818 56; x2 28 818 0均不合题意 ,舍去.
答 : 不能剪,正方形的面积和不可能 等于200 cm2.
小结
一元二次方程也是刻画现实世界的有效数 学模型.
用列方程的法去解释或解答一些生活中的现象 或问题是一种重要的数学方程方法——即方 程的思想.
恐惧自己受苦的人，已经因为自己的恐惧在受苦。
(1)配方法的基本思想：转化思想，把方程转化成(x＋

【解析】当k+1=0,即k=-1时,方程为-2x+1=0,解得 x= 1 .
2
当k+1≠0,即k≠-1时,Δ=(-2)2-4(k+1)≥0,解得k≤0
且k≠-1.
综上所述,k的取值范围是k≤0.
【明·技法】 根据b2-4ac判断根的情况的“三步骤”
(1)将方程化为一般形式,确定a,b,c的值. (2)求出b2-4ac的值. (3)根据b2-4ac的值与0的大小关系判断一元二次方程 根的情况.
答:乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为 100元.
适用于方程一边等 于0,另一边易因式 分解的情况
【题组过关】
1.(2019·广东模拟)关于x的一元二次方程(m-2)x2
+3x+m2-4=0有一个根是0,则m的值为
世纪金榜导
学号( B )
A.2
B.-2
C.-2或2
D.0
2.(2019·资阳中考)a是方程2x2=x+4的一个根,则代数 式4a2-2a的值是____8____. 3.(2019·南京秦淮区期中)关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a,b,c是常数,a≠0)配方后为(x+1)2=d(d 为常数),则 b =____1____. 世纪金榜导学号
【明·技法】 一元二次方程的解法最优选择
解法
形式
备注
直接开
x2=p(p≥0)
应用于特殊结构
平方法 (mx+n)2=p(p≥0,m≠0) 的方程
配方法 (x-m)2=n(n≥0)
最基本的方法
解法
形式
备注
公式法
ax2+bx+c=0

第二章 一元二次方程单元复习
一元二次方程的应用类型：互赠、握手问题，增长率 （病毒传染）问题，面积问题，营销问题，勾股定理问 题等．
互赠、握手问题 1.毕业晚会上同学们互相送照片，每人给其他同学送一
张照片，一共送出90张照片，设会上有x人，根据题 意，可列方程为__x_（__x_－__1_）__＝__9_0_. 2.举行篮球比赛，每两个队进行一场比赛，共赛了15场， 参加比赛的队伍有___6__支．
解：设横、竖彩条的宽度分别为2x cm，3x cm，
则（20－6x）（30－4x）＝20×30×
1－
1 3
，
解得x1＝
5 6
，x2＝10.
当x1＝
5 6
，横彩条宽度为
5 ×2＝
6
5（cm），
3
竖彩条宽度为 5 ×3＝ 5（cm）.
6
2
当x2＝10，10×2＝20， 不符合题意，舍去．
15.（2023·深圳光明区校级月考）2023年杭州亚运会吉 祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35 元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价 格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的 销售量为400件．
上底多4，则可列方程为__12_（__x＋__x_＋_4_）__（__x＋ __1_）_＝ __6__.
7.一个长方形的面积为8 m2，长比宽多2 m，设长方形的 宽为x m，根据题意，可列方程为 ___x_（__x_＋__2_）__＝__8__.
8.用长8 m的绳子围成一个面积为4 m2的长方形，设长方 形一边为x m，根据题意，可列方程为_x_（__4_－__x_）__＝__4．
（1）求y与x之间的函数关系式． 解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），

3. 根据题中的等量关系列出方程。
4. 解方程得出方程的解。
5. 检验看方程的解是否符合题意。
2.一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方
程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为
、
和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
① ax2 bx c 0
（ ×）
② x3 1
（× ）
x
③ (2x 3)(；2x 3) 4x2 2x 3 （ × ）
程
配方法： 适应于任何一个一元二次方程
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
因式分解法：
适应于左边能分解为两个一次式 一元二次方程的应用 的积，右边是0的方程
列方程解应用题的解题过程。
1. 审清题意，弄清题中的已知量和未知量找 出题中的等量关系。
2. 恰当地设出未知数，用未知数的代数式表 示未知量。
2.若a是方程
的一个根，则代数
式
的值是＿＿＿＿
3. 解方程：
( x2 1)2 5( x2 1) 4 0
一元二次方程的定义
把握住：一个未知数，最高次数是2， 整式方程
一般形式：ax²+bx+c=0（a 0）
一
直接开平方法：
元
二
次 方ห้องสมุดไป่ตู้
一元二次方程的解法 型
适应于形如（x-k）² =h（h>0）
③求b2－4ac的值；
④当b2－4ac≥0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式 求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根．
4．分解因式法 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程变形为右边是0的形式； (2)将方程左边分解因式； (3)令方程左边的每个因式为0，转化成两 个一次方程； (4)分别解这两个一次方程，它们的解就 是原方程的解．

