计数原理、统计概率
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第九章 概率与统计初步一、计数原理1、 (分类计数)加法原理:完成一件事情,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事情,共有:n m m m N +++= 21种不同的方法;2、 (分步计数)分步乘法原理:完成一件事情,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,……做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事情,共有:n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法;3、 区分做事情的方法是“分类”还是“分步"主要看能否一步做完,能够一步做完的就是分类(用加法原理),不能一步做完的,就是分步(用乘法原理);二、排列与组合1、 排列数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的排列数,用符号n mA 表示,且:2、 n 的阶乘:自然数1到n 的连乘积,叫做n 的阶乘,记作:!n ,且:3、 组合数公式:从n 个不同的元素中取出()n m m ≤个不同元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个不同元素的组合数,用符号n mC 表示,且:组合数公式也可写为:4、 组合数的两个性质:()()n m n m n n m n mn n m C C C C C 1121--+-+==5、 排列与组合的区别:排列与顺序有关;组合与顺序无关。
()()()()n m m n n n n A n m ≤+---=,121 ()()10,1221!=⋅--=!规定: n n n n ()()()()()()1,,1221121!0=≤⋅--+---==n n m nmC n m m m m m n n n n m A C 规定: ()!!!m n m n C n m -⋅=()!!m n n A nm -=为:易知排列数公式也可写三、概率1、 基本概念(1) 随机现象:在相同的条件下,具有多种可能的结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象;(2) 随机试验的特征:可以在相同的条件下重复进行;试验的所有可能结果是可以明确知道的,并且这些可能结果不止一个;每次试验之前不能准确预言哪一个结果会发生;(3) 随机事件:随机试验的结果叫做随机事件,简称事件,常用大写字母A 、B 、C表示; (4) 必然事件:在一次随机试验中必然要发生的事件,用Ω表示(Ω读作“omiga",Ω对应的小写希腊字母是“ω”); (5) 不可能事件:在一次随机试验中不可能发生的事件,用φ表示(φ读作“fai ”); (6) 基本事件:随机事件中不能分解的事件称为基本事件,即:最简单的随机事件;(7) 复合事件:由若干个基本事件组成的事件称为复合事件; 2、 频数与频率(1) 频数:在n 次重复试验中,事件A 发生了m 次()n m ≤≤0,m 叫做事件A 发生的频数;(2) 频率:在n 次重复试验中,事件A 发生的频数在试验总次数中所占的比例nm ,叫做事件A 发生的频率; 3、 概率(1) 一般地,当试验的次数充分大时,如果事件发生的频率总稳定在某个常数附近,那么就把这个常数叫做事件发生的概率,记作:; (2) 概率的性质:i. 对于必然事件Ω:()1=ΩP ii. 对于不可能事件φ:()0=φP iii. ()10≤≤A P4、 古典概型(1) 古典概型:如果一个随机试验的基本事件只有有限个,并且各个基本事件发生的可能性相同,那么称这个随机试验属于古典概型;(2) 概率:设试验共有n 个基本事件,并且每一个基本事件发生的可能性都相同,事件A 包含m 个基本事件,那么事件发生的概率为:(3) 事件的“交”:“B A ”表示B A 、同时发生,记作:AB ;(4) 事件的“并”:“B A ”表示B A 、中至少有一个会发生,又称为事件A 与事件B 的和事件;()nA A P m==基本事件总数包含的基本事件(5) 事件的“否”:A 表示事件A 的对立事件;(A 读作a bar ,“A 拔”)(6) 互为对立的事件:若事件A 是事件B 的对立面,且Ω==B A B A ,φ;(对立事件的理解:在任何一次随机试验中,事件A 与B 有且仅有一个发生) (7) 互斥事件(互不相容事件):不可能同时发生的两个事件,即:φ=B A ;(对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件)(8) 相互独立事件:在随机试验中,如果事件A 的发生不会影响事件B 发生的可能性的大小,即在事件A 发生的情况下,事件B 发生的概率等于事件B 原来的概率,那么称事件A 与事件B 相互独立;(事件A 发生与否,不影响事件B 的概率) (9) 若A 、B 是互斥事件,则:()()()B P A P B A P +=(10) 若A 、B 是对立事件,则:()()B P A P +=1,即:()()A P A P -=1 (11) 若A 、B 不是互斥事件,则:()()()()B A P B P A P B A P -+= (12) 若A 、B 是相互独立事件,则:()()()()B P A P AB P B A P ⋅==四、总体、样本与抽样方法例1:为了了解全校1120名一年级学生的身高情况,从中抽取100名学生进行测量; 1、 总体:在统计中,所研究对象的全体;例1中“全校1120名一年级学生的身高”是总体;2、 个体:组成总体的每一个对象;例1中“全校每一位一年级学生的身高”是个体;3、 样本:被抽取出来的个体的集合;例1中“抽取的100名一年级学生的身高”是样本;4、 样本容量:样本所含个体的数目;例1中“100”是样本容量;5、 抽样的方法有三种:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样;6、 说明:当总体中的个数比较小时,常采取简单随机抽样;当总体中的个数比较多,且其分布没有明显的不均匀情况,常采用系统抽样;当总体由差异明显的几个部分组成时,常采用分层抽样;五、用样本估计总体1、 样本均值:()n x x x nx +++=2112、 样本方差:()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-= 3、 样本标准差:()()()[]222211x x x x x x nS n -++-+-=4、 说明:均值反映了样本和总体的平均水平;方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小程度;5、作频率分布直方图的方法:①把横轴分成若干段,每一线段对应一个组的组距;②然后以此线段为底作一矩形,它的高等于该组的频率/组距;这样得出一系列的矩形,每个矩形的面积恰好是该组上的频率,这些矩形就构成了频率分布直方图。
2021年高考理科数学二轮复习专题五计数原理、统计与概率(一)、计数原理一、排列数与组合数1、排列数:计算公式:2、组合数:①计算公式:()()()()()()121!1221!!mm nn mmn n n n mA nCA m m m m n m---+===--⋅-②组合数的性质:性质1:;性质2:(连续两个组合数的和)二、排列组合与两个基本原理的应用(一)、排列问题1、位置限制:解法:①先考虑限制元素,再考虑无限制的元素(加法原理)②多种限制:用二分法或枚举法2、排队限制:元素间排队的方式有限制①相邻:捆绑法(勿忘内部的排列);②互不相邻:插板法(先排无关元素再插入限制元素)③注意分类讨论以及正难则反(二)、组合问题1、分配问题: k个对象所得元素确定,即将n个不同的元素按不同数量分别分给则共有2、分组问题:将元素按一定数量方案分成k组,注意用除法,即,(t为数量一样的堆数)3、先分组再分配问题:k对象所得元素不确定,注意用乘法。
即。
