【课时达标】2018高中数学人教A版选修1-1达标训练：(一) Word版含解析

课时达标训练（八）[即时达标对点练]题组1 直线与椭圆的位置关系1．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________． 题组2 直线与椭圆的相交弦问题3．椭圆x 225＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．184．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 5．已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程． 题组3 与椭圆有关的最值问题6．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，||＝1，且＝0，则||的最小值是________． 7．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则的最大值为________．8．如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，(1)若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围．[能力提升综合练]1．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个2．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是( )A ．[4－23，4＋2 3 ]B ．[4－3，4＋ 3 ]C ．[4－22，4＋2 2 ]D ．[4－2，4＋ 2 ]3．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若＝( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．34．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1，过点(0，2)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点． (1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)O 为坐标原点，求△OAB 的面积．6．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝x ＋m 相交于不同的两点M ，N ，问是否存在实数m 使|AM |＝|AN |；若存在求出m 的值；若不存在说明理由．答 案即时达标对点练1. 解析：选A 因为直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，且点(0，1)在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故直线y ＝kx ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交． 2. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2m ＋y 23＝1，y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 又∵直线与椭圆有两个公共点，∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16 m 2－4m 2－12m＝12m 2－12m >0，解得m >1或m <0.又∵m >0且m ≠3，∴m >1且m ≠3.答案：(1，3)∪(3，＋∞) 3. 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.4. 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝ 54[]（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝ 54（4＋24）＝35. 答案：355. 解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由y 2a 2＋x 2b2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0，x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2a 2＋9b 2＝1，所以a 2＝3b 2.又c 2＝a 2－b 2＝50，所以得a 2＝75，b 2＝25，所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1. 6. 解析：易知点A (3，0)是椭圆的右焦点．答案： 3 7. 解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1，0)． 设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝⎛⎭⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，取得最大值6.答案：68. 解：∵直线AB 的斜率为1， ∴∠BAP ＝45°，(1)∵P (0，1)，即b ＝2，且B (3，1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12，∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1. (2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得，9a 2＋t 2（3－t ）2＝1，解得a 2＝3（3－t ）23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3（3－t ）23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，32. 能力提升综合练1. 解析：选B 因为直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点， 所以4m 2＋n 2 >2，即m 2＋n 2<4，所以n 2<4－m 2， 则m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1. 所以点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内部， 故过点(m ，n )的直线与椭圆有2个交点．2. 解析：选A 方程可化为x 23＋y 28＝1，故椭圆焦点在y 轴上，又a ＝22，b ＝3，所以 －3≤m ≤3，故4－23≤2m ＋4≤23＋4.3. 解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1，0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n . 将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴||＝（2－1）2＋n 2＝1＋1＝ 2.4. 解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.答案：3－15. 解：(1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)设l 的方程为y ＝kx ＋2，即kx －y ＋2＝0，由l 与圆x 2＋y 2＝1相切得21＋k 2＝1，解得k ＝±3.将y ＝±3x ＋2代入x 2＋4y 2－4＝0，得13x 2±163x ＋12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝±16313，x 1x 2＝1213， |AB |＝2（x 1－x 2）2＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝2⎝⎛⎭⎫163132－4×1213＝2413. 又O 到AB 的距离d ＝1. ∴S △OAB ＝12×|AB |×1＝1213. 6解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1， 则右焦点F (a 2－1，0)．由题设|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1. (2)设P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0. 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ>0，即－2<m <2，所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3m 4，从而y P ＝x P ＋m ＝m 4， 所以k AP ＝y P ＋1x P ＝m 4＋1－3m 4， 又|AM |＝|AN |， 所以AP ⊥MN ，所以m 4＋1－3m 4＝－1，解得m ＝2， 所以不存在实数m 使|AM |＝|AN |.。

【人教A版】2018版高中数学选修1-1全一册专题特色训练汇编目录2018版高中数学专题01解密命题充分必要性之含参问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题02或且非命题的真假判断特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题03探索否命题和命题的否定的区别特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题04直击轨迹方程问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题05探索离心率问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题06探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题07解锁圆锥曲线中的定点与定值问题特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题08解密导数的几何意义特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修1含答案2018版高中数学专题10解密函数中的恒成立与能成立问题特色训练新人教A版选修1含答案专题01 解密命题充分必要性之含参问题一、选择题1．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】若“01x ≤≤”是“()(20x a x a ⎡⎤--+<⎣⎦）”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A . ][01,)-∞⋃+∞（，B . []1,0-C . ()1,0-D . ()(),10,-∞-⋃+∞【答案】C点睛：设,p q 对应的集合分别为,A B ，则有以下结论： （1）若p q 是的充分条件，则A B ⊆； （2）若p q 是的充分不必要条件，则A B ；（3）若p q 是的充要条件，则A B =。

根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理。

2．【上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三期中】若关于x 的一元二次方程2ax bx c ++=有两个实数根，分别是1x 、2x ，则“12122{1x x x x +>>”是“两根均大于1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要.【答案】B【解析】若121,1x x >>，则12122{1x x x x +>>，但是1214,2x x ==,满足12122{ 1x x x x +>>，但不满足121,1x x >>。

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课时达标训练1.抛物线y=-错误！未找到引用源。

x2的准线方程是( )A.x=错误！未找到引用源。

B.x=错误！未找到引用源。

C.y=2D.y=4【解析】选C.将抛物线y=-错误！未找到引用源。

x2化为标准形式为x2=-8y,则p=4,所以该抛物线的准线方程为y=2.2.若抛物线y2=2px上横坐标为6的点的焦半径为10,则顶点到准线的距离为( ) A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选C.依抛物线的定义得6+错误！未找到引用源。

