高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1节集合教学案文北师大版

第一节集合命题分析预测学科核心素养从近五年的全国卷的考查情况来看，该节是全国卷的必考内容，设题稳定，难度较低，均以集合的基本运算为主，同时考查不等式的求解.本节主要以函数、方程、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，考查考生的分类讨论思想和数学运算核心素养.授课提示：对应学生用书第1页知识点一元素与集合、集合间基本关系1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示)．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中的元素完全相同或集合A，B互为子集A＝B•温馨提醒•1.集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B，B C，则A C. 2．含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．1．若集合P＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P〖解析〗因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 021的自然数构成的集合，所以a∉P.〖答案〗D2．设M为非空的数集，M⊆{1，2，3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A．6个B．5个C．4个D．3个〖解析〗由题意知，M＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个．〖答案〗A3．已知集合M＝{0，1}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为()A．1 B．2C．3 D．4〖解析〗由M∪N＝M，得N⊆M.又M中有2个元素，故其子集的个数为22＝4，所以集合N 的个数为4.〖答案〗D知识点二集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}二级结论A∪(∁U A)＝U，A∩(∁U A)＝∅，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．必明易错1．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤3}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．(2，3〗B ．(－∞，1〗∪(2，＋∞)C ．〖1，2)D ．(－∞，0)∪〖1，＋∞)〖解 析〗因为∁U A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，B ＝{y |1≤y ≤3}，所以(∁U A )∪B ＝(－∞，0)∪〖1，＋∞)． 〖答 案〗D2．已知U ＝{α|0°＜α＜180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________． 〖答 案〗{x |x 是直角}3．(易错题)已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________．〖解 析〗易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.〖答 案〗0或12授课提示：对应学生用书第2页题型一 集合的概念与关系1.（2021·长沙模拟）设集合M ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，则（ ） A.M N B.N M C.M ∈ND.N ∈M〖解 析〗对于集合N ，当n ＝2k 时，x ＝4k ＋1（k ∈Z ）；当n ＝2k －1时，x ＝4k －1（k ∈Z ）.所以N ＝{x |x ＝4k ＋1或x ＝4k －1，k ∈Z }，所以M N . 〖答 案〗A2.（2021·西安五校联考）已知集合A ＝{x |－x 2＋2 018x ≥0}，B ＝{x ∈N |y ＝lg （3－x ）}，则集合A ∩B 的子集个数是（ ） A.4 B.7 C.8D.16〖解 析〗A ＝〖0，2 018〗，B ＝{x ∈N |x ＜3}，A ∩B ＝{0，1，2}，故集合A ∩B 的子集个数是8.〖答案〗C3.若集合A＝{1，2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为__________. 〖解析〗①若B＝∅，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2，符合题意；②若1∈B，则12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此时B＝{1}，符合题意；③若2∈B，则22＋2m＋1＝0，解得m＝－52，些时B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意.综上所述，实数m的取值范围为〖－2，2）.〖答案〗〖－2，2）4.已知集合A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合A中至少有3个元素，则k的取值范围为__________. 〖解析〗因为集合A中至少有3个元素，所以log2k＞4，所以k＞24＝16.〖答案〗（16，＋∞）1.集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.2.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、V enn图或图像帮助分析.题型二集合的基本运算集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力.常见的命题角度有：（1）集合的基本运算；（2）利用集合运算求参数或范围.〖例1〗（1）（2020·高考全国卷Ⅱ）已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B ＝{1，2}，则∁U （A ∪B ）＝（ ） A.{－2，3} B.{－2，2，3} C.{－2，－1，0，3}D.{－2，－1，0，2，3}〖解析〗 ∵A ＝{－1，0，1}，B ＝{1，2}，∴A ∪B ＝{－1，0，1，2}.又U ＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴∁U （A ∪B ）＝{－2，3}. 〖答案〗 A（2）（2021·焦作模拟）若集合A ＝{x |2x 2－9x ＞0}，B ＝{y |y ≥2}，则（∁R A ）∪B ＝（ ） A.⎣⎡⎦⎤2，92 B.∅C.〖0，＋∞）D.（0，＋∞）〖解析〗 因为A ＝{x |2x 2－9x ＞0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞92或x ＜0，所以∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤92，又B ＝{y |y ≥2}，所以（∁R A ）∪B ＝〖0，＋∞）. 〖答案〗 C解集合运算问题的三个注意点考法（二） 利用集合的运算求参数〖例2〗 （1）（2020·高考全国卷Ⅰ）设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝（ ） A.－4 B.－2 C.2D.4（2）集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为（ ） A.0 B.1 C.2D.4（3）（2021·南昌模拟）已知集合A ＝{x |y ＝4－x 2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为（ ） A.（－∞，－3〗∪〖2，＋∞） B.〖－1，2〗C.〖－2，1〗D.〖2，＋∞）〖解析〗 （1）A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－a 2. 由A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，知－a2＝1，所以a ＝－2.（2）根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故a ＝4. （3）集合A ＝{x |y ＝4－x 2}＝{x |－2≤x ≤2}，因为A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a ＋1≤2，所以－2≤a ≤1.〖答案〗 （1）B （2）D （3）C根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤〖题组突破〗1.（2020·新高考全国卷Ⅰ）设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∪B ＝（ ） A.{x |2＜x ≤3} B.{x |2≤x ≤3} C.{x |1≤x ＜4}D.{x |1＜x ＜4}〖解 析〗A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}∪{x |2＜x ＜4}＝{x |1≤x ＜4}. 〖答 案〗C2.（2021·太原模拟）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x （x ＋2）＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是（ ）A.（－2，1）B.〖－1，0〗∪〖1，2）C.（－2，－1）∪〖0，1〗D.