(分给k个人)【典例1】①将6本书分给甲2本,乙3本,丙1本:(分配问题)②将6本书分成3堆,每堆2本:(分组问题)③将6本书分给甲乙丙,一个人4本,其他两人各一本:(先分组再分配)三、二项式定理(一)基本特征1、展开有n+1项,每项中a、b的指数和为n。
2、通项公式:第r+1项(二)常见题型1、求指定项(有理项、常数项等):通项公式2、求所以项二项式系数..的和:①二项式系数;奇数项与偶数项二项式系数之和相等。
.....、系数②系数:常用特值带入法(令x=0或1或-1)3、系数最值问题:①二项式系数:越中间,二项式系数越大。
(n为奇数,展开有偶数个项,中间两项二项式系数最大、n为偶数,展开有奇数个项,中间项二项式系数最大)②系数:写出通项,列出不等式组4、三项式展开式求指定项:组合的应用:每个括号里必须且只能选一个,根据组合得到答案。
5、求余数:将目标数写出接近除数的和或差的形式,然后计算【典例2】设已知均为整数(),若和被除所得的余数相同,则称和对模同余,记为,若,且a≡b(mod10),则b的值可以是(A)A.2011 B.2012 C .xx D.xx(二)、概率一、概率的基本性质与运算1、互斥事件与对立事件:①A 、B 为互斥事件是A 、B 为对立事件的必要不充分条件②若A 、B 为互斥事件则;③若A 、B 为对立事件则()()()()()1,1P A B P A P B P A P B ⋃==+=-即(正难则反)2、独立事件: A 、B 为独立事件,则3、条件概率:在A 事件发生的情况下,B 事件发生的概率为4、几何概型与古典概型:①古典概型:②几何概型:()()()A m P A n ==构成事件的区域的长度角度、面积、体积全部事件构成的区域的长度角度、面积、体积(常与线性规划结合) 二、随机变量及其分布列1、数学期望与方差的计算方法:①数学期望:;方差:②数学期望与方差的性质:;2、常见随机变量的概率分布:(三)、统计一、抽样方法二、用样本估计总体——统计数据的分析与应用1、茎叶图:①图像特征(读图):中间列为数据的十位数,两边为各组数据的个位数②优点:便于看出中位数以及集中程度2、频率分布直方图:①特征:纵轴:;柱形面积:对应的频率;所有柱形面积=1②频率分布直方图中数据信息的获取:A 、众数:最高柱形的中点横坐标B 、中位数:将所有柱形面积平分成一半的点的横坐标C 、平均数:每条柱形的中点×对应柱形的面积(频率)D 、方差:()()2×-每条柱形中点平均数对应柱形面积频率三、统计案例1、连续型随机变量——正态分布①正态分布表示:::数学期望;②图像特征:A 、关于直线对称;B 、越大(小),数据越分散(集中),图像越矮胖(高瘦) ③应用:利用对称性或查表获得对应概率。
平面向量、概率、统计、计数原理题型01 平面向量题型02 概率题型03 统计题型04 计数原理题型01 平面向量1.(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知单位向量a ,b 满足a ⊥a -2b ,则a ,b=()A.2π3B.π3C.π4D.π6【答案】B【分析】由向量垂直得到方程,求出a ⋅b =12,再利用向量夹角余弦公式求出答案.【详解】由a ⊥a -2b 得a ⋅a -2b =|a |2-2a ⋅b=0,又a ,b为单位向量,∴a ⋅b =12,∴cos a ,b =a ⋅b a b=12,又a ,b ∈[0,π],∴a ,b =π3.故选:B .2.(2024·重庆·统考一模)已知向量a ,b 满足a =2,b =3,a -2b =5,则a ⋅b =.【答案】154【分析】根据给定条件,利用向量数量积的运算律计算即得.【详解】由a -2b =5,得a 2+4b 2-4a ⋅b =25,而a=2,b =3,则4+4×9-4a ·b =25,所以a ⋅b =154.故答案为:1543.(2024·福建厦门·统考一模)已知a ,b 为单位向量,若|a +b |=|a -b |,则a +b 与a -b的夹角为()A.π3B.π2C.2π3D.3π4【答案】B【分析】根据已知,应用向量数量积的运算律求(a +b )⋅(a -b )即可判断夹角大小.【详解】由题意(a +b )⋅(a -b )=a 2-b 2=0,则a +b 与a -b 的夹角为π2.故选:B4.(2024·云南曲靖·统考一模)若向量a =4,0 ,b =1,3 ,则向量a 在向量b 上的投影向量坐标为.【答案】1,3【分析】利用向量的数量积运算与投影向量的定义求解即可.【详解】因为a=4,0 ,b =1,3 ,所以a ⋅b=4+0=4,b =1+3=2,所以向量a 在向量b 上的投影向量的坐标为a ⋅b b ⋅b b =42×b 2=b =1,3 .故答案为:1,3 .5.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)若a +b =a -b ,a=1,2 ,b =m ,3 ,则实数m =()A.6B.-6C.3D.-3【答案】B【分析】将a +b =a -b 两边平方,结合数量积的运算律求出a ⋅b ,再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为a +b =a -b ,所以a +b 2=a -b 2,即a 2+b 2+2a ⋅b =a 2+b 2-2a ⋅b ,所以a ⋅b =0,即m +6=0,解得m =-6.故选:B .6.(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知向量a=(1,2),b =(1,-3),则()A.a ⎳(a +b )B.a ⎳(a -b )C.a ⊥(a -b )D.a ⊥(a +b )【答案】D【分析】结合向量的加减运算及数量积运算进行判断.【详解】解:因为a=(1,2),b =(1,-3),所以a +b =(2,-1),a -b =(0,5),则a ⋅a +b =1×2-2×1=0,a ⋅a -b=1×0+2×5=10,得a ⊥a +b .故选:D7.(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)已知向量a =1,m ,b =3,-1 .若2a -b ⎳a+2b ,则实数m 的值为.【答案】-13【分析】根据向量的坐标运算和向量共线的坐标形式得到方程,解出即可.【详解】因为a =(1,m ),b =(3,-1),所以2a -b =(-1,2m +1),a+2b =(7,m -2).又(2a -b )⎳(a +2b ),所以-(m -2)-7(2m +1)=0,解得m =-13.故答案为:-13.8.(2024·山西晋城·统考一模)已知两个单位向量a ,b 的夹角为70°,则-a 与a +b的夹角为.【答案】145°【分析】利用向量加减运算结合夹角定义求解.【详解】设a =OA ,b =OB ,a -b =OC ,因为a ,b均为单位向量,所以四边形OACB 为菱形,且OC 平分∠AOB ,所以a 与a +b 的夹角为70°÷2=35°,则-a 与a +b 的夹角为180°-35°=145°.故答案为:145°9.(2024·河北·校联考一模)已知单位向量a ,b 满足2a +b =3,则a -b =.【答案】3【分析】利用向量数量积的运算律及已知可得a ⋅b =-12,再由运算律求a -b 即可.【详解】因为2a +b =3,所以4a 2+4a ⋅b +b 2=3,所以a ⋅b =-12,则(a -b )2=a 2-2a ⋅b +b 2=3,故a -b = 3.故答案为:310.(2024·广东深圳·校考一模)已知向量a =1,m ,b =3,-2 ,且(a +b )⊥b ,则m =A.-8B.-6C.6D.8【答案】D【分析】由已知向量的坐标求出a +b 的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案.【详解】∵a =(1,m ),b =(3,-2),∴a +b =(4,m -2),又(a +b)⊥b ,∴3×4+(-2)×(m -2)=0,解得m =8.故选D .