北师大版九年级数学上册第二章习题课件全套
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2019年秋九年级数学上册第二章一元二次方程第5课时应用一元二次方程(1)课件(新版)北师大版
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可 以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m.根 据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了.
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1） m，由题意得:
课堂精讲
x（25﹣2x+1）=80， 化简，得x2﹣13x+40=0， 解得x1=5，x2=8， 当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时， 26﹣2x=10＜12， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.
∵0＜t＜4.5，
∴t=1.5，
则1.5秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半.
故答案为1.5.
课后作业
3.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的 矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形 绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之 间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行 道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是 （C ） A.x2+9x﹣8=0 B.x2﹣9x﹣8=0 C.x2﹣9x+8=0 D.2x2﹣9x+8=0
课堂精讲
【解答】解：
设t秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半，
则可得此时PC=AC﹣AP=12﹣2t，CQ=BC﹣BQ=9﹣2t，
∴△ABC面积为
= ×12×9=54，
△PCQ的面积为
= （12﹣2t）（9﹣2t），
∵△PCQ的面积是△ABC面积的一半，
∴（12﹣2t）（9﹣2t）=27，
解得t=9或 ，
①甲方案设计图纸为图l,设计草坪的总面积为600m2. ②乙方案设计图纸为图2,设计草坪的总面积为600m2. ③丙方案设计图纸为图3,设计草坪的总面积为540m2.
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为 xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1） m，由题意得:
课堂精讲
x（25﹣2x+1）=80， 化简，得x2﹣13x+40=0， 解得x1=5，x2=8， 当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时， 26﹣2x=10＜12， 答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m.
∵0＜t＜4.5，
∴t=1.5，
则1.5秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半.
故答案为1.5.
课后作业
3.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的 矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形 绿地，它们的面积之和为60米2，两块绿地之 间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行 道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是 （C ） A.x2+9x﹣8=0 B.x2﹣9x﹣8=0 C.x2﹣9x+8=0 D.2x2﹣9x+8=0
课堂精讲
【解答】解：
设t秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半，
则可得此时PC=AC﹣AP=12﹣2t，CQ=BC﹣BQ=9﹣2t，
∴△ABC面积为
= ×12×9=54，
△PCQ的面积为
= （12﹣2t）（9﹣2t），
∵△PCQ的面积是△ABC面积的一半，
∴（12﹣2t）（9﹣2t）=27，
解得t=9或 ，
①甲方案设计图纸为图l,设计草坪的总面积为600m2. ②乙方案设计图纸为图2,设计草坪的总面积为600m2. ③丙方案设计图纸为图3,设计草坪的总面积为540m2.
2022九年级数学上册 第2章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程习题课件北师大版
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第2章 一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
提示：点击 进入习题
1
(1)0 (2)两个一次因 式 (3)一元一次方程
2 17
6D 7A
3C
8B
4D
9A
5A
10 B
答案显示
11 见习题
16 见习题
12 (1)① (2)②③ (3) 17 见习题 ④⑤ (4)⑥
13 D
18 见习题
14 C
15 见习题
(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为x1＝－3，A )
A．甲错误，乙正确
B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
8．(2020·金昌)已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0 的一个根，则m的值为( B )
A．－2或2 B．－1 C．2 D．0
(2)若一个三角形的一条边的长为 2 6，另外两条边的长是关于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解，试判断该三角形的形状，并说明 理由．
解：当 a＝－4 3，b＝12 时，关于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 即为 x2－4 3x＋12＝0，解得 x1＝x2＝2 3. ∵(2 3)2＋(2 3)2＝(2 6)2， ∴以 2 3，2 3，2 6为三边长的三角形是等腰直角三角形．