〖0，1〗〖解析〗因为集合A＝{x|x（x＋2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝（－2，1〗，A∩B＝〖－1，0），所以阴影部分表示的集合为∁A∪B（A∩B）＝（－2，－1）∪〖0，1〗.〖答案〗C3.（2021·湘东模拟）若集合A＝{x|－1≤x≤0}，B＝{x|log2（1－x）≤0}，则A∪B＝（）A.{x|－1≤x＜1}B.{x|－1＜x≤1}C.{0}D.{x|－1≤x≤1}〖解析〗法一：因为B＝{x|log2（1－x）≤0}＝{x|0＜1－x≤1}＝{x|0≤x＜1}，所以A∪B＝{x|－1≤x＜1}.法二：因为1∉A且1∉B，所以1∉（A∪B），故排除选项B，D；又－1∈A，所以－1∈（A∪B），所以排除选项C.〖答案〗A4.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}.若（∁U A）∩B＝∅，则m的值为__________.〖解析〗易知A＝{－2，－1}.由（∁U A）∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}.①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）×（－2）＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）×（－2）＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件.∴m＝1或2.〖答案〗1或2集合中的核心素养（一）数学抽象——集合的新定义、新运算问题〖例1〗（1）（2021·南阳模拟）定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A ＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A.1B.0C.－1D.sin α＋cos α（2）（2021·保定模拟）设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1＜2x＜4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝（）A.{x|0＜x≤1}B.{x|0≤x＜2}C.{x|1≤x＜2}D.{x|0＜x＜1}〖解析〗（1）因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为（重复的只列举一次）：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.（2）由题意得P＝{x|0＜x＜2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0＜x＜1}.〖答案〗（1）B（2）D1.以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象.2.解决集合的新定义问题的两个切入点（1）正确理解新定义.这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题.常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等.（2）合理利用集合性质.运用集合的性质（如元素的性质、集合的运算性质等）是破解新定义型集合问题的关键.在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质.（二）创新应用——集合的新性质问题〖例2〗设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.（1）若M＝{2，3，6}，则∁U M表示的6位字符串为；（2）已知A＝{1，3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是__________.〖解析〗（1）由已知得，∁U M＝{1，4，5}，则∁U M表示的6位字符串为100110.（2）由题意可知A∪B＝{1，3，6}，而A＝{1，3}，B⊆U，则B可能为{6}，{1，6}，{3，6}，{1，3，6}，故满足条件的集合B的个数是4.〖答案〗（1）100110（2）4创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题.〖题组突破〗1.设A，B是有限集，定义d（A，B）＝card（A∪B）－card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数.命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）＋d（B，C）.（）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立〖解析〗命题①显然正确，通过如图Venn图亦可知d（A，C）表示的区域不大于d（A，B）＋d（B，C）的区域，故命题②也正确.〖答案〗A2.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝__________.〖解析〗由题意知A－B＝{x|x＞3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}，所以A*B＝〖－3，0）∪（3，＋∞）.〖答案〗〖－3，0）∪（3，＋∞）。

第一章集合与常用逻辑用语【高考研究·备考导航】【三年考情】角度考查内容课程标准高考真题考题统计集合1.了解集合的含义,了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系,理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题,能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.2023年:新高考Ⅰ卷·T12023年:新高考Ⅱ卷·T22022年:新高考Ⅰ卷·T12022年:新高考Ⅱ卷·T12021年:新高考Ⅰ卷·T12021年:新高考Ⅱ卷·T2常用逻辑用语1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义;理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义,能正确对两种命题进行否定.2023年:新高考Ⅰ卷·T7命题趋势1.题型设置:主要以选择题、填空题为主.2.内容考查:集合的基本关系、集合的基本运算、充分必要条件的判断和含有一个量词命题的否定.3.能力考查:运算求解能力及逻辑推理能力.【备考策略】根据近三年新高考卷命题特点和规律,复习本章时,要注意以下几个方面:1.全面系统复习,深刻理解知识本质(1)理解集合、空集、子集等概念;会根据具体条件求集合的子集的个数;理解并集、交集、补集的含义,注意符号语言的正确应用.(2)理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.(3)理解全称量词、存在量词、全称量词命题、存在量词命题的概念.2.熟练掌握解决以下问题的方法规律(1)能准确判断所给集合中元素的特征,会根据问题情境选择恰当的方法表示集合.(2)掌握集合并集、交集、补集运算,注意与解不等式、解方程和函数基本概念的交汇问题.(3)能准确判断命题的真假,并能根据具体问题情境判断充分条件、必要条件和充要条件.(4)能准确地对全称量词命题(或存在量词命题)进行否定.3.重视思想方法的应用(1)方程思想:涉及元素与集合的关系及集合相等的题目,可以利用集合中元素间的相等关系,列出方程或方程组求解.(2)数形结合思想:集合与不等式、方程、函数交汇考查是集合题型常见的考查模式,解决此类问题时,要重视Venn图、数轴等图形工具的应用,目的是形象直观地表示题目条件,全面准确地理解题意,避免失分.(3)化归与转化思想:充分条件、必要条件的判断问题,通常要转化为集合包含关系的判断;全称量词命题(或存在量词命题)与其否定真假性相反,解题时应注意此结论的应用.(4)分类与整合思想:在集合间关系的判断、集合运算、充分条件、必要条件的判断等问题中,若出现参数,常对参数进行分类讨论.。

一、知识梳理１．命题在数学中，可以判断真假用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．２．四种命题及其关系（１）四种命题间的相互关系（２）四种命题的真假关系１两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；２两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．３．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q错误!pp是q的必要不充分条件p错误!q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p错误!q且q错误!p从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为：（１）若A⊆B，则p是q的充分条件；（２）若A⊇B，则p是q的必要条件；（３）若A＝B，则p是q的充要条件；（４）若A B，则p是q的充分不必要条件；（５）若A B，则p是q的必要不充分条件；（6）若A错误!B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．二、教材衍化１．命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是________，是________命题（填“真”或“假”）．解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x２>y２，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x２≤y２”．答案：若x≤y，则x２≤y２假２．设x∈R，则“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的________条件．