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湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的一个重要内容。
在此之前，学生已经学习了直角三角形的性质、勾股定理等知识。
本节课主要让学生掌握解直角三角形的应用，即如何利用直角三角形的性质解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，引导学生学会运用解直角三角形的方法解决生活中的问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的概念和性质有一定的了解。
但是，他们在解决实际问题时，往往不知道如何将数学知识运用到具体情境中。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握解直角三角形的应用方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生解决问题的能力。
3.情感、态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，并运用解直角三角形的方法解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生发现问题，提出解决方案。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的求知欲。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、黑板、直角三角板等教学工具。
2.学生准备：课本、练习本、直角三角板等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如测量旗杆高度、房屋面积等，引导学生发现这些问题都可以通过解直角三角形来解决。
从而激发学生的学习兴趣，引入新课。
2.呈现（10分钟）教师展示教材中的例题，引导学生观察题干，分析问题。
然后，教师通过讲解，展示解直角三角形的步骤和方法。
4.4 解直角三角形的应用教学目标1.使学生理解直角三角形的意义；2.使学生能够用直角三角形的三个关系式解直角三角形；3.通过列方程解直角三角形，培养学生运用代数方法解几何问题的能力；4.培养学生运用化归的思想方法将未知的问题转化为已知的问题去解决. 教学重点和难点正确运用直角三角形中的边角关系解直角三角形是重点；选择适当的关系式解直角三角形是难点. 教学过程设计一、直接运用三个关系解直角三角形 1.定义.由直角三角形中已知的边和角，计算出未知的边和角的过程，叫做解直角三角形. 2.解直角三角形依据.图6-32，直角三角形ABC 的六个元素(三条边，三个角)，a,b,c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，除直角C 外，其余五个元素之间的关系如下：(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2(勾股定理) (2)锐角之间的关系： ∠A ＋∠B ＝90°. (3)边角之间的关系： sinA ＝c aA =∠斜边的对边；cosA ＝c bA =∠斜边的邻边；tanA ＝baA A =∠∠的邻边的对边；cotA ＝abA A =∠∠的对边的邻边；这三个关系式中，每个关系式都包含三个元素，知其中两个元素就可以求出第三个元素 .(1)是已知两边求第一边；(2)是已知一锐角求另一角；(3)是已知两边求锐角，已知一边一角求另一边.这些关系式是解直角三角形的依据，已知其中两个元素(至少有一个是边)就可以求出其余的三个未知元素. 3.例题分析.例1 △ABC 中，∠C 为直角，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a,b,c,且b ＝3,∠A ＝30°，解这个直角三角形.分析：①未知元素是∠B ，a ，c ； ②∠B 最容易求，∠B ＝90°－∠A ；③由tanA ＝b a，可以求a ； ④由cosA ＝ca，可以求c ；解：①∠B ＝90°-∠A =90°－30°＝60°； ②因不tanA ＝ba ， 所以a ＝b ·tanA ＝3×tan30°＝3333=⨯； ③因为cosA ＝ca，问：(1)用cotA 是否可以求出a?从而说明要优选关系式. (2)求c 边还可以用什么方法?(答：也可以用勾股定理求得)练习1 在△ABC 中，∠C ＝90°，c ＝2,∠B ＝30°,解这个直角三角形. (答：∠A ＝60°，a ＝，b ＝1.)例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，，求∠A 、∠B 、c 边.分析：此题解法灵活性很强.求c 边可根据求得，也可先用正(余)切求出∠A(或∠B)，再用正余弦求得c 边。
4．4 解直角三角形的应用第1课时俯角和仰角问题教学目标【知识与技能】比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．【过程与方法】通过学习进一步掌握解直角三角形的方法．【情感态度】培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．【教学重点】应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．【教学难点】选用恰当的直角三角形，分析解题思路．教学过程一、情景导入，初步认知海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用．二、思考探究，获取新知1．某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m 的山峰顶点B处的水平距离．你能帮他想出一个可行的办法吗？分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．2．如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度．(结果精确到1m)解：在Rt△ABC 中，∠BAC ＝25°，AC ＝1000m ，因此tan25°＝BC AC ＝BC1000∴BC ＝1000×tan25°≈466.3(m)，∴上海东方明珠塔的高度(约)为466.3＋1.7＝468米．【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣．教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题．三、运用新知，深化理解1．如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α＝16°31′，求飞机A 到控制点B 的距离．(精确到1米)分析：利用正弦可求． 解：在Rt△ABC 中sin B ＝AC AB∴AB ＝ACsin B ＝12000.2843≈4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?分析：在Rt△ABD 中，α＝30°，AD ＝120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地可以求出CD ，进而求出BC .解：如图，α＝30°，β＝60°，AD ＝120.∵tan α＝BD AD ，tan β＝CD AD，∴BD ＝AD tan α＝120×tan30°＝120×33＝403，CD ＝AD tan β＝120×tan60°＝120×3＝120 3.∴BD ＝BD ＋CD ＝403＋1203＝1603≈227.1 答：这栋高楼约高277.1m. 3．如图，在离树BC 12米的A 处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD 高为1.5米，求树高BC .