14．方程9(x＋1)2－4(x－1)2＝0的正确解法是( C ) A．直接开平方得3(x＋1)＝2(x－1) B．化成一般形式为13x2＋5＝0 C．分解因式得[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0 D．直接得x＋1＝0或x－1＝0
15．解下列方程： (1)(2020·南京)x2－2x－3＝0；
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第2章 一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
提示：点击 进入习题
1
(1)0 (2)两个一次因 式 (3)一元一次方程
2 17
6D 7A
3C
8B
4D
9A
5A
10 B
答案显示
11 见习题
16 见习题
12 (1)① (2)②③ (3) 17 见习题 ④⑤ (4)⑥
13 D
18 见习题
14 C
15 见习题
(x＋3)(x－3)＝0，得方程的根为x1＝－3，A )
A．甲错误，乙正确
B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都正确 D．甲、乙都错误
8．(2020·金昌)已知x＝1是一元二次方程(m－2)x2＋4x－m2＝0 的一个根，则m的值为( B )
A．－2或2 B．－1 C．2 D．0
(2)若一个三角形的一条边的长为 2 6，另外两条边的长是关于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 的解，试判断该三角形的形状，并说明 理由．
解：当 a＝－4 3，b＝12 时，关于 x 的方程 x2＋ax＋b＝0 即为 x2－4 3x＋12＝0，解得 x1＝x2＝2 3. ∵(2 3)2＋(2 3)2＝(2 6)2， ∴以 2 3，2 3，2 6为三边长的三角形是等腰直角三角形．
14．方程9(x＋1)2－4(x－1)2＝0的正确解法是( C ) A．直接开平方得3(x＋1)＝2(x－1) B．化成一般形式为13x2＋5＝0 C．分解因式得[3(x＋1)＋2(x－1)][3(x＋1)－2(x－1)]＝0 D．直接得x＋1＝0或x－1＝0
15．解下列方程： (1)(2020·南京)x2－2x－3＝0；
北师大版九年级上册数学课件 第二章2
新课导入
• 什么是方程的解？ • 使方程左右两边相等的未知数的值，就叫做方程的
解. • 什么叫做一元一次方程？ • 只含有一个未知数，并且未知数的次数为“1”的
整式方程，叫做一元一次方程.它的一般形式是： ax﹢b﹦0(a,b为常数,a≠0)
新课讲解
知识点1 一元二次方程的解
合作探究
1.学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底 增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
新课讲解
典例分析
例
1 方程x2+x－12＝0的两个根为( D ) A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
新课讲解
练一练
1 下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可
知方程x2－x＝2的解是( D )
A. x＝－1
B. x＝0
所以1<x<1.5.
进一步计算：
x x2＋12x－15
1.1
1.2
1.3 1.4
－0.59 －0.84 2.29 3.76
所以1.1<x<1.2. 因此x的整数部分是1，十分位是1.
课堂小结
1. 能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做 一元二次方程的解
2. 用估算法判断一元二次方程解的取值范围，具体步骤 如下：
新课讲解
讨论
如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根， 那么字母b的值为( B )
A. 3 B. －3 C. 4 D．－4
根据根的意义，将x＝2直接代入方程的左右两边，就可得到以b为
未知数的一元一次方程，求解即可．
结论 判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法： 将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等， 则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．
九年级数学上册一元二次方程应用一元二次方程课件北师大版
答案
(x-1);
1 2
x(x-1);
1 2
x(x-1)=28;x2-x-56=0;x1=8,x2=-7;x=8;8
解析 设应邀请x支球队参赛,则每队共打(x-1)场比赛,比赛总场数用代
数式表示为 1 x(x-1).
2
根据题意,可列出方程 1 x(x-1)=28.
2
整理,得x2-x-56=0, 解得 x1=8,x2=-7. 合乎实际意义的解为 x=8. 答:应邀请 8支球队参赛.
销售单价/元
x
销售量y/件
销售玩具获得的利润W/元
(2)在(1)问的条件下,若商场获得了10 000元的销售利润,求该玩具的销 售单价应定为多少元.
分析 (1)由销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具,得y=600-(x-40)×10= 1 000-10x,W=(1 000-10x)(x-30)=-10x2+1 300x-30 000; (2)令-10x2+1 300x -30 000=10 000,解这个方程即可求出x的值.
A.7 m
图2-6-1 B.8 m
C.9 m
D.10 m
答案 A 设原正方形空地的边长为x m,依题意得(x-3)·(x-2)=20,解得x1 =7,x2=-2(不合题意,舍去),∴原正方形空地的边长为7 m.故选A.
3.已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少4,这个两位数十位和个
位交换位置后,新两位数与原两位数的积为1 612,那么这个两位数是 ( )
4.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛
一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?学习以下解答过
程,并完成填空.
北师大版九年级上册数学全册教学课件
1 2
BD.
∵AC＝6cm，BD＝12cm，
∴AO＝3cm，BO＝6cm.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
AB AO2 BO2 32 62 3 5 cm.
∴菱形的周长＝4AB＝4×3 5 ＝12 5 (cm)．
例2 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E， CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
欣赏视频，前面的图片中出现的图形是平行四边形， 和视频中菱形一致，那么什么是菱形呢？这节课让 我们一起来学习吧.