解析：２—x≥0，则x≤２，（x—１）２≤１，则—１≤x—１≤１，即0≤x≤２，据此可知：“２—x≥0”是“（x—１）２≤１”的必要不充分条件．答案：必要不充分３．原命题“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac２＞bc２”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c＝0时，ac２＝bc２，所以原命题是假命题；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是假命题；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac２＞bc２，则a＞b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以否命题也是真命题．综上所述，真命题有２个．答案：２一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）“x２＋２x—３<0”是命题．（）（２）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．（）（３）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．（）（４）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．（）（５）q不是p的必要条件时，“p错误!q”成立．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）命题的条件与结论不明确；（２）含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提的情况；（３）对充分必要条件判断错误．１．命题“若a２＋b２＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________．答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a２＋b２≠0．２．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是________．答案：对任意a，b∈R，若ab≤0，则a≤0．３．条件p：x>a，条件q：x≥２．（１）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________；（２）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________．解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥２}，（１）因为p是q的充分不必要条件，所以A B，所以a≥２；（２）因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a<２．答案：（１）a≥２（２）a<２四种命题的相互关系及真假判断（自主练透）１．命题“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是（）Ａ．若x２≥１，则x≥１或x≤—１Ｂ．若—１<x<１，则x２<１Ｃ．若x>１或x<—１，则x２>１Ｄ．若x≥１或x≤—１，则x２≥１解析：选Ｄ．命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x２<１，则—１<x<１”的逆否命题是“若x≥１或x≤—１，则x２≥１”．１“若xy＝１，则x，y互为倒数”的逆命题；２“面积相等的两个三角形全等”的否命题；３“若m≤１，则x２—２x＋m＝0有实数解”的逆否命题；４“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题是（）Ａ．１２Ｂ．２３Ｃ．４Ｄ．１２３解析：选Ｄ．１原命题的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy＝１”，是真命题；２原命题的否命题为“面积不相等的两个三角形不全等”，是真命题；３若m≤１，Δ＝４—４m≥0，所以原命题是真命题，故其逆否命题也是真命题；４由A∩B＝B，得B⊆A，所以原命题是假命题，故其逆否命题也是假命题，故１２３正确．Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．４解析：选Ｃ．因为P＝错误!＝错误!{k∈Z}，Q＝错误!，所以P Q，所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为２．错误!（１）写一个命题的其他三种命题时需关注２点１对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；２若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．（２）判断命题真假的２种方法１直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可；２间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．充分条件、必要条件的判断（师生共研）（１）（２0２0·郑州模拟）已知a，b都是实数，那么“b>a>0”是“错误!>错误!”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件（２）（２0２0·延安模拟）已知p：x＝２，q：x—２＝错误!，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件【解析】（１）若错误!>错误!，则错误!—错误!＝错误!>0．当0<a<b时，错误!>错误!成立；当a>0，b<0时，满足错误!>错误!，但0<a<b不成立．故“b>a>0”是“错误!>错误!”的充分不必要条件，故选Ａ．（２）当x—２＝错误!时，两边平方可得（x—２）２＝２—x，即（x—２）（x—１）＝0，解得x１＝２，x２＝１．当x＝１时，—１＝错误!，不成立，故舍去，则x＝２，所以p是q的充要条件，故选Ｃ．【答案】（１）A （２）C错误!判断充要条件的３种常用方法（１）定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．（２）等价法：利用A⇒B与﹁B⇒﹁A，B⇒A与﹁A⇒﹁B，A⇔B与﹁B⇔﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（３）利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[提醒] 判断充要条件需注意３点（１）要分清条件与结论分别是什么．（２）要从充分性、必要性两个方面进行判断．（３）直接判断比较困难时，可举出反例说明．１．（２0１9·高考天津卷）设x∈R，则“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的（）Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由x２—５x<0可得0<x<５．由|x—１|<１可得0<x<２．由于区间（0，２）是（0，５）的真子集，故“x２—５x<0”是“|x—１|<１”的必要而不充分条件．２．（２0２0·安徽淮南二模）设λ∈R，则“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．当λ＝—３时，两条直线的方程分别为6x＋４y＋１＝0，３x＋２y—２＝0，此时两条直线平行；若直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行，则２λ×（１—λ）＝—6（１—λ），所以λ＝—３或λ＝１，经检验，两者均符合．综上，“λ＝—３”是“直线２λx＋（λ—１）y＝１与直线6x＋（１—λ）y＝４平行”的充分不必要条件，故选Ａ．充分条件、必要条件的探求及应用（典例迁移）（１）设集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（）Ａ．—１<x≤１Ｂ．x≤１Ｃ．x>—１Ｄ．—１<x<１（２）已知P＝{x|x２—8x—２0≤0}，非空集合S＝{x|１—m≤x≤１＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________．【解析】（１）因为集合A＝{x|x>—１}，B＝{x|x≥１}，又因为“x∈A且x∉B”，所以—１<x<１；又当—１<x<１时，满足x∈A且x∉B，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是“—１<x<１”．故选Ｄ．（２）由x２—8x—２0≤0，得—２≤x≤１0，所以P＝{x|—２≤x≤１0}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则错误!所以0≤m≤３．所以当0≤m≤３时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0，３]．【答案】（１）D （２）[0，３]【迁移探究】（变问法）本例（２）条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|—２≤x≤１0}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒P.所以[—２，１0][１—m，１＋m]．所以错误!或错误!所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞）．错误!根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项（１）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解．