(计算结果可保留根号)分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D 作DE ⊥BC 于E ，把求CB 的问题转化求BE 的长，从而可以在△BDE 中利用三角函数．解：过点D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形DECA 是矩形，∴DE ＝AC ＝12米．CE ＝AD ＝1.5米．在直角△BED 中，∠BDE ＝30°，tan30°＝BE DE，∴BE ＝DE ·tan30°＝43米．∴BC ＝BE ＋CE ＝(43＋32)米．4．广场上有一个充满氢气的气球P ，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E 、F 处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E 点与F 点的高度差AB 为1米，水平距离CD 为5米，FD 的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)分析：由于气球的高度为PA ＋AB ＋FD ，而AB ＝1米，FD ＝0.5米，故可设PA ＝h 米，根据题意，列出关于h 的方程可求解．解：设AP ＝h 米，∵∠PFB ＝45°， ∴BF ＝PB ＝(h ＋1)米，∴EA ＝BF ＋CD ＝h ＋1＋5＝(h ＋6)米， 在Rt△PEA 中，PA ＝AE ·tan30°， ∴h ＝(h ＋6)tan30°，∴气球的高度约为PA ＋AB ＋FD ＝8.2＋1＋0.5＝9.7米．【教学说明】巩固所学知识．要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 课后作业布置作业：教材“习题4.4”中第2、4、5题． 教学反思本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决．第2课时 坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】1．了解测量中坡度、坡角的概念；2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题． 【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题． 【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题． 教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡AB 和斜坡A 1B 1，哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A 1B 1的倾斜程度比较大，说明∠A 1＞∠A .从图形可以看出，B 1C 1A 1C 1＞BCAC，即tan A 1＞tan A . 【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣． 二、思考探究，获取新知1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝AC BC，坡度通常用l ∶m 的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tan B ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．2．如图，一山坡的坡度为i ＝1∶2，小刚从山脚A 出发，沿山坡向上走了240米到达点C ，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？(角度精确到0.01°，长度精确到0.1米)3．如图，一艘船以40km/h 的速度向正东航行，在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上，继续航行1h 到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上，已知在灯塔C 的四周30km 内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题．学生独立完成．三、运用新知，深化理解1．如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m ，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．解：已知：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5.5，∠A ＝24°，求AB . 在Rt△ABC 中，cos A ＝AC AB， ∴AB ＝ACcos A ＝ 5.50.9135≈6.0(米)． 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．2．同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， 在Rt△ABE 和Rt△CDF 中，BE AE ＝13，CF FD ＝12.5∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m)．FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)． 因为斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.3333，所以α≈18°26′. ∵BE AB＝sin α， ∴AB ＝BEsin α＝230.3162≈72.7(m)． 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5米，斜坡AB 的长约为72.7米．3．庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C 处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B 处出发．如图，已知小山北坡的坡度i ＝1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A ？(将山路AB 、AC 看成线段，结果保留根号)解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt△ADC 中，由i ＝1∶3得tan C ＝13＝33， ∴∠C ＝30°.∴AD ＝12AC ＝12×240＝120(米)．在Rt△ABD 中，∠B ＝45°，∴AB ＝2AD ＝1202(米)．1202÷(240÷24)＝1202÷10＝122(米/分钟)答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A .4．某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB 表示楼梯，BC 表示平台，CD 表示滑道．若点E ，F 均在线段AD 上，四边形BCEF 是矩形，且sin∠BAF ＝23，BF ＝3米，BC ＝1米，CD ＝6米．求：(1)∠D 的度数；(2)线段AE 的长．解：(1)∵四边形BCEF 是矩形，∴∠BFE ＝∠CEF ＝90°，CE ＝BF ，BC ＝FE ， ∴∠BFA ＝∠CED ＝90°， ∵CE ＝BF ，BF ＝3米，∴CE ＝3米，∵CD ＝6米，∠CED ＝90°， ∴∠D ＝30°. (2)∵sin∠BAF ＝23，∴BF AB ＝23，∵BF ＝3米，∴AB ＝92米， ∴AF ＝（92）2－32＝352米， ∴AE ＝35＋22米．5．