【点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查向量垂直的坐标运算,属于基础题.11.(2024·浙江·校联考一模)已知平面向量a ,b 满足:b =2a =2,a 与b 的夹角为120°,若λa +b ⊥a -bλ∈R ,则λ=()A.0 B.1C.32D.52【答案】D【分析】先计算平面向量a ,b 的数量积,再利用λa +b ⋅a -b=0,列式解得即可.【详解】由题意,得a ⋅b =a ⋅b cos120°=1×2×-12=-1,由λa +b ⊥a -b ,得λa +b ⋅a -b =0,即λa 2+1-λ a ⋅b -b 2=0,∴ λ-1-λ -4=0,解得λ=52.故选:D12.(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知向量a ,b 满足a =1,b =t ,2-t ,a -b 与a 垂直,则a -b的最小值为()A.2B.22C.1D.3【答案】C【分析】向量垂直则数量积为零,由此求出a ⋅b ,求a -b,利用平方法转化为数量积进行计算.【详解】由a -b 与a 垂直,得a -b ⋅a =0,则a ⋅b =a 2=1,所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=12-2×1+t 2+(2-t )2=2(t -1)2+1≥1,所以当t =1时,a -b的最小值为1.故选:C题型02 概率13.(2024·广东深圳·校考一模)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次,得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ,则这6个点数的中位数为4的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】A【分析】根据x 的六种取值情况分别得出中位数,再利用古典概型概率公式即得.【详解】当x =1,2,3时,这6个点数的中位数为3,当x =4时,这6个点数的中位数为4,当x =5,6时,这6个点数的中位数为4.5,故由古典概型概率公式可得:P =16.故选:A .14.(2024·辽宁沈阳·统考一模)下图是离散型随机变量X 的概率分布直观图,其中3a =5b ,2b =3c ,则()A.a =0.5B.E X =2.3C.D X =0.61D.D 2X =1.22【答案】ABC【分析】由所有取值频率之和为1,结合已知条件,解出a ,b ,c ,利用期望和方差公式计算数据,验证选项即可.【详解】由题知a +b +c =1,3a =5b ,2b =3c ,解得a =0.5,b =0.3,c =0.2,A 选项正确;所以E X =1×0.2+2×0.3+3×0.5=2.3,B 选项正确;D X =(1-2.3)2×0.2+(2-2.3)2×0.3+(3-2.3)2×0.5=0.61,C 选项正确;D 2X =22⋅D x =2.44,D 选项错误.故选:ABC .15.(2024·重庆·统考一模)已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X (单位:小时),且X ∼N 5.5,σ2 ,P (x >6)=0.2.现从该社区中随机抽取3名居民,则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为()A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748【答案】B【分析】根据正态分布的对称性结合概率的乘法公式即可.【详解】由题意得P (x >5.5)=0.5,则P (5.5<x <6)=0.5-0.2=0.3,则P (5<x <6)=0.3×2=0.6,则至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为C 230.62×0.4+C 330.63=0.648,故选:B .16.(2024·河北·校联考一模)在党的二十大报告中,习近平总书记提出要发展“高质量教育”,促进城乡教育均衡发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召,近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作,则每个地区至少安排1名专家的概率为()A.19B.49C.13D.827【答案】B【分析】分别求出“甲、乙、丙、丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数,再由古典概型的计算公式求解即可.【详解】甲、乙、丙、丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有:34=81种;每个地区至少安排1名专家的安排方法有:C 24A 33=36种;由古典概型的计算公式,每个地区至少安排1名专家的概率为:3681=49.故选:B .17.(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)甲箱中有2个白球和4个黑球,乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,以A 1,A 2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球;再从乙箱中随机取出一球,以B 表示从乙箱中取出的是白球,则下列结论错误的是()A.A 1,A 2互斥 B.P B A 1 =57C.P A 2B =17D.P B =1321【答案】C【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识,逐一分析选项,即可得答案.【详解】因为每次只取一球,故A 1,A 2是互斥的事件,故A 正确;由题意得P A 1 =13,P A 2 =23,P B A 1 =57,P B A 2 =47,P B =P A 1B +P A 2B =13×57+23×47=1321,故B ,D 均正确;因为P A 2B =23×47=821,故C 错误.故选:C .18.(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知某人每次投篮的命中率为p 0<p <1 ,投进一球得1分,投不进得0分,记投篮一次的得分为X ,则4D X -32E X的最大值为.【答案】2-23/-23+2【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.【详解】由题意可知,X 服从两点分布,可得E X =p ,0<p <1,D X =1-pp,则4D X -32E X=4p1-p-32p=2-2p-32p=2-2p+32p≤2-22p⋅32p=2-23,当且仅当2p=32p,即p=32时,等号成立,故4D X -32E X最大值为2-23.故答案为:2-2 3.19.(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)某饮料厂生产A,B两种型号的饮料,已知这两种饮料的生产比例分别为40%,60%,且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为20%,80%,若从该厂生产的饮料中任选一瓶,则选到非碳酸饮料的概率约为()A.0.12B.0.20C.0.44D.0.32【答案】C【分析】由全概率公式计算即可得.【详解】由题意,选到非碳酸饮料的概率为40%×1-20%+60%×1-80%=0.44.故选:C.20.(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)关于下列命题中,说法正确的是()A.已知X∼B n,p,若E X =30,D X =20,则p=2 3B.数据91,72,75,85,64,92,76,78,86,79的45%分位数为78C.已知ξ∼N0,1,若Pξ>1=p,则P-1≤ξ≤0=12-pD.