=10,顶点到准线的距离为错误！未找到引用源。

,即4.3.以抛物线y2=-8x的焦点为圆心,且和抛物线准线相切的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=8B.x2+(y-2)2=4C.(x+2)2+y2=16D.x2+(y+2)2=16【解析】选C.抛物线y2=-8x的焦点为(-2,0),准线方程为x=2,则圆的半径r=4.故所求圆的方程为(x+2)2+y2=16.4.焦点在直线y=3x-6上的抛物线的标准方程是.【解析】y=3x-6与x轴的交点为(2,0),与y轴的交点为(0,-6),所以当(2,0)为焦点时,y2=8x,当(0,-6)为焦点时,x2=-24y.所以y2=8x或x2=-24y.答案:y2=8x或x2=-24y5.已知点A(0,-2),直线l:y=2,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为.【解析】设圆心为C,则|CA|=d,其中d为点C到直线l的距离,所以C 的轨迹是以A为焦点, l为准线的抛物线.所以所求轨迹方程为x2=-8y.答案:x2=-8y6.求以原点为顶点,坐标轴为对称轴,并且经过P(-2,-4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标.【解析】由已知设抛物线的标准方程是x2=-2py(p>0)或y2=-2px(p>0),把P(-2,-4)代入x2=-2py或y2=-2px得p=错误！未找到引用源。