日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A 处，观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B 处，这时观察到城市P 位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B 处与城市P 的距离．(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)分析：过点P 作PC ⊥AB ，构造直角三角形，设PC ＝x 海里，用含有x 的式子表示AC ，BC 的值，从而求出x 的值，再根据三角函数值求出BP 的值即可解答．解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC ＝x 海里．在Rt△APC 中，∵tan A ＝PC AC， ∴AC ＝PCtan67.5°＝5x 12在Rt△PCB 中，∵tan B ＝PC BC， ∴BC ＝xtan36.9°＝4x 3∵从上午9时到下午2时要经过五个小时， ∴AC ＋BC ＝AB ＝21×5， ∴5x 12＋4x3＝21×5， 解得x ＝60. ∵sin∠B ＝PCPB， ∴PB ＝PCsin B ＝60sin36.9°＝60×53＝100(海里) ∴海检船所在B 处与城市P 的距离为100海里． 【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容． 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 课后作业布置作业：教材“习题4.1”中第1、6、7题． 教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决．复习与提升教学目标【知识与技能】1．了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值． 2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数．3．会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想． 【情感态度】通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用． 【教学重点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 【教学难点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 教学过程 一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系． 二、释疑解惑，加深理解 1．正弦的概念： 在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦．记作sin α，即： sin α＝角α的对边斜边.2．余弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦．记作cos α.即 cos α＝角α的邻边斜边.3．正切的概念： 在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切．记作tan α，即： tan α＝角α的对边角α的邻边4．特殊角的三角函数值：5.我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数． 6．解直角三角形的概念：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形． 7．仰角、俯角的概念：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．8．坡度的概念：坡面的铅垂线高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)；记作i ，坡度通常用l ∶m 的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点．加深学生的印象． 三、运用新知，深化理解1．已知，如图，D 是△ABC 中BC 边的中点，∠BAD ＝90°，tan B ＝23，求sin∠DAC .解：过D 作DE ∥AB 交AC 于E ， 则∠ADE ＝∠BAD ＝90°， 由tan B ＝23，得AD AB ＝23，设AD ＝2k ，AB ＝3k ，∵D 是△ABC 中BC 边的中点，∴DE ＝32k∴在Rt△ADE 中，AE ＝52k ，∴sin∠DAC ＝DE AE ＝32k 52k ＝35.2．计算：tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45° 解：原式＝(33)2＋(32)2－(22)2×1 ＝13＋34－12＝7123．如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35，则下列结论正确的个数为( )①DE ＝3cm ；②BE ＝1cm ；③菱形的面积为15cm 2；④BD ＝210 cm.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析：由菱形的周长为20cm 知菱形边长是5cm.在Rt△ADE 中，∵AD ＝5cm ，sin A ＝35， ∴DE ＝AD ·sin A ＝5×35＝3(cm)． ∴AE ＝AD 2－DE 2＝4(cm)．∴BE ＝AB －AE ＝5－4＝1(cm)．菱形的面积为AB ·DE ＝5×3＝15(cm 2)．在Rt△DEB 中，BD ＝DE 2＋BE 2＝32＋12＝10(cm)．综上所述①②③正确．【答案】C4．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离(结果保留根号)．分析：由题意知，在△ABP 中∠A ＝60°，∠B ＝45°，∠APB ＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC ⊥AB 交AB 于C .解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AP ＝80，在Rt△APC 中，cos∠APC ＝PC PA. ∴PC ＝PA ·cos∠APC ＝403， 在Rt△PCB 中，cos∠BPC ＝PC PB ， ∴PB ＝PCcos∠BPC ＝403cos45°＝40 6 ∴当轮船位于灯塔P 南偏东45°方向时，轮船与灯塔P 的距离是406海里．【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展．四、复习训练，巩固提高1．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q .若BF ＝2，则PE 的长为( )A ．2B ．2 3C ．3 3D ．3分析：∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线上一点，∴∠EBP ＝∠QBF ＝30°，∵BF ＝2，FQ ⊥BP ，∴BQ ＝BF ·cos30°＝2×32＝ 3. ∵FQ 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2 3.在Rt△BEP 中，∵∠EBP ＝30°，∴PE ＝12BP ＝ 3. 【答案】C2．如图，为了测量某山AB 的高度，小明先在山脚下C 点测得山顶A 的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为30°，求山AB 的高度．(参考数据：3≈1.73)解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，设AB ＝x ，在Rt△DEC 中，∠DCE ＝30°，CD ＝100，∴DE ＝20，CE ＝50 3.