（２）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．１．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（）Ａ．a≥9 Ｂ．a≤9Ｃ．a≥１0 Ｄ．a≤１0解析：选Ｃ．命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”⇔“对任意的x∈[１，３]，x２≤a”⇔9≤a.则a≥１0是命题“对任意的x∈[１，３]，x２—a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选Ｃ．２．若“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x２—x—6>0，解得x<—２或x>３．因为“x２—x—6>0”是“x>a”的必要不充分条件，所以{x|x>a}是{x|x<—２或x>３}的真子集，即a≥３，故a的最小值为３．答案：３[基础题组练]１．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p的（）Ａ．逆命题Ｂ．否命题Ｃ．逆否命题Ｄ．否定解析：选Ｂ．命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．２．“若x，y∈R，x２＋y２＝0，则x，y全为0”的逆否命题是（）Ａ．若x，y∈R，x，y全不为0，则x２＋y２≠0Ｂ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２＝0Ｃ．若x，y∈R，x，y不全为0，则x２＋y２≠0Ｄ．若x，y∈R，x，y全为0，则x２＋y２≠0３．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．必要不充分条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．设集合A＝{（x，y）|x≠y}，B＝{（x，y）|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{（x，y）|x ＝y}，B的补集D＝{（x，y）|cos x＝cos y}，显然C D，所以B A.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．１“若a≤b，则a＜b”的否命题；２“若a＝１，则ax２—x＋３≥0的解集为R”的逆否命题；３“周长相同的圆面积相等”的逆命题；４“若错误!x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中真命题的序号为（）Ａ．２４Ｂ．１２３Ｃ．２３４Ｄ．１３４解析：选Ｂ．对于１，逆命题为真，故否命题为真；对于２，原命题为真，故逆否命题为真；对于３，“面积相等的圆周长相同”为真；对于４，“若错误!x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选Ｂ．５．设a，b均为单位向量，则“|a—３b|＝|３a＋b|”是“a⊥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｃ．因为|a—３b|＝|３a＋b|，所以（a—３b）２＝（３a＋b）２，所以a２—6a·b＋9b２＝9a２＋6a·b＋b２，又因为|a|＝|b|＝１，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选Ｃ．6．（２0２0·咸阳模拟）已知p：m＝—１，q：直线x—y＝0与直线x＋m２y＝0互相垂直，则p是q的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ａ．由题意得直线x＋m２y＝0的斜率是—１，所以错误!＝—１，m＝±１．所以p是q的充分不必要条件．故选Ａ．7．（２0２0·郑州模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·（b—c）＝0”是“b＝c”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析：选Ｂ．由b＝c，得b—c＝0，得a·（b—c）＝0；反之不成立．故“a·（b—c）＝0”是“b ＝c”的必要不充分条件．8．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是（）Ａ．a＋b＞0 Ｂ．a—b＞0Ｃ．ab＞１Ｄ．错误!＞１解析：选Ａ．因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a—b＞0，ab ＞１，错误!＞１，故选Ａ．9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B，故“A＝B”是“tan A＝tan B”的充要条件．答案：充要１0．在命题“若m>—n，则m２>n２”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m＝２，n＝３，则２>—３，但２２<３２，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝—３，n＝—２，则（—３）２>（—２）２，但—３<２，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为３．答案：３１１．（２0２0·齐鲁名校调研）给出下列说法：１“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是假命题；２“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；３“a＝１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；４命题“若x<—１，则x２—２x—３>0”的否命题为“若x≥—１，则x２—２x—３≤0”．以上说法中正确的是________（填序号）．解析：对于１，“若x＋y＝错误!，则sin x＝cos y”的逆命题是“若sin x＝cos y，则x＋y＝错误!”，当x＝0，y＝错误!时，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝错误!，故逆命题为假命题，１正确；对于２，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，２正确；对于３，“a＝±１”是“直线x—ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故３错误；对于４，根据否命题的定义知４正确．答案：１２４[综合题组练]１．（２0２0·抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为6５分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是（）Ａ．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格Ｂ．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分Ｃ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分Ｄ．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分解析：选Ｃ．根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选Ｃ．２．（２0２0·合肥模拟）若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是（）Ａ．a＝b＝１Ｂ．a，b至少有一个为１Ｃ．a＝b＝２Ｄ．a＞１且b＞１解析：选Ｂ．因为a＋b＞ab，所以（a—１）（b—１）＜１．因为a，b∈N+，所以（a—１）（b—１）∈N，所以（a—１）（b—１）＝0，所以a＝１或b＝１．故选Ｂ．３．若命题“ax２—２ax—３>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知ax２—２ax—３≤0恒成立，当a＝0时，—３≤0成立；当a≠0时，得错误!解得—３≤a<0，故实数a的取值范围是—３≤a≤0．答案：[—３，0]４．已知命题p：x２＋２x—３＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．解析：由x２＋２x—３＞0，得x＜—３或x＞１，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥１．答案：[１，＋∞）。