讲授新课
一 菱形的性质
思考 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角 大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等, 这个特殊的平行四边形叫什么呢?
平行四边形 邻边相等
菱
形
归纳总结
定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
D.对角线相等
2.如图，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则
△ABD的周长等于
（B）
A.18
B.16
C.15
D.14
3.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长
是 __3_c_m__.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120 °，则∠BAC＝
___3_0_°__.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，
1
九年级数学上（BS） 教学课件
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
1.了解菱形的概念及学其习与目平行标四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点 ）
北师大版九年级上册数学课件 第二章2
结论
等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知 数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
新课讲解
典例分析
× × √ 例
1
下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋
1 x
＝2；③x2－x－2＝0；
× × ④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二
次方程的有 1 个.
那么m的值为( C )
A．3
B．3
C．－3
D．以上都不对
新课讲解
知识点2 一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过整理，都能化成如下形式：
ax²+bx+c=0 (a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .
为什么要限制
a ≠0， b， c
可以为0吗？
新课讲解
二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项：
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2－8x－10＝0. 所以二次项系数为3，一次项系数为－8， 常数项为－10.
新课讲解
知识点03 一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方 程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
练一练
下面哪些数是方程 x2 – 4x +3 = 0 的解? -2，0 ，1，2，3，4.
新课导入
知识回顾
判断下列式子是否是一元一次方程：
x 9 6.5 2
2 0.3x 5 11 2
x
（1）只有一个未知数 一元一次方程 （2）未知数的指数是一次
（3）方程的两边都是整式
新课导入
情境导入
在设计人体雕像时， 使雕像的上部 (腰以上)与下部(腰以下)
231公式法课件北师大版数学九年级上册
当堂训练：（15分钟）
1、一元二次方程y2+2y-4=0的根的情况是：
2、用公式法解方程 x2-3x-2=0
3、若一元二次方程x2-4x+m=0有两个相等 的实数根，求m的值。
变式1、关于x的一元二次方程 x2 2x m 0
有两个实根，则m的取值范围是—— .
解：b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
2a
2a
b b2 4ac
x
2a
ax2+bx+c=0 (a≠0) 一元二次方程的求根公式：
条件：当b2 4ac 0时
b b2 4ac x
2a
a，b，c 是什么？
任何时候都能使用求根公式吗？
求根公式 ：x b b2 4ac (a≠0， b2-4ac≥0)
2a
例一:用公式法解方程 x2 -7x-18=0
1.把方程化为一般形式
ax2 bx c 0 a 0
写出方程的各项系数与常数项a、b、c
2.求出 b2 4ac 的值，看 b2 4ac 是否大
于等于0.
注意：当 b2 4ac 0 时，方程无解。
3.代入求根公式 x b b2 4ac
2a
4.写出方程的解： x1、x2
温馨提示
用公式法解一元二次方程时应注意哪些问题呢？
(2).解方程： 4x2 1 4x
一般步骤
解：原方程化为：4x2 4x 1 0
化
∴ a 4, b 4, c 1,
b2 4ac (4)2 4 41 0 验
x b b2 4ac (4) 0 1
代
2a
24 2
x1
x2
1 2
求
求根公式 ：x b b2 4ac (a≠0， b2-4ac≥0)
北师大版 数学九年级上册第二章《2.1 认识一元二次方程》课件
知识模块二 一元二次方程有关概念的应用
(一)自主探究
1．下列方程中，是一元二次方程的是( C )
A．x2＋2y－1＝0 C．2x2＝2x－1
B．x＋2y2＝5
D．x2＋ 1 －2＝0 x
2．将方程(x＋3)2＝8x化成一般形式为__x_2－__2_x_＋__9_＝__0___， 其二次项系数为__1____，一次项系数是_－__2___，常数项是 __9____ ．
练习
1．关于x的方程(a－1)x2＋3x＝0是一元二次方程，则a的取 值范围是_a_≠__1__ ．
2．已知方程(m＋2)x2＋(m＋1)x－m＝0，当m满足_m__＝__－__2 时，它是一元一次方程；当m满足_m_≠_－__2__ 时，它是一元二次 方程．
3．(易错题)已知关于x的方程(m－2)x|m|＋3x－4＝0是一元二
xm
3．你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ (1)(100－2x)(50－2x)＝3600 (2)(x＋6)2＋72＝102
归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且 未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化 成如下形式： ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a 是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
(二)合作探究
1．问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个 角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分 折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底 面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
答：由题意可列方程：(100－2x)(50－2x)＝3600
2.1一元二次方程北师大版九年级数学上册习题PPT课件2
长a、率b分为别x，称依为题二意4次可项．列系方数【程和为一内( 次项蒙)系数古． 赤峰中考】某品牌手机三月份销售400万部，四月份、五月份销售
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 分 C．析1：00观(1察 ＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为 点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 分 C．析1：00观(1察 ＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为 点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
秋北师大版九年级数学上册习题课件：2.5 一元二次方程的根与系数的关系(共22张PPT)
(2)(x＋1)2＝4x(x－1)． 解：整理得：3x2－6x－1＝0， x1＋x2＝2, x1x2＝－13.