在Rt△ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝x .则AF ＝AB －BF ＝AB －DE ＝x －50，DF ＝BE ＝BC ＋CE ＝x ＋50 3.在Rt△AFD 中，∠ADF ＝30°，tan30°＝AFFD ，∴x －50x ＋503＝33. ∴x ＝50(3＋3)≈236.6.答：山AB 的高度约为236.6米．3．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG ＝30°，在E 处测得∠AFG ＝60°，CE ＝8米，仪器高度CD ＝1.5米，求这棵树AB 的高度(结果保留两位有效数字，3≈1.732)．解：根据题意得：四边形DCEF 、DCBG 是矩形，∴GB ＝EF ＝CD ＝1.5米，DF ＝CE ＝8米．设AG ＝x 米，GF ＝y 米，在Rt△AFG 中，tan∠AFG ＝tan60°＝AG FG ＝x y ＝3，在Rt△ADG 中，tan∠ADG ＝tan30°＝AG DG ＝x y ＋8＝33， 二者联立，解得x ＝43，y ＝4.∴AG ＝43米，FG ＝4米．∴AB ＝AG ＋GB ＝43＋1.5≈8.4(米)．∴这棵树AB 的高度约为8.4米．五、师生互动，课堂小结师生共同总结，对于本章的知识．你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流．课后作业布置作业：教材“复习题4”中第1、3、6、8、12、14题．教学反思根据学生掌握的情况，对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解．力争更多的学生学好本章内容．。
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第2课时）说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第2课时）是本册教材中的重要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、勾股定理等知识的基础上进行学习的。
在本节课中，学生需要学习如何运用直角三角形的性质解决实际问题，进一步培养学生的解决问题的能力。
本节课的主要内容有：了解直角三角形在实际生活中的应用，学会使用直角三角形解决实际问题，如测量高度、距离等。
通过这部分内容的学习，学生能够更好地理解直角三角形在实际生活中的重要性，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形的相关知识有一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往缺乏思路和方法。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学知识与实际问题相结合，培养学生的解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够了解直角三角形在实际生活中的应用，学会使用直角三角形解决实际问题，如测量高度、距离等。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够了解直角三角形在实际生活中的应用，学会使用直角三角形解决实际问题。
2.教学难点：学生能够灵活运用直角三角形的性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用引导法、实例教学法、分组讨论法等教学方法。
同时，利用多媒体课件、实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握所学知识。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引发学生对直角三角形应用的思考，激发学生的学习兴趣。
2.知识讲解：讲解直角三角形在实际生活中的应用，引导学生学会使用直角三角形解决实际问题。
3.实例分析：分析具体实例，让学生深入了解直角三角形在实际问题中的运用。
4.4 解直角三角形的应用（2）教学目标知识与技能：巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题。
过程与方法：逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法。
情感态度与价值观：培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点。
教学重点：能熟练运用有关三角函数知识。
教学难点：解决实际问题。
教学过程一、创设情境，引入新课观察：图中的(1)和(2)，哪个山坡比较陡？2．提问：如何用数量来反映哪个山坡陡呢？二、讲解新课：如图，从山坡脚下点P上坡走到点N 时，升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距离l (即线段PM 的长度)的比叫作坡度，用字母i 表示，即：h i l = . 坡度通常写成 1 : m 的形式．如图中的∠MPN 叫作坡角(即山坡与地平面的夹角).显然，坡度等于坡角的正切.坡度越大，山坡越陡.巩固概念 1、斜坡的坡比是1:1 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是600 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
4、传送带和地面所成的斜坡的坡比为1：2，把物体 从地面送到离地面9米高的地方，则物体通过的路程为 _______米。
5、斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米，则斜坡高为_______米。
三、举例应用：例1 如图，一山坡的坡度 i = 1:2，小刚从山脚下A 出发，沿山坡向上走了240m到达点C 。
这座山坡的坡角是多少度？他上升了多少米(角度精确到0.01°，长度精确到0.1m)？例2 如图，一艘船以40km/h 的速度向正东航行，在A 处测得灯塔C 在北偏东60方向上，继续航行1km 到时达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30方向上。
已知在灯塔C 的四周30km 内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？四、巩固提高：1. P129 1题2. 补充：光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．（已知 ） 五、小结：用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．六、布置作业3 1.732。
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》教学设计3一. 教材分析《解直角三角形的应用》是湘教版数学九年级上册4.4节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、勾股定理的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生学会利用解直角三角形的方法解决实际问题，培养学生的解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生掌握解直角三角形的应用，并能够灵活运用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形有一定的了解。
但是，对于如何将数学知识应用到实际问题中，解决实际问题，学生的掌握情况参差不齐。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握解直角三角形的应用方法，能够解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用方法。