2018高二数学下选修1-1课时达标训练含答案（人教A版18份）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址阶段质量检测（三）一、选择题．已知f＝lnxx2，则f′＝A.1e3B.1e2c．－1e2D．－1e32．若函数f＝13x3－f′&#8226;x2－x，则f′的值为A．0B．2c．1D．－13．曲线y＝xx＋2在点处的切线方程为A．y＝2x＋1B．y＝2x－1c．y＝－2x－3D．y＝－2x－24．已知对任意实数x，有f＝－f，g＝g．且x&gt;0时，f′&gt;0，g′&gt;0，则x&lt;0时A．f′&gt;0，g′&gt;0B．f′&gt;0，g′&lt;0c．f′&lt;0，g′&gt;0D．f′&lt;0，g′&lt;05．函数f＝lnxxA．在上是增函数B．在上是减函数c．在上是增函数，在上是减函数D．在上是减函数，在上是增函数6．若函数y＝a的递增区间是－∞，－33，33，＋∞，则a的取值范围是A．a＞0B．－1＜a＜0c．a＞1D．0＜a＜17．已知函数f＝x有两个极值点，则实数a的取值范围是A．B.0，12c．D．8．方程2x3－6x2＋7＝0在内根的个数为A．0B．1c．2D．39．函数y＝12x－2sinx的图象大致是0．若函数f在R上可导，且f&gt;f′，则当a&gt;b时，下列不等式成立的是A．eaf&gt;ebfB．ebf&gt;eafc．ebf&gt;eafD．eaf&gt;ebf1．设函数f′是奇函数f的导函数，f＝0，当x&gt;0时，xf′－f&lt;0，则使得f&gt;0成立的x的取值范围是A．∪B．∪c．∪D．∪2．若定义在R上的函数f满足f＝－1，其导函数f′满足f′&gt;k&gt;1，则下列结论中一定错误的是A．f1k&lt;1kB．f1k&gt;1k－1c．f1k－1&lt;1k－1D．f1k－1&gt;kk－1二、填空题3．若曲线y＝ax2－lnx在点处的切线平行于x轴，则a ＝________．4．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．5．已知a&lt;0，函数f＝ax3＋12alnx，且f′的最小值是－12，则实数a的值为________．6．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________．三、解答题7．设定义在上的函数f＝ax＋1ax＋b．求f的最小值；若曲线y＝f在点)处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．8．已知a∈R，函数f＝ex.当a＝2时，求函数f的单调区间；若函数f在上单调递增，求实数a的取值范围．9．设函数f＝e2x－alnx.讨论f的导函数f′零点的个数；证明：当a&gt;0时，f≥2a＋aln2a.20．已知函数f＝lnxx.判断函数f的单调性；若y＝xf＋1x的图象总在直线y＝a的上方，求实数a 的取值范围．21．已知函数f＝lnx－ax.若f存在最小值且最小值为2，求a的值；设g＝lnx－a，若g&lt;x2在＝ln1＋x1－x.求曲线y＝f在点)处的切线方程；求证：当x∈时，f＞2x＋x33；设实数k使得f＞kx＋x33对x∈恒成立，求k的最大值．.解析：选D ∵f′＝x2x－2xlnxx4＝1－2lnxx3，∴f′＝1－2lnee3＝－1e3.2.解析：选A ∵f＝13x3－f′&#8226;x2－x，∴f′＝x2－2f′&#8226;x－1，∴f′＝1－2f′－1，∴f′＝0.3.解析：选A ∵y′＝x′（x＋2）－x（x＋2）′（x ＋2）2＝2（x＋2）2，∴k＝y′|x＝－1＝2（－1＋2）2＝2，∴切线方程为：y＋1＝2，即y＝2x＋1.4.解析：选B f为奇函数且x&gt;0时单调递增，所以x&lt;0时单调递增，f′&gt;0;g为偶函数且x&gt;0时单调递增，所以x&lt;0时单调递减，g′&lt;0.5.解析：选c 由f′＝1－lnxx2，令f′＞0，得0＜x ＜e；令f′＜0得e＜x＜10，故选c.6.解析：选A 依题意得y′＝a＞0的解集为－∞，－33，33，＋∞，∴a＞0.7.解析：选B 由题知，x&gt;0，f′＝lnx＋1－2ax，由于函数f有两个极值点，则f′＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点，则a&gt;0.设函数y＝lnx＋1上任一点处的切线为l，则kl＝y′＝1x0，当l过坐标原点时，1x0＝1＋lnx0x0&#8658;x0＝1，令2a＝1&#8658;a＝12，结合图象知0&lt;a&lt;12.8.解析：选B 设f＝2x3－6x2＋7，则f′＝6x2－12x＝6x．∵x∈，∴f′&lt;0.∴f在上递减，又f＝7，f＝－1，∴f在上有且只有一个零点，即方程2x3－6x2＋7＝0在内只有一个根．9.解析：选c 因为y′＝12－2cosx，所以令y′＝12－2cosx＞0，得cosx＜14，此时原函数是增函数；令y′＝12－2cosx＜0，得cosx＞14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选项c正确．0.解析：选 D ∵f（x）ex′＝exf′（x）－exf（x）（ex）2＝ex[f′（x）－f（x）]（ex）2&lt;0，∴y＝f（x）ex单调递减，又a&gt;b，∴f（a）ea&lt;f（b）eb，∴eaf&gt;ebf．1.解析：选A 当x&gt;0时，令F＝f（x）x，则F′＝xf′（x）－f（x）x2&lt;0，∴当x&gt;0时，F＝f（x）x 为减函数．∵f为奇函数，且由f＝0，得f＝0，故F＝0.在区间上，F&gt;0；在上，F&lt;0.即当0&lt;x&lt;1时，f&gt;0；当x&gt;1时，f&lt;0.又f为奇函数，∴当x∈时，f&gt;0；当x∈时，f&lt;0.综上可知，f&gt;0的解集为∪．2.解析：选c 构造函数F＝f－kx，则F′＝f′－k&gt;0，∴函数F在R上为单调递增函数．∵1k－1&gt;0，∴F1k－1&gt;F．∵F＝f＝－1，∴f1k－1－kk－1&gt;－1，即f1k－1&gt;kk－1－1＝1k－1，∴f1k－1&gt;1k－1，故c错误．3.解析：由曲线在点处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝12.答案：124.解析：由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为－1，－1e，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y＝－1e.答案：y＝－1e5.解析：f′＝3ax2＋12ax，则f′＝3a＋12a.∵a&lt;0，∴f′＝－（－3a）＋21－a≤－2（－3a）×12－a＝－12.当－3a＝12－a，即a＝－2时，取“＝”．答案：－26.解析：∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴1＋a＋b＋a2＝10，3＋2a＋b＝0&#8658;a＝－3，b＝3或a＝4，b＝－11.当a＝－3，b＝3时，y′＝3x2－6x＋3＝32≥0，函数无极值，故a＝4，b＝－11.答案：47.解：法一：由题设和均值不等式可知，f＝ax＋1ax＋b≥2＋b，当且仅当ax＝1等号成立，即当x＝1a时，f取最小值为2＋b.法二：f的导数f′＝a－1ax2＝a2x2－1ax2，当x&gt;1a时，f′&gt;0，f在1a，＋∞上单调递增；当0&lt;x&lt;1a时，f′&lt;0，f在0，1a上单调递减．所以当x＝1a时，f取最小值为2＋b.由题设知，f′＝a－1ax2，f′＝a－1a＝32，解得a＝2或a＝－12．将a＝2代入f＝a＋1a＋b＝32，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.8.解：当a＝2时，f＝ex，f′＝ex.令f′&gt;0，即ex&gt;0，注意到ex&gt;0，所以－x2＋2&gt;0，解得－2&lt;x&lt;2.所以，函数f的单调递增区间为．同理可得，函数f的单调递减区间为和．因为函数f在上单调递增，所以f′≥0在上恒成立．又f′＝[－x2＋x＋a]ex，所以[－x2＋x＋a]ex≥0，注意到ex&gt;0，因此－x2＋x＋a≥0在上恒成立，也就是a ≥x2＋2xx＋1＝x＋1－1x＋1在上恒成立．设y＝x＋1－1x＋1，则y′＝1＋1（x＋1）2&gt;0，即y＝x＋1－1x＋1在上单调递增，则y&lt;1＋1－11＋1＝32，故a≥32.即实数a的取值范围为32，＋∞.9.解：f的定义域为，f′＝2e2x－ax.当a≤0时，f′&gt;0，f′没有零点；当a&gt;0时，设u＝e2x，v＝－ax，因为u＝e2x在上单调递增，v＝－ax在上单调递增，所以f′在上单调递增．又f′&gt;0，当b满足0&lt;b&lt;a4且b&lt;14时，f′&lt;0，故当a&gt;0时，f′存在唯一零点．证明：由，可设f′在上的唯一零点为x0，当x∈时，f′&lt;0；当x∈时，f′&gt;0.故f在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝x0时，f取得最小值，最小值为f．由于2e2x0－ax0＝0，所以f＝a2x0＋2ax0＋aln2a≥2a＋aln2a.故当a&gt;0时，f≥2a＋aln2a.20.解：f′＝1－lnxx2.当0&lt;x&lt;e时，f′&gt;0，f为增函数；当x&gt;e时，f′&lt;0，f为减函数．依题意得，不等式a&lt;lnx＋1x对于x&gt;0恒成立．令g＝lnx＋1x，则g′＝1x－1x2＝1x1－1x.当x∈时，g′＝1x1－1x&gt;0，则g是上的增函数；当x∈时，g′&lt;0，则g是上的减函数．所以g的最小值是g＝1，从而a的取值范围是．21.解：f′＝1x＋ax2＝x＋ax2，当a≥0时，f′&gt;0，f在上是增函数，f不存在最小值；当a&lt;0时，由f′＝0得x＝－a，且0&lt;x&lt;－a，时f′&lt;0，x&gt;－a时，f′&gt;0.∴x＝－a时，f取得最小值，f＝ln＋1＝2，解得a＝－e.g&lt;x2即lnx－a&lt;x2，即a&gt;lnx－x2，故g&lt;x2在＝lnx－x2，则h′＝1x－2x＝1－2x2x，由h′＝0及0&lt;x≤e得x＝22.当0&lt;x&lt;22时，h′&gt;0，当22&lt;x≤e时，h′&lt;0，即h在0，22上为增函数，在22，e上为减函数，所以当x＝22时h取得最大值为h22＝ln22－12.所以g&lt;x2在因为f＝ln－ln，所以f′＝11＋x＋11－x，f′＝2.又因为f＝0，所以曲线y＝f在点)处的切线方程为y＝2x.证明：令g＝f－2x＋x33，则g′＝f′－2＝2x41－x2.因为g′&gt;0，所以g在区间上单调递增．所以g&gt;g＝0，x∈，即当x∈时，f&gt;2x＋x33.由知，当k≤2时，f&gt;kx＋x33对x∈恒成立．当k&gt;2时，令h＝f－kx＋x33，则h′＝f′－k＝kx4－k＋21－x2.所以当0&lt;x&lt;4k－2k时，h′&lt;0，因此h在区间0，4k－2k上单调递减．故当0&lt;x&lt;4k－2k时，h&lt;h＝0，即f&lt;kx＋x33.所以当k&gt;2时，f&gt;kx＋x33并非对x∈恒成立．综上可知，k的最大值为2.。