某校三个年级,高一有400人,高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人,已知从高一抽取了20人,则应从高三抽取19人.【答案】BCD【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得p=13,知A错误;将数据按照从小到大顺序排序后,根据百分位数的估计方法直接求解知B正确;由正态分布曲线的对称性可求得C正确;根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数,由此可得高三数据,知D正确.【详解】对于A,∵X∼B n,p,∴E X =np=30D X =np1-p=20,∴1-p=23,解得:p=13,A错误;对于B,将数据从小到大排序为64,72,75,76,78,79,85,86,91,92,∵10×45%=4.5,∴45%分位数为第5个数,即78,B正确;对于C,∵ξ∼N0,1,∴P-1≤ξ≤0=121-Pξ>1-Pξ<-1=121-2Pξ>1=12-p,C正确;对于D,∵抽样比为20400=120,∴高二应抽取360×120=18人,则高三应抽取57-20-18=19人,D正确.故选:BCD.21.(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)为落实中央“坚持五育并举,全面发展素质教育,强化体育锻炼”的精神,某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动,甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛,规定:每一局比赛中获胜方记1分,失败方记0分,没有平局,首先获得5分者获胜,比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是35.(1)求比赛结束时恰好打了6局的概率;(2)若甲以3:1的比分领先时,记X 表示到结束比赛时还需要比赛的局数,求X 的分布列及期望.【答案】(1)5823125;(2)分布列答案见解析,数学期望:1966625.【分析】(1)比赛恰好打了6局的情况有两种:甲胜或乙胜,即可求解;(2)分析可知X 的可能取值为2,3,4,5,分别求出对应的概率,由此能求出X 的分布列和E X .【详解】解:(1)比赛结束时恰好打了6局,甲获胜的概率为P 1=C 45×35 4×25 ×35=4863125,恰好打了6局,乙获胜的概率为P 2=C 15×35 1×25 4×25=963125,所以比赛结束时恰好打了6局的概率为P =P 1+P 2=4863125+963125=5823125.(2)X 的可能取值为2,3,4,5,P X =2 =35 2=925,P X =3 =C 12×25×35×35=36125,P X =4 =C 13×35×25 2×35+25 4=124625,P X =5 =C 14×35×25 3×35+C 34×25 3×35×25=96625.所以X 的分布列如下:X2345P9253612512462596625故E X =2×925+3×36125+4×124625+5×96625=1966625.22.(2024·广东深圳·校考一模)某6人小组利用假期参加志愿者活动,已知参加志愿者活动次数为2,3,4的人数分别为1,3,2,现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参加表彰会.(1)求选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率;(2)记选出的2人参加志愿者活动次数之和为X ,求X 的分布列和期望.【答案】(1)415;(2)分布列见解析,193.【分析】(1)利用古典概率公式即求;(2)由题可知X 的可能取值为5,6,7,8,然后利用求分布列的步骤及期望公式即得.【详解】(1)从这6人中随机选出2人,共有C 26=15种选法,其中这2人参加志愿者活动次数相同的选法有C 23+C 22=4种.,故选出的2人参加志愿者活动次数相同的概率为415.(2)由题可知,X 的可能取值分别为5,6,7,8,P X =5 =C 13C 26=15,P X =6 =C 23+C 12C 26=13,P X =7 =C 13C 12C 26=25,P X =8 =C 22C 26=115.故X 的分布列为:X 5678P151325115∴E X =5×15+6×13+7×25+8×115=193.23.(2024·辽宁沈阳·统考一模)某城市有甲、乙两个网约车公司,相关部门为了更好地监管和服务,通过问卷调查的方式,统计当地网约车用户(后面简称用户,并假设每位用户只选择其中一家公司的网约车出行)对甲,乙两个公司的乘车费用,等待时间,乘车舒适度等因素的评价,得到如下统计结果:①用户选择甲公司的频率为0.32,选择乙公司的频率为0.68:②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62,选择乙公司的用户对等待时间满意的频率为0.78;③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68,选择乙公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.61;④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21,选择乙公司的用户对乘车费用满意的频率为0.32.将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率,并比较用户对哪个因素满意的概率最大,对哪个因素满意的概率最小.(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意,则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行?并说明理由.【答案】(1)答案见解析(2)该用户选择乙公司出行的概率更大,理由见解析【分析】(1)利用全概率公式可计算出用户网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率,即可得出结论;(2)利用条件概率公式计算出该用户对甲、乙两个公司网约车舒适度满意率,比较大小后可得出结论.【详解】(1)解:设事件M :用户选择甲公司的网约车出行,事件A :用户对等待时间满意,事件B :用户对乘车舒适度满意,事件C :用户对乘车费用满意.则P A =P M P A M +P M P A M=0.32×0.62+0.68×0.78=0.7288,P B =P M P B M +P M P B M=0.32×0.68+0.68×0.61=0.6324,P C =P M P C M +P M P C M=0.32×0.21+0.68×0.32=0.2848所以,用户对等待时间满意的概率最大,对乘车费用满意的概率最小.(2)解:由题知,P M B =P MB P B=0.32×0.680.6324=5441581,P M B =P M B P B=0.68×0.610.6324=10371581,所以,P M B <P MB ,故该用户选择乙公司出行的概率更大.24.(2024·云南曲靖·统考一模)2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行.树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动.比赛采用2n -1局n 胜制n ∈N * 的比赛规则,即先赢下n 局比赛者最终获胜,已知每局比赛甲获胜的概率为p ,乙获胜的概率为1-p ,比赛结束时,甲最终获胜的概率P n .(1)若p =12,n =2,结束比赛时,比赛的局数为X ,求X 的分布列与数学期望;(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利,即P 3>P 2,求p 的取值范围.