2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，灵活运用解直角三角形的方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实际的例子，引导学生理解解直角三角形的应用。
2.小组合作学习：让学生在小组内讨论交流，共同解决问题。
3.引导发现法：教师引导学生发现解直角三角形的规律，培养学生独立思考的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示解直角三角形的应用实例。
2.练习题：准备一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，如测量高度、距离等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
从而引出本节课的主题——解直角三角形的应用。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示解直角三角形的应用实例，让学生直观地感受解直角三角形在实际问题中的应用。
同时，教师引导学生总结解直角三角形的步骤和方法。
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》教学设计4一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生掌握解直角三角形的应用方法，进一步体会数学与实际生活的联系。
本节课的内容包括直角三角形的识别，锐角三角函数的求解，以及直角三角形在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生能够灵活运用直角三角形的知识解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直角三角形的基本知识，对锐角三角函数有一定的了解。
但是，学生在实际应用中可能会遇到一些困难，如不知如何将实际问题转化为直角三角形问题，对一些特殊情况的处理还不够熟练等。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题与直角三角形知识相结合，并通过练习加强学生对特殊情况的处理能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够识别直角三角形，熟练运用锐角三角函数求解直角三角形问题，并将直角三角形的知识应用于实际问题中。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够感受到数学与实际生活的联系，增强学习数学的兴趣，培养学生的自信心。
四. 教学重难点1.重点：学生能够识别直角三角形，掌握锐角三角函数的求解方法，并将直角三角形的知识应用于实际问题中。
2.难点：如何将实际问题转化为直角三角形问题，以及对一些特殊情况下的直角三角形问题的处理。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.小组合作学习：学生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的合作意识。
3.案例教学法：通过分析具体案例，让学生学会将实际问题转化为直角三角形问题，提高学生解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作教学课件，包括直角三角形的识别、锐角三角函数的求解等内容的展示。
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第2课时）的教学内容主要包括解直角三角形的应用、锐角三角函数的概念和应用。
本节课是在学生已经掌握了直角三角形的相关知识的基础上进行教学的，目的是让学生能够运用所学的知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于直角三角形的相关知识也有了一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往会因为对概念理解不深、思路不清晰而导致解题困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入理解概念，培养学生的解题思路。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形的应用，理解锐角三角函数的概念和应用。
2.过程与方法：培养学生运用所学的知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：解直角三角形的应用，锐角三角函数的概念和应用。
2.教学难点：如何引导学生运用所学的知识解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，培养学生的解题思路；通过分析实际案例，使学生理解所学知识的应用价值；通过小组合作学习，提高学生的团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教师准备：熟悉教材内容，了解学生学情，设计好教学问题和案例。
2.学生准备：掌握直角三角形的相关知识，预习本节课的内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直角三角形的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师展示案例，让学生观察和分析案例中的直角三角形，引导学生发现实际问题中的数学规律。
3.操练（20分钟）教师设置问题，引导学生运用所学的知识解决实际问题。
学生在解决问题的过程中，教师给予指导和点拨，帮助学生理清解题思路。
湘教版九年级上册说课稿4.4解直角三角形的应用一. 教材分析湘教版九年级上册《数学》第四单元《解直角三角形的应用》是学生在学习了平面几何、代数基础知识后，进一步研究几何图形性质的重要内容。
这部分内容主要让学生掌握解直角三角形的知识和方法，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
本节课的主要内容有：了解直角三角形的性质，学会使用勾股定理和三角函数解决实际问题。
教材通过丰富的情境图和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生自主探究，培养学生的合作意识和创新能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对直角三角形、勾股定理和三角函数有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往缺乏思路和方法。
因此，在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，引导他们运用已有的知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能掌握解直角三角形的性质和方法，学会运用勾股定理和三角函数解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主探究、合作交流，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的几何思维水平。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能掌握解直角三角形的性质和方法，学会运用勾股定理和三角函数解决实际问题。