课时达标训练（十六）[即时达标对点练]题组1 函数与导函数图象间的关系1．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )2．若函数y ＝f ′(x )在区间(x 1，x 2)内是单调递减函数，则函数y ＝f (x )在区间(x 1，x 2)内的图象可以是( )3．如图所示的是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则在[－2，5]上函数f (x )的递增区间为________．题组2 判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间 4．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4) D ．(2，＋∞) 5．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1]B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)6．证明函数f (x )＝sin x x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 题组3 与参数有关的函数单调性问题7．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤138．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．9．已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．[能力提升综合练]1．y ＝x ln x 在(0，5)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上减 2．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2)3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )4．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )5．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．7．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )，讨论f (x )的单调性．8．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x ，a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围．答 案 即时达标对点练1. 解析：选A 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先减后增，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右是先减小后增大．2. 解析：选B 选项A 中，f ′(x )>0且为常数函数；选项C 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内单调递增；选项D 中，f ′(x )>0且f ′(x )在(x 1，x 2)内先增后减．故选B.3. 解析：因为在(－1，2)和(4，5]上f ′(x )>0，所以f (x )在[－2，5]上的单调递增区间为(－1，2)和(4，5]．答案：(－1，2)和(4，5]4. 解析：选D f ′(x )＝(x －3)′e x＋(x －3)(e x)′＝e x(x －2)．由f ′(x )>0得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．5. 解析：选B 函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，y ′＝x －1x ＝（x －1）（x ＋1）x，令y ′≤0，则可得0<x ≤1.6. 证明：∵f (x )＝sin xx，∴f ′(x )＝（sin x ）′x －sin x ·（x ）′x 2＝x cos x －sin x x2. 由于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos x <0，sin x >0，x cos x －sin x <0.故f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．7. 解析：选A f ′(x )＝3ax 2－1. ∵f (x )在R 上为减函数， ∴f ′(x )≤0在R 上恒成立． ∴a ≤0，经检验a ＝0符合题意．8. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解，即－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，解得b ＝－32，c ＝－6.答案：－32－69. 解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋a x，当a >0时，f ′(x )>0，函数f (x )只有单调递增区间为(0，＋∞)．当a <0时，由f ′(x )＝x ＋ax >0，得x >－a ；由f ′(x )＝x ＋a x<0，得0<x <－a ， 所以当a <0时，函数f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．能力提升综合练1. 解析：选C ∵y ′＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴当0<x <1e时，ln x <－1，即y ′<0.∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上减．当1e <x <5时，ln x >－1，即y ′>0. ∴y 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上增． 2. 解析：选A 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．3. 解析：选D 对于选项A ，若曲线C 1为y ＝f (x )的图象，曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则函数y ＝f (x )在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f ′(x )>0.因此，选项A 可能正确．同理，选项B 、C 也可能正确．对于选项D ，若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象，则y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C 1不相符．因此，选项D 不可能正确．4. 解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f （x ）g （x ）在R 上为减函数．又因为a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ），又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )． 5. 解析：若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b 有两个不相等的实数根，所以b ＞0.答案：(0，＋∞)6. 解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，327. 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．8. 解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1，4]上单调递减，所以x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立，令G (x )＝1x 2－2x，则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1. 因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x16x＝（7x －4）（x －4）16x.因为x ∈[1，4]，所以h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，即h (x )在[1，4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.。

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课时达标训练1.下列语句不是命题的有( )①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选B.①③④可以判断真假,是命题;②不能判断真假,所以不是命题.2.下列命题中,是真命题的是( )A.{x∈R|x2+1=0}不是空集B.若x2=1,则x=1C.空集是任何集合的真子集D.x2-5x=0的根是自然数【解析】选D.A中方程在实数范围内无解,故是假命题;B中若x2=1,则x=±1,故B是假命题;因空集是任何非空集合的真子集,故C是假命题.3.命题“菱形的对角线相互垂直平分”的结论是( )A.这个四边形是菱形B.这个四边形的对角线相互平分C.这个四边形的对角线相互垂直D.这个四边形的对角线既相互垂直,也相互平分【解析】选D.把命题改为“若p,则q”的形式:“若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线既相互垂直,也相互平分”.4.若命题“ax2-2ax+5<0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】因为ax2-2ax+5<0不成立,所以ax2-2ax+5≥0恒成立.当a=0时,5≥0恒成立;当a≠0时,则有错误！未找到引用源。

解得0<a≤5.综上可得,0≤a≤5.答案:[0,5]5.判断下列语句是否是命题,并说明理由.(1)李华长得很帅.(2)2030年,人类能登上火星.(3)1是素数.(4)若x<0,则x>3.【解析】(1)“帅”的标准没有明确的定义,何谓“帅”,是无法判断,模棱两可的,故不能判断真假.该语句不是命题.(2)因为2030年还没有到来,所以该语句现在不能判断真假,但随着科技的进步,将来一定能判断真假,这类语句也能称之为命题. (3)1既不是素数也不是合数,该语句判断为假,又是陈述句,故是命题.(4)若x<0,则x>3,该语句是用式子表达的且能判断真假,故是命题.关闭Word文档返回原板块。