【答案】(1)分布列见解析,期望为52;(2)12<p <1.【分析】(1)先写出离散型随机变量的分布列,再求出数学期望即可;(2)先根据已知不等式列式求解,再根据单调性定义作差证明单调递增说明结论.【详解】(1)p =12,n =2,即采用3局2胜制,X 所有可能值为2,3,P (X =2)=12 2+12 2=12,P (X =3)=C 1212 212 +C 1212 12 2=12,X 的分布列如下,X23P1212所以E (X )=2×12+3×12=52.(2)采用3局2胜制:不妨设赛满3局,用ξ表示3局比赛中甲胜的局数,则ξ∼B (3,p ),甲最终获胜的概率为P 2=P ξ=2 +P ξ=3 =C 23p 21-p +C 33p 3=p 23-2p ,采用5局3胜制:不妨设赛满5局,用η表示5局比赛中甲胜的局数,则η∼B (5,p ),甲最终获胜的概率为P 3=P ξ=3 +P ξ=4 +P ξ=5 =C 35p 31-p 2+C 45p 41-p +C 55p5=p 3[10(1-p )2+5p (1-p )+p 2]=p 3(6p 2-15p +10),则P 3-P 2=p 36p 2-15p +10 -p 23-2p =3p 2(2p 3-5p 2+4p -1)=3p 2(p -1)(2p 2-3p +1)=3p 2(p -1)2(2p -1)>0,得12<p <1.25.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)一只LED 灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光,受智能程序控制每隔1秒闪一次光,相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光,则下次有12的概率闪黄光;若某次闪黄光,则下次有34的概率闪蓝光;若某次闪蓝光,则下次有14的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.(1)求第4次闪光为红光的概率;(2)求第n 次闪光为红光的概率.【答案】(1)316(2)45⋅-14 n -1+15【分析】(1)由互斥加法、独立乘法公式运算即可求解.(2)由全概率公式得递推f (n )=14-14f (n -1)式,构造等比数列f (n )-15 即可求解.【详解】(1)由题意,前4次闪光的顺序为“红黄蓝红”或“红蓝黄红”,所以P =12×34×14+12×34×14=316.(2)设事件A n 表示“第n 次闪光为红光”,事件B n 表示“第n 次闪光为黄光”,事件C n 表示“第n 次闪光为蓝光”,且P A n =f (n ),P B n =g (n ),则P C n =1-f (n )-g (n ),由题意知f (1)=P A 1 =1,当n ≥2时,P A n =P B n -1 P A n B n -1 +P C n -1 P A n C n -1 ,即f (n )=14g (n -1)+14[1-f (n -1)-g (n -1)],整理得f (n )=14-14f (n -1),所以f (n )-15=-14f (n -1)-15 ,所以f (n )-15 是以f (1)-15=45为首项,-14为公比的等比数列,所以f (n )-15=45⋅-14n -1,故P A n =f (n )=45⋅-14 n -1+15,即第n 次闪红光的概率为45⋅-14n -1+15.26.(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则()A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙不相互独立D.丙与丁不相互独立【答案】BCD【分析】计算各事件概率,再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案.【详解】两次取出的球的数字之和为8,有2,6 ,3,5 ,4,4 ,5,3 ,6,2 共5种情况,所以P 丙 =56×6=536;两次取出的球的数字之和为7,有1,6 ,2,5 ,3,4 ,4,3 ,5,2 ,6,1 共6种情况,所以P 丁 =66×6=16;P 甲 =P 乙 =16;对于A ,P (甲丙)=0≠P (甲)P (丙),故甲与丙不相互独立,错误;对于B ,P (甲丁)=136=P (甲)P (丁),故甲与丁相互独立,正确;对于C ,P (乙丙)=136≠P (乙)P (丙),故乙与丙不相互独立,正确;对于D ,P (丙丁)=0≠P (丁)P (丙),故丙与丁不相互独立,正确.故选:BCD .27.(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)在工业生产中轴承的直径服从N 3.0,0.0025 ,购买者要求直径为3.0±ε,不在这个范围的将被拒绝,要使拒绝的概率控制在4.55%之内,则ε至少为;(若X ~N μ,σ2 ,则P X -μ <2σ =0.9545)【答案】0.1/110【分析】依题意得μ=3.0,σ2=0.0025,则σ=0.05,由P X -3.0 <0.1 =0.9545,得P X -3.0 ≥0.1 =1-0.9545=0.0455,即可求解.【详解】若X ~N μ,σ2 ,则P X -μ <2σ =0.9545)因为工业生产中轴承的直径服从N (3.0,0.0025),所以μ=3.0,σ2=0.0025,则σ=0.05,由P X -3.0 <0.1 =0.9545,得P X -3.0 ≥0.1 =1-0.9545=0.0455,则要使拒绝的概率控制在4.55%之内,则ε至少为0.1.故答案为:0.1##11028.(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)高一(1)班有8名身高都不相同的同学去参加红歌合唱,他们站成前后对齐的2排,每排4人,则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为()A.1384B.34C.38D.116【答案】D【分析】因为8名同学,所以任选两人,身高都不同,只需将抽取的两人安排到一组,高的同学站后即可.【详解】8名身高都不相同的同学站在8个不同的位置有A88种站法,将8名同学分为4组,每组2人,则有C28C26C24C22A44种分法,4组人有A44种站法,故所求概率P=C28C26C24C22A44⋅A44A88=116.故选:D.29.(2024·广西南宁·南宁三中校联考一模)某同学参加学校组织的数学知识竞赛,在5道四选一的单选题中有3道有思路,有2道完全没有思路,有思路的题目每道做对的概率为12,没有思路的题目只好任意猜一个答案.若从这5道题目中任选2题,则该同学2道题目都做对的概率为()A.14B.732C.316D.532【答案】D【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.【详解】设事件A表示“两道题全做对”,若两个题目都有思路,则P1=C23C25×122=340;若两个题目中一个有思路一个没有思路,则P2=C12C13C25×12×14=340;若两个题目都没有思路,则P1=C22C25×142=1160;故P A=P1+P2+P3=340+340+1160=532.故选:D.30.(2024·山西晋城·统考一模)某果园种植了一种水果,现随机抽取这种水果的成熟果实200个,统计了这200个果实的果籽数量,得到下列频数分布表:果籽数量1234水果数100504010(1)求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数.(2)已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价,每个果实的果籽数量与果实的价格如下表所示:果籽数量1234价格/元201286以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率,从该果园的这种成熟果实中任选2个,在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下,设这2个果实的市场售价总和为X元,求X的分布列与数学期望.