2.教学难点：引导学生运用勾股定理和三角函数解决实际问题，培养学生解决问题的能力。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、情境教学、合作交流、启发引导等方法，激发学生的学习兴趣，培养学生解决问题的能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，直观展示直角三角形的性质和应用，提高学生的学习效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题情境，引导学生关注直角三角形在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生独立思考，尝试解决实际问题，发现直角三角形的性质和勾股定理、三角函数的关系。
湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》（第3课时）教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.4《解直角三角形的应用》是本册教材的重要内容之一。
这部分内容主要让学生掌握解直角三角形的应用，包括解决实际问题中的距离、角度等问题。
本节课的内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质和解直角三角形的基础上进行学习的，对学生运用数学知识解决实际问题的能力有很高的要求。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了直角三角形的性质和解直角三角形的方法，具备了一定的数学思维能力。
但是，对于如何将数学知识应用到实际问题中，解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将数学知识与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解直角三角形的应用，包括解决实际问题中的距离、角度等问题。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的应用，解决实际问题中的距离、角度等问题。
2.难点：如何将数学知识应用到实际问题中，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，引导学生运用数学知识解决问题。
2.案例教学法：通过分析典型案例，使学生掌握解直角三角形的应用。
3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实际问题情境和典型案例。
2.教学素材：准备相关的实际问题，用于引导学生进行练习和讨论。
3.板书设计：设计板书，突出教学重点和难点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过设置一个实际问题情境，如测量学校旗杆的高度，引导学生思考如何运用数学知识解决问题。
2.呈现（10分钟）教师展示相关的实际问题和典型案例，使学生了解解直角三角形的应用，引导学生进行分析。
4．4 解直角三角形的应用第1课时俯角和仰角问题教学目标【知识与技能】比较熟练地应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．【过程与方法】通过学习进一步掌握解直角三角形的方法．【情感态度】培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．【教学重点】应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题．【教学难点】选用恰当的直角三角形，分析解题思路．教学过程一、情景导入，初步认知海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．【教学说明】经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题中的应用．二、思考探究，获取新知1．某探险者某天到达如图所示的点A处，他准备估算出离他的目的地——海拔为3500m 的山峰顶点B处的水平距离．你能帮他想出一个可行的办法吗？分析：如图，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔，AC⊥BD，垂足为点C.先测量出海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角三角函数的知识就可以求出A、B之间的水平距离AC.【归纳结论】当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．2．如图，在离上海东方明珠塔底部1000m的A处，用仪器测得塔顶的仰角为25°，仪器距地面高为1.7m.求上海东方明珠塔的高度．(结果精确到1m)解：在Rt△ABC 中，∠BAC ＝25°，AC ＝1000m ，因此tan25°＝BC AC ＝BC1000∴BC ＝1000×tan25°≈466.3(m)，∴上海东方明珠塔的高度(约)为466.3＋1.7＝468米．【教学说明】利用实际问题承载数学问题，提高了学生的学习兴趣．教师要帮助学生学会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而解决问题．三、运用新知，深化理解1．如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC ＝1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α＝16°31′，求飞机A 到控制点B 的距离．(精确到1米)分析：利用正弦可求． 解：在Rt△ABC 中sin B ＝AC AB∴AB ＝ACsin B ＝12000.2843≈4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．2．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?分析：在Rt△ABD 中，α＝30°，AD ＝120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地可以求出CD ，进而求出BC .解：如图，α＝30°，β＝60°，AD ＝120.∵tan α＝BD AD ，tan β＝CD AD，∴BD ＝AD tan α＝120×tan30°＝120×33＝403，CD ＝AD tan β＝120×tan60°＝120×3＝120 3.∴BD ＝BD ＋CD ＝403＋1203＝1603≈227.1 答：这栋高楼约高277.1m. 3．如图，在离树BC 12米的A 处，用测角仪测得树顶的仰角是30°，测角仪AD 高为1.5米，求树高BC .(计算结果可保留根号)分析：本题是一个直角梯形的问题，可以通过过点D 作DE ⊥BC 于E ，把求CB 的问题转化求BE 的长，从而可以在△BDE 中利用三角函数．解：过点D 作DE ⊥BC 于E ，则四边形DECA 是矩形，∴DE ＝AC ＝12米．CE ＝AD ＝1.5米．在直角△BED 中，∠BDE ＝30°，tan30°＝BE DE，∴BE ＝DE ·tan30°＝43米．∴BC ＝BE ＋CE ＝(43＋32)米．4．广场上有一个充满氢气的气球P ，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E 、F 处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E 点与F 点的高度差AB 为1米，水平距离CD 为5米，FD 的高度为0.5米，请问此气球有多高？(结果保留到0.1米)分析：由于气球的高度为PA ＋AB ＋FD ，而AB ＝1米，FD ＝0.5米，故可设PA ＝h 米，根据题意，列出关于h 的方程可求解．解：设AP ＝h 米，∵∠PFB ＝45°， ∴BF ＝PB ＝(h ＋1)米，∴EA ＝BF ＋CD ＝h ＋1＋5＝(h ＋6)米， 在Rt△PEA 中，PA ＝AE ·tan30°， ∴h ＝(h ＋6)tan30°，∴气球的高度约为PA ＋AB ＋FD ＝8.2＋1＋0.5＝9.7米．