1.1.1 命题学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．(3)分类命题⎩⎨⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．2．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．[基础自测]1．思考辨析(1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题．( )[解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤ D．②③⑤A[①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]3．下列命题中，真命题共有( )【导学号：97792000】①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1个B．2个C．3个D．4个A[①、②、④是假命题，③是真命题．][合作探究·攻重难]A．x2－1＝0 B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.[解析](1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．[答案](1)B (2)①④题对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．(2)不是命题，不能判断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．(4)疑问句，不是命题．(5)是命题，能判断真假．(6)不是命题，不能判断真假．(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p则q”的形式，则p是________，q是________.【导学号：97792001】(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．①函数y＝lg x是单调函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.[思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．[解析](1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．[答案]一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．(2)①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数．②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.③若abc ＝0，则a ＝0且b ＝0且c ＝0.2．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式． (1)当1a >1b时，a <b ；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行； (3)同弧所对的圆周角不相等． [解] (1)若1a >1b，则a <b ；(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行； (3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．1．如何判断一个命题是真命题？提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性． 2．如何判断一个命题是假命题？ 提示：举出一个反例即可．给定下列命题： ①若a >b ，则2a >2b ；②命题“若a ，b 是无理数，则a ＋b 是无理数”是真命题； ③直线x ＝π2是函数y ＝sin x 的一条对称轴；④在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是钝角三角形． 其中为真命题的是________．[思路探究] 命题――――――――→严格的逻辑推理真命题―――――→恰当的反例假命题 [解析] 对于①，根据函数f (x )＝2x 的单调性知①为真命题．对于②，若a ＝1＋3，b ＝1－3，则a ＋b ＝2不是无理数，因此②是假命题． 对于③，函数y ＝sin x 的对称轴方程为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，故③为真命题．对于④，因为AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－|AB →||BC →|cos B >0，故得cos B <0，从而得B 为钝角，所以④为真命题．[答案] ①③④1．下列语句不是命题的个数为( )①2<1；②x <1；③若x <1，则x <2；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [语句①、③、④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．] 2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A ．这个四边形的对角线互相平分 B ．这个四边形的对角线互相垂直C ．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D ．这个四边形是平行四边形C [把命题改写成“若p ，则q ”的形式后可知C 正确．故选C.] 3．下列命题是真命题的为( )【导学号：97792002】A ．若a >b ，则1a <1bB ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列C ．若|x |<y ，则x 2<y 2D ．若a ＝b ，则a ＝bC [对于A ，若a ＝1，b ＝－2，则1a >1b，故A 是假命题．对于B ，当a ＝b ＝0时，满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不是等比数列，故B 是假命题． 对于C ，因为y >|x |≥0，则x 2<y 2是真命题．对于D ，当a ＝b ＝－2时，a 与b 没有意义，故D 是假命题．]4．命题“关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a 的取值范围为________．(－∞，0)∪(0,1) [由题意知⎩⎨⎧a ≠0Δ＝4－4a >0，解得a <1，且a ≠0.]5．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断其真假． (1)末位数字是0的整数能被5整除； (2)偶函数的图象关于y 轴对称； (3)菱形的对角线互相垂直.【导学号：97792003】[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题． (2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y 轴对称，为真命题． (3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．四种命题的概念及表示形式”；否命题为“若p 则，则p(1)四种命题之间的关系(2)四种命题间的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 思考：(1)“a ＝b ＝c ＝0”的否定是什么？(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？[提示](1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．[基础自测]1．思考辨析(1)命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”．( )(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．[答案](1)×(2)√(3)√2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”B[根据逆命题的定义知，选B.]3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )【导学号：97792008】A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题C[原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C.][合作探究·攻重难]逆否命题．(1)相似三角形对应的角相等；(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；(3)正方形的对角线互相平分．[解](1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )【导学号：97792009】A．若y≠kx，则x与y成正比例关系B．若y≠kx，则x与y成反比例关系C．若x与y不成正比例关系，则y≠kxD．若y≠kx，则x与y不成正比例关系D[条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.](2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则ab＝0 [“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．4个(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．[思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．(2)思路一写出原命题的逆否命题→判断其真假思路二原命题与逆否命题同真同假即等价关系→判断原命题的真假→得到逆否命题的真假[解析](1)当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C.[答案] C(2)法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－14<0，∴原命题的逆否命题为真命题．法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可[跟踪训练]2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．[解](1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2<y2，所以“若x>y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x －6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.【导学号：97792010】[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．[解析](1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．若a≠0，由题意知{aΔ＝4a2＋12a≤0，即{a－3≤a≤0，∴－3≤a<0综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.[答案][－3,0](2)证明原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.[证明]“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．[当堂达标·固双基]1．命题“若a∉A，则b∈B”的逆命题是( )A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉AC[“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则a∉A”．]2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3A[同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )A．1 B．2 C．3 D．4B[原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.【导学号：97792011】若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1[原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)[自主预习·探新知]1．充分条件与必要条件p的充分条件(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p ；④q是p 的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q(2)等价2．充要条件(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．[基础自测]1．思考辨析(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )(2)q不是p的必要条件时，“pD⇒/q”成立．( )(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )[答案](1)√(2)√(3)×2．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A [由x 2－3x ＋2>0得x >2或x <1，故选A.]3．下列各题中，p 是q 的充要条件的是________(填序号)． (1)p ：b ＝0，q ：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数； (2)p ：x >0，y >0，q ：xy >0； (3)p ：a >b ，q ：a ＋c >b ＋c .【导学号：97792015】(1)(3) [在(1)(3)中，p ⇔q ，所以(1)(3)中p 是q 的充要条件，在(2)中，q ⇒p ，所以(2)中p 不是q 的充要条件．][合 作 探 究·攻 重 难]条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)对于实数x ，y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6； (3)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (4)p ：a ＜b ，q ：a b＜1.[思路探究] 判断p ⇒q 与q ⇒p 是否成立，当p 、q 是否定形式，可判断q 是p 的什么条件．[解] (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充分必要条件． (2)因为x ＝2且y ＝6⇒x ＋y ＝8，即q ⇒p ，但p ⇒q ，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要不充分条件．