【答案】(1)2.5,1.8(2)分布列见解析,1665【分析】(1)由题意计算出200×75100=150对应的果籽数量为2,即得第75百分位数为2+32=2.5;(2)先求得果籽数量为1,2,3,4对应的概率,依题要求至少有1个的果籽数量为1的前提下这2个果实的售价之和X ,属于条件概率,而至少有1个的果籽数量为1的概率为1-1-12 2=34,则可对X 的四个可能值40,32,28,26分别利用条件概率公式求得概率,写出分布列即得期望.【详解】(1)将这200个果实的果籽数量从少到多排列,因为200×75100=150,对应的果籽数量为2,故这200个果实的果籽数量的第75百分位数为2+32=2.5.这200个果实的果籽数量的平均数为1×100+2×50+3×40+4×10200=1.8.(2)依题意可得果籽数量为1,2,3,4对应的概率分别为12,14,15,120.被选的2个成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的概率为1-1-12 2=34.X 的可能取值为40,32,28,26,P (X =40)=12×1234=13,P (X =32)=2×12×1434=13,P (X =28)=2×12×1534=415,P (X =26)=2×12×12034=115,则X 的分布列为X40322826P1313415115E (X )=40×13+32×13+28×415+26×115=1665.31.(2024·山西晋城·统考一模)某羽毛球超市销售4种品牌(品牌A ,B ,C ,D )的羽毛球,该超市品牌A ,B ,C ,D 的羽毛球的个数的比例为4:3:2:3,品牌A ,B ,C ,D 的羽毛球的优品率分别为0.8,0.9,0.7,0.6.若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球,他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买,已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8,则可推测他不买的羽毛球的品牌为(填入A ,B ,C ,D 中的1个).【答案】D【分析】先确定不是品牌B ,再利用全概率公式分别计算不买ACD 品牌的概率即可求解.【详解】因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8,且0.8,0.9,0.7,0.6中只有0.9>0.8,所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌B .若他不买品牌A 的羽毛球,则他买到的羽毛球为优品的概率为0.9×33+2+3+0.7×23+2+3+0.6×33+2+3=5.98=0.7375.若他不买品牌C 的羽毛球,则他买到的羽毛球为优品的概率为0.8×44+3+3+0.9×34+3+3+0.6×34+3+3=7.710=0.77.若他不买品牌D 的羽毛球,则他买到的羽毛球为优品的概率为0.8×44+3+2+0.9×34+3+2+0.7×24+3+2=7.39≈0.81.故答案为:D32.(2024·河北·校联考一模)最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功,且每次试验的成功概率为p (0<p <1).现对该产品进行独立重复试验,若试验成功,则试验结束;若试验不成功,则继续试验,且最多试验8次.记X 为试验结束时所进行的试验次数,X 的数学期望为E X .(1)证明:E X <1p;(2)某公司意向投资该产品,若p =0.2,每次试验的成本为a (a >0)元,若试验成功则获利8a 元,则该公司应如何决策投资?请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)应该投资,理由见解析【分析】(1)由题意,X =1,2,3,...,8,P (X =k )=p (1-p )k -1,k =1,2,⋯,7,P (X =8)=(1-p )7,列出分布列,列出E (X ),乘公比错位相减法求和S =(1-p )0+2(1-p )1+3(1-p )2+⋯+7(1-p )6,分析可证明E X <1p;(2)由(1)可得E (X )<1p =5,分析即得解【详解】(1)由题意,X =1,2,3,...,8故P (X =k )=p (1-p )k -1,k =1,2,⋯,7,P (X =8)=(1-p )7分布列如下:X12345678Ppp (1-p )p (1-p )2p (1-p )3p (1-p )4p (1-p )5p (1-p )6(1-p )7所以X 的数学期望E (X )=p (1-p )0+2p (1-p )1+3p (1-p )2+⋯+7p (1-p )6+8(1-p )7,记S =(1-p )0+2(1-p )1+3(1-p )2+⋯+7(1-p )6,(1-p )S =(1-p )1+2(1-p )2+3(1-p )3+⋯+7(1-p )7,作差可得,pS =1-p 0+1-p 1+1-p 2+⋯+1-p 6-71-p 7=1-1-p 7p-71-p 7,则E (X )=pS +8(1-p )7=1-(1-p )7p +(1-p )7=1-(1-p )8p <1p;(2)由(1)可知E (X )<1p=5,则试验成本的期望小于5a 元,试验成功则获利8a 元,且8a >5a ,则该公司应该投资该产品33.(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)某地政府为推动旅游业高质量发展、加快旅游产业化建设,提出要优化传统业态,创新产品和服务方式,培育新业态新产品、新模式,促进康养旅游快速发展.某景区为了进一步优化旅游服务环境,强化服务意识,全面提升景区服务质量,准备从m 个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队展开满意度调查.若一次抽取2个团队,全是私家游团队的概率为1591.(1)若一次抽取3个团队,在抽取的3个团队是同类型团队的条件下,求这3个团队全是跟团游团队的概率;(2)若一次抽取4个团队,设这4个团队中私家游团队的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.【答案】(1)1419(2)分布列见解析,127【分析】(1)根据题意可知共有m +6 个团队,根据全是私家游团队的概率结合古典概型求出m ,再分3个团队全是私家游团队和3个团队全是跟团游团队两种情况讨论,结合古典概型即可得解;(2)先写出随机变量ξ的所有可能取值,再求出对应随机变量的概率,从而可得分布列,再根据期望公式求期望即可.【详解】(1)由题意知共有m+6个团队,一次抽取2个团队的情况有C2m+6种,其中全是私家游团队的情况有C26种,故一次抽取2个团队,全是私家游团队的概率是C26C2m+6=30m+6m+5=1591,整理得m2+11m-152=0,解得m=8或m=-19(舍去),若一次抽取的3个团队全是私家游团队,则共有C36=20种情况,若一次抽取的3个团队全是跟团游团队,则共有C38=56种情况,所以在抽取的3个团队是同类型团队的条件下,这3个团队全是跟团游团队的概率为5620+56=1419;(2)由题意知,随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,Pξ=0=C48C414=701001=10143,Pξ=1=C16C38C414=3361001=48143,Pξ=2=C26C28C414=4201001=60143,Pξ=3=C36C18C414=1601001,Pξ=4=C46C414=151001,故ξ的分布列为ξ01234P 1014348143601431601001151001数学期望Eξ =0×10143+1×48143+2×60143+3×1601001+4×151001=127.34.