【教学说明】巩固所学知识．要求学生学会把实际问题转化成数学问题；根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 课后作业布置作业：教材“习题4.4”中第2、4、5题． 教学反思本节课我们学习了有关仰角、俯角的解直角三角形的应用题，对于这些问题，一方面要把它们转化为解直角三角形的数学问题，另一方面，针对转化而来的数学问题应选用适当的数学知识加以解决．第2课时 坡度和方位角问题教学目标【知识与技能】1．了解测量中坡度、坡角的概念；2．掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题．【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题． 【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题． 【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长的有关实际问题． 教学过程一、情景导入，初步认知如图所示，斜坡AB 和斜坡A 1B 1，哪一个倾斜程度比较大？显然，斜坡A 1B 1的倾斜程度比较大，说明∠A 1＞∠A .从图形可以看出，B 1C 1A 1C 1＞BCAC，即tan A 1＞tan A . 【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣． 二、思考探究，获取新知1．坡度的概念，坡度与坡角的关系．如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝AC BC，坡度通常用l ∶m 的形式，例如上图中的1∶2的形式．坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i ＝tan B ，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．2．如图，一山坡的坡度为i ＝1∶2，小刚从山脚A 出发，沿山坡向上走了240米到达点C ，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？(角度精确到0.01°，长度精确到0.1米)3．如图，一艘船以40km/h 的速度向正东航行，在A 处测得灯塔C 在北偏东60°方向上，继续航行1h 到达B 处，这时测得灯塔C 在北偏东30°方向上，已知在灯塔C 的四周30km 内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题．学生独立完成．三、运用新知，深化理解1．如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m ，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．解：已知：在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5.5，∠A ＝24°，求AB . 在Rt△ABC 中，cos A ＝AC AB， ∴AB ＝ACcos A ＝ 5.50.9135≈6.0(米)． 答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．2．同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， 在Rt△ABE 和Rt△CDF 中，BE AE ＝13，CF FD ＝12.5∴AE ＝3BE ＝3×23＝69(m)．FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)． 因为斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.3333，所以α≈18°26′. ∵BE AB＝sin α， ∴AB ＝BEsin α＝230.3162≈72.7(m)． 答：斜坡AB 的坡角α约为18°26′，坝底宽AD 为132.5米，斜坡AB 的长约为72.7米．3．庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C 处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B 处出发．如图，已知小山北坡的坡度i ＝1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A ？(将山路AB 、AC 看成线段，结果保留根号)解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt△ADC 中，由i ＝1∶3得tan C ＝13＝33， ∴∠C ＝30°.∴AD ＝12AC ＝12×240＝120(米)．在Rt△ABD 中，∠B ＝45°，∴AB ＝2AD ＝1202(米)．1202÷(240÷24)＝1202÷10＝122(米/分钟)答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A .4．某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB 表示楼梯，BC 表示平台，CD 表示滑道．若点E ，F 均在线段AD 上，四边形BCEF 是矩形，且sin∠BAF ＝23，BF ＝3米，BC ＝1米，CD ＝6米．求：(1)∠D 的度数；(2)线段AE 的长．解：(1)∵四边形BCEF 是矩形，∴∠BFE ＝∠CEF ＝90°，CE ＝BF ，BC ＝FE ， ∴∠BFA ＝∠CED ＝90°， ∵CE ＝BF ，BF ＝3米，∴CE ＝3米，∵CD ＝6米，∠CED ＝90°， ∴∠D ＝30°. (2)∵sin∠BAF ＝23，∴BF AB ＝23，∵BF ＝3米，∴AB ＝92米， ∴AF ＝（92）2－32＝352米， ∴AE ＝35＋22米．5．日本福岛发生核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图，上午9时，海检船位于A 处，观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B 处，这时观察到城市P 位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B 处与城市P 的距离．(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)分析：过点P 作PC ⊥AB ，构造直角三角形，设PC ＝x 海里，用含有x 的式子表示AC ，BC 的值，从而求出x 的值，再根据三角函数值求出BP 的值即可解答．解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC ＝x 海里．在Rt△APC 中，∵tan A ＝PC AC， ∴AC ＝PCtan67.5°＝5x 12在Rt△PCB 中，∵tan B ＝PC BC， ∴BC ＝xtan36.9°＝4x 3∵从上午9时到下午2时要经过五个小时， ∴AC ＋BC ＝AB ＝21×5， ∴5x 12＋4x3＝21×5， 解得x ＝60. ∵sin∠B ＝PCPB， ∴PB ＝PCsin B ＝60sin36.9°＝60×53＝100(海里) ∴海检船所在B 处与城市P 的距离为100海里． 【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容． 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 课后作业布置作业：教材“习题4.1”中第1、6、7题． 