4. 若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋k－3＝0 的两 个实数根为 x1，x2，且满足 x1＝3x2，试求出方程的两个 实数根及 k 的值．
解：x1＝3，x2＝1，k＝6.
5. (2017·南充)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(m －3)x－m＝0.
◎基础训练
1. (2017·烟台)若 x1，x2 是方程 x2－2mx＋m2－m－
1＝0 的两个根，且 x1＋x2＝1－x1x2，则 m 的值为( D )
A．－1 或 2
B．1 或－2
C．－2
D．1
【解析】由题意，x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－m－1， ∵x1＋x2＝1－x1x2，∴2m＝1－(m2－m－1)，解得
7. 若两个不等实数 m、n 满足条件：m2－2m－k＝0， n2－2n－k＝0.
(1)求 k 的取值范围； (2)若 m2＋n2 的值是 6，求 k 的值．
解：(1)由已知得 m、n 分别是方程 x2－2x－k＝0 不
相等的实数根，Δ＝4＋4k>0，得：k>－1.
(2)由 m＋n＝2，mn＝－k， m2＋n2＝(m＋n)2－2mn，得 4＋2k＝6, 解得 k＝1.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/122021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月12日星期日2021/9/122021/9/122021/9/12 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/122021/9/122021/9/129/12/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/122021/9/12September 12, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/122021/9/122021/9/122021/9/12
北师大版九年级上册数学 2.2 第2课时 配方法(优质) 教学课件
1 2x2 1 3x；
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 ,
22
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
即
x
3 4
2
1 16
,
移项和二次项系数
由此可得 x 3 1 ,
3
为什么方程 两边都加12？
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
上式都不成立，所以原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
+(
3 2
)2= (
3 2
)2
-
2,
（t -
3 2
）2
=
1 4
.
移项,得
（t - 3 ）2 = 1 ,
2
2
即
t - 3 = 1 ,或 t - 3 = 1 .
22
2
2
所以
t1= 2 , t2 = 1 .
即在1s或2s时，小球可达10m高.
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
规律总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得 x2 3 x 1 ,
22
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
即
x
3 4
2
1 16
,
移项和二次项系数
由此可得 x 3 1 ,
3
为什么方程 两边都加12？
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，
上式都不成立，所以原方程无实数根．
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
移项时需注意改变符号.
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤. ①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
+(
3 2
)2= (
3 2
)2
-
2,
（t -
3 2
）2
=
1 4
.
移项,得
（t - 3 ）2 = 1 ,
2
2
即
t - 3 = 1 ,或 t - 3 = 1 .
22
2
2
所以
t1= 2 , t2 = 1 .
即在1s或2s时，小球可达10m高.
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
规律总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.
①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
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A．1 000(1＋x)2＝3 990 B．1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3 990 C．1000(1＋2x)＝3 990 D．1 000＋1 000(1＋x)＋1 000(1＋2x)＝3 990
【点拨】月平均增长率是x，则该企业二月份的营业额为 1000(1＋x)万元，三月份的营业额为1000(1＋x)2万元，依 题意，得1000＋1000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3990.故选B.
*4.若关于x的方程2x2＋mx＝4x＋2中不含x的一次项，则m
等于( B ) A．0 B．4 C．－4
D．±4
【点拨】方程2x2＋mx＝4x＋2整理得2x2＋(m－4)x－
2＝0.∵不含x的一次项，故m－4＝0，m＝4.故选B.
5．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－D．0
12＝0的正确构图是 ________．(只填序号)
【点拨】∵x2－4x－12＝0即x(x－4)＝12，∴构图中大正 方形的面积是(x＋x－4)2，它又等于四个矩形的面积加上 中间小正方形的面积，即4×12＋42，据此易得x＝6.故答 案为②.