(4)由于a ＜b ，当b ＜0时，a b＞1；当b ＞0时，a b ＜1，故若a ＜b ，不一定有a b＜1； 当a ＞0，b ＞0，a b ＜1时，可以推出a ＜b ； 当a ＜0，b ＜0，a b＜1时，可以推出a ＞b . 因此p 是q 的既不充分也不必要条件．等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．逆否法：这是等价法的一种特殊情况． 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； ，且qp ，则p 是q 的必要不充分条件；⇔q 互为充要条件；pq ，且q跟踪训练1．(1)设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( )【导学号：97792016】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件D [令a ＝1，b ＝－1，满足a >b ，但不满足a 2>b 2，即“a >b ”不能推出“a 2>b 2”；再令a ＝－1，b ＝0，满足a 2>b 2，但不满足a >b ，即“a 2>b 2”不能推出“a >b ”，所以“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．](2)对于二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，下列结论正确的是( ) ①Δ＝b 2－4ac ≥0是函数f (x )有零点的充要条件；②Δ＝b 2－4ac ＝0是函数f (x )有零点的充分条件； ③Δ＝b 2－4ac >0是函数f (x )有零点的必要条件； ④Δ＝b 2－4ac <0是函数f (x )没有零点的充要条件． A ．①④ B ．①②③ C ．①②③④D ．①②④D [①Δ＝b 2－4ac ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇔f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b 2－4ac ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，因此函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点，故②正确．③函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有零点时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，未必有Δ＝b 2－4ac >0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b 2－4ac <0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根⇔函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)无零点，故④正确．]A ．0<x <4B ．0<x <2C ．x >0D ．x <4(2)已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.[思路探究] (1)先解不等式x 2－4x <0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x 2－4x <0的解集的子集．(2)充要条件的证明可用其定义，即条件⇒结论且结论⇒条件．如果每一步的推出都是等价的(⇔)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“⇔”写出证明．[解析] (1)由x 2－4x <0得0<x <4，则充分不必要条件是集合{x |0<x <4}的子集，故选B.[答案] B(2)法一：充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y. 必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －xxy<0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0.所以1x <1y的充要条件是xy >0.法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy<0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －xxy<0⇔xy >0. 所以1x <1y⇔xy >0，即1x <1y的充要条件是xy >0.2．(1)不等式x (x －2)<0成立的一个必要不充分条件是( )【导学号：97792017】A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)B [由x (x －2)<0得0<x <2，因为－1，＋∞)，所以“x ∈[－1，＋∞)”是“不等式x (x －2)<0成立”的一个必要不充分条件．](2)求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. [证明] 假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0.①证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，∴a ·12＋b ·1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0. ②证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0， ∴ax 2＋bx －a －b ＝0， 即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.1．记集合A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若p 是q 的充分不必要条件，则集合A 、B 的关系是什么？若p 是q 的必要不充分条件呢？提示：若p 是q 的充分不必要条件，则AB ，若p 是q 的必要不充分条件，B A .2．记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}，若M ⊆N ，则p 是q 的什么条件？若N ⊆M ，M ＝N 呢？提示：若M ⊆N ，则p 是q 的充分条件，若N ⊆M ，则p 是q 的必要条件，若M ＝N ，则p 是q 的充要条件．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________．[思路探究][解析] 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．因为p 是q 的充分不必要条件，所以p ⇒q 且qp .即{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}的真子集，所以⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧1－m ≤－2，m >0，1＋m >10，解得m ≥9.所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}． [答案] {m |m ≥9}(或[9，＋∞))p q>0}1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.] 2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由x 2－4x －5＝0得x ＝5或x ＝－1，则当x ＝5时，x 2－4x －5＝0成立，但x 2－4x －5＝0时，x ＝5不一定成立，故选B.]3．下列条件中，是x 2<4的必要不充分条件是( ) A ．－2≤x ≤2 B ．－2<x <0 C ．0<x ≤2D ．1<x <3A [由x 2<4得－2<x <2，必要不充分条件的x 的范围真包含{x |－2<x <2}，故选A.] 4．若“x ＜m ”是“(x －1)(x －2)＞0”的充分不必要条件，则m 的取值范围是________.【导学号：97792018】(－∞，1] [由(x －1)(x －2)＞0可得x ＞2或x ＜1， 由已知条件，知{x |x ＜m x |x ＞2或x ＜1}，∴m ≤1.]5．求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m ≥2. [证明] (1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1>0，所以x 1，x 2同号． 又x 1＋x 2＝－m ≤－2<0，所以x 1，x 2同为负数． 即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎨⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m <0，即⎩⎨⎧m ≥2或m ≤－2，m >0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2.综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实J 根的充分必要条件．1.3 简单的逻辑联结词1.3.1 且(and) 1.3.2 或(or) 1.3.3 非(not)学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p 且q ”“p 或q ”“非p ”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．“且”(1)定义一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．(2)真假判断当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．2．“或”(1)定义一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．(2)真假判断当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？[提示](1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．3．“非”(1)定义一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作p，读作“非p”或“p的否定”．(2)真假判断若p是真命题，则p必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题．思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？[提示](1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．(2)命题的否定(非p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．4．复合命题：用逻辑联结词“且”；“或”；“非”把命题p和命题q联结来的命题称为复合命题．复合命题的真假判断p1．思考辨析(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．( )(2)若命题p为假，则p∧q一定为假．( )(3)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．( )(4)“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题．( ) [答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．“xy≠0”是指( )A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少一个不为0D．x，y不都是0A[xy≠0⇔x≠0且y≠0，故选A.]3．已知p，q是两个命题，若“(p)∨q”是假命题，则( )【导学号：97792023】A．p，q都是假命题B．p，q都是真命题C．p是假命题，q是真命题D．p是真命题，q是假命题D[若(p)∨q为假命题，则p，q都是假命题，即p真q假，故选D.][合作探究·攻重难](1)方程x2－3＝0没有有理根；(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．[解](1)这个命题是“非p”形式的命题，其中p：方程x2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“p”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.【导学号：97792024】[解](1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p：梯形没有一组对边平行．(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋x 的最小值为4.给出下列命题：①p∧q；②p∨q；③p∧(q)；④(p)∨(q)．则其中真命题的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[思路探究] 判断p ，q 的真假→判断p ，q 的真假 →判断所给命题的真假[解析] 由于Δ＝(－2a )2－4×1×(－1)＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根，所以命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x<0，所以命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∧(q )，(p )∨(q )是真命题，故选C.[答案] C”还是“p 2．(1)已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(q )；④(p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④C [由不等式的性质可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题，②p ∨q 为真命题，③q 为真命题，则p ∧(q )为真命题，④p 为假命题，则(p )∨q 为假命题．](2)分别指出由下列命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“ p ”形式的命题的真假.【导学号：97792025】①p ：1∈{2,3}，q ：2∈{2,3}； ②p ：2是奇数，q ：2是合数； ③p ：4≥4，q ：23不是偶数；④p ：不等式x 2－3x －10<0的解集是{x |－2<x <5}，q ：不等式x 2－3x －10<0的解集是{x |x >5或x <－2}．[解] ①∵p 是假命题，q 是真命题，。