请你谈一谈 某学校要建一个长方形花园，花园一边靠墙（墙长18米）,另三边用花形铁栅栏围成，铁栅栏长为35米。
④适当方法：(2x-3)(x-4) = 3 ① 方程有两个不等实根
一块矩形耕地的尺寸如图所示：要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且保证余下的可耕地面
在本节课中的收获与困惑 积为9600米2 ，那么水渠应挖多宽？
②方程有两个相等实根
③方程无实数根
4、一元二次方程的解法：
课堂检测
C．m = -2 D．
m ≠ ±2
为
，常数项为
。
4、 AD是⊿ABC的高，四边形EFHG是面积为15cm2的矩形，BC=10cm，AD=8，求矩形的长和宽。
解方程： 2、一元二次方程的一般形式：
① 花园的面积能达到150m2吗？
有一根为零，求m的值及另一根。
① x – 2 2 5、（x+3)2=2x(x+3)
有一个解为2，那么k的值为 。 ① 花园的面积能达到150m2吗？
2 x–3=0
③分解因式法：2（x-3）2 = x2 – 9
A．m = ± 2 B．m = 2
一块矩形耕地的尺寸如图所示：要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠，如果水渠的宽相等，而且保证余下的可耕地面
D
应用题
一块矩形耕地的尺寸如图所示：要在这块地 上沿东西和南北方向分别挖2条和4条水渠， 如果水渠的宽相等，而且保证余下的可耕地 面积为9600米2 ，那么水渠应挖多宽？
64米
162米
某学校要建一个长方形花园，花园一 边靠墙（墙长18米）,另三边用花形铁 栅栏围成，铁栅栏长为35米。 ① 花园的面积能达到150m2吗？

相同点： 方程两边都是整式;都含有一个未知数
不同点： 方程①中的未知数x最高次是1次 方程②中的未知数x最高次是2次
你能结合方程①给 方程②起一个名字吗？
一元二次方程的定义
方程x2-16x+25=0的两边都是整式，只含有一个未知
数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方 程叫做一元二次方程。
①方程a≠0，b,c可以为零？
当a=0时
bx+c=0
当a≠0，b=0时
ax2+c=0
当a≠0，c=0时
ax2+bx=0
当a≠0，b=0,c=0时 ax2=0
一元二次方程的一般情势 ax2+bx+c=0中
二次项系数 a
ax2
二次项
一次项系数 b
bx
一次项
c
常数项
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须 先将方程化为一般情势。
教学课件
数学 九年级上册 北师大版
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
认识一元二次方程
问题1 5x-15=0
这是一个什么样的方程？
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式 方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）
问题 2 XXX休闲中心有一个长为10m，宽为6m的游泳 池，
数；
一次项为bx，一次项系数为b；常数项为c。
现想将游泳池的面积改造成35m2，若长宽同时减
10
解：设少减相少同x米的，长则度长，为问(减10少-x多) 少米？
x
米，宽为(6-x)米
10-x
6
6-x
(10-x)(6-x)=35

7、若方程 (m 2)xm 2 2(m 1 )x20
是关于x的一元二次方程，则m的值为 2 。
8、关于y的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般
形式是 2y2-6y+,4=0
它的二次项系数是__2___,一次项是_-_6__y_。
9、已知方程x2+kx = - 3 的一个根是-1，则
k= 4 , 另一根为_x_=__-_3_
2、足球表面是由若干黑色五边形和白色六边形皮块围成 的，黑、白皮块的数目比为3：5，一个足球的表面一共 有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少？
3、某种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的。如 图，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形。
设白皮有 x 块，则黑皮有 32-x 块，每块白皮 有六条边，共 6x 条边，因每块白皮有三条边和 黑皮连在一起，故黑皮共有 3x 条边，
（1）已知一元二次方程ax2+bx+c=0,a、b、c任 取2、－4、0三个数中的任一个数，分别写出这 些一元二次方程.
答案：2x2-4x=0， -4x2+2x=0， 2x2-4=0， -4x2+2=0
（2）指出下列各数是不是方程 3x－2 = 4＋x的解？
⑴x =－2 ⑵ x =3
（3）写出一个一元一次方程，使它的 解是2；
解得 x11,0x230
检验：x11,0x230都符合实际
答（略）
10、星星超市经销某品牌食品，购进该商品的单价为 每千克２元，物价部门规定该商品销售单价不得高于 每千克７元，也不得低于每千克２元．经市场调查发 现，销售单价定为每千克７元时，日销售量为６千克； 销售单价每降低０．１元，日均多售出０．２千 克．当该商品销售单价定为每千克多少元时，该商品 利润总额为３０元？