【答案】②
9．若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程， 则不等式kx－2k＋6≤0的解集为______________． 错解：x≤0或x≥4 诊断：当方程是一元二次方程时，不仅要使未知数的 最高次数是2，还要使二次项的系数不为0.本题就是忽 视了二次项的系数k－3≠0这一条件，而导致错解． 正解：x≥4
【答案】B
*8.【2019·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数 学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0即x
(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著 的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图) 中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，其中它又等于四个矩形的 面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x ＝2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的 小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－
正确，请给出正确的做法. 解：都不正确，均考虑不全面．正确解法如下：
欲使 x2a＋b－3xa－b＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则
2a＋b＝2， a－b＝2
或
2a＋b＝2， a－b＝1
或
2a＋b＝2， a－b＝0
或
2aa－＋bb＝＝21，或2aa－＋bb＝＝20. ，
解得ab＝＝43－，23或ab＝＝10，或ba＝＝2323， 或ab＝＝1－，1或ba＝＝－23，43.
10．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0. (1)k为何值时，此方程是一元一次方程？ 解：当 2k＋1＝0，且 4k≠0，即 k＝－12时，方程
(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0 化为－2x－32＝0，此时为一 元一次方程．
(2)k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元 二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：当 2k＋1≠0，即 k≠－12时，此方程为一元二次方 程，其二次项系数是 2k＋1，一次项系数是 4k，常数 项是 k－1.
12．若 x2a＋b－3xa－b＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，求 a， b 的值．下面是两名同学的解法． 甲：根据题意，得2aa－＋bb＝＝12. ，解得ab＝＝10，.
乙：根据题意，得2aa－＋bb＝＝12，或2aa－＋bb＝＝21. ，
解得ab＝＝10，或ab＝＝1－，1.
你认为上面两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不
6．【2019·遵义】新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜 爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量 全球第一，2016年销量为 50.7万辆，销量逐年增加，到 2018年销量为125.6万辆，设年平均增长率为x，可列方程 为( A )
A．50.7(1＋x)2＝125.6 B．125.6(1－x)2＝50.7 C．50.7(1＋2x)＝125.6 D．50.7(1＋x2)＝125.6
11．结合题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般 形式(不用求解)．
(1)【中考·梅州】用一条长40 cm的绳子围成一个面积为 64 cm2的矩形，求矩形的长；
解：设矩形的长为x cm，则x(20－x)＝64.化成一般形 式为x2－20x＋64＝0.
(2)在元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每 两名同学之间都互相赠送一张，这样一共赠送了90张， 求这个数学小组有多少名同学． 解： 设这个数学小组有y名同学，则y(y－1)＝90.化成一 般形式为y2－y－90＝0.
A．±3
B．3
C．－3
D．无法确定
【点拨】mm－ 2－37≠＝0，2，解得 m＝－3，本题易忽略一元二
次方程的系数 m－3≠0 这一条件而错选 A.
3．把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值
分别是( A )
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
【 点 拨 】 年 平 均 增 长 率 为 x ， 则 可 列 方 程 为 50.7(1 ＋ x)2 ＝ 125.6.故选A.
7．【2019·日照】某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展， 某企业一月份的营业额是1 000万元，月平均增长率相同， 第一季度的总营业额是3 990万元．若设月平均增长率是x， 那么可列出的方程是( )
BS版九年级上
第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程
1．下列关于 x 的方程一定是一元二次方程的是( D )
A．ax2＋bx＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋1x＝2
D．x2－x－2＝0
*2．如果方程(m－3)x m2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方
程，那么m的值为( C )
13．教材或资料会出现这样的题目： 把方程12x2－x＝2 化为一元二次方程的一般形式，并 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．
【点拨】月平均增长率是x，则该企业二月份的营业额为 1000(1＋x)万元，三月份的营业额为1000(1＋x)2万元，依 题意，得1000＋1000(1＋x)＋1 000(1＋x)2＝3990.故选B.
*4.若关于x的方程2x2＋mx＝4x＋2中不含x的一次项，则m
等于( B ) A．0 B．4 C．－4
D．±4
【点拨】方程2x2＋mx＝4x＋2整理得2x2＋(m－4)x－
2＝0.∵不含x的一次项，故m－4＝0，m＝4.故选B.
5．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－D．0
12＝0的正确构图是 ________．(只填序号)
【点拨】∵x2－4x－12＝0即x(x－4)＝12，∴构图中大正 方形的面积是(x＋x－4)2，它又等于四个矩形的面积加上 中间小正方形的面积，即4×12＋42，据此易得x＝6.故答 案为②.