第1讲集合及其运算一、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R 2.集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中元素相同A＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}常用结论1．三种集合运算的性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．2．集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．(2)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.空集只有一个子集，即它本身．(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B，B C，则AC.(4)含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n －2个非空真子集．二、教材衍化1．已知集合A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，C＝{x|x是正方形}，D＝{x|x 是菱形}，则( )A．A⊆B B．C⊆B C．D⊆C D．A⊆D答案：B2．集合A＝{x|x＝－y2＋6，x∈N，y∈N}的真子集的个数为( )A．9 B．8 C．7 D．6解析：选C.当y＝0时，x＝6；当y＝1时，x＝5；当y＝2时，x＝2；当y≥3时，x∉N，故集合A＝{2，5，6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.3．已知集合A＝{1，3，－a2}，B＝{1，a＋2}，若B⊆A，则实数a＝________．解析：因为B⊆A，所以a＋2＝3或a＋2＝－a2(此方程无实根)，所以a＝1，此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}．答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．解析：因为B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，根据集合元素的互异性可知，m ≠1，所以m ＝0或3.答案：0或32．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 解析：易得M ＝{2}．因为M ∩N ＝N ，所以N ⊆M ，所以N ＝∅或N ＝M ，所以a ＝0或a ＝12.答案：0或123．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．解析：由已知得A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x ＞2}．答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)[学生用书P2]集合的概念(自主练透)1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个D ．无数个解析：选C.依题意有A ＝{－2，－1，0，1，2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1，2，5}，故B 中有3个元素．2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________． 解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.答案：0或983.已知集合A ＝{x ∈N |1＜x ＜log 2k }，集合A 中至少有3个元素，则k 的取值X 围为________．解析：因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k ＞4，所以k ＞24＝16. 答案：(16，＋∞)4．已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32.当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，符合题意，故m ＝－32.答案：－32求解与集合中的元素有关问题的注意事项(1)如果题目条件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．集合的基本关系(典例迁移)(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．AB D ．BA(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(3)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值X 围为________．【解析】 (1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1，2}．由题意知B ＝{1，2，3，4}，比较A ，B 中的元素可知AB ，故选C.(2)因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，A ⊆C ⊆B ，则集合C 可以为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个．(3)因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值X 围为m ≤3. 【答案】 (1)C (2)D (3)(－∞，3] 【迁移探究1】 (变条件)本例(3)中，若B A ，求m 的取值X 围？解：因为BA ，①若B ＝∅，成立，此时m ＜2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，且边界点不能同时取得，解得2≤m ≤3.综合①②，m 的取值X 围为(－∞，3]．【迁移探究2】 (变条件)本例(3)中，若A ⊆B ，求m 的取值X 围．解：若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－3，m ≥3.所以m 的取值X 围为∅.【迁移探究3】 (变条件)若将本例(3)中的集合A 改为A ＝{x |x <－2或x >5}，试求m的取值X 围．解：因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，2m －1<m ＋1，即m <2，符合题意．②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m >4或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m <－12.即m >4.综上可知，实数m 的取值X 围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．(1)判断两集合关系的方法①对描述法表示的集合，把集合化简后，从表达式中寻找两集合间的关系； ②对于用列举法表示的集合，从元素中寻找关系． (2)根据两集合间的关系求参数的方法已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．[提醒] 空集是任何集合的子集，当题目条件中有B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．1．(2020·某某模拟)设集合M ＝{x |x 2－x >0}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1x <1，则( )A ．M NB ．N MC ．M ＝ND ．M ∪N ＝R解析：选C.集合M ＝{x |x 2－x >0}＝{x |x >1或x <0}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1x <1＝{x |x >1或x <0}，所以M ＝N .故答案为C.2．设M 为非空的数集，M ⊆{1，2，3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个解析：选A.由题意知，M ＝{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共6个． 3．若集合A ＝{1，2}，B ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0，x ∈R }，且B ⊆A ，则实数m 的取值X 围为________．解析：①若B ＝∅，则Δ＝m 2－4＜0， 解得－2＜m ＜2，符合题意； ②若1∈B ，则12＋m ＋1＝0，解得m ＝－2，此时B ＝{1}，符合题意； ③若2∈B ，则22＋2m ＋1＝0，解得m ＝－52，此时B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，不合题意． 综上所述，实数m 的取值X 围为[－2，2)． 答案：[－2，2)集合的基本运算(多维探究) 角度一 集合的运算(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N ＝( )A ．{x |－4<x <3}B ．{x |－4<x <－2}C ．{x |－2<x <2}D ．{x |2<x <3}(2)(2020·某某某某模拟)若集合A ＝{x |2x 2－9x >0}，B ＝{y |y ≥2}，则(∁R A )∪B ＝( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，92B ．∅C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)【解析】 (1)通解：因为N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}，所以M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.优解：由题可得N ＝{x |－2<x <3}． 因为－3∉N ，所以－3∉M ∩N ，排除A ，B ； 因为2.5∉M ，所以2.5∉M ∩N ，排除D.故选C.(2)因为A ＝{x |2x 2－9x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >92或x <0，所以∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤92，又B ＝{y |y ≥2}，所以(∁R A )∪B ＝[0，＋∞)．故选C.【答案】 (1)C (2)C 角度二 利用集合的运算求参数(1)(2020·某某某某重点中学六校联考)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝[0，3a －1]，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值X 围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)(2)集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． (3)已知集合A ＝{x |x 2－x －12＞0}，B ＝{x |x ≥m }．