(2024·吉林延边·统考一模)“斯诺克(Snoo ker)”是台球比赛的一种,意思是“阻碍、障碍”,随着生活水平的提高,“斯诺克”也成为人们喜欢的运动之一.现甲、乙两人进行比赛采用5局3胜制,各局比赛双方轮流开球(例如:若第一局甲开球,则第二局乙开球,第三局甲开球⋯⋯),没有平局,已知在甲的“开球局”,甲获得该局比赛胜利的概率为13,在乙的“开球局”,甲获得该局比赛胜利的概率为12,并且通过“猜硬币”,甲获得了第一局比赛的开球权.(1)求甲以3∶1赢得比赛的概率;(2)设比赛的总局数为ξ,写出随机变量ξ的分布列并求其数学期望E(ξ).【答案】(1)5 36;(2)分布列见解析,数学期望为4912.【分析】(1)设出事件,利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式进行计算;(2)求出随机变量ξ的可能取值及相应的概率,从而求出分布列和数学期望.【详解】(1)记第i局甲赢为事件A i,乙赢为事件B i,则P(A)=P A1A2B3A4+P A1B2A3A4+P B1A2A3A4=13×12×23×12+13×12×13×12+23×12×13×12=5 36(2)由题意知ξ的取值为3,4,5.P ξ=3 =P A 1A 2A 3 +P B 1B 2B 3=13×12×13+23×12×23=518P ξ=4 =P A 1A 2B 3A 4 +P A 1B 2A 3A 4 +P B 1A 2A 3A 4 +P B 1B 2A 3B 4 +P B 1A 2B 3B 4 +P A 1B 2B 3B 4=536+23×12×13×12+23×12×23×12+13×12×23×12=536+836=1336P ξ=5 =1-518-1336=1336由题意得,随机变量ξ的分布列如下:ξ345P51813361336数学期望E ξ =3×518+4×1336+5×1336=14736=4912.35.(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)一个袋子中有10个大小相同的球,其中红球7个,黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到红球的概率;(2)设第1,2,3次都摸到红球的概率为P 1;第1次摸到红球的概率为P 2;在第1次摸到红球的条件下,第2次摸到红球的概率为P 3;在第1,2次都摸到红球的条件下,第3次摸到红球的概率为P 4.求P 1,P 2,P 3,P 4;(3)对于事件A ,B ,C ,当P AB >0时,写出P A ,P B ∣A ,P C ∣AB ,P ABC 的等量关系式,并加以证明.【答案】(1)710(2)详见解析(3)详见解析【分析】(1)根据全概率公式求解即可;(2)根据相互独立事件乘法公式、条件概率公式及排列数公式求解;(3)根据(2)猜想P ABC =P A P B A P C AB ,由条件概率公式证明即可.【详解】(1)记事件“第i 次摸到红球”为A i i =1,2,3,⋯,10 ,则第2次摸到红球的事件为A 2,于是由全概率公式,得P A 2 =P A 1 P A 2|A 1 +P A 1 P A 2|A 1 =710×23+310×79=710.(2)由已知得P 1=P A 1A 2A 3 =A 37A 310=724,P 2=P A 1 =710,P 3=P A 2|A 1 =P A 1A 2 P A 1 =A 27A 210×107=715×107=23,P 4=P A 3|A 1A 2 =P A 1A 2A 3 P A 1A 2 =724×157=58.(3)由(2)可得P 1=P 2P 3P 4,即P A 1A 2A 3 =P A 1 P A 2|A 1 P A 3|A 1A 2 ,可猜想:P ABC =P A P B A P C AB ,证明如下:由条件概率及P (A )>0,P (AB )>0,得P B |A =P AB P A ,P C |AB =P ABCP AB,所以P (A )P B A )P (C AB =P A ⋅P AB P A ⋅P ABCP AB =P ABC .36.(2024·福建厦门·统考一模)已知甲、乙两支登山队均有n 名队员,现有新增的4名登山爱好者a ,b ,c ,d 将依次通过摸出小球的颜色来决定其加入哪支登山队,规则如下:在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个,小球除颜色不同之外,其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球,再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中;接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后,再放入完全相同的红球和黑球各1个,如此重复,直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕.新增登山爱好者若摸出红球,则被分至甲队,否则被分至乙队.(1)求a ,b ,c 三人均被分至同一队的概率;(2)记甲,乙两队的最终人数分别为n 1,n 2,设随机变量X =n 1-n 2 ,求E (X ).【答案】(1)215;(2)3835.【分析】(1)由题意,a ,b ,c 三人均被分至同一队,即三人同分至甲队或乙队,分别求出a 被分至甲队即a 摸出红球的概率、b 被分至甲队即b 摸出红球的概率、c 被分至甲队即c 摸出红球的概率,再应用条件概率公式及互斥事件加法求a ,b ,c 三人均被分至同一队的概率;(2)根据题意有X 可能取值为4,2,0,分析X 各对应值的实际含义,并求出对应概率,进而求期望即可.【详解】(1)a ,b ,c 三人均被分至同一队,即三人同分至甲队或乙队,记事件A =“a 被分至甲队”,事件B =“b 被分至甲队”,事件C =“c 被分至甲队”,当a 即将摸球时,箱中有2个红球和2个黑球,则a 被分至甲队即a 摸出红球的概率为P (A )=12;当a 被分至甲队时,箱中有2个红球和3个黑球,则b 被分至甲队即b 摸出红球的概率为P (B |A )=25;当a ,b 均被分至甲队时,箱中有2个红球和4个黑球,则c 被分至甲队即c 摸出红球的概率为P (C |AB )=13;所以P (AB )=P (A )P (B |A )=12×25=15,则P (ABC )=P (AB )P C |AB )=15×13=115,同理知:新增登山爱好者a ,b ,c 均被分至乙队的概率也为115,所以a ,b ,c 三人均被分至同一队的概率为215.(2)由题设,X 可能取值为4,2,0,X =4为新增的4名登山爱好者被分至同一队,则P (X =4)=2×2×2×2×24×5×6×7=4105,X =2为新增的4名登山爱好者中有3名均被分至同一队,其余1名被分至另一队,设新增的第k (k =1,2,3,4)名登山爱好者被单独分至甲队或乙队,则P 1=P (k =1)=2×2×3×3×34×5×6×7=970,P 2=P (k =2)=2×2×3×3×34×5×6×7=970,P 3=P (k =3)=2×2×2×4×34×5×6×7=435,P 4=P (k =4)=2×2×2×2×54×5×6×7=221,所以P (X =2)=P 1+P 2+P 3+P 4=715,X =0为新增的4名登山爱好者中各有2名被分至甲队和乙队,则P (X =0)=1-P (X =2)-P (X =4)=。
(二十)计数原理
(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理,能正确区分“类”和“步”,并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
(2)理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题.