4 x

2
3x 1 0
b b 4ac
2
公式法：
x
2a
（求根公式）
用公式法的条件是:适应 于任何一个一元二次方程， 先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0，再求出b2-4ac 的值，
当b2-4ac>0 时，方程有两个不相等的实数根； 方程根的情况与 当b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0 时，方程没有实数根.
本章要求掌握内容
• 1.会区分一元二次方程，会写一元二次方程的 一般形式。 • 2.会用一元二次方程的四种方法（开平方法， 配方法，公式法，分解因式法）灵活解一元二 次方程。 • 3.(补充)根的判别式及根与系数的关系.
• 4.阅读训练:会用一元二次方程解决实际问题.
5.解一元二次方程的实际问题一般步骤是：
2
(3) x 2 1
2
3x
(4) ( 2 x 3 ) 4 ( 2 x 3 )
2
(5) ( 3 x 2 ) 4 ( x 3 )
(6) x 9 x 3
2
已 知 :3 是 方 程 x m x 1 2 0的 一 根 , 求 另 一 根 及 m的 值 .
2
解 : 把 x=3代 入 方 程 中 得 3 3m 12 0 3m 21 m 7 2 当 m 7时 , 方 程 为 : x 7 x 1 2 0
( x 3)( x 4 ) 0 x 3 0或 x 4 0 x1 3, x 2 4 答 : m值 为 7,另 一 根 为 4.
2
x1 3Biblioteka , x2 3(b 4 a c 0 )

合作探究
一元二次方程的定义
1.下列方程中一元二次方程的个数是( B
)
①2x－3＝x2＋2x－3；②ax2＋bx＋c＝0；③(x＋2)(x－2)

2
＝(x＋1) ；④x＋ ＝1；⑤(x＋1)(x＋2)＝2x2－3.

A.1
B.2
C.3
D.4
合作探究
2.(1)将方程3x2＝5x＋2化为一元二次方程的一般形式为
减20元，但最低不能低于每台440元.乙公司一律按原售价的75%
促销.某单位需购买一批图形计算器.
(1)若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花
费较少？
(2)若此单位恰好花费7500元，在同一家公司购买了一定数
量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？
合作探究
解:(1)在甲公司购买6台图形计算器需要用6×(800－20×6)
第二章 一元二次方程
第二章 复习课
复习目标
1.知道一元二次方程的概念，掌握本章所学的解一元二次方
程的配方法、公式法、分解因式法，会合理选择方法解具体的
一元二次方程，并在解方程的过程中体会转化等数学思想.
2.会用根的判别式判别一元二次方程的根的情况，会用根与
系数的关系解决问题.
3.利用一元二次方程的有关知识解决实际问题，并能根据具
二次方程.
预习导学
5.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的情况可以由 b2－
4ac 的值来确定，因此，我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程
根的判别式，用符号“Δ”表示.Δ＞0，方程有
两个不相等
的实数根；Δ＝0，方程有 两个相等 的实数根；Δ＜0，方程
没有 实数根.

3．方程 x2－2x－1＝0的解是___________．
活动三：挑战中考
考点3 一元二次方程的代数应用（考查频率：★★★★☆） 命题方向：（1）球队比赛问题；（2）增长率问题；（3）其他一元二次方 程问题．
4．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），
计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
活动一：自主学习
一
2
整式
ax2+bx+c＝0(a≠0) 相等 根
活动二：自主学习
因式分解法
配方
配方法
mx＋n
移项
b2－4ac
一般形式 ax2＋bx＋c＝0
（b≥0）的形式，再利用因式分解法求解．
活动二：自主学习
两个一次因式的积
降次
考点3 一元二次方程的实际应用
9.列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为： 审、设、列、解、验 、考查频率：★★☆☆☆）
命题方向：（1）利用一元二次方程的根求一元二次方程的系数； ( 2 )已知方程的一个根，求方程的另一个根．
考点4 一元二次方程的几何应用（考查频率：★★★☆☆）
命题方向：（1）用一元二次方程解决图形的面积问题； （2）其他与几何图形有关的数学问题．
6或12或10
活动四：拓展延伸 1、试求 x2+4x+1 的最小值。
2、试求 ﹣x2+4x+1 的最大值。
活动四：拓展延伸
3、如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ 6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以 1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以 2cm/s的速度移动.