课时达标训练（十九）［即时达标对点练］题组1 面积、体积的最值问题1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( ) A。

错误!错误!π B.错误!错误!πC.错误!错误!πD.错误!错误!错误!π2．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为（)A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm题组2 成本最低（费用最省）问题3．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m4．某公司一年购买某种货物2 000吨,每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为错误!x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________．5．甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P（元)关于速度v（千米/时)的函数是P＝错误!v4－错误!v3＋15v，(1）求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式;(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值．题组3 利润最大问题6．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝－错误!x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（)A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系:Q ＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入—进货支出）( )A．30 元B．60 元C．28 000 元D．23 000 元8．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0)，贷款的利率为0.048,假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x（x∈(0，0。

课时达标训练（七）[即时达标对点练]题组1 由椭圆的标准方程研究几何性质1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.62．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )A ．(±13，0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69) 3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( ) A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9题组2 由椭圆的几何性质求标准方程4．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．86．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，两个焦点分别为F 1和F 2，椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12.则椭圆G 的方程为_______________________． 题组3 椭圆的离心率7．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.238．椭圆的短半轴长为3，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为( )A.513B.35C.45D.12139．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．[能力提升综合练]1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 2．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.52 B.33 C.12 D.133．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.124．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为4 5 的椭圆方程是________．5．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5，4)，则椭圆的方程为________．6．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________． 7．中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆上有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，432，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，2两点，求椭圆的标准方程．8．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．答 案即时达标对点练 1. 解析：选B 把椭圆的方程写成标准方程为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴2a＝10，2b ＝6，c a ＝0.8.2. 解析：选D 由题意知，其焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69.3. 解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.4. 解析：选A 因为2a ＝18，2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72. 5. 解析：选D 由题意得m －2>10－m 且10－m >0，于是6<m <10，再由(m －2)－(10－m )＝22，得m ＝8.6. 解析：依题意可设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0， 半焦距为c ，∵椭圆G 的离心为率为32， ∴ca ＝32⇒c ＝32a . ∵椭圆G 上一点到F 1和F 2的距离之和为12，∴2a ＝12⇒a ＝6.∴c ＝33，b ＝a 2－c 2＝3，∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝1 7. 解析：选A 化为标准方程为x 24＋y 2＝1，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，∴e ＝c a ＝32. 8. 解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a －c ＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，a ＋c ＝9. 当a －c ＝9时，由b 2＝9得a 2－c 2＝9＝(a －c )(a ＋c )， a ＋c ＝1，则a ＝5，c ＝－4(不合题意)．当a ＋c ＝9时，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝4，故e ＝45. 9. 解：如图，连接BF 2.。