若A ∩B ＝{x |x ＞4}，则实数m 的取值X 围是________．【解析】 (1)由题意可得3a －1≥1，解得a ≥23，即实数a 的数值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选C.(2)根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4，16}，故只能是a ＝4.(3)集合A ＝{x |x ＜－3或x ＞4}，因为A ∩B ＝{x |x ＞4}，所以－3≤m ≤4. 【答案】 (1)C (2)4 (3)[－3，4](1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn 图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2)利用集合的运算求参数的值或取值X 围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．(2020·某某某某一中、某某一中等八所中学联考)已知集合M ＝[－1，1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( )A ．[0，1]B ．[－1，1]C ．[0，1)D ．(0，1]解析：选A.由于M ＝[－1，1]，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，所以N ＝[0，1]，所以M ∩N ＝[0，1]．故选A.2.(2020·某某某某八校联考)如图，设全集U ＝N ，集合A ＝{1，3，5，7，8}，B ＝{1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{2，4} B．{7，8}C．{1，3，5} D．{1，2，3，4，5}解析：选A.由题图可知阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为集合A＝{1，3，5，7，8}，B＝{1，2，3，4，5}，U＝N，所以(∁U A)∩B＝{2，4}．故选A.3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|y＝－x2－2x}，则A∩B＝( )A．{x|－1＜x＜0} B．{x|－1＜x≤0}C．{x|0＜x＜2} D．{x|0≤x＜2}解析：选B.因为函数y＝－x2－2x有意义，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x|－1＜x≤0}．故选B.[学生用书P4]集合新定义问题中的核心素养(1)(2020·某某某某第一中学第十四次考试)定义集合运算：A⊙B＝{Z|Z＝xy，x ∈A，y∈B}，设集合A＝{－1，0，1}，B＝{sin α，cos α}，则集合A⊙B的所有元素之和为( )A．1 B．0C．－1 D．sin α＋cos α(2)(2020·某某某某一模)设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|1<2x<4}，Q＝{y|y＝2＋sin x，x∈R}，那么P－Q＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0≤x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<1}【解析】(1)因为x∈A，所以x的可能取值为－1，0，1.同理，y的可能取值为sin α，cos α，所以xy的所有可能取值为(重复的只列举一次)：－sin α，0，sin α，－cos α，cos α，所以所有元素之和为0.故选B.(2)由题意得P＝{x|0<x<2}，Q＝{y|1≤y≤3}，所以P－Q＝{x|0<x<1}．故选D.【答案】(1)B (2)D(1)以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．(2)解决集合的新定义问题的两个切入点①正确理解新定义．这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；②合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单一元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．解析：符合题意的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个．答案：6[基础题组练]1．设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B ＝( )A．{2} B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}解析：选D.由条件可得A∩C＝{1，2}，故(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝( ) A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：选A.因为A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，故选A.3．(2020·某某某某、某某三模)已知集合A＝{x|y＝－x2＋1}，B＝(0，1)，则A∩B ＝( )A．(0，1) B．(0，1]C．(－1，1) D．[－1，1]解析：选A.由题意得A＝[－1，1]，又B＝(0，1)，所以A∩B＝(0，1)．故选A.4．设集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，则( )A．M＝N B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅解析：选B.因为集合M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}＝{奇数}，N＝{x|x＝k＋2，k∈Z}＝{整数}，所以M⊆N.故选B.5．(2020·某某某某测试(二))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为( )A．1 B．2C．4 D．8解析：选C.因为A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，所以B＝{－1，1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}．所以集合A∩B的子集个数为22＝4.故选C.6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A．9 B．8C．5 D．4解析：选A.法一：由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C13C13＝9，故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.7．已知x∈R，集合A＝{0，1，2，4，5}，集合B＝{x－2，x，x＋2}，若A∩B＝{0，2}，则x＝( )A．－2 B．0C．1 D．2解析：选B.因为A ＝{0，1，2，4，5}，集合B ＝{x －2，x ，x ＋2}，且A ∩B ＝{0，2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋2＝2， 当x ＝2时，B ＝{0，2，4}，A ∩B ＝{0，2，4}(舍)；当x ＝0时，B ＝{－2，0，2}，A ∩B ＝{0，2}．综上，x ＝0.故选B.8．(2020·某某模拟)已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为( )A ．{1}B ．{－1，1}C ．{1，0}D ．{－1，1，0} 解析：选D.M ＝{x |x 2＝1}＝{－1，1}，当a ＝0时，N ＝∅，满足N ⊆M ，当a ≠0时，因为N ⊆M ，所以1a ＝－1或1a＝1，即a ＝－1或a ＝1.故选D. 9.(2020·某某模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．(2020·某某某某3月质量检查)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x |x －a <0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值X 围为( )A ．(3，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1] 解析：选D.A ＝{x |x 2－4x ＋3>0}＝{x |x <1或x >3}，B ＝{x |x －a <0}＝{x |x <a }．因为B⊆A ，所以a ≤1.故选D.11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |y ＝ln(2－x )}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________．解析：A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |y ＝ln(2－x )}＝{x |2－x ＞0}＝{x |x ＜2}，则A ∩B ＝[－1，2)，A ∪B ＝(－∞，3]．答案：[－1，2) (－∞，3]12．已知集合A ＝{x |x －a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值X 围为________． 