教学反思通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决．复习与提升教学目标【知识与技能】1．了解锐角三角函数的概念，熟记30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值． 2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数．3．会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想． 【情感态度】通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用． 【教学重点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 【教学难点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题． 教学过程 一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系． 二、释疑解惑，加深理解 1．正弦的概念： 在直角三角形中，我们把锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦．记作sin α，即： sin α＝角α的对边斜边.2．余弦的概念：在直角三角形中，我们把锐角α的邻边与斜边的比叫作角α的余弦．记作cos α.即 cos α＝角α的邻边斜边.3．正切的概念： 在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切．记作tan α，即： tan α＝角α的对边角α的邻边4．特殊角的三角函数值：5.我们把锐角α的正弦、余弦、正切统称为角α的锐角三角函数． 6．解直角三角形的概念：在直角三角形中，利用已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形． 7．仰角、俯角的概念：当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，在水平线下方的角叫作俯角．8．坡度的概念：坡面的铅垂线高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)；记作i ，坡度通常用l ∶m 的形式；坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念，知识点．加深学生的印象． 三、运用新知，深化理解1．已知，如图，D 是△ABC 中BC 边的中点，∠BAD ＝90°，tan B ＝23，求sin∠DAC .解：过D 作DE ∥AB 交AC 于E ， 则∠ADE ＝∠BAD ＝90°， 由tan B ＝23，得AD AB ＝23，设AD ＝2k ，AB ＝3k ，∵D 是△ABC 中BC 边的中点，∴DE ＝32k∴在Rt△ADE 中，AE ＝52k ，∴sin∠DAC ＝DE AE ＝32k 52k ＝35.2．计算：tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45° 解：原式＝(33)2＋(32)2－(22)2×1 ＝13＋34－12＝7123．如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35，则下列结论正确的个数为( )①DE ＝3cm ；②BE ＝1cm ；③菱形的面积为15cm 2；④BD ＝210 cm.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个分析：由菱形的周长为20cm 知菱形边长是5cm.在Rt△ADE 中，∵AD ＝5cm ，sin A ＝35， ∴DE ＝AD ·sin A ＝5×35＝3(cm)． ∴AE ＝AD 2－DE 2＝4(cm)．∴BE ＝AB －AE ＝5－4＝1(cm)．菱形的面积为AB ·DE ＝5×3＝15(cm 2)．在Rt△DEB 中，BD ＝DE 2＋BE 2＝32＋12＝10(cm)．综上所述①②③正确．【答案】C4．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离(结果保留根号)．分析：由题意知，在△ABP 中∠A ＝60°，∠B ＝45°，∠APB ＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC ⊥AB 交AB 于C .解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AP ＝80，在Rt△APC 中，cos∠APC ＝PC PA. ∴PC ＝PA ·cos∠APC ＝403， 在Rt△PCB 中，cos∠BPC ＝PC PB ， ∴PB ＝PCcos∠BPC ＝403cos45°＝40 6 ∴当轮船位于灯塔P 南偏东45°方向时，轮船与灯塔P 的距离是406海里．【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展．四、复习训练，巩固提高1．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q .若BF ＝2，则PE 的长为( )A ．2B ．2 3C ．3 3D ．3分析：∵△ABC 是等边三角形，点P 是∠ABC 的平分线上一点，∴∠EBP ＝∠QBF ＝30°，∵BF ＝2，FQ ⊥BP ，∴BQ ＝BF ·cos30°＝2×32＝ 3. ∵FQ 是BP 的垂直平分线，∴BP ＝2BQ ＝2 3.在Rt△BEP 中，∵∠EBP ＝30°，∴PE ＝12BP ＝ 3. 【答案】C2．如图，为了测量某山AB 的高度，小明先在山脚下C 点测得山顶A 的仰角为45°，然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为30°，求山AB 的高度．(参考数据：3≈1.73)解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，设AB ＝x ，在Rt△DEC 中，∠DCE ＝30°，CD ＝100，∴DE ＝20，CE ＝50 3.在Rt△ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝x .则AF ＝AB －BF ＝AB －DE ＝x －50，DF ＝BE ＝BC ＋CE ＝x ＋50 3.在Rt△AFD 中，∠ADF ＝30°，tan30°＝AFFD ，∴x －50x ＋503＝33. ∴x ＝50(3＋3)≈236.6.答：山AB 的高度约为236.6米．3．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB 的高度，在C 处测得∠ADG ＝30°，在E 处测得∠AFG ＝60°，CE ＝8米，仪器高度CD ＝1.5米，求这棵树AB 的高度(结果保留两位有效数字，3≈1.732)．解：根据题意得：四边形DCEF 、DCBG 是矩形，∴GB ＝EF ＝CD ＝1.5米，DF ＝CE ＝8米．设AG ＝x 米，GF ＝y 米，在Rt△AFG 中，tan∠AFG ＝tan60°＝AG FG ＝x y ＝3，在Rt△ADG 中，tan∠ADG ＝tan30°＝AG DG ＝x y ＋8＝33， 二者联立，解得x ＝43，y ＝4.∴AG ＝43米，FG ＝4米．∴AB ＝AG ＋GB ＝43＋1.5≈8.4(米)．∴这棵树AB 的高度约为8.4米．五、师生互动，课堂小结师生共同总结，对于本章的知识．你掌握了多少？还存在哪些疑惑？同学之间可以相互交流．课后作业布置作业：教材“复习题4”中第1、3、6、8、12、14题．教学反思根据学生掌握的情况，对掌握不够好的知识点、题型多加练习、讲解．力争更多的学生学好本章内容．。