课时达标训练(三)［即时达标对点练］题组1充分、必要条件的判断 “数列｛a n ｝为等比数列”是“ a n = 3n ( n € N)”的("实数 a = 0” 是“直线 x — 2ay = 1 和 2x — 2ay = 1 平行”的&在平面直角坐标系 xOy 中，直线x + (m+1)y = 2 — m 与直线 m 灶2y = — 8互相垂直的 充要条件是m=9.已知 M= {x |( x — a )2<1}, N = {x | x 2— 5x — 24<0}，若 N 是 M 的必要条件，求 a 的取 值范围.1. A.充分不必要条件 B. 必要不充分条C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 对于非零向量a , b , “a + b = 0”是"a // b ”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. A.充分不必要条件 B. 必要不充分条C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. a ・sin题组21nA =- ”是“ A =-6 ”的 __26充要条件的证明5.函数 A. 1< a <2 y = (2 — a ) (a <2且a z 1)是增函数的充要条件 3B. 2< a <2C. a <1 .a <06. 求证：一次函f (x ) = kx + b ( k z 0)是奇函数的充要条件是b = 0.题组3利用充分、必要条件求参数的范围 7. 一兀二次方程 ax 2 + 2x + 1 = 0( a z 0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是A. a <0 B . a >0C . a < — 1D . a <1条件.［能力提升综合练］1 •设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（）A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C. 丙是甲的充要条件D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件2. 设0<x<2，则"x sin 2x<1 ”是"x sin x<1 ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 平面a//平面3的一个充分条件是（）A. 存在一条直线a, a /a, a / 3B. 存在一条直线a, a? a , a /3C. 存在两条平行直线a、b, a? a , b ? 3 , a/ 3 , b/ aD. 存在两条异面直线a、b, a? a , b ? 3 , a/ 3 , b/ a4. 设｛a n｝是等比数列，则“ a i<a2<a3”是“数列｛a n｝是递增数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件c.充要条件D.既不充分也不必要条件15. 不等式（a + x）（1 + x）<0成立的一个充分不必要条件是一2< x < —1,贝U a的取值范围是________ .6. 下列命题：①“ x>2且y>3”是“ x+y>5”的充要条件；2 2② b —4ac<0是一元二次不等式a x + b x + c<0解集为R的充要条件；③“ a= 2”是“直线ax+ 2y = 0平行于直线x+ y = 1”的充分不必要条件；④“ xy= 1”是“ lg x + lg y = 0 ”的必要不充分条件.其中真命题的序号为__________ .7. 已知方程x2+ （2k —1）x+ k2= 0,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.&已知条件p：|X—1|> a和条件q：2x2—3x + 1>0,求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.答案即时达标对点练1. 解析：选B当a n= 3n时，｛a n｝—定为等比数列，但当｛a n｝为等比数列时，不一定有a n = 3n，故应为必要不充分条件.2. 解析：选A由a+ b= 0可知a, b是相反向量，它们一定平行；但当a// b时，不一定有a + b = 0，故应为充分不必要条件.3. 解析：选C当a= 0时，两直线方程分别为x = 1和2x= 1,显然两直线平行；反之, 若两直线平行，必有 1 x(—2a) = ( —2a) x 2,解得a = 0,故应为充要条件.1 n ~5 n n4. 解析：由sin A=：不一定能推得A=―,例如A= 等；但由A=—一定可推得sin2 6 6 61 1 n所以“ sin A丁”是“的必要不充分条件.2 2 6答案：必要不充分5•解析：选C由指数函数性质得，当y = (2 —a)x(a<2且a^ 1)是增函数时，2 —a>1, 解得a <1.故选C.6. 证明：①充分性：如果b= 0,那么f (x) = kx,因为f ( —x) = k( —x) =—kx,即f (—x) = —f(x),所以f(x)为奇函数.②必要性：因为f (x) = kx+ b ( k丰0)是奇函数，所以f ( —x) = —f (x)对任意x均成立，即k( —x) + b=—kx + b,所以b= 0.综上，一次函数f (x) = kx+ b ( k丰0)是奇函数的充要条件是b= 0.7. 解析：选C •••一元二次方程ax2+ 2x + 1 = 0(a*0)有一正根和一负根.帥丿1 餐碍G VO1—<01、a由于{a|a< - 1} {a|a<0}，故选 C.28. 解析：x+ ( 1)y= 2-m与口好2y = - 8 互相垂直？ 1 -m H (m n 1) • 2= 0? mi=--.2答案：-39. 解：由(x- a)2<1，得a- 1<x<a+1, 由x 2- 5 x - 24<0，得一3<x<8.于是严_肇_氛从而可得一爲©故a的取值范围为[—2, 7].能力提升综合练1.解析：选A因为甲是乙的必要条件，所以乙？甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙•丙,••• N是M的必要条件,如图.综上，有丙？甲，但甲•丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件.2.解析：选B因为0< x <万，所以0<sin x<1.由22sin x<1 知x sin x <sin x<1,1，而因此必要性成立.由I ）x sin 2x <1得x sin x < ，而"■->1，因此充分性不成立.3. 解析：选D当满足A B C三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出/a与3相交，而得不出a II 3，它们均不能成为a // 3的充分条件.只有D符合.■jib4. 解析：选C ｛a n ｝为等比数列，a n= a1 • q n-：由a1<a2<a3,得a1<a1 q <a1 q 2，即平面a i>0, q>1或a i<0, 0< q <1，则数列｛a n ｝为递增数列.反之也成立.5.解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(-2, - 1) {x |( a + x)(1 + x)<0}，故有a>2.答案：（2 ,+^）6.解析：①x>2且y>3时，x+ y>5成立，反之不一定，如x= 0, y= 6.所以"x>2且y>3”是"x+ y>5”的充分不必要条件；②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2-4ac<0,故②为假命题;a 2彳=2,••• a = 2.因此，“a = 2” 是“两直线平行”的充要条件;④lg x + lg y = lg( xy ) = 0, • xy = 1 且 x >0, y >0.所以“ lg x + lg y = 0”成立，xy = 1必然成立，反之不然. 因此“ xy = 1”是“ lg x + lg y = 0”的必要不充分条件. 综上可知，真命题是④. 答案：④7.解：令f (x ) = x 2+ (2 k - 1)x + k 2,则方程x 2 + (2 k - 1)x + k 2= 0有两个大于1的实数2 2△ =( 2k - 1) — 4k > 0, 2k — 1 — -^>1,? k <— 2.f (1) >0因此k <— 2是使方程x 2+ (2k — 1)x + k 2= 0有两个大于1的实数根的充要条件. 8. 解：依题意a >0.由条件p ： | x —1|> a , 得 x —1<— a 或 x — 1>a , • x <1 — a 或 x >1+ a .2I由条件 q ： 2x — 3x + 1>0,得 x <2或 x >1.1解得 a >令 a = 1，贝U p ： x <0 或 x >2, 1此时必有x <2或 x >1. 即p ? q ,反之不成立. •最小正整数a = 1.③当a =2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则要使p 是q 的充分不必要条件，即“若p ,则q ”为真命题，逆命题为假命题，应有1-a <1, 1+ a >111 — a <2 1+ a > 1,。