解析：集合A ＝{x |x ≤a }，集合B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A 中，若2或3在集合A 中，则1一定在集合A 中，因此只要保证1∈A 即可，所以a ≥1.答案：[1，＋∞)[综合题组练]1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D.因为(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．2．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中错误结论的序号是________．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以①不正确；②中，设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③中，令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但3k ＋2k ∉(A 1∪A 2)，故A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．答案：①③3．已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值X 围是________．解析：因为A ∩B ＝∅，①若当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若当2m ＜1－m ，即m ＜13时， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，解得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13. 综上，实数m 的取值X 围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)4．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，则A ∩B ＝________．解析：不等式18<2x <8的解为－3<x <3， 所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3， 所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1； 若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7.因此，A ∩B ＝{}－1，7.答案：{}－1，7。

§1.1集合及其运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A)3.集合的基本运算知识拓展1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)题组二教材改编2．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________.答案{x|x是直角}3．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.5．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (3，＋∞)解析 A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}， ∵A ⊆B ，B ＝{x |x <a }，∴a >3.6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或98解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.题型一 集合的含义1．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 1解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1. 经检验，a ＝1符合题意．2．若A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 中的元素个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}．思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．题型二集合的基本关系典例 (1)设A，B是全集I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足A⊆B的集合B的个数是( )A．5 B．4 C．3 D．2答案 B解析∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．(2)已知集合A＝{x|x2－2 019x＋2 018<0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是_____________________________________．答案[2 018，＋∞)解析由x2－2 019x＋2 018<0，解得1<x<2 018，故A＝{x|1<x<2 018}．又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1<x<2 018}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练 (1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a 的值为( )A.13或－12 B ．－13或12C.13或－12或0 D ．－13或12或0答案 D解析 由题意知，A ＝{2，－3}． 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上可知，a 的值为－13或12或0.(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，4]解析 当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算典例 (1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x<1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x >1} D ．A ∩B ＝∅答案 A解析 ∵B ＝{x |3x<1}，∴B ＝{x |x <0}．又A ＝{x |x <1}，∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．故选A.(2)(2018届珠海二中月考)已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．A ∪B ＝R答案 D解析 ∵A ＝{x |x >2或x <0}，∴A ∪B ＝R . 命题点2 利用集合的运算求参数典例 (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a ≤2 B ．a >2 C ．a ≥－1 D ．a >－1 答案 D解析 因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.(2)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 D解析 由题意可得{a ，a 2}＝{4,16}，∴a ＝4.(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练 (1)(2017·天津)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C 等于( ) A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}答案 B解析 A ∪B ＝{1,2,4,6}．又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}， 故选B.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题典例 若集合E ＝{(p ，q ，r ，s )|0≤p <s ≤4,0≤q <s ≤4,0≤r <s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N }，F ＝{(t ，u ，v ，w )|0≤t <u ≤4，0≤v <w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N }，用card(X )表示集合X 中的元素个数，则card(E )＋card(F )等于( ) A ．200 B ．150 C ．100 D ．50 答案 A解析 在集合E 中，当s ＝1时，p ＝q ＝r ＝0，此时只有1个元素；当s ＝2时，p ，q ，r ∈{0,1}，此时有2×2×2＝8(个)元素；当s ＝3时，p ，q ，r ∈{0,1,2}，此时有3×3×3＝27(个)元素；当s ＝4时，p ，q ，r ∈{0,1,2,3}，此时有4×4×4＝64(个)元素，故card(E )＝1＋8＋27＋64＝100.在集合F 中，(t ，u )的取值可能是(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共10种可能．同理，(v ，w )也有10种可能，故card(F )＝10×10＝100，∴card(E)＋card(F)＝200.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练定义一种新的集合运算△：A△B＝{x|x∈A，且x∉B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A等于( )A．