(3)理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题.
(4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
(二十一)概率与统计
(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列刻画随机现象的重要性,会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.
(2)了解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.
(3)了解条件概率的概念,了解两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.
(4)理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
(5)借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
(6)了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
(7)了解独立性检验的思想、方法及其初步应用.。
计数原理与概率的计算知识点总结计数原理和概率是概率论与数理统计中的重要概念和工具。
它们对于解决实际问题和理解随机事件的发生规律具有重要意义。
本文将就计数原理和概率的计算知识点进行总结。
一、计数原理计数原理是概率论中一类重要的数学方法,用于计算排列、组合、选择等情况下的可能性。
在实际问题中,经常需要求解一些特定场景下的排列和组合数,计数原理可提供有效的计算方法。
1. 排列计数排列是从给定的若干元素中选出若干元素按照一定顺序排列的方式。
对于n个元素中选取r个元素进行排列,排列数用P表示,计算公式为P(n,r)=n!/(n-r)!,其中n!表示n的阶乘。
2. 组合计数组合是从给定的若干元素中选出若干元素不考虑顺序的方式。
对于n个元素中选取r个元素进行组合,组合数用C表示,计算公式为C(n,r)=n!/((n-r)!*r!)。
3. 二项式系数二项式系数是组合数的一种特殊情况,表示的是一个二项式展开式中各项的系数。
对于二项式系数C(n,k),表示二项式展开式中x^n的系数,计算公式为C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)。
二、概率计算概率是描述事件发生可能性大小的数值,可用来解决实际问题中的随机性情况。
概率计算包括基本概率、条件概率和复合事件概率等内容,以下进行详细总结。
1. 基本概率基本概率是指一个事件发生的可能性与样本空间中所有可能事件的比值。
设S为一个试验的样本空间,E为S中的一个事件,在试验中,事件E发生的概率记作P(E),计算公式为P(E)=n(E)/n(S),其中n(E)表示事件E中有利结果的个数,n(S)表示样本空间S中结果的总个数。
2. 条件概率条件概率是指在已知一定条件下某一事件发生的概率。
设A、B为两个事件,且P(B)>0,那么在已知B发生的条件下,事件A发生的条件概率记作P(A|B),计算公式为P(A|B)=P(A∩B)/P(B),其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
统计一.抽样方法:1.简单随机抽样的概念:一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
2.简单随机抽样实施的方法:抽签法;随机数表法。
3.系统抽样的定义:一般地,要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样。
4.分层抽样:当已知总体由差异明显的几部分组成时,为了使样本更客观地反映总体的情况,常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分,然后按各部分在总体中所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样,其中所分成的各部分叫“层”.5二.总体分布的估计:1.频率分布表含义:当总体很大或不便于获得时,可以用样本的频率分布估计总体的频率分布。
把反映总体频率分布的表格称为频率分布表。
2.列频率分布表的步骤:(1)求全距,决定组数和组距,组距=全距÷组数;(2)分组,通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间;(3)登记频数,计算频率,列出频率分布表。
3.频率分布直方图的含义:利用直方图反映样本的频率分布规律,这样的直方图称为频率分布直方图,简称频率直方图。
4. 频率分布直方图的特点:①纵轴表示频率÷组距;②矩形的面积表示频率,各矩形的面积和为1.5.获得样本的频率分布的一般步骤:(1)计算最大值与最大值(极差);(2)确定组距与组数;(3)决定分点;(4)列出频率分布表;(5)画出频率分布直方图。
6.频率分布折线图的含义:将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来,就得到一条折线,称这条折线为频率折线图。
7.制作茎叶图的方法:将所有两位数的十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”,茎相同者共有一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出,共茎的叶一般按从大到小(或从小到大)的顺序同行列出,相同的数重复写出来。
第十章 概率与统计初步第1节 计数原理一、分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n 类方式。
第一类方式有1k 种方法,第2类方式有2k ,...第n 类方式有n k 种方法,那么完成这件事的方法共有n k k k N +⋅⋅⋅++=21(种)二、分步计数原理(乘法原理)完成一件事,有n 个步骤,完成第1步有1k 种方法,完成第2步方式有2k ,...完成第n 步方式有n k 种方法,那么完成这件事的方法共有n k k k N •⋅⋅⋅••=21(种)第2节 随机事件三、事件随机事件:可能发生,可能不发生(表示:A,B,C ) 必然事件:一定发生(表示:Ω) 不可能事件:一定不发生(表示:Φ)举例说明生活中哪些是随机事件,哪些是必然事件,哪些是不可能事件。
事件的描述:加大括号 A={抛掷一枚硬币,出现正面向上}任意抛掷一颗骰子,观察掷出的点数。
事件A={点数是1},B={点数是2}.C={点数不超过2}之间存在着什么联系呢?基本事件:不能再分的最简单事件 复合事件:基本事件组成的事件 二、概率回忆频率的概念,频数:出现的次数总数频数频率=举例:抛掷一枚硬币25次,出现13次正面向上,则正面向上的频率为2513;大量重复地抛一枚硬币,发现事件A 发生的频率稳定在21,事件A 发生的概率为21概率:在大量重复试验中,事件发生的频率的稳定值记为()A P 。
频率与概率的区别:1、频率是试验中的近似值,概率是理论上的准确值;2、概率是频率在大量试验中的稳定值。
三、事件的概率的性质1.对于任意事件A ,有()10≤≤A P2.必然事件的概率为1,()1=ΩP ;3.不可能事件的概率为0,();0=ΦP第3节 古典概型一、古典概型 满足(1)有限性:基本事件有有限个;(2)等可能性:每个基本事件发生的可能性相等。
的试验称为古典概型。
举例:1.在圆内随机找一点,如果找出的每个点都是等可能的,这是古典概型吗? 分析:满足等可能性不满足有限性2.在射击训练中,结果有“命中10环”,“命中9环”,“命中8环”,“命中7环”,“命中6环”,“命中5环”,“不中环”,你认为这是古典概型吗? 分析:满足有限性不满足等可能性。