【答案】②
9．若关于x的方程(k－3)x|k|－1－x－2＝0是一元二次方程， 则不等式kx－2k＋6≤0的解集为______________． 错解：x≤0或x≥4 诊断：当方程是一元二次方程时，不仅要使未知数的 最高次数是2，还要使二次项的系数不为0.本题就是忽 视了二次项的系数k－3≠0这一条件，而导致错解． 正解：x≥4
【答案】B
*8.【2019·宁夏】你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数 学家还研究过其几何解法呢！以方程x2＋5x－14＝0即x
(x＋5)＝14为例加以说明．数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著 的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图(如下面左图) 中大正方形的面积是(x＋x＋5)2，其中它又等于四个矩形的 面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，据此易得x ＝2.那么在下面右边三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的 小正方形网格格点上)中，能够说明方程x2－4x－
正确，请给出正确的做法. 解：都不正确，均考虑不全面．正确解法如下：
欲使 x2a＋b－3xa－b＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则
2a＋b＝2， a－b＝2
或
2a＋b＝2， a－b＝1
或
2a＋b＝2， a－b＝0
或
2aa－＋bb＝＝21，或2aa－＋bb＝＝20. ，
解得ab＝＝43－，23或ab＝＝10，或ba＝＝2323， 或ab＝＝1－，1或ba＝＝－23，43.
10．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0. (1)k为何值时，此方程是一元一次方程？ 解：当 2k＋1＝0，且 4k≠0，即 k＝－12时，方程
(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0 化为－2x－32＝0，此时为一 元一次方程．
(2)k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元 二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 解：当 2k＋1≠0，即 k≠－12时，此方程为一元二次方 程，其二次项系数是 2k＋1，一次项系数是 4k，常数 项是 k－1.
12．若 x2a＋b－3xa－b＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，求 a， b 的值．下面是两名同学的解法． 甲：根据题意，得2aa－＋bb＝＝12. ，解得ab＝＝10，.
乙：根据题意，得2aa－＋bb＝＝12，或2aa－＋bb＝＝21. ，
解得ab＝＝10，或ab＝＝1－，1.
你认为上面两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不
6．【2019·遵义】新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜 爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量 全球第一，2016年销量为 50.7万辆，销量逐年增加，到 2018年销量为125.6万辆，设年平均增长率为x，可列方程 为( A )
A．50.7(1＋x)2＝125.6 B．125.6(1－x)2＝50.7 C．50.7(1＋2x)＝125.6 D．50.7(1＋x2)＝125.6
11．结合题意列出方程，并将其化成一元二次方程的一般 形式(不用求解)．
(1)【中考·梅州】用一条长40 cm的绳子围成一个面积为 64 cm2的矩形，求矩形的长；
解：设矩形的长为x cm，则x(20－x)＝64.化成一般形 式为x2－20x＋64＝0.
(2)在元旦前夕，某班数学小组的同学互相赠送卡片，每 两名同学之间都互相赠送一张，这样一共赠送了90张， 求这个数学小组有多少名同学． 解： 设这个数学小组有y名同学，则y(y－1)＝90.化成一 般形式为y2－y－90＝0.
A．±3
B．3
C．－3
D．无法确定
【点拨】mm－ 2－37≠＝0，2，解得 m＝－3，本题易忽略一元二
次方程的系数 m－3≠0 这一条件而错选 A.
3．把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值
分别是( A )
A．1，－3，10
B．1，7，－10
C．1，－5，12
D．1，3，2
【 点 拨 】 年 平 均 增 长 率 为 x ， 则 可 列 方 程 为 50.7(1 ＋ x)2 ＝ 125.6.故选A.
7．【2019·日照】某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展， 某企业一月份的营业额是1 000万元，月平均增长率相同， 第一季度的总营业额是3 990万元．若设月平均增长率是x， 那么可列出的方程是( )
BS版九年级上
第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程 第1课时 一元二次方程
1．下列关于 x 的方程一定是一元二次方程的是( D )
A．ax2＋bx＋c＝0
B．x2＋1－x2＝0
C．x2＋1x＝2
D．x2－x－2＝0
*2．如果方程(m－3)x m2－7－x＋3＝0是关于x的一元二次方
程，那么m的值为( C )
13．教材或资料会出现这样的题目： 把方程12x2－x＝2 化为一元二次方程的一般形式，并 写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．