{x|3<x≤4} B．{x|3≤x≤4}C．{x|3<x<4} D．{x|2≤x≤4}答案 B解析A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2≤x≤4}，由题意知，B△A＝{x|x∈B，且x∉A}＝{x|3≤x≤4}．1．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则( )A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A答案 D2．(2017·浙江)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q等于( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)答案 A解析∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}．故选A.3．(2016·四川)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中的元素的个数为5.故选C. 4．(2017·吉林大学附中模拟)若集合A＝{x∈N|5＋4x－x2>0}，B＝{x|x<3}，则A∩B等于( )A．∅B．{1,2}C．[0,3) D．{0,1,2}答案 D解析由A中不等式变形，得(x－5)(x＋1)<0，x∈N，解得－1<x<5，x∈N，即A＝{0,1,2,3,4}，∵B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{0,1,2}．5．(2017·潍坊调研)已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{0,1} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}答案 B解析因为A∩B＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A去掉A∩B部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}．6．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M，且2x∉M}的子集的个数为( )A．8 B．4C．3 D．2答案 B解析由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于( ) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为( )A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.9．已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q＝________.答案(1,2)解析∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁R P＝{x|0＜x＜2}，∴(∁R P)∩Q＝{x|1＜x＜2}．10．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝______. 答案 1解析 由集合中元素的互异性，可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4，所以m ＝1.11．(2017·衡水模拟)若集合A ＝{y |y ＝lg x }，B ＝{x |y ＝x }，则集合A ∩B ＝________. 答案 [0，＋∞)解析 集合A ＝{y |y ＝lg x }＝{y |y ∈R }＝R ，B ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，则集合A ∩B ＝{x |x ≥0}＝[0，＋∞)．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．(2018·安徽黄山二模)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，∁R B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋2≥0，则A ∩B 等于( )A ．{－1,0,1}B ．{－1,0}C ．{－2，－1,0}D ．{0,1,2}答案 C解析 ∵集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，∁R B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋2≥0＝{x |x <－2或x ≥1}， ∴B ＝{x |－2≤x <1}，则A ∩B ＝{－2，－1,0}．14．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．16．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为______．答案 8解析 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0， ∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．又∵B ＝{x |x 2－2x －m <0}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴4是方程x 2－2x －m ＝0的根，即42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.。

课时1 集合与集合之间的关系（课前预习案）班级： 姓名：一、高考考纲要求1．理解交集、并集的概念.2．理解补集的概念，了解全集的意义.3．会用交集、并集、补集正确地表示一些简单的集合. 二、高考考点回顾1．集合的概念（1）集合的概念：我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 (简称为集). （2）集合的分类：根据集合中元素的多少，可以分为三类：有限集、无限集、空集.（3）元素与集合之间的关系：若a 是集合A 的元素，记作 ；若b 不是集合A 的元素，记作 ； （4）元素的特征：① 、② 、③ .（5）常用数集及其记法：自然数集，记作N ；正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R. 2．集合的表示方法集合有三种表示方法： 、 、 . 3．集合之间的关系：（1）对于两个集合A 和B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的 ，记作 或 .（2）如果集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少有一个元素不属于集合A ，那么集合A 叫做集合B 的 ，记作 或 .（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊆A ，则称集合A 等于集合B ，记作 ； 简单性质：①A ⊆A ；②∅⊆A ；③若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C . 4．空集空集是指 的集合，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集.记作∅. 5．有限集的子集、真子集的个数若集合A 中含有n 个元素的集合，则集合A 有 个子集（其中 个真子集）.三、课前检测1．已知集合{,,}S a b c =中的三个元素是ABC ∆的三边长，那么ABC ∆一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形2．集合8{|,}3M y Z y x Z x =∈=∈+的元素的个数是（ ） A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个3． 已知集合2{|320}M x x x =+->，{|}N x x a =>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(,1]-∞- D ．(,1)-∞-4．已知集合2{|32,}M x x a a a R ==-+∈，2{|,}N x x b b b R ==-∈，则M 、N 的关系是（ ） A ．M N ≠⊂ B ．M N ≠⊃ C ．M N = D ．不确定5．已知集合{1,3,21}A m =--，集合2{3,}B m =，若B A ⊆，则实数m =课内探究案班级： 姓名：考点一 集合中元素的性质【典例1】已知集合22{2,(1),33}A a a a a =++++，若1A ∈，则实数a 的取值集合为 .【变式1】若{}4,12,33-2---∈a a a ，求实数a 的值考点二 集合间的包含关系【典例2】已知集合{|015}A x ax =<+≤，集合1{|2}2B x x =-<≤. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（3）A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由.【变式2】已知集合2{|60}P x x x =+-=，{|10}Q x ax =+=且满足Q P ≠⊂，求a 所取的一切值.考点三 集合的新定义【典例3】定义集合运算：{|,,}A B z z xy x A y B ==∈∈e ，设集合{1,0,1}A =-，{sin ,cos }B αα=，则集合A B e 的所有元素之和为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．sin cos αα+【变式3】设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”。